1文字変えたら難易度が激変する問題 3文字目
2スレ目 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1299412685/
[Easy] 2014!を5^{500}で割った余りを求めよ。
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・k
を証明せよ
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
なら自明
ちな
Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・kの最後のkは(n-k)にはかかってないやつ
垂線が対面の内心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Intermediate] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の重心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Easy] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の外心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Easy] cos(x)+sin(x)は周期関数か？
[Easy] f(n) = \sum_{k=0}^{n} (nCk)^{+1}とする。n=1,2,...,2017のときf(n)の最大値を求めよ。
[Easy] 数列 { a_k }(k=1,2,…)を、a_1=1、a_{k+1}=a_k +1と定める。{a_k}の中にpの倍数が存在するような素数pが無数に存在することを示せ。
1/n = a、(n-1)/n = b とおく。
(左辺) = Σ[k=0〜n] Ｃ(n,k)・a^k・b^(n-k) = (a+b)^n,
また
Ｃ(n,k)･k = n･Ｃ(n-1,k-1) (k=1〜n)
だから
(右辺) = nΣ[k=1〜n] Ｃ(n-1,k-1)・a^k・b^(n-k)
= naΣ[k=0〜n-1] Ｃ(n-1,k)・a^k・b^(n-1-k)
= na(a+b)^(n-1),
[Easy]
f(n) = (1+1)^n = 2^n,
最大値 2^2017,
[Hard]
f(1) = 2、f(2)= 2.5、f(3)=f(4)= 8/3、f(5)= 2.6
n≧6 のとき、
C(n,k) ≧ C(n,2) (2≦k≦n-2)
f(n) < 1 + 1/n + (n-3)/C(n,2) + 1/n + 1
= 2 + 4(n-2)/{n(n-1)}
< 2 + 4/(n+1),
≦ 2 + 4/7,
最大値 8/3
[Easy]
周期2πをもつ。
[Hard]
f(R) = Max{cos(x)+sin(πx)；|x|≦R}
とおき
(1) f(R) < 2,
(2) lim[R→∞] f(R) = 2,
を示せばよい。
[Hard] f(x)が周期関数だと仮定すると、f(x)=f(T+x)を常に(どんなxでも)満たす
正の定数Tが存在するはず。
f(0)=1、f(±T)=cosT±sin(πT)=1より、cosT=1、sinπT=0。
T=2mπ=2n(m,nは0でない整数)より、π=m/nが有理数になってしまい矛盾。
sin(πx)=1 のとき x = 2m + (1/2) ≠ 2Lπ, cos(x)<1,
∴ cos(x)<1 または sin(πx)<1,
∴ cos(x) + sin(πx) < 2,
∴ f(R) < 2.
>>33 (2)
任意のε>0 に対して、n ≧ π/√(2ε) なる自然数nをとる。
｜x｜≦ π/n ⇒ cos(x) > 1 - ππ/2nn > 1-ε,
区間[0,1) を幅 1/n の小区間にn等分する。
鳩ノ巣原理（ディリクレの引き出し論法）により
0,｛1/π},｛2/π},｛3/π}, ････,｛n/π｝のn+1個のうちの2つは同じ小区間に含まれる。
0 <｛(i-j)/π｝=｛i/π} - {j/π｝< 1/n,
0,｛(i-j)/π},｛2(i-j)/π},｛3(i-j)/π}, ････ は 1/n より狭い間隔で並ぶ。
｜{m/π} + 1/(4π)｜< 1/2n,
を満たす整数（i-jの倍数）mがある。
π/n >｜2π{m/π} + 1/2｜ =｜2m + 1/2 -2Lπ｜=｜x - 2Lπ｜,
∴｜x - 2Lπ｜< π/n < √(2ε),
∴ cos(x）= cos(x-2Lπ）> 1-ε,
∴lim[R→∞］f(R）= 2,
[Super hard / Ultra hard] cos(x)+sin(πx）は一様概周期函数か？
”uniformly almost-periodic function”はBohr(1925)、Bochnner(1927)が創始したらしい。
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割りきれる。（乗法的）
[Easy] では a_k=k なので明らか。[Hard］は別記。
(略証)
ユークリッド法（背理法）による。
題意の素数が｛p_k｜k=1,2,…,n｝のみだったと仮定する。
各p_k に対し、p_kの倍数である a_φ(k) がある。（[Easy] ではφ(k)=p_k）
