現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18
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１．時枝問題（数学セミナー201611月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
２．続けて時枝はいう
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= no → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd(実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
３．つづき
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，SlOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
どの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， S^1〜S^(k-l),S^(k+l)〜SlOOの決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・.いま
D >= d(S^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってS^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s~k) が取り出せるので
列r のD番目の実数r(D)を見て， 「第k列のD番目の箱に入った実数はS^k(D)＝r(D)と賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
つくづく、数学表現に不便な板だ
上付き添え字、下付添え字が使えない
おっと訂正
>>3
∃n0：n >= no → sn＝ s'n とき
↓
∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき
>>4
S^1,S^2，・・・，SlOO
↓
S^1,S^2，・・・，S^lOO
(補足)
>>3
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：D+1などは下付添え字
>>4
S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・：^kは上付き添え字、(D+l)などは下付添え字
一貫校の秀才中学生にも分かるように、「時枝解法が成り立たない」ことを解説する
記号を整備しておく
実数の集合R、有利数の集合Q、整数の集合Z
実数列の集合 R^Nにならって、有利数列の集合 Q^N、整数列の集合 Z^N
あと、一桁の整数の集合Z<1>=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝、同様に2桁の整数の集合Z<2>、・・・、n桁の整数の集合Z<n>
ついでに、n桁以下の整数の集合Z<-n>としよう。Z<-n>の濃度card(Z<-n>)≒10^n(10のn乗)だ
＜訂正＞
どの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
↓
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
＜解説＞
「s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.」
ここトリックなんだよね
・これは、正しい。が、これは、数列が、実数R^N、有理数Q^N、整数Z^Nに関わらずなりたつ
（Z<n>などでも同じ）
・つまり、１００列が、条件が同じであれば、k列が１番になる確率は、1/100ってこと。単純な話だ
・そして、実数か、有理数か、整数か、などに無関係ということを強調しておく
・この数列は、Z<1>^Nに属する
・私が、あなたに、「箱には、πを使って、各１桁の数字を入れた」と宣言しよう
・もし、あなたが、数字を当てたいならば、数列の同値類と代表元は、Z<n>^Nから選ぶべき
・が、整数列Z^Nから同値類と代表元を選べば、代表元には一桁以外の無数の整数が含まれるから、当たる確率は減る
・詳しく書けば・・、例えば、数列が２列だったとする
・１列目の決定番号がDとする
・２列目で、D＋１番目より先の箱を開け、同値類と代表を取り出す
・確率５割が時枝理論だが、別の観点から見ると、Dは１桁の数字だから、確率は1/9
・しかし、もし桁数無制限の整数列Z^Nから同値類を選んだら？ 代表には一桁以外の整数が含まれるから、Dは１桁の数字に限られず、当たらなくなる
・もし、有理数列Q^Nから同値類を選んだら？ ますます当たらない。実数列R^Nならますますだ
・ここで、気付く
・条件が同じであれば、１００列だったら1/100。２列だったら、1/2。それは当然だが
・しかし、上で見たように、「箱には、πを使って、各１桁の数字を入れた」と分かっているなら、実数列R^Nの同値類は使うべきでなく、使うべきはZ<1>^Nの同値類なのだ
>>6-8では、正の数に限定しています。（負の数でも可だが、負の数を除いても、本質は同じだから）
さて私は、前スレ>>713で、箱に電話番号を入れることを提案した
・簡単のために、１０桁の整数を入れるとしよう
・数列は、>>6の記号でZ<10>^Nに属する
・もし、>>8と同じように、あなたに、「箱には、電話番号を使って、各１０桁の数字を入れた」と宣言しよう
（例えば、簡単に東京の03-xxxx-yyyyで、0を1に置き換えて、13-xxxx-yyyyとすれば良い）
・お分かりのように、もし、それを聞いたあなたが、数字を当てたいならば、数列の同値類と代表元は、Z<10>^Nから選ぶべき
・もし、実数列R^Nから選べば、的中確率はぐんと落ちる（実数列R^Nから選んで、１０桁の整数が出る理屈がない）
・さて、時枝理論の1/100や1/2を思い出そう
・Z<10>^Nから同値類を選ぼうが、R^Nから選ぼうが、各列の条件は同じだから、1/100なり1/2なりは不変。それは正しい
・でも、上記の通り的中確率は変わっている＊）
・だから、ここがマジックだと
＊）１０桁の整数になれば、的中の確率は、1/100さえありえない
が、各列の条件が同じだから、ある列が１００列中１番になる確率は1/100であることは不変で、正しい。R^NであろうがZ^NであろうがZ<10>^Nであろうが
では
> ・私が、あなたに、「箱には、πを使って、各１桁の数字を入れた」と宣言しよう
> ・もし、あなたが、数字を当てたいならば、数列の同値類と代表元は、Z<n>^Nから選ぶべき
なんでｗ
1桁の数字を各箱に入れたと分かっていながら、どうしてn桁の整数の列Z<n>^Nを考えるんだ？
> ・確率５割が時枝理論だが、別の観点から見ると、Dは１桁の数字だから、確率は1/9
なんでDが1桁なんだ？πを一桁ずつ箱に入れたんだろ？
無限に続くZ<1>の列Z<1>^Nを考えているんだから、Dは自然数全体を取る。
自分で勝手に問題を設定して自分で混乱してるじゃんｗなにやってんのさ。
もうそういうのやめろよ。
時枝の戦略に正面から向き合ってくれ。
余計な設定は要らん。間違った例はもうたくさん。
スレ主は主張してることがコロコロ変わってるんだが、そのへん自覚してる？ｗ
・時枝は問題をすり替えている、とか、
・（条件付確率を理解できずに）D >= d(s^k)となる確率は1/∞だ、とか
・日常感覚ではDが大きすぎて役に立たないから間違いだ、とか
・エントロピーはほとんど変化しないから間違いだ、とか
・Dが∞になることがあるから間違いだ、とか。
自分の間違いはしっかり認めてから先へ進んでくれよな。
俺も馬鹿だからよく間違えるが、
自分の間違いをwebに泳がすのは恥ずかしいから
指摘内容を理解したらすかさず認めるぞ。
スレ主は恥ずかしくないの？まあ匿名掲示板だから恥ずかしくないかｗ
>>9
> ・もし、実数列R^Nから選べば、的中確率はぐんと落ちる（実数列R^Nから選んで、１０桁の整数が出る理屈がない）
何十回も同じことを言っている気がするが、時枝の戦略はそのような確率を扱わない。
『箱の中身が属するZ<10>^Nの類を、R^Nの同値類から正しく選べるかどうかは確率的に決まる。その確率はほぼゼロである』
スレ主はこのようなことを主張しているのだろう。
しかしR^Nの同値関係~に矛盾がなければ、
ある実数列（あるいは整数列）がR^N/~のどれに属するかは
同値類への自然な射影R^N→R^N/~により自然に決まるのであって
スレ主が言うように確率的に類が選ばれるのではない。
このように、ある実数列が属する類は自然に決まる。
類が決まればその類の代表元との比較により決定番号が決まる。
ゲームの勝負は決定番号の大小関係で決まる。
これが記事の戦略だ。
スレ主の論理の拠り所を俺は否定した。
俺の言うことを認めるのか？認められないのか。
認められないなら何が認められないのか、
イチイチ別の例を出さずに直接的に答えろ。
身勝手かつ間違った例を次々に出して他人を説得しようとするな。
スレ主のせいで話が発散するばかり。一向に収束しない。
記事に書いてある戦略の内容だけに論点を絞れよ。
記事のどこが間違っているのかを論理的に明快に書け。
書けないなら記事の論理が正しいかもしれないということを認めるしかないだろう。
さて、>>4の時枝解法をいくつかのプロセスに分けてみよう
１．箱を100列に並べる
２．列を一つ選ぶ。第k列とする。
３．第k列以外の箱を開け、各列の決定番号を決める。その最大値をDとする
４．第k列の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける
５．開けた箱から、>>3に記載された方法で、実数列の集合 R^Nの同値類を決める
