現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む50

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数学の本　第84巻
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1 ：2018/01/21 ～最終レス：2018/02/12: “現代数学の系譜物理工学雑談古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾）

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）
2 ：: 過去スレ（そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます）
現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む
49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/
48 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1513201859/
47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/
46 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1510442940/
45 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1508931882/
44 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1506848694/
43 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1506152332/ （だれかが立ててスレ。私は行きません。このスレに不満な人は、そちらへ）
42 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1505609511/
41 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1504332595/
40 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1503706544/
（40以降現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む)
（39以前現代数学の系譜古典ガロア理論を読む)
39 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1503063850/ （別名数学セミナー時枝記事の墓）
38 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1502430243/
37 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1501561433/
36 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1499815260/
35 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1497848835/
(35以降現代数学の系譜古典ガロア理論を読む
34以前現代数学の系譜11 ガロア理論を読む)
34 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1496568298/
33 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1495860664/
32 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1495369406/
31 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1494038985/
30 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1492606081/
29 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1484442695/
28 (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ) http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1483314290/
27 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1483075581/
26 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1480758460/

以下次へ
3 ：: >>2つづき
25 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1477804000/
24 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1475822875/
23 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1474158471/
22 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1471085771/
21 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1468584649/
25 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1477804000/
20 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1466279209/
19 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1462577773/
18 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1452860378/
17 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1448673805/
16 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1444562562/
15 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1439642249/
14 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1434753250/
13 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1428205549/
12 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1423957563/
11 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1420001500/
10 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1411454303/
9 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1408235017/
8 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1364681707/
7 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1349469460/
6 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1342356874/
5 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1338016432/
4 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1335598642/ スレタイに4が抜けてますが(4)です
3 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1334319436/
2 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1331903075/
1 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1328016756/
4 ：: 以下、暫くテンプレ貼りを続けます。
5 ：: 大学新入生もいると思うが、間違っても２ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；

以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな

再生は無理だろう
そもそも、２ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない

アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない

複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを
6 ：: 個人的には、下記は、”知恵袋の人>>> ２ＣＨ（旧２ＣＨ）の人”と思うよ（＾＾

http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1484442695/494
494 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/17
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法　学部～修士
ライター：amane_ruriさん（最終更新日時:2012/8/6）
ナイス！：5閲覧数：11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）

2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈ*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈ*)の人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) (注*)：2ｃｈは、現2ｃｈ)
7 ：: 過去スレより
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です

じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます

が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし

”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか

有名な話で、有限単純群の分類
”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか

おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾；

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。
8 ：: >>7 補足
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1492606081/352
352 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/29(土)
みんな、何に価値をおいているか、それぞれだろうが・・
個人的には、数学板で一番価値を置いているのは、確かな情報つまり根拠の明確な情報つまりコピペ

わけのわからん名無しさん（素数さん）のカキコを真に受けるとか、価値をおく人は少ないだろう
きちんと、大学教員レベルの証明があればともかく、匿名板でそれはない（名無しカキコは基本価値なし）
9 ：: >>8 補足
＜数学ディベート＞について
過去スレより
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1494038985/50
50 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/06
どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾；
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1494038985/189-190
189 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09

いやはや、（文系） High level people たち（ ID:jEMrGWmk さん含め）の、数学ディベートもどきは面白いですね（＾＾；
”手強い？”とは・・、まさに、ディベートですね

私ら、理系の出典（URL)とコピペベース、ロジック（論証）＆証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル（２ＣＨスタイル？）とは、明白に違いますね
私ら、（文系） High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ（＾＾；

190 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから

典拠もなしによく議論しますね～。よく分かりましたよ（＾＾；
私とは、議論がかみ合わないわけだ・・

”他サイトからのコピペでスレを埋め尽くす行為” なんて非難されましたけどね～（＾＾；
ディベートに勝ちたいからそういう発言なんですね～。典拠もなしで、出した典拠も読まない議論か・・。よく分かりましたよ（＾＾；

10 ：: 過去スレより
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1497848835/638
638 名前：現代数学の系譜古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/07/11(火) 08:40:28.58 ID:+FRiTcES
>>630
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>>まあ、おっちゃんが、上記を理解したら、時枝は終わりにしよう
>マジメに時枝問題のことでスレ主に付き合う気はなく、
>もはやそういうことをする価値もない。
>スレ主自身の主張や考え方が大きく間違っていることを私のせいにするべきではない。

いやいや、おっちゃんよりレベルの低い人と議論するつもりはないんだよ～（＾＾
がまあ、おっちゃんのいう「価値もない」にも一理ある
ということで、皆さん悪いが、時枝は、一時棚上げだ。時々やろう

下記のパロディーで言えば、「数学雑談&ガロア理論～おっちゃんとボクと、時々、（時枝＆￥さん）～」かな（＾＾
まあ、話題を散らしながら、ゆっくりやりましょう（＾＾
おっちゃん！いま気になっていることを、好きに書いてくれ！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%BF%E3%83%AF%E3%83%BC_%E3%80%9C%E3%82%AA%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%81%A8%E3%83%9C%E3%82%AF%E3%81%A8%E3%80%81%E6%99%82%E3%80%85%E3%80%81%E3%82%AA%E3%83%88%E3%83%B3%E3%80%9C
東京タワー～オカンとボクと、時々、オトン～ - Wikipedia
(抜粋)
『東京タワー～オカンとボクと、時々、オトン～』（とうきょうタワーオカンとボクと、ときどき、オトン）は、リリー・フランキーの実体験を基にした長編小説である。
2006年と2007年にテレビドラマ化（単発ドラマと連続ドラマ）、2007年に映画化、舞台化されている。

2005年6月29日、扶桑社より発売された[1]。装丁もリリー本人。初版は3万部だった。2006年1月には100万部を突破。2006年10月31日には200万部（扶桑社発表）を越すベストセラーとなった。

久世光彦が「泣いてしまった…。これは、ひらかなで書かれた聖書である」と評価した。
(引用終り)
11 ：: 「現代数学のもとになった物理工学」の解題：
言わずもがなですが、数学の発展の大きな原動力は、物理です。数学の発展の大きな原動力は、工学です。

別に説明するほどのこともないですが。
古代の幾何学の背景に、実際の土地測量や巨大建築からの要請が原動力にあったことは間違いないでしょう。

ニュートン以来の解析や数論も同様。
で、物理学の背景に、工学に直結する日常のいろいろな事象がある。戦争というのも、大きな要因ではあります。仏エコールポリテクニークなども、ナポレオン戦争遂行のための工学校です。
（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%AF%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%82%AF エコール・ポリテクニーク 1804年にナポレオン・ボナパルトによって軍学校とされる）

工学が物理の進展を促した面は多々あります。有名なプランクの熱と光の放射の理論を研究した背景に、当時の工学的課題であった、高温物体を光学測定により正確な温度を知るため（今の光温度計）であったと言われています。
つまり、工学的課題「高温物体を光学測定により正確な温度を知るための光温度計」→物理的課題「高温物体の光放射理論構築」→プランクの量子仮説→量子力学の誕生→作用素環→非可換幾何（現代数学）ということなのです。

コンヌ先生もおっしゃっているそうですが、物理や工学の課題は、いままでもそうですが、現代数学のエネルギー源なのです。
京大数学科がだめになったのは、「20世紀の古い数学に閉じこもってしまった」というようなことがあるのではないでしょうか？新しい数学へのチャレンジが無い？
（参考過去スレ39 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1503063850/476 (抜粋)「自己顕示欲だけが目的で人生を送り、ほんで他人の邪魔ばっかししてるから筑波とか京大みたいになってアカン様になんのや。」）
12 ：: 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）まとめについては
スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/11-67 ご参照！
ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です！＼（＾＾）／

テンプレ以上です。
13 ：: これもテンプレに入れとけよ
↓
スレ主は数学以前
14 ：: 前スレで書いたことの繰り返しになるが、

・ P が成り立つ
・「 P ならば Q 」が成り立つ

という2つの条件からは、無条件で

・ Q が成り立つ

という条件を導出してよい。その後に矛盾が起きていようが何だろうが関係なくて、
とにかく、上記の2つの条件から「 Q が成り立つ」を導出してよい。これは論理の基礎である。

にも関わらず、前スレ>>657 で書いた理屈により、スレ主にとっては、
この2つの条件だけでは「 Q が成り立つ」を導出できないという。
スレ主によれば、

「￢Q の場合は "P ならば Q" の適用範囲外であるため、Q が成り立つことを
　予め別経路で確認しておかなければ、"P ならば Q" は適用できない」

ということになる。控えめに言っても完全にキチガイである。
別経路で Q の成立が確認できるなら、「 P ならば Q 」の出番は無くなる。
すなわち、お前は「 P ならば Q 」という命題の適用を如何なる場合に対しても
完全否定していることになるのである。

明らかに、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。
レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。
15 ：: （前スレ） >>656
ID:wjJV20b1 さん、どうも。スレ主です。

>「数学板の各スレッドにて適当なキーワードでページ内検索を地道にすれば」
>スクリプトにやらせば簡単だろ？
>さすがに手動は無いだろ？

ああ、そうなんか？　スクリプト書けば、簡単にできるのか？
数学板の各スレッドのURLを取得させて、問題のキーワード検索をさせる？

もし、それがあなたに簡単にできるなら、
それは私スレ主は、「ＩＴリテラシーなどもっと基本的な素養という点で他の住人にかなり差をつけられている」（>>629）は、正しいね
16 ：: 1ヶ月前にも同じことを指摘されてるよね
P⇒Qが分からないなら正真正銘の中学レベルだよ

258 １３２人目の素数さん sage 2017/12/19(火) 07:54:14.39 ID:F1UbN7QE
>>255
> おれは、「”R－Bf は内点を持たない閉集合で被覆できる”の証明は、どこかの標準テキストにあるのか？」と聞いたんだけど？

（もうひとつ横レスだが言わせてくれ）

オマエは

１）定理1.7『A⇒B』が成立するためには『Aが真でなければならない』と思っているのか？（呆）

それとも

２）Rの一点部分集合｛0｝やQが『内点を持たない閉集合で被覆できる』ことが分からないのか？（呆）

率直に言って、君は数学に向いてないぞ
17 ：: A⇒Bが分からないのにガロン理論を読むのは無茶でしょ
何なのこのスレ
18 ：: >>14
どうも。スレ主です。

「
・ P が成り立つ
・「 P ならば Q 」が成り立つ

という2つの条件からは、無条件で

・ Q が成り立つ」

（前スレ180より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)

ここで
Q ：” f はある開区間の上でリプシッツ連続である”、かつ「R－Bfは、R中で稠密ではない」
という定理の主張だ

だから、前提Pとしては、「R－Bfは、R中で稠密」な場合は、除外されなければならない
∵前提Pとして、「R－Bfは、R中で稠密」な場合を入れると、命題自身に矛盾を含むことになる
19 ：: 数学以外でもボロクソに言われるスレ主
20 ：: 個々の命題がわからないのではなく、命題そのものがわかってないということですか
そりゃ数学以前だわ
21 ：: >>18
＞Q ：” f はある開区間の上でリプシッツ連続である”、かつ「R－Bfは、R中で稠密ではない」
＞という定理の主張だ

Q をそのように設定するのは冗長である。

Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続である

と置くだけでよい。「R－Bfは、R中で稠密ではない」という性質は、ここから自動的に出るからだ。
もちろん、「R－Bfは、R中で稠密ではない」という性質を Q の中に盛り込んでも間違いではないが、
盛り込んでも冗長になるだけである。
22 ：: >>18
＞だから、前提Pとしては、「R－Bfは、R中で稠密」な場合は、除外されなければならない
＞∵前提Pとして、「R－Bfは、R中で稠密」な場合を入れると、命題自身に矛盾を含むことになる

息をするように間違えるゴミクズ。言っていることが滅茶苦茶。キチガイ。
お前の今回の発言を丁寧に書くと、お前は次のように言っていることになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：「 P → Q 」という命題を作るときに、まず結論Qとして

Q：” f はある開区間の上でリプシッツ連続である”、かつ「R－Bfは、R中で稠密ではない」

と置いたとする。このとき、前提Pとしては、「R－Bfは、R中で稠密」な場合は、
除外されなければならない。すなわち、前提Pは

P： R－B_f は第一類集合であり、かつ、「R－Bfは、R中で稠密ではない」

という設定にしなければならない。でなければ、
「 P → Q 」という命題自身に矛盾を含むことになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

しかし、この理屈は、次の定理Cにも適用できてしまう。

定理C：
f：R→R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。

[続く]
23 ：: [続き]

上記の定理Cに対してお前の理屈を適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：「 P → Q 」という命題を作るときに、まず結論Qとして

Q： f は原点で連続である。

と置いたとする。このとき、前提Pとしては、「 f は原点で不連続である」場合は、
除外されなければならない。すなわち、前提Pは

P： f：R→R が原点で微分可能であり、かつ、「 f は原点で不連続ではない」

という設定にしなければならない。でなければ、
「 P → Q 」という命題自身に矛盾を含むことになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

しかし、このようにして作った「 P → Q 」という命題は、

「 f：R→R が原点で微分可能であり、かつ原点で不連続では無いならば、f は原点で連続である」

という自明な主張に過ぎず、もともとの定理Cとは完全に別物になっている。
しかし、スレ主によれば、このような形にしなければ命題自身に矛盾を含むことになるという。
特に、前提Pに「 f は原点で不連続である」場合を除外していない元々の定理Cは、
スレ主によれば「命題自身に矛盾を含んでいる」ことになる。

すなわち、スレ主は「定理Cは間違っている」と言っていることになる。

しかし、実際には、定理Cは正しいのであり、命題自身は何の矛盾も含まれていない。
矛盾しているのは、スレ主とかいうゴミクズの頭の中だけである。

明らかに、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。
レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。
24 ：: くどいようだが、スレ主の滅茶苦茶な理屈を、一般の「 P → Q 」に対しても書いておく。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：2つの命題 S, T があって、「 S ならば T 」という形の命題があるとする。
そこで、「 P → Q 」という命題を作るときに、まず結論Qとして

Q：T

と置いたとする。このとき、前提Pとしては、「 P: S 」だけではなく、
"￢T" の場合を除外しなければならない。すなわち、前提Pは

P： S かつ￢￢T

という設定にしなければならない。でなければ、
「 P → Q 」という命題自身に矛盾を含むことになる
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

すると、このようにして作った「 P → Q 」は「 (S かつ￢￢T) → T 」というものになる。すなわち、

「 (S かつ T) ならば T 」

というものになる。しかし、これは自明なことを言っているにすぎず、もともとの「 S ならば T 」とは
一般的には別物になってしまう。しかし、スレ主によれば、このような形にしなければ
命題自身に矛盾を含むことになるという。言い換えれば、前提部分に￢T を除外していない
任意の「 S ならば T 」に対して、スレ主はそれを「間違っている」と言っていることになる。

たとえば、スレ主は前述の「定理C」を「間違っている」と言っていることになるし、およそ全ての
自明でない形の「 S ならば T 」に対しても、スレ主は「間違っている」と言っていることになる。

控えめに言っても完全にキチガイである。
明らかに、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。
レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。
25 ：: >>15
ああ、こんなの（下記）があったが・・・
「Chromeで、google検索もどきに、スクリプトでほいほい」は、見つからなかったな。
「ＩＴリテラシーなどもっと基本的な素養という点で他の住人にかなり差をつけられている」ってことです、はい（＾＾

https://www.qoosky.io/techs/71dd2d67ea
Webブラウザの自動操作 (Selenium with Rubyの実例集)
[履歴] [最終更新] (2016/06/03 21:52:52)

http://d.hatena.ne.jp/heilig_zwei/20080329/1206790035
ウェブ自動巡回ボット-bot-の作り方 for Perl　初級編 taka222の日記 2008-03-29

https://forest.watch.impress.co.jp/library/software/dlsearchbee/
窓の杜 Download & Search Bee（EXE版）
v1.302（06/12/21）
検索機能を備えた自動巡回・ダウンロードソフト
対応環境： Windows 95/98/Me/NT/2000/XP

　強力な検索機能を備えたWeb自動巡回・ダウンロードソフト。指定したページやサイトを起点にリンク先を辿りコンテンツをローカルに保存するオートパイロットソフトとしての機能のほか、
自動巡回しながら各ページをキーワード検索し、ヒットしたページだけを抽出する機能を備えており、大手のWeb検索サイトよりも速報性の高いリアルタイムな検索エンジンとしても利用可能だ。
また、指定したファイルサイズ以上の画像ファイルをダウンロードする機能も備えており、画像の自動収集ソフトとしても利用できる。このほか、ダウンロードしたページを解析し、最も多くのページからリンクされている人気ページなどを調べることも可能。

作者名
クロノス・クラウン合同会社柳井政和　氏
公式サイト
http://crocro.com/

https://www.jstage.jst.go.jp/article/inforum/if39/0/if39_0_000028/_pdf
Web情報の自動収集と検索システムの構築：フリーソフト（Namazu）を利用した情報 ...
https://www.jstage.jst.go.jp/article/inforum/if39/0/if39_0_000028/_pdf
山口啓介著 - ?2002
表1 検索システム使用ソフトウェア. 名称. 機能. URL. Namazu. 全文検索 http://www.namazu.org/. Active Perl (*)Namazuを使用するために必要なソフト. 2-1 自動巡回ソフト. インターネット上で提供されている自動巡回ソ. フト約20本を比較検討した。
(引用終り)
以上
26 ：: >>22-24

"定理C：
f：R→R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。"で
もし、fとして、「原点で不連続である」という関数があれば、それは明白に定理Cの適用外でしょ？（それに定理Cを適用する？）

同様に、（前スレ >>643）
”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”
これで、系1.8の”有理数の点はR中で稠密”だから、あきらかに、定理1.7（>>18）の適用外だとろうと
27 ：: >>26
＞もし、fとして、「原点で不連続である」という関数があれば、それは明白に定理Cの適用外でしょ？（それに定理Cを適用する？）

息をするように間違言えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
もし、fとして「fは原点で微分可能だが、原点で不連続である」という関数があったとしても、
その f に対しても定理Cは適用範囲内である。なぜなら、

・ P が成り立つ
・「 P ならば Q 」が成り立つ

という2つの条件からは、無条件で

・ Q が成り立つ

という条件を導出してよいからだ。その結果として何が起こるかというと、fは原点で連続かつ不連続となって
矛盾するので、そのようなfは存在しないことが導かれる。これは数学的に正しい議論の仕方である。
あるいは、どうしても「適用」という言葉を使いたくないなら、ただ単に

「そのような f が存在したとすると定理Cに矛盾するので、そのような f は存在しない」

とだけ言えばよい。少し丁寧に書けば、

「そのような f が存在したとすると、Pは真なのにQは偽となるが、
　一方で定理Cにより "P ならば Q" が成り立つはずであるから、矛盾する。」

とでも言えばよい。

[続く]
28 ：: [続き]

＞これで、系1.8の”有理数の点はR中で稠密”だから、あきらかに、定理1.7（>>18）の適用外だとろうと

息をするように間違言えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
>>27 と全く同じ理由により、系1.8で存在性が仮定されている f に対して
定理1.7は適用可能である。なぜなら、

・ P が成り立つ
・「 P ならば Q 」が成り立つ

という2つの条件からは、無条件で

・ Q が成り立つ

という条件を導出してよいからだ。その結果として何が起こるかというと、R－B_f は R の中で
稠密であり、かつ稠密でないことになって矛盾するので、そのような f は存在しないことが導かれる。
これは数学的に正しい議論の仕方である。あるいは、どうしても「適用」という言葉を使いたくないなら、ただ単に

「そのような f が存在したとすると定理1.7に矛盾するので、そのような f は存在しない」

とだけ言えばよい。少し丁寧に書けば、

「そのような f が存在したとすると、Pは真なのにQは偽となるが、
　一方で定理1.7により "P ならば Q" が成り立つはずであるから、矛盾する。」

とでも言えばよい。

繰り返しになるが、お前は「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていない。
レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。
29 ：: >>26
＞もし、fとして、「原点で不連続である」という関数があれば、それは明白に定理Cの適用外でしょ？（それに定理Cを適用する？）

お前のこの発言については、次のように言ってもよい。

fとして、「fは原点で微分可能だが、原点で不連続である」という関数があったと仮定する。
普通の人間なら、ここで定理Cを適用し、そして矛盾を導くことで、「そのようなfは存在しない」と結論する。
しかし、お前の理屈によれば、このようなfは定理Cの適用範囲外であるという。

では、お前にとって、このようなfが存在しないことは一体どうやって導くつもりなのか？
定理Cを経由することなく、なにがしかの議論によって矛盾を導くことで、
このようなfが存在しないことを導くしかないわけだが、少なくとも、
定理Cの証明と同じ計算をなぞって矛盾を導くことは許されないぞ？
なぜなら、それは定理Cを適用したのと同じことだからだ。
しかし、定理Cの証明をなぞることが許されないなら、それは

「このようなfが存在しなことを原理的に決して導けない」

ことを意味する。なぜなら、それが導けた時点で、
それは論理的には定理Cの証明をなぞったのと同じことになり、
よって定理Cを適用したのと同じことになってしまうからだ。
お前はそれを禁止しているのだから、結局、お前にとって、
このようなfが存在しないことは導けないことになる。

導けるというなら、実際にやってみろ。つまり、定理Cを適用することなく、
また、定理Cの証明をなぞることもなく、このような f が存在しないことを導いてみろ。

30 ：: もうスレ主は数学やめろよ
見苦しいわ
31 ：: 補足になるが、もう1つ書いておく。

＞これで、系1.8の”有理数の点はR中で稠密”だから、あきらかに、定理1.7（>>18）の適用外だとろうと

お前がここでイチャモンをつけている内容は、

「本当は定理1.7が適用できない場面なのに、定理1.7を適用してしまっているのではないか？」

という内容に過ぎない。これは明らかに、定理1.7の「適用方法」に関する話に過ぎなくて、
定理1.7の「成否」に関する話とは別物である。
つまり、お前はいつの間にか、定理1.7の「成否」に関する話を忘れてしまっている。
にも関わらず、お前の書き込みを見ると、どうもお前は両者を混同し、

「定理1.7の "適用方法" にイチャモンをつけているだけなのに、定理1.7自体を否定しているつもりになっている」

ように見受けられる。両者は別物であることをきちんと理解せよ。ちなみに、定理1.7の適用方法については、
上のレスで何度も述べているように、「適用の仕方は正しい」ので、お前のイチャモンは却下される。
また、定理1.7自体の成否についてであるが、定理1.7は「正しい」。お前がいつまでも証明から逃げているだけ。

あるいは、別の言い方をすると、次のように言ってもよい。
おそらく両者を混同しているお前は、定理Cに対しても同様の理屈を使うことができて、
お前は次のように発言していることになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：「fは原点で微分可能だが、原点で不連続である」という関数に対しては、
定理Cは適用できないので、定理Cは間違っている。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

この発言は、次の2つの意味で間違っていることを注意しておく。

・定理Cの適用方法が正しいか否かという話と、定理Cそのものの成否の話を混同しているところが間違っている。
・そのような f に対しても実際には定理Cは適用可能なので、その点でも間違っている。
32 ：: >>31
>お前がここでイチャモンをつけている内容は、
>「本当は定理1.7が適用できない場面なのに、定理1.7を適用してしまっているのではないか？」

確かに
そういう面はあるかな

もう一度整理しよう
元々は、”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”（>>26）を言いたいわけだ

で、”有理数の点はR中で稠密”は明らか

定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)

で、稠密でないが、可算無限濃度のR－Bfの場合には、この定理が成り立つ
その例として、前スレ>>376に書いたのだが
”The modefied ruler function f is defined by
f(x) = 0 if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0　　 if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/q^ν if q< m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに、ν>=0の実数とする”

つまり、ｑをある有限のｍ未満の場合のみf(x) = 1/q^νとし、それ以外は０とすれば、R－Bfは可算無限濃度。この場合、開区間は取れる。
で、ｍ→∞ の極限で、R－Bfは稠密になる。この場合、開区間は取れない。

なので、定理1.7は、稠密の場合なにも言っていないし、系1.8の適用外。
33 ：: >>32
何1つとして話が整理できていない。話が滅茶苦茶。本当にキチガイ。問題外。
m→∞ とすることで、お前は一体なにを言いたいのか？

「系1.8の関数 f に対して定理1.7を適用することは間違っている」

という、"適用方法" の話をしたいのか？それとも、

「定理1.7そのものが間違っている」

という話をしたいのか？
未だにお前は、両者を混同しているのではないか？

以下、2つの話題に分けてレスを返すことにする。

[続く]
34 ：: [続き]

「系1.8の関数 f に対して定理1.7を適用することは間違っている」… (*)

という話をしたい場合について。まず、>>32 において m→∞ としたときの極限関数を、
ここでは g と書くことにする。すなわち、
――――――――――――――――――――――――――――――
g(x) = 0 if x is irrational,
g(0) = 1, and
g(x) = 1/q^ν if x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに、ν>=0の実数とする
――――――――――――――――――――――――――――――

というものである。すると、この関数 g は

https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1513201859/540

を満たすので、R－B_g は第一類集合にならず、定理1.7 の適用範囲外になる。

従って、ただ単に「定理1.7の適用範囲外である」という話をしたいだけならば、
確かにこの g は定理1.7の適用範囲外である。しかし、前提を忘れてはいけない。
ここでの話は、あくまでも冒頭の(*)である。すなわち、

「系 1 . 8 の関数 f に対して定理1.7を適用することは間違っている」

という話をしたいのである。すなわち、g ではなく、あくまでも系1.8の関数 f に対して、
定理1.7が適用可能なのか否かを議論しなければならないのである。

[続く]
35 ：: [続き]

すると、系1.8で仮定されている f は、R－B_f が第一類集合なのであるから、
この f に対しては、定理1.7は適用可能である。なぜなら、

・ P が成り立つ
・「 P ならば Q 」が成り立つ

という2つの条件からは、無条件で

・ Q が成り立つ

という条件を導出してよいからだ。その結果、R－B_f は R の中で稠密であり、
かつ稠密でないことになって矛盾するので、そのような f は存在しないことが導かれる。
これは数学的に正しい議論の仕方である。

以上より、ここでのお前の間違いは、次のようなものとなる。

・系1.8 の関数 f に定理1.7が適用できるか否かを話そうとしていたのに、いつの間にか、
　f とは無関係の別の関数 g を持ち出し、その g に対して定理1.7 が適用できないことを
　述べてしまい、f と g を混同することで、f に対しても「定理1.7は適用できない」と
　勘違いしてしまった。

[続く]
36 ：: [続き]

次に、「定理1.7そのものが間違っている」という話をしたい場合について。

この場合、上記の極限関数 g は、R－B_g が第一類集合にならず、
定理1.7 の適用範囲外になる。よって、g は定理1.7の反例になり得ない。
また、g 以外には、反例になり得る関数の具体例が提示されていない。

よって、「定理1.7そのものが間違っている」という話をしたい場合については、
お前は定理1.7を否定できていない。

よって、いずれの話においても、お前は何1つとして否定できていない。

[続く]
37 ：: [続き]

＞なので、定理1.7は、稠密の場合なにも言っていないし、系1.8の適用外。

ここでのお前の発言を「定理C」の場合に適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：定理Cでは、前提が「fは原点で微分可能である」
というものであり、結論が「fは原点で連続」というものであるため、
fが原点で不連続である場合については何も言っていない。よって、
定理Cは、「fは原点で微分可能であり、原点で不連続である」
ようなfに対しては適用外である。
――――――――――――――――――――――――――――――

↑これが、お前の言っていることである。

そこで、「fは原点で微分可能だが、原点で不連続である」という関数fがあったと仮定する。
すると、上記の繰り返しになるが、お前の理屈によれば、このようなfは定理Cの適用範囲外になる。

では、お前にとって、このような f が存在しないことは一体どうやって導くつもりなのか？
このあとは>>29と全く同じなので、スレ主は>>29に返答せよ。
38 ：: なお、適用可能性に関するスレ主の勘違いの原因が分かったかもしれないので、補足として書いておく。

＞もし、fとして、「原点で不連続である」という関数があれば、それは明白に定理Cの適用外でしょ？（それに定理Cを適用する？）

まず、繰り返しになるが、もしfとして「fは原点で微分可能だが、原点で不連続である」
という関数があったとしても、その f に対しても「定理C」は適用範囲内であることを
改めて述べておく。なぜなら、

・ P が成り立つ
・「 P ならば Q 」が成り立つ

という2つの条件からは、無条件で

・ Q が成り立つ

という条件を導出してよいからだ。その結果として何が起こるかというと、
fは原点で連続かつ不連続となって矛盾するので、

「そのようなfは存在しない」

ことが導かれる。しかし、ここでスレ主は、

「 "P ならば Q" を適用したら矛盾が起きたのだから、"P ならば Q" は実際には適用できない」

という勘違いをしたのではないだろうか？
背理法によって否定される命題は、最初に仮定した部分である。この例では、
「そのようなfが存在すると仮定する」の部分が背理法によって否定されるのである。
にも関わらず、スレ主はそこではなく「 "P ならば Q" を適用した」という部分を
勝手に否定しようとしているのではないか？しかし、これでは背理法が正しく使えていない。

スレ主の勘違いは、このようなものなのではないか？
39 ：: どこをどう勘違いしてるかまで考えてもらってスレ主は幼稚園児か？
40 ：: スレ主へ
これ↓、マジメに読んでみ
https://www.amazon.co.jp/大人のための国語ゼミ-野矢-茂樹/dp/4634151219

スレ主に不足してる能力を補えるかも
41 ：: おっちゃんです。
戻って来ました。
2、3日の間しようもない考え方をする人間を相手にしてしまった。
カキコは明日以降。

じゃ、もうおっちゃん寝る。
42 ：: 前スレ>>643
たぶんあなたはBfの中に開区間が取れるわけがないと思い込んでいると思いますよ
証明をした人が書いてくれているように
Bfの中にあることは重要ではないし
Bfの中にあって別に困ることもないのです
R-Bfが可算集合でしかもRで稠密であるようなfが存在しないからですよ
43 ：: 結論だけ理解しようと思わずに
定義を理解し例によって本質を理解していく
地道な勉強を続けていくことが重要ですよ
44 ：: >>42-43
その声は、「ぷふ」さんかな？（＾＾
おっちゃんも、なにをトチ狂ったか、”成り済まし”をするとか、他のスレで自分の勘違いを書くから困っているのだが・・（＾＾

それはさておき、本題
「ぷふ」さんも、あの定理と証明を支持しているんだね？

だが、納得できない
えーと、>>32に書いたように、

”The modefied ruler function f is defined by
f(x) = 0 if x is irrational,
f(0) = 1, and
(さらに有理数で場合けして)
f(x) = 0　　 if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/q^ν if q< m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
ここに、ν>=0の実数とする”

で、無理数（irrational）の場合が、f(x) = 0は全くいずれの場合も不変
で、有理数で場合けして、上記のように、
ｑをある有限のｍ未満の場合のみf(x) = 1/q^νとし、それ以外は０とすれば、R－Bfは可算無限濃度。この場合、開区間は取れる。
で、ｍ→∞ の極限で、R－Bfは稠密になる。この場合、開区間は取れない。

この数理の変化を、定理1.7は全く捕捉できていないと思うよ

つづく
45 ：: >>44 つづき

また、f(x) = 1/q^νのνによっても状況が変わる。

ν＝０ならいわゆるディリクレ関数で、R全域で不連続
ν＝１ならいわゆるトマエ関数で、R全域で連続だが、微分不可
ν＞＝２なら、R全域で連続に加え、至ところ微分可だが、非可算濃度の微分不可の集合が無理数内に残る
ν＞＝２なら、R全域で連続に加え、至ところ微分可だが、非可算濃度の微分不可の集合が無理数内に残る

そして、指数νを２よりどんどん大きくし、あるいはf(x) = 1/w(q) で関数w(q) を冪乗より急増大にとることに、非可算濃度の微分不可の集合をルベーグ測度０（ハウスドルフ次元０）にできる
その数理は、無理数を決めるコーシー列の性質によるのであって
無理数が代数的数のような、トゥエ・ジーゲル・ロスの定理
（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%82%A5%E3%82%A8%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ）が適用できる場合は、微分可能になり
無理数がリュービル数のような、性質の場合は、ずっと最後まで、微分不可の集合として残る

これらの変化は、R－Bfが稠密な場合にのみ起こり、かつ、有理数側のf(x) = 1/w(q)が、全体の連続 or 不連続、あるいは、微分可能 or 不可能を支配している
だが、定理1.7とその証明には、ここらの数理は全く反映されていない

つづく
46 ：: >>45 つづき

さらに、定理1.7とその証明には、上記で言えば、「f(x) = 0」の無理数側の関数の性質しか使われておらず、
有理数側のR－Bfの関数値 f(x) = 1/w(q)の性質は（ここでは、急増大のみならず、冪乗の場合も含意するとして）全く不問の上、そのR内の分散状況も稠密か否かも不問だ

で、私は、”証明をした”から「f : R → Rは、ｘｘｘの性質を持つ」とは、考えない。
逆に、「f : R → Rは、ｘｘｘの性質を持つ」から、証明が可能だと、考える。
本来、「f : R → Rは、ｘｘｘの性質を持つ」べきではないにも関わらず、それを肯定する証明をした。ならば、証明が間違っていると思いますよ

上記の
"f(x) = 0　　 if q>= m, x = p/q ∈Q
f(x) = 1/q^ν if q< m, x = p/q ∈Q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.”
で、m→∞ としたときは、R－Bfは有理数のＱ全体になり、本来のディリクレ関数なり、トマエ関数なり、the modefied ruler function になるのだが
有理数側のf(x) = 1/w(q)の性質や、稠密かそうでないかをすっ飛ばした定理や証明は、数理に反していると思いますよ

以上

おいおい証明にも、踏み込んでいくつもりだが、まず、入り口でしっかり議論をしておきたい
47 ：: >>41

おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃん、一つ忠告しておくが、自分が理解できないことを、私が書いたときに、「デタラメを書いている」と言わない方がいいぜ

大体、私スレ主の書いていることは、殆どがどこかのそれなりのサイトや論文からのコピペだ。まあ、カンニングですよ。で、大概それ（論文とか引用サイトとか）は正しいし、また私が正しいと思った部分のコピペでもある
なので、繰返すが、それ（書いていること）をおっちゃんが（正しく）理解できていないだけのことだよ

それと、成り済ましは、おっちゃんの思い違いだよ（＾＾
48 ：: >>45 訂正

ν＞＝２なら、R全域で連続に加え、至ところ微分可だが、非可算濃度の微分不可の集合が無理数内に残る
ν＞＝２なら、R全域で連続に加え、至ところ微分可だが、非可算濃度の微分不可の集合が無理数内に残る

（ダブり１行削除）
49 ：: >>44
＞で、ｍ→∞ の極限で、R－Bfは稠密になる。この場合、開区間は取れない。
＞この数理の変化を、定理1.7は全く捕捉できていないと思うよ

論理が滅茶苦茶。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。

定理1.7の前提Pは「 R－B_f は第一類集合」というものなのだから、
定理1.7が捕捉する性質は、R－B_f が第一類集合になっているような
関数 f に対する性質のみである。R－B_f が第一類集合にならないような
f に対する性質は、当然ながら定理1.7では捕捉されない。

・ m→∞ の極限を取る前のそれぞれの f について、R－B_f は第一類集合なのだから、
　定理1.7により、fはある(a.b)の上でリプシッツ連続になる。すなわち、
　このような関数 f に対する性質は、きちんと定理1.7で捕捉できている。

・極限を取ったあとの極限関数 g について、R－B_g は第一類集合ではないのだから、
　この g は定理1.7の適用範囲外であり、g がある(a,b)の上でリプシッツ連続になるような
　 (a,b)が取れるか否かは、定理1.7をいくら見ても全く判明しない。
　実際、R－B_g は R の中に稠密に分布するので、そのような(a,b)は取れないことになる。
　お前はここで「定理1.7は関数 g の性質を捕捉していない」とほざいているようだが、
　 g は定理1.7の適用範囲外なのだから、そのような関数の性質が定理1.7で
　捕捉されていないのは当たり前の話であり、そのこと自体は何の批判にもなっていない。
　つまり、お前が言っていることは的外れ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
50 ：: >>45
＞だが、定理1.7とその証明には、ここらの数理は全く反映されていない

当たり前である。なぜなら、お前が>>45で持ち出してる「 ruler function の類似品」は、
どれも R－B_f が第一類集合になっておらず、定理1.7の適用範囲外だからだ。
そのような、定理1.7の適用範囲外であるような関数を持ち出してきて、

「定理1.7にはこれらの関数の性質が反映されていない」

などと言ったところで、

「それらの関数は定理1.7の適用範囲外なのだから、それらの関数の性質が定理1.7に
　反映されてないのは全く不思議なことではないし、そのこと自体は何の批判にもなってない」

としか言いようがない。つまり、お前が言っていることは的外れ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
51 ：: >>46
＞さらに、定理1.7とその証明には、上記で言えば、「f(x) = 0」の無理数側の関数の性質しか使われておらず、
＞有理数側のR－Bfの関数値 f(x) = 1/w(q)の性質は（ここでは、急増大のみならず、冪乗の場合も含意するとして）
＞全く不問の上、そのR内の分散状況も稠密か否かも不問だ

お前のその理屈を定理Cに当てはめると、お前は次のように言っていることになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：定理Cでは、f：R→R が原点で微分可能という条件だけが
前提Pに出現しており、fの原点での連続性は不問になっている。
それにも関わらず、結論Qでは、fはいきなり原点で連続ということになっている。
これは極めて怪しい。定理Cはおそらく間違っている。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑いかにお前がバカな発言をしているかが分かるだろう。
結局お前は、「 P ならば Q 」の形をした命題全般について、正しく認識できていないのである。
レベルが低すぎる。問題外。キチガイ。
52 ：: >>46
＞で、m→∞ としたときは、R－Bfは有理数のＱ全体になり、本来のディリクレ関数なり、
＞トマエ関数なり、the modefied ruler function になるのだが
＞有理数側のf(x) = 1/w(q)の性質や、稠密かそうでないかをすっ飛ばした定理や証明は、
＞数理に反していると思いますよ

息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。

・ R－B_f が第一類集合であるならば、そのような f が持っている性質は定理1.7で捕捉できる。
・ R－B_f が第一類集合で無いならば、そのような f が持っている性質は定理1.7で捕捉できない。

・ m→∞ の極限を取る前のそれぞれの f について、R－B_f は第一類集合なのだから、
　定理1.7により、fはある(a.b)の上でリプシッツ連続になる。すなわち、
　このような関数 f に対する性質は、きちんと定理1.7で捕捉できている。

・極限を取ったあとの極限関数 g について、R－B_g は第一類集合ではないのだから、
　この g は定理1.7の適用範囲外となる。よって、定理1.7がこの g の性質を
　捕捉できていなくても、何の批判にもなってない。

結局、お前が持ち出した例でも、定理1.7で捕捉できる部分はきちんと捕捉できているし、
定理1.7の適用範囲外になっている部分は定理1.7では必ずしも捕捉されない。
すなわち、お前が言っていることは何の批判にもなっていない。
53 ：: おそらくお前は、m→∞ の極限操作を介入させることで、極限を取る前の f の性質と、
極限を取ったあとの g の性質を無意識のうちに混同してしまっており、

「 f の性質は定理1.7で捕捉できたのだから、g の性質も定理1.7で捕捉できなければ直観的におかしい」

などと勘違いしているのであろう。実際には、

・ f の性質は定理1.7で捕捉できる。なぜなら、R－B_f は第一類集合であり、定理1.7の適用範囲内だからだ。
・ g の性質は定理1.7で捕捉できない。なぜなら、R－B_f は第一類集合では無く、定理1.7の適用外だからだ。

という状況になっているので、定理1.7で捕捉できる部分はきちんと捕捉できているし、
定理1.7の適用範囲外になっている部分は定理1.7では必ずしも捕捉されないという
当たり前の状況が起こっているだけである。

すなわち、お前が言っていることは何の批判にもなっていない。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
54 ：: >>44
>だが、納得できない
証明を読みましょう
55 ：: 悪いこと言わないからスレ主は数学やめろ
醜態を晒しては罵倒される、その繰り返しになるだけだ
何故ならお前は数学の基礎の基礎の基礎ができていないからだ
56 ：: >>44
>えーと、>>32に書いたように、
そのfは定理の条件を満たさないので
証明をした人の書いているようにどうでもいいのです
57 ：: 証明を書いた ID:crs96i06 さんの分析は的確ですので
真摯にその指摘を確認することをお勧めします
58 ：: 寝る前に1つ。

さて、前スレで既に書いたように、これからも返答を続けるかは気分次第である。
俺の方はやる気がなくなってきており、スレ主とかいうゴミクズの相手をするのが
バカらしくなってきているからだ。

とりあえず、これからは毎週日曜日だけ書き込むことにしてみようと思う
(日曜日は進むペースが早い傾向にあるので)。

ただし、1週間もブランクがあるとさらにやる気がなくなっているはずなので、
1週間後に俺がこのスレに出現するかはそのときの気分次第であることを先に注意しておく。
59 ：: >>44
>>47
おっちゃんです。
>おっちゃんも、なにをトチ狂ったか、”成り済まし”をするとか、他のスレで自分の勘違いを書くから困っているのだが・・（＾＾
A：スレ主は、このスレでIDを変えて
現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
だっか何れにしろ同じコテハンで、同じ日にレスをしたことが何度かある。
これは既に成り済ましをしている裏付けとなり得る状況証拠になる。
まさか、スレ主の他に同じコテハンを用いて同じような間違いをしたりコピペをしたりしてレスをして、
スレ主のマネをする人がいるとはいえまい。そんなことをするメリットが見付からない。
見付かるのは、例えば性格が悪いスレ主と同一人物と思われる、といったようなデメリットの方だけ。

B：スレ主はこのコテハンで「ぷっ」と書いたことが何度かあり、
「ぷ」君とスレ主は時枝問題で箱の中の実数を当てる確率を0として間違えている。
このように、「ぷ」君とスレ主が同一人物であるといい切るには
こちらはまだ完全な状況証拠というには不十分な状態だが、「ぷ」君とスレ主には時枝問題において共通点がある。

もしかしたら A、B の他にも成り済ましをしている裏付けとなる状況証拠はあるかも知れないが、
少なくとも、Aの方は既に成り済ましの裏付けとなる状況証拠になっている可能性が非常に高い。
60 ：: IDを変えてレスしていることは尤もらしいと思われる。
何せ、同じ日に同じコテハンを用いてIDを変えて書いた上での
あの「ぷっ」の一言で終わったレスがあるのでね。
61 ：: じゃ、おっちゃん寝る。
62 ：: ＞B：スレ主はこのコテハンで「ぷっ」と書いたことが何度かあり、
＞「ぷ」君とスレ主は時枝問題で箱の中の実数を当てる確率を0として間違えている。
これは言い逃れ出来ないな
63 ：: >>62
ぷ
64 ：: >>57
>証明を書いた ID:crs96i06 さんの分析は的確ですので
>真摯にその指摘を確認することをお勧めします

「ぷふ」さん、どうも。スレ主です。
確かに、 ID:crs96i06 さんはレベルが高いが、納得できないものは納得できないのでね。悪しからず（＾＾

だが、いま、”The Straddle Lemma”を調べている
これ、面白いね。和文では、検索ヒットしないが・・

下記が見つかった。1960’s に Kurzweil and Henstock さんたちが、新しい、かつ分り易い、リーマン積分の拡張を考えたみたいだね
それに使われたようだ。ID:crs96i06 さんは、よくこんなものを勉強しているね（日本なら”ハナタカ”だろう）

あと、関連で、この文書自身は、シカゴ大のVIGREという数学の教育から研究までのvertical integrationの活動の一環に関連している文書らしいね

http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2006/PAPERS/Herschlag.pdf
Greg Herschlag: A brief introduction to gauge integration (pdf)
(抜粋)
1. Introduction
　Traditional Riemann integration, while powerful, leaves us with much to be
desired. The class of functions that can be evaluated using Riemann’s technique, for
example, is very small. Another problem is that a convergent sequence of Riemann
integrable functions (we will denote this class of functions as R-integrable) does not
necessarily converge to an R-integrable function, and furthermore the fundamental
theorem of calculus is not general- that is to say when integrating a function f
we often find a function F such that F' = f and ∫ b, a f = F(b) ? F(a) to evaluate.
The problem with the Riemann technique is that f may have a primitive F but
that does not guarantee that it is R-integrable which prevents us from applying
the above equation. There have been many steps to cover and fix the holes left
by Riemann.

つづく
65 ：: >>64 つづき

　Lebesgue, Perron, and Denjoy all made major advancements in the
theory of integration; the later two generalized the fundamental theorem of calculus,
fixing the latter problem. The techniques they used, however, were inaccessible and
complicated.
　In the 1960’s Kurzweil and Henstock came up with a new integration technique
that is so powerful it includes every function the others can integrate. The technique
had the added advantage of being simple, requiring only slightly more effort to learn
than the Riemann integral. There was in fact a (failed) movement to replace the
teaching of the Riemann integral with that of the Kurzweil-Henstock integral (also
called generalized Riemann integral and gauge integral). This paper will serve as
a brief introduction to the power and simplicity behind this relatively modern idea
that simplifies and strengthens of one of the corner stones of analysis.
　Before continuing it is important to acknowledge and note that all of the ideas
of this paper are drawn from Robert G. Bartle’s A Modern Theory of Integration.
The purpose of the paper is to spread awareness of gauge theory and Bartle’s book
which is a wonderful resource for learning this new method.

The Straddle Lemma
We will use this lemma to prove one of the following theorems.
Lemma 4.3. Straddle Lemma. Let F : I → R be differentiable at a point t ∈ I.
Given ε there exists ε(t) > 0 such that if u, v ∈ I satisfy
t ? δε(t) <= u <= t <= v <= t + δε(t) (4.3)
then we have
|F(v) ? F(u) ? F'(t)(u ? v)| <= ε(v ? u) (4.4)

つづく
66 ：: >>65 つづき

（関連）
http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/
VIGRE at the University of Chicago Department of Mathematics
(抜粋)
In the summer of 2008, our VIGRE program began its ninth year. An introductory overview, written in 1999, gives some background.
The vertical integration of education and research has been an explicitly articulated feature of our approach to mathematics education since the early 1970's.
The first eight years of our VIGRE program have seen a substantial expansion of activities based on this philosophy.
http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/OVERVIEW.pdf
(引用終り)

http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/
For more detailed information on past and upcoming REU's, visit the links below.

http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGREREU2006.html
University of Chicago VIGRE REU 2006

以上
67 ：: >>58
>とりあえず、これからは毎週日曜日だけ書き込むことにしてみようと思う
>(日曜日は進むペースが早い傾向にあるので)。

是非そうしてくれ（＾＾
かつ、ペースは落としてくれ

こちらはこちらで進める
証明には、順次入っていくので、ご心配なく（＾＾
68 ：: >>59
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE
>だっか何れにしろ同じコテハンで、同じ日にレスをしたことが何度かある。

どこかできちんと書いているが、いま職場と自宅とアクセスポイントは二つあるので、同じ日でＩＤが二つ出ることは当然だ
そのことは、以前に書いたよ

そして、そのためのコテハンとトリップだろ（＾＾
おっちゃんらいし外し方だな（＾＾
69 ：: >>60 & >>62
ぷ
70 ：: >>68
どこかできちんと書いているが、いま職場と自宅とアクセスポイントは二つあるので、同じ日でＩＤが二つ出ることは当然だ

スレ主と同じ職場は最悪だろうな～
人の話しはちゃんと聞けない（＾＾
ドキュメントはちゃんと読めない（＾＾
論理だってない主張を言いまくる（＾＾
他人のあげあししか取れない（＾＾
ダメ社会人の見本
71 ：: >>70
ぷ
いま職場から（＾＾
72 ：: ああ、コテとトリップ抜けたな（＾＾
73 ：: Jane Styleを使っていてね
これだと、コテハンとトリップは、一度入れると、あとは自動なんだ
が、新スレの最初は忘れることがよくあるんだ

https://ja.wikipedia.org/wiki/Jane
(抜粋)
Jane（ジエーン）は、Microsoft Windowsで動作する2ちゃんねるブラウザである。2ちゃんねる改名後の2ちゃんねるに対応するJane Styleなど、派生作についても記述する。
(引用終わり)
74 ：: なので、コテハンとトリップを
つけたり外したり
そんな面倒なことはしないよ（＾＾
75 ：: >>25 補足
>「Chromeで、google検索もどきに、スクリプトでほいほい」は、見つからなかったな。
>「ＩＴリテラシーなどもっと基本的な素養という点で他の住人にかなり差をつけられている」ってことです、はい（＾＾

「浪人」とか、使っていて、有料なんだけど
エロ広告が出ないので、快適です～（＾＾

で、Jane Styleなので、大体スレは固定で巡回するんだ
巡回先以外のスレは、あまり行かないんでね

Jane Styleとgoogle検索に頼り切っているので、それ以外のＩＴリテラシーは劣るだろうね～（＾＾

https://info.2ch.sc/index.php/%E6%B5%AA%E4%BA%BA
「浪人」は２ちゃんねるを快適に利用するためのツールです。
76 ：: >>70
何を言いたいのか知らないが
世間を知らないんだろうね

時枝にしろ、この定理1.7にしろ、納得できないから出来ないと言っているだけ
まあ、マジレスすれば、数学でも人生もそうだけど

「ぐっと丸呑みしないと先に進めない」場面と
「右顧左眄して空気読むばかりじゃ、人から信用されない」場面とがあるんだよ

あと、専門性な。自分の専門分野で、人の顔色と空気読んでちゃ、だれも信用しないよ
自分が何か人に負けない専門性を持っているかどうか？あなたは、数学でそれが言えるのかい？

まあ、勉強の途中なら、「ぐっと丸呑みして」先に進まないと、行けない場面が多いが
だが、レベルが上がると、それだけではいけない。納得できない点は、とことん追求する。

そこから、例えば、大先生の書いた論文で、皆が見逃していた新しい視点が見つかったりするときもあるよ
定理1.7の人が、系1.8の英文数学掲示板の証明が納得できないからと、別証明を考えたのもそれで、それが定理1.7だ

で、あなたは、定理1.7をほいほいと納得しているのかね？
自分の立ち位置をきちんと表明してから、自分の意見を述べたらどうかね？

なお、職場は、仲良しクラブじゃない
必要もなく喧嘩ばかりすることはダメだが、必要以上に右顧左眄して空気読む人も信用されないよ
77 ：: まあ、気楽な職場でね
ヒマがあるときは、こうやって２chも可能なんだ（＾＾
78 ：: >>64 補足

まあ、定理1.7だけじゃ、面白くもなんともない
”The Straddle Lemma”とか、面白いよね
それに、ruler functionとか、ディオファントス近似とか、いろいろ絡んでいるところが、面白いと思っているんだ（＾＾
79 ：: Lindenstrauss フィールズ賞 2010に関する日本語解説文献を探しているが、さっぱりヒットしないね
Villani先生はヒットしたので、貼っておく

https://www.jstage.jst.go.jp/article/bjsiam/22/2/22_KJ00008113424/_article/-char/ja
J-STAGEトップ/応用数理 / 22 巻 (2012) 2 号 / 書誌
角切断近似をしないボルツマン方程式 : 解の存在理論と正則化理論森本芳則
https://www.jstage.jst.go.jp/article/bjsiam/22/2/22_KJ00008113424/_pdf/-char/ja
(抜粋)
特異性をもつ衝突積分項については1970年代
のPao ［9］の研究以来t その擬微分作用素的な性質
が指摘されてきたが2000 年に入り，C．Villani
（2010 年フィールズ賞受賞〉を含む研究者等［1]に
よりその積分作用素としての詳細な性質が明らか
になった．

ハードボテンシャル（γ ＞ 0）の場合，Villani解
がのを任意のTo ＞ 0 に対してみたすことが知ら
れている．
80 ：: >>79 つづき

Lindenstrauss フィールズ賞 2010に関する日本語解説文献を探しているが、さっぱりヒットしない
仕方ないので下記でも

要は、リトルウッド予想の部分解決だが、大きな進歩をもたらしたということだ
http://gakumon-matomeread.doorblog.jp/archives/26583821.html
代数学・幾何学・解析学スレッドカテゴリ数学
(抜粋)
34：１３２人目の素数さん 2010/09/11(土) 19:59:30 ID:
リトルウッド予想結局解けてないのにフィールズ賞か

36：１３２人目の素数さん 2010/09/12(日) 20:28:21 ID:
別にLindenstraussの業績がそれだけじゃないけど
彼のLittlewood conjectureへの貢献は部分的なものだったんだなと
(引用終り)

https://en.wikipedia.org/wiki/Littlewood_conjecture
(抜粋)
Partial results

Borel showed in 1909 that the exceptional set of real pairs (α,β) violating the statement of the conjecture is of Lebesgue measure zero.[2]
Manfred Einsiedler, Anatole Katok and Elon Lindenstrauss have shown[3] that it must have Hausdorff dimension zero;[4] and in fact is a union of countably many compact sets of box-counting dimension zero.
The result was proved by using measure classification theorem for diagonalizable actions of higher-rank groups, and an isolation theorem proved by Lindenstrauss and Barak Weiss.

