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微分幾何学スレ
小学校のかけ算順序問題×15
○と→による日本語理論
大学の線形代数学の質問。
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フェルマーの最終定理の簡単な証明7
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高校数学の質問スレPart403
- 533 ：
- >>527
>・ お前の屁理屈によれば、「 P → Q 」は証明不可能であって、
> 実際には「 P∧Q → Q 」しか証明できないことになる。
違うと思うよ
（>>195より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
（>>523より）＜言い換え版＞
定理1.7：
f：R → R は、R−B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
(引用終り)
定理1.7のさらに言い換え版
Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）
（なお、当然ながら、R−Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
ベールの第一類集合R−Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。
１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
補足：
・R−Bfが、R中で稠密で性質NGを持つのだから、Rの任意の開区間には必ず性質NGを持つ部分が入る。あたかも、有理数Qと無理数との関係に同じ。
・背理法を免罪符にしているが、背理法は系1.8であり、定理1.7は背理法以前である。
以上
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