不等式への招待 第10章
＿＿＿ ----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
|┃三 .／ ≧ ＼
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|┃ ≡|::::: (● (● | 不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ 黙っちゃゐられねゑ…
|┃=＿＿ ＼ ﾊｧﾊｧ
|┃ ≡ ） 人 ＼ ガラッ
【まとめWiki】 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
【過去スレ】
・不等式スレッド （第１章） http://science3.2ch.sc/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章 http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章 http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章 http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待 第７章 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待 第８章 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1498378859/
・不等式への招待 第９章 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1505269203/
・過去スレのミラー置き場 http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/
【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
[1] 不等式（数学クラシックス11），Hardy, Littlewood, Polya，丸善出版，2003年
http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
http://amazon.jp/dp/4844372661
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5] 不等式入門（数学ライブラリー教養篇４），渡部隆一，森北出版，2005年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8] 不等式 ～ 21世紀の代数的不等式論 ～，安藤哲哉，数学書房，2012年
http://amazon.jp/dp/4903342700、（正誤表+補遺）http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/
[9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として，佐藤淳郎（訳），朝倉書店，2013年
http://amazon.jp/dp/4254111371
[10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年
http://www.amazon.co.jp/dp/4887422091
【不等式のpdf】
[1] Vasile Cîrtoaje、Mathematical Inequalities. http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php
[2] 柳田五夫、初等的な不等式ⅠⅡⅢなど. http://izumi-math.jp/I_Yanagita/I_Yanagita.html
【おもな埋蔵地】
[1] JIPAM https://www.emis.de/journals/JIPAM/
[2] MIA http://mia.ele-math.com/volume/20
[3] AoPS https://artofproblemsolving.com/community
[4] Maths problems http://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/index.html
[5] IMO http://www.imo-official.org/problems.aspx
[6] American Mathematical Monthly Problems http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照 http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
諸君 私は不等式が大好きだ
改造が好きだ 改良が好きだ 拡張が好きだ
AM-GMで Cauchyで Holderで Jensenで Schurで
Chebyshevで rearrangementで Bernoulliで
Muirheadで Karamataで Maclaurinで ぬるぽビッチで
この地上に現れるありとあらゆる不等式が大好きだ
大小順をそろえた歩兵の横隊を 並べ替え不等式で蹂躙するのが好きだ
恐慌状態の新兵が分母にAM-GMを誤用して 不等号の向きを何度も何度も間違えている様など感動すら覚える
糸口の見つからない不等式に滅茶苦茶に悩まされるのが好きだ
必死に悩んだ不等式が成立しない例を挙げられていく様はとても悲しいものだ
君達は一体何を望んでいる？ 更なる不等式を望むか？
『不等式！ 不等式！ 不等式！』
よろしい ならば証明だ！
rv―v―､ r-v-v
r､ ﾉ も（ ﾉ ま ( ,ｨx
(＼＼(＾} ) !! 厳. っ ( ） だ ( /)///7
{＾ヽ＾ヽ { ） し. と ( ） だ ( / 'ヽ /
＼ ｀Y ﾉ}_ ﾊ く ﾉ 乂 ノ {. 〈 /
〉,r彡ﾊ _＞ ＜ / ま ( 人＿ノ〉
V ∨ !! 改 も （) !! だ（ / 7 /
'v V 良 っ （). だ(/ /
'v V .を と 人＿,ノ〈 /
V V rfﾃ弐ミk / }'
'v ',仔r＝r弌ﾘ' /
'v '({ ヾ二ﾌ,j' /
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＿j／ / | / :| | ＼＼
_,＞､__, イ＞＼／ _｣/＼￣{_
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(1) a,b,c≧-1, a+b+c=3 のとき、-32≦(a+b)(b+c)(c+a)≦8.
(2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
(3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.
---------------------------------------
(1)の証明
a+b, b+c, c+a のうち負は高々１個。
a+b, b+c, c+a ≧0のとき、AM-GMより、
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = 8.
１つだけ負のとき、対称性から a+b < 0 ≦ b+c, c+a としてよい。
このとき、条件より 3<c≦5 で、AM-GMより、
0 ≦ -2(a+b)(b+c)(c+a) ≦ [ {-2(a+b)+(b+c)+(c+a)}/3]^3 = (c-1)^3 ≦ 64.
---------------------------------------
〔予想〕
a_1, a_2, …, a_n ≧ -1, a_1+a_2+…+a_n = n, のとき
・n：奇数 (n≧5) ならば
-(2^n)(n-1)^2 ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦ 2^{n-2} (n-2)^2 (n-1),
・n:偶数 ならば
-2^{n-2} (n-2)^2 (n-1) ≦ Π(a_j + a_{j+1}) ≦（2^n)(n-1)^2.
スレ立て乙
ついに２桁に到達したでござるな。
・次スレ用のメモ。
【過去スレ】
～.2ch.sc/ → ～.2ch.sc/
・過去スレのミラー置き場
http://onedrive.live.com/?id=D357AFBB34F5B26F%21110&cid=D357AFBB34F5B26F
【姉妹サイト】
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ http://www.casphy.com/bbs/highmath/471952/
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２ http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/
次スレ用のメモ
【不等式の和書】
[1] 不等式 (数学クラシックス11), G.H.Hardy、J.E.Littlewood、G.Polya(著)、細川尋史(訳), 丸善出版, 2012年, 417p.
http://www.amazon.co.jp/o/ASIN/4621063510
[2] 不等式 (数学選書), 大関信雄・青木雅計, 槇書店, 1967年(絶版), 237p.
ASIN B000JA494Y,
[3] 不等式への招待 (数学ゼミナール6), 大関信雄・大関清太，近代科学社，1992年, 162p.