６．ここで、第k列の属する同値類の代表r＝r(S^k)が決まる。が、まだ袋の中で取り出していないとする
７．代表を袋から取り出す。ここで、二つの場合に分かれる。1) D >= d(S^k)か、2) D ＜ d(S^k)か
８．2)の D ＜ d(S^k)の場合、d(S^k)は具体的な数として確定する。1) のD >= d(S^k)の場合は、d(S^k)は未確定。全ての箱を開けて、確定する
９．時枝は、1) のD >= d(S^k)である確率は、99/100だと主張する。そして、1)に賭けてS^k(D)＝r(D)だという
ここで、Dが他の99列の最大値ということを一旦忘れて、ともかくなにかの方法でDが決まったとする
そして、第k列の(D+1) 番目から先の箱だけを開け、同値類を決める。代表の入った袋が分かる
上記７で二つの場合、1) D >= d(S^k)か、2) D ＜ d(S^k)か
ここで、第k列の決定番号d(S^k)の取り得る範囲を、冷静に考えてみると、可算無限の数列を考えているから、その範囲は１〜∞
だから、Dが小さな値であれば1) のD >= d(S^k)である確率は小さく、Dが大きな値であれば1) のD >= d(S^k)である確率は大きい
つまりは、この場合においては、1) のD >= d(S^k)である確率は、Dの大小によるということが分かる
では、Dの決め方が、他の99列の最大値であったら？
上記の議論は、Dの決め方には、何の制約も無い。だから、Dの決め方が、他の99列の最大値であったとしても、成り立つ
だから、Dに依存せずに、「確率は、99/100」とは言えない。
全てのDを考えて、平均を取れば、99/100だろう
（時枝トリック）
１．Dを決める。第k列の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける
２．(D+1) 番目から先の箱だけで、同値類と袋内の代表r＝r(S^k)が決まる（最終的には、全ての箱を開けて、決定番号 d(S^k)が確定する）
３．D >= d(S^k)に賭ける。つまり、S^k(D)＝r(D)に賭ける
４．袋内の代表r＝r(S^k)を取り出し、全ての箱を開けて決定番号 d(S^k)が確定し、賭けの勝敗が決まる
５．簡単に言えば、(D+1) 番目から先の箱だけで、D番目の箱を決める方法だが
６．時枝は、商集合だ射影だという。が、それ、well-defined？
７．推移律だけチェックしました（>>3「sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する」と）
８．そんなチェックだけで・・・？
９． well-defined の定義：「定義で使われる方法が実際にうまくいく」は、示されていないだろう？ https://ja.wikipedia.org/wiki/Well-defined
（時枝トリック）
１．>>12で示したように、無条件で「確率は、99/100」とは言えない。Dに依存する。そして、Dの範囲は１〜∞
２．>>8-9で示したように、時枝解法は、箱に入れる数によって、適切な集合と、その集合から成る数列を使って、同値類と代表を決めなければならない
例えば、１桁の整数を入れたのに、実数列R^Nから選べば、的中確率はぐんと落ちる（実数列R^Nから選んで、１桁の整数が出る理屈がない）
３．>>14で示したように、商集合だ射影だという。が、それがこの問題に対して、well-defined （「定義で使われる方法が実際にうまくいく」）かどうかは、数学的には証明されてないと思うよ
４．だから、上記３つの要因から分かることは、時枝解法はあくまでトリック
どうも。スレ主です。
レスありがとう
分かった。自然数全体を1〜∞と書く事に対して、代案を出してほしい
どうも。スレ主です。
レスありがとう
> 1桁の数字を各箱に入れたと分かっていながら、どうしてn桁の整数の列Z<n>^Nを考えるんだ？
ご指摘ありがとう
>>8 訂正
・もし、あなたが、数字を当てたいならば、数列の同値類と代表元は、Z<n>^Nから選ぶべき
↓
・もし、あなたが、数字を当てたいならば、数列の同値類と代表元は、Z<1>^Nから選ぶべき
> ・確率５割が時枝理論だが、別の観点から見ると、Dは１桁の数字だから、確率は1/9
ご指摘ありがとう
>>8 訂正
・確率５割が時枝理論だが、別の観点から見ると、Dは１桁の数字だから、確率は1/9
↓
・確率５割が時枝理論だが、別の観点から見ると、D番目の数は１桁の数字だから、確率は1/9
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>>6-9は、一貫校の秀才中学生にも分かるように、新たに書き下ろした
（基礎となる時枝解法も>>2-4に引用して）
従って、例も新しく追加した（分かり易い例として）
が、主張は、終始一貫している。時枝トリック
時枝トリックの謎解きは、確かに紆余曲折したと思う
だから、>>6-9と>>12-15を見て貰えれば。数学的な内容は、前スレの後半からは変わっていない
>>11
>何十回も同じことを言っている気がするが、時枝の戦略はそのような確率を扱わない。
>『箱の中身が属するZ<10>^Nの類を、R^Nの同値類から正しく選べるかどうかは確率的に決まる。その確率はほぼゼロである』
>スレ主はこのようなことを主張しているのだろう。
>しかしR^Nの同値関係~に矛盾がなければ、
>ある実数列（あるいは整数列）がR^N/~のどれに属するかは
>同値類への自然な射影R^N→R^N/~により自然に決まるのであって
>スレ主が言うように確率的に類が選ばれるのではない。
それは言えないだろ
時枝は、「念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.」>>3
という。だから、sとs'とs"と、少なくとも、この３つは、代表候補であり、sとs'とs"と、どれを代表にしようが、定義には矛盾しない
で、代表候補は３つに限らない。s,s',s",・・・と基本は無限にある（考えている集合がR^Nだから。（ここは、Z^Nでも同じ））
（念のため時枝引用「〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.」>>3）
そして、（>>6の記号で）
当然ながら、
実数の集合R⊃有理数の集合Q⊃整数の集合Z
実数列の集合 R^N⊃有理数列の集合 Q^N⊃整数列の集合 Z^N
で、整数列の集合 Z^Nで、同値類を決めて、代表を決める。それはR^Nにも含まれる
が、逆は言えない。R^Nで、しっぽの先が全て整数の数列があるとして、ねもとは、整数とは限らないから。だから、代表はZ^Nに属するとは言えないだろ
だから、自然な射影というところが、数学的には不適切だと思う
だから、ねもとまで整数と分かっている数列なら、Z^Nを使う方がR^Nを使うより圧倒的に有利（自然に決まるとは言えない）
>>6
実数の集合R、有利数の集合Q、整数の集合Z
実数列の集合 R^Nにならって、有利数列の集合 Q^N、整数列の集合 Z^N
↓
有利数：有理数
>>11
>スレ主の論理の拠り所を俺は否定した。
>俺の言うことを認めるのか？認められないのか。
>認められないなら何が認められないのか、
>イチイチ別の例を出さずに直接的に答えろ。
私は、>>19で
>ある実数列（あるいは整数列）がR^N/~のどれに属するかは
>同値類への自然な射影R^N→R^N/~により自然に決まるのであって
について、数学的に反論した。自然な射影で、自然に決まるに反論した
つまり、いま問題にしているのは、同値類そのものではなく、同値類の代表なのだ。そして、代表から決定番号が決まるのだ
代表が、正数列（∈ Z^N）か、実数列（∈ R^N）か
解法の正否（正答確率）に決定的な影響を与える
私の答えは、それで十分だろう
では
> で、整数列の集合 Z^Nで、同値類を決めて、代表を決める。それはR^Nにも含まれる
> が、逆は言えない。R^Nで、しっぽの先が全て整数の数列があるとして、ねもとは、整数とは限らないから。だから、代表はZ^Nに属するとは言えないだろ
そりゃそうだ。それがどうした？
俺は>>9の
> もし、実数列R^Nから選べば、的中確率はぐんと落ちる（実数列R^Nから選んで、１０桁の整数が出る理屈がない）
というスレ主の主張に対して
『時枝の戦略はそのような確率を扱っていない』
と反論している。
箱の中身がR^NだろうがZ^Nだろうが、全体集合をR^Nに取って~による類別を考えればよいと主張している。
何度も何度も何度も同じことを指摘するが、スレ主の主張は
>>472
> 「第k列のD番目の箱の中身は無限の候補がある。だから当てられっこない」
> つまりスレ主の考えている確率というのは、
> 「箱の中身は無限の可能性があり、正解は1つ。よって確率は1/∞。」
と言っているのと等価。スレ主の例で言うと、
『代表元をR^Nから選んでおく。ここで箱の中身はZの元であるとする。
代表元としてZ^Nの元が選ばれる確率は0。よって当てられない』というわけだ。
この考え方は非常に直感的。きっと誰もがそう思うだろう。
無限個の箱であろうと1つの箱であろうと、箱の中身は非可算無限の可能性があり、
その中から1個を当てる確率は1/∞、よって不可能、というわけだ。
記事の戦略は、"可算無限の箱を巧みに扱う"ことによって、
このような確率を相手にすることを回避している。
この回避方法が論理的に間違っていることを示せなければ、
時枝の戦略を否定できたことにはならない。
> つまり、いま問題にしているのは、同値類そのものではなく、同値類の代表なのだ。そして、代表から決定番号が決まるのだ
問題意識がすれ違ったわけだ。
> 代表が、正数列（∈ Z^N）か、実数列（∈ R^N）か
> 解法の正否（正答確率）に決定的な影響を与える
この主張に対しては既に否定した。
箱の中身がZに限定されていたとしても、考える同値類を
R^N/~に取ろうがZ^N/~に取ろうが求める確率は変わらない。
記事の戦略に従えば、個々の箱の中身が何通りあるか
