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（負の数）×（負の数）＝（正の数）になる理由って中学生に説明できる？


1 ：2016/02/13 〜 最終レス ：2020/05/17
足し算、引き算は数直線使えば説明つくが、
掛け算となると中学生に説明するのは厳しくないか？

2 ：
現実の対応物の実例を求められたらクーロン力を引用すればいい

3 ：
一年で一万円ずつ借金が増えています。
さて、一年前は今よりもお金はどれくらい多かったでしょうか？

4 ：
>>3
納得
同時に自分の発想力のなさを実感。
今度使ってみる。どもです。

5 ：
整数を同値類で定義する

6 ：
なんとか塾セミナーかよ。

7 ：
指数（index)をグロタンディーク構成で定義する

8 ：
整数性定理
弱い意味でのK群（グロタンディーク群）、導来圏。としての指数（index)。

9 ：
1-1=0
1+(-1)=0
(-1)×{1+(-1)}=0
(-1)+(-1)×(-1)=0
(-1)×(-1)=1

そもそもマイナスの定義は足して0になるやつだから
-(-1)と(-1)を足すと定義から0
だから-(-1)+(-1)=0
ほんで-(-1)=1

小学生でも余裕で理解できる

10 ：
>>9
-a=(-1)×a の証明が要る。
分配法則から導ける。

11 ：
後ろ向いて後ろ向きに歩くと前に進む

12 ：
>>11
これ大っ嫌い
後ろ向いて後ろ進んだら後ろ向いてるから後ろの前だからいみねーじゃん

13 ：
>>12
あらかじめ決められた「前」と自分から見た「前」が逆（別方向）になるから嫌ってこと？
ま、気持ちは分かるけど、分かりやすい陳腐な例えを嫌う中二的な思想はそろそろ卒業しよう。

14 ：
＞後ろ向いて後ろ向きに歩くと前に進む
これは -(-a)=a の説明であって、
(-a)(-b)=ab や (-1)(-a)=a の説明にはなってないと思う

15 ：
負の数×負の数
後ろを向いてバック

16 ：
しょうがねぇな〜考えてやるかちょっとまってろ

17 ：
裏の裏は表
敵の敵は味方

18 ：
つまりこれってさ、
×(-1)をどう表現するかだよな？
-4なら「４足りない」でわかると思うし（ここの天才様は納得しないけど）
-4*4も、足りない４が４セットで済む
けど待てよ？
負の数なんて自然界には存在しないんだから、物理的に表現するのは適切じゃないな
アストラル界で考えよう
目をつぶって、第二の瞼だけを開くんだ…
すると見えてくる…りんごだ…リンゴがある…
真っ暗な世界に浮かぶ灰色のリンゴ。これを二個に増やそう…
*2だ…よし…これでいい…一つのリンゴが、若干大きくなった一つのリンゴになった
次は*3^3^3だぞぉ…ちょっちょっちょちょい！アカン！！戻そう！
よぉし…この若干大きいリンゴに魔力を込めるぞっ…（魔力じゃなくてEでも可)
*(-1)だっ…
こうして宇宙は生まれました。

つまり、(-1)には二種類ある。
かけられる（割られる）負の数と、かける（割る）負の数。
かけられる負の数は”定義”。大きさや範囲などを想定すること
かける負の数は”反転”。定規の中心を０として、真っ二つに折ったときの対応する数に代わる

よって、負の数＋正の数は説明できない

19 ：
敵味方は向き付け可能なのか

20 ：
>>19
おっ、話が通じそうな人が来た！

21 ：
言葉で何を言い抜けようとしても、結局、
∀a,-a=(-1)×a の証明は要るのだと思う。
それは、本質的に形式的なこと。

22 ：
掛け算の本質は分配則にある
実際に分配則と帰納法でa+a+...+a(aがn個)=n×aは簡単に証明できるし
環での掛け算の公理は実質分配律が支配してる