These results imply that non-trivial pairs satisfying the conjecture exist: indeed, given a real number α such that inf _{n>= 1}n・ ||nα ||>0 , it is possible to construct an explicit β such that (α,β) satisfies the conjecture.[5]

3^ M. Einsiedler; A. Katok; E. Lindenstrauss (2006-09-01). "Invariant measures and the set of exceptions to Littlewood's conjecture". Annals of Mathematics. 164 (2): 513?560. arXiv:math.DS/0612721?Freely accessible. doi:10.4007/annals.2006.164.513. MR 2247967. Zbl 1109.22004.
https://arxiv.org/abs/math.DS/0612721
(引用終り)

つづく 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:f2c519fe5384e767e1c9e99abdcfc293)
81 ：: >>80 つづき

ドイツ版にも書いてあるね
https://de.wikipedia.org/wiki/Elon_Lindenstrauss
Elon Lindenstrauss
(抜粋)
Leben

Lindenstrauss arbeitet in der Anwendung der Ergodentheorie in der Zahlentheorie und bewies 2006 mit Anatole Katok und Manfred Einsiedler, dass die Vermutung von John Edensor Littlewood uber gleichzeitige diophantische Approximation zweier reeller Zahlen, nur fur eine Menge von Paaren auserhalb einer Menge von Hausdorff-Dimension null nicht gelten kann.[2]
Littlewoods Vermutung (von etwa 1930) lautet: Fur jedes Paar reeller Zahlen α α } α und α β} β ist der Limes inferior

　liminf _{n → ∞ } n||nα|| ||nβ||=0,

wobei ||x|| den Abstand von x zur nachsten ganzen Zahl bezeichnet. Sie macht also eine Aussage uber die Gute der Approximation zweier reeller Zahlen durch rationale Zahlen mit gleichem Nenner oder geometrisch zur Annaherung von (nα ,nβ) ∈ R^2 an Z^2.
Der Beweis ist auch wegen der verwendeten neuen Methoden von Bedeutung. Auserdem bewies Lindenstrauss die ?Quantum Unique Ergodicity Conjecture“ (QUE, von Peter Sarnak, Zeev Rudnick 1991) fur arithmetische hyperbolische Flachen (Maassche Wellenformen).
(引用終り)

以上
82 ：: >>64 ”The Straddle Lemma”関連

(参考)
http://classicalrealanalysis.info/documents/2323311.pdf
on the Fundamental Theorem of Calculus - ClassicalRealAnalysis.info
classicalrealanalysis.info/documents/2323311.pdf
このページを訳す
EBYJP HUTCHINSON 著 - ?関連記事
2015/01/21 - E(v - z) + e(z - u) = e(v - u). The geometric interpretation of the Straddle Lemma is clear. If the points u and v "straddle" z, then the slope of the chord between the points (u, f(u)) and. (v, f(v)) is close to the slope of the tangent line at (z, f(z)).
THEOREM 4 (FUNDAMENTAL THEOREM OF CALCULUS). If F: [a, b] o- R is dif- ferentiable on [a, b], then F' is gauge integrable over [a, b] and JfbF' = F(b) - F(a). Proof. Let e > 0. For z E [a, b], let 8(z) > 0 be the 8 given by the Straddle.

http://classicalrealanalysis.info/documents/2323311.pdf
THE TEACHING OF MATHEMATICS EDITED BY JOAN P. HUTCHINSON AND STAN WAGON
More on the Fundamental Theorem of Calculus
CHARLES SWARTZ Department of Mathematics, New Mexico State University,
BRIAN S. THOMSON Department of Mathematics, Simon Fraser University, Burnaby, B. C., Canada
The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988)
(抜粋)
LEMMA 3 (STRADDLE LEMMA). Let F: [a, b] - R be differentiable at z ∈ [a, b].
Then for each ε > 0, there is a δ > 0 such that |F(v) - F(u) - F'(z)(v - u) | < ε(v -u),
whenever u < z < v and [u, v] ⊆ [a, b] ∩ (z - δ, z + δ).

つづく
83 ：: >>83 つづき

As can be seen from the definition, the gauge integral has very much the same flavor as the Riemann integral, being obtained from a slight modification of the Riemann integral, and does not require a lot of technical apparatus for its introduction as is the case for the Lebesgue integral.
However, despite the elementary appearance of the gauge integral, it leads to a very powerful theory of integration which encompasses the Riemann integral, the Cauchy-Riemann (improper Riemann) integral, and the Lebesgue integral.
For this reason, the gauge integral would seem to be a very reasonable candidate for inclusion in an introductory real analysis course; it is as conceptually easy to describe as the Riemann integral and yet possesses all of the powerful properties of the Lebesgue integral including the Monotone and Dominated Convergence Theorems.
Remarkably, this simple modification of the Riemann integral was not introduced until approximately a century after Riemann's introduction of his integral in 1854.
The gauge integral was independently introduced by Kurzweil [6] and Henstock [4]; Kurzweil used the integral to treat some questions in ordinary differential equations but did not develop any of the deep properties of the integral; Henstock established the convergence theorems for the integral.
The interested reader can find very readable expositions of the gauge integral in [5], [8], [9].
E. J. McShane also treats a "gauge-like" integral in [10], [11]; he alters the definition above by dropping the requirement that the tag ti belongs to its corresponding subinterval. The resulting integral is, surprisingly enough, exactly equivalent to the classical Lebesgue integral.
(引用終り)

以上
84 ：: ＞証明には、順次入っていくので、ご心配なく（＾＾
5年間進歩ゼロの君の言葉を信じろと？
85 ：: ＞自分の専門分野で、人の顔色と空気読んでちゃ、だれも信用しないよ
「AならばB」がわからないとか専門もヘチマも無いんだが
86 ：: ＞まあ、勉強の途中なら、「ぐっと丸呑みして」先に進まないと、行けない場面が多いが
お前の場合何も勉強せずに全部丸呑みだろ？
わずかでも勉強してたらεδ論法くらいは理解してるぞ？
87 ：: >>82 補足

（追加引用）
The geometric interpretation of the Straddle Lemma is clear.
If the points u and v "straddle" z, then the slope of the chord between the points (u, f(u)) and (v, f(v)) is close to the slope of the tangent line at (z, f(z)).
(引用終り)

これ、LEMMA 3 (STRADDLE LEMMA)の証明の後に書いてあるんだ
この幾何学的説明だと、平均値の定理の類似というか、変形版のイメージだな
88 ：: >>84-86
どうも。スレ主です。
３レス追加ご苦労さん（＾＾
89 ：: >>84-86

もう、証明に入っているだろ
”The Straddle Lemma”は、この証明の核心だろ？（＾＾
90 ：: >>86
>わずかでも勉強してたらεδ論法くらいは理解してるぞ？

これは・・、εδ論法コンプレックスのおっちゃんかい？
εδ論法はね、おれの高校教師がさ、「これは高校では誤魔化しで、本当は”εδ”で・・」と、つどつどいうから、高校の時に読んで、終わってしまった（＾＾
εδなんて、コンプレックスを持つほどの大したことでも無いよ（＾＾
91 ：: >>84
> 5年間進歩ゼロの君の言葉を信じろと？

5年間、このスレに粘着、ご苦労さまです
大切なお客様だな（＾＾

進歩ゼロは正しいが
勉強させてもらっている

特に、今回の”modefied ruler function”は、面白いね～（＾＾
いろんな分野の深いところにつながっているんだね
92 ：: >>85
>「AならばB」がわからないとか専門もヘチマも無いんだが

お言葉を返すようで悪いが

ディリクレ関数、トマエ関数、”modefied ruler function”・・・
これらは、いわゆる病的な関数で、R中に稠密に存在する有理点q∈Q において、不連続な関数

一方、定理1.7（>>18より）は、「ある開区間の上でリプシッツ連続である」と主張する定理だ
だったら、定理1.7の適用範囲としては、このような病的な関数で稠密な不連続点をもつ関数は、適用範囲外だろうと言っているのだが？（＾＾

（参考）
http://nygsuken.webcrow.jp/article/8.html
病的な関数とは? 西大和学園数学研究部 2016-04-10
(抜粋)
「病的な関数」とは、wikipediaによると「その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるような」関数のことを言うそうです。具体的には、連続でない点や、微分可能でない点がたくさん存在するような関数のことです。

もちろん、「病的な関数」というのは数学的な厳密な定義ではなく、主観的なものです。ただし、これは数学の用語としては正式なものです。

ここでは、不連続な点が稠密に存在する病的な関数の例をいくつか観察してみましょう。関数の「病的」な振る舞いを見て、楽しみましょう。

この記事では、連続の定義は知っているものとして定理の証明等を行います。連続の定義は、「意外と知らない? 中間値の定理の証明」の定義4に書かれています。

ディリクレの関数

トマエ関数

可算集合と連続・不連続

定理1 実数で定義された関数の不連続点の集合は、高々可算集合である。

(引用終り)
93 ：: >>92 補足

>定理1 実数で定義された関数の不連続点の集合は、高々可算集合である。

これ、ちょっと不正確な記述かな？（＾＾
正確には、下記か・・
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合

函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。

単調関数の不連続点は高々可算である。これをフローダの定理（英語版）という。

トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。

ディリクレ函数として知られる、有理数全体の集合の指示函数は至る所不連続である。
(引用終り)
94 ：: >>87 平均値の定理補足

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
平均値の定理
(抜粋)
平均値の定理にはいくつかバリエーションがあるが、単に「平均値の定理」と言った場合は、ラグランジュの平均値の定理と呼ばれる微分に関する平均値の定理のことを指す場合が多い。

多変数関数にも使えて、平均値の定理の代わりになるような定理として、有限増分不等式がある。これは存在型ではない。あるいは、積分を持ち込んで微積分学の基本定理で代用することもある。

目次 [非表示]
1 歴史
2 微分の平均値定理
2.1 有限増分の定理
2.2 ラグランジュの平均値の定理
2.3 コーシーの平均値の定理
2.4 ロピタルの定理
3 積分の平均値定理
(引用終り)

https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem
Mean value theorem
(抜粋)
1 History
2 Formal statement
3 Proof
4 A simple application
5 Cauchy's mean value theorem
5.1 Proof of Cauchy's mean value theorem
6 Generalization for determinants
7 Mean value theorem in several variables
8 Mean value theorem for vector-valued functions
9 Mean value theorems for definite integrals
9.1 First mean value theorem for definite integrals
9.2 Proof of the first mean value theorem for definite integrals
9.3 Second mean value theorem for definite integrals
9.4 Mean value theorem for integration fails for vector-valued functions
10 A probabilistic analogue of the mean value theorem
11 Generalization in complex analysis

(引用終り)
95 ：: >>92
病的の定義は？
96 ：: >>95
>病的の定義は？

良い質問ですね！（＾＾

西大和学園数学研究部（>>92）は、”「病的な関数」というのは数学的な厳密な定義ではなく、主観的なものです。ただし、これは数学の用語としては正式なものです”という

そこで、ここでは、”ディリクレ関数、トマエ関数、”modefied ruler function”・・・”のような、R中稠密な不連続点を持つ関数（具体的には有理点だが）に関して、
「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」と、定義する。

「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」を、pathological、discontinuity、と、functionの、頭文字を取って、"PDF"とする（＾＾
紛らわしいときは、PD function、PD関数、あるいは、PD関数族などと表現することにしよう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%97%85%E7%9A%84%E3%81%AA_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
病的な (数学)
(抜粋)
数学における病的な（びょうてきな、英語: pathological; 病理学的な）事象とは、その性質が変則的に悪質であったり、直感に反すると見なされるようなもののことを言う。対義語には行儀の良い（英語版） (well-behaved) というものがある。

病的な関数
「病的な関数」の古典的な例の一つに、至る所で連続であるが至る所微分不可能な、ワイエルシュトラス関数と呼ばれるものがある。
微分可能な関数とワイエルシュトラス関数の和は、ふたたび至る所で連続であるが至る所微分不可能な関数となるため、そのような病的な関数は少なくとも微分可能な関数と同じだけ存在することが分かる。
実は、ベールのカテゴリー定理により、「ほとんどすべての」連続関数は至る所で微分不可能であるということが示される。

平たく言えば、これは考え得る関数が非常にたくさん存在することが原因である。大部分は至る所微分不可能であり、描いたり研究したりできる関数は比較的稀で、そのうち興味があったり有用であるものは「行儀が良い」関数でもあることが分かる。
(引用終り)

つづく
97 ：: >>96 つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Pathological_(mathematics)
Pathological (mathematics)
(抜粋)
"Well behaved" redirects here. It is not to be confused with good behaviour.

In mathematics, a pathological phenomenon is one whose properties are considered atypically bad or counterintuitive; the opposite is well-behaved.

Contents [hide]
1 In analysis
2 In topology
3 Well-behaved
4 Pathological examples
5 Computer science
6 Exceptions
7 External links
(引用終り)

以上
98 ：: >>97
無能
99 ：: >>98
ぷ

Pathological (mathematics)

100 ：: おっちゃんです。
>>71-72
>ぷ
>ああ、コテとトリップ抜けたな（＾＾
これで「ぷ」君はスレ主である可能性がより高まったな。
スレ主がコテハンを外して「ぷ」君に成り済ましている(強力な)証拠になり得る。
101 ：: >>90
>これは・・、εδ論法コンプレックスのおっちゃんかい？
午後10から午後12時にかけての間、2チャンは見ていない。
よって私は>>84-86を書いてはいない。
だが、ε-δ論法コンプレックスはスレ主。
102 ：: >>100
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>これで「ぷ」君はスレ主である可能性がより高まったな。
>スレ主がコテハンを外して「ぷ」君に成り済ましている(強力な)証拠になり得る。

ぷ（＾＾

それな、「ぷふ」さんに失礼だよ
「ぷふ」さんも、定理1.7を書いた人も、どうも基礎学力は、おれより上だよね
（ただ、定理1.7（>>18）とその系1.8(>>26)の成否についてだけは納得いかんが、それ以外の応答は極めて正確でレベルが高い。私にとっては、勉強になる）
103 ：: >>101
>だが、ε-δ論法コンプレックスはスレ主。

おっちゃん、どうも、スレ主です。

そうかい？ ε-δ論法をわーわーいうやつほど、ε-δ論法を分かってないし、
数学はε-δ論法だけじゃないということも分かってないんだろう
（一言でいえば、コンプレックスと視野が狭いということ）

ところでな、おっちゃんは、いまだに定理1.7(>>18)は、正しいと思っているのかい？
104 ：: >>100
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃん、よそのスレ（下記）荒らしてたろ？

ところで、昔、内山龍雄先生（下記）の本を読んで、あとがきに、”下記のヤン・ミルズ場の理論と同じことを考えていたが
「こんな（すばらしい？難しい？）ことを思いつくのはおれくらい」と甘く見ていた面もあって、大魚（ノーベル賞）を逃した”という

なので、いまどき、雑誌の投稿前に、arxivなどに発表して（自分の発表が早いと）日付を確定しておくのは常識なんだがね・・
「論文書いた」と豪語するわりに、そういうアクションの兆候がないから・・、”？”って感じなんだよね（＾＾

https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1516213849/212-214
【大学院へ】 30過ぎて、数学の道へ【挑戦】第5章

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E5%B1%B1%E9%BE%8D%E9%9B%84
内山龍雄
(抜粋)
内山龍雄（うちやまりょうゆう、1916年（大正5年）8月28日 - 1990年（平成2年）8月30日）は、日本の男性理論物理学者。大阪大学名誉教授。重力場を含む一般ゲージ場の創設者である。

ゲージ場[編集]
1954年ごろまでに、楊振寧、ロバート・ミルズとは別に重力と電磁力を結び付ける一般ゲージ理論（非可換ゲージ理論）の研究を完成させていたが、日本で内山以外に一般ゲージ理論を理解できる人間がいなかった[要出典]。国外では、ヴォルフガング・パウリが1953年には、非可換ゲージ理論を完成させていたが、こちらもゲージボソンに質量を与える方法が分からないという理由で論文発表を控えていた[1][2]。

このため、1954年10月の楊とミルズの論文に対して発表が遅れ、プライオリティは得られなかった[3]。しかし、論文の発表と同時にプリンストン高等研究所へ赴任し、場の理論の発展に努めた。

経歴

・1954年5～6月頃、楊振寧、ロバート・ミルズとは別に一般ゲージ理論の研究を完成させ、京大基礎物理学研究所で開催された小さな研究会で口頭発表していたが、
・1954年10月の楊（ノーベル物理学賞受賞者）とミルズの論文に対して発表が遅れたためにプライオリティは得られなかった
・1964年6月量子化された物質場と相互作用する古典重力場の繰り込み理論に対してGravity Research Foundation賞
(引用終わり)
105 ：: まあ、研究の最先端で、しのぎを削っている素晴らしい論文ほど、世界で同時に何人もの人が思いついたりするものかもしれないがね（＾＾
106 ：: 孤高の数学者俊太郎 @reviewer_amzn_m

俺が社会を捨てたんじゃない。
社会が俺を捨てたんだ。
俺があの人を捨てたんじゃない。
あの人が俺を捨てたんだ。
母が俺を産んだんじゃない。
俺が母に産まされたんだ。
俺が苦しみを選んだんじゃない。
苦しみが俺を選んだんだ。
俺が数学を選んだんじゃない。
数学が俺を選んだんだ。
俺の数学に給料が出てほしい…
いつも負の給料を払って数学してるから…
ノート紙本郵便交通飲食宿泊
全てに対する支援ではなくてもいいから税金を返してくれ…
今日もあらゆる人に無限に傷つけられた。
しかし平和主義なので誰にどんなに傷つけられてもやりかえせないしやりかえさない。
相談はするし遠回しに警告はするが相手を傷つけることはしたくない。
しかし俺のメンタルが弱っているのをいいことに次々と俺のメンタルを弱らせる。
俺は対抗する。
数式と歌で。
107 ：: >>106
ぷ

Pathological (mathematics)
108 ：: >>103
>ε-δ論法をわーわーいうやつほど、ε-δ論法を分かってないし
基本中の基本で、これが分からないことには位相や測度が全部壊滅状態になるんだが。
一旦起きたついでにレスしたが、また寝る。
109 ：: εδは数学の基本でしょうね、でも∀∃を含む論理展開からみっちりやる教科書はみたことないな…結構重要なことだと思いますが
110 ：: スレ主に質問なんですがスレ主は普段何の本で勉強しているんですか
111 ：: >>81 関連

小山信也先生ね（＾＾
数学セミナー 2011年1月号 ”　[フィールズ賞業績紹介] 　リンデンシュトラウス／小山信也…14”
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5473.html
数学セミナー 2011年1月号
(抜粋)
[特集1]
国際数学者会議2010

内容紹介
2010年8月、インド・ハイデラバードで行われた国際数学者会議の様子と、フィールズ賞・ネヴァンリンナ賞受賞者の業績を紹介する。(ガウス賞・チャーン賞業績紹介は2月号に掲載します。)

特集=国際数学者会議2010

　ICM報告記／ハイデラバードの熱い夏／濱田龍義…8

　[フィールズ賞業績紹介]

　リンデンシュトラウス／小山信也…14
(引用終り)
112 ：: >>108
>基本中の基本で、これが分からないことには位相や測度が全部壊滅状態になるんだが。

自分のことを直ちに当てはめるのはよくないよ（＾＾
113 ：: >>109
C++さん、どうも。スレ主です。

まあ、εδは昔っから議論はある
その話は、あとでじっくりやろう

だが、私個人としては、εδに拘る必要もないし、必要なら必要なときに勉強すれば良いと思う
現代数学の守備範囲は、おそろしく広がっているからね
114 ：: >>110
>スレ主に質問なんですがスレ主は普段何の本で勉強しているんですか

私は、数学乱読タイプなんで、なんでも読みますよ（＾＾
理解しているかって？　もちろん、してないよ～！（＾＾

が、何回か、同じ話が出てくると、だんだん理解できてくる
今回の定理1.7の”The Straddle Lemma”もそうだ

上で挙げた”The Straddle Lemma”のPDFをいま読んでいる。これ実に面白いね（＾＾
さらに、modefied ruler function 、ディオファントス近似、連分数展開・・・、これらも実に面白いね～（＾＾
115 ：: >>110
スレ主は勉強しない主義だよ
116 ：: >>111 関連

https://talk.collegeconfidential.com/princeton-university/983882-princeton-professor-elon-lindenstrauss-wins-the-nobel-prize-of-math-news-item.html
"Princeton Professor Elon Lindenstrauss Wins the 'Nobel Prize of Math' " (news item)
08-20-2010 at 7:06 pm edited August 2010 in Princeton University
(抜粋)
"Elon Lindenstrauss is being awarded the 2010 Fields Medal for his results on measure rigidity in ergodic theory, and their applications to number theory.

Lindenstrauss has made far-reaching advances in ergodic theory, the study of measure preserving transformations. His work on a conjecture of Furstenberg and Margulis concerning the measure rigidity of higher rank diagonal actions in homogeneous spaces has led to striking applications.
Specifically, jointly with Einsiedler and Katok, he established the conjecture under a further hypothesis of positive entropy. It has impressive applications to the classical Littlewood Conjecture in the theory of diophantine approximation.
Developing these as well other powerful ergodic theoretic and arithmetical ideas, Lindenstrauss resolved the arithmetic quantum unique ergodicity conjecture of Rudnick and Sarnak in the theory of modular forms.
He and his collaborators have found many other unexpected applications of these ergodic theoretic techniques in problems in classical number theory. His work is exceptionally deep and its impact goes far beyond ergodic theory.

International Congress of Mathematicians 2010, Hyderabad Fields Medal ? Elon Lindenstrauss
http://www.icm2010.in/imu-prizes/prize-winners-2010/fields-medal-elon-lindenstrauss
(引用終り)
117 ：: >>114
書籍ではなく、ネットの書き込みで勉強しているんですか？
118 ：: >>115
数学はあそびなので、
あそびが勉強で、勉強があそびなんだ

囲碁、将棋と同じでね
数独はやらないが、似たようなもの

まあ、数学をやっていると
物理とか化学とか、工学とか、数式や数理が出てくる本を読むときに楽だしね（＾＾
119 ：: >>117
つー、>>118
120 ：: >>117

2010年フィールズ賞リンデンシュトラウスとヴィラーニの二人は、物理関連（数学との境界？）のテーマみたいだね
古い教科書にしがみついているばかりじゃだめじゃないか

もちろん、良い教科書をきちんと読み込んで、基礎力を付けることも大事

数学を専門にしようという人は、両方大事だろ
私？　私の専門は数学ではありません。数学は余技です。が、数学は使いますよ。道具として（＾＾

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/5473.html
数学セミナー 2011年1月号
(抜粋)
[特集1]
国際数学者会議2010

　[フィールズ賞業績紹介]

　リンデンシュトラウス／小山信也…14

　スミルノフ／白井朋之…22

　ヴィラーニ／鵜飼正二…30

　ゴー／今野拓也…36
121 ：: >>111 関連

http://www.math.titech.ac.jp/
http://www.math.titech.ac.jp/~jimu/Lecture/H28lecture.html 過年度の集中講義
http://www.math.titech.ac.jp/~jimu/Lecture/H22lecture.html 平成22年度後学期数学専攻集中講義日程

http://www.math.titech.ac.jp/~jimu/Syllabus/H22(2010)/Graduate/Special_Lectures_on_Mathematics_D_II.html
平成22年度後学期数学専攻集中講義 H23.１月１７日（月）　～　１月２１日（金）
講義名　数学特別講義Ｄ第二（Special Lectures on Mathematics D II）
開講学期　後学期　単位数　2--0--0
担当　小山　信也　非常勤講師（東洋大学理工学部　教授）

【講義の目的】
数論的量子カオスの入門的講義を行なう．そのために必要な保型形式と
ゼータ関数・L関数の理論について，マース波動形式を用いた入門的解説を
行なう．数論的量子カオスは1992年にプリンストン大学のP.サルナックにより
提唱された．研究対象は数論的多様体のスペクトルであり，目的はゼータ関数の
零点の追求である．数論的量子カオスの主要テーマである量子エルゴード予想を
証明したリンデンシュトラウスが2010年にフィールズ賞を受賞するなど，数論的
量子カオスへの関心は高まっている．この講義では量子エルゴード性の意味を
解説し，アイゼンシュタイン級数の場合の証明を詳しく扱いながら，ゼータ関数の
評価との関連を述べる．

【講義計画】
１．マース波動形式による保型L関数入門
２．セルバーグ・ゼータ関数
３．保型形式の存在理論
４．数論的量子カオスの概要
５．量子エルゴード性

【教科書・参考書等】
小山信也『素数からゼータへ，そしてカオスへ』（日本評論社）

【関連科目・履修の条件等】
特別な予備知識は，不要です．

【成績評価】
出席、レポート

【担当教員から一言】
教科書の第8章，第11章，第12章，第13章，第14章を順に解説していきます．
122 ：: >>120
具体的な書籍名をどうか宜しくお願いします
123 ：: >>121 関連

（文字化けご容赦）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1891-01.pdf
数論的量子カオスと量子エルゴード性小山信也(Shin-ya Koyama) (東洋大学(Toyo University))* 数理解析研究所講究録第1891 巻2014 年1-18
(抜粋)
1. 背景と目的
数論的量子カオスは，1992 年の暮れに，米国プリンストン大学のピー
ターサルナック教授によって提唱された数論の分野である．その目的
を端的に述べれば
数論的群のスペクトル$\lambda$ とその固有関数$u_{\lambda}$ を，特に$\lambdaarrow\infty$
の時に詳しく研究すること
であると言える．
こうした研究の数論における重要性は，2 つの観点から論ずることがで
きる．第一点は，スペクトルがゼータの零点とみなせることである．こ
の見方は，リーマン予想の解決に直結する．ゼータの零点には，リーマ
ン予想を含め未解明な部分が多い．ゼータの側だけでなく，逆にスペク
トル側の研究も進め，双方から歩み寄る形でそれらの関係を求め，謎を
解き明かしていくことが求められる．
そして第二点は，スペクトルの存在そのものが数論的であるというこ
とである．これは保型形式の存在理論(フィリップス，サルナックによ
る固有値消失理論) を踏まえると納得できる．セルバーグが発見したよ
うに，合同部分群など整数を用いて定義される群の基本領域は，ラプラ
シアンの固有値を豊富に持つわけだが，サルナックが看破したように，
それは一般の双曲多様体がほとんど持っていない性質だった．固有値が
存在すること自体が数論に特有の現象なのである．したがって，従来か
ら幾何学や解析学で研究されてきたスペクトルというものを，数論の研
究対象として考え直す必要があるのは当然である．

例2 (量子エルゴード性(Lindenstrauss[3], Soundararajan[5]) )
例1 の$M_{j},$ $\varphi J$ に対し，$M_{j}$ 上のラプラシアンの固有値列を$0=\lambda_{0}<\lambda_{1}\leq$
$\lambda_{2}\leq\cdots$ とし，$\lambda_{j}$ に対する固有関数を$f_{j}(z)(\Vert f_{j}\Vert_{2}=1)$ と置くと，$f_{j}(z)$
は等分布的である(正確には，Lindenstrauss がコンパクトな$M$ろに対し
て証明し，Soundararajan が例1 の場合に拡張した)

(引用終り)
124 ：: >>122
スチールの本棚があるでしょ？高さ180cmくらいで、幅が１ｍくらいかな
そこに収まらないくらいある
少ない方でしょ？（＾＾
書名？　忘れたよ（＾＾
125 ：: >>123 関連

http://www.waseda.jp/sem-wnt/kako/pdf2010/20101126.pdf
2010年度第19回の整数論セミナー
日時： 2010 年 11 月 26 日 (金)
講演者：小山信也（東洋大学）
タイトル：量子エルゴード性の一般化
アブストラクト：
量子エルゴード予想とは，ラプラシアンの固有関数の値分布が固有値の増大に伴って限り
なく一様になるだろうとの予想であり，コンパクト・リーマン面に対してこれを証明した
リンデンシュトラウスが 2010 年にフィールズ賞を受賞したことは記憶に新しい．
本講演では，固有値の代わりに合同部分群のレベルを増大させたとき，アイゼンシュタイ
ン級数の値分布が，量子エルゴード性と同じ現象を呈するという事実を紹介する．
なお，本講演の内容は 12 月 9 日に発売される予定の拙著『素数からゼータへ，そしてカ
オスへ』（日本評論社）にも詳しく解説した．
126 ：: >>124 補足

学部のときの本は、全部捨てた
置き場がないのでね（＾＾
127 ：: >>123 関連

これが、フィールズ賞論文の一つみたいだね
http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v163-n1-p03.pdf
Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity By Elon Lindenstrauss* Appendix with D. Rudolph Annals of Mathematics, 163 (2006), 165?219
(抜粋)
Abstract
We classify measures on the locally homogeneous space Γ\ SL(2, R) × L
which are invariant and have positive entropy under the diagonal subgroup
of SL(2, R) and recurrent under L. This classification can be used to show
arithmetic quantum unique ergodicity for compact arithmetic surfaces, and a
similar but slightly weaker result for the finite volume case. Other applications
are also presented.
In the appendix, joint with D. Rudolph, we present a maximal ergodic
theorem, related to a theorem of Hurewicz, which is used in theproof of the
main result.
(引用終り)
128 ：: >>127 関連

"Littlewood’s conjecture"への言及があるね（＾＾

P170
"The scope of the methods developed in this paper is substantially
wider than what I discuss here. In particular, in a forthcoming paper with
M. Einsiedler and A. Katok [EKL06] we show how using the methods developed
in this paper in conjunction with the methods of [EK03] one can substantially
sharpen the results of the latter paper. These stronger results imply
in particular that the set of exceptions to Littlewood’s conjecture, i.e. those
(α, β) ∈ R2 for which lim n→∞ n||nα|| ||nβ|| > 0, has Hausdorff dimension 0."
129 ：: >>111 関連

小山信也先生、東大の数学院に落ちて、東京工業大院かな？
ともかく、ゼータやL関数が、ご専門

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E5%B1%B1%E4%BF%A1%E4%B9%9F
小山信也
(抜粋)
小山信也（こやましんや、1962年[1]5月7日[2] - ）は日本の数学者。新潟県[1]新潟市[2]生まれ。東京大学理学部数学科卒業[1]。
東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻修士課程修了[1]。理学博士[1]。
東洋大学理工学部教授[1]。専門は数学、整数論、ゼータ関数論、数論的量子カオス、量子エルゴード性など[1]。
(引用終わり)

https://www.amazon.co.jp/-/e/B004C26KWY
(抜粋)
1962年新潟県生まれ。1986年東京大学理学部数学科卒業。
1988年東京工業大学大学院理工学研究科修士課程修了。理学博士。
米国プリンストン大学客員研究員，慶応大学助教授，ケンブリッジ大学ニュートン数理科学研究所員、梨花女子大学客員教授などを経て現在、東洋大学理工学部教授。

1990年より、アメリカ数学会Mathematical Reviews誌執筆者として、120篇以上の抄録を執筆している。

1995年、学位論文「Spectra and Zeta Functions of Arithmetic Groups」により、井上科学振興財団井上研究奨励賞を受賞。

専攻／整数論、ゼータ関数論、量子カオス。

(引用終わり)
130 ：: >>129 補足

小山先生の>>123のPDFなどを見ると、Lindenstrauss のフィールズ賞の業績を
量子エルゴード（ピーターサルナックからのゼータに関する部分）に絞って紹介したんじゃないかな？
（私は、いまさら、数学セミナー2011.01号をチェックつもりはないのだが（その手の図書館は近くにないので））

実際は、Lindenstrauss のフィールズ賞に直結した論文は、Annals of Math (2006)に、二編に分けて投稿され
量子エルゴードは第一論文であり、"Littlewood’s conjecture"は次の論文で”with M. Einsiedler and A. Katok [EKL06] ”だったわけだが、
第二論文（"Littlewood’s conjecture"）について紹介している和文PDFなどは、ほとんど検索でヒットしなかった

私としては、和文を読んでみたかったのだが・・（＾＾
（私の英語レベルでは、圧倒的に読むスピードが和文の方が早いので・・（＾＾）
131 ：: おっちゃんです。昨日は寝ているときに起きただけ。
>>109
>でも∀∃を含む論理展開からみっちりやる教科書はみたことないな…結構重要なことだと思いますが
すべての正の実数εに正の実数δが対応して |x－a|＜δ ならば |f(x)－f(a)|＜εとなるとき
関数 f(x) はx がaに限りなく近づくとき f(a) に収束するといい、lim_{x→a}f(x)＝f(a)　或いは x→a のとき f(x)→f(a) と書く。
これをいい換えれば、
任意の正の実数ε に対して或る正の実数δが存在して |x－a|＜δならば |f(x)－f(a)|＜ε となるとき
関数 f(x) はx がaに限りなく近づくとき f(a) に収束するといい、lim_{x→a}f(x)＝f(a)　或いは x→a のとき f(x)→f(a) と書く。
学習者から見たら、いっていることは∀や∃を用いていっているのと見た目は同じになる。
学習者からしたら、集合からやりたければ、一価の関数と多価関数とを区別して上の「関数」を「一価の関数」と書き直せば済む。
杉浦　解析入門の付録に論理集合や集合の記載があるから、こっちの方から読み始めて論理展開すればいい。

何れにしろ、集合論を全部してから ε-δ や微分積分をするのは、学習者側から見ると、
微分積分や ε-δ で理解すべきことをかえって不透明にし、学習者側からしたら理解の妨げになる。
∀や∃とかの論理記号は、余程論理が複雑になったりするようなことや何らかの事情がない限り、むしろ使わない方が望ましい。
132 ：: >>131
>>109の「一価の関数」はより正確には「一価である実関数」。
あと書き忘れたが、杉浦　解析入門の付録の「論理記号」や「集合」から始めるかは趣味の世界。
実際に正確にやろうとしたら、形式上の関数の空間の定義とかが必要になって、少し手間がかかる話になる。
微分積分でやるべきこととかけ離れたようなことをすることになる。
133 ：: >>109
>>132は>>109宛てのレスで、
>132の「>>131」と「>>109」は入れ替え。
134 ：: >>131-133
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>∀や∃とかの論理記号は、余程論理が複雑になったりするようなことや何らかの事情がない限り、むしろ使わない方が望ましい。

賛成だな。実際、例えば、>>65のThe Straddle Lemmaでは
”Lemma 4.3. Straddle Lemma. Let F : I → R be differentiable at a point t ∈ I.
Given ε there exists ε(t) > 0 such that if u, v ∈ I satisfy
t － δε(t) <= u <= t <= v <= t + δε(t) (4.3)
then we have
|F(v) － F(u) － F'(t)(u － v)| <= ε(v － u) (4.4)”
のようにして、ε-δに対して、∀や∃とかの論理記号は使っていないし
和文のテキスト（教科書）でも、∀や∃を使う方が少ないと思っている

おっちゃんも、たまにいいことをいうね（＾＾
135 ：: >>82 参考

”gage integral”で検索すると、下記がヒット
「ダンジョワ積分」は、昔聞いたことがあるね～（＾＾
”gage integral”＝ヘンストック＝クルツヴァイル積分＝「ダンジョワ積分」だったのか～！（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%83%E3%82%AF%EF%BC%9D%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB%E7%A9%8D%E5%88%86
ヘンストック＝クルツヴァイル積分
(抜粋)
数学の微分積分学周辺領域におけるヘンストック＝クルツヴァイル積分（ヘンストッククルツヴァイルせきぶん、英: Henstock?Kurzweil[* 1] integral; HK積分）、
またはダンジョワ積分（ダンジョワせきぶん、英: Denjoy[* 2] integral）あるいはペロン積分（ペロンせきぶん、英: Perron integral）は、
いくつかある函数の積分法の定義のうちの一つで、リーマン積分を一般化したものであり、場合によってはルベーグ積分よりも有用なものとなりうる。

この積分を初めて定義したのはダンジョワ（英語版）で1912年のことである。ダンジョワは

f(x)= (1/x)*sin ( 1/(x^3) )

のような函数を積分することができるような、積分法の定義に興味を持っていた。

この函数は点 x = 0 に特異点を持ち、かつルベーグ可積分でないが、それでも 0 を含む十分小さい区間 [?ε,?δ] を除いて積分を計算し、その後 ε, δ → 0 とするのは自然に思われる。

一般論を形成するためにダンジョワは可能な全ての種類の特異点に対する超限帰納法を用いたが、そのことで定義は極めて込み入ったものになってしまった。
これに代わる別の定義を与えたのはルジン（英語版）（絶対連続性（英語版）の概念の一種を用いた）およびペロン（英語版）（連続な優函数と劣函数に着目した）であった。
ペロン積分とダンジョワ積分が実際には同じものであることが分かるのはしばらくしてからのことである。

つづく
136 ：: >>135 つづき

後の1957年に、チェコの数学者クルツヴァイル（英語版）は、ゲージ積分と呼ばれるリーマンによる元々の定義ときれいにそっくりな新しい積分の定義を発見し、その理論はヘンストック（英語版）によって研究が進められた。
この二人の数学者の大きな貢献に因み、現在ではその積分はヘンストック＝クルツヴァイル積分として広く認知されている。
クルツヴァイルの定義の簡潔さから、微分積分学の入門的講義ではリーマン積分の代わりにこちらを用いるべきとする教育者もあるが、傍流である。

目次 [非表示]
1 定義
2 性質
3 マクシェイン積分
4 注釈
5 出典
6 参考文献
(引用終わり)

（参考英文版）
https://en.wikipedia.org/wiki/Henstock%E2%80%93Kurzweil_integral
Henstock?Kurzweil integral
137 ：: >>136 補足

(追加抜粋)

定義
ヘンストックによる定義は以下のようなものである。

有界閉区間 [a, b] の点付き分割（英語版）

P： a＝u_0<u_1<・・・ <u_n＝b, (t_i? [u_i－1,u_i])}

とゲ－ジと呼ばれる正値函数 δ: [a,?b] → (0,?∞) に対して、点付き分割 P が δ－細 (δ－fine) であるとは、各 i について

t_i－δ(t_i)<u_i－1 <= t_i <= u_i<t_i+δ (t_i)

を満たすことである。点付き分割 P と函数 f: [a,?b] → R に対して、リ－マン和

Σ _{P}f＝Σ _{i＝1～n(u_i－u_i－1)f(t_i)} Σ_P f ＝ Σ_{i ＝ 1～n (u_i － u_i－1) f(t_i)
を定義することができる。与えられた函数 f に対して、 f のヘンストック＝クルツヴァイル積分の値となるべき数 I は、

十分小さな ε に対して適当なゲ－ジ δ を選べば、P が δ－細分割である限り必ず

｜ Σ _{P}f－I｜ < ε

が成り立つ
という条件によって定義することができる。このような I が存在するとき、函数 f は [a, b] においてヘンストック＝クルツヴァイル積分可能であるという（紛れの恐れがないときは単に可積分であるという）。

クザンの定理（英語版）によれば、どのようなゲ－ジ δ に対してもこのような δ－細分割 P は存在する。
したがって、この条件は空虚な真理（Vacuous truth、この場合どのようなゲ－ジ δ を選んでも δ－細分割である P が存在しないために上記の条件が真になること）とはなり得ない。
リ－マン積分はここで定数ゲ－ジを用いた特別の場合として見ることができる。

つづく
138 ：: >>137 つづき

性質

かなりの種類の函数については、ヘンストック＝クルツヴァイル積分がルベ－グ積分よりも一般（より多くの函数を積分できる）というわけではない。例えば、 f が有界函数ならば、次の条件はどれも同値になる。

・f はヘンストック＝クルツヴァイル可積分である、
・f はルベ－グ可積分である、
・f はルベ－グ可測である。

一般に、任意のヘンストック＝クルツヴァイル可積分函数はルベ－グ可測であり、また f がルベ－グ可積分であるための必要十分条件は f および|f|がともにヘンストック＝クルツヴァイル可積分となることである。
これは、ヘンストック＝クルツヴァイル積分を、「非絶対可積分」版ルベ－グ積分と看做すことができることを意味する。
またこれから、ヘンストック＝クルツヴァイル積分が単調収束定理の適当な（函数が非負であることを課さない）変形版を満たすことや、
優収斂定理の適当な変形版（函数列 fn に対する支配条件を弱めて、適当な可積分函数 g, h で g &leq; fn &leq; h とできるとしたもの）を持たすことが導かれる。

つづく
139 ：: >>138 つづき

函数 F が至る所（若しくは可算個の例外を除く至る所）微分可能ならば、導函数 F′ はヘンストック＝クルツヴァイル可積分で、その不定ヘンストック＝クルツヴァイル積分は F に一致する（F′ がルベ－グ可積分である必要はないことに注意）。すなわち、任意の可微分函数はその導函数の積分と定数の違いを除いて一致するという微分積分学の第二基本定理

F(x)－F(a)＝∫a～x F'(t)dt.