(たとえばRの元なのかZの元なのか）といった議論はスキップできる。
その点こそがこの戦略の不思議なところなのであって、
RをZに替えてみるといった思考実験をするあたり、
スレ主が戦略の本質を理解していないということが良く分かる。
>>17
>・確率５割が時枝理論だが、別の観点から見ると、D番目の数は１桁の数字だから、確率は1/9
あのさ、いまは時枝の戦略に論理矛盾があるかどうかを議論しているつもりなんだが。
戦略の論理が正しいことは認めるの？認めないの？どちら？
お前の別の観点、別の戦略を議論するのは後にしろよ。
お前が対象にしている中学生も混乱するぞ。
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>>22
>> もし、実数列R^Nから選べば、的中確率はぐんと落ちる（実数列R^Nから選んで、１０桁の整数が出る理屈がない）
>というスレ主の主張に対して
>『時枝の戦略はそのような確率を扱っていない』
>と反論している。
>箱の中身がR^NだろうがZ^Nだろうが、全体集合をR^Nに取って~による類別を考えればよいと主張している。
そこまで時枝解法を擁護するなら、>>8で設定した「π＝３．１４・・・・を使って、頭から一桁の数字を、問題の箱に詰める」で、時枝解法を実行してみて下さい
問題を簡単にして、円周率（百万桁）を使おう。これが右サイトにある http://www.geocities.jp/f9305710/PAI1000000.html
まず、箱に円周率（百万桁）に詰めましょう。提案として、簡単に２列としよう
１列目に、百万桁の奇数番目の数、その先のしっぽには、全て１をつめる
２列目に、百万桁の偶数番目の数、その先のしっぽには、全て２をつめる
まず、１列目を開けて、どの類に属するか決めて下さい。そして、代表を取り出して下さい。決定番号Dを教えて下さい
そして、２列目D+1から先の箱を開けて下さい。それで、２列目の属する同値類を教えてださい。代表rを取り出して下さい。代表rのD番目の箱の数を教えて下さい
実行できるはずがない
だって、トリックだもの
実行できない時枝解法。だから一見最もらしいと言える
じゃ、３列でも結構。もっと多く１００列でもどうぞ
箱百万個、３列。頭からmod３で、列を作って３列。しっぽの先は、１列目１、２列目２、３列目３を詰める
１００列なら、頭からmod 100で、列を作れば100列。しっぽの先は、１列目１、２列目２、３列目３、・・・、100列目100を詰める
１００列の場合、”一桁の数字を、問題の箱に詰める”を守っていない。が、”頭から３桁以内の数字を、問題の箱に詰める”に変えれば、数学的には成り立つ
じゃ、頭からmod３や、mod 100やめます。すきにランダムに並べ貰って結構だ。どうぞ
？ １列目１、２列目２、３列目３、・・・、100列目100が気に食わない？ なら、しっぽはお任せします。ご随意に
ともかく、円周率（百万桁）を使ってください・・・
？ それも気に食わない？ なら、自分で分かり易い時枝解法の例題を作って、適用法を示して下さい
例はなんでも良いです。但し、具体的数値でね。文字は使わずに
中学生が混乱しない具体例の説明願います
でも、具体例の実行できないでしょ？
実行できるはずがない
だって、トリックだもの
実行できない時枝解法。だから一見最もらしいと言える
まず、箱に円周率（百万桁）に詰めましょう。
↓
まず、箱に円周率（百万桁）を詰めましょう。
>まず、箱に円周率（百万桁）に詰めましょう。提案として、簡単に２列としよう
>１列目に、百万桁の奇数番目の数、その先のしっぽには、全て１をつめる
>２列目に、百万桁の偶数番目の数、その先のしっぽには、全て２をつめる
>まず、１列目を開けて、どの類に属するか決めて下さい。そして、代表を取り出して下さい。決定番号Dを教えて下さい
>そして、２列目D+1から先の箱を開けて下さい。それで、２列目の属する同値類を教えてださい。代表rを取り出して下さい。代表rのD番目の箱の数を教えて下さい
πは全部で200万桁使っているとしてよいな？
では、俺は箱の中身は知らぬことにして、まず代表元を定める。
しっぽが1,1,1,1,・・・と続く実数列の代表元として
1,1,1,1,1,1,・・・を取る。
しっぽが2,2,2,2,・・・と続く実数列の代表元として
2,2,2,2,2,2,・・・を取る。
ここで1列目の箱を全て開ける。
100万桁目まではπの奇数番目の数に一致する。
100万飛んで1桁から先はすべて1,1,1,1,・・・が続く。
よって先に取った代表元1,1,1,1,1・・・と同値であり、この列の決定番号d1は100万1だ。
（πの数表は見ていない。πの100万番目の奇数桁が1でないと仮定した。）
箱が2列並べている今のケースでは、D=d1=100万1と決まる。
さて次に2列目のD+1(=100万2)番目以降を開けたところ、
2,2,2,2,2,2・・・が連続している。
これは先に取った代表元2,2,2,2,2,2,・・・と同値だ。
ここで、まだ開けていない2列目のD(=100万1）番目の箱を、
2列目が属する類の代表元のD(=100万1）番目と同じ『2』と予想する。
この予想が正しい確率は、2列目の決定番号d2がD(=100万1)=d1以下である確率1/2に等しい。
D番目をあけたところ『2』。正解。ゲームはここで終わる。
ゲームが終わった後、２列目の箱もすべて開けてみよう。
2列目は100万桁までπの偶数桁と一致しており、100万1桁目から2が続く、ということが分かる。
すなわち、今の場合d1=D=d2が成り立っていたということが分かる。
（ここでも100万番目のπの偶数桁が2でないと仮定した。数表は見ていない）
以上。
>πは全部で200万桁使っているとしてよいな？
スレ主は100万桁が良かったかな？まあ同じことだ
スレ主が俺を試そうとしたチャレンジ問題は時枝の戦略に
論理矛盾がないことを示すとても良い例になったぞ。
スレ主にとっては非常に不本意だろうｗ
>>30の例はきっと小学生でも理解できる。
箱の中身が実数か整数かは重要でないということもこの例でよく分かるだろう。
分かるとは思うが念のため訂正しておく。
> では、俺は箱の中身は知らぬことにして、まず代表元を定める。
> しっぽが1,1,1,1,・・・と続く実数列の代表元として
> 1,1,1,1,1,1,・・・を取る。
> しっぽが2,2,2,2,・・・と続く実数列の代表元として
> 2,2,2,2,2,2,・・・を取る。
↓
では、俺は箱の中身は知らぬことにして、まず代表元を定める。
しっぽが1,1,1,1,・・・と続く実数列"が属する類"の代表元として
1,1,1,1,1,1,・・・を取る。
しっぽが2,2,2,2,・・・と続く実数列"が属する類"の代表元として
2,2,2,2,2,2,・・・を取る。
>しっぽが1,1,1,1,・・・と続く実数列の代表元として
>1,1,1,1,1,1,・・・を取る。
箱の中身を知らないのに、何故しっぽが1,1,1,1,・・・と続く実数列の代表元を取ろうと思ったのですか？
>箱の中身を知らないのに、何故しっぽが1,1,1,1,・・・と続く実数列の代表元を取ろうと思ったのですか？
R^Nを類別して各々の類から代表元を取る、
という操作は（選択公理を仮定すれば）いつでも可能。
箱の中身当てクイズとは無関係に実行可能。
記事にもあるように『代表元をつめた袋』を用意しておくのは、ゲームを始める前だ。
これで分かるだろうか。お相手したいところだがしばらくの間レスができない。
>この予想が正しい確率は、2列目の決定番号d2がD(=100万1)=d1以下である確率1/2に等しい。
１．決定番号は全ての自然数をとり得る。
２．決定番号の定め方の場合の数は∞。
３．ある自然数d1が存在して、決定番号d2≦d1と定める場合の数はd1。
４．２，３より、決定番号d2がD(=100万1)=d1以下である確率はd1/∞=0。
１〜４のどこが間違ってるのでしょうか？
君が考えた確率はd1が既知の場合にd2がd2≦d1となる条件付き確率。
しかしこのゲームはd1が未知の状態でスタートする。
このときd2≦d1となる確率は1/2となる。
過去に何度もこの話題は取り上げられている。参考まで。
d1が未知なら
>さて次に2列目のD+1(=100万2)番目以降を開けたところ、
>2,2,2,2,2,2・・・が連続している。
>これは先に取った代表元2,2,2,2,2,2,・・・と同値だ。
>ここで、まだ開けていない2列目のD(=100万1）番目の箱を、
>2列目が属する類の代表元のD(=100万1）番目と同じ『2』と予想する。
に記されている、開ける箱を定めること、値を予想する箱を定めること、予想値を定めること、は不可能では？
1列目を開けてd1がkになる確率をp1(k)と書く。
d1=kのときにd2がd1以下となる条件付き確率をp2_d1(k)と書く。
ゲームに勝つ確率は、この2つの確率の積を取って
kで無限和を取ったものになる。
ここまではOK?
d1がkであることを知った時点からゲームをスタートするなら
貴方の言うとおり勝つ確率はk/∞だ。
しかしゲームを開始するのはd1を知る前だ。
d1がkとなること自体が確率事象なので、
ゲーム開始前に計算されるプレイヤーの勝つ確率は
k/∞ではなく上の無限和になる。
実際に1列目の箱を開けてd1がkだったかどうかは上の無限和には影響しない。
ゲーム開始後にd1を知ったからといって
ゲーム開始前の無限和の計算結果が変化するわけではない。
(当たり前すぎてかえって分かりづらいか？)
記事の内容を埋めたりして書くけど、スレ主が書いた文章は以下のような解釈でよい？
>4の途中から分かりにくかったけど、間違っていたら悪いな。
>２．続けて時枝はいう
>
> 私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかたに
>似ている. 「いわゆる,カントールの実数の構成の手法に似たことである. 記事の都合上詳細は
>省くが, このあらましの要点を書くと大体以下の通りである.