ψ＝φ(1)φ(2)……φ(n)
とおくと、補題により
a_ψ≡ 0（mod p_k)
a_(ψ+1）≡ 1（mod p_k)
は上記のどのp_kでも割りきれないから、仮定に反する。（honda氏の解）
* [Hard] は ヨーロッパ女子数学オリンピック、日本代表選抜一次試験の問題
〔補題の補題〕
[Hard］のとき
a_{m+n｝- a_m は（a_n)^2 で割り切れる。（kisato氏)
(略証)
m についての帰納法で。
m=1 のとき、漸化式より
a_{n+1｝- a_1 =｛(a_n)^2 + 1｝- 1 =（a_n)^2,
また、
a_{m+n+1｝- a_{m+1} =（a_{m+n｝+ a_m)(a_{m+n｝- a_m)
ゆえ、あるmに対して成立なら、m+1に対しても成立。
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割り切れる。（乗法的）
これが分かると難易度に差はない、というのが出題の趣旨でしょうか。
http://suseum.jp/gq/question/2658
2項漸化式を少し一般化して、
a_{n+1} = P( a_n ), ただし P(x)は多項式で P(0) = a_1,
としても
a_{n+1} - a_1 = P(a_n) - a_1 = Q(a_n, 0)a_n ≡ 0（mod a_n),
a_{m+n+1} - a_{m+1} = P(a_{m+n}) - P(a_m)
= Q(a_{m+n}, a_m)(a_{m+n} - a_m),
なので、同様のことが成立つ（？）
[Easy] n^m= m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。
[Easy] 正の整数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。
[Hard] A=[0,0,1]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2]
[3,1,0]
[Easy] A=[0,0,0]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2]
[Easy] 点(k,-8)を通る、y=x -6x^2の接線は何本あるか？
[Easy] nを自然数とする。0≦x<2^{-1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。
[Hard] PA-PBの最小値があれば、その値を求めよ。
[Easy] PA+PBの最小値があれば、その値を求めよ。
[Easy]0=0
激変？
大して変わらん気がする
[Hard]の方は不要
考え方によっては[Hard]の方が簡単
[Lunatic］（m,n）=（1,4）（8,2） たぶん…
[Easy］ （m,n）=（m,m）（2,4）（4,2）
>>41
整式を差分すると次数が１つ下がるから、fは2次式。
>>45
[Easy］
［ 3^n，3^(n-1)，0 ］
A^n =［ 0，0，0 ］
［ 0，2^n，2^n ］
[Hard］
［ 3^n，3^n - f_{n+1}，3^n -（1/2)f_{n+2｝］
A^n =［ 0，2f_{n-1}，f_n ］
［ 0，2f_n，f_{n+1｝］
ここに f_n =｛(1+√3)^n -（1-√3)^n}/(2√3),
漸化式
f_{n+1｝= 2f_n + 2f_{n-1},
f_0 = 0，f_1 = 1，f_2 = 2，f_3 = 6，…
>>46
[Easy]
k <（1-√193)/12，k >（1+√193)/12 2本
k =（1±√193)/12 1本
（1-√193)/12 < k <（1+√193)/12 なし
[Hard］
（±2，-8）（±√2，-8）を通る。
（±1，-5）変曲点
|k｜< 11/8 2本
11/8 ≦｜k｜≦√2 3本
√2 <｜k｜<2 2本
|k｜= 2 3本
2 <｜k｜ 4本
>>57
[Easy］x=π/4,
[Hard] 増減表より
nが偶数のとき x=π/4 + nπ/2,
nが奇数のとき x=π/4 + nπ,
>>58
[Hard］最小値なし。下限 -1，P(-∞，0)
[Easy］△不等式より AB=√10，P(2/3，0)
［2014/5］+［2014/25］+［2014/125］+［2014/625］= 501,
2014! = 5^501 ×（2 + 15 + 25 + 250 + 0 + 12500 + …）
= 5^501 ×（2+15）+ 5^503・M
[Easy］ 0
[Hard］ 17×5^501
[Hard］増減表より
nが偶数のとき周期π x = π/4 + mπ/2
nが奇数のとき周期2π x = π/4 + mπ
（mは任意の整数）
>>58
[Hard］
P(x，0）とおく
PA + PB >｜x｜+｜1-x｜= Max｛｜2x-1｜，1｝≧｜2x-1|,
PA - PB + 1 = 2(x+1)/(PA+PB）+ 1 > 0,
Γとηとζとθの関数等式。どこかで見たけどどんなんだったかな。
[hard]2^9999999999999999を求めよ
縛りきつすぎるかな
[hard]2^9999999999999999を求めよ
100の階乗を求めよ
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