がより簡潔でより十分な形で得られたことになる。逆に、ルベ－グの微分定理はヘンストック＝クルツヴァイル積分に関しても成立する。すなわち、 f が [a, b] 上でヘンストック＝クルツヴァイル可積分で

F(x)＝∫a～x f(t)dt

を満たすならば、[a, b] の殆ど至る所で F′(x) ＝ f(x) が成立する（特に F は殆ど至る所微分可能である）。

ヘンストック＝クルツヴァイル可積分函数全体の成すベクトル空間にはアレクシェヴィチノルム（英語版）[* 3]が入り、このノルムに関して樽型かつ非完備になる。

つづく
140 ：: >>139 つづき

マクシェイン積分[編集]
興味深いことに、直線上のルベ－グ積分を同様なやり方で表すことができる。まず初めに、ヘンストック＝クルツヴァイル積分における条件、任意の i に対して

u_i－u_i－1 < δ (t_i)} u_i － u_i－1 < δ (t_i)

を δ－細分割 (δ－fine partition) の概念を用いて、任意の i に対して

[u_i－1,u_i]⊂ U_δ (t_i)

に置き換える（ここで Uε(a) は a の ε－近傍とする）と、上で与えたものと同値になるが、このように変更したあとは条件

t_i? [u_i－1,u_i]
を落とすことができて、マクシェイン積分の定義が得られる（これはルベ－グ積分と同値になる）。
(引用終わり)

以上
141 ：: 妙に文字化けが多い（＾＾
職場のPCのせいかもしれない（＾＾
142 ：: >>137-138 参考

誤訳と文字化けがあるようですね～（＾＾

>>137
>クザンの定理（英語版）によれば、どのようなゲ－ジ δ に対してもこのような δ－細分割 P は存在する。
>したがって、この条件は空虚な真理（Vacuous truth、この場合どのようなゲ－ジ δ を選んでも δ－細分割である P が存在しないために上記の条件が真になること）とはなり得ない。

原文：
Cousin's theorem states that for every gauge δ, such a δ-fine partition P does exist, so this condition cannot be satisfied vacuously.
（google訳の微修正）
Cousinの定理によれば、すべてのゲージδについて、そのようなδファイン・パーティションPが存在するので、この条件は空にならない。

>>138
>またこれから、ヘンストック＝クルツヴァイル積分が単調収束定理の適当な（函数が非負であることを課さない）変形版を満たすことや、
>優収斂定理の適当な変形版（函数列 fn に対する支配条件を弱めて、適当な可積分函数 g, h で g &leq; fn &leq; h とできるとしたもの）を持たすことが導かれる。

原文：
It also implies that the Henstock-Kurzweil integral satisfies appropriate versions of the monotone convergence theorem (without requiring the functions to be nonnegative) and
dominated convergence theorem (where the condition of dominance is loosened to g(x) <= fn(x) <= h(x) for some integrable g, h).

https://en.wikipedia.org/wiki/Henstock%E2%80%93Kurzweil_integral Henstock?Kurzweil integral より

以上
143 ：: >>135 関連

>「ダンジョワ積分」は、昔聞いたことがあるね～（＾＾

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11162015921
dj_tonkatu_masattoさん yahoo 2016/7/2317:31:34
(抜粋)
ヘンストック＝クルツヴァイル積分ってなんで数学の表舞台から忘れ去られてるんですか？

積分論の概念的関係は、
（リーマン積分）⊆（ルベーグ積分）⊆（狭義ダンジョワ積分）⊆（広義ダンジョワ積分）
（狭義ダンジョワ積分）＝（ペロン積分）
となっています。
http://blog.livedoor.jp/calc/archives/24436679.html

確率論や確率微分方程式が可測関数使ってるからですか？
ＤＪマサト

ベストアンサーに選ばれた回答
godzilla_to_gamereさん 2016/7/2821:05:29

まさに卸貴殿が申されたように、使っているような話は小生も聞きます。あざみ♪
(引用終わり)
144 ：: >>143 関連

http://blog.livedoor.jp/calc/archives/24436679.html
ルベーグ積分その後学校では教えてくれない数学 2005年06月07日
(抜粋)
ルベーグ積分の理論が、１９０２年に　H.Lebesgue　によって発表されてから、ポスト・ルベーグ積分の動きをいくつか書きます。
情報ソースは、岩波数学辞典　第３版　の「ダンジョワ積分」です。

（１）１９１２年　狭義ダンジョワ積分を　A.Denjoyが発表
　　　これは、構成的定義（＝超限帰納法を使う）で記述。

（２）１９１２年頃　狭義ダンジョワ積分の別定義を　N.N.Luzinが発表
　　　これは、（１）と区別する意味で、記述的定義で記述。

（３）１９１４年　狭義ダンジョワ積分と同等の定義を　O.Perronが発表
　　　この積分を　ペロン積分　という。
　　　これも、どちらかというと、記述的定義。

（４）１９１６年　広義ダンジョワ積分を　A.Denjoyが発表
　　　これは、構成的定義（＝超限帰納法を使う）。

（５）１９１６年　広義ダンジョワ積分の別定義を　A.Ya.Khinchinが発表
　　　これは、（４）と区別する意味で、記述的定義という。

積分論の概念的関係は、

（リーマン積分）⊆（ルベーグ積分）⊆（狭義ダンジョワ積分）⊆（広義ダンジョワ積分）

（狭義ダンジョワ積分）＝（ペロン積分）

となっています。もっと詳しくは、

つづく
145 ：: >>144 つづき

狭義ダンジョワ積分の記述的定義＝狭義ダンジョワ積分の構成的定義
広義ダンジョワ積分の記述的定義＝広義ダンジョワ積分の構成的定義

ということです。こうして見ると、

・ルベーグ積分誕生してから１４年くらいの間に、ルベーグ積分の拡張が複数発生したこと
・構成的定義　すなわち、超限帰納法　が活用されていること
・ルベーグ積分の性質や補強すべき点が、当初から見えていたこと

がわかります。もっとこの辺を掘り下げた日本語で書かれた教科書があるといいのですが、

S.Saks　Theory of the integral

を読まないといけないのかも。

6/7 16:40 追加　（１）－（５）に関して、ちょっとした補足。
（２）、（５)は、次の定理を拡張したものといえます。

「ｆ(x) がルベーグ積分可能＜＝＞ある絶対連続なF(x)が存在して、ほとんどいたるところ　dF(x)/dx=f(x)」

（１）、（４）は、ルベーグ積分（の完全加法集合函数としての視点）から出発して、拡張していくものです。

（３）のペロン積分は、微分方程式の解法にヒントを得たものです。
（ y = df(x)/dx ）

私個人としては、（１）、（４）の”構成的定義”というのが新鮮に思えます。詳細については、フォローしていませんが、　たとえば、”calc積分”と言ったものを定義できそうです（意味があるか否かは別）。
(引用終わり)
以上
146 ：: >>144 補足

スレ42 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1505609511/92
でも紹介したご存知ゼルプスト殿下藤田博司先生愛媛大（＝”てなさく”）より

”この点を強化して、完全な逆微分となるようルベーグ積分を拡張する理論が、ダンジョワ、ペロン、ヘンシュトックといった人々によって提案されている。
ただしそれらが各種の収束定理においてルベーグ積分の示す柔軟性をも共有するかどうかは別問題だ。(ここ、あとでちゃんと調べとかんとな。)”

調査結果の続報を頼みます＞藤田博司先生（＾＾

http://www.tenasaku.com/tenasaku/tepipi/diary201205.html
てなさく世界て日々 2012年5月31日(木)
(抜粋)
いま読んでいるのは Thomas Hawkins, ≪Lebesgue's Theory of Integrals≫ (Second 1979 Edition, Chelsea Publications/American Mathematical Society) の第2章第2節第3章あたり。
ここでは、リーマン以後ルベーグ以前、すなわち1860年代から1890年代の積分理解のありさまを述べる。
1875年の時点では、このころまだ不可算集合の概念は存在していないから、まあ仕方がないのだが、デュボアレイモン (Paul du Bois-Reymond) のような一流の数学者といえども、
今日の言葉でいう「至るところ非稠密 (nowhere dense)」と「カントール・ベンディクソン階数が有限であること」と「ジョルダン容量ゼロ (content zero)」とを区別できていない。
(容量ゼロという)測度論的な着想が(至るところ非稠密という)位相的な概念から分離されていないのは、いまにして思えば不思議とさえ思える。
しかし、カントールによる点集合の理論が出版されはじめるのが1879年 (“Uber unendliche, lineare Punktmannichfaltigheiten”, Pt 1. Math.Ann. 15 (1879), pp.1-7) であることを思えば、これは、正しい概念を求めて人々が右往左往していたと理解するべきだろう。
そういう文脈に置いてみてはじめて、カントールの集合論やルベーグの積分論が持ったであろうインパクトを、正しく評価できるのだと思う。

つづく
147 ：: >>146 つづき

力学系理論や記述集合論などをやっていると、カントール集合にはしょっちゅうお目にかかる。
しかし、カントール以前には、至るところ非稠密であってなおかつ孤立点をもたない点の配置など、論理的な可能性として検討することすら、誰ひとりとしてできなかったのだ。
その当時はリーマン可積分函数の範囲こそが理論的な考察の手におえる函数のもっとも広いクラスと考えられていて、リーマン積分こそが積分の究極の定義だと考えられていた。これも仕方のないことだ。

ルベーグの積分論の見地に立つなら、リーマンの積分論が一般性の意味で劣るというのは本当だ。
しかし1870年代には、そして1880年代にあってもかなりの程度、リーマン可積分函数はそれまでに考えられてきたどんなものよりはるかに広大な函数の範囲を含むものと見えた。
そのうえ、リーマンの積分論の礎石となる、コーシー和の一意的な極限値という定積分の定義は、それこそ積分を定義する唯一の自然なやりかた (the natural manner) として、異論の余地なく受けいれられていた。
それゆえ、リーマンによる積分の拡張は究極的なものと考えられた。デュボアレイモンが(文献[1883a:274]に)書いているように、リーマンは可積分函数の概念を最大の外縁まで拡張したように見えた。(Hawkins, 原書34ページ)
この話から引き出せる教訓はいくつかある。

つづく
148 ：: >>147 つづき

現在はルベーグの積分論が、1870年代のリーマン積分と同じ「究極の積分概念」の扱いを受けている。しかし歴史は繰り返すというから、同じことが起こらないとは言い切れない。
たとえば、ニュートンやライプニッツの時代に戻って積分を「逆微分」と考えるなら、ルベーグ積分も完全とはいえない。
至るところ微分可能な函数のうち、その導関数がルベーグ可積分にならないものは、たしかに存在するからだ。この点を強化して、完全な逆微分となるようルベーグ積分を拡張する理論が、ダンジョワ、ペロン、ヘンシュトックといった人々によって提案されている。
ただしそれらが各種の収束定理においてルベーグ積分の示す柔軟性をも共有するかどうかは別問題だ。(ここ、あとでちゃんと調べとかんとな。)

このように、ひとたび「究極の理論」とみなされたものも、いずれどこかに綻びがでてきたり、あるいは窮屈に感じられるようになって、修正あるいは再構築が必要になることがある。理論は生きものだ、というのが、一つの教訓。

それと、もう一つ、もっと大切な教訓は、適切なコンセプトの必要性ということだ。
カントールの三進集合について検討すれば、1870年代の点集合(という言葉はなかったけど、数直線上の点の配置)の理解に大穴があいていることはあきらかだが、カントールが点集合論を始めるまで、誰にもそのことがわからなかったのだから。
これは、教育という見地からも大事な示唆を含むと思う。

まあそんなことを考えつつ、長い長い5月がやっと終わるのだった。いやあ、長かったぞホンマ…たとえばの話、先月下旬にエミフルに行ったことなんか、もう忘却の彼方やったもんな。
(引用終わり)
以上
149 ：: スレ主みたいに俺もオナラでもしてみっか
　(｀∀´) ｳﾘｬｯ
⊂二　　＼　　／￣￣
　　＼　 ) ) ＜「ぷ」
　　 / ／／　　＼＿＿
　　｜｜｜
　　(＿)_)
150 ：: >>137 補足

(抜粋)「定義
ヘンストックによる定義は以下のようなものである。

有界閉区間 [a, b] の点付き分割（英語版）

P： a＝u_0 < u_1 < ・・・ < u_n＝b, (t_i∈ [u_i－1,u_i])}

とゲ－ジと呼ばれる正値函数 δ: [a, b] → (0, ∞) に対して、点付き分割 P が δ－細 (δ－fine) であるとは、各 i について

t_i－δ(t_i) < u_i－1 <= t_i <= u_i<t_i+δ (t_i)

を満たすことである。」
(引用終わり)

この定義、まさに、Straddle Lemma を使用？かな（＾＾

（参考）
スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/186
より
(抜粋)
補題(straddle lemma)
f : R → R は点x ∈ R で微分可能とする. このとき, 次が成り立つ.
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀y, z ∈ R
[ x － δ <= y <= x <= z <= x + δ)→ ｜f(z) － f(y) － f’(x)(z － y)｜ <= ε(z － y) ] .
この補題がstraddle (またぐ・またがる) と呼ばれているのは, y とz を「x をまたぐように取る」
からである. そして, (＊) の計算は, この補題の証明と同じ考え方を適用したに過ぎない.
結局, 全体としては, 極めてオーソドックスかつ簡単な議論で定理1.7 が証明できたことになる.
QED
(引用終わり)
151 ：: >>149
おう、ありがとう
あなたのオナラのおかげで、スレの勢い35まで上がったぜ！（＾＾
152 ：: ＞私としては、和文を読んでみたかったのだが・・（＾＾
＞（私の英語レベルでは、圧倒的に読むスピードが和文の方が早いので・・（＾＾）
一年生用教科書を読めない君には和文も英文も無い
153 ：: ＞∀や∃とかの論理記号は、余程論理が複雑になったりするようなことや何らかの事情がない限り、むしろ使わない方が望ましい。
∀や∃を使わないでまともな証明を書こうと思ったらよっぽど複雑になる
ごく普通に使われている記号を使わない理由は全く無い。
154 ：: >>152-153
だから、おっちゃん、
自分のことを、人に当てはめるなよ（＾＾
155 ：: >>152-153
だから、おっちゃん、例えば・・
米国の大人の論文のε-δ の表現は下記で、これ普通だろ（＾＾
∀や∃を多用するのは、日本人のガキだけだろ

(>>82)
http://classicalrealanalysis.info/documents/2323311.pdf
THE TEACHING OF MATHEMATICS EDITED BY JOAN P. HUTCHINSON AND STAN WAGON
More on the Fundamental Theorem of Calculus
CHARLES SWARTZ Department of Mathematics, New Mexico State University,
BRIAN S. THOMSON Department of Mathematics, Simon Fraser University, Burnaby, B. C., Canada
The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988)
(抜粋)

DEFINITION 1. A functionf : [a, b] → R is Riemann integrable over [a, b] if
there exists A ∈ R such that for every ε > 0 there exists δ > 0 such that if P is a
partition of mesh less than δ and if ti ∈ [xi-1, xi], then

｜ Σ i=1～n f(ti)(xi - xi-1) - A ｜ < ε.

The number A is called the Riemann integral of f and is denoted by ∫a～b f.

(引用終り)
156 ：: 大人の論文ｗ
157 ：: >>149-150

えーと、私スレ主が、何をしようとしているのか？
158 ：: ID:s3wXT40Tを除く、このスレの勘の良い読者は、うすうすお分かりだろう（＾＾
159 ：: そう！
”Straddle Lemma”は、条件”Let F: [a, b] - R be differentiable at z ∈ [a, b].”
つまり、微分可能な区間[a, b]が、存在することを仮定した”Lemma”ってことじゃないかと・・
160 ：: そこを深掘りしていたわけだよ（＾＾
161 ：: >>159 ＜参考＞

（>>82 より）
http://classicalrealanalysis.info/documents/2323311.pdf
THE TEACHING OF MATHEMATICS EDITED BY JOAN P. HUTCHINSON AND STAN WAGON
More on the Fundamental Theorem of Calculus
CHARLES SWARTZ Department of Mathematics, New Mexico State University,
BRIAN S. THOMSON Department of Mathematics, Simon Fraser University, Burnaby, B. C., Canada
The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988)
(抜粋)
LEMMA 3 (STRADDLE LEMMA). Let F: [a, b] - R be differentiable at z ∈ [a, b].
Then for each ε > 0, there is a δ > 0 such that |F(v) - F(u) - F'(z)(v - u) | < ε(v -u),
whenever u < z < v and [u, v] ⊆ [a, b] ∩ (z - δ, z + δ).
(引用終り)

以上
162 ：: おお、スレの勢い35まで上がったぜ！（＾＾
163 ：: 一人で盛り上がって楽しいか？
164 ：: >>163
楽しいよ（＾＾
165 ：: >>163
一人じゃ無い
君がいるじゃないか～！（＾＾
166 ：: >>94 平均値の定理（補足の補足）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E5%9D%87%E5%80%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
平均値の定理
(抜粋)

平均値の定理は微積分学の他の定理の証明（例えば、テイラーの定理、微分積分学の基本定理）にしばしば利用される、大変有用なものである。平均値の定理の証明自体にはロルの定理を用いる。

微分の平均値定理

強い有限増分の定理

函数 f, g は閉区間 [a, b] 上で有限かつ連続、開区間 (a, b) で微分可能であるとき、区間 [a, b] 上で mg'(x) <= f'(x) <= Mg'(x) となる定数 m, M が存在するならば

m(g(b)-g(a)) <= f(b)-f(a) <= M(g(b)-g(a))

が成立する。
微分可能性に関しては、殆ど至る所微分可能や、殆ど至る所左側（resp. 右側）微分可能に緩めたもの、
あるいは微分係数が∞となることを許す場合でも、適当な仮定のもとで成り立つ[4]。
また、絶対値をとれば結論の不等式を

|f(b)-f(a)| <= M(g(b)-g(a)) <= (M:= sup _{a<x<b}|f(x)|)

のような形に書くこともできる。[5]

つづく
167 ：: >>166　つづき

ラグランジュの平均値の定理

a < b とし、f(x) を閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能な関数とする。このとき開区間 (a, b) 上に、ある点 c が存在して

{f(b)-f(a)}/{b-a}=f'(c)

が成り立つ。これを微分に関するラグランジュの平均値の定理という。
左辺は、グラフにおいて (a, f(a)), (b, f(b)) を結ぶ線分（曲線の弦と呼ぶ）の傾き（= 平均変化率）であるから、ラグランジュの平均値の定理は弦と平行な接線（= 瞬間の変化率）を持つ点が a と b の間に存在するということがこの定理の主張である。
つまり平均値の定理は存在型の定理である。

またラグランジュの平均値の定理は b=a+h、 c=a+θh とおくと、（ただし 0 < θ < 1 ）

f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)

とも表せる。

つづく
168 ：: >>167　つづき

積分の平均値定理

詳細は「積分の平均値定理（ドイツ語版）」を参照

一変数の場合を考えれば、有界な関数 f(x) が区間 [a, b] で連続かつ積分可能ならば

1 /{b-a} ∫ _a～b f(x) dx= f(ξ )
を満たす ξ が a < ξ < b の範囲に存在する。この式の左辺は、関数 f(x) が区間 [a, b] で掃く“符号付き”面積 ∫ab f(x) dx を区間の全長（図形の横の長さ）b ? a で割ったものである。
したがってこの等式は、関数 f(x) が区間 [a, b] において掃く図形の平均の“符号付き”高さ（その符号付き面積を持つ図形を一定の符号付き高さに均したときの高さ）を実現する点が区間内に存在することを保証する。

第一平均値定理の系として、開区間 (a,b) において有界変動かつ連続な関数 F(x) と有界な単調関数 φ(x) に対して、φ(x) はルベーグ・スティルチェスの意味で F(x) に関して可積分であって、a < ξ < b で

∫ _a～b φ (x) dF(x)= φ (a+0) {F(ξ )-F(a+0)}+ φ (b-0){F(b-0)-F(ξ )}

を満たすものが存在することが示せる。これを第二平均値定理という。
特に、開区間 (a,b) において、f(x) が可積分で φ(x) が有界かつ単調な関数であるならば、f(x) の不定積分が第二平均値定理にいう F(x) の条件を満たしているので、この場合の第二平均値定理の等式は

∫ _a～b f(x) φ (x)dx= φ (a+0) ∫ _a～ξ f(x) dx+ φ (b-0) ∫ _ξ～b f(x) dx

の形に表せる。
(引用終わり)

以上
169 ：: >>166 関連

>平均値の定理は微積分学の他の定理の証明（例えば、テイラーの定理、微分積分学の基本定理）にしばしば利用される

（>>64 より）
http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2006/PAPERS/Herschlag.pdf
Greg Herschlag: A brief introduction to gauge integration (pdf)

でも同じやね（下記(抜粋)）

(上記PDFより抜粋)
Integrating Derivatives
Theorem 4.4. Fundamental Theorem I. If f : [a, b] → R has a primitive F on [a,b], then f ∈ R* ([a, b]) and

∫a～b f = F(b) ? F(a).

Proof. The proof follows from the straddle lemma.
We apply the same gauge that arises from the differentiablity of F at each point in the interval.

(引用終わり)
170 ：: >>169 関連

＜微分積分学の基本定理（念のため（＾＾）＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
微分積分学の基本定理
(抜粋)
この事実こそ、発見者のニュートンやライプニッツらを微分積分学の創始者たらしめている重要な定理である。

また、どの程度病的な関数について定理が成り立つのかというのも意味のある疑問であるといえる。

現在では微分積分学の初期に学ぶ基本的な定理であるが、この定理が実際に発見されたのは比較的最近（17世紀）である。
この定理が発見されるまでは、微分法（曲線の接線の概念）と積分法（面積・体積などの求積）はなんの関連性も無い全く別の計算だと考えられていた。

概要

定理はいくつかの表現のバリエーションがあるが、大体にして以下のように述べられる：

1. f が区間 I 上連続ならば、任意の定数 a ∈ I および I 内を動く変数 x に対して、f の不定積分

F(x):=∫ _a～x f(t) dt

は x に関して I 上微分可能で、

d/dx(F(x)) = d/dx(∫ _a～x f(t) dt = f(x)

が成り立つ。すなわち、F は f の原始関数である。

2. f が区間 I 上微分可能で、導関数 f' = df / dx が可積分であるとき、任意の a, b ∈ I に対して

∫ _a～b f'(x) dx = f(b)-f(a)

が成り立つ。

3. f が区間 I 上連続ならば、F を f のある原始関数とするとき、

∫ _a～b f(x) dx = F(b)-F(a)

が成り立つ。

つづく
171 ：: >>170 つづき

1．は積分してから微分するとまったく元に戻ることを、
2．は微分して積分すると、高々定数の差を除いてもとの関数が現われることをそれぞれ主張するものである。
1．を「第一微分積分学の基本定理」、
2．を「第二微分積分学の基本定理」と呼ぶことがある。
1．の証明は元の関数が面積の関数の導関数の定義そのものであることを利用し、
2．の証明においては平均値の定理（またはロルの定理）を用いる方法が一般に知られている。また、
3．の式を特に微分積分学の基本公式といい、これを用いて多くの定積分が計算できる。
ただし、
2．においては導関数が連続でなくとも成立するので、
3．よりも汎用性が高い。
なお、リーマン積分以外の積分については（たとえばルベーグ積分など）、別に基本定理が存在する。
(引用終わり)
以上
172 ：: おっちゃんです。
>>154
>だから、おっちゃん、
>自分のことを、人に当てはめるなよ（＾＾
>>152-153の ID:5xFBb0e5 は「おっちゃん」ではない。

>>155
そもそも、小平　解析入門とかの∀や∃を一切使っていない微分積分のテキストも多くある訳で、
微分積分の学習如きの段階で∀や∃、s.t. とかの記号は、
むしろ使わない方が望ましいという意図で>>131-133を書いただけ。
小平　解析入門と他の補助本での微分積分の学習者：多分、これらの記号は殆ど使っていないであろう。
杉浦　解析入門での学習者：使っているかも知れない。
173 ：: >>171
まあ、要するに、”the straddle lemma”なるものは
一般化された（広義）リーマン積分の”Fundamental Theorem”の証明に使われる（>>169の通り）

かつ、”the straddle lemma”の適用対象は、ｆそのものではなく
ｆの原始関数 F（”a primitive F on [a,b] ”>>169より）であって、ｆが病的でも、Fは普通という場合が多いのだった

https://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative
Antiderivative
(抜粋)
(Redirected from Primitive function)

In calculus, an antiderivative, primitive function, primitive integral or indefinite integral[Note 1] of a function f is a differentiable function F whose derivative is equal to the original function f.
This can be stated symbolically as F ′ = f.[1][2]
(引用終わり)
174 ：: ”the straddle lemma”は、病的な関数には適用不可ということを、ご注意申し上げておく（＾＾
175 ：: >>172
おっちゃん、どうも、スレ主です。
おっちゃん、よく勉強しているね（＾＾
176 ：: >>175
∀や∃、s.t. とかの記号が必要になるのは。
色々な記号を多用するような段階の話で、もっと後。
177 ：: ∀、∃なんて大学生以上には空気のようなもの、いちいち騒ぎ立てなさんな
しかしスレ主のレベルの低さにはほとほと呆れかえる
178 ：: >>177

ご苦労さん（＾＾

（>>169より）
http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2006/PAPERS/Herschlag.pdf
Greg Herschlag: A brief introduction to gauge integration (pdf)

このGreg Herschlag先生（ Chicago大）のPDFの中に、
あなたご推奨の∀、∃がいくつ使われているか、
数えてみたらどうかね？（＾＾
179 ：: >>96 関連

>ここでは、”ディリクレ関数、トマエ関数、”modefied ruler function”・・・”のような、R中稠密な不連続点を持つ関数（具体的には有理点だが）に関して、
>「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」と、定義する。

今見ると、”PATHOLOGICAL FUNCTION”について、下記のJUAN LUIS VARONA先生の表題も同じ考えみたいだね（＾＾

スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/81 より
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
180 ：: >>179

余談だが、このJUAN LUIS VARONA先生のPDF中、∀が１回だけさりげなく、出てくる。∃は皆無だな（＾＾
181 ：: >>178 補足

下記PDF中に、病的な関数のDirichlet’s Funtion がP3の（3.2）式として出てくるが
だけど、”The Straddle Lemma”は、Dirichlet’s Funtionに直接適用することはできません！病気だから・・（＾＾
が、Dirichlet’s Funtionの原始関数には適用されます

http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2006/PAPERS/Herschlag.pdf
Greg Herschlag: A brief introduction to gauge integration (pdf)
182 ：: >>65 参考
>　Before continuing it is important to acknowledge and note that all of the ideas of this paper are drawn from Robert G. Bartle’s A Modern Theory of Integration.

https://www.amazon.co.jp/Modern-Integration-Graduate-Studies-Mathematics/dp/0821808451
A Modern Theory of Integration (Graduate Studies in Mathematics) (英語) ハードカバー ? 2001/4/1 Robert G. Bartle (著)
(抜粋)
内容紹介
The theory of integration is one of the twin pillars on which analysis is built.
The first version of integration that students see is the Riemann integral.
Later, graduate students learn that the Lebesgue integral is "better" because it removes some restrictions on the integrands and the domains over which we integrate.
However, there are still drawbacks to Lebesgue integration, for instance, dealing with the Fundamental Theorem of Calculus, or with "improper" integrals.
This book is an introduction to a relatively new theory of the integral (called the "generalized Riemann integral" or the "Henstock-Kurzweil integral") that corrects the defects in the classical Riemann theory and both simplifies and extends the Lebesgue theory of integration.
Although this integral includes that of Lebesgue, its definition is very close to the Riemann integral that is familiar to students from calculus.
One virtue of the new approach is that no measure theory and virtually no topology is required. Indeed, the book includes a study of measure theory as an application of the integral.

つづく
183 ：: >>182 つづき

Part 1 fully develops the theory of the integral of functions defined on a compact interval.
This restriction on the domain is not necessary, but it is the case of most interest and does not exhibit some of the technical problems that can impede the reader's understanding.

Part 2 shows how this theory extends to functions defined on the whole real line.
The theory of Lebesgue measure from the integral is then developed, and the author makes a connection with some of the traditional approaches to the Lebesgue integral.

Thus, readers are given full exposure to the main classical results.
The text is suitable for a first-year graduate course, although much of it can be readily mastered by advanced undergraduate students. Included are many examples and a very rich collection of exercises.
There are partial solutions to approximately one-third of the exercises.

https://www.amazon.com/product-reviews/0821808451/ref=cm_cr_dp_d_cmps_btm?ie=UTF8&reviewerType=all_reviews
Amazon.com: 5つ星のうち5.0 1 件のカスタマーレビュー
David Karapetyan
5つ星のうち5.0Nice intro to gauge integrals
2009年5月20日 - (Amazon.com)

Excellent introduction to the theory of gauge integrals. A mild acquaintance with riemann integrals is all that's required to get started with this book.
8人のお客様がこれが役に立ったと考えています.
(引用終り)

以上
184 ：: >>183 関連

目次があるね
http://www.gbv.de/dms/ilmenau/toc/322396417.PDF
目次 A Modern Theory of Integration - GBV A Modern Theory of Integration. Robert G. Bartle.
185 ：: >>183 関連

https://en.wikipedia.org/wiki/Robert_G._Bartle
Robert G. Bartle
(抜粋)
Robert Gardner Bartle (1927 ? 2003) was an American mathematician specializing in real analysis. He is known for writing the popular textbooks The Elements of Real Analysis (1964), The Elements of Integration (1966), and Introduction to Real Analysis (2011) published by John Wiley & Sons.

Bartle was born in Kansas City, Missouri, and was the son of Glenn G. Bartle and Wanda M. Bartle. He was married to Doris Sponenberg Bartle (born 1927) from 1952 to 1982 and they had two sons, James A. Bartle (born 1955) and John R. Bartle (born 1958).
He was on the faculty of the Department of Mathematics at the University of Illinois from 1955 to 1990.

Bartle was Executive Editor of Mathematical Reviews from 1976 to 1978 and from 1986 to 1990. From 1990 to 1999 he taught at Eastern Michigan University. In 1997, he earned a writing award from the Mathematical Association of America for his paper "Return to the Riemann Integral".[1]

References
1.^Jump up ^ Bartle, Robert G. (1996). "Return to the Riemann Integral". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 103 (8): 625?632. doi:10.2307/2974874. JSTOR 2974874.
・Robert G. Bartle (1990) "A brief history of the mathematical literature".
・Jane E. Kister & Donald R. Sherbert (2004) "Robert G. Bartle (1927 ? 2003)". Notices of the American Mathematical Society 51(2):239?40.
・Robert G. Bartle, 75, Mathematician and Author, New York Times (2003) [1]
(引用終り)
186 ：: >>185 関連
> 1.^Jump up ^ Bartle, Robert G. (1996). "Return to the Riemann Integral". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 103 (8): 625?632. doi:10.2307/2974874. JSTOR 2974874.

https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/return-to-the-riemann-integral
Return to the Riemann Integral
by Robert G. Bartle
Year of Award: 1997
Publication Information: The American Mathematical Monthly, vol. 103, 1996, pp. 625-632
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Bartle625-632.pdf
187 ：: >>186 補足

このPDFと、>>178のGreg Herschlag: A brief introduction to gauge integration (pdf)とは、内容がかなり重なっているね
188 ：: >>186 関連

検索で引っかかったので（＾＾
http://www.mathresource.iitb.ac.in/integration.pdf
EVOLUTION OF INTEGRATION
From Antiguity to Riemann
Prof. INDER K. RANA
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
I. I. T. BOMBAY,

http://www.mathresource.iitb.ac.in/
MATHEMATICS RESOURCE CENTER
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
INDIAN INSTITUTE OF TECHNOLOGY BOMBAY, INDIA
189 ：: >>188 関連

これは約400ページの本です（＾＾

CHAPTER 10 THE GENERALIZED RIEMANN INTEGRAL

the Straddle Lemma：P171

https://sciencemathematicseducation.files.wordpress.com/2014/01/0471433314realanalysis4.pdf
Introduction to Real Analysis, Fourth Edition Robert G. Bartle Donald R. Sherbert November 20, 2010
190 ：: >>135-136
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%83%E3%82%AF%EF%BC%9D%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB%E7%A9%8D%E5%88%86
ヘンストック＝クルツヴァイル積分
(抜粋)
クルツヴァイルの定義の簡潔さから、微分積分学の入門的講義ではリーマン積分の代わりにこちらを用いるべきとする教育者もあるが、傍流である。
(引用終り)

ここ、原文は下記
https://en.wikipedia.org/wiki/Henstock%E2%80%93Kurzweil_integral
(抜粋)
The simplicity of Kurzweil's definition made some educators advocate that this integral should replace the Riemann integral in introductory calculus courses.[1]

References[edit]
Footnotes[edit]
1^Jump up ^ "An Open Letter to Authors of Calculus Books". Retrieved 27 February 2014.
(引用終り)

つづく
191 ：: >>190 つづき

http://www.math.vanderbilt.edu/~schectex/ccc/gauge/letter/
(抜粋)
AN OPEN LETTER
To: The authors of calculus textbooks

From: Several authors of more advanced books and articles --

Robert Bartle, USA <mth bartle@emuvax.emich.edu>
Ralph Henstock, Ireland <r.henstock@ulst.ac.uk>
Jaroslav Kurzweil, Czech Republic <kurzweil@mbox.cesnet.cz>
Eric Schechter, USA <schectex@math.vanderbilt.edu>
Stefan Schwabik, Czech Republic <schwabik@beba.cesnet.cz>
Rudolf Vyborny, Australia <R.Vyborny@mailbox.uq.edu.au>

Subject: Replacing the Riemann integral with the gauge integral

In summary, we feel that the changes in the calculus book would not be major but would improve the teaching of calculus. We invite your questions on these matters.

Sincerely,

Robert Bartle, Ralph Henstock, Jaroslav Kurzweil, Eric Schechter, Stefan Schwabik, and Rudolf Vyborny
(This letter is being distributed to publishers' representatives at the Joint Mathematics Meetings in San Diego, California, in January 1997. We may also try to publish it and/or distribute it in some other fashion in the near future, perhaps with slight modifications and/or more signatures.)
(引用終り)
以上
192 ：: さて
問題の定理がなんのなのか？
新参読者には分らないだろうから、下記を貼る（＾＾

（引用開始）
スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/594
＜422に書いた定理＞
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI [4/9]
以下の pdf に証明を書いた。

ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz

なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、
pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所ではその都度

「内点を持たない閉集合」

という言葉に置き換えた。
(引用終り)

つづく
193 ：: >>192 つづき

（補足）
スレ46 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1510442940/422
（ 421のリンク ttps://math.stackexchange.com/questions/2115/discontinuous-at-rationals-and-differentiable-at-irrationals ）
422 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/20(月) 16:45:28.40 ID:sVbA75bK [2/4]
>>421のリンク先の証明は個人的にはすんなり頭に入ってこないので、
微分可能な点の方から攻める方針でやってみたら、次の定理が得られた。

定理：f：R → R に対して、B_f＝{ x∈R｜limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜＜＋∞ } と置く。
もし R－B_f が高々可算無限個の疎な閉集合の和で被覆できるならば、f はある開区間の上で
リプシッツ連続である。

この定理を使うと、f：R → R であって、「xが有理数のとき不連続、xが無理数のとき微分可能」
となるものは存在しないことが即座に分かる。一応やってみると、そのような関数 f が存在したとすると、

R－Q ＝無理数全体＝ (fの微分可能点全体) ⊂ B_f

となるので、

R－B_f ⊂ Q ＝ ∪[p∈Q] { p } …(1)

となる。(1)の右辺は疎な閉集合の可算和だから、上の定理が使えて、f はある開区間(a,b)の上で
リプシッツ連続になる。特に、(a,b)の上で連続になる。QはR上で稠密だから、x∈(a,b)∩Qが取れる。
仮定から、fは点xで不連続であるが、しかしx∈(a,b)より、fは点xで連続であり、矛盾する。
(引用終り)

つづく
194 ：: >>193 つづき

スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/178-186
現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む49
(抜粋)
178 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2018/01/05(金)
PDFから証明をアスキー化して、全文を貼るよ（＾＾
（文字化けと誤記はご容赦。読みにくいだろうが、そう思ったら右のURLのPDFを嫁め。（＾＾ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明）
(引用終り)

以上

つづく
195 ：: >>194 つづき

えーと、それで（上記178-186より要点引用）
(抜粋)
補題1.5（注：”The Straddle Lemma”の変形） f : R → R とx ∈ R は lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
を満たすとする.
このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x － 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)]が成り立つ.

定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.

系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)

つづく
196 ：: >>195 つづき

＜問題点の指摘＞

１）（>>96）”ディリクレ関数、トマエ関数、”modefied ruler function”・・・”のような、R中稠密な不連続点を持つ関数（具体的には有理点だが）に関して、
「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」と、定義する。
「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」を、pathological、discontinuity、と、functionの、頭文字を取って、"PDF"とする（＾＾
紛らわしいときは、PD function、PD関数、あるいは、PD関数族などと表現することにしよう

２）「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」は、明らかに、補題1.5（注：”The Straddle Lemma”の変形）の仮定 ” lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”を満たさない。
　　よって、「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」は、補題1.5の適用範囲外
　（参考：>>174 ”the straddle lemma”は、病的な関数には適用不可、及び関連レス>>181,>>159,>>150などご参照）

３）定理1.7は、その証明中で、明示的に補題1.5を使っている。
　　なので、定理1.7は、「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」には、この定理を直接適用することができない
　（「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」の原始関数には、適用出来る場合がある。）

４）実際、定理1.7は、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”と主張するが、「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」には、リプシッツ連続である開区間は存在しない

５）系1.8で、「有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」ことを示すために、
　　定理1.7を適用して、”f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”としているが、
　　系1.8の関数ｆは、「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」であるから
　　定理1.7を適用するのは不適切であり、矛盾が導かれるとする背理法は不成立（それは、もともと適用ルール違反であり、矛盾が導かれるのは当然）

以上
197 ：: スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/41
(抜粋)
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り)

＜参考＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Sengupta
Sengupta
(抜粋)
Sengupta is a surname found among Bengali people of India and Bangladesh. They belong to the Baidya caste.

Contents [hide]
1 Geographical distribution
2 Notables
3 References
4 See also
Geographical distribution[edit]
As of 2014, 67.8% of all known bearers of the surname Sengupta were residents of India and 22.5% were residents of Bangladesh. In India, the frequency of the surname was higher than national average in the following states and union territories:[1]

1. West Bengal (1: 1,621)
2. Tripura (1: 9,413)
3. Arunachal Pradesh (1: 10,887)
4. Delhi (1: 11,950)
5. Andaman and Nicobar Islands (1: 14,613)
Notables

Ushoshi Sengupta, (born 1988) Indian beauty pageant contestant and winner of Miss India Universe 2010
(引用終り)
198 ：: >>197 参考

https://www.google.com/search?as_q=Ushoshi+Sengupta+%E5%86%99%E7%9C%9F&as_epq=&as_oq=&as_eq=&as_nlo=&as_nhi=&lr=&cr=&as_qdr=all&as_sitesearch=&as_occt=any&safe=images&as_filetype=&as_rights=
Ushoshi Sengupta 写真

http://www.afpbb.com/articles/modepress/2748221?pid=6076546
ミス・ユニバース出場者、本番に向けてリハーサル 2010年08月14日 12:28　発信地：ラスベガス/米国 AFPBB News
199 ：: ところで
CHRISTOPHER P. CHAMBERS先生は、数学の専門家ではないが、下記”Intergenerational Equity: Sup, Inf, Lim Sup, and Lim Inf”
”6. Open problems ”が、どこまで正確か不明ですが
http://chambers.georgetown.domains/
CHRISTOPHER P. CHAMBERS Professor of Economics Department of Economics Georgetown University

CV http://chambers.georgetown.domains/CPCVita.pdf
(抜粋)
B.S., Mathematics and Economics, with honors in mathematics, May 1998. University of
Maryland, College Park.
M.A., Economics, June 2001, University of Rochester.
Ph.D., Economics, June 2003, University of Rochester. Supervisor: William Thomson.
(引用終り)

http://chambers.georgetown.domains/papers.html
19. Intergenerational Equity: Sup, Inf, Lim Sup, and Lim Inf Social Choice and Welfare 32 (2009), 243-252.
http://chambers.georgetown.domains/intergeneqrev2.pdf

Abstract
We study the problem of intergenerational equity for utility streams and
a countable set of agents. A numerical social welfare function is invariant
to ordinal transformation, satis?es a weak monotonicity condition, and an
invariance with respect to concatenation of utility streams if and only if it
is either the sup, inf, lim sup, or lim inf. Keywords: intergenerational
equity, supremum, limit superior.

6. Open problems
An interesting fact is that these results do not extend to continuum of agents (or
higher cardinalities of agents) models. For example, consider the rule, which is
a kind of ?countable lim sup,?which speci?es that the utility of a society is the
smallest value for which an at most countable number of agents receive at least
that value. This rule satis?es all of the axioms we have posited, yet it is not
strictly speaking a inf, sup, lim inf, or lim sup. An interesting question is to
study these generalized limit concepts for arbitrary cardinalities of agents.
(引用終り)
以上

200 ：: あんまり関係ないけど、ヒットしたので貼る（＾＾
http://www.math.nus.edu.sg/~matwujie/NUS-12-2006.pdf
Topology and Poincare Conjecture 2006/12/14 Jie Wu Department of Mathematics National University of Singapore
201 ：: 栃ノ心優勝か。「ジョージア」は、昔は”グルジア”とか言ったかも（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%83%E3%83%8E%E5%BF%83%E5%89%9B%E5%8F%B2
栃ノ心剛史
(抜粋)
栃ノ心剛史（つよし、1987年10月13日 - ）は、ジョージア・ムツヘタ出身で春日野部屋所属の現役大相撲力士。本名はレヴァニ・ゴルガゼ（グルジア語表記：）。愛称はレヴァニ、角界のニコラス・ケイジ。身長192cm、体重177kg。得意技は右四つ、寄り、

目次
1 来歴
2 素質・取り口
3 合い口
4 略歴
5 エピソード

来歴
相撲を始める前は柔道とサンボを経験し、サンボではヨーロッパ王者になったこともある。小学生に入るころに柔道とチオダバと呼ばれるジョージアの伝統格闘技を始めた。
自身も柔道と相撲の強豪選手であった弟のラシャ・ゴルカゼが「兄は真面目で、いつも練習ばかりしていた。私は真似できなかったなあ」と振り返るのを筆頭に、複数の証言者がレヴァニの練習熱心さを語っている。
2004年の世界ジュニア相撲選手権大会に全く相撲の稽古をしないまま出場したのが初めての相撲経験であり、この時に3位入賞を果たした。世界ジュニア大会ではほかにも重量級準優勝などの実績を残している。
柔道が好きであったので角界入りについては迷っていたが、同郷の黒海に話を聞いたり家族に相談したりした末に入門。本人は後年「相撲に入っていなかったら多分、柔道でオリンピックに出ていたでしょうね。ジョージア代表で出ていた選手には一度も負けたことがなかったからね」と話している。
レスリング出身者が多い欧州勢の中で、相撲エリートとしての実績や恵まれた体躯、優れた身体能力から、入門時より将来の角界を担う力士として期待された。木村山とは十両昇進後も設備上の理由で同じ個室で生活していた時期があり、木村山が結婚して夫人とともにマンション暮らしをするようになるまで相部屋生活は続いた。

（2017）11月場所直前の11月8日には長女が誕生。長女は「アナスタシア」と名付けられたが、これはグルジアで育ったロマノフ朝のアナスタシア・ミハイロヴナから取られたものである。

・妻とは幼馴染であり、お互いの家が歩いていけるぐらいの距離にあったという。高校も一緒であったが、付き合うようになったのは大相撲に進んでからであり、基本的に遠距離恋愛だったという。
(引用終り)
202 ：: https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%82%A2_(%E5%9B%BD)
ジョージア (国)
(抜粋)
ジョージア（グルジア語: ??????????, ラテン文字転写: sakartvelo, 英語: Georgia）は、南コーカサスにある共和制国家。東ヨーロッパ[3][4][5]、もしくは西アジアに区分される[5][6]。日本では2015年4月まで政府が使用していた外名の「グルジア」（ロシア語: Грузия, Gruziya）としても知られている（詳細は後述）[7]。首都はトビリシ。

ソビエト連邦の構成国であったが、1991年に独立した。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%82%A2_(%E6%9B%96%E6%98%A7%E3%81%95%E5%9B%9E%E9%81%BF)
グルジア (曖昧さ回避)
(抜粋)
グルジア (ロシア語: Грузия, Gruziya)
英語読みではジョージア (英語: Georgia) となる。

地名[編集]
・グルジア - コーカサス地方の国家。稀に「グルージア」とも書かれる。日本国政府は2015年に呼称を「ジョージア」に変更している。
・グルジア王国 - 11世紀から15世紀にかけて存在した王国。
(引用終り)
203 ：: >>127 関連
> http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v163-n1-p03.pdf
>Invariant measures and arithmetic quantum unique ergodicity By Elon Lindenstrauss* Appendix with D. Rudolph Annals of Mathematics, 163 (2006), 165?219

エルゴード理論
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B4%E3%83%BC%E3%83%89%E7%90%86%E8%AB%96
エルゴード理論
(抜粋)
エルゴード理論（エルゴードりろん、英語：ergodic theory）は、ある力学系がエルゴード的（ある物理量に対して、長時間平均とある不変測度による位相平均が等しい）であることを示す、すなわちエルゴード仮説の立証を目的とする理論。
この仮説は、SinaiらのDynamical billiardsの例などで正しいという証明が与えられているが、統計力学の基礎とは無関係である。また、物理学でのエルゴード性を抽象化した、数学における保測変換の理論をそう呼ぶこともある。

長時間平均
統計的、事象的、観察結果
位相平均
計算論的、収束するもの、あるいは一定のサイクルに収めることの出来るもの、全事象等確率的として推察できるもの
上記2つの平均が同じような値（あるいは関数）を得られるものについて、エルゴード的ということが出来る。

目次 [非表示]
1 保測変換
2 エルゴード仮説
2.1 問題点
3 数学におけるエルゴード理論
3.1 重要な概念
3.1.1 可測力学系
3.1.2 エルゴード性
3.1.3 混合性
3.2 エルゴード定理
3.3 例
3.4 連分数への応用
4 物理学におけるエルゴード理論
5 関連項目
6 引用
7 関連書籍

つづく
204 ：: >>203 つづき

保測変換
確率測度Ｐにおいて保測変換Ｔは任意の事象Ａにおいて P(TA)=P(A) といった具合にＡの起こりうる確率を変化させずに別又は同じ事象TAに変換するものをいう。即ち、確率測度という大きさの測り方を指定したときに、大きさを変えずに変化させる操作の総称をいう。
ただし、 P(T^(-1)A)=P(A) であることはmeasure preserving（邦訳：測度保存）という名がついており、可逆性を満たせば保測変換になるという広いクラスとなる。

エルゴード仮説
エルゴード仮説とは、長い時間尺度 (time scale) でみると、微小状態からなる位相空間内で同じエネルギーをもった領域に費やされる時間は位相空間でしめる体積に比例するというもの。
すなわち、そのようなすべての実現可能な微小状態は長い目で見ると等しい確率で起こるということ。さらに言いかえれば、時間平均と、統計力学でいうアンサンブル（起こりうる微小状態の数だけある系のレプリカの集まり）内での平均は等しくなるということ。

証明されていないため仮説の域は出ないものの、この仮説を採用してシミュレーションを行うと現実を非常にうまく説明できることを疑うものはいない。その意味で特に工学分野において、証明を必要とする「仮説」の字を避けエルゴード仮設と呼ぶことがある。

問題点
エルゴード仮説は統計力学の基礎としては的を外しているという主張も専門家によってなされている[1]。

数学におけるエルゴード理論
エルゴード理論は確率論にもとづいた力学系の一つの分野である。物理へのみならず数論など数学の他分野への応用も多い。上記のエルゴード仮説との直接の関係は薄い。

重要な概念
エルゴード理論での基本的な事柄を説明する。主に離散力学系を扱うが、連続力学系についても同様のことを考えることが出来る。

可測力学系
確率空間 (X, {B},μ)を考える。即ち、X をある集合、 {B}を X 上の完全加法族、そしてμを確率測度とする。さらに T:X → X を {B}-可測な写像とする。全ての A ∈ {B} に対して μ (T^(-1)A)=μ (A)を満たすとき、μは(T-)不変測度であるという。このとき、 (X, {B},μ ,T) を可測力学系と呼ぶ。
ここでの興味の対象は、任意の始点 x ∈ X からの軌道 {T^{n}(x)}_{n ∈ No}の振舞いである。

つづく
205 ：: >>204 つづき

エルゴード性
T-不変な {B} の集合を {I}=A ∈ {B}:T^(-1)A=A} と書く。ある可測力学系 (X, {B},μ ,T) が(もしくは不変測度 μが)以下の同値な条件の一つを満たすときエルゴード的であるという。

1.任意の A ∈ {I} に対して、 μ (A)=0 または μ (A)=1 が成り立つ。
2.任意の μ (A △ T^(-1)A)=0 を満たす A ∈ {B} に対して、 μ (A)=0 または μ (A)=1 が成り立つ。
3.任意の μ (A),μ (B)>0 を満たす A,B ∈ {B} に対して、ある n ∈ N があり、 μ (T^{-n}A ∩ B)>0 が成り立つ。
4.任意の f ∈ L_{μ }～{2}に対して、 f ○ T=f が μ -殆ど確かに成り立つならば、 fは定数関数である。
5.任意の A,B ∈ {B} に対して lim _{n → ∞ }{1/n}Σ _{k=0}～{n-1}μ (T^{-k}A ∩ B)=μ (A)μ (B) が成り立つ。

1.は、測度論の視点から見れば空間 X は T-不変な真の部分空間を持たないということを意味している。 3.で A=B の場合はポアンカレの回帰定理によって全ての可測力学系で成り立つ。 5.は混合性と呼ばれる性質の一つである。

このような力学系をエルゴード的と呼ぶ結縁は各種エルゴード定理にある。エルゴード性は重要な概念であるが、エルゴード理論で扱う力学系はエルゴード的な物に限られるわけではない。

つづく
206 ：: >>205 つづき

連分数への応用
写像 T:[0,1]＼Ｑ → [0,1]＼Ｑを x を 1/x の小数部分に写す写像とする。つまり

T(x)=1/x-|_1/x_|

と定義する。この写像は Gauss map と呼ばれることがある。

このとき a_{n}(x),n=1,2,・・・ } a_{n}(x),n=1,2,・・・を a_{n}(x)=|_ { 1/T^(n-1) (x)_| と定めると、これは x=[0;a_{1}(x),a_{2}(x),・・・ ] と xの連分数表現を与える。

つまり任意の x ∈ [0,1]＼Ｑは

x&=a_{1}(x)+1/{a_{2}(x)+1/{a_{3}(x)+1/{・・・ }}}

と表される。さらに、 [0,1] 上のボレル確率測度 μ を

μ (A)=1/{log 2} ∫ _{A}1/{1+x} dx

と定義する。これはガウス測度と呼ばれることがある。

この μ は T-不変であるので ([0,1], {B}([0,1]),μ ,T)は可測力学系となっている。

この力学系はエルゴード的であることも知られている。

物理学におけるエルゴード理論
物理学、特に量子力学において、エルゴード理論をパイを作るときの混合で説明している[2]

引用
1^ 田崎晴明による解説統計力学 I, II（培風館、新物理学シリーズ）
2^ 伏見康治「確率論及統計論」第 VIII 章エルゴード理論 72節. 或る今後の問題 p.413 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204

(引用終り)
以上
207 ：: >>206 関連
> 1^ 田崎晴明による解説統計力学 I, II（培風館、新物理学シリーズ）

http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/statbook/
統計力学 I, II（培風館、新物理学シリーズ）田崎晴明学習院大学理学部物理学教室田崎晴明ホームページ「質問や疑問への回答」のページを更新 (2010/6/2)
(抜粋)
本書の特徴（あるいは、すぐれている（と私が考えている）点）

統計力学の基礎の部分については、初学者、既習者を問わず、以下を特徴と感じてもらえると思っています。
・「統計力学の基盤はマクロな経験事実である」という立場を貫き、できるかぎり見通しのよいストーリーを提示した（既習者や専門家のために、エルゴード仮説が統計力学の基礎としては的を外している理由も解説した）。
(引用終り)

つづく
208 ：: >>207 つづき

http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/statbook/QandA.html
統計力学 I, II --- 質問や疑問への回答田崎晴明学習院大学理学部物理学教室
(抜粋)

１）
4-1-2 節では「平衡状態への緩和」を導いているように見える。すると、ここではエルゴード仮説を暗に用いていることにはならないか？

これは、2 ちゃんねる（大きな web 掲示板）にあがっていたのをある方に教えてもらった疑問にもとづいています。
まず、「4-1-2 節で平衡状態への緩和を導いている」というのは誤解です。
ただし、誤解の責任は著者にあります。とくに、ある程度の予備知識があり、またぼくの本を一通り読んだ人が、後からふと気になって 4-1-2 節だけを読み返すと、このような誤解が生じうるのだろうと思います。
第 4 刷では、修正を加えて誤解の可能性を減らそうと思います（訂正リストの該当箇所を参照してください）。

なぜ誤解かを説明します。 4-1 節は、まずマクロな世界での熱力学的な経験事実（平衡状態への緩和と平衡状態の普遍性）を認め、それと整合するようなミクロな描像を探るという論理で書かれています。
なので、平衡への接近はそもそも最初から仮定されていることで、ここで導出しようという対象ではありません。
実際、4-1-2 節の最後のほうでの「平衡への接近」の説明は、ほとんど言葉だけで書いてあります（しかも「期待される」とか「失われていくはずだ」というような曖昧な言葉を多用している）。
これは、「平衡への接近」を導出しているのではなく、「こう考えれば、ミクロな描像と話があってなっとくできる」ということを書きたかったからです。（第 3 刷までの書き方はよくないので、誤解が生じうると思います。）

