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統計学Part17
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As can be seen from the definition, the gauge integral has very much the same flavor as the Riemann integral, being obtained from a slight modification of the Riemann integral, and does not require a lot of technical apparatus for its introduction as is the case for the Lebesgue integral.
However, despite the elementary appearance of the gauge integral, it leads to a very powerful theory of integration which encompasses the Riemann integral, the Cauchy-Riemann (improper Riemann) integral, and the Lebesgue integral.
For this reason, the gauge integral would seem to be a very reasonable candidate for inclusion in an introductory real analysis course; it is as conceptually easy to describe as the Riemann integral and yet possesses all of the powerful properties of the Lebesgue integral including the Monotone and Dominated Convergence Theorems.
Remarkably, this simple modification of the Riemann integral was not introduced until approximately a century after Riemann's introduction of his integral in 1854.
The gauge integral was independently introduced by Kurzweil [6] and Henstock [4]; Kurzweil used the integral to treat some questions in ordinary differential equations but did not develop any of the deep properties of the integral; Henstock established the convergence theorems for the integral.
The interested reader can find very readable expositions of the gauge integral in [5], [8], [9].
E. J. McShane also treats a "gauge-like" integral in [10], [11]; he alters the definition above by dropping the requirement that the tag ti belongs to its corresponding subinterval. The resulting integral is, surprisingly enough, exactly equivalent to the classical Lebesgue integral.
(引用終り)
以上
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