負の数に掛け算を拡張すれば分配律からそうなるとしか言えない

23 ：
速度vと時刻tの積を考えるのが一番分かりやすいんでないの
必要ならv-t平面にグラフを描いて説明

24 ：
v-tグラフを理解する方がずっと難しいような

25 ：
v-t平面じゃなくてx-t平面だった
新しく定義した負の数の積によって、x=vtが直線を描くことを確認するという意味

26 ：
定義です

27 ：
x=vtが直線になることをどう説明すんのさ

28 ：
vやtが負のときでも等速度運動する物体をイメージすればxの値は直観的にわかるでしょ
それをx-t平面にプロットする
ここでは、vやtが負のときでもx=vtという関数形がそのまま成り立つ、という仮定（公理？）を置いている
ビデオの逆再生という説明もいいかもしれない
>>3と同じことではあるけど、こちらの方が視覚的に把握できる分、納得しやすいと思う

29 ：
訂正：
ここでは、tが負のときでもx=vtという関数形がそのまま成り立つ、という仮定（公理？）を置いている

30 ：
マイナスって実はディラックの海的な解釈がある訳で
p進数とかで補数表現もその仲間

31 ：
それって、コンピュータでよく使う２の補数表現の仲間？２進数だしな。
その一般化かいな？

32 ：
指数定理に近づく最初のマイナス一歩

33 ：
いつものこれで十分だろ

(-1)*(-1)=(-1)*(-1)-1+1
=(-1)*(-1)+(-1)*1+1
=(-1)*(-1+1)+1
=(-1)*0+1
=1

34 ：
>>31
コンピュータの自称「２進数」は mod 2^n だが、
数学の２進数は mod ∞ だと思えば、
当たらずとも遠からず。

35 ：
マジレスすると、このスレのテーマは「中学生に説明できる？」だから、
当然分配則を使ったら、「何故分配側則の成立が前提になっているの」という疑問が提示されるだろｗ
それに、哲学的なコトを言っても納得するわけもなし。

また、「２−４」みたいな二項演算子と、「−（＋３）＝−３」みたいな単項演算子、それと負数の乗法を
ごちゃまぜに扱っても、中学生が納得するわけもない。結果的に一緒くたにできるが、それは後の話。

俺も、>>3 みたいな話で納得するよ。
そういう具体例を大量に行って検証した結果が、正負の数の演算の公理だと思っているしな。

36 ：
演算法則を満たす現実のモデルも確かに大切だけど、
概念を拡張しても形式は不変であるべき、というのが数学では非常に重要な動機

37 ：
>>35
＞そういう具体例を大量に行って検証した結果が、
＞正負の数の演算の公理だと思っているしな。

ダウト。
お前、そもそも「公理」が何者だか解ってないだろ。

例え話は証明じゃないし、
公理は実験結果の報告じゃあない。

38 ：
具体例をいくつも見てきた結果を公理として定式化する
という意味でしょ、アスペかっての

39 ：
個人個人が、自分の体験を公理と呼んでいたら、
万人が意思疎通可能な共通の定義にならないでしょ。
文学じゃなく、数学の話なんだよ？

40 ：
何を言っているんだ
数学者一人一人は個人に過ぎない
共通の定義をするための公理であり、数学的定式化でもあるのだろうに

41 ：
自然数の演算もユークリッド幾何も、まさに数学の外での経験的事実の定式化なんだけど、
これが整数だとどうして事情が異なると思ったんだろう
おそらく、群の公理系のような「既に数学に存在する対象の抽象化により得られた公理系」と、
ユークリッド幾何のような「経験や直観を定式化することで、それを数学的対象と成すための公理系」を混同しているせいではなかろうか

42 ：
アホな自分の文章では伝わらないかもしれませんが、自分は初めて習った時から、-1倍するというのは数直線上で0を中心にして反対の符号の方へ持っていくイメージで解釈しています。

43 ：
>>41
自然数でも、整数でも、それを定義する公理系は、
数学の外で経験された「自然数っぽいもの」「整数
っぽいもの」の観念を定式化したものなんだが、
定式化によって産み出された概念は、その時点で
もう曖昧な直感とは別のものになっている。
数学が扱うのは、定義された自然数、整数のほうで、
「自然数っぽいもの」「整数っぽいもの」ではない。
両者をつなぐものは、連想でしかない。