つづく
209 ：: >>208 つづき

ところで、疑問の後半部分はまったくの誤解です。平衡への接近の問題はきわめてデリケートで、エルゴード性を認めても解決はしません。これは 4-1-6 節をよく読めばわかるはずです。
そもそも、エルゴード性で保証される緩和時間は異様に長く、実際問題としての意味をなさないという点があります。
さらに、エルゴード性というのは、あくまで初期値について（平衡状態の測度で測って）測度 1 で成り立つ性質なので、エルゴード的にるるまわない例外的な状態（の集まり）がつねに許されます。
そのような状態を初期値にとれば、平衡への緩和は（宇宙年齢をはるかに越える時間が経ったとしても）おきません。

では、より真面目な問題として、「平衡状態への緩和はミクロな力学に基づいて理解・導出できるのか？」が気になるでしょう。 4-1-5 節で触れたように、これは現段階では理論物理学の困難な未解決問題の一つであると言っていいと思います。
実は、ぼく自身もかつて「量子系の一部分での物理量の期待値が長時間の後にはカノニカル分布の期待値に一致することを量子力学だけを使って示す」という無茶な（といっても、内容は数学的にしっかりした）論文を書いています。
そこでも、系の初期条件について、物理的に自然だが何故そうなのかは決して自明ではない条件を課した上で、平衡への緩和を証明しています。ぼく自身は、「平衡への接近」を力学のみから導出するには、

・古典力学でなく量子力学を用いる
・系の初期状態について何らかの仮定を置く

ことが必須だと感じています。特に二つ目の点は、「マクロな量子系での安定な状態とは何か？」という重要問題とも深く関わっていると思っています。

つづく
210 ：: sage
211 ：: >>209 つづき

２）
エルゴード仮説を使わないということは、独自の新しい統計力学なのか？

ちがいます。当然ですが、ごく普通の教科書的な（←教科書ですし）統計力学を解説しています。
実際、等重率の原理（4-1-3 節）を認めれば、どんな本でも、その後の展開に基本的な違いはありません。そこから先が、完成した平衡統計力学だからです。

私の本では、等重率の原理を認める主たる根拠を経験事実に置いているわけですが、これも決して過激なことを言っているわけではありません。
それに近い議論をしていたり、そういう空気を漂わせている本は過去にもあったと思いますし（バークレーの統計力学とか、そうじゃなかったかな？　長岡さんの統計力学も（ずっとあっさりしているけれど）似た感じですね）、こういうことは、多くの人が（明文化するにせよしないにせよ）なっとくしていたことだと思っています。

一方、「エルゴード仮説が統計力学の基礎」という立場を表明している教科書や文献でも、実際には、エルゴード性からの等重率の原理の本当の導出を説明しているわけではありません（4-1-6節で解説しているように、そういう導出は不可能）。
（正確な数学的定義には踏み込まず）エルゴード性の大ざっぱな説明が書いてあって、それから、等重率の原理が宣言してあるというのが定番のやり方です。

というわけですから、「エルゴード仮説を使わない」というのは、（実質問題としては）さほど目新しい事ではないのです。

つづく
212 ：: >>211 つづき

３）
エルゴード仮説による統計力学の基礎付けを批判しているが、ということは、（統計力学における）力学の役割を認めないのか？

（これは、統計力学をよくご存知の人からの疑問なので、初学者は気にしないでかまいません）
もちろん力学は本質的に重要な役割を果たします。

それをもっとも端的に表しているのは、81 ページの

簡単化し過ぎることを恐れずに言い切れば、マクロな熱力学の体系と整合するように、ミクロな(量子)力学の体系に確率分布を導入したのが、平衡統計力学なのだ。
という文でしょう。また、本の構成をみても、統計力学を議論する前の二つの章を、確率（2 章）と量子力学における定常状態（＝エネルギー固有状態）の状態数（3 章）にあてています。確率と（量子）力学を整理した上で、熱力学の経験事実を参照して、統計力学に進もうという姿勢です。
ただし、表題にもあるように、エルゴード仮説を統計力学の基礎に置くことはしていません。
（そもそも大自由度系でエルゴード性が示された非自明な例がほとんどないことはともかく）初期値の選択や時間スケールの問題などを真面目に考えると、エルゴード仮説から統計力学を導くというシナリオには明らかな無理があることがわかります（4-1-6節で詳しく説明しています）。
ですから、エルゴード仮説を字義通りに解釈する本にあるような「現実に測定する物理量は長時間の力学的時間発展の平均値」とは言いませんから、そういう意味で力学を使っていないとは言えます。

「エルゴード仮説が統計力学に使えないことには賛成だが、それでも、もっと力学からの情報を使うべきではないか？」という（風に解釈できる）疑問を表明した方もいらっしゃいました。

つづく
213 ：: >>212 つづき

エルゴード性を気にしないとすると、統計力学の平衡分布に求める力学的な性質としては、不変性が考えられます（細かい注：平衡状態の確率モデルが（ミクロな意味で）時間発展についての不変性をもつ必然性はないと思いますが、もっていて悪い理由はない。
正しい確率モデルを模索するときには時間発展不変性は頼もしい指針の一つになります）。私の本では、すべてを量子力学で議論し、（孤立した）量子系のエネルギー固有状態（＝定常状態）を基本にしてものを考えています。
エネルギー固有状態（＝定常状態）を使って確率モデルを作ろうということは、つまり、時間発展について不変な確率モデルだけを探しているということです。つまり、私の本でも、力学的な時間発展についての不変性は、きわめて積極的に使われています。

さらに、（統計力学にとっては本質的なことですが）エネルギー固有状態を一個、二個と数え上げるところで、もちろん、量子力学における状態の独立性の概念をはっきりと使っています。

もちろん、平衡状態への緩和過程に代表される、長時間にわたる力学の時間発展をあらわに取り扱うことなく平衡状態が正確に特徴づけられるのが、平衡統計力学の驚異の一つです。
そういう意味で、力学からの情報が驚くほど少なくてかまわないのは事実ですが、それは、平衡統計力学の本質的な性質であって、私の本の書き方とは無関係です（どんな本でも同じ、ということ）。

つづく
214 ：: >>213 つづき

４）
古典系の等重率の原理はどのように位置づけているのか？

（これは、統計力学をよくご存知の人からの疑問なので、初学者は気にしないでかまいません）
私の本では、量子系の統計力学を基本とし、古典系については古典極限としてのみ議論します。

エルゴード仮説の役割を批判的に論じた部分では古典系のミクロカノニカル分布が登場しますが、それは、あくまでそこで議論しているだけで、本の論理的な流れのなかでは古典系の等重率の原理にはまったく触れていません。とはいえ、私自身が、古典系の等重率の原理について、どのように考えているかを書いておこうと思います。

古典系の等重率の原理に到達する一つの自然な流れは、もちろん、量子系を出発点とすることです。教科書にもあるように、量子系で、「エネルギーがほぼ U の状態は、ほとんどがそっくり」ということを拠り所にして、量子系の等重率の原理を要請。そこで、古典極限をとれば、古典系の等重率の原理になります。

この論法は悪くないのですが、古典系を考えるなら、古典力学だけで閉じたロジックで等重率の原理を導くほうが気持ちがいい。ところが、結論を書いてしまうと、どうもそのようなまともなロジックはないようです。

つづく
215 ：: >>214 つづき

要するに、エネルギーが U と U + DU の範囲にあるような状態（古典系だから、相空間の点）にどのような重みをつければいいかという問題だから、これは相空間上の測度を選ぶ問題です。通常の平衡統計力学につながる「正解」は、（p, q 座標についての）ルベーグ測度を選ぶことですが、なぜルベーグ測度を特に選ぶかの理由を考えなくてはいけません。

ひとつの基準は、力学の時間発展について不変な測度を選ぶこと。ところが、ちょっと考えれば分かるように、不変測度なんていくらでもあります。
そこで、不変測度のなかでもエルゴード性を満たすエルゴード測度を選ぶという考えがあるわけですが、（そもそも大自由度の一般の力学系で、ミクロカノニカル測度がエルゴード的かどうかを判定するのは、人類には全く歯が立たない超難問だし）ミクロカノニカル測度以外にもエルゴード的な測度はたくさんある。

もちろん、ミクロカノニカル測度以外のエルゴード的測度（あるいは、エルゴード的と期待される測度）は、（周期軌道の上に局在していたり、フラクタル的だったりと）直観的にいって「変な」ものが多いと考えられます。
そこで、この「変さ」を厳密に定式化すれば、ルベーグ測度を選ぶ基準が得られるのではと期待されます。しかし、よく考えてみると、「変だ」と思うのは、測度が特異的だから、つまり、ルベーグ測度に対して絶対連続でないからに過ぎません。
要するに、ぼくらの頭に「ルベーグ測度が自然」という先入観があったというだけで、ルベーグ測度を特権的にあつかうべき論理的な理由があったわけではないようです。

そうやって、ひたすら真面目に考えていくと、けっきょく、古典力学の範囲でルベーグ測度を特別扱いすべき根拠というのは、どうしてもみつからない（明らかに、ルベーグ測度がもっとも「自然」なのだけれど・・）。

つづく
216 ：: >>215 つづき

ところが、ここで、量子力学を持ち出せば、古典極限を記述するにはルベーグ測度が自然だということが直ちにでてきてしまうわけです（p, q についての不確定性原理の形を考えてみても、p, q 座標でのルベーグ測度が自然なのは明らか）。
確かに、ぼくらが住んでいる世界は量子力学で記述されているわけだから、古典極限を理解するために量子力学の助けが必要というのは、不思議ではないかも知れない。ただ、ここでほんとうに量子力学に頼る必要があるのか、釈然としない気分になることも時々あります。

(引用終り)

以上
217 ：: >>150
"補題(straddle lemma)
f : R → R は点x ∈ R で微分可能とする. このとき, 次が成り立つ.
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀y, z ∈ R
[ x － δ <= y <= x <= z <= x + δ)→ ｜f(z) － f(y) － f’(x)(z － y)｜ <= ε(z － y) ] .
この補題がstraddle (またぐ・またがる) と呼ばれているのは, y とz を「x をまたぐように取る」
からである. そして, (＊) の計算は, この補題の証明と同じ考え方を適用したに過ぎない.
結局, 全体としては, 極めてオーソドックスかつ簡単な議論で定理1.7 が証明できたことになる."

下記、思いついたときに書いておく

１．（>>190）「クルツヴァイルの定義の簡潔さから、微分積分学の入門的講義ではリーマン積分の代わりにこちらを用いるべきとする教育者もあるが、傍流である。」
　　というのが、日本の現状だろう。
２．なので、日本では、”straddle lemma”は多くの人は馴染みがないだろう
３．”straddle lemma”は、このような、generalized Riemann integralの微分積分学の基本定理の証明に用いられるのが、主な用途
　　この用途では、ｆの原始関数Ｆに適用される。（ｆが病的でも、積分すると病気が治ることが多い）

以上
218 ：: 面白いまとめサイトがあったのでご紹介

まとめアットウィキ
https://www28.atwiki.jp/nopu/pages/30.html
数学
(抜粋)
多様体論
曲線論
曲面論
曲面論の導入
多様体スタブ
接ベクトル接空間，接束，ベクトル場，余接空間，1-form，微分形式，線積分
多様体上の微分 Lie微分，共変微分
Lie群
ファイバーバンドル接束（タンジェントバンドル），線形束（ベクターバンドル），テンソル束（テンサーバンドル），ファイブレーション
引き戻し
(引用終り)

https://www28.atwiki.jp/nopu/pages/241.html
射影
(抜粋)
1. 直積に対する射影（標準的射影）
2. 商集合に対する射影（自然な射影）
3. 線形空間における射影（冪等作用素）
4. ファイバー空間（直積の拡張）における射影

などが考えられる。
冪等については，片側逆写像との関係が深い。
(引用終り)

https://www28.atwiki.jp/nopu/d/%E5%88%87%E6%96%AD%E3%81%A8%E5%BC%95%E3%81%8D%E8%BE%BC%E3%81%BF
切断と引き込み

https://www28.atwiki.jp/nopu/d/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB
ファイバーバンドル
219 ：: 真円上の有理点は無限にあるけど、少しでも楕円になると途端に有限になる、ちょっと不思議。
220 ：: >>207-208
>> 1^ 田崎晴明による解説統計力学 I, II（培風館、新物理学シリーズ）

思いついたときに・・、
統計力学 I, II（培風館、新物理学シリーズ）田崎晴明は、過去にも紹介した記憶があるね～（＾＾
が、再度、hiroyukikojimaの日記（下記）を貼っておく

なお、学部数学科出身の経済学者の話としては、>>199 CHRISTOPHER P. CHAMBERS先生の”Intergenerational Equity: Sup, Inf, Lim Sup, and Lim Inf ”も
hiroyukikojima先生と同じような問題意識があって、>>199のpdf記事を書いたと思う

http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20170218/1487402631
経済学者がこぞって読むべき物理の本 hiroyukikojimaの日記 2017-02-18
(抜粋)
　今回は、久々に物理学の本の紹介をしようと思う。紹介するのは、田崎晴明『統計力学I』培風館だ。この本の元となる原稿は、かなり前に入手していた。
田崎さんが、TeXで作った原稿を製本した分厚い冊子をプレゼントして下さった(送りつけてきた)のである。

http://d.hatena.ne.jp/rakuten/book/13095538
統計力学（1）（新物理学シリーズ） [ 田崎晴明 ]

なぜ今頃読んだか、というと、それは経済学的なモチベーションからなのだ。

経済学では、「ミクロとマクロがいったいどうつながっているのか」というのは、いまだに解決されていない難題であり、突破口を見つけなければならない課題である。とりわけ、マクロ経済学において、ミクロ理論での基礎付けが要求される現状では不可避のことだ。

　そこでぼくは、統計力学をある程度きちんとわかりたい、となったわけだ。統計力学は、物理学において、ミクロとマクロの関係をなんとか解き明かそうとし、完全ではないが十分な成果を得ている。そんなわけで、分厚い私家版冊子を手にしている(押しつけられている)にもかかわらず、培風館版をあえて購入し、読み始めた次第である。

　ちゃんと読んでみたら、めちゃくちゃのけぞった、というか、驚いた、というか、感動した、というか、目を丸くした。そこには、ぼくの経済学的なモチベーションを刺激する記述があちこちにあったからだ。この本は、経済学者必読の物理学書と太鼓判を押せる本だったのである。
(引用終り)
221 ：: >>219
どうも。スレ主です。
レスありがとう

これも思いついたときに書いておくが

フェルマーの最終定理で、x^n + y^n = 1
n=2 のとき、真円上の有理点は無限にあるけど、n>=3 で真円から外れると途端に有限（有理点なし）になるということの一般形だね

この現象に似たと数理としては、ポアンカレ予想にもあって
高次元ではトポロジカルな操作の自由度が上がって、ポアンカレ予想が簡単に証明できるが

低次元になるほど、トポロジカルな操作の自由度が下がって、複雑怪奇な現象が現れるという
それに似ているかも（次元で数理の性質が変わる）

連分数展開でも似た話がある（下記）
二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られているが、３次以上ではそのような規則性は未発見だという

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0 連分数
(抜粋)
二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。
(引用終り)
222 ：: >>221

これも思いついたときに・・（＾＾
Ruler Functionの冪が、同じように、冪 r が、0のとき、1のとき、2超えのときで、全く数理の性質が変わる例になっているね（下記）

スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/40-41
40現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/28(木)
(抜粋)

http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.

Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.

Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.

** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)

Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.

THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.

(Each co-meager set has c points in every interval.)

つづく
223 ：: >>222 つづき

41 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/28(木)

[13] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at irrationals and discontinuous at rationals", abstract of talk given 2 November 1963 at the annual fall meeting of the Minnesota Section of the MAA, American Mathematical Monthly 71 #3 (March 1964), 349.

The complete text of the abstract follows, with minor editing changes to accommodate ASCII format.

Earlier results of Porter, Fort, and others suggest additional questions about the functions in the title. Differentiability and Lipschitz conditions are considered. Special attention ispaid to the ruler function (f) and its powers.
Sample results:
THEOREM:
If 0 < r < 2, f^r is nowhere Lipschitzian; f^2 is nowhere differentiable, but is Lipschitzian on a dense subset of the reals.
THEOREM:
If r > 0, f^r is continuous but not Lipschitzian at every Liouville number;
if r > 2, f^r is differentiable at every algebraic irrational.
THEOREM:
If g is continuous at the irrationals and not continuous at the rationals, then there exists a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.

REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り)

以上
224 ：: >>219

以前も紹介した数理女子より
http://www.suri-joshi.jp/enjoy/rational_point_of_the_quadratic_curve/
２次曲線の有理点数理女子
(抜粋)
以上のことから、2次曲線の無限遠点を含めた有理点の集合は、
P1(Q)か空集合かのいずれかになることが分かります。
(引用終り)

つづく
225 ：: sage
226 ：: >>224 つづき

http://www.suri-joshi.jp/enjoy/rational_points_of_elliptic_curve/
楕円曲線の有理点数理女子
(抜粋)
それでは、様々な楕円曲線に対して、有理点はどれだけあるのでしょうか？

点の数が有限個の場合もありますし、点の数が無限個の場合もあることが知られています。２次曲線の場合と様子が違うことが見て取れます。楕円曲線では有理点の個数が大きく変動することが知られています。これは、楕円曲線が２次曲線の様なパラメーター表示を持たないことかが知られていることにも起因しています。

楕円曲線の有理点の演算

Mordellの定理とBirchとSwinnerton-Dyer予想
以上の考察から、楕円曲線の有理点は二次曲線の場合とは異なり、有理点の数が有限個だったり無限個だったりと複雑な振る舞いをしていることが分かります。これに関して、以下の大事な結果が知られています。

Mordellの定理　
E(Q)は、有限個の有理点
P1,・・・,Pnから上記の操作で生成される。
Mordellの定理が主張していることは、
E(Q)のどの点も、
P1,・・・,Pnという有限個の有理点の和として求まるということです。

E(Q)自身は無限集合かもしれませんが、無限集合であったとしても有限個の有理点から操作を始めると全ての有理点が求まってしまうというところが、とても不思議で面白いところです。

Birch and Swinnerton-Dyer予想（BSD予想）は、楕円曲線の有理点の大きさが、
L
L関数と呼ばれる関数で記述されると予想しています。この予想は、幾何学的な対象の数論的な情報と
L
L関数の関係を調べるという、整数論と呼ばれる数学分野の中心的なテーマの１つであり、今後取り組むべき重要な７つの問題としてクレイ数学研究所により選ばれたミレニアム懸賞問題の１つでもある、とても大切な問題です。
多くの数値実験などにより、この予想が正しいことが期待されていますが、現在のところはまだ限られた楕円曲線に対してしか証明されていません。 BSD予想は、Deligne予想、Beilinson予想、Bloch-Katoの玉河数予想など、方程式で定義された幾何学的図形の数論的な情報と
L関数との関係を記述する様々な予想の出発点となっています。

つづく
227 ：: >>226　つづき

http://www.math.kyoto-u.ac.jp/~tetsushi/files/Galois_fest_ito_200705.pdf
「楕円曲線の数論幾何」伊藤哲史先生（京都大学）のスライド
(引用終り)
以上
228 ：: 第67期王将戦七番勝負第２局は、久保利明王将が勝って、１勝１敗になった（＾＾
https://www.youtube.com/watch?v=-Dmnl-VOokw
将棋棋譜並べ ▲豊島将之八段 △久保利明王将第67期王将戦七番勝負第２局「平成将棋合戦ぽんぽこ」の棋譜解析 No.11 Shogi/Japanese Chess 徹底解説！将棋の定跡 2018/01/28
229 ：: おっちゃんのために
特異な経歴の数学者の例

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%B0%E4%BA%95%E7%B4%80%E5%AD%90
新井紀子
(抜粋)
新井紀子（あらいのりこ、1962年10月22日[1] - ）は、日本の数学者。専門は数理論理学、遠隔教育。国立情報学研究所社会共有知研究センター長・教授。

人物[編集]
東京都小平市出身。東京都立国立高等学校を経て[2]、一橋大学法学部に入学。高校までは数学が嫌いだったが、
大学の数学の授業で、数学の面白さに目覚め、松坂和夫教授に師事。
大学4年時に、数学基礎論の研究が盛んだったイリノイ大学数学科に留学し、竹内外史教授に師事。
1年でイリノイ大学数学科を優等（magna cum laude）で卒業した後、
奨学金を受けて、イリノイ大学数学科大学院修士課程に進学。
ティーチングアシスタントをしながら、3年の修士課程を2年で終え、博士課程に進学した[3]。

イリノイ大学在学中に数学者の新井敏康と結婚。
1990年に帰国し、長女の出産後、1994年に一橋大学法学部を卒業[4]。

その後名古屋市で専業主婦をしていたが、数学者になることを志し、夫の赴任先にあった広島市の広島市立大学情報科学部助手に着任。
1997年東京工業大学博士（理学）。
高橋正子教授主査による論文の題は「On Lengths of Proofs in Propositional Calculi(命題論理における証明の長さの研究)」[5]。
2006年から国立情報学研究所教授。また2004年から母校一橋大学で教養の集合と位相や、数理論理学を講じる[6]。

2001年からNetCommonsを開発、2009年からResearchmapを開発。2011年からは人工知能「東ロボくん」研究開発プロジェクトのプロジェクトディレクタを務めている[7]。

研究[編集]
2001年にNetCommonsを開発。NetCommonsは日本における標準的なコンテンツ管理システムとして、当初の対象ユーザーであった教育・学術機関のみならず、自治体や民間でも普通のホームページ作成ソフトとして広く使われている。

つづく
230 ：: >>229 つづき

経歴[編集]
1982年一橋大学法学部入学
1985年イリノイ大学数学科卒業、優等（magna cum laude）[13]
1987年同大学院修士課程修了
1990年同大学院博士課程課程修了[14]
1994年一橋大学法学部卒業
1994年広島市立大学情報科学部助手
1997年東京工業大学博士（理学）
1998年フィールズ研究所客員研究員
1999年プリンストン高等研究所客員研究員、トロント大学情報科学部客員研究員
2001年国立情報学研究所情報学基礎研究系助教授
2002年総合研究大学院大学数物科学研究科情報学専攻助教授
2002年東京工業大学大学院数理科学研究科[要検証 ? ノート]非常勤講師[15]
2004年一橋大学教養教育非常勤講師
2005年東京工業大学大学院情報理工学研究科連携助教授、東京大学社会科学研究所客員講師

(引用終り)
以上
231 ：: おっちゃんのために
特異な経歴の数学者の例２

（前にも貼ったが（＾＾）
http://kankyodou.blog.so-net.ne.jp/2015-10-30-1
「プロの数学者」になるには・・（時枝正ケンブリッジ大Trinity Hall　数学主任）
(抜粋)
数学まなびはじめ　第３集
作者:
出版社/メーカー: 日本評論社
発売日: 2015/07/23

上記イメージ書籍の13人中、特異中特異な経歴の持ち主は、時枝正先生かもしれない。「プロの数学者」を志した経緯がそもそもフツウでない。「ひょんな」キッカケで数学の道を歩みだすのだが、フツウそんなことで、「プロの数学者」になぞなれるものではない。
しかし、「プロの数学者」になってしまった。だから、時枝先生は、フツウでない。フツウでないから、フツウの人間には、フツウでない先生の経験は参考にならないかもしれない。それでも、参考になりそうなところを以下に抜き書きしてみる。「プロの数学者」の説く、プロになる秘訣？をまとめておく。

（以下、上記書籍『数学まなびはじめ　第３集』から引用）

15歳早々フランスへ単身渡り、ボルドーのリセGrand Lebrunに就学した。よくまあ親が手放した、と感心する。画家の卵は渡仏し修行するのが紋切だが、私のばあいあべこべに、渡仏がきりで絵はお休みになった。言語という新世界に開眼したからである。
憑かれたかの如く様々な言語を身につけてゆくのを目の当たりにしたリセの先生が「この子の頭の構造はどうなっているのだろう」と訝ったそうな。若くしてボルドーで暮らしたおかげで、フランス語は訛なし、母国語同格になった。
私にとってボルドーは第2のふるさとである。//帰朝後、上智大学でギリシャ人J.Roussosに師事、古典語（ギリシャ、ラテン、ヘブライ）を専攻した。当時日本には18歳未満大学に入れるべからず、というきまりがあり、目をつぶってくれたのは上智だけだったのである。p192

つづく
232 ：: つづく

>>231 つづき

卒論のめどがついた時分、ひょんなめぐりあわせからランダウ　Л. Д. Ланда?у　の伝記を繙いた。ランダウは53歳のとき自動車事故に遭い、ふた月も死境をさまよったが、やっと意識を回復した朝、息子がたまたまアカデミー病院に見舞いに来ていた。月並な偉人伝ならお涙頂戴場面。
しかしこの伝記によればなんと、目覚めたランダウ先生、息子を相手に早速　「dx/sinxの積分はどうやって求める？」と口頭試問を始めた。そしてつまった息子に対し「どうしたんだ。こんなのがむずかしいのか」と笑ったという。（マイヤ・ベサラブ『ランダウの生涯』東京書籍をあらためたら、記憶と原文と微妙にくいちがっている。ここでは記憶のままにしておく。）

この一笑が私にはこたえた。文系では優等生で通してきたのに、「dx/sinxの積分」の題意からしてちんぷんかんぷんではないか。憤慨した私は、そこで、積分とやらの水準まで数学を独習しよう、と決心した。
独習するにはどうしたらよいか？同伝記中、物理を志した若者にランダウが「数学を身につけるには、教科書ではなく、問題集ーどんなものでもよいが、ただし問題がたくさんのっているものーが主要な役割を演じます」と諭すくだりがあった。
相談のつてとて他になし、ランダウの諭告を真に受け、なるべく大きな問題集を探して掘り出したのが・・・（ここに、ロシア語の著者名、問題集の表題が示されてあるのだが、引用不可。総問3084あるという。関心ある方は、本文にあたり確認されたし）。
言語が商売のてまえ、ロシア語だっておどろかない。一冬投資、ロシア語を学びながら　дпк　に取り組んだ。毎日7、8時間がんばった。なぜあんなに熱中しえたか不思議である。
約1/3進んだ一節で　 ∫ dx/sinx＝1ｎtg x/2　が求まるようになったが、勢いにのって進み（ロシア語と数学同時に進歩するので2乗に加速する）、余寒すぎにはいつしか問題数十を余すのみとなり、ロシア語もすらすら読めるようになっていた。

つづく
233 ：: >>232 つづき

この期に及び私はふたつの事実に勘づいた。

ⅰ）自分はこの手の問題がけっこうできる。
ⅱ）しかしどうも数学にはこの手の問題があるらしい・・・

次の秋、私は数学の学部課程を正規に修むべく、British Councilの奨学金を懐に、オックスフォードに学士入学した。
p194

（「読んだ本のうち、ためになった数冊」を紹介する部分で、時枝先生は4冊を紹介しているが、特に『曲線と曲面の微分幾何』小林昭七著・裳書房1977について「こんなに楽しい数学があるのか、と計算や証明を絵に直しながら読んだ。
渡仏以来お休みになっていた絵が、数学を通して私の生活に戻ってきたのである」と記している。そして、さらに・・・）

ε-δは苦にならなかった。厳密な言語訓練を積んできた賜物、量子化の順を替えると意味が変わる、云々（例えばトゥキュディデスの複文をほぐす作業に比べれば）おちゃのこさいさいだったのだ。
数学教育の難しさのかなりの部分は、学習者の言語的未熟が元凶ではなかろうか。もっとも教科書にも悪文が多い。苦になったのはむしろ組合せ論的技巧。10代の訓練が不十分だったせいであろう。
p196

往時のオックスフォードは　（「個人指導を軸とした教育法」）turorial主義で、講義らしい講義とてなかった。前の上智では散発的聴講がせいぜい、後のプリンストンでも大学院の講義は皆無であった。
いったい数学の講義はされる側よりする側が勉強になるもので、講義にかよって単位を取る、という体験がぬけたまま自分が講義する側になりおおせた私は、得をした、ともいえる。小学校の代理教員以来、される側に随分迷惑をかけたろう。今でもあちこちでさせてもらうたびに勉強になる。
p198

(引用終り)
以上
234 ：: >>233 余談

量子化の順を替えると意味が変わる
　↓
量化子の順を替えると意味が変わる

の転記ミスだろうな

以前、ピエロだったか、ε-δの量子化の順らしきものを出題したのは、これだったのかな？
つまらん、話だ（＾＾

規則だから、規則を知ればいいだけのことだが・・（＾＾
規則は、事前に定義すべきことでね

英語の論文で、基礎論の論理以外の論文では、量化子の乱用をしないようだ
それは、すでに述べた通り

C++さんの方がよくご存知だろうが、プログラミングでも、ポーランド記法と逆ポーランド記法があるが如し
なので、量化子について、普通の文で表現して、書いているプロ論文筆者が多いと思うよ（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E8%A8%98%E6%B3%95
逆ポーランド記法
(抜粋)
逆ポーランド記法（ぎゃくポーランドきほう、英語: Reverse Polish Notation, RPN）は、数式やプログラムの記法の一種。演算子を被演算子の後にすることから、後置記法 (Postfix Notation) とも言う。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9D%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E8%A8%98%E6%B3%95
ポーランド記法
(抜粋)
ポーランド記法（ポーランドきほう、Polish Notation）とは、数式やプログラムを記述する方法（記法）の一種。演算子（オペレータ）を被演算子（オペランド）の前（左）に記述することから、前置記法（ぜんちきほう、prefix notation）とも言う。

名称の由来は、ポーランド人の論理学者ヤン・ウカシェヴィチ (Jan ?ukasiewicz) が考案したことによる。
(引用終り)
235 ：: >>234 余談ついで（＾＾

http://tenmei.cocolog-nifty.com/matcha/2012/07/post-6e12.html
ε－δ論法における、∞（無限大）や発散の扱い方テンメイのＲＵＮ＆ＢＩＫＥ 2012年7月 7日
(抜粋)
当サイトではこれまで、関数の極限についてのε－δ（イプシロン・デルタ）
論法の記事４本、数列の極限についてのε－Ｎ（イプシロン・エヌ）論法の
記事２本をアップ。かなりお堅い内容にも関わらず、地味なロングセラーに
なっている。

検索アクセスで使われたワード（単語）を見ると、時々「発散」という言葉が
入ってるので、以前から少し気になってた。と言うのも、ε－δ論法という
のは普通、ｘがある特定の数に近づく時、ｆ（ｘ）がある一定の数（有限確定
値）へと収束することを証明する方法だからだ。手元の参考書を複数チェッ
クしても、発散に関する話はごく僅かで、はっきりした証明は省略されてい
る。似て非なる話だが、ｘが∞（無限大）に増加していく時の極限も、ほとん
ど省略されてるのだ。

まあ、少し考えればすぐ分かる程度の話ではあるが、私自身も含めて、適
当にスルーしてる人は少なくないような気もする。実際、時々検索アクセス
も入ってるので、今日は簡単にその辺りの話をまとめてみよう。なお、この
記事は、普通のε－δ論法やε－Ｎ論法に関する基本知識を前提として
るので、その辺りから知りたい方は、以前の記事を参照して頂きたい。

ではまず、数列の極限に関するε－Ｎ論法とほぼ同じものとして、関数
の極限に関する「ε－Ｍ論法」を見てみよう。ｘを制限するものとして、
小さな数δの代わりに、大きな数Ｍを用いるわけだ。この言い方は、な
ぜか（ほとんど）使われてないようだが、ｎに対してＮを考えるのと同様、
ｘに対してＭを考えるのだから、ε－Ｍ論法と呼ぶことにする。

それを言うならむしろ、ｘの大文字を使った「ε－Ｘ論法」の方がふさわ
しい気もするが、基本的な参考書としている杉浦光夫『解析入門Ⅰ』（東
京大学出版会）でＭを使ってるので、それに合わせただけの話だ。
(引用終わり)
236 ：: >>235 関連

服部哲弥先生：”中心課題：最近の基礎教育の傾向としてのε－δ 論法の排除，即ち，「実数の公理（連続性）」「極限の定義」「関数の連続性の定義」の排除が教育上整合的に可能かどうかの検証．”
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/hattori.htm
服部哲弥（はっとりてつや）
現職：慶應義塾大学経済学部教授
1958年生まれ 1985年東京大学大学院理学系研究科博士課程（物理学専攻）修了（理学博士）
専門：数理物理学，確率過程論
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/lecture.htm
講義とゼミ　服部哲弥
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/suukiso.htm
微分積分　服部哲弥
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/kiso1r.pdf
数学基礎１（前期）講義録服部哲弥　(約370KB pdf file・Last update 2002/04/15) 1999-2002年度（於名古屋大学1年理系対象）の記録

つづく
237 ：: >>236 つづき

(抜粋)
0 未研究課題．
(i) 中心課題：最近の基礎教育の傾向としてのε－δ 論法の排除，即ち，「実数の公理（連続性）」「極限の定義」「関数の連続性の定義」の排除が教育上整合的に可能かどうかの検証．
（傾向に従うことの可否は議論を要する．そもそも「学生がついてこれないから」という教官側の勝手な理屈で本質的な論法を教育から除外してよいのか？
一応の根拠：一貫した厳密性を要求すると教科書や講義が膨大になり，初等教育に向かない．話が単純な最初だけ厳密にやって，微妙かつ複雑になるところから検証を省略すると，初学者はだまされた気分になる．また，既存の方法ならば新しい講義録を書く必
要性は薄い．）
証明を全て「気持ち」だけで書くために必要になる「気持ち」（用いる性質）の現時点での一覧．
(a) 実数（数列の極限）
i. lim （最小の上界）は存在を仮定．
ii. 単調数列の場合は無限を含めば当然存在とする．
(b) 収束（関数の極限）
i. 変動幅（上下限の差）がx → a とともに0 に近づく．
(c) 連続関数
i. f(x) = c ならばある開区間でf(x) = c .
ii. 連続関数の一様収束極限は連続．
iii. 閉集合上の連続関数は一様連続．
iv. 開集合の逆像は開集合．
以上は「収束概念の諸側面」として列挙し，相互に証明しない．

つづく
238 ：: >>237 つづき

(ii) 実数の公理に関する論点．
(a) 公理，定義→約束事
(b) 命題，定理→証明のあるもの
と分類するが，定理のうちで証明の面倒なものはひとまず約束事にしてもいいのではないか？特に実数の公理に関して，同値ないくつかの主張（有界単調列の収束，切断の存在，コーシー列の収束，有界集合の上限の存在）は全て「実数に関する約束事」とし
て掲げてもいいのでは？

つづく
239 ：: >>238 つづき

そもそもなぜ公理を少なくしたいか？
(a) 多いと矛盾が起きないことを気にしないといけない．（あまりに都合の良い性質を仮定しすぎるとそのような対象がなくなるということ．）→実数に関しては１世紀前の研究者の研究の結果大丈夫と分かっている，の一言ですます．
(b) 多いと最初にいろいろ覚えないと行けない．→どうせ定理になっても覚えないといけない．実数のこれらの性質はあまりに基礎的すぎて全て使う．公理扱いにしておけば証明をさぼれる分かえってすっきりする．例を繰り返し，それぞれの性質に都合の良
い例を挙げることで覚える，のを優先してはどうか．
(c) 研究者としては，導出可能な命題を公理と呼ぶのは，その問題に関する洞察力の不足を意味しているので，かっこうが悪い．→「枯れた分野」だから，「本当は導出可能だ」の一言でいいのでは？どうしても気になるならappendix．
これらの同値命題を全て約束事とすれば，同値性を証明する部分の記述を削除できる．
(iii) 上下限だけを使うことでε－δ 論法を見かけ上排除できるか？
(a) lim = sup inf の意味が非常に分かりづらい．特に単調減少数列だと最初のinf で事実上極限にたどり着き，sup が無内容になる，というところがなかなか理解しにくい．だが，それでもやる気のある人にとっては取っつきやすい部分があるように思う．（数
列を追いかけていけるので．）
最初に「何とかして単調数列に翻訳したい」と繰り返し説明すれば分かるかもしれない．
(b) ε－δ を本当に使いたいのは数列の極限ではなく関数（連続変数）の極限．これも上下限の接近で行けるようだ．
但し，補題9 の証明でやってみると，結局ε－δ を実質的に使ってしまう．何か補題を入れるなど使いやすくしないといけないか？
(iv) 少し長い証明は常に先ず全体の流れを言う．「次の順序で証明する．」
(v) 接線の節は前の講義録では[三宅敏恒] に従ったが，かえって難しいので，普通に，平均変化率の極限としてごまかしておく．
(引用終り)

以上
240 ：: >>237 補足
「(i) 中心課題：最近の基礎教育の傾向としてのε－δ 論法の排除，即ち，「実数の公理（連続性）」「極限の定義」「関数の連続性の定義」の排除が教育上整合的に可能かどうかの検証．
（傾向に従うことの可否は議論を要する．そもそも「学生がついてこれないから」という教官側の勝手な理屈で本質的な論法を教育から除外してよいのか？
一応の根拠：一貫した厳密性を要求すると教科書や講義が膨大になり，初等教育に向かない．話が単純な最初だけ厳密にやって，微妙かつ複雑になるところから検証を省略すると，初学者はだまされた気分になる．また，既存の方法ならば新しい講義録を書く必要性は薄い．）」

まあ、私スレ主は、高校のときに、ε－δ 論法は読んだ
量化子を使ったバージョンでは無かったと思う

大学で、ε－δ 論法で悩んだ記憶はない。というか、流していた
流していたが、いろんなところで、繰り返し出てきた

繰り返し出てきたが、「別に、そんなものだ」と思っていた
”本当に理解しているのか？”と聞かれても、”それどうやって他人に説明するんだ？”ってことだし、現実に単位は取って（多分成績は悪くなかった）卒業している

ε－δ 論法を、それほどわーわーいう理由が、私スレ主には理解できない（＾＾
そんなにたいそうに言うほどのものなのかい？と（＾＾
241 ：: ＞”本当に理解しているのか？”と聞かれても、”それどうやって他人に説明するんだ？”ってことだし
理解していないことは示されました。
ごく基本的な問題を全問不正解でしたので。

＞ε－δ 論法を、それほどわーわーいう理由が、私スレ主には理解できない（＾＾
＞そんなにたいそうに言うほどのものなのかい？と（＾＾
その発言は、数学（少なくとも解析・位相）をまったく理解していない言ってるも同然。
242 ：: >>241
どうも。スレ主です。
ご苦労さんです（＾＾

>理解していないことは示されました。

良いんじゃ無い？　それで？
私としては、別に反論する必要もないし
貴方も、私の教育係でもなんでもなくて、赤の他人だから・・
貴方自身が、きちんと理解していればそれで良いことでしょ（＾＾

>その発言は、数学（少なくとも解析・位相）をまったく理解していない言ってるも同然。

上に同じ
このスレの方針は、テンプレ>>7に書いてあるよ（＾＾

(抜粋)
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です

じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます

が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
(引用終り)

＜補足＞
私スレ主は、自分独自の新しい数学的知見を、筆を起こして書くつもりは毛頭ない
私のいう程度のことは、どこかにだれかがきちんと書いているはず。
なので、それを検索して、どこからか見つけてきて、出典とともに抜粋提示します
原則は、元の出典を見て頂ければ良いのです（＾＾

以上！
243 ：: >>236 補足

http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/kiso1r.pdf
数学基礎１（前期）講義録服部哲弥　(約370KB pdf file・Last update 2002/04/15) 1999-2002年度（於名古屋大学1年理系対象）の記録
(抜粋)
１変数関数の初等解析学．
目次
0 講義の位置づけ． 3
§1 イントロ． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1.1 講義の構成． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1.2 数学の中の解析学． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
§1.3 関数． . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 極限． 6
2 微分法．
3 積分（その１）．
補遺　44
A この講義の狙い．
B 実数の公理．
C 微分．
D 初等関数．
(引用終り)

以上
244 ：: ＞スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
はい、あなたはバカでアホですから、あなたの持論：時枝不成立は信用しません。現に誤りですし。
245 ：: >>244
どうぞ
私は、私スレ主を信用してほしいとは一言も言っていない（＾＾
ただ、自分の正しいと信じるところ、「時枝記事の解法は間違っている！」と言っているだけです（＾＾
あとは、各人の判断にお任せします！
246 ：: >>244-245
まあ、マジレスすれば・・
だれか・・、そうだな、可能なら大学教員で、確率論、確率過程論、ランダム現象の数理の専門家

あるいは、院生で、上記を専門に研究している人
あるいは、それに準じるレベルの人

そういう人に、聞いてみれば、私スレ主が正しいことが確認できるだろう
過去、何度もそういう呼びかけをした。そのたびに、時枝記事を支持する人は減った。そして今に至る
247 ：: ＞ただ、自分の正しいと信じるところ、「時枝記事の解法は間違っている！」と言っているだけです（＾＾
無根拠に信じるだけの行為は数学的に無意味です。
数学は宗教ではありません。
248 ：: >>240 関連

ご参考
http://www.nagaokaut.ac.jp/j/nyuushi/bookguide/bg_18.pdf
『数学とは何か』 R. クーラント、H. ロビンズ著岩波書店小林昇*治長岡技術科学大学
（昇*の字は正確には、異体字を使う）
本学教授。専門領域は、複素解析とその応用。東京工業大学理学部教員から本学へ。
理学センター長として、理数分野の教育の取りまとめ役を務めている。音楽（特にモ
ーツァルト）が好きで、自らも楽器を弾いて楽しんでいる。長岡市民を中心に平成10
年に結成された弦楽合奏団「アンサンブル・リリック」にヴィオラ奏者として参画し、
平成19 年３月には10周年コンサートに出演した。

(抜粋)
それまで数学の本としては学校の教科書と受験参考書しか読んだことのなかった無知な未成年に
はすべてが新鮮に響いたのだと思う。
大学に入学し理学部数学科に進んでからも時々この本のページを開くことがあ
った。たとえば、数学を専門にしている者としてちょっと恥ずかしいので今まで
誰にも言わずに秘密にしてきたのであるが、ここで初めて白状する。数学科では
「極限と連続」を厳密に論ずるためにいわゆる「ε－δ論法」を真っ先に教えられ
る。大学の講義でこれを最初に聞いたとき、正直に言ってなんの意味だかまった
く理解できなかった。後にこの『数学とは何か』の第Ⅵ章を読んでこの論法の意
味するところを理解できたのである。この経験が、拙著『常微分方程式要論』（近
代科学社刊）の巻末の補章の中に、ε－δ論法を導入せずに一様収束の概念を理
解させることを目指した１節を書く動機となった。大学院に進学し、いろいろあ
ったけれども、曲がりなりにも数学の教育研究に細々ながら携わるようになった。
今日まで、それなりにおそらく何百冊もの数学書を読んできたのであろうが、こ
の『数学とは何か』を超える名著には残念ながら出会っていない。もっとも、数
学書に限らず毎日数え切れないほどの書籍が発刊され続けているので、全く目に
も手にさえもしていない数学書が世の中には無数にあるのだが。
(引用終り)
249 ：: >>247
テンプレ>>12
以上（＾＾
250 ：: >>247

だからさ、分らなかったら、大学の先生に聞きなよ、学生さんよ！！（>>246）（＾＾

そのために、月謝払っているんだろ？？
251 ：: >>247 補足

あるいは、テンプレ>>12の中に、下記文献があるよ！嫁め！！（＾＾
スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/48-49 より
(関連の欧米文献紹介)

１）
http://www.cs.umd.edu/~gasarch/TOPICS/hats/hats.html
Papers on Hat Problems I want to read by William Gasarch

http://www.cs.umd.edu/~gasarch/TOPICS/hats/infinite-hats-and-ac.pdf
An Introduction to Infinite Hat Problems Chris Hardin and Alan Taylor THE MATHEMATICAL INTELLIGENCER 2008 Springer Science+Business Media, Inc

２）
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.365.7027&rank=2
A peculiar connection between the Axiom of Choice and predicting the future THE MATHEMATICAL ASSOCIATION OF AMERICA Monthly February 2008
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.365.7027&rep=rep1&type=pdf

３）Taylorさん
https://en.wikipedia.org/wiki/Alan_D._Taylor
Alan D. Taylor
Alan Dana Taylor (born October 27, 1947) is an American mathematician who, with Steven Brams, solved the problem of envy-free cake-cutting for an arbitrary number of people with the Brams?Taylor procedure.
Taylor received his Ph.D. in 1975 from Dartmouth College.[2]
He currently is the Marie Louise Bailey professor of mathematics at Union College, in Schenectady, New York

（これはピエロのPDF紹介でGJ！（＾＾）
https://pdfs.semanticscholar.org/8514/a9f8b30546ea81739b9409132673276713d3.pdf
The Mathematics of Coordinated Inference: A Study of Generalized Hat Problems (Developments in Mathematics) 2013 edition
by Hardin, Christopher S., Taylor, Alan D. (2013) Hardcover
Springer Verlag

http://www.jointmathematicsmeetings.org/proc/2009-137-09/S0002-9939-09-09877-3/S0002-9939-09-09877-3.pdf
[HT09] Christopher S. Hardin and Alan D. Taylor. Limit-like predictability for discontinuous functions. Proceedings of the AMS, 2009.
252 ：: >>248 関連

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/64843/1/1195-5.pdf
ε－δ 論法の形成過程の考察: 解析学の基礎の転換の要因中根美知代著成城大学・立教大数理解析研究所講究録 (2001)

(抜粋)
1. はじめに
高校まで得意だった数学が大学に入って突然わからなくなったという話は, しばしば
聞く. その一因として, 大学初年の微分積分学で習うε－δ 論法が必ず挙げられる. 高校
数学では,「限りなく近づく」「限りなく小さくなる」という表現を用いて, 極限に関する
諸性質が述べられていた. それが大学に入ると, 「限りなく」という言い芳が曖昧である
といって頭ごなしに却下され, その表現を?切含まない, ε－δ 論法に置きかえられて教え
られるようになる. この論法は, 決して「限りなく小さくなることのない」2 つの正数ε
とδ がお互いに「せめぎあい」ながら, あるいは「２者闘争」しながらお互いをより小
さな数へと追い込んでいくことにより, 極限を定義していくものと要約することができ
るだろう.1) そして, 今日多くの微分積分学の教科書は, この論法は, フランスの数学者
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) によりとられたものとしている.
ところがε－δ 論法が登場したといわれているCauchy の代表的な教科書『解析学教程』
はそのようには書かれていない. そこではε－δ 論法で回避したはずの「限りなく近づく」
という表現を全面的に打ち出して様々な概念が定義されているのみならず, 無限小も概念
を定義したうえで活用して, 微積分の理論を展開している. その後にCauchy が書いた教
科書『微分積分学要論』(1823 年),『微分学講義』(1829 年) においてもこの状況はほと
んど変わっていない. 私達が期待したようなことをCauchy はやっていないのである.
(抜粋)
253 ：: >>252 関連

http://www3.rikkyo.ac.jp/research/initiative/_asset/pdf/sfr2007kojin008_nakane.pdf
立教大学学術推進特別重点資金（立教ＳＦＲ）個人研究費２００７年度研究成果報告書
理学部特任准教授中根美知代

(抜粋)
ε-δ論法で一貫した記述がなされるようになったのは、19世紀後半である。どのような経緯で後者が採択されるようになったのかを考察し、以下のような結果を得た。
(1) ε-δ論法的な考え方は、18世紀のラグランジュにも見られる。しかし、彼の場合は、ε-δ論法で把握される概念を、極限と同じ効用を持つ別の概念と捉えていた可能性が高いことを発見した。
この見解にしたがえば、1821年の『解析学教程』において、コーシーは「極限概念を二通りで表した」とする従来の見方ではなく、コーシーは「ε-δ論法的に把握されていた概念が、実は極限の別の表現であることに気づいた」とすることができよう。
(2) したがって、コーシーの微積分学には、「限りなく近づく」とε-δ論法が並存している。彼はまた、限りなく小さい量である「無限小」も導入している。コーシーは基本的には無限小を採用していたが、不等式による評価を使いたいとき、ε-δ論法を使っていた。
その意味では、ε-δ論法は厳密ではあるが、「限りなく」という曖昧な概念を払拭するために採用されたわけではなかった。
(3) 一様収束性，一様連続性と呼ばれる概念や多変数関数の連続性の定義はε-δ論法を用いないと表現できないと今日教えられる。そこで、これらの概念の形成や導入が、微積分を一貫してε-δ論法で論じるようになるための要因であると、漠然と思われていた。
しかし、実際にはそうではなく、「限りなく」とε-δ論法が併用されている段階で、一様性の概念は導入されていた。

つづく
254 ：: >>253 つづき

(4) ε-δ論法で一貫した講義が始めてなされたのは、1861 年のワイエルシュトラスの講義である。この講義録の一部は数学史研究者によって公刊されていたが、その部分を分析しただけでは、ワイエルシュトラスの講義における極限概念の導入の仕方が理解できなかった。
極限概念は、微積分学を論じるうえで、不可欠な概念であるため、ベルリン・フンボルト大学へ赴き、同大学が所蔵する資料を入手し、まだ公刊されていない部分を解読した。その結果、彼の極限概念の導入のされ方が明確になり、彼の講義の歴史的な位置づけが明確になった。
(5) ドイツでの研究集会で議論した結果、多変数関数の連続性の定義は、いつ、誰が提示したか、いまだ明確になっていないことがわかった。そこで、その過程を追跡した。1821 年のコーシーの定義は今日的に読み込むことができるが、彼はまだ正しい理解に達していない。
ディリクレ・ワイエルシュトラスも同様である。1870年代になって、ハイネが、コーシーの議論の問題点を見つけ、今日の「多変数関数の一様連続性」に相当するものの定義を提示する。
この時点では、「一変数関数の一様連続性」は定義されていなかった。彼の弟子のトマエが、まず「一変数関数の一様連続性」を見出し、「一様連続」と「多変数関数の連続性」の概念が分離する。
その上で、一様性を分離する形で「多変数関数の連続性」が定義されるようになったのが実際のところであった。ただし、最初にその定義を提出したのが誰なのかは明確にならなかった。