>有理コーシー列の全体をXとする. 実数列全体の集合をR^Nとする.
>有理コーシー列の集合Xは可算無限集合である. Xに属する任意の有理コーシー列は,
>或る1つの実数rに収束する. そこで, {r_n},{s_n}∈X に対して,
>有理コーシー列 {r_n}−{s_n} が0に収束するという関係を〜とする.
>すると, Xの〜による商環 X/〜 は一意に決まることが知られている.
>この X/〜 を R と書き, 実数体とよぶ.
>実数rを任意に取る. rに収束する有理コーシー列 {x_n} は, 可算無限個存在する.
>rに収束する有理コーシー列の全体を X(r) と書く. X(r) は可算無限集合である.
>X(r) に属し, rに収束する有理コーシー列 {r_n},{s_n}∈X(r) に対し,
>有理コーシー列 {r_n}−{s_n} が0に収束するという関係を ∽ と書く.
>X(r)の∽による商集合 X(r)/∽ の代表元は一意に決まる. 逆に, このような
>商集合 X(r)/∽ が与えられたとき, 元の実数rは存在する.
>だから, 実数体Rと, 集合{X(r)/∽|r∈R}との間には全単射が存在することになる.
>X(r)/∽ の代表元はrと考えられる. そこで, 有理コーシー列 {x_n} を X(r)/∽ の代表元とし,
>{x_n}の極限として実数rを lim_{x→+∞} x_n＝r と定義する.
>以上がカントール式の実数の構成のあらましである. ここに, r,s∈R に対し,
>r≠s のときは (X(r)/∽)∩(X(s)/∽)＝Φ であり, X＝{X(r)/∽|r∈R} なることに注意しよう.」
俺は単にp1(k)と書くだけにしておく。
(>>39の続き)
>「さて本題に戻るが」, 但し「ここでは」もっときびしい同値関係を使う. 実数列の集合 R^Nを考える.
>s＝(s_1, s_2, s_3, …)，s'＝(s'_1, s'_2, s'_3,…)∈R^Nは，ある番号nから
>先のしっぽ「いわゆる第n項」が一致する. 「換言すれば」∃n_0：n≧n_0 → s_n＝s'_n のとき,
>同値「関係〜を」s〜s' と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
>「ここに, 任意の, 或る実数rに収束する有理コーシー列 {r_n},{s_n}∈X(r)⊂X について,
>或る番号n_0が存在して, n≧n_0 のとき s_n＝s'_n なることに注意しよう.」
>念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致する
>なら，sとs"は2015番目から先一致する. 〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び,
>代表系を袋に蓄えておく. 幾何的には商射影 R^N → R^N/〜の切断を選んだことになる.
>「換言すると次のようになる. 商射影 R^N → R^N/〜 をfとする.
>f：R^N → R^N/〜 は全単射である. 実数列 {x_n}∈R^N/〜 を任意に取る. すると, {x_n}は或る実数
>rに収束するコーシー列である. rに収束するコーシー列の全体を X(r) とする. すると, X(r)⊂R^N/〜 であり,
>X(r) は同値関係〜による商集合として扱える. X(r) を同値関係〜による商集合と見なすと,
>rは商集合 X(r) の代表元として扱える. rは {x_n} に対して定まったから,
>これはコーシー列 {x_n} を商集合 X(r) の代表元として扱うことと同じである.
(>>41の続き)
>そこで, {x_n} を商集合 X(r) の代表元とする. すると, rに対して, rに収束する実数列を考えることで,
>f({r_n})＝{x_n} なるような実数列 {r_n}∈R^N の全体を考えることが出来る.
>そこで, {x_n} に対して f({r_n})＝{x_n} なる実数列 {r_n}∈R^N の全体を f^{-1}({x_n}) とする.
>このようにして f^{-1}({x_n}) を構成することは, 任意の実数列 {x_n}∈R^N/〜 に対して出来る.
>そのようなことに注意して, R^N に選択公理を適用し, R^N のすべての元が一直線状に並んでいると見なす.
>R^N/〜 のすべての元についても同様に選択公理を適用し, そのすべての元が一直線状に並んでいると見なす.
>すると, 直積 R^N×R^N/〜 を xy平面のような平面と見なせる. このような平面上で, x軸に平行な複数の,
>y軸に垂直であるような点線を引くような, 操作を行うことである.
>これが, 代表系を袋に蓄えておくことの, 大体の幾何的な意味である.」
>任意の実数列 s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表
>「としてのコーシー列」 r＝r(s) を丁度一つ取り出せる訳だ. sとrとがそこから先ずっと一致する番号
>を sの決定番号 と呼び，d＝d(s) と記す. つまり「sの部分列」 s_d，s_{d+1}，s_{d+2}, … を知れば
>「これは無限列だから,」 sの類の代表r は決められる. 更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても,
>ある D≧d について「sの部分列」 s_{D+1}, s_{D+2}, s_{D+3}, … が知らされたとするならば,
>「同様にこれも無限列だから,」それだけの情報で既に「コーシー列」 r＝r(s)は取り出せる.
>したがって「sの決定番号」 d＝d(s) も決まり, 結局s_d(実は s_d, s_{d+1}, …, s_D ごっそり)が決められる
>ことに注意しよう.
ちがったp2_d1(k)だった。すまん。
(>>42の続き)
３．つづき
>問題に戻り, 閉じた「各列について可算無限個の箱が並ぶように, 可算無限個の」箱を100列に並べる.
>箱の中身は「当然」私たちに知らされていないが, とにかく第1列の「可算無限個の」箱たち,
>第2列の「可算無限個の」箱たち「, …,」 第100列の「可算無限個の」箱たちは
>100本の実数列 S^1, S^2, …, S^{100} を成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
>これらの「可算無限個の」列は「２の後半で述べた事情から」おのおの決定番号をもつ.
>さて， 1〜100 のいずれか「1つ」をランダムに選ぶ.
>例えばkが選ばれたとせよ. 「ここに, kは1以上100以下の或る自然数である.
>実数列 S^k を２の後半と同様にsで表わすことにしよう.
>すると, まだ s＝S^k の決定番号は知らされていない. しかし, 或る自然数 D≧k が存在して, D≧k について
>s の部分列 s_{D+1}, s_{D+2}, s_{D+3}, … が知らされたとするならば, これは無限列だから,
>それだけの情報で既に「コーシー列」 r＝r(s)は取り出せる. したがって「sつまりS^kの決定番号」 d＝d(s) も決まり,
>結局s_d(実は s_d, s_{d+1}, …, s_D ごっそり)が決められる. 簡単には, 最後の項が1つの実数 (S^k)_D Dは自然数
>であるような, S^kの有限列が取り出せる.」
>「既に知らされている自然数 k 1≦k≦100 に対して S^kの決定番号d＝d(s)≦k が対応することになる.
>「kは任意だから, 自然数kを 1≦k≦100 の範囲で走らせると,
>100本の実数列 S^1, S^2, …, S^{100} の中のそれぞれの実数列 S^k の決定番号が d＝d(s)≦k と決まり,
>100個の決定番号を小さい方から順に並べて100個の項からなる自然数列 a_1,a_2,…,a_100 を構成出来る.
>逆に, a_1,a_2,…,a_100 の中の1つの項が知らされているときは, 1〜100の中の1つの自然数は既に分かっている.」
(>>44の続き)
>「そのような理由から, 実数列S^kを S^1, S^2, …, S^{100} の中から任意に1つ選んだとき,
>S^kの決定番号dが他の列の決定番号「の」どれよりも大きい「換言すれば小さくない」確率は1/100に過ぎない.」
>「話を元に戻す.」 第1列〜第(k-1)列，第(k+1)列〜第100列の「それぞれについて,」
>「各列を構成する可算無限個の」箱を「選択公理をそれぞれの列に適用し」全部開ける.