ユークリッド幾何のような、名前は「公理系」だが
実態は数学の外で経験された直感でしかないもの
と混同すべきではないね。

44 ：
まあ、この「正負の数の乗法」の場合はそのユークリッド幾何的な、数学の外で
経験されたモノによってもたらされた直観的なモノだろうな。

だからこそ、納得させるにはその数学の外のモノを提示して、「こいつをまねてますよ」
と言えば良い。

45 ：
マイナス×マイナスはマイナスになりそうだってのが直感ですよ
この時点でマイナス×マイナスがプラスになるというのは直感に反しています

46 ：
直感では通分も出来ないだろ

47 ：
穴の数が自然数っぽく見えて整数なのだ
裏の裏は表

48 ：
>>43
「ユークリッド幾何」には二通りの意味がある
・ユークリッド原論に書かれた幾何学
・（実）内積空間の幾何学
後者は前者を厳密に定式化したものであり、数学の外で経験された直感でしかないものとは前者のこと

49 ：
>>43
＞両者をつなぐものは、連想でしかない。
その通り
数学の中で抽象化により得られた公理系とは別種のものなのだが、それと区別できていないと指摘したのだ
（「例え話は証明じゃないし、公理は実験結果の報告じゃあない」）
まるで君が自分で言い出したことであるかのように振る舞うのはやめなよ

50 ：
>>49
このスレ的にはユークリッド原論に書かれたような意味での公理で何の問題もないのでは？

51 ：
>>50
俺は問題があるなんて言ってないよ
>>43の人は問題あると思ってるように見えるけど
おまけに不自然なまでに現実とイデアを切り離そうとしているようにも見える

52 ：
俺幼稚園の頃学習図鑑で空孔理論理解したら褒められた経験あるからディラックの海に思い入れあるんだよな。まだ福音館書店の数学絵本とか読んでた頃の話だが。

53 ：
(0-1)^2

54 ：
中学生に説明するんだからちょっといい加減でもいいんだよ。

いや、むしろいい加減の方がいいな。

55 ：
>>19
"敵の敵は味方"公理からコボルディズム理論っぽいものを構築してるんだな俺は。

56 ：
-1*(-1)=-1としたら矛盾おこりまくり

57 ：
数直線上で、正数にマイナスかけたら原点中心に反転して負数。
負数にマイナスかけても反転するから、今度は正数になる。
複素平面的な考えに繋がるかな
それともこういう機械的な操作が受け入れられないってことか

58 ：
そもそも、なぜマイナスを掛けたら反転するのかってのがダメなんじゃないの？

59 ：
それまで数量の具体例で教えられてた正数は、スカラー的な理解なんだろうな。
そこにいきなり負数が来て、ベクター的理解が求められるのか。

もう正数の足し算の時点で、数直線に矢印書いて教え、引き算の時に逆向きの矢印を書いて…

60 ：
その教え方は良いけど、実際に言葉にして納得させるときには綿密な組み立てが
必要だよ。内容が思いつき程度だと納得してくれない。

ちなみにベクトルなんてもってのほか。

61 ：
表裏は位相幾何的な一番基本概念でいいじゃない。

62 ：
>>60
ベクトルより先にスピンの方がいい

63 ：
向き付け、スピン、表裏

64 ：
「ルートの中は正数」って条件をつけることによって、負数を入れられないのか少しは考えると思う。
それは虚数を知った時にかなり役立つんじゃないか。

同様に、「数直線の矢印は右向き」って教えると、無意識に左向きの数を期待するんじゃないか？

65 ：
説明方法じゃなくて教育論になってるな、すまん

66 ：
表裏でもベクトルでも良いが、そもそも「なぜその操作がかけ算に結びつくのか」ってのを
中学生に説明するのが困難なのであって…

>>65
教育論も含むんじゃないの？このスレ

67 ：
ポリゴン教えて外積代数

68 ：
クォータニオンまで教えちゃえばいいのに。義務教育で。

69 ：
行列削るならそれくらいでいいな

70 ：
中学生に説明できる??ってスレなのにガチのやつおおすぎ

71 ：
俺が今もし中学生だったとしたらパソコンで3Dのゲームエンジン作れるぐらいの知識は教えてほしいからな
実際の人生だとキーポイントの「行列と変換群」読んだのが浪人生ぐらいだったしちょっと遅かったし。