つづく
255 ：: >>254 つづき

① 中根美知代 “19世紀の解析学における「厳密化革命」とは何か”『科学基礎論研究』第108号
(2007 Vol.35, No.1), pp.21-28.
④ その他
研究集会発表:
Michiyo NAKANE “One Aspect of the Development of the Calculus of Variations after Euler”,
Mini-Workshop： The Reception of the Work of Leonhard Euler (1707-1783),
in Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, August 12, 2007.
中根美知代：“ワイエルシュトラス以降のε-δ論法：多変数関数に対する連続性の定義の確立”
数学史シンポジウム（津田塾大学数学・計算機科学研究所）、2007年10月27日
学会発表：
中根美知代 “多変数関数に対する連続性の定義の形成過程” 2007年秋季総合分科会（東北大学）
2007年9月23日
(引用終り)
以上
256 ：: >>253 関連

中根美知代先生、まとめの本を出版されていたんやね（＾＾
これは、面白そう！（＾＾
「数学とは動的なものであること,今日学んでいる数学が偉大な先人たちの試行錯誤の産物である」
https://www.amazon.co.jp/dp/4320019334
ε-δ論法とその形成単行本 ? 2010/7/23 中根美知代 (著) 出版社: 共立出版 (2010/7/23)
(抜粋)
内容紹介
ε-δ論法は,大学新入生にとっても教える側にとっても,大きな関門である。
本書は,その歴史を振り返ることにより,この論法の理解を深めてもらうことを目的としている。今日にみられるような教程が整備されていく19世紀,とくにコーシーからワイエルシュトラスにいたる時期の,ε-δ論法による微積分学の歴史的発展に焦点をあてた。
歴史研究の手法にしたがい,数学史での先行研究の成果を押さえた上で,19世紀に書かれた数学者の重要な著書・論文を分析し,得られた知見をまとめた。
その結果,教科書の導入としてしばしばなされる「歴史的なお話」の信ぴょう性を問い,実際には何が起こっていたかをより説得的に伝えるものになっている。
また,ε-δ論法はどのような動機で導入されたか,それによって,数学者の分析がどのように進み,新しい概念に達したか,このことに引き続いて,どのような新しい課題が提示されたか,その中でε-δ論法による微積分学はどのような影響を受けたかを具体的に示している。
連続性・微分可能性,積分,2変数関数の連続性はもちろん,ε-δ論法でなければ捉えられないとされている,一様収束・一様連続が認識される過程については,とくに重点をおいて考察した。
本書では,ある定理が証明され,反例があがり,それが修正されて,新しい定理とともに新しい概念が導かれるという過程がいろいろな場面で示されていく。
数学とは動的なものであること,今日学んでいる数学が偉大な先人たちの試行錯誤の産物であるといった,歴史を知らなければ気づかない数学への新たな認識を呼び起こすこともまた,本書の意図である。

著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
中根/美知代
1991年東京工業大学大学院理工学研究科社会工学専攻博士後期課程修了。現在、立教大学理学部特任准教授・学術博士。専門は科学史(とくに数理科学の歴史)・科学基礎論(本データはこの書籍が刊行された当時に掲載されていたものです)
(引用終り)
257 ：: >>256 関連

最後に、中根美千代先生が登場するよ（＾＾
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/
桂田祐史ホームページ
(抜粋)
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/profile.html
履歴
1990年3月(平成2年) 東京大学大学院理学系研究科数学専攻博士課程単位取得中退
1990年4月(平成2年) 明治大学理工学部に助手として赴任
1992年9月(平成4年) 博士 (数理科学) の学位を取得 (東京大学)
1993年4月(平成5年) 専任講師に昇格
1999年4月(平成11年) 助教授に昇格
2007年4月(平成19年) 准教授
2014年4月(平成27年) 総合数理学部に移籍

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/
桂田祐史の講義のサポート・ページ
・複素関数 (2017年度) (現象数理学科2年生向け) http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/complex-function-2017/
・応用複素関数 (2017年度) (現象数理学科3年生向け) http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/applied-complex-function-2017/
・画像処理とフーリエ変換 (2017年度) (現象数理学科2年生向け) http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/fourier-2017/
・数学解析 (2017年度) (現象数理学科2年生向け) http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaiseki-2017/
・数理リテラシー (2017年度) (現象数理学科1年生向け) http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/literacy-2017/
・応用数値解析特論 (2017年度) http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/ouyousuuchikaisekitokuron-2017
・微積分もろもろ微積分絡みの講義ノート、メモ類へのリンク http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/study/biseki.html
・数学科在籍時の講義のページ (2013年度まで) http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/old.html

つづく
258 ：: >>257 つづき

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaiseki-2016/
2016年度数学解析
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/kaiseki-2016/kaiseki-2017.pdf
2017年度数学解析講義ノート (準備版) 桂田祐史(かつらだまさし) 2016 年8 月29 日
(抜粋)
0 イントロダクション
0.1 解析学を学ぼう

日本の大学での微分積分学での極限の扱いは、ほとんど次の二つに大別される。
(a) 極限の性質を証明抜きで軽く説明(紹介？) してすませる(大抵の工学系の学科、数学科以
外の多くの理学系の学科)。
(b) 極限をきちんと定義し、その性質を定理の形に述べて証明する(数学系の学科の標準)。
(脱線になるが、高等学校の数学は(a) の立場である。)
現象数理学科では、この二つのどちらとも異なる第三の道を採った。極限に関する事実の詳
しい説明(大まかに言って「証明」) はとりあえず後回しにして、微積分の主要な結果を一通
り学んでしまう(1 年次の「微積分I」,「微積分II」|　これで「計算はできる」ようになる,
なお2 年次の「電磁気とベクトル解析」も微積分に含まれると考えること)。それから極限に
関する事項をまとめて学ぶ、というものである。
選択科目の「数学の方法」で、数列の極限の基本的な部分が詳しく述べられているが、この
講義ではもう少し微積分寄りの(実践的な) 説明を行なう。

つづく
259 ：: >>258 つづき

0.3 勉強の仕方について
極限が重要なのであるが、それをどうやって計算するかという計算方法の話をするのでなく
て、どういう場合に極限の存在が保証されるか、というところに話の重点がある。計算問題を
解くというやり方では勉強できない。証明を読んで理解できるようになること、簡単な定理は
自分で証明できるようになることが目標である。
授業の復習をすること。具体的には、ノートを読んで理解できるか確認する、新しく出て来
た用語の定義を覚える。
微分積分段階での極限については、杉浦[2] が定番のテキストとして勧められる(しばしば
辞書的と言われている)。それよりかみ砕いた説明を探している人には、田島[3] を見ることを
勧める。発展の歴史が知りたい場合は中根[4] を勧めておく。いずれも定評のある力作である。
(2016 年追加) この講義も3 年目になり、これまで知らなかった本も目にする機会を持てた。
黒田[5] は、教育的配慮が行き届いた微積分のテキストであるが、極限の扱いについていくつ
か参考になる点があった。赤[6] には実数の連続性について、徹底的とも言える議論が載って
いる。その参考文献紹介を見て思い出したが、古くからある高木[7], 彌永[8], [9] も重要なテ
キストである。

つづく
260 ：: >>259 つづき

参考文献
[1] 新井紀子：数学は言葉| math stories, 東京図書(2009), 数理論理の専門家によって比較的最近書かれた本であり、とても参考になる。
[2] 杉浦光夫：解析入門I, 東京大学出版会(1980).
[3] 田島一郎：解析入門, 岩波書店(1981).
[4] 中根美千代：ε-δ論法とその形成, 共立出版(2010).
[5] 黒田成俊：微分積分, 共立出版(2002).
[6]せき赤せつや攝也：実数論講義, 日本評論社(2014), 元々はSEG 出版から1996 年に出版された。
[7] 高木貞治：数の概念, 岩波書店(1949), 足立恒雄「高木貞治の数の基礎に関する三部作」(http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1677-15.pdf) に詳しい解説がある。
[8] 彌永昌吉：数の体系上, 岩波書店(1972).
[9] 彌永昌吉：数の体系下, 岩波書店(1978).
[10] 高木ていじ貞治：解析概論改訂第3 版, 岩波書店(1961).
[11] リヒャルト・デデキント：数とは何かそして何であるべきか, 筑摩書房(2013), 渕野昌翻訳, 有名なWas sind und was sollen die Zahlen? (1888 年) の翻訳と解説.
(引用終り)
以上
261 ：: >>252 補足

https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/64843/1/1195-5.pdf
ε－δ 論法の形成過程の考察: 解析学の基礎の転換の要因中根美知代著成城大学・立教大数理解析研究所講究録 (2001)
追加(抜粋)

そうではあっても, ε－δ 論法を学んだ人々の多くは, どこか釈然としないものを感じる
であろう. ε－δ 論法を用いて, 「限りなく近づく」とか「無限小」といった概念を排除して
こそ, 解析学を厳密に論じられると習ってきたからである. Cauchy がそれらを使ってい
る以上, ε－δ 論法を導入し, 厳密な基礎づけを持つ解析学を作ったとは考えがたい. 先行
研究者がCauchy をε－δ 論法の創始者と位置づける理由はなぜか. 本報告の目的は, 先行
研究の見解を整理してこの疑問に答えるとともに, 今日ε－δ 論法を学んだものが納得する
ような, ε－δ 論法の形成過程を明らかにすることである.
これから見ていくように, Cauchy が, 証明の過程で用いたε－δ 論法は無限小を導入す
るかどうかとは独立に使うことができるものである. 限りなく近づくという概念を不等
式で評価できる形に置き換えることは, 解析学を厳密に論じる上で確かに有用であった.
実際, Dirichet やRiemann もまた, 無限小を認めつつ, ε－δ 形式による証明を用いてい
る. しかし私達が知りたいのは, 無限小が払拭され, それに代わってε－δ 論法で解析学が
基礎づけられていく過程である.
Cauchy が敷いた路線をWeierstrass が継承し, 今日見るような解析学が完成したとす
るのが先行研究の見解であるが, この道のりは, 「解析学の厳密化」の?言で片づけられ,
十分に論じられていないのが現状である.2) 本報告では, この過程もあらためて注目し, 解
析学の基礎づけの転換の要因を探っていきたい.

つづく
262 ：: sage
263 ：: >>261 つづき

3. Cauchy のε－δ 論法と無限小

この「厳密な解析学」という言葉が, ε－δ 論法で極限概念を教育を受けた私達に, 誤解
を与える. すなわち, この状況は「Cauchy が無限小を解除し, ε－δ 論法で極限概念を定
義して, 厳密な解析学を作った」ことを意味するように捉えてしまうからである. しか
し, 少なくともCauchy の場合, ε－δ 論法による証明がなされていることと, 極限概念を
ε－δ 論法で基礎づけることとは無関係である. 実際Cauchy の枠組みの中では, 無限小も
「限りなく近づく」も依然として存在している. 仮にCauchy がε－δ 論法を用いれば解析
学が厳密に基礎づけると考え, それを真剣に望んでいたのであれば, 後の機会を捉えて,
極限に関する定義を書き換えたはずである. しかしそのようなことはない.

4. 定理としてのε－δ 形式:Dirichlet とRiemann の扱い方.

依然としてDirichlet は
無限小を用いている. Riemann でもこの事情は変わらない. 不等式による表現の重要性
を指摘しつつ, 積分を考察する時には, 細かく分割した区間の幅を無限小にとっている.
Dirichlet もKemann もCauchy と同様で, 今日では無限小になってはならない「任意
に小さな正数」と「無限小」を識別するということはない. 「任意の正数」はいつの間に
か, 無限小になっているのである. ふたりとも無限小とはなにか, 明確に定義して使って
いるわけではないので, 文字通り「限りなく小さくなる数」と捉えていると考えていいだ
ろう.
彼らは, 無限小とε－δ 論法による表現を併存させた形で, 理論を進めている. 彼らに
とってε－δ 形式は, 積分を定義するといった, 具体的な課題を見通しよく論じるたあに導
かれたものなのである. 今日の私達が想像するように, 無限小を排除して, 厳密な連続性
の定義を与えようとする意図は見えない. これが, Dirichlet らの状態であった.

(引用終り)
以上
264 ：: sage
265 ：: >>261 補足

「ε－δ 論法を用いて, 「限りなく近づく」とか「無限小」といった概念を排除して
こそ, 解析学を厳密に論じられると習ってきたからである. 」

この日本の教育の考え方が、間違っていると思う（＾＾

１）
「ε－δ 論法」は、数学の一つの到達点ではあるけれども、最終形ではない
現実に、例えばその後、ノンスタで「無限小の概念」は復活した

２）
収束や極限の概念や扱いも、「ε－δ 論法」を超えて多様化した
「ε－δ 論法」は、距離が入らないと使えない概念だから

３）
とは言っても、最初から、いろいろ教えすぎても、余計混乱するから・・、
初心者相手には仕方ないのだが・・（＾＾
266 ：: >>265 補足

>収束や極限の概念や扱いも、「ε－δ 論法」を超えて多様化した

例えば、下記

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90
極限
(抜粋)
目次 [非表示]
1 数列の極限
1.1 数列の収束
1.2 極限値の性質
1.3 数列の発散
1.4 様々な極限
1.5 点列
2 関数
2.1 変数の収束に伴う関数の挙動
2.2 無限遠点における挙動
3 関数列の収束
4 位相空間
5 圏論

関数列の収束

上で定義したノルムをスープノルム（または無限大ノルム、上限ノルム）と言う。スープノルムの収束をもって一様収束を定義することもある。

関数の一様収束性を証明するには、上のようにスープノルムの収束を示すのが一般的である。関数項級数の一様収束性ではワイエルシュトラスのM判定法も用いられる。

位相空間[編集]
点列の収束の概念は、一般の位相空間においても収束先の近傍系をもちいて定式化される。しかし、一般的な位相空間の位相構造は、どんな点列が収束しているかという条件によって特徴付けできるとは限らない。
そこで、ネットやフィルターといった、点列を拡張した構成とその収束の概念が必要になる。
任意の位相空間 X に対し、X 上で収束している（収束先の情報も込めた）フィルターの全体 CN(X) や、あるいは収束しているフィルターの全体 CF(X) を考えると、これらからは X の位相が復元できる。

圏論[編集]
詳細は「極限 (圏論)」を参照

このような条件を満たす X （と族 φi）のことを F が表す図式の極限（あるいは射影極限、逆極限）とよぶ。極限の満たす普遍性により、それぞれの図式に対する極限は（あったとして）自然な同型をのぞき一意に定まる。
(引用終わり)

つづく
267 ：: >>266 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90_(%E5%9C%8F%E8%AB%96)
極限 (圏論)
(抜粋)
例[編集]
極限

位相的な極限。関数の極限はフィルター極限の特別な場合であり、圏論的な極限とは次のような関係がある。
Xを位相空間とし、FはX上のフィルターの集合とし、x ∈ Xを点とし、V(x) ∈ Fをxの近傍フィルターとし、A ∈ Fをひとつのフィルターとし、 F_{x,A}={G ? F ｜ V(x)∪ A⊂ G}をxに収束するAより細かいフィルターの集合とする。
フィルターの集合FにはA ⊆ Bにたいして射A → Bを与えることで、圏の構造を持たせることができる。入射 I_{x,A}:F_{x,A} → Fは以下の同値性をもつ関手となる。

　xがAの位相的な極限であるのは、Aが I_{x,A}の圏論的な極限であるときであり、またそのときに限る
(引用終わり)

以上
268 ：: 前スレ49 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1494038985/572
(抜粋)
https://hh.pid.nhk.or.jp/pidh07/ProgramIntro/Show.do?pkey=001-20171204-31-16596
１００分ｄｅ名著　レム“ソラリス”［新］　第１回「未知なるものとのコンタクト」
[Eテレ] 2017年12月4日（月）午後10:25～午後10:50（25分）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%A9%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%81%AE%E9%99%BD%E3%81%AE%E3%82%82%E3%81%A8%E3%81%AB
ソラリスの陽のもとに
(引用終わり)

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/7635.html
数学セミナー　2018年2月号
(抜粋)
数学者たちのいるところ／数学をとりまくもの……円城塔　52
(引用終わり)

円城塔先生が、スタニスワフ・レムについて、書いているね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%8B%E3%82%B9%E3%83%AF%E3%83%95%E3%83%BB%E3%83%AC%E3%83%A0
スタニスワフ・レム
(抜粋)
スタニスワフ・レム（Stanis?aw Lem [sta??iswaf ?l?m] ( 音声ファイル), 1921年9月12日 - 2006年3月27日）は、ポーランドの小説家、SF作家、思想家。ポーランドSFの第一人者であるとともに、20世紀SF最高の作家の一人とされる。
(引用終わり)
269 ：: おっちゃんのために・・w
大山陽介先生が、金子和雄さんのこと（下記）を巻頭言で書いていたね

https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/7635.html
数学セミナー　2018年2月号
(抜粋)
coffee break／数学者と年齢……大山陽介　1
(引用終わり)

https://twitter.com/paul_painleve/status/655311036279607296
Paul Painleve@JPN 2015年10月17日

2007年3月にパンルヴェ方程式の研究で大阪大学で博士号を71歳で取得された金子和雄氏がこの10月7日に亡くなられました。80歳でした。技術者として長年勤められた民間企業を退職した後に再入学して数学を志し、10年間に9本の学術論文を発表されました。ご冥福をお祈りいたします。

つづく
270 ：: >>269 つづき

https://plaza.rakuten.co.jp/godislove/diary/200705200000/
あっぱれ７１歳数学博士　金子さん阪大大学院を卒業 God is love. 2007.05.20
(抜粋)

大阪大学大学院の卒業式に出席した金子和雄さん。７１歳で博士号を取得した＝２００７／０３／２３日午前１１時２２分、大阪府吹田市

　大阪大大学院で行われた卒業式で２３日、７１歳の数学博士が誕生した。情報科学研究科情報基礎数学専攻の金子和雄さん＝兵庫県姫路市。同大によると、純粋数学と呼ばれる分野で、７０代で博士号を取得するのは、きわめて珍しいという。

定年後の６３歳から研究重ね

　阪大工学部ＯＢの金子さんは卒業後、総合重機メーカーの技術者として蒸気タービンの設計などに携わった。６３歳で定年を迎え、真っ先に向かったのが母校の阪大。「何をしていいかわからず、学校だったら毎日時間がつぶせると思った」

　だが、実験が多い工学部は「体力的に無理」。理学部で数学を学ぶことを決め、聴講生を経て平成１２年に学士編入学し、本格的に数学を学び始めた。当初は卒業までは考えていなかったが、卒業研究で師事した大山陽介助教授と出会い、研究の道に進む転機となった。

　「うまがあったというか、熱心に指導してくれた。ちょっとしたことでも結果がでると、先生がすごく喜んでくれた。やめたいと思った時期もあったが、先生におだてられて、いつの間にか研究がうまくいっていた」

　１４年に同研究科の大学院に進み、修士課程を最優秀の成績で修了。博士課程に進み、６９歳で最初の学術論文を発表した。

　金子さんは、数学者を悩ませてきた「パンルベ方程式」と呼ばれる微分方程式の研究に没頭。他の学生が計算で使うコンピューターが苦手な金子さんは、朝から晩までひたすら手計算で結果を求めた。

　パンルベ方程式を満たす解となる新しい関数を見つけ、海外の研究集会で発表。高度な研究を積み重ねてきたことが評価され学位取得となった。
(引用終り)
271 ：: おっちゃん、早く論文書いてね（＾＾

やっぱさ、
”当初は卒業までは考えていなかったが、卒業研究で師事した大山陽介助教授と出会い、研究の道に進む転機となった。

　「うまがあったというか、熱心に指導してくれた。ちょっとしたことでも結果がでると、先生がすごく喜んでくれた。やめたいと思った時期もあったが、先生におだてられて、いつの間にか研究がうまくいっていた」”

ってことなのよ。良い指導者に巡り会うのも、運だよね（＾＾
272 ：: 運を呼び寄せるのが実力ではある

幸運の女神には後ろ髪がないという

目の前の幸運の女神をしっかり捕まえられるのが、その人の実力ではある（＾＾
273 ：: >>269 関連

http://math0.pm.tokushima-u.ac.jp/~ohyama/index.html
大山陽介
徳島大学大学院理工学研究部数理科学系数理解析分野

略歴
Education
1981-1985: 京都大学理学部卒業
1985-1987: 京都大学大学院理学研究科修士課程数理解析専攻卒業
1987-90: 同　博士後期課程数理解析専攻修了（理学博士）
Teaching position
1990年4月: 大阪大学理学部助手
1998年4月: 大阪大学大学院理学研究科講師
2002年4月: 大阪大学大学院情報科学研究科助教授（2007 年より准教授）
2016年4月: 徳島大学大学院理工学研究部教授
274 ：: >>273 関連

http://math0.pm.tokushima-u.ac.jp/~ohyama/seminar/201801.html
第2回古典解析・徳島研究会
～パンルヴェ首相百年記念～
日時：2018年01月19日（金）?20日（土）
場所：徳島大学常三島キャンパス・共通講義棟K304

1917年9月12日にポール・パンルヴェがフランスの首相に就任して百年になりました。
パンルヴェ首相百年ということで古典解析研究会を徳島で開きます。

第2回古典解析・徳島研究会・ポスター [pdf]
プログラムとアブストラクト [pdf]

プログラム
19日（金）
13：30～14：30 長尾秀人（明石高専） [講演ファイル]
　加法差分パンルヴェ方程式の超幾何型特殊解
15：00～16：00 竹井優美子（神戸大） [講演ファイル]
　超幾何微分方程式の Voros 係数の位相的漸化式による表示
16：30～17：30 関口次郎（東京農工大）
　３次元の一般化されたWDVV方程式の特殊解について

（18:30～　懇親会）

20日（土）
09：30～10：30 眞野智行（琉球大学）[講演ファイル]
　パンルヴェ方程式と平坦座標
11：00～12：00 斎藤恭司（東京大学IPMU）
　原始形式の周期写像、鏡像対称性そしてBridgeland安定性条件の空間
13：30～14：30 大山陽介（徳島大） [講演ファイル]
　q-超幾何級数の総和法
15：00～16：00 鹿野忠良（Institut Vercors）
　Airy の浅水波が津波の正体である：津波の古典解析

※ポール・パンルヴェは11月13日に内閣総辞職しました。準備不足で百周年記念が辞職後になったことをお詫びいたします。
斎藤恭司氏の講演は黒板を使いました。関口次郎氏の講演内容は奈良女の岡シンポジウムの講演録を参照してください。
275 ：: 斎藤恭司先生は、以前￥さんの話しに出てきた人やね（＾＾
276 ：: >>274 関連

https://cluster.tokushima-u.ac.jp/cluster-list/cluster-list-all/92.html
徳島大学研究クラスター「超対称性から見たラマヌジャンのq-解析とムーンシャインの解明」研究会
(抜粋)
研究課題超対称性から見たラマヌジャンのq-解析とムーンシャインの解明
クラスター長
大山陽介
(大学院社会産業理工学研究部（理工学域）数理科学系・教授・古典解析および代数解析・建設棟A220、

研究概要
百年前のラマヌジャンによる神秘的な仕事は以後の数学者を魅了し、その解読が大きな目標となった。
例えば彼が死ぬ直前の最後の手紙に書かれたモック・テータ函数は奇妙なq-級数であったが、1980年代になって素粒子論の超対称性理論の中で再び唐突に現れ、21世紀以降は数学者と物理学者の交流の中で理解が大きく進みつつある。
q-級数には他にも不思議なことが多い。40年前に発見されたムーンシャイン予想も巨大な有限単純群であるモンスター群とq-級数との関係を突きつけた驚異的な予想であったが、後に素粒子の弦理論の一部分を数学的に公理化した頂点作用素代数の枠で自然な対象として捉えられるようになった。
ムーンシャイン的な現象は再び超対称性理論の中で現象として姿を現しているが、その理論的な説明は不十分である。
古典数学が計算機の進展とともに離散化されていく中で、他にも様々なq-級数が現代的な文脈に多彩な形で登場しており、数理科学全体への応用のためにも基礎理論の整備が急務である。
ノーベル賞となったヒッグス粒子に続いて、超対称性粒子の発見が次の大きな目標になっている。超対称性理論の中から生まれた理論を数学の立場から再構成すれば、その整備された理論が数理物理の次の発展に貢献するであろう。
数学の問題を解く鍵は数学の世界の外にあることが多い。本研究はq-解析の謎を解く鍵を超対称性の中で探るクラスター研究である。
(引用終り)
277 ：: ”数学の問題を解く鍵は数学の世界の外にあることが多い。本研究はq-解析の謎を解く鍵を超対称性の中で探るクラスター研究である。”
278 ：: >>276 関連

グラフィックが綺麗やね（＾＾
http://math-functions-1.watson.jp/sub2_qspec_090.html
日：モックテータ関数，擬テータ関数，モック-モジュラー形式特殊関数グラフィックスライブラリー
英：Mock theta function， Mock modular form※1，仏：Fonction theta moquer，独：Mock-Thetafunktion
(抜粋)
　モックテータ関数は、S. Ramanujan が1920年に G. H. Hardy へ宛てた最後の手紙、および Ramanujan の「失われたノート」と呼ばれる草稿中で、初めて言及した関数である。
　Ramanujan は、楕円テータ関数 (の零値) に似ているがそれで表わすことができない特定の q-級数一般的なモックテータ関数は、単位円周上にある特異点 (尖点) で漸近近似すると、指数関数の引数が有限多項式になること、すなわち現在では
一般的なモックテータ関数の漸近近似式
として知られる漸近近似式を持つような例があることを主張し、これをモックテータ関数と呼んだ。Ramanujan は17例の具体的なモックテータ関数を示して、これらを位数 (Order) によって分類した。
特に、位数３と位数５のモックテータ関数は、同一位数の関数どうしに線形な関係式があること、逆に、位数７には線形関係式が存在しないこと等を併せて示した。Ramanujan は、前述の具体的な漸近近似式として、位数３のモックテータ関数位数３のモックテータ関数：F(q)が
F(q)の漸近近似式
となることを例示し、このようになる q-級数の種類は限られていると手紙の中で主張した。

つづく
279 ：: >>278 つづき

　Ramanujan の主張は厳密な証明を伴っていなかったが、その後、G. N. Watson，A. Selberg，G. E. Andrews，L. A. Doragonette，D. Hickerson，R. J. McIntosh 等の研究を経て、すべて肯定的に証明された。
　なお位数は、2, 3, 5, 6, 7, 8 および 10がある。これらはモックテータ関数の特性に基づく分類規則ではなく、単なるインデックス的な意味の番号である。Ramanujan も、この番号付けの意味は明らかにしていない。
　Ramanujan 以後、モックテータ関数は楕円モジュラー形式の場合と似ている何らかの関数等式を満たすだろうと予想されたが、長年の間不明であった。
しかし、S. P. Zwegers は2002年に、位数３, ５および７のモックテータ関数が、重み1/2の実解析的モジュラー形式である弱 Maass - wave 形式の正則部分として表わせることを示した。その際に用いられた Appell - Lerch 級数
Apell-Lerch級数
はモックテータ関数そのものではないが、示唆に富む次の関数等式を満たす。

モックテータ関数はより一般的に、重みが半奇数の実解析的保型形式と何らかの関係があると考えられており、実際、K. Bringmann，Ken Ono 等は重み3/2の場合について、いくつかの成果を得ている。また、分割数に対して定義される「rank」と呼ばれる指標は、これを係数とするある q-級数を構成すると、位数３のモックテータ関数が現れる。
　ある特別なモックテータ関数の Fourier 展開係数は、散在型有限単純群の一種である Mathieu 群Mathieu群：M24の既約指標と関係がある (これは｢Mathieu Moonshine｣と呼ばれ、Klein の楕円モジュラー関数に対する｢Monstrous Moonshine｣に類似した現象として注目されている)※2。

つづく
280 ：: >>279 つづき

　このように、近年は数論や組み合わせ論との結びつきも明らかになりつつあるが、Ramanujan による発見から派生した分野のうちでも、特にモックテータ関数は未だ不明な点が多く、それゆえに世界中の数学者によって活発な研究がなされている。しばしば、Ramanujan の最高の業績として「モックテータ関数の発見」が挙げられる所以でもある。

(引用終り)

以上
281 ：: >>280 関連

http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo24/
第24回数学史シンポジウム
http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo24/24_5hiramatsu,saitou.pdf
平松豊一・斎藤正顕　Ramanujan Revisited　τ- 関数とモック・テータ関数
282 ：: >>281 追加

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1872-01.pdf
マシュー群に関連した擬テータ関数に現れる合同式三枝崎剛著山形大学地域教育文化学部数理解析研究所講究録第1872 巻2014 年
283 ：: >>196
>　　なので、定理1.7は、「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」には、この定理を直接適用することができない
定理1.7は間違っているという主張は引っ込めましたか

>　系1.8の関数ｆは、「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」であるから
>　　定理1.7を適用するのは不適切であり、矛盾が導かれるとする背理法は不成立（それは、もともと適用ルール違反であり、矛盾が導かれるのは当然）
それは背理法という証明法を正しく認識していないということです
適用ルールとは何ですか？
その定理は
「R-Bfが高々可算個の疎な閉集合で被覆できるならばリプシッツ連続な区間が存在する」
という主張です
「有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R」が存在するとした場合そのｆについて「R-Bfが高々可算個の疎な閉集合で被覆できることになる」ので
リプシッツ連続な区間が存在することになり矛盾が起こるわけです
そして背理法によりそのようなfは存在し得ないということが結論できるのです
適用ルールなるものを妄想してはいけません
284 ：: >>159
>”Straddle Lemma”は、条件”Let F: [a, b] - R be differentiable at z ∈ [a, b].”
>つまり、微分可能な区間[a, b]が、存在することを仮定した”Lemma”ってことじゃないかと・・
なぜですか？
そのlemmaは「f : R → R は点x ∈ R で微分可能とする」という条件だけですが？
285 ：: 時枝さんの言いたかったことは
あの記事で紹介したことが正しいということではなく
確率における無限の扱いにはもっと考慮すべきことがあるのではないかという問題提起
有限の極限としての無限ではない無限を直接扱う方法が欲しいということだろうよ
そして
あの記事で紹介したことが間違いであるのは
x,y∈N
P(x<y)=1/2
でもy=y0が確定すれば
P(x<y0)=0
となるのが当然であり
あの戦略は確率変数の値が定まることによる条件付き確率を考慮しなくてはならないことを無視して読む者を煙に巻いているだけのジョーク
286 ：: >>285
> P(x<y)=1/2
> でもy=y0が確定すれば
> P(x<y0)=0
> となるのが当然であり

問題の取り違え乙w
287 ：: >>286
pu
288 ：: >>285
バカ乙
289 ：: 真円の有理点を使って群などの代数構造を構築することは可能なのでしょうか？
何か知ってる情報あれば下さい。

スレ違いかも
290 ：: >>289の続きです。
英語でググったら知りたいことがすぐ分かりました。自己解決です。どうもお騒がせしました。
291 ：: >>290の続きです。（さいごに念のため）
円分体と呼ばれる話でした
292 ：: >>285-287
「ぷふ」さん、どうも。スレ主です。

レスありがとう（＾＾

時枝問題についての、High level peopleさんへのお相手は、お任せします（＾＾
293 ：: >>285

>あの戦略は確率変数の値が定まることによる条件付き確率を考慮しなくてはならないことを無視して読む者を煙に巻いているだけのジョーク

いやまあ（＾＾

１．エイプリルフールでもないのに、真面目な顔をして、初心者が混乱するような記事は、如何なものか？（＾＾
　　現に、殆どの初心者が、大勘違いしたのです・・！（いまでも・・）（＾＾

２．日本の落語では、”おち”がある
　　時枝先生の英国流ユーモア（ジョーク？）は、英国流で・・、”おち”がない・・？笑えない日本人が笑われるのかな・・？（＾＾
294 ：: >>283-284

「ぷふ」さん、どうも。スレ主です。
レスありがとう（＾＾

>定理1.7は間違っているという主張は引っ込めましたか

いいえ（＾＾

でも、じっくりやりましょう
定理1.7を書いたご本人が、日曜には現れなかった・・（＾＾

まあ、いまインフルエンザが猛威とか言いますから、いろいろ事情は考えられます
次の日曜にタイミングを合わせて、週後半に、>>283-284及び、定理1.7とその関連にレスしますよ（＾＾
295 ：: >>290-291
お疲れです（＾＾
まあ、日本語ですが、下記ご参考まで（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E7%82%B9
(抜粋)
数論において有理点（ゆうりてん、英: rational point）とは、各座標の値が全て有理数であるような空間の点を言う。

目次 [非表示]
1 代数多様体上の有理点や K-有理点
1.1 例1
1.2 例2
1.3 例3
2 スキームの有理点s
3 関連項目

代数多様体上の有理点や K-有理点

K-有理点と同様に、楕円曲線のような代数多様体の有理点は、現在の研究の主要な分野となっている。アーベル多様体 A に対し、K-有理点は群を形成する。K が数体のとき、モーデル・ヴェイユの定理は K 上のアーベル多様体の有理点のなす群は有限生成であることを言っている。

ヴェイユ予想は、有限体上の多様体上の有理点の分布に関連していて、多様体が定義される最も小さな部分体が存在し、それへ属する点から有理点が構成されることを意味している。

スキームの有理点s[ソースを編集]
スキーム論の用語では、スキーム X の K-有理点は、まさに射 Spec K → X のことである。K-有理点の集合を通常、X(K) で表す。

体 k 上に定義されたスキームや多様体 X に対し、剰余体 k(x) が k に同型であれば、点 x ∈ X も有理点と呼ばれる。

関連項目[ソースを編集]
代数曲線
数論力学
双有理変換
単位円の有理点の群（英語版）
点の函手（英語版）
(引用終り)

つづく
296 ：: >>295 つづき

http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/rational.pdf
有理点の整数論( 高校生 ( または一般の方 ) 向け講義ノート ) 田口雄一郎九州大学大学院数理学研究院（当時（現在東工大））（2001～2008の間）
(抜粋)
[3] 斎藤毅『Fermat 予想1』(岩波書店; 第2 巻は未刊)
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%96%8E%E8%97%A4%E6%AF%85_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)
斎藤毅（さいとうたけし、1961年9月11日 - ）は、日本の数学者。
(抜粋)
単著[編集]
『Fermat予想』第1巻、岩波書店〈現代数学の展開 9〔11〕〉、2000年3月28日。ISBN 4-00-010659-7。
『Fermat予想』第2巻、岩波書店〈現代数学の展開 12〔12〕〉、2008年2月8日。ISBN 978-4-00-010662-7。
『フェルマー予想』岩波書店、2009年2月6日。ISBN 978-4-00-005958-9。 - 斎藤(2000)と斎藤(2008)の合本。
(引用終り)

つづく
297 ：: 間違え方までスレ主にそっくりなぷｗ
298 ：: >>296 つづき

田口雄一郎先生関連
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/

March, 1988 : Graduated from University of Tokyo
June, 1993 : Degree of Doctor (University of Tokyo)
September, 1993 -- August, 1995: Member of the Institute for Advanced Study
April, 1998 -- March, 2001: Associate Professor of Mathematics, Hokkaido University
April, 2001 -- February 15, 2016: Associate Professor of Mathematics, Kyushu University
February 16, 2016 --: Professor of Mathematics, Tokyo Institute of Technology

http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
数学関係の文章
・アーベル多様体と数論( 九州大学公開講座「現代数学入門」 ( 2013年 7月 28日 ) の講演ノート ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/notes130731.pdf
・類体論(「整数論札幌夏の学校」 ( 2006年8月28日 ) に於ける講義ノート ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.html
・有理点の整数論( 高校生 ( または一般の方 ) 向け講義ノート ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/rational.html
・Fermat の最終定理を巡る数論( 『日本の科学者』 vol.40, no.3 ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/fermat-JSA.html
・Artin 導手の誘導公式( 2001年度日本数学会秋季大会代数学一般講演アブストラクト集 ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/artin.html
・Mod p Galois 表現について ( 特に像が可解の場合 )( RIMS講究録 1154 ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/modp.html
・abc予想の話( 昔、北大理学部ＨＰの「サイエンストピックス」に掲載されたもの ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/abc.html
・Fontaine-Mazur予想の紹介( RIMS講究録 1097 ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/fm.html
・Fermatの最終定理( Wilesによる証明の一般向け解説 ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/fermat.html
・eとpiの超越性 ( Hilbertの証明 ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/hilbert.html
・p進数 ( 初心者向けの解説 ) http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/padic.html
(引用終り)
以上
299 ：: >>297
浅いな
私スレ主は、>>285に全面賛同している訳では無いよ

現に私の意見は、>>293に書いたし、私の見解は>>249-251に書いた
なので、「ぷふ」さんとは、細かい点で、意見が相違しているところもあるよ（＾＾

ただ、”時枝記事の解法が不成立”
この１点では、一致しているんだ（＾＾
300 ：: >>278
>英：Mock theta function

Mock（模擬の）下記（これ、以前にも似たことを書いた気がする（＾＾）
https://eow.alc.co.jp/search?q=mock
mock 英辞郎 on the WEB Pro
(抜粋)
【自動】
あざ笑う、ばかにする
【他動】
1.（人）の物まねをしてからかう、ふざけて（人）のまねをする
・The teenager mocked the teacher behind his back. : 少年はすぐ後ろで教師のまねをしてふざけた。
2.～を嘲る、～をばかにする、～をあざ笑う
3.～を阻止する、～を失敗させる、～を挫折させる◆その結果、人をイライラさせたり、屈辱を味わわせたりする。
【名】
1.嘲り、冷笑
2.模造品、まがい物
【形】
1.偽物の、模造の
2.見せ掛けの、ふりをした
3.模擬の、演習の
レベル6、発音m??k、カナマック、モック、変化《動》mocks ｜ mocking ｜ mocked
以上
301 ：: >>276

"古典数学が計算機の進展とともに離散化されていく中で、他にも様々なq-級数が現代的な文脈に多彩な形で登場しており、数理科学全体への応用のためにも基礎理論の整備が急務である。
ノーベル賞となったヒッグス粒子に続いて、超対称性粒子の発見が次の大きな目標になっている。超対称性理論の中から生まれた理論を数学の立場から再構成すれば、その整備された理論が数理物理の次の発展に貢献するであろう。
数学の問題を解く鍵は数学の世界の外にあることが多い。本研究はq-解析の謎を解く鍵を超対称性の中で探るクラスター研究である。"

数学は、素人ですが
この視点は、良いと思う（＾＾
非常に、面白い！！
302 ：: >>299
そんな必死に繕わなくても
もうとっくにバレてるんだからｗ
303 ：: >>301 関連

ムーンシャインについて、以前にもコピー貼ったが下記をどうぞ
下記”イーゴル・フレンケル（英語版）(Igor Frenkel)”は、例の「大統一理論」を書いた人（エドワード・フレンケル）とは別人だね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%B3
モンストラス・ムーンシャイン
(抜粋)
数学において、モンストラス・ムーンシャインもしくはムーンシャイン理論とは、モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。1979年にジョン・コンウェイ(John Conway)とシモン・ノートン（英語版）(Simon Norton)により命名された。

コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。

彼らの計算を基礎として、コンウェイとノートンは Hauptmodul のリストを作成し、M の無限次元の次数付き表現の存在を予想した。次数付きトレース Tg は正確にこれらのリストの函数の展開となる。
イーゴル・フレンケル（英語版）(Igor Frenkel)とジェームズ・レポウスキー（英語版）(James Lepowsky)は、明確に、表現を構成し、マッカイ・トンプソン予想が有効であるという答えを与えた。
さらに彼らは、構成したムーンシャイン加群 V^♯と呼ばれるベクトル空間が、頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra)の加法構造を持ち、その自己同型群が正確に M に一致することを示した。

ボーチャーズは1992年にムーンシャインモジュールについてのコンウェイとノートンの予想を証明し、1998年にこの予想の解決をひとつの根拠として、フィールズ賞を受賞した。

つづく
304 ：: >>303 つづき

一般化されたムーンシャイン

1987年、ノートンはクイーンの結果と彼の計算を組み合わせ、一般化されたムーンシャイン予想を定式化した。この予想は、モンスターの各々の元 g、次数付きベクトル空間 V(g)、各々の元と元の交換子 (g, h)、に対して、正則函数 f(g, h, τ) を関係づける規則があり、次の条件を満たすという予想である。

量子重力との予想される関係

2007年、エドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、AdS/CFT対応が (2+1)-次元の反ド・ジッター空間（英語版）の純粋量子重力と、臨界で正則CFTの間の双対性を主張していると示唆した。
(2+1)-次元の純粋重力は自由度を持たないが、しかし宇宙定数が負のときにBTZブラックホール解が存在するために非自明なことが起きる。ハーン(G. Hohn)により導入された臨界CFTは、低エネルギーではヴィラソロプライマリー場を持たないということにより特徴づけられ、ムーシャイン加群が一つの例となっている。

マチュームーンシャイン

2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二は、K3曲面上の楕円種数が N=(4,4) 超共形代数（英語版）の指標へ分解することができ、有質量状態（英語版）の多重度がマチュー群 M24（英語版）(Mathieu group M24)の既約表現の単純な結合のように見えることを発見した。

マッカイ・トンプソン級数の類似で、チェン(M. Cheng)は、多重乗法函数（英語版）(multiplicity function)も M24 の非自明元の次数付きトレースも両方とも、モックモジュラー形式（英語版）(Mock modular form)を形成することを示唆している。

2012年には、チェン(Cheng), ダンカン(Duncan), とハーヴィー（英語版）(Harvey)は、アンブラル・ムーシャイン(umbral moonshine)現象の数値的な証拠を積み上げ、そこではモックモジュラ形式がナイエメイヤー格子(Niemeier lattice)に付随して現れることを示した。

(引用終り)

つづく
305 ：: >>304 つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Monstrous_moonshine
Monstrous moonshine

以上
306 ：: >>302
いやいや、必至になっているわけではないのだよ（＾＾
欧米基準では、「沈黙は金」ではないと言われるときが多い

反論しないのは、認めているのだと
それが、欧米基準とも言われる

なので、具眼の士には自明なことだが・・
きちんと、かつ、ロジカルに、立場を説明しているだけのことだよ！（＾＾

fusianasan・・！（＾＾

http://dic.ni
covideo.jp/a/fusianasan
fusianasanとは、2ちゃんねるのトラップ機能である。ニコニコ大百科
読み：フシアナサン
初版作成日: 09/02/20 18:38 ◆ 最終更新日: 14/03/23 16:52
307 ：: ＞x,y∈N
＞P(x<y)=1/2
＞でもy=y0が確定すれば
＞P(x<y0)=0
＞となるのが当然であり

これってスレ主の「決定番号＝∞」論そのものじゃんｗ
もう自演はいいからｗ
308 ：: よくある勘違いだよなこれ
309 ：: >>301
まさに作文だな。
素人をだまして研究費をとるってことか。
理想に対して後で研究結果を検証したら、どうなるんだろうね。
310 ：: ぷ
解析の話題でなくなると思ってワラワラ沸いてきたなｗ
311 ：: スレ主よ　自分をアホでバカだと思うなら何故「決定番号＝∞」を取り下げぬ？
312 ：: >>307 ＆ >>311

Sergiu Hart Choice GamesがNovember 4, 2013、ソースがxorshammer 2008
これについての関連の欧米文献紹介を>>251にした
嫁め！！（＾＾
時枝解法は不成立だよ

どうせ読めないんだから
はやく、先生に聞きなさい！！（＾＾

スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/45 より

http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.html
Sergiu Hart Choice Games より PDF
http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf?
Choice Games? November 4, 2013

注釈
”1Source unknown. I heard it from Benjy Weiss, who heard it
from ..., who heard it from ... . For a related problem, see
http://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/”
313 ：: >>309

むかし、米国の大学理系教授の仕事の重要部分は、いかに予算を獲得するかだと
予算獲得には、書類をいっぱい書かないといけないと、どこかで読んだ

当時、日本は国公立大学が中心で、大学理系教授は、牧歌的だった（＾＾
米国化したってことじゃないかな？

文科省の役人は、上に行けばいくほど、文官優位だろう
数学専門家・・、というか数学科出身者が、文科省へ行くかい？

これ、文系のお役人に分かる文章を書いただけでしょ？（＾＾
その道の専門家しか分からない申請書書いて、「読めばわかる」「分からない方がおかしい」とか、思っている人は、世間知らずだろうよ
314 ：: >>265 補足

>「ε－δ 論法を用いて, 「限りなく近づく」とか「無限小」といった概念を排除して
>こそ, 解析学を厳密に論じられると習ってきたからである. 」
>この日本の教育の考え方が、間違っていると思う（＾＾

下記、マイケル・アチャと渕野先生、ご参照！！（＾＾
スレ 36 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1499815260/239
239 名前：現代数学の系譜古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/07/16(日) ID:rQee5E1g
>>234 補足
直観とアイデアの重要性は
過去スレ24で紹介した渕野昌先生（下記）と
マイケル・アチャ >>135 (『プリンストン数学大全』Ｐ1120 VIII.6 「若き数学者への助言」より)
「数学研究とは証明を提示していくころだと考えるのは間違っている。実際、数学研究の真に創造的な部分はすべて証明段階より重要だと言える。
　”段階”というメタファーを使うならば、あなたはアイデアを持つことから始め、筋書きを広げ、問答を書き、芝居がかった説明を用意しなければならない。実際にできあがったものが、アイデアを実行に移した”証明”と考えられる」
「数学ではアイデアと概念が最初にあって、次に疑問や問題が来る。この段階で解答を求める研究が始められ、解法や戦略を探すのだ。」と

つづく
315 ：: >>314 つづき

過去スレ24 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1475822875/457
457 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/10/16(日)
(抜粋)
あなたのまったく逆を渕野先生が書いている。>>361だ
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.amazon.co.jp/dp/4480095470
数とは何かそして何であるべきかデデキント訳解説渕野昌筑摩書房 2013
数学的直観と数学の基礎付け訳者による解説とあとがき P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい，という価値観を確立しようとして
いるものではない.これは自明のことのようにも思える
が，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，たとえ
ば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，ここに
明言しておく必要があるように思える.

多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として
記述された「死んだ」数学ではなく，思考のプロセスとし
ての脳髄の生理現象そのものであろうしたがって，数学
はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにある
もの，と意識されることになるだろうそのような「生きた」
「実存としての」(existentialな)数学で問題になるの
は，アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」
とよばれるもので，これは，ときには，意識的に厳密
には間違っている議論すら含んでいたり，寓話的であった
りすることですらあるような，かなり得体の知れないもの
である.
(引用終り)

以上
316 ：: >>314 補足の補足

「限りなく近づく」とか「無限小」といった概念を排除することはよくない
「限りなく近づく」とか「無限小」といった概念は、その後、ノンスタとかいろんな発展形の概念でフォローされ
必ずしも、ε－δ 論法によらなくともよいことが分かったのが20世紀の数学
直感を排すべきではない、数学から
そんなことをするから、日本の数学科の視野が狭いと思う
317 ：: >>314 より

”マイケル・アチャ >>135 (『プリンストン数学大全』Ｐ1120 VIII.6 「若き数学者への助言」より)
「数学研究とは証明を提示していくころだと考えるのは間違っている。実際、数学研究の真に創造的な部分はすべて証明段階より重要だと言える。”

を再度強調しておく
318 ：: >>317 追加

（>>315より）
「厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，たとえ
ば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，ここに
明言しておく必要があるように思える.
多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として
記述された「死んだ」数学ではなく，思考のプロセスとし
ての脳髄の生理現象そのものであろう」（渕野昌
数とは何かそして何であるべきかデデキント訳解説渕野昌筑摩書房 2013
数学的直観と数学の基礎付け訳者による解説とあとがき P314より）

(>>194-196ご参照)
１）定理1.7 (422 に書いた定理)の人も、証明に走ってしまって
　大きな数理の流れへの理解が、落ちてしまった
２）だから、証明におかしなところがあるのに
　気づかないのだった
319 ：: お久しぶりです、おっちゃんです。
え～と、以下では持論に過ぎないことを書く。
将棋のプロ棋士になるには大抵の場合は誰かのお師匠に就く。
だが、お師匠に就いても、弟子が師匠から指導対局したりして教えてもらうようなことは殆どなく、
結局は他の棋士達と一緒の研究会とかに参加して、主に自分で将棋の腕を磨き高めて行くことになる。
羽生や森内、佐藤(康光)といったような、羽生世代の一流の棋士は大体そうしていた。
現在の多くの若手棋士もそのような状勢の中にある。
勿論、将棋の対局で勝つときは指運が勝負を左右することも多々ある。
一流の芸術家とかについても、似たようなことがいえるだろうな。
将棋などに倣えば、数学でも同じようなことは出来るであろうというのが私の考え方だね。
一流になるにあたり運は必要だろうが、数学の一流になるにあたり研究をするのに、
師匠は必ずしも必要とは限らないというのが持論だね。
320 ：: 今まで全く気付かなったが、マイケル・アチャはマイケル・アティヤの間違いだろ。
どうやったら「アチャ」なんていう表記になるのかがよく分からん。
321 ：: >>319
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>羽生や森内、佐藤(康光)といったような、羽生世代の一流の棋士は大体そうしていた。
>現在の多くの若手棋士もそのような状勢の中にある。

国民栄誉賞囲碁の井山７冠（２度）は、師匠の石井９段にネット対局で千局教えてもらったという
師匠を超えてからは、打たなくなったらしい（それは10代のころだと）

話題の将棋の藤井聡太４段も、師匠の杉本７段にかなり教えてもらったという
いまは、師匠を超えてしまったから、やらないらしいが

まあ、昔から、才能か教えてもらえる環境かというのはあるが
同じ才能なら、教えてもらえる環境がある方が、統計的にはいい結果でるだろう

但し、統計を壊すとてつもない頭脳の持ち主がいることも確かだ（＾＾
322 ：: >>320
あちゃ？　（＾＾

まあ、『プリンストン数学大全』にそう書いてあったと思ったが・・（＾＾
余談だが、欧米圏では、アルファベット綴りを自国語読みすることが多いらしい

例えば、ツォルンの補題とか日本ではいうらしいですな～（＾＾
が、英米では、Zorn's lemma で、英語読みで”ゾーン”らしい（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
ツォルンの補題
323 ：: 余談ついで

日本人では、中国名とか韓国名で漢字表記があると、つい日本語で音読みしますよね
習近平：しゅうきんぺい
とか。どうやったら、「シー‐チンピン」なんていう表記になるのかがよく分からん（＾＾

https://dictionary.goo.ne.jp/jn/257416/meaning/m0u/
シー‐チンピン【習近平】 goo辞書
324 ：: >>322 補足

Michael Atiyah先生は、お父さんがレバノン人で、母はScottish womanだと
https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Atiyah
Michael Atiyah
(抜粋)
Education and early life
Great Court of Trinity College, Cambridge, where Atiyah was a student and later Master
Atiyah was born in Hampstead, London, England, to a Lebanese father, the academic, Eastern Orthodox, Edward Atiyah and Scot Jean Atiyah (nee Levens).
(引用終り)

お父さん
https://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Atiyah
Edward Atiyah
(抜粋)
He came to England to study at Brasenose College, Oxford University,[1] and there met and married a Scottish woman, Jean Levens. They had four children, including the renowned mathematician, Sir Michael Atiyah, and Patrick Atiyah, an academic and professor of law.[2]
He served as secretary of the Arab League office in London.
(引用終り)
325 ：: >>318 補足

スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/463 より
　https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
　Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.

スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/81 より
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.

これらのPDFを読んで貰えば分るが、我々の知りたいことは、

”fν(x)
=0 　　　x∈無理数
=1/q^ν x∈有理数

for various values of ν ∈ R.
we have p, q ∈ Z and q > 0 (in particular, f(k) =f(k/1) = 1 for every k ∈ Z, including k = 0).”

という、病的な関数の性質で
言葉で説明すると、無理数ではO、有理数で1/q^ν > O
だから、有理数で不連続。

で、ν>2の場合、 x∈無理数で微分可能になる。
νがどんどん２を超えて大きくなると、どんどん微分可能な無理数点が増える

では、問題はすべての無理数点が微分可能になるのかどうかだ
x∈有理数は、当然R中で稠密という病的な関数だから、微分可能なある区間がR中に存在するなどあり得ない
もちろん、リプシッツ連続な空間も存在しない

そういう病的な関数には、>>195の定理1.7 ”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”などと言えるはずもない
実際、>>195の定理1.7は、 ”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”ということを、その証明の中で使っているのだった

この点については、>>196の＜問題点の指摘＞に書いた通りです
326 ：: >>325 訂正

もちろん、リプシッツ連続な空間も存在しない
　↓
もちろん、リプシッツ連続な区間も存在しない
327 ：: >>319
＞将棋のプロ棋士になるには大抵の場合は誰かのお師匠に就く。
おっちゃん知らないね
師匠がいなきゃプロになれないよ、いくら強くても
328 ：: >>327

どうも。スレ主です。

まあ、おっちゃんがいうのは、師匠が、弟子に”教えるか教えないか”みたいな
昔から、日本では、伝統的に、まあ￥さんも言っていたが、徒弟制の技の伝承みたいに、「技は盗め」とか、わざと教えないとか（しゃれか？（＾＾）

しかし、数学を山登りに例えれば、昔のガロアの初登頂の山は、まあ、現代から見れば、高尾山みたいなもので（＾＾
登山靴でない普通の靴でも上れる程度だったかもね

しかし、いまどきのフィールズ賞クラスの未踏峰は
エベレストと同じで、複数の研究者がベースキャンプ張って、酸素ボンベ使って、最後は体力のある若者が、頂上へと

そんな感じにおもっちゃうんだよね
自分で本読むことも大事だが、指導者やリーダーが居て、山の地図をみんなで作って、どう頂上にアタックするかを考えるのも大事だと

おっちゃんみたいなやり方じゃ（自分一人でコツコツだと）
富士山の３合目がせいぜいじゃないかな？（＾＾

なんとか賞をねらうような
世界の未踏峰はとてもとてもだろう（＾＾
329 ：: >>328

>自分で本読むことも大事だが、指導者やリーダーが居て、山の地図をみんなで作って、どう頂上にアタックするかを考えるのも大事だと

いまふと思ったのが、これ佐藤スクールだったのかも・・（＾＾
佐藤幹夫先生は、頂上にアタックするのは弟子にやらせた・・
330 ：: >>312
時枝解法が不成立だとは一言も書かれてないんだが
アホですか？
331 ：: >>330
だから、読めないなら、先生に聞きなさい
大学には、専門の先生がいるだろ？（＾＾
332 ：: >>331
アホ？
読めないとは言ってない、書いてないと言っている
333 ：: >>331
反論があるなら、「時枝解法は不成立」と書かれている箇所を具体的に示しなさい。

はいどうぞ
↓↓↓↓↓
334 ：: 毎週日曜日と書いたが、実際に日曜日になってみると、
先週はやる気が無くて書き込まなかった。
日程を固定してみても、どうにも上手くいかないようである。

今日はやる気があるが、このまま日曜日まで待つと
再び冷める可能性があるので、日曜日ではないが書くことにする。
335 ：: >>196
＞２）「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」は、
＞明らかに、補題1.5（注：”The Straddle Lemma”の変形）の
＞仮定 ” lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”を満たさない。
＞よって、「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」は、補題1.5の適用範囲外

息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
病的な不連続点を持つ関数であっても、Af(x)＜＋∞ が成り立つ点は存在しえるのであり、
そのような点に対しては補題1.5が使える。たとえば、

f(x)＝ x^2 (xは有理数), －x^2 (xは無理数)

として f：R→R を定義すれば、f は x≠0 のとき必ず不連続なので、
特に、f の不連続点の集合は R の中に稠密に分布している。
すなわち、この f は「病的な関数」である。
しかし、f は原点で微分可能であるから、特に Af(0)＜＋∞ である。

よって、この f の場合は、原点で補題1.5が適用可能である。
ちなみに、f は原点で微分可能なので、stralle lemma さえも原点で適用可能である。

もちろん、"さらに病的な関数" を考えて、Af(x)＜＋∞ が成り立つ点が1つも存在しないようにすれば、
そのような f に対しては、補題1.5が適用できる点は存在しないことになる。
が、「病的な関数なら必ず任意の点xで Af(x)＝＋∞ 」と考えるのは早計かつ大間違いである。

ちなみに、上記の関数は去年の年末で既に指摘済みだったはずなので、
お前は2カ月たった今ですら何も進歩していないということになる。キチガイ。いい加減にしろゴミクズ。
336 ：: >>325
>そういう病的な関数には、>>195の定理1.7 ”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”などと言えるはずもない
>実際、>>195の定理1.7は、 ”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”ということを、その証明の中で使っているのだった
そのfは定理の条件を満たしませんのでリプシッツ連続な区間があると示せる訳ではありませんよ
本当に背理法を理解していないとしか思えませんね
337 ：: >>196
＞３）定理1.7は、その証明中で、明示的に補題1.5を使っている。
＞　　なので、定理1.7は、「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」には、この定理を直接適用することができない
＞　（「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」の原始関数には、適用出来る場合がある。）

息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
定理1.7では、B_f ⊂ ∪[N,M≧1] B_{N,M} という包含を導くところで補題1.5を使っているのであり、
かつ、この包含を導くところ以外では補題1.5 は使っていない。そして、

・ B_f とは、Af(x)＜＋∞ が成り立つような点の集合である。
・従って、B_f の各点に対しては　確　実　に　補題1.5が使える。
・ゆえに、B_f ⊂ ∪[N,M≧1] B_{N,M} という包含が成り立つのである。
・お前はこのロジックを決して否定できない。なぜなら、このロジックは正しいからだ。

……この時点で話は終わっており、f として病的な関数を持ち出すか否かという場合分けは全く必要ない。
従って、スレ主とかいうゴミクズが危惧しているような不具合は全く起きていないのである。

上記のロジックのポイントは、「 Af(x)＜＋∞ が成り立つ点　の　み　に　注　目　し　た　B_f　という集合」
に対して B_f ⊂ ∪[N,M≧1] B_{N,M} という包含を示そうとしているところである。
そのような点に対しては　確　実　に　補題1.5が使えるので、それゆえに、
B_f ⊂ ∪[N,M≧1] B_{N,M} という包含が成り立つのである。
病的な関数を考えようが考えまいが、Af(x)＜＋∞ が成り立つ点にしか注目してないのだから、
関数が病的であるか否かという性質は B_f には全く伝搬してこないのであり、それゆえに、
スレ主とかいうゴミクズが危惧しているような不具合は全く起きていないのである。キチガイ。
338 ：: ただし、敢えて「病的な場合」を切り分けて考えることも可能である。その場合、次のようになる。

まず、f として病的な関数を持ち出した場合も、Af(x)＜＋∞ が成り立つ点は存在しえるのであり、
そのような点に対しては明らかに補題1.5が使えるのである。そして、Af(x)＜＋∞ が成り立つ点のみに
注目した B_f という集合に対して B_f ⊂ ∪[N,M≧1] B_{N,M} という包含の成立を示そうとしているのだから、
そのような点に対しては確実に補題1.5が使えて、B_f ⊂ ∪[N,M≧1] B_{N,M} という包含は確実に成り立つのである。

ただし、f として "さらに病的な関数" を考えることで、Af(x)＜＋∞ が成り立つ点が1つも存在しないように
することは可能である。しかし、そのときは B_f＝φ となるだけなので、この場合、B_f ⊂ ∪[N,M≧1] B_{N,M} という
包含は　自　明　に　成り立っている(どんな集合 S に対しても φ ⊂ S なので)。

結局、f が病的であろうがなかろうが、目的であった B_f ⊂ ∪[N,M≧1] B_{N,M} という包含が成り立つことは
きちんと証明できているのだから、結局、スレ主とかいうゴミクズが危惧しているような不具合は全く起きていないのである。
(そもそも、病的か否かという場合分けそのものが不必要であり、今回は "敢えて" そのようなケースを切り分けただけである。)

そして、何度も言うように、定理1.7が適用可能か否かは、「 R－B_f が第一類集合か否か」だけで決まる。
R－B_f が第一類集合なら適用可能だし、そうでないなら適用範囲外。

上記の複数個の理由により、お前の主張は完全に的外れとなる。キチガイ。いい加減にしろゴミクズ。
339 ：: いつまで経っても腑に落ちずトンチンカンなことしか書けないのは
あなたが証明を理解しようという努力を欠いているからでしょう
数学はアイデアが重要それはそうでしょうがそれだけでは不足しており
証明を付けることで真理であることが分かるわけです
証明を読む努力は常に必要ですよ
340 ：: >>196
＞４）実際、定理1.7は、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”と主張するが、
＞「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」には、リプシッツ連続である開区間は存在しない

お前が持ち出したトマエ関数や ruler function などは、
どれも「 R－B_f が第一類集合になってない」のだから、
定理1.7 の適用範囲外なのは当たり前の話。

「病的な関数だから定理1.7の適用範囲外」なのではなく、
「 R－B_f が第一類集合になってないから定理1.7の適用範囲外」ということ。

たとえ病的な関数であっても、R－B_f が第一類集合なら定理1.7が　適　用　で　き　る　。
もちろん、そのあとで矛盾が起きる。ゆえに、そのような関数は存在しない(背理法)。
これを言い直せば、

・病的な関数であって、R－B_f が第一類集合になっているものは存在しない

ということ。さらに言い直せば、次のようになる。

(1) 病的な関数 f であって、R－B_f が第一類集合になっているものが存在すると仮定する。
(2) このとき、「 R－B_f は第一類集合」なのだから、定理1.7が適用できて、f はある区間の上でリプシッツ連続である。
(3) しかし、f は病的な関数だから、f がある区間の上でリプシッツ連続になるのは矛盾である。
(4) 矛盾が起きたので、(1)の仮定は間違っていたことになり、(1)のような関数は存在しない。

系1.8の証明はこの系統の証明なので、
背理法の中で定理1.7が適用可能になっていることは何もおかしくない。
お前が背理法を理解できてないだけ。キチガイ。
341 ：: ＞お前は2カ月たった今ですら何も進歩していないということになる。キチガイ。いい加減にしろゴミクズ。
2か月どころか少なくとも5年間進歩無いよ

＞証明を読む努力は常に必要ですよ
教科書すら読まないスレ主に言っても馬の耳に念仏
342 ：: >>196
＞５）系1.8で、「有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない」ことを示すために、
＞　定理1.7を適用して、”f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”としているが、
＞　系1.8の関数ｆは、「病的な不連続(discontinuity) 点を持つ関数」であるから
＞　定理1.7を適用するのは不適切であり、矛盾が導かれるとする背理法は不成立（それは、もともと適用ルール違反であり、矛盾が導かれるのは当然）

息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
何度も言うように、定理1.7が適用可能か否かは、「 R－B_f が第一類集合か否か」だけで決まる。
R－B_f が第一類集合なら機械的に適用可能だし、そうでないなら適用範囲外。

系1.8 で存在性が仮定されている f という関数は、R－B_f が第一類集合なのだから、
定理1.7 が機械的に適用可能である。そして矛盾が生じるので、そのような関数は存在しないことになる。
それだけの話。このことは、>>340 の (1)～(4) で書いたことと全く同じことであり、背理法の中で定理1.7が
適用可能になっていることには何の問題もないのである。もしそのような操作が許されないなら、
お前は背理法の中で如何なる定理も使えないことになる。なぜなら、如何なる背理法も、
最終的には矛盾を導くためのものであるから、背理法の中で使った定理は、
そのあとの「矛盾」と組み合わせて、お前の理屈を適用することで、

「この定理を適用することで矛盾が出たのだから、この定理はこの背理法の中では使えない」

と言っていることになってしまい、ゆえに、お前は背理法の中で如何なる定理も使えないことになる。
もちろん、これはスレ主とかいうゴミクズの単なる勘違いである。そして、この勘違いは、
俺が >>38 で指摘したことそのものである。
結局お前は、背理法を理解しておらず、「 PならばQ 」も理解していないのである。
ゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
343 ：: 俺は証明は読まない主義
教科書は読まない主義
信じられるのは己の直観のみ

　　　　　　　　　　スレ主
344 ：: >>332-333
読むことは可能だが、理解できないんだろ？
大学の専門の先生の意見を聞いて、書いてください。話はそれからにしましょうね

はいどうぞ
↓↓↓↓↓
345 ：: >>334
はいはい
じゃ、不定期でやる気のときに、まとめて書いてくれ
なお、希望は１週間くらいはあけてくれ。定理1.7ばかりじゃ、お互い疲れるだろうし、おもしろくないのでね
346 ：: >>336 & >>339

「ぷふ」さん、ご指導ありがとう（＾＾
まあ、定理1.7の人が日曜に書くというから、そこにフォーカスしていたのだが、不定期だというので、ペースを変えますか

>そのfは定理の条件を満たしませんのでリプシッツ連続な区間があると示せる訳ではありませんよ
>本当に背理法を理解していないとしか思えませんね

あれ？
（>>195より）
”系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.”
で、「有理数の点で不連続」とあります。なので、系1.8の関数について、「そのfは定理の条件を満たしません」ですよね？
347 ：: >>307
それ違うよ

＞P(x<y)=1/2
＞でも

いままで、仲間内で論争しても仕方ないので、言わなかったが（＾＾
ここは、必ずしも言えないと思う
それは、以前に来た確率論の専門家さんが指摘していた（下記ご参照）

スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/37-39 より
(抜粋)
37 自分返信：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/11/30(木)
>>36 つづき
20 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1466279209/535-538

535 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:33:06.50 ID:f9oaWn8A [12/13]
>>534
非可測であることに目をつぶって計算することの意味をあまり感じないな
直感的に1/2とするのは微妙．
むしろ初めの問題にたちもどって，無限列から一個以外を見たとこでその一個は決定できないだろうと考えるのが
直感的にも妥当だろう

538 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:54:57.90 ID:f9oaWn8A [13/13]
うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな

>確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
の認識が少しまずい．
任意有限部分族が独立とは
P(∀i=1,…n,X_i∈A_i)=Π[i=1,n]P(X_i∈A_i)ということだけど
これからP(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ

つづく
348 ：: 38 自分返信：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/11/30(木) 22:19:31.38 ID:IqNIthYM [38/76]
>>37 つづき
20 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1466279209/541-542

541 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2016/07/04(月) 00:04:35.65 ID:hgUPmIoq [1/10]
>>538
> 可算族に対しては(1)も(2)も同値となる

ありがとう、勉強させてもらった
このスレにはそこまで理解している人間はいなかった
貴方がもっと早く現れていれば無駄な議論を重ねずに済んだのだが

542 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/04(月) 00:06:31.30 ID:1JE/S25W [1/3]
時枝氏の主な主張は次の２つだろうだろう
1. 確率論を測度論をベースに展開する必要が無い
2. 無限族の独立性の定義は微妙

しかし1に関していうと時枝氏の解法は，現在の測度論から導かれる解釈のほうが自然．
（当てられっこないという直感どおり，実際当てられないという結論が導かれる）
2に関して言うとそもそも時枝氏の勘違い．
時枝氏の考える独立の定義と，現代の確率論の定義は可算族に対しては同値である

つづく
349 ：: 39 自分返信：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/11/30(木) 22:20:06.56 ID:IqNIthYM [39/76]
>>38 つづき
20 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1466279209/547-564

547 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2016/07/04(月) 00:55:19.02 ID:l5brFViF
>>542
>しかし1に関していうと時枝氏の解法は，現在の測度論から導かれる解釈のほうが自然．
>（当てられっこないという直感どおり，実際当てられないという結論が導かれる）
測度論的確率論で、当てられる確率が「計算できない」ではなく、「０である」と言えるの？　どうやって？

560 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/04(月) 11:55:38.78 ID:1JE/S25W [2/3]
>>547
ごめん，現段階で0であるというのは言いすぎだったかもしれない
あなたの言うとおり計算できないってだけだ
しかし，適切な設定を行えば確率0というのは導けるだろうと思う．

564 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/04(月) 22:05:22.22 ID:1JE/S25W [3/3]
>>563
ごめん，少し誤解があった
時枝氏の方法は「確率は計算できない」が今の確率論の答えだと思う．
確率0というのは，可測となるような選び方をしたら，それがどのような選び方でも確率は0になるだろうってこと
残す番号を決める写像Nが可測で，また開けた箱から実数を決める写像Yが可測ならば
P(X_N=x)=0が導かれるだろう
(引用終り)
以上
350 ：: >>341 & >>343
ID:HRvTCNSpさん、どうも。スレ主です。
５年間のごひいきありがとう（＾＾

よければ、定理1.7の論戦に参加して、君の数学の力量をみせてくれ～（＾＾
なお、自分の立ち位置をきちんとかけよ。「定理1.7の成立に賛成」とかね

それ、世界標準だよ
自分の立ち位置を曖昧にして、小賢しく立ち回って、チョウチン付けるのが、２ch標準かもしれないがね。信用されないよ
351 ：: >>335

>f(x)＝ x^2 (xは有理数), －x^2 (xは無理数)
>として f：R→R を定義すれば、f は x≠0 のとき必ず不連続なので、
>特に、f の不連続点の集合は R の中に稠密に分布している。
>すなわち、この f は「病的な関数」である。
>しかし、f は原点で微分可能であるから、特に Af(0)＜＋∞ である。

あなたは、力があるねー（＾＾
取り敢ず、思いついたところだけ。時間がないので、あとは後刻
この関数に定理1.7は、適用可能なのかい？
適用可能なんだろう？？

>ちなみに、上記の関数は去年の年末で既に指摘済みだったはずなので、
>お前は2カ月たった今ですら何も進歩していないということになる。キチガイ。いい加減にしろゴミクズ。

それは、すまなかった
年末年始は忙しくてね。見落としていたよ（＾＾
352 ：: >>344
読めてないのはお前ｗ
読めてれば具体的に示せるはずだしなｗ
353 ：: 決定番号がただ自然数でありさえすれば時枝解法は成立します
よって不成立だと言いたければ決定番号が自然数ではないことを示す必要があります
＞x,y∈N
＞P(x<y)=1/2
＞でもy=y0が確定すれば
＞P(x<y0)=0
＞となるのが当然であり
のようなトンチンカンな論法で不成立は示せません。
何年経ってもそれがわからないバカ。
354 ：: >>351 追加

>f(x)＝ x^2 (xは有理数), －x^2 (xは無理数)
>として f：R→R を定義すれば、f は x≠0 のとき必ず不連続なので、
>特に、f の不連続点の集合は R の中に稠密に分布している。
>すなわち、この f は「病的な関数」である。
>しかし、f は原点で微分可能であるから、特に Af(0)＜＋∞ である。
>よって、この f の場合は、原点で補題1.5が適用可能である。
>ちなみに、f は原点で微分可能なので、stralle lemma さえも原点で適用可能である。

思いついたときに
うーんと、（>>195より）

”補題1.5（注：”The Straddle Lemma”の変形） f : R → R とx ∈ R は lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
を満たすとする.
このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x － 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)]が成り立つ.”
だったよね

つまり、補題1.5は、「 f : R → R とx ∈ R は lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞を満たす」ようなｆに適用可なのだが
”∀x ∈ R で lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ ”という意味だよね

だったら、上記の「f(x)＝ x^2 (xは有理数), －x^2 (xは無理数)」は、この条件を満たさないだろ
この f の場合は、原点のみで補題1.5が適用可能だけれども、他の点では適用不可。よって、全体としては補題1.5が適用不可

なので、まさに病的（稠密）な不連続点を持つ関数ｆに対しては、補題1.5が適用不可の例になっているでしょ？
355 ：: >>352-353
ご苦労さん
忠心から申し上げる
大学の専門家に、意見を聞くように！！
356 ：: >>339-340

>お前が持ち出したトマエ関数や ruler function などは、
>どれも「 R－B_f が第一類集合になってない」のだから、
>定理1.7 の適用範囲外なのは当たり前の話。
>
>「病的な関数だから定理1.7の適用範囲外」なのではなく、
>「 R－B_f が第一類集合になってないから定理1.7の適用範囲外」ということ。
>
>たとえ病的な関数であっても、R－B_f が第一類集合なら定理1.7が　適　用　で　き　る　。

違うと思うよ
第一類集合でも、「Q は第1類集合」（下記より）であり、QはR中で稠密

つまり、全体集合Rにおいて、その部分集合の第一類集合は、
１）R中で稠密でない場合、
２）R中で稠密な場合（例 Q）
の二つに、場合分けできる

R－B_f が第一類集合で、２）の場合は、”定理1.7： f はある開区間の上でリプシッツ連続である”（>>195）などとは、なりようがない。
（稠密ゆえ、開区間など存在しない）
２）の場合に、これが証明できたというけれども、それ命題の矛盾。
証明できるのは、１）の場合のみ。

（参考）
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/
学習院川崎研究室
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間川崎徹郎 2016
(抜粋)
P21
（参考）ベールのカテゴリー定理
数直線の部分集合A ⊂ R について，A が疎であるとは閉包A￣が開区間(α, β) を含まないときをいう。
疎集合可算個の合併で表される集合を第1 類集合といい，そうでないものを第2 類集合という。

定理(ベール(Baire) のカテゴリー定理) R は第2 類集合である。
証明略

Q は第1 類集合で，また，第1類集合 2 つの合併はまた第1類集合であるから，R － Q は第2類集合である。
(引用終わり)
357 ：: >>351
＞この関数に定理1.7は、適用可能なのかい？
＞適用可能なんだろう？？

その関数は、「病的なら必ず任意の x で Af(x)＝＋∞ が成り立つ」と
勘違いしているお前に対する例なのであって、定理1.7が適用可能な例なのではない。
x≠0 のときは Af(x)＝＋∞ が成り立ち、x＝0 のときはAf(x)＝0 が成り立つので、
R－B_f ＝ R－{0} ということになり、R－B_f は第一類集合になってない。
ゆえに、この f は定理1.7の適用範囲外である。
f が病的な関数だから定理1.7が適用できないのではなくて、
R－B_f が第一類集合になってないがゆえに、定理1.7の適用範囲外なのである。

>>354
＞つまり、補題1.5は、「 f : R → R とx ∈ R は lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞を満たす」
＞ようなｆに適用可なのだが ”∀x ∈ R で lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ ”という意味だよね

日本語の文章として意味を成していない。キチガイ。しかも、補題1.5には「∀x」は登場しない。

「関数 f と点x が Af(x)＜＋∞ を満たすならば～～～」

という書き出しになっているのが補題1.5なのであり、

「関数 f が ∀x∈R [ Af(x)＜＋∞ ] を満たすならば～～～」

という意味ではない
358 ：: >>354
＞この f の場合は、原点のみで補題1.5が適用可能だけれども、他の点では適用不可。よって、全体としては補題1.5が適用不可

「全体としては」が何を指しているのか意味不明。
定理1.7の証明において、補題1.5 は x∈R 全体で使っているのではなく、
あくまでも Af(x)＜＋∞ を満たす点でしか補題1.5は使っていない。

そもそも、補題1.5 は「関数 f と点x が Af(x)＜＋∞ を満たすならば～～～」
という書き出しになっているのだから、Af(x)＜＋∞ を満たす点でしか補題1.5が使えないのは明白である。
当然ながら、それを x∈R 全体で使っているわけが無い。もし x∈R 全体で使っているように「見える」のなら、
それはお前が証明を読めてないバカだっていうだけの話。

そして、Af(x)＜＋∞ を満たす点でしか補題1.5を使っていないにも関わらず、そこでわざわざ
Af(x)＝＋∞ を満たす点を持ち出したうえで、「そのような点では適用できない」と言われても、
「だからどうした」としか言いようがない。つまり、お前の言っていることは最初からおかしい。キチガイ。

＞なので、まさに病的（稠密）な不連続点を持つ関数ｆに対しては、補題1.5が適用不可の例になっているでしょ？

>>337-338で論破済み。お前が危惧しているような不具合は全く起きていない。
定理1.7の証明において、補題1.5 は x∈R 全体で使用しているのではなく、
B_f ⊂ ∪[N,M≧1] B_{N,M} という包含を導くところでのみ使っているのであり、
かつ、この包含を導くところ以外では、補題1.5は使っていない。
そして、B_f は Af(x)＜＋∞ を満たす点の集合なのだから、B_f ⊂ ∪[N,M≧1] B_{N,M} という包含は、
Af(x)＜＋∞ を満たす点に関する性質を述べているのであり、それゆえに、関数が病的であるか否か
という性質はこの包含には全く伝搬してこない。よって、スレ主とかいうゴミクズが危惧しているような
不具合は全く起きていない。
359 ：: >>356
＞違うと思うよ
＞第一類集合でも、「Q は第1類集合」（下記より）であり、QはR中で稠密

違わない。お前が背理法を理解できてないだけ。
R－B_fが第一類集合なら、それだけで定理1.7が適用可能。
そのあとに矛盾が起きたら、適用した命題が矛盾しているのではなく、
そのようなfが存在するとしたところが矛盾しているということ。
つまり、そのようなfは存在しないということ。

お前は、背理法によって否定される箇所がどこなのか理解できていない。キチガイ。ゴミクズ。
360 ：: >>356
＞R－B_f が第一類集合で、２）の場合は、”定理1.7： f はある開区間の上でリプシッツ連続である”（>>195）などとは、なりようがない。
＞（稠密ゆえ、開区間など存在しない）
＞２）の場合に、これが証明できたというけれども、それ命題の矛盾。
＞証明できるのは、１）の場合のみ。

お前のその言い分を下記の定理Cの場合に置き換えると、次のようになる。

定理C：
f：R→R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：わたくしスレ主自らが、定理Cを証明することにする。f：R→R は原点で微分可能としよう。
証明すべきことは、「 fが原点で連続になること」である。ここで、次のような場合分けをしてみよう。

(1) f は原点で連続である。
(2) f は原点で不連続である。

(1)の場合は、確かに定理Cが成り立つ。しかし、(2)の場合には、定理Cは証明できない。
なぜなら、もし証明できたとすると矛盾するので、定理Cは命題として矛盾していることになるからだ。

ゆえに、定理Cが証明できるのは(1)の場合のみであり、(2)の場合には定理Cは証明できない。
ゆえに、我々が定理Cに関して実際に証明できるのは、

「 f：R→R が原点で微分可能かつ(1)が成り立つならば、f は原点で連続である」

という主張のみである。すなわち、我々は

定理C' 「 f：R→R が原点で微分可能かつ f が原点で連続ならば、f は原点で連続である」

という主張のみが証明可能である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
361 ：: >>360
↑
これがお前の言っていることである。

しかし、上記の定理C' は明らかに自明なことしか言っていない。
なぜなら、最初から原点での連続性を仮定してしまっているのが定理C' だからだ。。
当然ながら、定理C' はもともとの定理Cとは完全なる別物である。
しかし、お前によれば、我々は定理C全体を証明することはできず、
定理C' しか言えないのだという。

このようなおバカな論法を使っているのが、>>356 の

＞R－B_f が第一類集合で、２）の場合は、”定理1.7： f はある開区間の上でリプシッツ連続である”（>>195）などとは、なりようがない。
＞（稠密ゆえ、開区間など存在しない）
＞２）の場合に、これが証明できたというけれども、それ命題の矛盾。
＞証明できるのは、１）の場合のみ。

の部分である。ゆえに、お前のこのレスは何の批判にもなっていない。
お前がバカであることが露呈しただけの話。キチガイ。ゴミクズ。問題外。
362 ：: さて、上記のスレ主の言い分を、一般の「 P → Q 」に対しても書いておく。以下、2つの命題P,Qがあって、

定理： P → Q が成り立つ。

という定理が成り立っているとする。このとき、スレ主の言い分によれば、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：わたくしスレ主自らが、上記の定理を証明することにする。P が成り立つとしよう。
証明すべきことは「 Q 」である。ここで、次のような場合分けをしてみよう。

(1) Q が成り立つ。
(2) ￢Q が成り立つ。

(1)の場合は、確かに上記の定理が成り立つ。しかし、(2)の場合には証明できない。
なぜなら、もし証明できたとすると「 Q 」が導けることになるので、
(2)と合わせて矛盾し、上記の定理は命題として矛盾していることになるからだ。

ゆえに、上記の定理が証明できるのは(1)の場合のみであり、(2)の場合には証明できない。
ゆえに、我々が上記の定理に関して実際に証明できるのは、

「 P が成り立ち、かつ (2)が成り立つなら、Q が成り立つ」

という主張のみである。すなわち、我々は

「 P が成り立ち、かつ Q が成り立つなら、Q が成り立つ」

という主張のみが証明可能である。より簡潔に書けば、「 P∧Q → Q 」のみが証明可能である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
363 ：: >>362
↑
くどいようだが、これがお前の言っていることである。

証明すべきは「 P → Q 」なのに、お前によれば、「 P → Q 」全体を証明することはできず、
実際に証明可能なのは「 P∧Q → Q 」のみであるという。しかし、これでは最初から Q が
仮定されてしまっているので、結論で Q が成り立つのは自明であり、もともとの
「 P → Q 」とは完全に異なっている。
しかし、そういう「 P∧Q → Q 」しか証明できない、とお前は主張していることになる。

要するにお前は、>>38 で指摘したミスを未だに繰り返しているのである。
また、「 P → Q 」の構造を未だに全く理解できていない。
「 P → Q 」を証明するとはどういうことなのかが全く分かっていない。

お前のこのような勘違いは >>22-31 で既に説明済みである。もしくは、

https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/26-30
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/47-48
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/638-

の部分でも説明済みである。つまり、既に複数回説明しているのである。
にも関わらず、お前は同じミスを未だに繰り返している。

キチガイ。ゴミクズ。問題外。レベルが低すぎる。
364 ：: >>355
>>355すら理解できないのか。
キチガイ。ゴミクズ。問題外。レベルが低すぎる。
365 ：: >>355
>>353すら理解できないのか。
キチガイ。ゴミクズ。問題外。レベルが低すぎる。
366 ：: もうスレ主はキチガイでゴミクズで問題外でレベルが低すぎるんだから数学やめろよ
少なくとも２ちゃんはやめろ、お前が勝手にやる分にはかまわん
ということでスレ削除依頼してこい
367 ：: 尻馬に乗るだけの人はみっともないね
368 ：: >>347
>＞P(x<y)=1/2
>＞でも
>
>いままで、仲間内で論争しても仕方ないので、言わなかったが（＾＾
>ここは、必ずしも言えないと思う
この部分は件の記事に沿った解釈です
たとえば100個あった確率変数の中の特定の1個が最低である確率を1/100としているでしょう
P(x<y)とはxとｙという2個の確率変数の中の特定の1個すなわちxが最低である確率ですので
件の記事に沿って解釈するなら
P(x<y)=1/2
とするほかはないのです
そもそもここをこう解釈しないのであればあの記事の内容はすべてどうでもよいことになりますので
それはそれで1つの見解でしょうが面白みは薄まりますね
369 ：: >>359
>お前が背理法を理解できてないだけ。
私もおそらくそうでないかと懸念しています
370 ：: >>368
あんた何にもわかってないねえ
371 ：: 時枝記事は完全です
「解釈するなら」とか「しないなら」などという勝手な仮定は一切不要
372 ：: 読み手の解釈に左右される柔な記事ではありません
理解が足りないよ
373 ：: >>370
ぷ
374 ：: >>373
こいつわかってねーと思ってたらやはりぷだったｗ
困るとぷで逃げるぷｗ
375 ：: ぷは
＞x,y∈N
＞P(x<y)=1/2
＞でもy=y0が確定すれば
＞P(x<y0)=0
＞となるのが当然であり
こんなアホ論法で時枝戦略不成立とかほざいてたの？
スレ主並みやんｗ
376 ：: ぷ（＾＾
377 ：: >>375
最初に2箱に分けた中から1箱を選びそこのなんとか番号が最小である確率は？
378 ：: >>368
>件の記事に沿って解釈するなら
>P(x<y)=1/2
>とするほかはないのです
>そもそもここをこう解釈しないのであればあの記事の内容はすべてどうでもよいことになりますので
>それはそれで1つの見解でしょうが面白みは薄まりますね

それはそれで1つの見解でしょうが
視点の違いでしょう

あなたは、「読む者を煙に巻いているだけのジョーク」(>>285)と書かれたでしょ？
”ジョーク”にも、分り易いジョークと、解説を聞かないと分らないジョークがある

数学ジョークとして、どの部分とどの部分が数理に反していて、なぜ数理に反することがもっともらしく見えるのか？
そういう視点で見ると、「P(x<y)=1/2」の部分もまっとうに測度が定義できないにも関わらず、”確率1/2”だとしていることがおかしいという、>>347-349の2016/07/04当時のID:1JE/S25Wさんの指摘と理解しています
379 ：: >>366

ご苦労さん
もうちょっと肩の力を抜いてください

そもそもに戻ると、下記だった（途中から見ている人のために）

スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/593-594
(抜粋)
593 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:27:58.55 ID:14lo33mI [3/9]
>>581
＞数学に誹謗中傷はないよ。だが、あんたの定理不成立の主張は、実際そう思っているので撤回しない
＞その理由は、>>563に書いた

だから、数学以前のところに誹謗中傷が存在していると言っている。相手の弁明を聞く気が無い奴が
イチャモンをつけると、そのイチャモンは誹謗中傷にしかならないのである。
全てはスレ主の「相手の弁明を聞く気がない」というイビツな態度が原因である。

ただし、pdf ならスレ主も証明を読む気があるらしいので、そうなると話は一変する。
相手の弁明を聞く気があるなら、イチャモンをつけても、それ単独では誹謗中傷にはならないからだ。

そして、証明を次のレスで投下する(うｐろだに上げたのでリンクを張る)。

594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI [4/9]
以下の pdf に証明を書いた。

ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz

なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、
pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所ではその都度

「内点を持たない閉集合」

という言葉に置き換えた。
(引用終り)

つづく
380 ：: >>379 つづき

で、公開討論にした意味は、あなたの方に賛同者が多く、スレ主はぼこぼこにされるだろうという思いがあったかも知れない
実際は、「ぷふ」さんが、当初から証明を読んでみたいと希望し、その証明を読んで、賛同しているが、いまの明確な賛同者は彼一人

で、私は、「価値ある定理と証明なら、だれか専門家なりレベルの高い人に見て貰ったらいいだろう」（初出ならもったいない）という立場だった
だが、あなたは「この程度の定理は、きっとどこかにあるはずで、もったいなくもない」といわれて、証明PDFを公開された

つづく
381 ：: >>380 つづき

なので、議論が膠着しているので、折角の公開討論でもあり、ここでパブリックコメントを募集します（＾＾

１．上記議論の定理1.7について、どこかに公開されているかどうかの情報募集（教科書（テキスト）なり論文なり、なんでも可。但し、可能ならネット上で検証できる出典希望だが、これに限らず）
２．上記議論の定理1.7について、主に数学科在学あるいは数学科出身者で（自称で結構だから、”数学科４年”とか名乗って下さい）、「すばらしい定理で、理解できないスレ主がバカ」とか（＾＾

よろしくね（＾＾

以上
382 ：: >>381

１で、既存の出典があれば、定理1.7は正しいことが裏付けられる。
２で、「すばらしい定理で、理解できないスレ主がバカ」という人が増えれば、あなたも肩の力が抜けるでしょ（＾＾
383 ：: >>378
条件付き確率を考えねばならないところをペダンティックに書いてケムに巻いているというジョークですね
384 ：: >>383
お前は2重に間違っていて大変イタイ
385 ：: >>377
日本語でお願いしまｓ
386 ：: >>385
分からないんですね？
387 ：: >>386
日本語になったら答えます
388 ：: ぷよ
それぞれに自然数が１つづつ書かれた100枚のカードがある
その中から無作為に１枚を選び、値が最大である確率は何か？
389 ：: >>388
x,yを無作為に選んだ自然数とします
x<yである確率は？
390 ：: >>389
まずは>>388に答えよ
その後答えてやる
それが先に質問した者の権利だ
391 ：: おっちゃんです。
>>389
ぷ君、「それぞれに自然数が１つづつ書かれた」というだけでは
100枚のカードに書かれた自然数が相異なるか同じかが決まらず、
最大値の番号が書かれたカードの枚数が決まっていないから、
>>388の答えは一意には決まらない。「相異なる」という条件があるとすれば、
>>388の答えは1/100と即座に求まる。だが、>>285の
>x,y∈N
>P(x<y)=1/2
と即座に決め付けるのは物凄く杜撰な論法だ。
標本空間が可算無限集合になると、或る事象の確率を求めるにあたり、
そのように簡単に確率を求めることは出来ないことが多々ある。
まあ、スレ主とぷ君はよく似ているな。
392 ：: >>390
ぷ
393 ：: >>391
この話の面白みは
そこは1／100と解釈していることにありますので
それを外す
つまり問題設定から考えるというのなら
あなたの見解でも良いでしょうよ
しかし面白みはないです
394 ：: >>390
結局答えられないってことですね
395 ：: >>387
やっと日本語が読めるようになって良かったですね
396 ：: >>393
2つの命題「それぞれに自然数が１つづつ書かれた100枚のカードがある」、
「それぞれに相異なる自然数が１つづつ書かれた100枚のカードがある」を、
それぞれ、P、Qとする。そうすると、Q⇒P はいえるが、P⇒Q は
必ずしも成り立たないから、PとQは論理的に同値ではない。
397 ：: >>394
ぷ
順番も守れないなら幼稚園からやり直せ
398 ：: >>391
わざと「100個の自然数」としなかったのは、「相異なる」という
意味が暗に含まれるかもしれない曖昧さがあるのと、決定番号の話につなげる
意図があったからだ。

確率を答えるのに、受験数学じゃあるまいし、何も１つの値で答えなくてもよい。
例えば「～以上」のような答えでもよい。
世間は受験問題へのイチャモンで騒がしいようだが、「解は無い」が正解
の問題があったっていいじゃないかと俺なんか思うけどね。
399 ：: >>393
＞この話の面白みは
＞そこは1／100と解釈していることにありますので
はあ？

400 ：: >>398
まあ、解なしの問題でもいいけど、そうしたら果たしてぷ君は答えられたのかね。
401 ：: >>399
それを理解できないのですね
402 ：: >>397
数学的なことを何も言えないというわけですね
403 ：: >>401
数学の問題の答えがいつでも1つに決まると思っていたら大間違いだぞ。
404 ：: >>398
わざと
ぷ
405 ：: >>401
中には解が存在しないような数学の問題だって多々あるからのう。
406 ：: >>404
わざととお前が捉えようと捉えまいと構わないからさっさと>>388に答えろや
407 ：: 答えが一つじゃないといけないとか受験数学の弊害そのものだなｗ
哀れなぷ
408 ：: >>401-402
「ぷふ」さま、お相手ご苦労さまです！（＾＾
まあ、彼らも可哀想な人たちでね

身近に、確率論を相談できる専門家の居ない境遇だと
なので、約２年間、「時枝」が分らずに来たのです

適当に相手してやって下さい！ｍ（＿＿）ｍ
よろしくね（＾＾
409 ：: 質問されると逃げを打つぷ
410 ：: ぷ
相手を見ているんじゃないの？（＾＾
411 ：: 「ぷふ」さんは、私スレ主のときは、例えば、>>368のように５行も・・（彼にしては多く）レス書くよ（＾＾
412 ：: ５行以上だったかな？（＾＾
413 ：: 逃げのぷ
414 ：: >>368 追加

>P(x<y)=1/2
>とするほかはないのです
>そもそもここをこう解釈しないのであればあの記事の内容はすべてどうでもよいことになりますので
>それはそれで1つの見解でしょうが面白みは薄まりますね

いま思ったが・・
まあ、ほぼ同じ意見だが（数理に反しているか合っているかの違いだけで）

２列で、P(x<y)=1/2
100列で、P(xi < max(xi))=1/100 (i=1～100)
　・
　・
ｎ列で、P(xi < max(xi))=1/n (i=1～n)

と、まあ、普通には、かつ直感的には、そう思い込む
そう思い込んで貰わないと、”シャレにならんな”ということでしょうね（＾＾
415 ：: >>414 訂正

あれ？　違ったな・・（＾＾

２列で、P(x<y)=1/2
100列で、P(xi < max(xi))=1/100 (i=1～100)
　・
　・
ｎ列で、P(xi < max(xi))=1/n (i=1～n)
　↓
２列で、P(x<y)=1/2
100列で、P(xi = max(xi))=1/100 (i=1～100)
　・
　・
ｎ列で、P(xi = max(xi))=1/n (i=1～n)
416 ：: >>415

些末で恐縮だが、「100列で、P(xi = max(xi))=1/100 (i=1～100)」と”max(xi)”にしたのは、時枝記事の（スレ47の）下記による
>>368では、”たとえば100個あった確率変数の中の特定の1個が最低である確率を1/100としているでしょう”だったのか
それなら、「100列で、P(xi = min(xi))=1/100 (i=1～100)」と”min(xi)”にした方が、>>368の記述とは整合したかもね・・（＾＾

スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/20 より
(抜粋)
３．
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
略
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1～100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
(引用終り)
417 ：: >>416 ご参考

「ぷふ」さんが、過去スレを見ているかどうか分らないので、下記を貼っておく

（参考１：時枝のガロアスレでの初出）
スレ17 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1448673805/314
314 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/12/20(日) 11:37:12.83 ID:d5oIGObW [1/10]
(抜粋)
数学セミナー2015年11月号の記事『箱入り無数目』より要略
---------
[問題]
可算無限個の閉じた箱がある。1つの箱には1つの実数が入っている。
貴方は1つの箱を選び、それ以外の全ての箱を開いて中の数字を見ることができる。
貴方は選んだ箱の中の数字を当てることができるか？

答えは『（選択公理を用いて）できる』。

しかし直観的には不可能だ。各々の箱の数字は独立なのだから、
ある1つの箱について他の箱から意味のある情報が得られる訳がない。
この戦略は選択公理を用い、非可測集合を経由する。それがイケナイと片付けるのは面白くない。
筆者には確率変数の無限族の独立性の微妙さを物語っているように思える。
---------
(引用終り)
418 ：: >>417 つづき

（参考２：私スレ主の考え”興味があるのは、パラドックス（成り立たない方）の仕掛けの方。成り立たないのに、なぜ成り立つ様に見えるかってこと”）
スレ22 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1471085771/68
86 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/08/14(日) 22:15:07.26 ID:tcoX5rXp [33/33]
(抜粋)

>スレ主だってこの問題に興味を持ったからこそ、話題が長く続いているんでしょう？

いや、興味があるのは、パラドックス（成り立たない方）の仕掛けの方
成り立たないのに、なぜ成り立つ様に見えるかってこと

前にも書いたが、数学的には完全な乱数、物理なら熱雑音（ホワイトノイズ）がある
それらは、独立な確率変数として存在するし、無限族にしても同様だよ

だから、時枝解法は不成立だと、それが私の根拠だし
確率論に詳しい人は、ほとんどの人が同意するだろう

議論の初期にＴさんから理解して貰えなかったようだが、根拠は違うかも知れないが、確率論に詳しい人が２人来て同じ結論（不成立）を言っているんだよね
(引用終り)

以上
419 ：: >>418 補足

”前にも書いたが、数学的には完全な乱数、物理なら熱雑音（ホワイトノイズ）がある
それらは、独立な確率変数として存在するし、無限族にしても同様だよ
だから、時枝解法は不成立だと、それが私の根拠だし
確率論に詳しい人は、ほとんどの人が同意するだろう”

ここも、強調しておきたい
多分、「ぷふ」さんも同じだろうが
時枝記事の細部を読んで、”正しい、正しくない”を判断しているのではないと思う
私と同じく、別に確率過程論などを学んでいることから、「時枝記事不成立」を判断していると思うよ
420 ：: >>388に答えられずに確率過程論もクソも無いんだがｗ
421 ：: >>420
ぷふ
422 ：: >>406
「わざと」
ぷ
423 ：: ID:Feba83mTの返答が幼児レベルな件

>>421
> >>420
> ぷふ

>>422
> >>406
> 「わざと」
> ぷ
424 ：: 質問に答えられないID:Feba83mTの常套手段：

『質問に答えて貰えないのって自分に何か欠陥が有るのよね』

という　責　任　転　嫁

348 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/05(火) 08:31:42.22 ID:9C5EK/9h
>>347
>ぷふって時枝問題に対する見解を一言も言えなかった人でしょ？
ぷ

350 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/12/05(火) 08:33:46.35 ID:9C5EK/9h
質問に答えて貰えないのって自分に何か欠陥が有るのよね
425 ：: ＞数学的なことを何も言えないというわけですね

と言ってる割に

＞それぞれに自然数が１つづつ書かれた100枚のカードがある
＞その中から無作為に１枚を選び、値が最大である確率は何か？

という数学的問いは何故かスルーのぷｗ
426 ：: ぷ
質問は数学的な事柄を言えたことになりません
427 ：: あと
尻馬に乗るだけの人生は惨めなモノです
ね
428 ：: >>426
答えられないのね。お前の中学生の確率もわからないってことで、どうぞお引取りください。

426 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2018/02/04(日) 01:01:10.37 ID:CxVck6NH [1/2]
ぷ
質問は数学的な事柄を言えたことになりません

427 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2018/02/04(日) 01:02:03.72 ID:CxVck6NH [2/2]
あと
尻馬に乗るだけの人生は惨めなモノです
ね
429 ：: >>428
> あと
> 尻馬に乗るだけの人生は惨めなモノです
> ね

完全なる話題逸らし乙
逃げてばかりの人生は惨めなモノですなｗｗ
430 ：: >>426
質問ｗ
431 ：: >>388
横レスだが

>それぞれに自然数が１つづつ書かれた100枚のカードがある
>その中から無作為に１枚を選び、値が最大である確率は何か？

この話と時枝記事との違いは
時枝は、選ぶのは代表で、自然数たる決定番号は間接的だということ

つまり、100列→100個の代表→100個の決定番号だと
何が違うかというと、決定番号は分布を持つ。その分布も超々ボトムヘビーな分布になる

100枚のカードの場合は、自然数から”無作為に１枚を選び”だから、一様分布ライクになる＊）
これは、時枝とは全く別の話だな

ここらは、スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/36
(抜粋)
532 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:15:17.47 ID:f9oaWn8A [11/13]
>>530
>2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ
残念だけどこれが非自明．
hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されない
そのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう
(引用終り)

＊）自然数Ｎ全体については、通常の一様分布は存在しないから、数学的にはディラック測度による特異分布だろう
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6 特異測度
(抜粋)
ディラック測度 δ_{0}はルベーグ測度 λ に関して絶対連続ではなく、 λも δ_{0}に関して絶対連続では無い。
(引用終り)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E6%B8%AC%E5%BA%A6 ディラック測度