>第k列の「可算無限個の」箱たちはまだ閉じたままにしておく.
>開けた箱に入った「可算無限個の」実数を見て, 「それぞれのコーシー列について,」 代表の袋「合計は99個で」を
>「それぞれ」さぐり, S^1〜S^{k-1},S^{k+1}〜S^{1OO} の決定番号のうちの最大値「を」D「と書くことにする.」
> いよいよ第k列「いわゆるS^k」の(D+1)番目から先の箱だけを開ける：S^k(D+l), S^k(D+2), S^k(D+3), …. いま
> D≧d(S^k)
>を仮定しよう. 「ここに, 実は最終的には d(S^k) は S^k の決定番号となる.」 「d(S^k) が S^1〜S^{100}の各決定番号の
>最大値になる(換言すれば他のどの決定番号よりも小さくない)確率は1/100だから,」
>この仮定が正しい確率は 「1-1/100＝」99/100.
>そして仮定が正しいばあい, 上の注意「いわゆる２の後半の考察」によって「S^kの決定番号」S^k(d) が決められるのであった.
>おさらいすると, 「このような」仮定のもと, S^k(D+1), S^k(D+2), S^k(D+3), … を見て「実数列 S^k の」代表「としてのコーシー列」r＝r(S^k) が
>取り出せるので, 「コーシー」列 r のD番目の実数 r(D) を見て， 「第k列(つまりS^kをなす可算無限個の箱のうちはじめから)
>D番目の箱に入った実数を S^k(D)＝r(D) と賭ければ, めでたく「当たる」確率「が」99/100で勝てる「ことになる」.
>(ε＞99/100 のときは, 同様の賭けごとに)確率 1-ε で勝てることも明らかであろう.
一応、>>39、>>41-42、>>44-45は、記事の内容を「」や()で
或る程度補足したので、スレ主でも分かるようになっている筈だ。
「」や()は、補ったところ。本当は、こういうときこそ、スレ主の
いつもながらのグーグルグーグルって検索しまくる手法が活躍するときなんだよ。
例えば、何らかのサイトがある筈だから、カントールの実数論とか数セミに
出てくるであろう言葉をググってみ。
それじゃ、補足作業で疲れたから、もうおっちゃん寝る。
TAさん、どうも。スレ主です。
具体例の例示ありがとう。
TAさんが、まじめで誠実な人だというのは良く分かった
他の人がレスついているので、しばらく様子見します
ID:lxzcZorRさん、レスありがとう
おれは、ID:lxzcZorRさん乗りだが、しっかりしているので、助力は不要でしょう
あなたの疑問点を書いて貰えれば、解決は近いと思う
１．時枝問題（数学セミナー201611月号の記事）
↓
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
http://mathoverflow.net/questions/20882/most-unintuitive-application-of-the-axiom-of-choice
http://people.math.gatech.edu/~mbaker/pdf/realgame.pdf
これはTerence Taoもコメントしている
https://cornellmath.wordpress.com/2007/09/13/the-axiom-of-choice-is-wrong/
おっちゃん、どうも。スレ主です。
いつものおっちゃんらしい、読みにくいカキコですね（＾＾；
でも、ありがとう
一言、>>2-4は、（分かっていると思うが）単に、数学セミナー201511月号P36 時枝正「箱入り無数目」の記事の引用だ>>12
（数学記号をアスキーベースに直すのに苦労したがね）
聞きたいのは、
１．時枝の解法を使った>>30をどう思うかだよ
２．TAさんに何か言ってやんなよ
（そこまで補足付けてくれたなら、何か言えるだろう？）
３．>>30に賛成するもよし、問題点を指摘するもよし
４．どちらにせよ、その方が決着は早いと思う
真ん中無駄じゃね？
スペース的に何か詰めろって
いつも思う
どうも。スレ主です。
コメントありがとう
要は、時枝問題は、無限集合を使ったゲームのトリックというエールを貰ったのかな？（＾＾；
ともかく、Terence Taoがコメントしている話は、どこかで読んだかも知れない
100人の囚人が、自分の帽子の色を言い当てると、釈放されるが、その上手い方法や如何にと・・・
日本語の記事が、検索でヒットするかも
えーと ”100人の囚人 自分の帽子の色 放”で下記ヒットか
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1072766815
name_1717さん 2011/10/613:12:57 yahoo.
数学の質問です
論理的に答えてください
100人の囚人が一列にならんでいます
http://matome.na
ver.jp/odai/2133113730422972301
【超難問論理パズル】あなたはこの難問が解けますか？【頭の体操】
論理パズル、数学パズルにおける難問の問題です。どのくらい解けるか挑戦してみてください。
更新日: 2015年05月26日
問題２ "帽子の色は？"
100人の処刑囚がいます。
http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=298
囚人と帽子 [楽しいクイズの発信基地！クイズ大陸]: ひでぽん 2005/04/12 19:44
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1249042962
1,2,3,‥,n,‥と番号つけられた無限人の囚人がいるとします。彼らは... - Yahoo!知恵袋: 2010/10/21
(抜粋)
ベストアンサーに選ばれた回答
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gang_gang_dankichiさん
編集あり2010/10/2312:39:35
Prisoners and hats puzzleと呼ばれる有名問題のようですね。
http://en.wikipedia.org/wiki/Prisoners_and_hats_puzzle#Countably_Infinite-Hat_Solution
wikipedia に書いてあるものと問題の設定に少し違いがありますが、wikipediaに掲載されている以下の作戦であれば質問の設定でも通用すると思われます。
> 要は、時枝問題は、無限集合を使ったゲームのトリックというエールを貰ったのかな？
違う
スレ主はトリックとか実行できる(orできない)とか書いているが今までずっと選択公理を採用していないし
これからも採用しないということをスレ主が宣言すれば良いだけのことではないですか？
(過去スレでスレ主がそのような宣言をしているかは知らない
当然ながら選択公理を採用する立場をとるならば選択公理を仮定した上での反例を提示すべき)
> 今までずっと選択公理を採用していないし
採用してるよ。代表元を扱っているんだから。
議論しているのは選択公理を使った戦略の論理が正しいかどうかなんだから、
選択公理を使わなかったら議論にならんでしょう。
どうも。スレ主です。レスありがとう。
選択公理で悩んだことがないというか、基礎論もそれほど深く考えたことはないが
思えば時枝の話は、下記前スレの”選択公理は直感に反さないだろいい加減にしろ!”から始まっていて
”随伴関手の存在に関する定理から選択公理を導くことができる．”を読むと、私は選択公理を捨てる理由がない
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1448673805/310-314
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17
310 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/12/19(土) 21:11:36.50 ID:VtRJxPeF
>>302
「随伴関手の存在に関する定理から選択公理を導くことができる．」か。選択公理は、結構自然なのかな
http://alg-d.com/math/ac/category.html
圏論 2015年3月 7日更新
随伴関手の存在に関する定理から選択公理を導くことができる．
定理 次の命題は( ZF 上)同値．
1.選択公理
2.C, D を圏， F: C→D を関手とする．任意の d∈D に対して F から d への普遍射が存在するならば， F は右随伴を持つ．
3.C を余完備な圏， D を圏， F: C→D を余連続な関手とする． F はsolution set conditionを満たすとする．このとき F は右随伴を持つ．(General Adjoint Functor Theorem)
4.C を余完備かつco-wellpoweredで，generatoring setを持つ圏， D を圏， F: C→D を余連続な関手とする．このとき F は右随伴を持つ．(Special Adjoint Functor Theorem)
5.C, D, U を圏， F: C→D ， E: C→U を関手として，各 d∈D に対して余極限 colim(F↓d→C→U) が存在するとする．このとき F に沿った E の左Kan拡張 F†E が存在し， F†E(d) ? colim(F↓d→C→U) である．
313 返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/12/20(日) 10:15:48.19 ID:saIApgKR
>>310
>選択公理は、結構自然なのかな
下記ご参考。面白いです（＾＾；
http://alg-d.com/blog/2013/05/12.shtml
algebraic dialy
選択公理は直感に反さないだろいい加減にしろ!
