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統計ソフトSTATAの部屋 Ver.2
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分からない問題はここに書いてね456
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分からない問題はここに書いてね457
■■■■■■■■■■■ 裏金
分からない問題はここに書いてね478
- 45 ：
- >>44 つづき
また、f(x) = 1/q^νのνによっても状況が変わる。
ν＝０ならいわゆるディリクレ関数で、R全域で不連続
ν＝１ならいわゆるトマエ関数で、R全域で連続だが、微分不可
ν＞＝２なら、R全域で連続に加え、至ところ微分可だが、非可算濃度の微分不可の集合が無理数内に残る
ν＞＝２なら、R全域で連続に加え、至ところ微分可だが、非可算濃度の微分不可の集合が無理数内に残る
そして、指数νを２よりどんどん大きくし、あるいはf(x) = 1/w(q) で関数w(q) を冪乗より急増大にとることに、非可算濃度の微分不可の集合をルベーグ測度０（ハウスドルフ次元０）にできる
その数理は、無理数を決めるコーシー列の性質によるのであって
無理数が代数的数のような、トゥエ・ジーゲル・ロスの定理
（ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%82%A5%E3%82%A8%E3%83%BB%E3%82%B8%E3%83%BC%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AD%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 ）が適用できる場合は、微分可能になり
無理数がリュービル数のような、性質の場合は、ずっと最後まで、微分不可の集合として残る
これらの変化は、R－Bfが稠密な場合にのみ起こり、かつ、有理数側のf(x) = 1/w(q)が、全体の連続 or 不連続、あるいは、微分可能 or 不可能を支配している
だが、定理1.7とその証明には、ここらの数理は全く反映されていない
つづく
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