以上
432 ：: >>431 参考追加

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E7%95%B0%E5%88%86%E5%B8%83
特異分布
(抜粋)
数学の確率論の分野における特異分布（とくいぶんぷ、英: singular distribution）とは、そこに含まれる各点での確率がゼロであるようなルベーグ測度ゼロの集合上に集められた確率分布のことを言う。しばしば特異連続分布とも呼ばれる。このような分布は、ルベーグ測度に関して絶対連続ではない。

各離散点は確率ゼロであるため、特異分布は離散確率分布ではない。一方、任意の関数のルベーグ積分がゼロとなってしまうため、特異分布は確率分布関数を持つこともない。

このような分布の一例として、カントール分布が挙げられる。

関連項目[編集]
特異測度
ルベーグの分解定理
(引用終り)
433 ：: >>429
ぷ
尻馬に乗っていることを認めているわけです
ね
>>430
>>425
>数学的問い
ぷ
434 ：: >>433
お前キチガイか
435 ：: ID:CxVck6NH
・結局『数学的問い』には答えられない
・尻馬がどうのこうの訳の分からんこと言って得意がってる
・困ると『ぷ』とだけ書く
そういうキチガイね、了解
436 ：: >>435
考えのない人とはそういうものです
ね
437 ：: 尻馬ってのが本当に意味不明なんだが、
よく考えたら『ぷ』こそ尻馬に乗ってる典型じゃん（笑）
他人の会話に入り込んで他人の書いた証明使ってスレ主をやり込めようっていうのはまさに尻馬だろうが
438 ：: とりあえず中学の確率も分からずに時枝も豪快に勘違いして悦に入ってるアホってのはイタイほど分かった
439 ：: >>433
＞>数学的問い
＞ぷ
何で>>388に答えないの？
・バカでわからないから
・論破されるのが恐いから
440 ：: >>431
大間違い。あんた何にも分かってないね。
441 ：: >>431 補足

ここらの話は過去スレに書いた（下記）
なお、下記は均一分布で考えた場合で、「決定番号が、１からｎの間に来る確率は、０（ゼロ）」
但し、決定番号は、本当は超々ボトムヘビーになることを注意しておく

https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1506848694/
502 自分返信：現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む[sage] 投稿日：2017/10/18(水) 22:29:57.38 ID:opDBh7/4
(抜粋)
＜おちこぼれ達のための補習講座6＞

（無限と有限との比較で、その２）
１）>>483同様に、数列の長さが有限で、 L ＝ 100*ｍとする
２）ある有限のDが与えられ、1< D < ｍとする
３）決定番号が均一分布として、確率 P(1～D)＝D/ｍ、P(D～ｍ)＝(ｍ-D)/ｍ、P(1～D)＋P(D～ｍ)＝1
　　ここに、 P(1～D) ：決定番号が1～Dになる確率、 P(D～ｍ) ：決定番号がD～ｍになる確率。（Dをダブルカウントしているが、誤差範囲としてネグル＊）（＾＾）
４）lim (ｍ→∞) P(1～D) = 0、lim (ｍ→∞) P(D～ｍ) = 1
５）つまり、「決定番号が、１からｎの間に来る確率は、０（ゼロ）」（>>11）(上記ではｎ→Dの読み換え)の別証になっている
６）「有限列では、確率１で最後の桁の場所が決定番号」（>>501）なので、この面からも、「決定番号が、１からｎの間に来る確率は、０（ゼロ）」
７）最後に強調しておくが、上記の議論は、lim (ｍ→∞) で、co-tail が存在 or 非存在に無関係（＾＾
８）ここらを、100列の他の数列との比較に持ち込んで、99/100と誤魔化しているのが、時枝記事だよ

＊）
http://www.weblio.jp/content/%E3%83%8D%E3%82%B0%E3%83%AB
ネグ・る［2］大辞林三省堂 Web Dictionary Weblio
(抜粋)
（動ラ五）
〔「ネグレクト」を省略した「ネグ」の動詞化。学生の用いた語から〕
無視する。
(引用終り)
442 ：: >>441
大間違い。あんた何にも分かってないね。
443 ：: >>437
>他人の会話に入り込んで他人の書いた証明使ってスレ主をやり込めようっていうのはまさに尻馬だろうが

いやいや、「ぷふ」さんは、大事なこのスレの住人です
もともと、最初に定理1.7の証明を読んでみたいと言った人です
私は、「ぷふ」さんを尊敬していますよ
多分、数学の実力は私より上だな
ただ、間違っていることは間違っていると言いますよ、私はね（＾＾
444 ：: >>442
はいはい、学生さんは、大学の先生に質問しましょうね。「時枝記事は正しいですか？　時枝記事をどう思いますか？」と。話はそれからにしましょうね
445 ：: ＞ただ、間違っていることは間違っていると言いますよ、私はね（＾＾
いや、お前が一番間違ってるからｗ
446 ：: >>444
何でεδ論法もP⇒Qもわからないアホな君が聞かずに人におせっかいするの？
447 ：: まあそもそもεδ論法もP⇒Qもわからないアホが時枝記事に意見すること自体が間違ってるんだけどねｗ
448 ：: >>445-447
はいはい
ご苦労さん
２年間進歩なし（＾＾
449 ：: εδ論法か
話題そらしに、必死だな（＾＾
450 ：: ２年の間、過去何人も、確率論に詳しい人が、「時枝は与太話」とか「時枝はペダンチックなジョーク」だと、言ってきた（＾＾
451 ：: 「ぷふ」さんは、その内の一人だよ（＾＾
452 ：: 実際、当時居た、数学科の学生らしい人たちは、ほとんど悟って去った（＾＾
453 ：: 残った落ちこぼれ敗残兵が約２人かな？
454 ：: この間、「○○大学の△△先生が、時枝記事を支持している」に類する情報皆無だ
（まあ、「時枝が間違っている」という勇気ある実名発言が無いのが残念だが、日本の和を尊しと成す”ゆるい”空気ではやむを得ないだろう）
455 ：: ２年間、このスレへの貢献、ご苦労さんでした
456 ：: これで、スレの勢い31.5で、第４位か。まあまあだな（＾＾
457 ：: >>450
誰がどうしたとか仔細は知らぬが、少なくとも「確率の専門家」については
彼が批判したのは確率変数の無限族の独立性に関する部分（記事後半）であって、
時枝解法（記事前半）不成立とは一言も言ってない。
アホなお前が勝手に賛同者だと勘違いしただけ。

反論があるなら彼のレスを引用して反論すること（アホの妄想聞いても仕方無いからね）
458 ：: >>449
お前自身が極限を持ち出してるんだがｗ
εδを話題逸らしだと言うというこ自体、数学をまったくわかっていない何よりの証拠
459 ：: 突然ですが「頭脳王2018」（日テレ）東大の神脳でイケメンの河野玄斗さん、優勝。
見てたけど、すごかったな～（＾＾。

理III医学部で、司法試験にも合格？　
数学をやってもできるだろうと思ったよ（＾＾
http://clippy.red/event20180202-1/
【頭脳王2018】放送日の出場者と結果、優勝は誰？「河野玄斗がイケメンすぎてヤバイ」CLIPPY 2018/2/2
(抜粋)
今回「頭脳王2018」放送日の出場者は、厳しい予選を突破して決勝進出を果たした東大・京大の天才8人。東大の神脳でイケメンの河野玄斗さん、メンタリストDaiGoの弟・松丸亮吾さんや唯一の女性出場者・小松詩織さんなど注目出場者がいっぱい（画像あり）。前回優勝の井上良さんは彼らを破り連覇できるでしょうか

「頭脳王」といえば普通の人には答えの解き方を解説されてもさっぱりわからない問題が出題されます。そんな異次元の問題だらけの「頭脳王2018」で結果、誰が優勝するのでしょうか
(引用終り)
460 ：: まあ、天才的頭の良さと、幸せな人生とは、しばしば一致しないことがあるが・・
461 ：: これも突然ですが、（下記）「真空崩壊」というのも、凄まじいですな～（＾＾
https://www.trendsmap.com/twitter/tweet/954519372403433473
橋本幸士 Koji Hashimoto
(抜粋)
真空崩壊きた！
『科学雑誌Newton』次号（1/26発売）は、特集「宇宙を破滅させる「真空崩壊」」。
特集号に協力させていただきました。ご堪能ください。おもろいで。
(引用終り)

https://www.e-hon.ne.jp/bec/OS/SA/DetailZasshi?site=30812&memo=4910070470169&refShinCode=0900000004910070470381
Ｎｅｗｔｏｎ（ニュートン）　２０１８年３月号
月刊誌
出版社名ニュートン・プレス
発売日 2018年1月26日
(抜粋)
［特集情報］
宇宙を破壊させる「真空崩壊」
［出版社情報］
●宇宙を破滅に導く真空崩壊　
　　宇宙の物理法則が乱れ，原子さえも崩壊する！？
　　―銀河や太陽をはじめとする星々，そして原子一つ一つに至るまで，
　　ありとあらゆる構造が崩壊してしまう──。
　　そんな未来が訪れるかもしれない。素粒子物理学者が予言する
　　「真空崩壊」の正体にせまる。

◆量子の世界　第１回
　“半死半生”のネコは実在するか？
　　シュレーディンガーのネコと量子論の解釈問題
(引用終り)
462 ：: >>461 関連

ああ、NHK BSで取り上げていたのか・・（＾＾
https://photofess.com/entropy/tv_20170929_1/
NHK BS「宇宙が真空崩壊」エントロピー増大の投稿 2017年9月29日

番組紹介
「真空の泡が生まれ宇宙全体が空っぽになる」

「全ての物質が無くなる」

公式ページでは、

「ある日突然宇宙が真空へと崩壊する」

「そんなSF映画のような可能性を物理学者たちが指摘している」

「果たして未来の宇宙は私たちが気づく間もなく真空崩壊で一瞬にして消え去る運命なのか？」

「それとも超対称性粒子が発見され、宇宙の壊滅的な真空崩壊など起きないことを人類の英知が証明するのか？」

「橋本幸士教授を監修役にドラマ仕立てで描きながら素粒子物理学が予測する宇宙の未来の姿に迫る！」

と紹介されている。

つづく
463 ：: >>462 つづき

番組まとめリンク＝＞「宇宙が真空崩壊？宇宙の未来をパパに習ってみた」
https://photofess.com/entropy/tv_20171010_1/
(抜粋)
番組は超ひも理論を研究する橋本幸士教授が出演するドラマ仕立てで真空崩壊について解説をする試み。

[目次]
[序章]

[宇宙は不安定]

[宇宙は安定]

[真空崩壊はあるのか]

[独り言]

解説
[序章]
欧州にある加速器セルンは2008年から稼働を始め1日当たり何十兆ものデータを蓄積して2012年にヒッグス粒子発見を発表した。

ただ発見されたヒッグス粒子は理論値よりも軽かった。

[宇宙は不安定]
ヒッグス粒子が軽いという事は現在の宇宙が不安定な状態にある事を意味する。

[宇宙は安定]
超対称性理論
現在発見されている素粒子と対称な粒子＝超対称性粒子が発見されればヒッグス粒子が理論より軽くてもバランスが取れている事になり宇宙は安定していると言える。

ヒッグス粒子よりも質量が大きい対象のヒッグス粒子があれば現在の宇宙は安定した場所にある事になる。

(引用終り)

以上
464 ：: >>463 補足

ここらの真空の安定を論じるのも、現代数学の力だが、εδにだけ拘っても仕方ないだろうよ（＾＾
465 ：: まあ、εδも、このスレで取り上げていきますよ。
ご心配なく（＾＾
466 ：: >>464
εδも理解できずに数学語るのは、ハイハイも覚束ない赤ちゃんが100M走に出場するようなもの
拘るのどうの以前の話

>>465
取り上げる話ではない、数学の一番の基礎の基礎の基礎
467 ：: まあ、εδコンプレックスの人はいいから（＾＾
468 ：: εδは、いろんな数学者が、いろんなところで、繰り返し取り上げているよ、コンプレックスくん（＾＾
469 ：: このスレでも、同じだよ
470 ：: >>467
はあ？
一年生用教科書読んでみろ、一番最初に出て来るぞｗ
お前はまず教科書買うところからｗ
471 ：: εδ分ってない人ほど、そういって、わかったふり（＾＾
472 ：: コンプレックスくん、必死（＾＾
473 ：: はいはい、話題をεδにも、移していきます（＾＾
474 ：: 数学は積み重ね
1年生の4月に習うεδを理解できなきゃ全滅なんだよ
スレ主に必要なのは自覚力　自分が如何にアホか自覚できないから5年間進歩が無かった
475 ：: >>473
だから話題にするものではないと何度言えば
εδすら理解できてないならとっとと板から失せろって話
476 ：: >>472
コンプレックスコンプレックス言う奴って自分がコンプレックスに思ってること言うんやぞ？
477 ：: >>463 追加参考

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%BD%E3%81%AE%E7%9C%9F%E7%A9%BA
偽の真空
(抜粋)
現在の真空の不安定性[編集]
先述の通り、現在の宇宙は真空の相転移を経験したため、真空の状態としては最も低いエネルギーの状態になっていると考えられている。しかし、現在の真空が真の真空であるという確証となる理論はなく、極めて長い時間スケールの準安定状態、すなわち偽の真空の状態にあるのではないかという説が存在する[2][11]。

我々の宇宙の真空が真の真空なのか偽の真空なのかは、ヒッグス粒子とトップクォークの質量により知ることが出来る[1][11][12][13]。
このうちヒッグス粒子の質量は、2012年7月4日に発表された値では 125.3±0.5 GeV[14] または 126.0±0.4 GeV[15] とある程度正確に求まっているが、トップクォークの質量は 172.9±1.5 GeV[16] とやや精度が荒い。このため、現在の理論では真空の安定性は安定と準安定のちょうど境界に位置する事になる[1][12]。
なお、ヒッグス粒子を事実上発見したという発表のあった2013年3月14日以降に、一部に「真空が準安定状態である」事が確定したというような記事が存在するが、これはトップクォークの質量の不確かさを考慮しないで書かれた誤報である[17]。
トップクォークのより正確な結果を求めるには、現在あるテバトロン[注釈 2]やLHCでは難しく、次世代の加速器であるILCの登場を待たないといけないとされている[1]。

真空の崩壊[編集]
もし、現在の我々がいる宇宙の真空が偽の真空だった場合、ポテンシャルの極小値に停留している状態に過ぎない。例えると、坂道を転がるボールが、坂を下りきる途中の穴に転がり落ちた状態である。

LHCの建設や運用の反対運動の中には、真空を崩壊させる可能性も理由として含まれていた。しかし、最大で約10TeVの出力を持つLHCに対し[18]、自然界には超高エネルギー宇宙線と呼ばれる、最大で320EeV[19][注釈 3]と、実にLHCの3000万倍もの高エネルギーな宇宙線が絶えず地球大気を構成する粒子に衝突している。
このため、宇宙のどこかで真空の崩壊が発生したとしても、それは自然現象における高エネルギー現象であり、人為的な行為で発生する可能性はきわめて低い[20]。

(引用終り)
478 ：: >>476
コンプレックスコンプレックスコンプレックス言う奴って自分がコンプレックスに思ってること言うんやぞ？
479 ：: >>478
その煽り方ぷにそっくりだなｗ
何から何までぷと瓜二つｗ
480 ：: >>474
> 1年生の4月に習うεδを理解できなきゃ全滅なんだよ

これこそ、εδコンプレックスだろ？
481 ：: >>479
>その煽り方ぷにそっくりだなｗ
>何から何までぷと瓜二つｗ

お褒めを頂きありがとう（＾＾
だが、ふしあなさんだな

「ぷふ」さん、おれほどバズじゃない
かれは、どちらかと言えば、寡黙だよ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%82%BA バズ (buzz)
482 ：: >>480
それ、その発言が数学をまったくわかってない証拠だと言ってるのだ
無知晒し乙
483 ：: >>481
いや、アホさ加減のみならず、どう間違ってるかまでそっくりだよｗ
484 ：: >>481
スレ主は英語もダメみたいだな
buzzなんて単語を得意げに引用してるとこ見ると
485 ：: >>480
> 1年生の4月に習うεδを理解できなきゃ全滅なんだよ

コンプレックスくんに下記ニコニコをどうぞ
これ分り易いよ。コンプレックスの君でも分りそうだし、それに、図解があるよ。図はこのバカスレではコピペできないので、直URLご参照（＾＾

http://dic.nico
video.jp/a/%CE%B5－%CE%B4%E8%AB%96%E6%B3%95
単語記事: ε－δ論法ニコニコ大百科
(抜粋)
何故嫌われる？

高校数学ではこの様な述語論理を取り扱う機会は少ないので、大学数学まで手を出すド変態計算好きでもない限り意味が不明である。

また、高校数学の問題は様々な公式や定理を駆使して解を導く所謂「パズル問題」であったが、この論法を使いこなすのに求められるのはとにかく「理解度」である。高校数学のノリを大学数学に持ち込み出鼻を挫かれる大学生は少なくない。

現実に「これを教えて数学への好奇心、勉強意欲が無くなってしまうなら教えない方がいいのでは…」と自粛してしまう数学教授や教師もいる。しかしながら、反対に極限や微積分についての理解を深める為にこの論法が不可欠という意見もあるのが現実だ。

つづく
486 ：: >>481 つづき

論法の「形」を見る
述語論理に不慣れな人向けに、もっと丁寧に説明する。
使い方が気になるのであって、意味は理解できるという方は読み飛ばしてもらって構わない。

∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, 0＜|x－a|＜δ → |f(x)－b|＜ε

「そんで、なんなんこれは」と言いたくなるこの式だが、勿論ただ数学者が嫌がらせの様に記号を並べてる訳じゃなく、意味があっての論理式である。記号１つ１つに意味があり、その記号の組合せが文章となり定義となる。
初歩的な述語論理の読み方は「∃」の記事で取り扱っているので是非読んでほしい。

左から順に解読していこう。

∀ε＞0　　→　すべての数・イプシロン・０より大きい　→　全ての、０より大きい数ε　→　任意の正の数ε
∃δ＞0　　→　ある数・デルタ・０より大きい　→　ある、０より大きい数δ　→　適当な正の数δ

合わせて読めば、「任意の正の数εに対して、ある正の数δが存在する」となる。これがこの論法での主人公２人の紹介文である。「s.t.」を飛ばして続きを読もう。

∀x∈R　　→　すべての数・エックス・属する・実数　→　実数に属する全ての数x　→　全ての実数x

ここで、0＜|x－a|＜δ → |f(x)－b|＜ε　を　A→Bと略す事にする。意味は「AならばB」だ。

xはA→Bについての詳細記述みたいなもので、合わせて「Aを満たす全ての実数xに対してBが成り立つ」となる。

また、s.t.は "such that" の略で、「P s.t. Q」の意味は「Qとなる様なP」である。
ここまでを全部繋げると、∀ε＞0,　∃δ＞0　s.t.　∀x∈R, A→B　の意味は

「Aを満たす全ての実数xに対しBが成り立つような任意の正の数εに対するある適当な正の数δが存在する」

なのだが、読みにくいので前後をひっくり返し

「任意の正の数εに対してある適当な正の数δが存在するとき、Aを満たす全ての実数xに対してBが成り立つ」

とする。砕けた言い方をすると

「どんな正の数εがあっても、うま～く正の数δを取れば、Aが成り立つ実数xではBも成り立つんやで。」

これはあくまで形だけなので、「つまりそういう物だな！」という外殻さえ掴み取れれば十分である。

(引用終り)
以上
487 ：: >>486 補足

略したが以下、図解と実際の適用例が分り易く書かれているよ（＾＾）
488 ：: >>485
わかりやすいサイトがあるのに何故お前は全問不正解だったの？
489 ：: おお、これで勢い34.1で、IUTスレを抜いて、勢い３位だよ（＾＾
490 ：: >>488
ご協力ありがとうございました（＾＾
491 ：: 負け惜しみ乙
492 ：: おお、いま勢い34.3で２位だよ！（＾＾
493 ：: >>381
パブコメ募集したが、いまのところ無しか・・
494 ：: >>485 補足

こちらの、ダジャレ"ε-δ論法"の方が、コンプレックスくんには、お似合いかもね
果たして、きちんと”落ち”になっているのかどうか、検証頼むよ（＾＾

http://ja.uncyclopedia.info/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
イプシロン-デルタ論法
ε-δ論法（イプシロンデルタろんぽう、またはエプシロンデルタろんぽう）とは、異性と（特に、女性が男性と）付き合うために使われるテクニックである。

Wikipedia
ユーモア欠落症患者のために、ウィキペディアの専門家気取りたちが「イプシロン-デルタ論法」の項目を執筆しています。
目次 [非表示]
1 歴史的背景
2 論法の解説
2.1 収束～限りなくお近づきに～
2.2 発散～愛のradiation～
2.3 連続～永遠（とわ）に～
3 関連項目
495 ：: 自覚力
496 ：: >>494 関連

”トポロジーを勉強すると、ε-δ論法はごく特殊な場合の論法であることが分かってきます。”（下記）
http://www.agri.tohoku.ac.jp/agriecon/japanese/kankyo/kitani/index.htm
Welcome　to Mr. Kitani's Home
（略歴）
山口県生まれ
山口県立柳井高等学校
東京工業大学理学部数学科
東京工業大学大学院システム科学専攻
（職歴）
東京工業大学工学部社会工学科計画数理講座
帝京技術科学大学情報学部情報システム学科
東北大学教養部統計学科
東北大学農学部地域計画論研究室
東北大学大学院農学研究科環境経済学分野

http://www.agri.tohoku.ac.jp/agriecon/japanese/kankyo/kitani/growup1.htm
生い立ち
(抜粋)
生まれてから学生時代までを振り返って。。。

中学校３年のときに、難解な因数分解を解いて自慢する数学の先生がいて、先生に負けたくないという気持ちだけがきっかけで、数学が好きになりました。高校でも数学の勉強だけは苦になりませんでした。でも、これが数学ではないと分かったのは大学に入ってからです。

　数学とは、少数の人が対象として共有できる｢美｣の論理学です。解析学においてε-δ論法が決定的に重要なことは、今の教養数学のカリキュラムではだけでは理解できないのではないでしょうか。そして、理工系の殆どの人が落ちこぼれていきます。
トポロジーを勉強すると、ε-δ論法はごく特殊な場合の論法であることが分かってきます。

カテゴリー論というのを４年生でやりました。これも当時は訳の分からない抽象論でした。しかし、大学院でシステム理論を勉強したときに、大変重要な理論であることが分かってきました。
集合論的に｢対象｣を定義づけるという古典的な数学手法から、いくつかの｢対象｣の間の関係からユニークに｢対象｣を定義づけるという、システム本来の考え方（機能によって対象をとらえる）とマッチします。

つづく
497 ：: >>496 つづき

　というようなことで学位論文では、社会的決定プロセスを、システムを拡張していくなかでの学習プロセスとして捉える枠組みを作ってみました。ただし、この研究はここでストップし、以後はまったく関係のないことをやっています。後で述べますが、ごく最近になって再び研究してみようかと思わざるをえないある事実を発見しました。

　大学院に入って、恋をしました。当時の東工大は女子学生比率が３％程度でして若い女性と話す機会は殆どありませんでした。必然の成り行き？として恋に陥ると重症です。今となっては甘酸っぱい思い出ですが、このおかげで学位論文を仕上げることができました。

今の私

　今になって自分が何に興味をもっているのかが少し理解できるようになりました。それは人です。カテゴリー論に興味があったのは、｢対象｣そのものではなくその間の関係から｢対象｣を定義づけるということだからです。
人を独立して存在する自由個人ととらえる科学には興味がないということが分かりました。でも自己主張はしません。自分の心への主張です。アマルティア・センは、資源の平等を、資源のもつ物質的あるいは経済的価値ではなく、それが人に何を与え何をもたらすのかを基準に分配的正義を説きます。
それは人と人との関係性（家族は大きな関係性）に影響を与え、それが人を｢定義｣するのです。経済学モデルとは真反対のモデルかもしれません。

　私が４十数年生きてきたことはこんな単純なものです。臆病で人に言いたいことが言えない人間です（そんなことはあるか！、という人もいるかもしれませんが、それは私をよく知らない人です）。
(引用終り)
以上
498 ：: >>496 補足

Mr. Kitaniさん、東京工業大学理学部数学科　→ 東京工業大学大学院システム科学専攻 →・・・東北大学大学院農学研究科環境経済学分野という経歴です（＾＾
まあ、だから、数学科だから数学科の院って話ばかりじゃないだろうと思うよ。なんで、システム科学専攻？とは思うが、それは本人に聞いてくれ（＾＾
499 ：: >>480
>> 1年生の4月に習うεδを理解できなきゃ全滅なんだよ
>これこそ、εδコンプレックスだろ？

”ε-δ 論法を高校数学で教えるべきだという声もありますが、大学においてすら不要だとする意見もあり、ε-δ 論法を教育上でどう扱うかは議論の分かれるところです”だと
http://blog.donaldo-plan.com/archives/3535
高校数学の内容（新課程）と数学史 2013/05/24 11:16 , 永野裕之 Posted in: 大人の数学
(抜粋)

※ ガウスは「無限というものを何か完結したものとして扱うのは反対です。それは数学では決して許されません。あくまで『無限に大きくしていく』という過程として使うのです」と言っています。

※ 1860年代になって、ワイエルシュトラスが「ε-δ （イプシロン-デルタ）論法」を完成させました。
ε-δ 論法を使えば、無限小や無限大という概念を出さずに収束や連続を議論できるようなるので、これによって微積分学が完成されたと言う人もいます。
それだけにε-δ 論法を高校数学で教えるべきだという声もありますが、大学においてすら不要だとする意見もあり、ε-δ 論法を教育上でどう扱うかは議論の分かれるところです。

(引用終り)
500 ：: >>499
εδ論法を用いずに理論構築している解析学の教科書名を例でよいので挙げよ
501 ：: そのようなネット情報を真に受けるのもバカの証拠
502 ：: >>499 補足

ワイエルシュトラス及びその学派以外では、オイラー、ガウス、アーベル、ガロア、リーマンなどの19世紀の数学の巨人たち、また多くの20世紀の数学の巨人たち
彼らは、ε-δ 論法を超えて、無限小や無限大という概念を併用していた

そして、20世紀後半には、無限小や無限大という概念は、現代数学の中で、いろんな手法で（一つではない）厳密に定義され扱えるようになった
なので、無限小や無限大という概念を捨てる必要は全くない

もちろん、厳密に定義し扱うためには、ε-δ 論法以上の多大な準備が必要だ
（でもね、例えば、インターネットの定義や原理が分らないと使えないというわけではないよね。実際、ガウス、アーベル、ガロアたちは使っていたろう）

だから、学年の定期試験や院試を受ける必要があるひとは、ε-δ 論法は、避ける訳にはいかないが、
だれかみたいにε-δコンプレックスを持つこともないと思うよ（＾＾

”トポロジーを勉強すると、ε-δ論法はごく特殊な場合の論法であることが分かってきます。”（>>496）
とあるから、トポロジーの勉強と併用する手もあるだろう
503 ：: ＞大学においてすら不要だとする意見もあり
誰も「数学科において」とは言ってないなｗ
バカ丸出しｗ
504 ：: スレ主はアホだから「大学においてすら」を「大学の数学科においてすら」と
勝手に勘違いして読んでしまうんだね。アホ杉ｗ
505 ：: >>500-501

下記をどうぞ
>>236-239
服部哲弥先生：”中心課題：最近の基礎教育の傾向としてのε－δ 論法の排除，即ち，「実数の公理（連続性）」「極限の定義」「関数の連続性の定義」の排除が教育上整合的に可能かどうかの検証．”
数学基礎１（前期）講義録服部哲弥　(約370KB pdf file・Last update 2002/04/15) 1999-2002年度（於名古屋大学1年理系対象）の記録
506 ：: >>505
検索ご苦労
で？肝心の検証結果は？
507 ：: >>503-504

数学科で、ある教程を取って、その中にε-δ論法があり、それが試験で出題され、評価されるとすれば、それはやらんといかんよね（＾＾

でも、必要性は、”ある教程を取って～試験で出題され、評価される”ってことだな
508 ：: >>506

べつに
服部哲弥先生：”中心課題：最近の基礎教育の傾向としてのε－δ 論法の排除，即ち，「実数の公理（連続性）」「極限の定義」「関数の連続性の定義」の排除が教育上整合的に可能かどうかの検証．”
とあるでしょ
知りたければ、検証結果を、服部哲弥先生に聞きなよ（＾＾
509 ：: >>382
＞で、「すばらしい定理で、理解できないスレ主がバカ」という人が増えれば、あなたも肩の力が抜けるでしょ（＾＾

詭弁である。賛同者の人数を競っているのでは無いと最初から言っている。
また、賛同者が何人増えても、お前は変わらないと何度も指摘している。実際、お前は当初

「ぷさんが賛同するようなら自分の負けが濃厚かな」

などと言っていたのに、いざそうなっても現状はこの有様である。
結局、お前自身が納得しない限り、お前はこの定理にイチャモンをつけ続けるのである。
極端な話、たとえ例の pdf がそのままどこかの数学誌に掲載されたのだとしても、

＞R－B_f が第一類集合で、２）の場合は、”定理1.7： f はある開区間の上でリプシッツ連続である”（>>195）などとは、なりようがない。
＞（稠密ゆえ、開区間など存在しない）
＞２）の場合に、これが証明できたというけれども、それ命題の矛盾。
＞証明できるのは、１）の場合のみ。

↑このような問題外の勘違いに陥っているお前にとっては、

「間違った論文が掲載されることもあるので、やはりこれは間違っている」

と言い張るのである。

・都合が悪くなると賛同者の人数にイチャモンをつけ始める。
・スレ主が信頼していた人がいざ賛同側に回っても、スレ主は変わらない。
・たとえ数学誌に載っていたとしても、問題外の勘違いに陥っているスレ主には「間違い」にしか見えない。

結局、どう転んでもスレ主は変わらない。スレ主が「バカ」であることが全ての原因。
510 ：: >>379

＞>>366
＞ご苦労さん
＞もうちょっと肩の力を抜いてください

誰にレスしているのか知らんが、それは俺ではない(IDをよく見よ)。
511 ：: >>381
＞なので、議論が膠着しているので、

膠着しているのではなくて、お前がバカすぎて整理がついてないだけ。
とりあえず >>360-363 に返答しろ。

・お前の屁理屈によれば、定理C は証明不可能であって、
　実際には定理C' しか証明できないことになる。

・お前の屁理屈によれば、「 P → Q 」は証明不可能であって、
　実際には「 P∧Q → Q 」しか証明できないことになる。

これは一体どういうことだね？
512 ：: >>508
はあ？
一体何のためにその引用を出したのだ？
バカ丸出し乙ｗ
513 ：: >>507
相変わらずの馬鹿丸出し発言乙
514 ：: >>508
ディベートに勝つための材料をディベート相手に丸投げするアホって初めて見たわｗ
515 ：: ぷとかスレ主とか相手にする必要ないだろ
まともな会話が成り立たない時点で時間の無駄
516 ：: >>509

>詭弁である。賛同者の人数を競っているのでは無いと最初から言っている。
>また、賛同者が何人増えても、お前は変わらないと何度も指摘している。

逆だろ？　結果は・・

>「ぷさんが賛同するようなら自分の負けが濃厚かな」
>
>などと言っていたのに、いざそうなっても現状はこの有様である。

意味がわからん。当然、ぷさんは自分に賛同する前提での発言だよ（＾＾
予想が外れただけのこと

>↑このような問題外の勘違いに陥っているお前にとっては、
＆
>>511

勘違い？ではないだろ？そのことについては、あとで書くよ
517 ：: >>510
>誰にレスしているのか知らんが、それは俺ではない(IDをよく見よ)。

ああ、チョウチン付けているやつだったか？　それはすまんかったね（＾＾
518 ：: >>512-514
ディベートに勝つ？　なんだそりゃ？（＾＾
>>9の”＜数学ディベート＞について”でも嫁よ
どこの馬の骨とも知れぬ ID:n+B9H4P9の”１３２人目の素数さん”の発言より、服部哲弥先生の文書に価値がある。それ当然だろ？
519 ：: >>515
おれも、そう思う。「ぷふ」さんも同じだろう。はい、”お帰りはあちら”だ
520 ：: >>519
> おれも、そう思う。「ぷふ」さんも同じだろう。はい、”お帰りはあちら”だ

スレ主：背理法もA⇒Bもεδもわからない
ぷ：中学の確率がわからず、いつも『ぷ』で誤魔化す

小学生の知能レベルは数学板から出て行きましょう
身の丈の合ったところへどうぞ
ここは数学板なので、A⇒Bも分からないとかありえないです
521 ：: スレ主がεδが分かってない証明はこれな

502 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2017/08/15(火) 19:14:09.11 ID:MgvDl1uC [14/22]
【悲報】スレ主がεN論法を全く理解していないことが判明

http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1502430243/473
＞∀n∈N,∃m∈N,n≦m
＞∃m∈N,∀n∈N,n≦m

http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1502430243/497
＞命題１は、不成立。理由は、Nに上限はないから
＞命題２は、成立。理由は、第一条件であるｍ∈Nを取って、その範囲で、”第二条件（小前提）∀n∈N, 結論 n≦m”が成り立つようにできる

http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1502430243/569
逆ですよー：－）
命題1 は成立するのです。どんな n についても、それぞれの n がそれ以上の自然数を持っていますから。
命題2 は成立しません。すべての自然数nに対して絶対的に n <= m となる特定の自然数mは存在しません。
522 ：: >>520-521
コンプレックスくん、乙です（＾＾
523 ：: >>516
＞勘違い？ではないだろ？そのことについては、あとで書くよ

お前の勘違いである。

＞R－B_f が第一類集合で、２）の場合は、”定理1.7： f はある開区間の上でリプシッツ連続である”（>>195）などとは、なりようがない。
＞（稠密ゆえ、開区間など存在しない）
＞２）の場合に、これが証明できたというけれども、それ命題の矛盾。
＞証明できるのは、１）の場合のみ。

↑お前のこの勘違いを丁寧に書き直すと、次のようになる。

定理1.7：
f：R → R は、R－B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：R－B_f は第一類集合であるとする。証明すべきことは、
「 f はある開区間の上でリプシッツ連続」である。ここで、次のような場合分けをしてみよう。

(1) R－B_f は R の中で稠密ではない。
(2) R－B_f は R の中で稠密である。

(2)の場合は、「 f はある開区間の上でリプシッツ連続」などとは、なりようがない。
それでもなお、(2)の場合にこれが証明できたとするなら、それは命題の矛盾。
よって、証明できるのは(1)の場合のみ。すなわち、我々が定理1.7について実際に証明できるのは、

「 R－B_f が第一類集合かつ(1)が成り立つなら、f はある開区間の上でリプシッツ連続である」

という主張のみ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
524 ：: >>523
↑
これが、お前が言っている屁理屈である。そして、全く同じ屁理屈を
定理Cや一般の「 P ならば Q 」に適用したのが >>360-363 である。
その >>360-363 によれば、次のようになる。

・お前の屁理屈によれば、定理C は証明不可能であって、
　実際には定理C' しか証明できないことになる。

・お前の屁理屈によれば、「 P → Q 」は証明不可能であって、
　実際には「 P∧Q → Q 」しか証明できないことになる。

これは一体どういうことだね？
525 ：: >>520

>スレ主：背理法もA⇒Bもεδもわからない
>ぷ：中学の確率がわからず、いつも『ぷ』で誤魔化す
>
>小学生の知能レベルは数学板から出て行きましょう
>身の丈の合ったところへどうぞ

笑える
ロジック破綻しているぞ

自分達でスレ立てて、自分達の知能レベルを示してみれ？（＾＾
自分達でのスレ立てもできない、運営もできない。それって、幼稚園生レベルだろ？（＾＾
526 ：: >>523-524

ご苦労さん
527 ：: >>526
うん、それで？

・お前の屁理屈によれば、定理C は証明不可能であって、
　実際には定理C' しか証明できないことになる。

・お前の屁理屈によれば、「 P → Q 」は証明不可能であって、
　実際には「 P∧Q → Q 」しか証明できないことになる。

これは一体どういうことだね？
528 ：: >>525
> 笑える
> ロジック破綻しているぞ
> 自分達でスレ立てて、自分達の知能レベルを示してみれ？（＾＾
> 自分達でのスレ立てもできない、運営もできない。それって、幼稚園生レベルだろ？（＾＾

2chでスレを立てることが知能レベルを表すと思ってる人間が世界でお前以外に１人でもいるなら教えてくれ（爆笑
529 ：: >>520
賛成です
スレ主とぷは出ていくべき　身の丈を弁えよ
530 ：: >>529
君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな
531 ：: >>530
何を間の抜けたことを言ってるのかな？
数学的問いを投げかけたのに逃亡したのはぷなんですけど？
逃亡されたら数学的発言のし様が無いんだけど？
532 ：: >>531
私スレ主は、「ぷふ」さんに賛成です（＾＾
533 ：: >>527
>・お前の屁理屈によれば、「 P → Q 」は証明不可能であって、
>　実際には「 P∧Q → Q 」しか証明できないことになる。

違うと思うよ

（>>195より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)

（>>523より）＜言い換え版＞
定理1.7：
f：R → R は、R－B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
(引用終り)

定理1.7のさらに言い換え版
Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）

（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）

ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。

１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能

つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能

補足：
・R－Bfが、R中で稠密で性質NGを持つのだから、Rの任意の開区間には必ず性質NGを持つ部分が入る。あたかも、有理数Qと無理数との関係に同じ。
・背理法を免罪符にしているが、背理法は系1.8であり、定理1.7は背理法以前である。

以上
534 ：: AI関連
http://bizgate.nikkei.co.jp/article/155572215.html?n_cid=TPRN0016
AI「思ったほど使えない」は本当か日経 2018/01/22
ボストン　コンサルティング　グループ
(抜粋)
　世界株高、米大型減税――。2018年の幕開けは明るいが環境変化のスピードは加速している。「晴れている日こそ屋根の修理を」。必ずや訪れる試練にどう備えるべきか。
ボストン　コンサルティング　グループ（BCG）のエースコンサルタントが着目する各テーマの戦略を紹介する。第1回目はブームから実用段階へ入った人工知能（AI）。パートナーの高部陽平氏が論じる。

分類、識別、予測...信用査定や生産管理で威力

　現在、普及しているAIのベースとなっているニューラル・ネットワークという技術は、実は20年以上前から存在した。
当時との大きな違いの一つは、マシンの処理能力が向上し、以前は大型マシンで何週間もかかった計算が、手元のPCを使って短時間でできるようになったこと、加えて、AIを鍛えるためのデータセットが世の中に溢れるようになってきたことだ。

　これらに後押しされ、ニューロンの組み合わせやレイヤーを指定しなくても、より良い成果を得られる組み合わせやレイヤーを探し出し、動的に変更しながら精度を高めていく、ディープラーニングなどの技術が実用可能になってきた。
脳細胞が自ら発達していくように、自己強化する仕組みが現実的になったのだ。

(引用終わり)
535 ：: 突然ですが・・（＾＾

IUTTで有名な、Ivan Fesenko先生の”Mathematical jokes”
”An engineer thinks that his equations are an approximation to reality. A physicist thinks reality is an approximation to his equations. A mathematician doesn't care. ”
”Mathematics is the art of giving the same name to different things. -- J. H. Poincare ”

なるほどね～（＾＾

https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ibf/
Ivan Fesenko

https://www.maths.nottingham.ac.uk/personal/ibf/jokes.html
Mathematical jokes
(抜粋)
1. Definitions
Let's start with general definitions.

Mathematics is made of 50 percent formulas, 50 percent proofs, and 50 percent imagination.

An engineer thinks that his equations are an approximation to reality. A physicist thinks reality is an approximation to his equations. A mathematician doesn't care.

Mathematics is the art of giving the same name to different things. -- J. H. Poincare
(引用終り)
536 ：: >>357 戻る

”補題1.5には「∀x」は登場しない。
「関数 f と点x が Af(x)＜＋∞ を満たすならば～～～」
という書き出しになっているのが補題1.5なのであり、
「関数 f が ∀x∈R [ Af(x)＜＋∞ ] を満たすならば～～～」
という意味ではない”

ああ、>>65のThe Straddle Lemmaでは
”Lemma 4.3. Straddle Lemma. Let F : I → R be differentiable at a point t ∈ I.
Given ε there exists ε(t) > 0 such that if u, v ∈ I satisfy
t － δε(t) <= u <= t <= v <= t + δε(t) (4.3)
then we have
|F(v) － F(u) － F'(t)(u － v)| <= ε(v － u) (4.4)”

で、確かに”Let F : I → R be differentiable at a point t ∈ I.”だね

それで、https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%83%E3%82%AF%EF%BC%9D%E3%82%AF%E3%83%AB%E3%83%84%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB%E7%A9%8D%E5%88%86
ヘンストック＝クルツヴァイル積分（>>135）で

>>137 より
”点付き分割 P が δ－細 (δ－fine) であるとは、各 i について
t_i－δ(t_i)<u_i－1 <= t_i <= u_i<t_i+δ (t_i)
を満たすことである。点付き分割 P と函数 f: [a,b] → R に対して、リ－マン和
Σ _{P}f＝Σ _{i＝1～n(u_i－u_i－1)f(t_i)} Σ_P f ＝ Σ_{i ＝ 1～n (u_i － u_i－1) f(t_i)
を定義することができる。”となるわけか・・、ようやく分ったよ

この定理1.7氏は、ほんと数学の実力あると思うよ
ほんと、いろいろ教えて貰って、勉強になるわ
537 ：: >>533
そうやって「新しい屁理屈」を持ち出す前に、まずは「以前の屁理屈」について
お前自身がどう思っているのかを答えよ。

・「以前の屁理屈」を撤回しない場合は、>>527 に答えよ。
・「以前の屁理屈」は撤回し、>>533 の新しい屁理屈に差し替える場合は、そのことを宣言せよ。

……と言いたいところだが、>>533 の新しい屁理屈でも反論の仕方は全く同じなので、
さっさと >>533 に移ることにしよう。
538 ：: >>533
以下では、お前の新しい屁理屈を丁寧に書き直すことにする。
性質 G がどうとか無駄な言い換えをしているが、
要するにお前は次のように言っていることになる。

定理1.7：
f：R → R は、R－B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：まず、2つの命題 P, Q を以下のように定めておく。

P： R－B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続

このとき、定理1.7は「 P → Q 」という形になっている。
さて、以下では定理1.7を証明することにする。R－B_f は第一類集合とする。
証明すべきは、「 f はある開区間の上でリプシッツ連続」である。
次のような場合分けをする。

(1) R－B_f は R の中で稠密ではない。　(2) R－B_f は R の中で稠密である。

(1) の場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
(2) の場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能

つまり、(2)の場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能。
この議論は背理法以前であるから、背理法を免罪符にすることも不可能で、(2)は本当に証明不可能。
すなわち、我々が定理1.7について実際に証明できるのは、

「 R－B_f は第一類集合かつ(1)が成り立つなら、f はある開区間の上でリプシッツ連続」

という主張のみ。あるいは、同じことだが、我々が実際に証明できるのは「 P∧Q → Q 」のみ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
539 ：: ここで、お前の上記の屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。

定理C：
f：R→R は原点で微分可能とする。このとき、f は原点で連続である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主： 2つの命題 P, Q を以下のように定義する。

P： f は原点で微分可能。
Q： f は原点で連続。

このとき、定理Cは「 P → Q 」という形になっている。
さて、以下では定理Cを証明することにする。fは原点で微分可能とする。
証明すべきは、「 fは原点で連続」である。
次のような場合分けをする。

(1) f は原点で連続である。　(2) f は原点で不連続である。

(1) の場合は、定理C の命題は「 P∧Q → Q 」なので、、証明可
(2) の場合は、定理C の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能

つまり、(2)の場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能。
この議論は背理法以前であるから、背理法を免罪符にすることも不可能で、(2)は本当に証明不可能。
すなわち、我々が定理Cについて実際に証明できるのは、

「 f：R→R が原点で微分可能かつ(1)が成り立つなら、f は原点で連続である」

という主張のみ。すなわち、

定理C' 「 f：R→R が原点で微分可能かつ f が原点で連続なら、f は原点で連続である」

という主張のみが証明可能であり、定理C全体は証明できない。
あるいは、同じことだが、我々が実際に証明できるのは「 P∧Q → Q 」のみ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
540 ：: >>539
↑
結局、お前の新しい屁理屈を使っても、定理C全体は証明できず、
定理C' のみが証明可能ということになってしまう。
これは一体どういうことだね？

また、俺が >>538-539 の最後の行で

＞あるいは、同じことだが、我々が実際に証明できるのは「 P∧Q → Q 」のみ。

といちいち示唆しているように、今回の新しい屁理屈を使うことで、お前はやはり

・「 P → Q 」は証明不可能であって、実際には「 P∧Q → Q 」しか証明できない

と言っていることになるのである。お前はこのことに反論するために >>533 を書いたのだろう？
にも関わらず、お前が実際に導いたのは「 P∧Q → Q しか証明できない」という主張であり、
俺がツッコミを入れたことをそのまま繰り返しているだけであるｗ

これは一体どういうことだね？
541 ：: >>257 戻る

桂田祐史先生の”数理リテラシー”は、なかなか良いね（＾＾

http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/
桂田祐史ホームページ
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/
桂田祐史の講義のサポート・ページ
・数理リテラシー (2017年度) (現象数理学科1年生向け) http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/literacy-2017/

講義ノート
4月13日のイントロ
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/literacy-2017/introduction2017.pdf
(抜粋)
講義内容のイントロ
? 具体的な内容は、論理、集合、写像。
? ちなみに理工学部数学科では、ほぼ同じ内容を「数学演習」という講義で行なっている。
? なぜ必要か？

大学で学ぶ数学と、高校までの数学と違いがあるから。どう違う？やり方がかなり違う。

? 良く言われる悪口「大学数学のテキストは、定義、定理、証明の羅列 (で分かり辛
い)」 ? 一面の真実が潜む。大学の数学のテキストは、用語・記号の定義、定理と
その証明、例、＋αが主な要素。

? 数学的な議論は、定理をつないでいくもので、定理は原則としてすべて証明される、
と覚悟すること。
「証明は覚えないといけませんか？」? 「証明は覚えたりするものではありません」

? (例えば) lim 実は高校の数学では、極限を定義していない。だから極限に関する定理の証明も出来ない (していない)。
limn→∞ (an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn という公式を知っていても、仮定を覚えていない人は多い。
「 limn→∞ an, limn→∞ bn が存在すれば、limn→∞ (an + bn) も存在して、 limn→∞ (an + bn) = limn→∞ an + limn→∞ bn が成り立つ。」
とすると定理になる。

「次の極限を求めなさい」という問題を、例題を参考にして解くことで、漠然と極限概念を掴んで、良く似た問題は解けるようになっているが、
定義はしていなくても気づかない、証明をしていなくても気づかない、そういう調子で数学を教えられて来た。

言い換えると、高校数学では「寝た子を起こすな」という方針でやっていた。

つづく
542 ：: >>541 つづき

定義とはなにか, 実は知らない人が多いのかも
コラム [1] では、「◯◯が線形空間であることを示せ」のような問題が敬遠されがちである
ことが指摘されている。この問題を解くには、まず線形空間の定義を思い出し、そこに現
れる条件が満たされることを一つ一つチェックすることになる。高校までの数学で、定義
を軽視しているのかもしれない。[1] の第 1 章は「定義とは何か」である。そういう基本
的なところから話を始めるべきなのかもしれない。

(引用終り)

以上
543 ：: と数学文盲が言ってますが
544 ：: "君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"

私スレ主は、「ぷふ」さんに賛成です（＾＾
545 ：: >>538

”(2) の場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」”という事実を認めるかどうか

一言でいえば、それにつきる

細かい点は、後刻
546 ：: >>539
>定理C：
>f：R→R は原点で微分可能とする。このとき、f は原点で連続である。

この例は不適合。むしろ
定理F：
f：R→R は原点で微分不可能とする。このとき、f は原点で不連続である。

とすべきだろう
原点で微分不可能な場合は、二つに分けられる
１）原点で微分不可能かつ原点で不連続、２）原点で微分不可能だが原点で連続

これで、１）の場合は証明可能だが、２）の場合は証明不可能
結論として、定理Fは命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
定理Fは、数学の命題として不適切
547 ：: おっちゃんです。
>>546
>定理F：
>f：R→R は原点で微分不可能とする。このとき、f は原点で不連続である。
至るところ微分可能だが実数直線R上の任意の点で連続な
ワイエルシュトラスの関数が存在して反例になるから、
>f：R→R は原点で連続とする。このとき、f は原点で微分可能である。
という命題は偽になる。この対偶を取ると、
>f：R→R は原点で微分不可能とする。このとき、f は原点で不連続である。
という命題は、偽であって、成り立たないことになる。
548 ：: >>546
>>547の訂正：
至るところ微分可能 → 至るところ微分「不」可能
549 ：: >>543-544
あなたは、定理1.7に賛成なんだろ？
もっとはっきり言ってあげたらどうかね？

「定理1.7は素晴らしい」とか
そうすれば、"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"という批判に、多少応えたことになる
550 ：: >>547
おっちゃん、どうも、スレ主です。
詳しい解説ありがとう～（＾＾
551 ：: >>546
＞この例は不適合。

不適切なのではなくて、お前にとって都合が悪いだけ。

お前の屁理屈は、確実に定理C に適用できる(>>539)。
なぜなら、>>539 は >>538 と全く同じことをしているからだ。
あるいは、もし >539 を不適切としたいなら、
>538 も不適切としなければダブルスタンダード。

>538 はアリなのに >539 だけは不適切なんてのは詭弁である。
両方ともアリか、両方とも不適切か、どちらかにしろ。
552 ：: >>546
1つ質問しよう。いささか人工的だが、写像 f：R → R に対して、

X_f ＝ { x∈R ｜｜f(x)－f(0)｜＜ 1 }

と置くことにする。もし R－X_f が R の中で稠密ならば、
f は原点で不連続になることに注意せよ。では質問をする。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
「 f：R → R が原点で微分可能」ならば「 f は原点で連続である」。

定理C1：
「 f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ではない」ならば「 f は原点で連続である」。

定理C2：
「 f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密」ならば「 f は原点で連続である」。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

上記の定理C,C1,C2 は全て正しい定理であるが、
スレ主にとって、これらの定理は全て正しい定理に見えるか？
553 ：: >>544
>>549
お前やっぱり言葉が通じないんだな
俺は数学的問いを投げた
答えず逃げたのはぷ

言葉の通じないサルは要らないから板から出て行け
554 ：: スレ主は痴呆なのか？
言葉が全く通じないんだが
病院R、板から去れ
555 ：: "君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"

私スレ主は、「ぷふ」さんに賛成です（＾＾
556 ：: あなたは、定理1.7に賛成なんだろ？
もっとはっきり言ってあげたらどうかね？

「定理1.7は素晴らしい」とか
そうすれば、"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"という批判に、多少応えたことになる
557 ：: 重度痴呆症
558 ：: >>551
>>538 はアリなのに >539 だけは不適切なんてのは詭弁である。
>両方ともアリか、両方とも不適切か、どちらかにしろ。

それは、また暴論ですね

（>>546より）
定理C：
f：R→R は原点で微分可能とする。このとき、f は原点で連続である。

これに対して、定理Cの裏というのが定理Fというらしい（下記）

定理F：
f：R→R は原点で微分不可能とする。このとき、f は原点で不連続である。

で、定理Cが正しいとしても、裏の定理Fが正しいとは限らない

そういう状況下で、「おれは、定理Fを証明した」という人が現れたら、「それ、どっかおかしくない？」と聞くでしょ
逆とか裏とか、一緒くたじゃ、それはいかがなものか。ダブルスタンダードの批判は当たらないだろう

https://mathwords.net/gyakuura
逆、裏、対偶の意味と具体例具体例で学ぶ数学
559 ：: >>552
あなたは、そういう例を考える力はすごくあると思うよ
感心してしまいますね

が、いま問題にしている病的関数、例えば、ディリクレ関数、トマエ関数、The modefied ruler function
などの扱いには、まあ、一言で言えば、「不慣れ」ですね

是非、例えば>>92などご参照。あと、下記の２つのPDFも良いですよ（＾＾
これ（下記２つのPDF）くらいは、読まないと、適切な例示は難しいのでは？

（>>179）
スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/81 より
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.

スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/366 より
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.

つづく
560 ：: >>559 つづき

> X_f ＝ { x∈R ｜｜f(x)－f(0)｜＜ 1 }
>と置くことにする。もし R－X_f が R の中で稠密ならば、
>f は原点で不連続になることに注意せよ。では質問をする。

まず、下記のように「 f：R → R が原点で微分可能」としていますが、それは定理1.7の例示として不適切であることを指摘しておきますよ。
”微分可能”の話は、系1.8です。
定理1.7の話で、「背理法が分っていない」などと言われますが、定理1.7の議論に系1.8が混じっているようですね

ところで、"一般性を失わずに、f(0)＝0と仮定する"とさせてくださいね。
話が簡単だし、上記のディリクレ関数などとの整合性が良いのでね。（後に関連するので）

１）定理C：
「 f：R → R が原点で微分可能」ならば「 f は原点で連続である」。
これは、正しい定理で良いですね

２）定理C1：
「 f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ではない」ならば「 f は原点で連続である」。
これは、命題としては正しいが、数学の定理としての表現としては、如何か（後述）

３）定理C2：
「 f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密」ならば「 f は原点で連続である」。
これも、命題としては正しいが、数学の定理としての表現としては、如何か（後述）

つづく
561 ：: >>552について補足しておく。

R－X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で不連続になることについて：

もし R－X_f が R の中で稠密ならば、特に原点の近傍にも R－X_f の元が
無数に取れるので、｜f(x)－f(0)｜≧1 を満たす x が
原点のいくらでも近くに取れることになり、よって f は原点で不連続となる。

定理C,C1,C2の意図について：

定理C2 では、R－X_f が R の中で稠密であることが仮定されている。
特に、f は原点で不連続となる。よって、スレ主の屁理屈によれば、
このようなケースでは「 f は原点で連続」になりようがないので、
定理C2 は命題レベルで矛盾を含んでいることになり、定理C2 は
スレ主から言わせれば「正しくない」ことになるはずである。
一方で、定理C2 は実際には「正しい定理」である。
なので、スレ主としては、定理C,C1,C2 の正しさについて
どう思っているのかを、>>552 で質問している次第である。
562 ：: >>560 つづき

上記２）定理C1と、３）定理C2とは、仮定命題のPが偽の場合を含むが、しかし定理命題自身は真になる（下記桂田祐史先生ご参照）
但し、数学の教科書や論文に載せる定理としては、不適切だろう。かつ、定理1.7の例示としては、微妙にずれていると思う

さて、２）定理C1の場合、原点0の近傍でR－X_fが稠密で（それ以外に稠密で無い区間が存在する）であれば、３）定理C2で扱うべき。
原点0の近傍でR－X_fが稠密でない場合は、１）定理Cが適合する

３）定理C2：の場合、お説のように「f は原点で微分不可」だから、上記のように命題自身は真。
但し、「f は原点で微分不可」ということは、別に証明しなければ分らない。だったら、３）定理C2は不適切。別に証明する事項を定理とするのが、真っ当な数学だろう。

あと、細かいが、上述のように、原点で微分可否をいうなら、R全体を問題にする必要はない。Rの近傍だけの問題である。
かつ、「｜f(x)－f(0)｜＜ 1」も、無意味。例えば、f(0)＝0で、ディリクレ関数でf(q)=1 とするところを、f(q)=1/2 とすれば、R全体で「｜f(x)－f(0)｜＜ 1」を満たし、かつ原点で微分不可（R全体でも微分不可）
同様、定理C1、C2の成否とは無関係。だから、定理C1、C2は、あまり適切な例示ではないと思う

＜参考＞
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/
桂田祐史の講義のサポート・ページ
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/literacy-2017/logic.pdf
数理リテラシー (2017年度) 講義ノート「Part 1 論理」
(抜粋)
P11
例1.6 「1 + 1 = 2 → √2 は無理数」は真。「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。

＜理解した気分になるための解読？＞
p → q が真であるためには、p が真であればq が真であることが大事で、p が偽のときは
q は真でも偽でもどちらでも良い(どちらでもp → q は真である)。一方、p が真であるの
に、q が偽である場合は、p → q は偽である。

「ならば」の前後に書いてあることは、何か共通
のものに関係したことで、前者が原因、後者がその結果のように思うのが普通であろう。上の
ように定義すると、「1 + 1 = 2 ならば√2 は無理数」は真な命題となるが、真偽は別にして、
異様な感じがするのではないか
(引用終り)

以上
563 ：: >>561

>>562をどうぞ
564 ：: >>562
そこまで分かっているのなら、話は早い。
まず、定理C,C1,C2 については、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。

定理C1：
f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ではないならば、f は原点で連続である。

定理C2：
f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で連続である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
この中で、定理C,C1は正しい定理であるが、定理C2も正しい定理である。
なぜなら、定理C2は仮定が偽だから。

なぜ仮定が偽なのかというと、　そ　れ　は　「　定　理　C　」　か　ら　従　う　。
つまり、定理Cにより、f が原点で微分可能ならfは原点で連続なので、
「 f が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密」なんてのは
起こりようが無いのである。ゆえに、定理C2 は仮定が偽である。
仮定が偽の命題は常に真であることに注意して、以上より、定理C2 は正しい定理である。

ここで、話の腰を折るようなことを言うが、定理C が成り立っている時点で、
R－X_f が R の中で稠密か否かなんていう場合分けは不要である。
すなわち、定理C を定理C1, C2 に分解するのは無意味な行為である。
間違った行為ということではないが、しかし無意味である。
特に、このような場合分けにより、定理C2 は仮定が偽の命題となってしまっているので、
このような場合分けの無意味さがより浮き彫りになるであろう。
ゆえに、定理C は定理C のままにすればいいのであり、
定理C1, C2 に分解するのは無意味である。
565 ：: 同じことを定理1.7 でやると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7：
R－B_f が第一類集合ならば、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。

定理1.7.1：
R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ではないなら、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である。

定理1.7.2：
R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
この中で、定理1.7, 1.7.1 は正しい定理であるが、定理1.7.2 も正しい定理である。
なぜなら、定理1.7.2 は仮定が偽だから。

なぜ仮定が偽なのかというと、　そ　れ　は　「　定　理 1.7　」　か　ら　従　う　。
つまり、定理1.7 により、R－B_f が第一類集合なら f はある開区間の上でリプシッツ連続なので、
「 R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密」なんてのは起こりようが無いのである。
ゆえに、定理1.7.2 は仮定が偽である。仮定が偽の命題は常に真であることに注意して、
以上より、定理1.7.2 は正しい定理である。

ここで、話の腰を折るようなことを言うが、定理1.7 が成り立っている時点で、
R－B_f が R の中で稠密か否かなんていう場合分けは不要である。
すなわち、定理1.7 を定理1.7.1, 1.7.2 に分解するのは無意味な行為である。
間違った行為ということではないが、しかし無意味である。
特に、このような場合分けにより、定理1.7.2 は仮定が偽の命題となってしまっているので、
このような場合分けの無意味さがより浮き彫りになるであろう。
ゆえに、定理1,7 は定理1.7 のままにすればいいのであり、
定理1.7.1, 1.7.2 に分解するのは無意味である。

以上により、お前の屁理屈は全滅した。
566 ：: 定理Cを定理C1,C2に分解することの「無意味さ」については、お前も理解しているだろう。

定理C は定理C のままでダイレクトに証明できるので、
R－X_f が R の中で稠密か否かを場合分けする必要は全くないのである。
場合分けして定理C1,C2に分解しても間違いではないが、しかし無意味である。
特に、定理C2は仮定が偽の命題になってしまっているので、より無意味さが浮き彫りになっている。

同じように、定理1.7も、これを定理1.7.1. 1.7.2 に分解するのは完全に「無意味」である。

定理1.7 は定理1.7 のままでダイレクトに証明できるので(証明は例の pdf を見よ)、
R－B_f が R の中で稠密か否かを場合分けする必要は全くないのである。
場合分けして定理1.7.1. 1.7.2 に分解しても間違いではないが、しかし無意味である。
特に、定理1.7.2 は仮定が偽の命題になってしまっているので、より無意味さが浮き彫りになっている。
567 ：: >>564
>定理C1, C2 に分解するのは無意味である。

あなたがしたことは、「定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」
の分解ではなく、
定理Cに余計な条件を追加しただけのことだよ

以前に述べたように、定理1.7に相当するのは、定理Cの裏の
「定理F：
f：R→R は原点で微分不可能とする。このとき、f は原点で不連続である。」
だよ

それで、”f：R→R 原点で微分不可能”な関数を”場合分け”（分解）をしなければならない
１）原点で微分不可能で、不連続な関数
２）原点で微分不可能で、連続な関数
の二つに

で
１）の場合は、定理F成立。
２）の場合は、定理F不成立。
568 ：: >>565-566
その論法は不成立。分解と”条件の追加”との違いは、>>567 に書いた

さて、(>>533より再録)

（>>195より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)

（>>523より）＜言い換え版＞
定理1.7：
f：R → R は、R－B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
(引用終り)

定理1.7のさらに言い換え版
Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）

（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）

ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。

１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能

つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
(引用終わり)

>>533で書いたことは、定理1.7の条件命題の”ベールの第一類集合”を、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に場合分けしただけのことだ
だから、条件を不可して条件命題が偽になる場合とは、全く別物だよ。
詳しくは、>>567をご参照
569 ：: >>568 訂正

だから、条件を不可して

だから、条件を付加して
570 ：: >>567-569
P->Q
という命題を
(P∧Q->Q)∧(P∧￢Q->Q)
と場合分けした上であなたは
P∧￢Q->Q
を不適切と主張している状況なので無意味と指摘されているのですよ
P∧￢Q->Q
の真偽は
P->Q
の真偽と同値だからです
P∧￢Q->Q
という形式の命題が証明されるかどうかは
P->Q
が証明されるかどうかと同値なのですよ
P∧￢Q->Q
という形式が矛盾を含むわけではないのです
なお蛇足ながら
P∧Q->Q
は証明する必要の無い恒真命題でありどのようなP,Qを考えても必ず成立します
571 ：: >>570

これはこれは、「ぷふ」さんだね
どうもスレ主です。

あなたにしては、長文ですね。
おそらく、いままでで最長だろう

まあ、いま職場なので
あとでね
572 ：: >>567
余計な条件でも何でもいいから、とりあえず、

・定理1.7.2 は仮定が偽の命題である

ということは理解しているのか？イエスかノーかで答えよ。
「ノー」と答えた場合は、お前は自動的に

「定理1.7.2 は、仮定が偽とは限らない。すなわち、仮定が真になるような f の具体例がある」

と言っていることになるので、そのような f の具体例を1つ挙げよ。すなわち、

「 R－B_f は第一類集合かつ R－B_f は R の中で稠密」

を満たす f の具体例を1つ挙げよ(あくまでも、「ノー」と答えた場合)。
573 ：: >>568
＞ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。
＞１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
＞２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
＞つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能

どうもお前は、「 P∧ notQ → Q 」という命題が

「どのような P, Q に対しても必ず命題レベルで矛盾している」

と思い込んでいるようだが、実際には、必ずしも矛盾しているとは限らない。
なぜなら、P∧ notQ が偽であるような P,Q に対しては、「 P∧ notQ → Q 」という命題は
仮定が偽になるがゆえに真になるからだ。たとえば、

P：2 は素数である,　Q：7 は素数である

とすれば、P∧ notQ は偽になるので、「 P∧ notQ → Q 」は真である。
一般に、「 P∧ notQ → Q 」が真になるような P,Q の具体例は幾らでも存在する。

[続く]
574 ：: [続き]

従って、場合分けの途中で「 P∧ notQ → Q 」が出てきたからと言って、
そのことだけでは必ずしも「命題レベルで矛盾を含んでいる」とは言えないので、
お前の論法はここで破綻する。それでもお前の論法を続けたければ、お前は

「 P∧ notQ が真になるケースが存在する」

ということを追加で言わなければならない。この場合、「 P∧ notQ → Q 」は偽になるので、
お前の論法が成立することになる。よって、

＞ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。
＞１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
＞２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
＞つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能

この論法は、正しくは次のように書かなければならない。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。
１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」である。
もし P∧ notQ が偽ならば、この命題は仮定が偽の命題だから真ということになるが、
実際には、P∧ notQ が真になるような f の具体例が存在するので、
「 P∧ notQ → Q 」という命題は命題レベルで矛盾を含んでおり、証明不可能。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

[続く]
575 ：: [続き]

このように、お前の論法を成立させるためには、お前は

＞実際には、P∧ notQ が真になるような f の具体例が存在するので、

という文章を追加しなければならないのである。ここで、定理1.7 においては

P： R－B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続

だったことを思い出そう。すると、P∧ not Q という命題は、

「 R－B_f は第一類集合」かつ「 f はどの開区間の上でもリプシッツ連続ではない」… (★)

という意味になる。よって、お前は上記の(★)を満たすような f の具体例を
1つ挙げなければならないのである。でなければ、お前の論法は成立しない。

では、(★)を満たす f の具体例を1つ挙げよ。

先に言っておくが、定理1.7 により、(★)を満たす f は決して存在しないことを指摘しておくｗ
それでも存在すると思うなら、そのような f の具体例を1つ挙げよ。でなければ、お前の論法は成立しない。
576 ：: >>575
ご苦労様です
まず、>>570に回答するね
577 ：: >>570
時間できたから書く

>P->Q
>という命題を
>(P∧Q->Q)∧(P∧￢Q->Q)
>と場合分けした上であなたは
>P∧￢Q->Q
>を不適切と主張している状況なので無意味と指摘されているのですよ

違うよ >>568より
”定理1.7のさらに言い換え版
Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）”

ここで、
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
命題Q’：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）

命題P＝P’∧Q’として、
定理1.7のさらに言い換え版は、P→Q だ

で、命題Q’では、ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合に、二分できる。

１）の場合について、
命題Q’1：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
２）の場合について、
命題Q’2：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」

命題Q＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ

但し、命題Q’2の場合は、暗に”￢Q”を含意していて、お二人とも、それを看過していると

場合分けの２）の場合は
P’∧Q’2→Q
で、Q’2が、”￢Q”を含意しているよと。

つづく
578 ：: >>578 つづき

具体例で考えてみよう

”定理1.7のさらに言い換え版
Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）”

ここで、ある性質G：　f:R → R BfをRの部分集合で、Bf上ｆが連続とする
R－Bf上では、ｆは不連続
R－Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密であるこのような関数の例として、有名なトマエ関数およびその類似関数がある
上記２）の場合のトマエ関数およびその類似関数においては、無理数で連続だが、ｆが連続な”開区間（a,b）⊂Bf”は存在しない
だから、この場合、”定理1.7のさらに言い換え版”で性質Gを、連続 or 不連続に取った場合、トマエ関数およびその類似関数が反例になるよ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。
(引用終わり)

以上
579 ：: >>577
横レスだが、返答する。

＞定理1.7のさらに言い換え版
＞Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
＞R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
＞この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）

バカなの？その書き方だと、定理1.7の言い換えになってないじゃん。少なくとも、「一般の性質G 」を
持ち出す場合は、Bf も R－Bf も性質Gを持つ可能性がある。たとえば、性質Gとして

性質G：その集合は「空集合である∨空集合でない」

という条件を採用すればよい(恒真な条件)。このとき、どんな集合も性質Gを持つので、
Bf も R－Bf も性質Gを持つことになる。特に、

＞（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）

この部分は間違いということになる。ただし、これは一般の性質Gを持ち出した場合である。
お前が実際に性質Gとして想定しているのは、

性質G：その集合は「ある開区間を含む」

というものであるから、Gという一般的な表記は使わずに、最初から決め打ちで
このように書いてしまえばいいのである。お前のようなバカが慣れない一般的な表記を
導入したところで、ボロが出て文章が滅茶苦茶になるだけである。

[続く]
580 ：: [続き]

そして、"性質G：その集合は「ある開区間を含む」" と決め打ちした場合、お前が書いた

＞ここで、
＞命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
＞命題Q’：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
＞（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
＞命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）
＞
＞命題P＝P’∧Q’として、
＞定理1.7のさらに言い換え版は、P→Q だ

この部分は、次のように書けることになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、Bf はある開区間を含むとする」
命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q　：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする」

命題P＝P’∧Q’として、
定理1.7のさらに言い換え版は、P→Q だ
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

[続く]
581 ：: [続き]

すると、明らかに1行目の

＞命題P’：「Bf :Rの部分集合で、Bf はある開区間を含むとする」

の部分が間違っている。定理1.7では、そのような仮定は置いていない。定理1.7では、
「R－B_fは第一類集合」という仮定だけを置いているのであり、「 Bf はある開区間を含む」
などという条件は置いていない。にも関わらず、お前はそのような条件まで仮定してしまっている。
すなわち、お前は定理1.7を正しく言い換えできていない。また、

＞命題Q：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする」

の部分もおかしい。正しくは

命題Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続

と書かれるべきである。G という表記を使って

命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」

と表現してみたところで、

＞命題Q：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする」

というアホな文章が生成されるだけである。

結局、お前のようなバカが慣れない一般的な表記を導入したところで、
このようなボロが出て文章が滅茶苦茶になるだけである。

[続く]
582 ：: [続き]

ちなみに、お前が G を使って命題Qで表現したかったことは

命題Q： B_f はある開区間を含む

ということなのだろうが、これも定理1.7の言い換えとしては不適切である。
なぜなら、B_f がある開区間を含むからといって、f がある開区間の上で
リプシッツ連続であるかどうかは全く自明ではないからだ。実際には、
確かに f はある開区間の上でリプシッツ連続になるのだが、その証明は
全く自明ではなく、定理1.7 の証明とほとんど同じことをしなければ
証明できないのである。すなわち、

命題Q： B_f はある開区間を含む

という書き換えをしたければ、事前に定理1.7を経由しておかなければならないのである。
しかし、今は定理1.7を認める前の話なのだから、そのような経由は許されない。
従って、命題Qは素直に

命題Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である

と書くしかないのである。
583 ：: 以下では、区別のために

Pa： R－B_f は第一類集合
Qa： f はある開区間の上でリプシッツ連続

と置くことにする。

>>577
＞命題Q＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、
＞「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ
＞但し、命題Q’2の場合は、暗に”￢Q”を含意していて、お二人とも、それを看過していると
＞場合分けの２）の場合は
＞P’∧Q’2→Q
＞で、Q’2が、”￢Q”を含意しているよと。

言っていることが支離滅裂である。G を用いた言い換えが正しい言い換えになってない時点で
支離滅裂なのだが、仮に正しい言い換えになっているのだとしても、なお支離滅裂である。
なぜなら、仮に正しい言い換えになっているのだとしたら、お前がそこで定義した P,Q は

P ＝ Pa,　Q ＝ Qa　(ここでの等号は、真偽値が一致するという意味)

を満たすことになり(でなければ正しい言い換えとは言わない)、
よってお前が言うところの

・ P’∧Q’2→Q
・ Q’2が、”￢Q”を含意している

という性質は結局「 Pa∧￢Qa → Qa 」になってしまうので、この時点で、
俺やぷふさんの言っている話に帰着されてしまい、お前のロジックは破綻するからである。
584 ：: >>577
＞場合分けの２）の場合は
＞P’∧Q’2→Q
＞で、Q’2が、”￢Q”を含意しているよと。

ここでは、G を用いた "間違った言い換え" のままで話をすることにする。ゆえに、
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、Bf はある開区間を含むとする」
命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q　：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする」

命題P＝P’∧Q’

命題Q’1：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
命題Q’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

という設定である。この設定のもとで、焦点となっている

P’∧Q’2→Q

という命題の真偽について考えることにする。スレ主は、この命題を
「命題レベルで矛盾している」などとほざいていたが、実際には、
この命題は仮定が偽の命題なので、命題全体としては「真」であるｗ

[続く]
585 ：: [続き]

なぜ仮定が偽なのか？すなわち、なぜ P’∧Q’2 の部分が偽なのか？
それは、実際に P’と Q’2 を書き並べてみれば分かる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
命題P’ ：「Bf :Rの部分集合で、Bf はある開区間を含むとする」
命題Q’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

明らかに、この P’と Q’2 が同時に成立することは無い。
なぜなら、Bf がある開区間を含むなら、R－Bf は R の中で稠密になり得ないからだ。
ゆえに、P’と Q’2 が同時に成立することは無い。すなわち、P’∧Q’2 は偽になる。
そして、これが偽であるがゆえに、P’∧Q’2→Q という命題は真になる。
スレ主が言うような、「命題レベルで矛盾している」などという状況は起きていないのである。

このように、G を用いた言い換えは間違った言い換えであるばかりか、
その言い換えのもとでは「 P’∧Q’2→Q 」は確実に真ということになるので、
スレ主が言うような「命題レベルで矛盾している」などという状況は起きておらず、
スレ主のロジックは破綻する。

また、正しい言い換えで考えた場合は、そもそも最初から Pa, Qa (>>583)で
考えるのと真偽値が同じになるので(そうでなければ正しい言い換えとは言わない)、
その場合は俺やぷふさんが指摘したことによって、スレ主のロジックは破綻する。

すなわち、いずれにしてもスレ主のロジックは破綻する。
バカの考え、休むに似たり。
586 ：: ＞が、いま問題にしている病的関数
一番病的なのはスレ主
末期痴呆症
587 ：: >>545 自己レス

「細かい点は、後刻」と書いたが、>>577-578及び>>567-569に詳しく書いたので、そちらを見て下さい
588 ：: >>586 （＾＾

"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"

私スレ主は、「ぷふ」さんに賛成です（＾＾
589 ：: あなたは、定理1.7に賛成なんだろ？
もっとはっきり言ってあげたらどうかね？

「定理1.7は素晴らしい」とか
そうすれば、"君は
自分が数学的発言を一切していないことに思いを致すべきかな"という批判に、多少応えたことになる
590 ：: >>579
ご苦労さまです

>性質G：その集合は「空集合である∨空集合でない」
>という条件を採用すればよい(恒真な条件)。このとき、どんな集合も性質Gを持つので、
>Bf も R－Bf も性質Gを持つことになる。
>＞（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
>この部分は間違いということになる。

それ勘違いだろ。
「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」の部分は、それ定義だから
つまり、>>568 定理1.7の「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」の定義部分で
”{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を、”Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする”としただけだから
補集合は、必ず、”性質NGを持つ”ことになる。それ集合論の基本だよ（下記など）

>性質G：その集合は「ある開区間を含む」
>というものであるから、Gという一般的な表記は使わずに、最初から決め打ちで
>このように書いてしまえばいいのである。

いやいや、こうやって、性質Gを抽象化することで、数理の真相がよく分るんだ
つまり、”性質G”は開集合が取れるかどうかには殆ど影響せず、”補集合 R－BfがR中で稠密か否かが決定的”だということ

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%AE%E9%9B%86%E5%90%88
差集合
(抜粋)
補集合
(引用終り)
591 ：: >>580-582
>そして、"性質G：その集合は「ある開区間を含む」" と決め打ちした場合、お前が書いた

何だよ、勝手に話を、自分流に解釈して、命題P、Qなどを書き換えてしまったのかい？

違うよ >>577より、ここを詳しく解説すると

”定理1.7のさらに言い換え版
＜条件（仮定）＞
・命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
・命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
＜結論＞
・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」

命題P’、Q’、Qの意味は、上記の通りだよ

この前提で、”命題Q’では、ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合に、二分できる。”としている
以上

なお、>>590より ”いやいや、こうやって、性質Gを抽象化することで、数理の真相がよく分るんだ
つまり、”性質G”は開集合が取れるかどうかには殆ど影響せず、”補集合 R－BfがR中で稠密か否かが決定的”だということ”を再度強調しておくよ
592 ：: 開写像と連続の違いを教えて
なぜ開写像が連続の定義じゃダメなのかも
593 ：: えーと、あと、これか？

>>572-575

まず、最初に>>562に桂田祐史の講義で例示しているが
命題が真というだけなら
”例1.6 「1 + 1 = 2 → √2 は無理数」は真。「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”ってことだよ

だが、「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は、条件命題が偽で、全体の命題としては真だ
だが、それは教科書は論文の定理としては、相応しくないだろ？相応しいと主張したいのか？

さて
>・定理1.7.2 は仮定が偽の命題である

えーと>>565より
”定理1.7.2：
R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である。”

だったね？　「仮定が偽の命題である」かどうか？
それは、別に証明されるべきだろ？
というか、それが本来証明されるべき数学の真っ当な定理としての命題だよ

まあ、あなたは、そういう関数f：R → R は存在しない（空集合）と言いたいわけだ

だったら、
”R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、そういう関数f：R → R は存在しない（空集合）”という命題を立てて証明すべき
”R－B_f が第一類集合かつ R－B_f が R の中で稠密ならば、そういう関数f：R → R はある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”
という命題は立てるべきではない

その証明は、定理1.7を証明したと主張する人の義務であって、他人に要求すべきものではないだろう
（繰返すが、まっとうな数学の定理としては、条件命題の真偽は別にきちんと確認なり証明すべきことだと思うよ。
　そうでなければ、”「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”（桂田祐史）と言っているのと同じだろ？）

なお、定理1.7で一番のキモは、”R－B_f が R の中で稠密”な場合の扱いであるということを、再度強調しておくよ

以上
594 ：: >>592
どうも。スレ主です。

それな、下記の”分からない問題”スレにも投稿してな
それで、解決しない場合に戻ってきて

なお、もし戻ることになるなら、出典を明示するように
できれば、”分からない問題”スレに投稿するときも、出典明示した方が良いと思うよ

分からない問題はここに書いてね440
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1516423026/
595 ：: >>594
どもです
596 ：: >>590
＞”{x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を、”Rの部分集合で、
＞ある性質Gを持つとする”とただけだから
＞補集合は、必ず、”性質NGを持つ”ことになる。それ集合論の基本だよ（下記など）

一般の性質Gを考えた場合、お前のその発言は間違っている。たとえば、性質Gとして

性質G：その集合は「空集合である∨空集合でない」

という条件を採用すればよい(恒真な条件, >>579)。
このとき、どんな集合も性質Gを持つので、Bf も R－Bf も性質Gを持つことになる。特に、

＞（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）

この部分は間違いということになる。
597 ：: >>590
＞何だよ、勝手に話を、自分流に解釈して、命題P、Qなどを書き換えてしまったのかい？

お前の持ち出した

命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」

という命題が、もともとの結論である

命題Qa：f はある開区間の上でリプシッツ連続である

と一致するためには、性質G として一般的なものを採用することが出来ない。
すなわち、正しい言い換えになるような特定の G に決め打ちしなければ、
定理1.7 の言い換えにならないのである。ゆえに、こちらで G の実態を推測して
決め打ちしたのである。自分流もクソもない。お前が持ち出した G とかいう
ゴミのような書き方が原因である。読み手に大きな推測をさせなければ
意味が伝わらないようなゴミのような文章を書いているお前の責任である。
598 ：: >>590
そして、G として実際には何を採用すればいいのかというと、1つの採用の仕方は、
既に書いたように、"性質G：その集合は「ある開区間を含む」 " というものである。
しかし、この場合、命題Q は

命題Q　：「R中にある開区間の上で、その開区間はある開区間を含むとする」

というアホな日本語に置き換えられるので、Qa と一致しない。
今度は Qa を基準にして G を探ってみると、

性質G： f はその集合の上でリプシッツ連続である

とすれば、命題Q は正しく Qa に置き換えられる。しかし、今度は

命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」

の部分がおかしなことになる。なぜなら、この部分は

命題P’：「Bf :Rの部分集合で、f は B_f の上でリプシッツ連続である」

というものになってしまうからだ。定理1.7 では、このような仮定は置いていないし、
一般論として考えてみても、f は必ずしも B_f の上でリプシッツ連続ではないので、
結局、この G でも正しい言い換えにならなくなる。

では、G として一体何を採用すれば、正しく定理1.7 の言い換えが出来るようになるのか？
俺は知らないｗ
スレ主とかいうゴミクズが勝手に G を導入しただけであるから、真相はスレ主しか知らない。
599 ：: >>590
キリがないので、G を決め打ちせずに、抽象的な G のままで話を進めることにする。
このとき、スレ主の言い分は次のようなものである。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
命題Q’：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」

P＝P’∧Q’と置く。P → Q が真であるか否かを考えたい。R－Bf について、

(1) R中稠密でない場合、(2) R中稠密な場合

の2つに場合分けすることにする。すなわち、以下の2つのケースに場合分けすることにする。

命題Q’1：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
命題Q’2：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」

(2) の場合は、暗に "￢Q" を含意していることに注意する。また、(2) の場合は、

P’∧Q’2 → Q

という命題になっている。この命題は「命題レベルで矛盾している」ので、証明不可能。
すなわち、(2)の場合は「命題レベルで矛盾している」ので、証明不可能。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

これがお前の言い分であるが、>>573-575 で既に指摘したように、
(2)のケースは必ずしも命題レベルで矛盾していないことに注意せよ。
なぜなら、P’∧Q’2 が偽の場合は、「 P’∧Q’2 → Q　」全体は真になるからだ。
従って、お前の上記の言い分はここで失敗に終わることになる。

600 ：: それでもなお、上記の論法を続けたいなら、お前は
P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げなければならない。
でなければ、(2)が命題レベルで矛盾していることが言えていない。
すなわち、お前は次のように主張しなければならない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)の場合は、P’∧Q’2 → Q という命題になっている。もし P’∧Q’2 が
常に偽ならば、命題全体としては真ということになるが、しかし実際には、
P’∧Q’2 が真になるような f の具体例が存在するので、P’∧Q’2 → Q という命題は
命題レベルで矛盾を含むことになり、証明不可能である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

では、P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げよ。

もちろん、定理1.7の正しい言い換えが得られるような性質G のもとで、な。
601 ：: >>593
＞だが、「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は、条件命題が偽で、全体の命題としては真だ
＞だが、それは教科書は論文の定理としては、相応しくないだろ？相応しいと主張したいのか？

そのような命題が「全体の命題としては真」であることを認めるなら、
お前の論法はそこで破綻することになる。
なぜなら、お前は (2) のケースを無条件で「命題レベルで矛盾している」と言い張っていたからだ。
実際には、(2) のケースは必ずしも矛盾しているとは言えない。まず、

P∧ notQ → Q

という命題の場合には、この命題は必ずしも矛盾していない。
なぜなら、P∧ notQ の部分が偽なら、命題全体としては真だからだ。同じく、

P’∧Q’2 → Q

という命題の場合にも、この命題は必ずしも矛盾していない。
なぜなら、P’∧Q’2 の部分が偽なら、命題全体としては真だからだ。

それでもなお、(2) のケースを「矛盾している」と主張したいのなら、
お前は P∧ notQ や P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げなければならない。

では、そのような f の具体例を1つ挙げよ。
もちろん、定理1.7の正しい言い換えが得られるような性質G のもとで、な。
602 ：: >>593
＞だったね？　「仮定が偽の命題である」かどうか？
＞それは、別に証明されるべきだろ？
＞というか、それが本来証明されるべき数学の真っ当な定理としての命題だよ

定理1.7 により、定理1.7.2 は仮定が偽の命題であることが即座に従うｗ

＞その証明は、定理1.7を証明したと主張する人の義務であって、他人に要求すべきものではないだろう

証明は既に終わっている。
定理1.7 により、定理1.7.2 は仮定が偽の命題であることが即座に従うｗ
603 ：: >>593
＞なお、定理1.7で一番のキモは、”R－B_f が R の中で稠密”な場合の扱いであるということを、再度強調しておくよ

間違っている。定理1.7 では、R－B_f が R の中で稠密かどうかという場合分けは全く必要ない。
場合分けしても間違いではないが、しかし無意味である。
……俺のこのような意見に対して、お前は次のような論法を使って批判してきたのだった。

・ R－B_f が R の中で稠密かどうかを場合分けせずに、定理1.7 が証明できるわけがない。
・実際、定理1.7 を (1),(2) で場合分けすれば、(2) のケースは命題レベルで矛盾している。
・ゆえに、定理1.7 は (1) のケースでしか証明できないはずだ。

しかし、お前のこの論法には大きな穴があることを何度も指摘した。具体的には、
(2)が命題レベルで矛盾していると主張するお前のロジックに大きな穴がある。
なぜなら、もし(2)の仮定の部分が偽ならば、(2)は命題として真になるからだ。
すなわち、もし(2)の仮定の部分が偽ならば、お前の上記の批判は効力を失うことになるのである。
従って、(2)が矛盾していると主張するためには、(2) の仮定の部分が真になるような
f の具体例を1つ挙げなければならないのである。すなわち、お前は P∧ notQ や P’∧Q’2 が
真になるような f の具体例を1つ挙げなければならないのでる。でなければ、お前の上記の批判は成立しない。

では、そのような f の具体例を1つ挙げよ。
すなわち、P∧ notQ や P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を1つ挙げよ。

もちろん、定理1.7の正しい言い換えが得られるような性質G のもとで、な。
604 ：: >>577
>命題Q＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ
>
>但し、命題Q’2の場合は、暗に”￢Q”を含意していて、お二人とも、それを看過していると
Q=Q'1∨Q'2であってかつQ'2が￢Qを含意しているとは意味不明です
含意するとは￢Q->Q'2が真という意味ですか？ならば
￢Q->Q'2が真とQ'2->Qが真ということから￢Q->Qが真ということが出ますが
それはQが真（fによらず真）ということを意味していますよ
あるいはQ'2->￢Qが真という意味ですか？ならば
￢Q=￢Q'1∧￢Q'2->￢Q'2が真ですのでQ'2->￢Q'2が真となり
それはQ'2が偽（fによらず偽）ということを意味します
605 ：: >>595

どうもスレ主です。
あんまりレスついていなようだが、下記旧分からない問題スレ438で類似質問があり、319にレスがついているのでご参考
なお、あまりに漠然とした質問だと、レスが付きにくい。ここまで分かって、ここからが分からないという書き方が良いと思うよ

分からない問題はここに書いてね438
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1511609929/318-319
318 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/03(日) 23:39:05.39 ID:YCdbXvQv
位相空間(S,O)から(S',O')への写像fで、連続写像でも閉写像でもないが開写像となるような写像。連続写像でも開写像でもないが閉写像となるような写像。
このような写像は存在しますか？それぞれの例を教えて下さい。
(引用終わり)
606 ：: >>596-603

いっぱい書いたね
スレが、パンクしそうだよ
いま職場なのであとでな
607 ：: >>577 ごめん訂正

命題Q＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ
　↓
命題Q’＝Q’1∨Q’2 と書けると言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではないよ

補足：
命題Q＝Q’1∨Q’2 と書ける → 命題Q’＝Q’1∨Q’2 と書ける
ということ
最初の書き方だと、まったく意味不明でした。「’」一つで意味が変わってしまう。こわいこわい。
試験では注意しましょうね。答案の提出前点検が必要だよ（＾＾
608 ：: >>604
どうもスレ主です。
これは、「ぷふ」さんですね

>Q=Q'1∨Q'2であってかつQ'2が￢Qを含意しているとは意味不明です

すみません。訂正>>607を入れましたｍ（＿＿）ｍ

>>577より
命題Q’2：「Bf :R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」

命題Qは、>>591
＜結論＞
・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
(引用終わり)

です。
Bfが性質Gを持ち、補集合R－Bfが性質NGを持つ。
補集合R－Bfが、「ベールの第一類集合で、R中稠密である」との仮定から、「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ」は否定されます。

言いたいことは以上です。
訂正と回答です。
609 ：: まだ書き込めるかなっと。
610 ：: もういっちょ
まだ書き込めるかなっと
611 ：: おっ、意外といける
まだ書き込めるかなっと
612 ：: 虚しくなってきたのでこれで最後にします
まだ書き込めるかなっと
613 ：: ご苦労様でした。
614 ：: おっちゃんです。
スレ主君、元気ですか？

じゃ、おっちゃん寝る。
615 ：: 意外だったが、「プ」君とスレ主とが別人(らしい)ということは分かった。
616 ：: 寝ている途中でたまたま起きて書いたに過ぎず、
このまま続けて書くと睡眠不足になるのでまた寝ます。

じゃ、おっちゃん寝る。
617 ：: >>588
”息をするように間違言えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。”

ID:hREHM7MHさんに賛成です（＾＾
618 ：: 新スレを立てた。このスレはもうすぐ512KBオーバーで書けなくなる。そのときは下記新スレへどうぞ
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1518094687/
現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む51
619 ：: >>617
そうそう、それで良い
それでこそ男の子だ
母親のスカートの中に隠れるようなまねで、逃げ回っていたらだめだ。
数学でも同じだ
620 ：: >>614-616
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう

>意外だったが、「プ」君とスレ主とが別人(らしい)ということは分かった。

おっちゃん、にもようやく分ってもらって、安心しました（＾＾
まあ、思うに、「プ」さんはきっと数学科出身みたいだね
そんな雰囲気がある
私らド素人とは、思考方法が違う
そこらは、彼の書き込みをみれば、すぐ分るでしょ？（＾＾
621 ：: >>617
>”息をするように間違言えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。”

全て当たっている。正しい。（＾＾
だが、定理1.7についての問題点は、あなたにも分るように、再度整理しますよ（＾＾
ここは、ゆずるつもりはない
順次書いていくので、少々お待ちください
622 ：: 逃げぷは完全に間違ってるよ　少なくとも時枝記事では
本人も悟ったか逃げに徹しているｗ
623 ：: >>618

あとを続けるには、”余白が狭すぎる”ので、新スレに移ってください。
ここは、あとで、>>605関連の連続写像のコピペでも貼って埋めます

http://dic.nico
video.jp/a/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
単語記事: フェルマーの最終定理ニコニコ大百科
(抜粋)
私はこの定理について真に驚くべき証明を発見したが、ここに記すには余白が狭すぎる。（フェルマー）
(引用終わり)
624 ：: >>592
知っていると思うが、下記を貼る（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E5%86%99%E5%83%8F%E3%81%A8%E9%96%89%E5%86%99%E5%83%8F
開写像と閉写像
(抜粋)
位相空間論において、開写像 (open map) は2つの位相空間の間の開集合を開集合に写す関数である[1]。つまり、関数 f : X → Y が開であるとは、X の任意の開集合 U に対して、像 f(U) が Y において開であるということである。同様に、閉写像 (closed map) は閉集合を閉集合に写す関数である。
開写像が閉写像であるとは限らないし、閉写像が開写像であるとも限らない[2]。
開写像も閉写像も連続であるとは限らない。それらの定義はより自然に見えるが、開写像や閉写像は連続写像よりはるかに重要でない。定義によって関数 f : X → Y が連続であるとは Y のすべての開集合の原像が X において開であるということであることを思い出そう。（同じことであるが、Y のすべての閉集合の原像が X において閉であるということである。）

例[編集]
すべての同相写像は開、閉、連続である。実際、全単射な連続写像が同相写像であることと開写像であること、あるいは同じことだが、閉写像であることは同値である。

Y が離散位相を持っていれば（すなわちすべての部分集合が開かつ閉であれば）すべての関数 f : X → Y は開写像かつ閉写像である（が連続であるとは限らない）。例えば、R から Z への床関数は開かつ閉だが、連続でない。この例は連結空間の開あるいは閉写像による像が連結であるとは限らないことを示している。

つづく
625 ：: >>624 つづき

性質[編集]
関数 f : X → Y が開であることとすべての x ∈ X と x のすべての（いくらでも小さい）近傍 U に対して f(x) のある近傍 V が存在して V ⊂ f(U) であることは同値である。

X の基底について開かどうかを調べれば十分である。つまり、関数 f : X → Y が開であることと f が基本開集合を開集合に写すことは同値である。

開および閉写像の定理[編集]
いつ写像が開あるいは閉であるかを決定するための条件を持っていることは有用である。以下はこれらのラインに沿ったいくつかの結果である。

閉写像補題 (closed map lemma) は次のように述べている。コンパクト空間 X からハウスドルフ空間 Y へのすべての連続関数 f : X → Y は閉かつ proper （すなわちコンパクト集合の逆像はコンパクトである）である。この結果の変種は次のように述べている。局所コンパクトハウスドルフ空間の間の連続関数が proper であれば閉でもある。

関数解析において、開写像定理は次のように述べている。バナッハ空間の間のすべての全射連続線型作用素は開写像である。

複素解析において、同じ名前の開写像定理は次のように述べている。複素平面の連結開部分集合上定義されたすべての非定数正則関数は開写像である。

定義域の不変性（英語版）定理は次のように述べている。2 つの n-次元位相多様体の間の連続かつ局所単射関数は開でなければならない。

(引用終り)
626 ：: >>624
連続が単に定義であるなら、開写像かつ逆写像が連続であるではなぜいけないんだろう
元の連続の定義よりより強くていいと思うんだけど
一方向だげ満たすというのがどうも気持ち悪い
627 ：: 訂正
開写像かつ逆写像が開を連続である
628 ：: >>626-627
どうも。スレ主です。

そこらは、私も不得意科目なので・・、一緒に勉強しよう（＾＾
えーと、図があるといいね・・、と・・、下記に図二つあるが、これどう？

あと、”ｆ：Ｘ→Ｙを連続写像とする。
ＡをＸの開集合とする。
このとき、ｆ（Ａ）がＹの開集合になるとは限らない。
例えば、次のように定める。
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
このとき、開区間（－１、１）の像はｆ（－１、１）＝[０、１）となって開区間ではない。”

の例示はどうかな？　分り易いんじゃないかな？

http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/syazourenzokusei.html
連続写像（距離空間ｖｅｒ）理系インデックス
(抜粋)
参考
なぜ、Ｂ２１（１）～（３）が写像の連続性を表していることになるのだろうか？
そこで、とくに（２）に注目してみよう。
点ａで連続な写像を図示すると、
・・
不連続の場合、δをどのようにとってもｆ（Ｓ（ａ、δ））⊂Ｓ（ｆ（ａ）、ε）となるようにできない。

Ｂ２２（連続性に対する同値条件～その２）
（Ｘ，ｄＸ）、（Ｙ，ｄＹ）を距離空間とする。
ｆ：Ｘ→Ｙを写像とする。
このとき、次は同値である。
（１）　ｆは連続写像である。
（２）　任意の開集合Ｏ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｏ）はＸの開集合になる。
・・
（（４）（５）略す）

参考
ｆ：Ｘ→Ｙは連続写像でないとする。
このとき、次が成り立つとは限らない。
（式と図略す）

参考
次のような関数を『ディリクレの関数』という。
略
このとき、開区間（１/２、３/２）の逆像は有理数全体である。
しかし、有理数全体は開集合でない。
実際、点ｑ∈Ｑに対し、ε近傍（ｑ－ε、ｑ＋ε）をとると、必ずここには無理数が属する。
これはＱが開集合でないことを意味する。（※Ｂ７）

参考
ｆ：Ｘ→Ｙを連続写像とする。
ＡをＸの開集合とする。
このとき、ｆ（Ａ）がＹの開集合になるとは限らない。
例えば、次のように定める。
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
このとき、開区間（－１、１）の像はｆ（－１、１）＝[０、１）となって開区間ではない。
(引用終り)
629 ：: >>628
ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
の例についてはよく挙がるけど、
g：R→R、g(x) ＝ √x
とすると、これは同じ理由で逆写像が開にならないと思うんだけど、
どう考えたらいいだろう。
630 ：: >>629

どうも。スレ主です。
いやー、難しい質問だね

>ｆ：R→R、f(x) ＝ x^2
>の例についてはよく挙がるけど、
>g：R→R、g(x) ＝ √x
>とすると、これは同じ理由で逆写像が開にならないと思うんだけど、
>どう考えたらいいだろう。

それ、考えている世界が、ｆ：R→R の一価の実関数でしょ
だから、それ実は、ｆ：[0, +∞） → [0, +∞）∈R という”始域→終域”で考えているわけかな
（全体集合が、 [0, +∞）∈Rだと）
だから、原点0は端点で、それ以外の点とは扱いが違うのでは？
631 ：: >>630 つづき

あと、これどうかな？
これも、端点0は、別扱いだ
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11132416991
(抜粋)
yawara1312さん2014/7/2614:07:19 yahoo
√xが[0,∞)で連続であることを示せ
ε-δ論法を用いて証明する問題なのですが考え方がわかりません。

ベストアンサーに選ばれた回答
macchingnさん 2014/7/2619:04:47

[1]まず、√x→√a (x→a) (a>0)を示します。
つまり、∀ε>0, ∃δ>0 s.t. |x-a|<δ ⇒ |√x-√a|<εを証明します。

δ=ε√aとすると上手くいきます。

|√x-√a|=|x-a|/(√ｘ+√a)
<δ/(√ｘ+√a) （|x-a|<δより）
<δ/√a
=ε （δ=ε√aより）
したがって、 |√x-√a|<ε

[2]次に、√x→0 (x→+0)を示します。
∀ε>0, ∃δ>0 s.t. 0≦x<δ ⇒ √x<εを証明します。

δ=ε^2とすれば、0≦x<ε^2 ⇒ √x<ε となるので、
[0,∞)で連続であることが証明できました。
(引用終り)
632 ：: >>630-631

>原点0は端点で、それ以外の点とは扱いが違うのでは？

[0, +∞）∈R のような端点を持つときは
下記の”（３）　任意の閉集合Ｆ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｆ）はＸの閉集合になる。”と、閉集合（閉区間）の方が相性がよさそうかな
つまり端点を扱うためには、[0,+δ]と閉区間で扱う方が、すっきりしている

（>>628より）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/syazourenzokusei.html
連続写像（距離空間ｖｅｒ）理系インデックス
(抜粋)

Ｂ２２（連続性に対する同値条件～その２）
（Ｘ，ｄＸ）、（Ｙ，ｄＹ）を距離空間とする。
ｆ：Ｘ→Ｙを写像とする。
このとき、次は同値である。
（１）　ｆは連続写像である。
（２）　任意の開集合Ｏ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｏ）はＸの開集合になる。
（３）　任意の閉集合Ｆ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｆ）はＸの閉集合になる。

(引用終り)
633 ：: あと、１レスで512KBオーバーかな
634 ：: まだあれば、512KBオーバーは次スレな
635 ：: >>632 補足
開集合のままでも、端部の0を含む区間は[0, +δ)になって開集合から外れるので、「（２）　任意の開集合Ｏ⊂Ｙに対し、ｆ^-1（Ｏ）はＸの開集合になる。」とは矛盾しないのだが・・
636 ：2018/02/12: こうやって、ちびちび書くと暫くもつが、量が多いと１レスでアウトなんだ（＾＾

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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む50

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