2013年5月12日
http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/AxiomOfChoice/index.html
数学界に大論争を呼んだ選択公理(1/2) 2015/01/12
http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/AxiomOfChoice/index2.html
数学界に大論争を呼んだ選択公理(2/2) 2015/01/12
http://samidare.halfmoon.jp/diary/log/2015/index_2015_01.html
（上記の日記）
http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/index.html
1+2+3+・・・・ = -1/12な部屋
めんどくさいので、先に書く
この人のサイトに、下記があった
これ分かり易い
大１クラスの人は見ておくと参考になると思う
http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/index.html
数学コラム
http://samidare.halfmoon.jp/mathematics/GaloisTheory/index.html
「ガロア理論と、5次元方程式の解法の不可能性のお話（2006/12/22)」
どうも。スレ主です。
レスありがとう
>採用してるよ。代表元を扱っているんだから。
同感です。というか、普通に整数全体や有理数や実数を扱うと、無意識に選択公理を使っていると思う
そして、選択公理は、”選択公理は直感に反さない”と思うし、圏論はまだよく理解出来ていないが、けっこう自然という主張に１票>>56
>>54-55などの書き込みも出てきたし、時枝記事の話も２つのスレに渡って長くなってしまった
また、今週は忙しくて、この後書けない
>>47で、”しばらく様子見”と書いたが、動きがないので、収束に向けてちょっと書きます
>>30なんか見ると、TAさんまじめで誠実な人だというのは良く分かった。
だけど、数学的におかしいというところは、指摘しないと、数学板では成り立たない・・
（なお、例示をしてもらったので、どこで食い違いを生じているか分かりました）
>>30について
１．ID:lxzcZorRさんが、>>33で指摘している通りだが、問題が大きいのは”しっぽが2,2,2,2,・・・と続く実数列の代表元として 2,2,2,2,2,2,・・・を取る”の方
2,2,2,2,2,2,・・・をなぜ選ぶのか？ 選んでも良いが、本来無作為に選ぶべきところ、作為が入っているのでは？
数学的に分かり易いように、ある数列を定義しよう
数列r2(π2,n):＝1,1,9,6,(πの偶数番目の数をn個)、2,2,・・・ (説明：数列の頭n個は、πの偶数番目の数。その先のしっぽが2,2,・・)
ここで定義した数列r2(π2,n)は、問題の２列目の同値類に属することは明らか。だから、代表元の資格がある。これらを除外したのはなぜ？
２．上記１の補足だが、nには上限がない。だから、n<=１００万よりも、n＞１００万の方が、場合の数としては圧倒的に多い。ここまで書けば、言いたいことはお分かりだろう
つづく
３．第１列目に戻る。同じような、しかし別の数列を定義しよう
数列r1(π1,n1,n2):＝1,1,・・(n1まで),(πの奇数番目の数n1+1番目からn2番目)、1,1,・・・ (説明：数列の頭n1個は1、中間は”πの奇数番目の数n1+1番目からn2番目”の数。その先のしっぽがまた1,1,・・)
>>30に合わせて、n2=１００万に調整しよう。(言い忘れたが、1<=n1<n2とする)
n1＝２とする。当然、この数列も問題の１列目の同値類に属することは明らか。だから、代表元の資格がある。
ここで、仮にこのn1＝２の場合を代表とすると、決定番号はd1=n1+1＝3 （d1は>>35-36より）となる
で、確率問題だが、d1＝3の場合と,d1＝１００万の場合とでは、当然d2≦d1となる確率は違うだろう
TAさんが>>36書かれているように、「2つの確率の積」と考えるべき問題だ
再度強調しておく。d1＝3の場合と,d1＝１００万の場合とでは、当然d2≦d1となる確率は違う。だから、ID:lxzcZorRさんの>>35の指摘通りと思う（上記１、２も見てね）
追記
おっちゃん、悪いな。>>50で、おっちゃんに振っておきながら、先に書いてしまった（＾＾；
なお、余談だが、時間があれば前スレを読み返して貰えれば、後半から、ほぼ上記１〜３の理解に達していることが分かって貰えるだろう
では
補足
上記で定義した代表候補の数列、r2(π2,n):、r1(π1,n1,n2)について
n,n2は上限なしは当然だが
数列の頭に使った、”πの偶数番目の数”や、”πの奇数番目の数”は、候補としては、これに限定されない（もっと多い）ということも注意しておく
上記では、問題点を分かりやすくするために、>>30に即した具体的な数列の形に限定したが
まだ分かってなかったのねｗ
じゃあスレ主が
,1,1,1,1,1,・・・と
,2,2,2,2,2,・・・の代表元を決めてくれ。
俺が必要なのは、それら代表元の何番目から1（あるいは2）が続くのかだけだ。
それだけを俺に教えてくれればよい。
俺はその代表元が入った袋を使い、確率1/2で箱の中身を当てられることを実例で示す。
すなわち、箱の1列目を最初に開けるか、2列目を最初に開けるか、
少なくともどちらかの選択によって、箱の中身が当てられることを示す。
では上の情報を教えてくれ。
補足。
>俺が必要なのは、それら代表元の何番目から1（あるいは2）が続くのかだけだ。
失礼、この書き方はちょっと紛れがあった。
要するに、代表元の何番目から箱の中身と一致するのかを知りたいだけだ。
それが分かるように教えてくれ。
>>41の
>f：R^N → R^N/〜 は全単射である.
は間違いで、この部分は
>fは 始集合R^N から 値域R^N/〜 への対応である。
>fの定義域は、コーシー列全体の集合D である。
>任意の {x_n}∈D に対して、g({x_n})＝f({x_n}) であるような、
>写像g：D → R^N/〜 は全射である。
と訂正。簡単には、
>任意の {y_n}∈R^N/〜 に対して、或る {x_n}∈R^N が存在して、{y_n}＝f({x_n})。
と訂正。あと、>>45の一番最後の行の()内の「ε＞99/100 」は「0＜ε≦1/2」と訂正。つまり、最後の行は
>(0＜ε≦1/2 のときは, 同様の賭けごとに)確率 1-ε で勝てることも明らかであろう.
と訂正。
R^N/〜には発散列を代表元とする類が属すから全射でないのでは？
あ〜、そうか。
>f：R^N → R^N/〜 は全単射である.
の部分は取り消しで、その直後(>>41)の
>実数列 {x_n}∈R^N/〜 を任意に取る.
の部分で「{x_n}が収束する」ことが仮定されるのか。
>>68のあたりはウマく調整して読んで。
>>62
で、>>45のような補足が正しければ、代表元を2個扱ったときは、
ハズレる確率が 1−1/2＝1/2 になるように、
可算無限個の箱を扱って問題文のようなことを考えることが出来る。
3個の代表元を扱うときは、同様にハズレる確率は 1−1/3＝2/3 になる。
だが、雑誌では可算無限個の代表元を考えているんでしょ？
だから、扱う代表元の個数をε'として、ε＝1/ε' とおき、ε'→+∞ とする必要がある。
ここに、εは、>>45でいう「当たる確率1/100」にあたる。ハズレる確率は、1−ε になる。
ε'が大きくなればなるほどεは小さくなるから、扱う代表元の個数が大きくなればなるほど
バズレる確率は1に近づく。簡単には、ハズレる確率は1/2以上1以下になる。
だから、少なくとも当たる確率がハズレる確率より大きくなることはあり得ない。
ハズレる側に賭けた方が勝負に勝つ可能性が大きいということになる。
。。。
メンター、そろそろ貴方の出番ですw
数セミの記事の内容は殆ど知らないので悪しからずw
>>実数列 {x_n}∈R^N/〜 を任意に取る.
>の部分で「{x_n}が収束する」ことが仮定されるのか。
何をどう誤解してるのか知らんが、勝手な仮定を置かないように
>>2-4
>>41では
>>f：R^N → R^N/〜 は全単射である.
が取り消しになり、
>実数列 {x_n}∈R^N/〜 を任意に取る. すると, {x_n}は或る実数
>rに収束するコーシー列である.
の部分が
>実数列 {x_n}∈R^N/〜 を任意に取る. 「{x_n}が収束するときは」, {x_n}は或る実数
>rに収束するコーシー列である.