http://www.amazon.co.jp/dp/4777518736/
今はこういうたぐいの本もあるから独学でも到達しやすいだろうけど。

72 ：
無理だってのw

73 ：
>>71
自己紹介乙
義務教育でそこまでやるとかお前で世界はまわってねぇよw

74 ：
>>72-73
小中学校の教員には教えるの不可能かもしれないが真ん中から上の出来の小中学生ならすんなり使えるようになるだろう

75 ：
教わる方より教える方が主役気取りだからな
教員中心に世界は回ってねぇよ

76 ：
そんな特殊な技能は義務教育では必要ない、してはいけないという趣旨だよ
本気で分かってなかったのかね

77 ：
四元数がいかに特殊じゃなく物理学的三次元的な現実的な意味があるかが背景にあるのを知らなかったの？>>76は？

78 ：
中学校教員は新しいこと勉強できなくても勤まるから浮世離れしてていいね

79 ：
geometric algebraの方が線形代数より特殊だが物理学的には現実寄りと言える。
現実なんて特殊すぎる！と言われたらそこで話はおしまいだが

80 ：
http://www.amazon.co.jp/dp/4627077416/

81 ：
>>75
板違いだわ悪いこと言わないから別のとこ行け

82 ：
もう自然数から整数を構成する時点でグロタンディーク構成を使うから?理論の話になるのは必然なんだよね

http://www.amazon.co.jp/dp/4621063871/
「数」 下 (シュプリンガー数学リーディングス)の第11章335ページ以降が答えだよね。
このスレの問いの包括的な。

じゃなきゃ
http://www.amazon.co.jp/dp/4791763130/
「負の数学―マイナスかけるマイナスはマイナスになれるか?」
を嫁

83 ：
もう自然数から整数を構成する時点でグロタンディーク構成を使うからK理論の話になるのは必然なんだよね

http://www.amazon.co.jp/dp/4621063871/
「数」 下 (シュプリンガー数学リーディングス)の第11章335ページ以降が答えだよね。
このスレの問いの包括的な。

じゃなきゃ
http://www.amazon.co.jp/dp/4791763130/
「負の数学―マイナスかけるマイナスはマイナスになれるか?」
を嫁

84 ：
いくら煽っても普通の中学生にはちと無理な発言が延々とｗ

85 ：
自分でゲームつくりたいゲームの理屈理解したい程度の中学生ごまんと居るけど？

86 ：
そこまで目標をはっきり見据えてる子がどうして学校の授業にそれを期待するのやら
ゲーム作りにはゲーム作りのための本があることくらい思いつかないはずがない

87 ：
文系でもSEぐらいにはなる可能性普通にあるからこれぐらい理解できる地頭じゃないとITドカタまっしぐらだな。
あ、小中学校の教員止まりなら理解できなくてもいいですｗ。

88 ：
義務教育の目的は知能テストではない

89 ：
中学生にはできないことができる自分に酔ってるだけではないのでしょうか

90 ：
大体、中学校で教えるべきだと言いながら小中学校の教員は理解できなくてもいいです、とは

91 ：
学校の授業にそれを期待してないわけでなく
小中学校の教員止まりにそれを期待してないわけだが

92 ：
>>90
言ってる本人すらわかってもいないこと言及する相手からすら学び取れないとやっていけないよな
現実には

93 ：
その調子で肝心の>>88にも返答してくれ

94 ：
小中高全部公立でもそれなりの大学以上行く奴居るわけだが。
なんか全部公立で塾すら逝かず東大行くやつを素で迫害しそうだな、このスレ住人。

95 ：
学部数学科じゃないとか、文系で高等数学知ってる奴も迫害しそう。

96 ：
え、なんなのその被害妄想
ゲーム作りに興味があるなら本買って自分で勉強すればいいじゃん
それこそ君の好きな学習スタイルなんじゃないの

97 ：
大体、大学へ行くのなら尚のこと、中学の時点で専門的なことまで勉強しておく必要が薄れると思うのだが

98 ：
俺が仮定する高校生はマセマティカに感動してグレブナー基底独学で勉強するぐらいだから。

99 ：
>>97
公立校から遊んで大学入試誤魔化せるぐらいの地頭だと
或る意味すごく暇ですｗ

100 ：
やはり君の頭の中は知能テストのことでいっぱいみたいだな

>>89
正解だったみたいね


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