となるのか。
スレ主に対して一応確認をしてみたわけです
>>55
>議論しているのは選択公理を使った戦略の論理が正しいかどうかなんだから、
>選択公理を使わなかったら議論にならんでしょう。
もちろんその通りだけれども「日常感覚」とか言い出すスレ主相手だとどうかな
(半分冗談みたいなものですが)
>>60
>同感です。
とスレ主の意見
>>54だけを読むと貴方が選択公理を理解していないように読めてしまうが。
あるいはスレ主に罠を仕込んだ逃げ道を用意したということ？
だとすればとびっきり性格が悪い人だねあんたｗ
>議論しているのは選択公理を使った戦略の論理が正しいかどうかなんだから、
>選択公理を使わなかったら議論にならんでしょう。
前提を少し変えていくと
1. 「選択公理」を前提にした戦略の論理が正しいか
2. 「袋に代表元が入っていること」を前提にした戦略の論理が正しいか
3. 「適当な数を箱に入れて袋から適当な代表元を取り出すこと」を前提にした戦略の論理が正しいか
スレ主はどんどん論点を変えていく傾向があるけれども3.から1.に話を変えるようなことはしないと
いうことだからそろそろあなたとスレ主の議論の前提が一致するのではないでしょうか
> どうも。スレ主です。
> >>54-55などの書き込みも出てきたし、時枝記事の話も２つのスレに渡って長くなってしまった
長くなったのはスレ主が馬鹿なコメントばかりするからでしょうがw
>長くなったのはスレ主が馬鹿なコメントばかり
情報理論などを持ち出すくらいならN列の箱での列の置換における対称性
のようなことを書けば多少はガロア理論スレっぽくなるかもね
2/22からCourseraで Galois Theory（https://www.coursera.org/learn/galois） という講座がはじまるよ。
まえのはガロアを落としたエコポリだったけど、
講師がフランソワ・モレシャンみたいにしゃべくりのおっさんだったので
ラジオフランス語講座をかじったくらいではまるで歯が立たなかったorz
今度のは英語だから大丈夫だw
（講師がエカテリーナってロシア人みたいな名前だから発音が普通かどうかわからんが最悪でも字幕がある）
みなさん、盛り上がっていますね
今週は仕事で忙しいので、あまり書けませんが、あしからず
>>64-65
最初の列の決定番号を１００、第２列目の決定番号を(100^100)^100とでもしますか
で、TAさんがレベルが高いことは良く分かった。というか、おそらく時枝と同じレベルで、時枝も同じ納得の仕方をしているんだろうと
サイコロゲームで、”同じ条件”で、２人が勝負したら、勝率は１／２
３人が勝負したら、勝率は１／３
９９人が勝負したら、勝率は１／９９
ｎ人だったら、勝率は１／ｎ
これは、サイコロゲーム以外でもトランプなどでも同じ。ゲームの種類によらない。”同じ条件”に意味がある
”同じ条件”の細かい内容、つまりその背後の数学的構造には、よらない
ところで、
http://www.math.chs.nihon-u.ac.jp/~mori/2012jyugyou/12gakushuin1.pdf
確率・統計，確率1 期末試験(2012 年度) 森真 日大
5 月13 日
確率変数X とY が独立なサイコロ投げとするとき，Z = max{X, Y} の確率分布と期待値を求めてください．
解
Z ：確率
1 ： 1/36
2 ： 3/36
3 ： 5/36
4 ： 7/36
5 ： 9/36
6 ：11/36
E(Z) = 161/36 = 4.4722・・・
V(Z) = 2555/1296
（引用終わり）
いま、気付いたが、1,3,5,7,9,11と奇数がきれいにならんでいるんだ
二人でサイコロゲーム。”同じ条件”で、２人が勝負したら、勝率は１／２
E(Z) = 161/36 = 4.4722・・・、これ期待値。６の半分の３より大。６の２／３（＝４）より大。
普通のサイコロは６までだが、６→ｎ（＞６）のサイコロも考えられる。
確率分布と期待値をまともに計算する気がおきないが、おそらく上記のようにｎ^2を分母とする確率分布で、期待値はｎの２／３より大でしょう。
ここで、ｎ→∞を考える。ｎ^2を分母とする確率分布でｎ→∞にして、期待値はｎの２／３より大でｎ→∞。
これ、時枝問題を考えるときの大きなポイントだと。決定番号もｎ→∞を考えるべし
二人でサイコロゲームで、E(Z) = 161/36 = 4.4722・・・で、６の２／３（＝４）より大。
９９人のゲームを考えたら？ 当然E(Z) は大きくなる。おそらく、最大値の６に近づく
ｎ（＞１００）人ゲームで、ｎ→∞を考えたら？ 最大値の６にに収束する
「確率1-ε で勝てることも明らかであろう.」>>3と時枝は書く。おそらく列の数ｎを増やすのだろう
そうすると、上記ｎ（＞１００）人ゲームにおけると同様、決定番号Dの期待値は、その取り得る上限に近づく
これが、時枝解法の構造
確率を高めるための代償が、決定番号Dの期待値が、その取り得る上限に近づくということ
確率９９％だ、確率1-εだと
でも、「裏」がある!
>>35などは、”「裏」がある!”という臭いに気付いている人だと思う
http://www.amazon.co.jp/dp/4103274123
管見妄語 できすぎた話 単行本 ? 2016/1/18 藤原 正彦 (著)
内容紹介
どんな出来事にも、あなたの知らない「裏」がある!
内容（「BOOK」データベースより）
どんな出来事も「裏」を知らねば本質は見抜けない!持ち前のユニークな発想と慧眼で、埋もれていた世の中の真理を看破する。「週刊新潮」人気連載痛快コラム集最新版。
前スレでも書いたが、
n+1番目以降から先のしっぽの箱が一致する同値類が見つかったとしても
実数列の同値類分類だから、ｎ番目の箱に入りうる数ｘは、ｘ∈Ｒなわけで、ｘの候補は非加算無限
そして、可算無限の長さの数列だから、ｎ→∞を考えないといけない
そうすると、無作為に同値類の代表を選ぶと、その列の決定番号の期待値も、無限に大きいと予想されるのだった
どうも。スレ主です。レスありがとう
私の選択公理の理解を言っておくと
我々が日常無意識に使っている数学は、ＺＦＣだと
そして、我々が日常無意識に使っている数学が、パラドックスを生じないように、公理系を整備したと
おかしいですか？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
パラドックスの回避
ツェルメロが ZF の元となる公理系を1908年に発表した最大の動機は、実数が整列可能だとする彼の証明を弁護することであった。
しかし、同時に彼はその当時すでに知られていたパラドックスを回避しなければいけないこともわかっていた。代表的なものとしては、 ラッセルのパラドックス、リシャールのパラドックス、ブラリ＝フォルティのパラドックスがある。
これらのパラドックスは、集合を構成する方法に制限を付けている ZFC の中では展開できない。
https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory 英語版
かれらは、ZFC以前の時代の人だ
だから、選択公理など知らないはず
が、かれらの数学が、ZFCから外れているのではない
逆に、すべてZFC内におさまる
関数論、写像、有理数を完備化して実数を構成する方法
選択公理が知られる前にあった。違いますか？
数学科以外でも、物理や工学で使われる数学。我々が日常で使っている
微分だ積分だ、微分放擲式だ、級数展開と収束・・・
選択公理以外を仮定したら？ 上記のニュートン、ライプニッツ、オイラー、ガウス、ガロア、アーベル、リーマン、ワイエルシュトラスをどう修正すべきか？
それが、私には分かりません。が、教えられているのは、すべてZFC内におさまるってこと
だから、ZFCを外して考えようとすると、そうとう注意深くしないとできないだろうし、そんなことはしたことがないです
だから、選択公理は、無意識で使っていると思いますよ。みなさん、同じはずだ。オイラー、ガウス、ガロア、アーベル、リーマン、ワイエルシュトラスだって同じだったでしょ？
というから、最初から成り立たない
例えば、超越数かどうかが未解決の例で、e+πがあるという（下記）
e+πを時枝問題に適用すると、e+πの各桁の数字０〜９を、頭から箱に詰める。ある箱から先のしっぽを開けて、属する数列の同値類を決める
”属する数列の同値類を決める”のは、いまの数学レベルでは、無理。そもそも、e+πの先がどうなっているか分からないし、だから、属する数列の同値類を決められない
が、「選択公理」という呪文で、「それは出来たとして」と先に進んで、時枝問題を論じている
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数かどうかが未解決の例
円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
うーん、奇抜
「使える！数学」。でも、実用としては、時枝解法は使えません。
計算量理論から言って、実数から成る可算無限の数列を、全て類別して、代表元を決めておく？ それがどれだけの計算量になるのか？
それは割り引いたとしても、上記で書いたように、決定番号の期待値は、ｎ→∞の極限として有限ではない
いや、もちろん、条件が同じ勝負をすれば、二人ゲームならある人の勝率は１／２、９９人ゲームならある人の勝率は１／９９。
それは、前スレずっと認めていますよ。
でも、藤原 正彦氏がいうように、できすぎた話には裏がある。
裏を知らないと、「使える！数学」の実力はつかない
http://diamond.jp/articles/-/84708
『週刊ダイヤモンド』1月23日号の第1特集は「使える！数学」です。ビジネスマンが身につけるべき素養、道具はいくつかあります。
中でも最強、究極の武器となるものは何でしょう？?それは数学である、と考えます。
http://diamond.jp/articles/-/85114
コンピュータに仕事を奪われる時代、生き抜くための「数学の言葉」
新井紀子氏（数学者、国立情報学研究所教授）特別インタビュー 週刊ダイヤモンド編集部 2016年1月23日
あらい・のりこ
1962年東京都生まれ。一橋大学法学部卒業。米イリノイ大学大学院数学科博士課程修了。
2006年に国立情報学研究所教授、人工知能「東ロボくん」のプロジェクトディレクター。
著書に『生き抜くための数学入門』『コンピュータが仕事を奪う』など。専門は数理論理学。
問題設定は下記。
>>25
>まず、箱に円周率（百万桁）に詰めましょう。提案として、簡単に２列としよう
>１列目に、百万桁の奇数番目の数、その先のしっぽには、全て１をつめる
>２列目に、百万桁の偶数番目の数、その先のしっぽには、全て２をつめる
ゲーム開始前に『代表元の袋』を用意する。
>>64-65
> 最初の列の決定番号を１００、第２列目の決定番号を(100^100)^100とでもしますか
最初の列の決定番号が100となる条件は、
しっぽの先が*,1,1,1,1,1,・・・と1が続く類の代表元が
・99番目はπの99番目の奇数桁とは異なる。
・100番目から50万番目まではπの100番目から50万番目の奇数桁に一致する。
・50万1番目以降1が続く。
を満たすことである。
上記をみたす実数列の集合から任意に1つ選んでr1とおく。
第2列目の決定番号が(100^100)^100となる条件は、
しっぽの先が*,2,2,2,2,2,・・・と2が続く類の代表元が
・(100^100)^100-1番目が2ではない。
・(100^100)^100番目以降2が続く。
を満たすことである。
上記をみたす実数列の集合から任意に1つ選んでr2とおく。
上の代表元r1,r2を含んだ『代表元の袋』を用いて、確率1/2で箱の中身を当てられることを実例で示す。
すなわち、箱の1列目を最初に開けるか、2列目を最初に開けるか、
少なくともどちらかの選択によって、箱の中身が当てられることを示す。
なおゲーム開始前のプレイヤーは箱の中身を知らないことに注意する。
プレイヤーにとって1列目と2列目の決定番号d1,d2∈Nは未知であり、
どちらの列から開ければ
勝利条件：『最初に開けた列の決定番号 ≧ 開けずに残しておいた列の決定番号』
を満たすかをゲーム開始前に知ることはできないことに注意する。
（続く）
ゲームを開始。時枝の戦略に従って箱を開けていく。
まずプレイヤーは下記CASE1とCASE2のどちらか一方を選ぶ。
（たとえばコイントスで決める。）
CASE1) 最初に1列目を開け、2列目を開けずに残しておく。
CASE2) 最初に2列目を開け、1列目を開けずに残しておく。
先に述べた注意から、
勝利条件：『最初に開けた列の決定番号 ≧ 開けずに残しておいた列の決定番号』
をみたす確率は1/2であることに注意する。
（続く）
CASE1) 最初に1列目を開け、2列目を開けずに残しておく場合：
1列目をすべて開ける。
箱の中身は50万番目まではπの奇数桁に一致し、50万1番目以降は1が続くことが分かる。
すなわち第1列はr1と同値であることが分かる。
第1列とr1を比較し、第1列の決定番号d1=100(=D)を得る。
次に2列目の101(=D+1)番目以降をすべて開ける。
50万1番目以降は2が続くことが分かる。
すなわち第2列はr2と同値である。
また第2列とr2を比較すると、
・(100^100)^100-1番目が一致せず、
・(100^100)^100番目以降は一致する
ことがわかる。よってこの時点で第2列の決定番号d2=(100^100)^100が決まる。
第2列のD(=100)番目がr2のD(=100)番目と一致しなければならない理由はない。
つまり箱の中身は当てられず、失敗。
なお
『最初に開けた第1列の決定番号d1 < 開けずに残しておいた第2列の決定番号d2』
が成立していたことが分かる。
これは時枝の戦略が失敗する条件である。
（続く）
CASE2) 最初に2列目を開け、1列目を開けずに残しておく場合：
2列目をすべて開ける。
箱の中身は50万番目まではπの偶数桁に一致し、50万1番目以降は2が続くことが分かる。
すなわち第2列はr2と同値であることが分かる。
第2列とr2を比較し、第2列の決定番号d2=(100^100)^100(=D)を得る。
次に1列目の(100^100)^100+1(=D+1)番目以降をすべて開ける。
(100^100)^100+1(=D+1)番目以降は1が続くことが分かる。
すなわち第1列はr1と同値である。
ここで1列目の(100^100)^100(=D)番目を同じ類の代表元r1の(100^100)^100(=D)番目と
同じであると予想する。すなわち1と予想する。
1列目の(100^100)^100(=D)番目を開けると、中身は1。正解。ゲームはここで終わる。
ゲーム終了後、1列目の箱をすべて開けてみる。
箱の中身は50万番目まではπの奇数桁に一致し、50万1番目以降は1が続くことが分かる。
第1列とr1を比較することにより、決定番号d1=100を得る。
よって
『最初に開けた第2列の決定番号d2 > 開けずに残しておいた第1列の決定番号d1』
が成り立っていたことが分かる。
これは時枝の戦略が成功する条件である。
（以上）
> 例はなんでも良いです。但し、具体的数値でね。文字は使わずに
> 中学生が混乱しない具体例の説明願います
>
> でも、具体例の実行できないでしょ？
> 実行できるはずがない
> だって、トリックだもの
> 実行できない時枝解法。だから一見最もらしいと言える
このように言うスレ主に対して、俺は具体例>>30を提示した。
スレ主の『実行できない』という主張が明確に否定されたにも関わらず、
>>61
> 2,2,2,2,2,2,・・・をなぜ選ぶのか？ 選んでも良いが、本来無作為に選ぶべきところ、作為が入っているのでは？
> （中略）
> 再度強調しておく。d1＝3の場合と,d1＝１００万の場合とでは、当然d2≦d1となる確率は違う。
などと引き続き難癖をつけてくる。
スレ主によると
>>61
> ２．上記１の補足だが、nには上限がない。だから、n<=１００万よりも、n＞１００万の方が、
> 場合の数としては圧倒的に多い。ここまで書けば、言いたいことはお分かりだろう
>>62
> d1＝3の場合と,d1＝１００万の場合とでは、当然d2≦d1となる確率は違う。
とのこと。つまるところ、ほとんどの場合決定番号は非常に大きな値を取り、
そのとき時枝戦略は機能しないと主張している。
（中学生以上の方にはお分かりかと思うが、スレ主は事前確率と事後確率を区別できていない。）
仕方がないので決定番号をスレ主に自由に選ばせることにした。
スレ主はd1=100、d2=(100^100)^100を選んだ。
それに対して俺は>>91-94で成功確率がこの場合も1/2であることを示した。
2つの具体例を併せて考えれば、確率を決めるのは『決定番号の大小関係』であって、
『決定番号の絶対値や差の大きさ』ではないことに小学生でも気付けるはずだ。
*,1,1,1,・・・の類と*,2,2,2,・・・の類の代表元が具体的に決まれば（すなわち選択公理を認めるならば）、
それがどんな元であれ>>30や>>91-94で実行した戦略をまったく同じようになぞることができる。
冗談抜きにこれは小学生でもできる。
> 確率を決めるのは『決定番号の大小関係』であって、
"戦略の成功/失敗を決めるのは『決定番号の大小関係』であって、"
に訂正しておく。
よく「使える数学」とかいう内容の記事があるが、こういう内容は恐らく一種のネタだよ。
仕事現場では、数学を意識することは少ない。実際に数学を使う業種は教師や大学教員や
開発現場など、ごく一部に限られる。医者や弁護士の大部分だと仕事現場で数学を使うことはなく、
力仕事だと殆ど必要ない。コンピュータでも、システムエンジニアやプログラマだと、
現場で実際に必要とされるのは、コミュ力やチームワークの方が大きい。農業や漁業だと、
勿論殆ど必要ない。会社の場合は仕事現場で必要な能力は、
基本的に内定後に研修とかで身に付けることの方が重要になる。
そのような現場で数学は殆ど使われていないことの証拠に挙げられるのが、
よくいわれる「数学は役立たない」というセリフ。数学と物理はお互いに発展し、
物理や化け学、生物学を実社会に応用したのが工学や農学とか。
医学もどちらかというと応用科学になる。そのようなことを意識していない人が
日本には多い。これは、私が昔就活していたとき実感したことな。
だから、こういう記事の内容は真に受けない方がいい。
やっぱり解析や線形代数かねえ‥
ちなみに、よく「数学が出来ると高収入になる」といわれるが、
これは基本的に高校位の数学になる。それを応用する能力になる。
なのだから、数学といっても、必要とされる能力は、実際の仕事現場で、
算数のような感覚で高校レベルの数学をする能力が必要ということになる。
記事の基本的な趣旨は、皆さんの多くにとっては今までしていたこと
(高校以下の数学)が仕事現場で必要になった、というだけの話になる。
大学以降の数学であれば、確率論も含めた解析や線型代数の方が遥かに役に立つ。
統計を基礎からしっかり理解しようとすると、どうしても測度論が必要になる。
多くの統計の本では、確率測度を説明なしに導入しているでしょう。
だから、理論的に統計を基礎から理解することは難しくなる。
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