ASIN 4844372661, ISBN 978-4-844-37266-0,
http://www.kindaikagaku.co.jp/news/20120912/index.html
[4] 不等式入門 (数学のかんどころシリーズ9), 大関清太, 共立出版, 2012年, 186p.
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5] 不等式入門 (数学ライブラリー教養篇4), 渡部隆一，森北出版，2005年, 154p.
ASIN 4627010494, ISBN 978-4-627-01049-9,
http://www.morikita.co.jp/books/book/84
[6] 不等式の工学への応用, 海津 聰(訳), 森北出版，2004年, 160p.
ASIN 4627075812, ISBN 978-4-627-07581-8,
http://www.morikita.co.jp/books/book/437
[7] 不等式 (モノグラフ4), 梁取 弘(著)、矢野健太郎(監修), 科学新興新社, 1998年, 118p.
http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8] 不等式 ～ 21世紀の代数的不等式論 ～, 安藤哲哉, 数学書房, 2012年, 280p.
ASIN 4903342700, ISBN 978-4-903-34270-2,
http://www.sugakushobo.co.jp/903342_70_mae.html
（正誤表+補遺) http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/
[9] 美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として, 佐藤淳郎(訳), 朝倉書店, 2013年, 260p.
http://www.asakura.co.jp/G_12.php?isbn=ISBN978-4-254-11137-8
[10] 思考力を鍛える不等式 (大学への数学・別冊), 栗田哲也, 東京出版, 2014年, 135p,
ASIN 4887422091, ISBN 978-4-887-42209-4,
http://www.tokyo-s.jp/products/d_zoukan/futoushiki/index.html
※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照 https://seesaawiki.jp/w/loveinequality/
乙。修正すべきことがたくさんあるね。
> (2) a,b,c,d≧-1, a+b+c+d=4 のとき、-48≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
a+b, b+c, c+d, d+a のうち、3つ以上が負にならない。
また2つが負のとき、隣り合う2つか、一つおきの2つが負だが、後者はありえない。
結局、次の3つを考えればよい。
(i) a+b, b+c, c+d, d+a ≧0.
(ii) a+b, b+c, c+d ≧0 >d+a.
(iii) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+a.
(i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦16.
(ii)のとき、4<b+c≦6に注意して
0 ≦ -27(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ [ {3(a+b)+(b+c)+3(c+d)-3(d+a)}/4]^4 = (b+c)^4 ≦1296,.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≧-48.
(iii)のとき、-1≦d<b≦7に注意して
0 ≦ 9(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) ≦ [ {(a+b)+(b+c)-3(c+d)-3(d+a)}/4]^4 = (b-d-2)^4 ≦1296.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≦144.
( ﾟ∀ﾟ) こんなものかな。次は(5)か…
蛇足 ： (ii)では 4<b+c≦6、(iii)では 7≧b>d≧-1に注意。
アホだ。ちゃんと書いとったわ。
> (3) a,b,c,d,e≧-1, a+b+c+d+e=5 のとき、-512≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.
a+b, b+c, c+d, d+e, e+a のうち、4つ以上が負にならない。
また3つが負の場合に、負でない2つが隣り合わない場合も除外してよい。
結局、次の5つを考えればよい。
(i) a+b, b+c, c+d, d+e, e+a ≧0.
(ii) a+b, b+c, c+d, d+e ≧0 > e+a.
(iii) a+b, b+c, c+d ≧0 > d+e, e+a.
(iv) a+b, b+c, d+e ≧0 > c+d, e+a.
(v) a+b, b+c ≧0 > c+d, d+e, e+a.
(i)のとき、AM-GMより 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦32.
(ii)のとき、-2≦e+a<0 に注意して
0 ≦ -(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {(a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+e)-(e+a)}/5]^5
＝ {2 - (2/5)*(e+a)}^5
≦ (14/5)^5
＜ 512.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)>-512.
(iii)のとき、-1≦e≦5, 5<b+c-e≦9 に注意して
0 ≦ 27648(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {8(a+b)+3(b+c)+8(c+d)-12(d+e)-12(e+a)}/5]^5
＝ {3(b+c-e)-e-4}^5
≦ 24^5.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≦288.
(iv)のとき、5<b≦9 に注意して
0 ≦ (a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {(a+b)+(b+c)+(d+e)}/3]^3 * [ {-(c+d)-(e+a)}/2]^2
＝ {(b+5)/3}^3 * {(b-5)/2}^2
≦ (14/3)^3 * 2^2
＜ 288.
∴ 0≦(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)<288.
(v)のとき、-1≦d,e<b≦9 に注意して
0 ≦ -64(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
≦ [ {(a+b)+(b+c)-4(c+d)-4(d+e)-4(e+a)}/5]^5
＝ (b-d-e-3)^5
≦ 8^5.
∴ 0≧(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≧-512.
( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！ 残りは一般のnの場合だが、こんなやり方じゃ場合分けで死ぬ…
a, b ≧1 のとき不等式
(1/2)^{a+b-2} ≦ (a+b-1)∫[0,1] t^{a-1} (1-t)^{b-1} dt ≦ 1
が成り立つことを証明して下さい。
(近畿大学 数学コンテスト21, 2018/11/03)
http://www.math.kindai.ac.jp/index.php?id=84 → 第21回(H30年)
http://suseum.jp/gq/question/2997
http://www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２-327
一般の場合のよい証明が思いつかんでござる。
このとき次の不等式が成立
Σ[i=0,m-t-1]C[2m,i]<4^m/2k
http://mobile.twitter.com/cho_san111000/status/954730066033831940
(deleted an unsolicited ad)
自然数mについて
4^m /√(π(m+1/3)) < C[2m,m] < 4^m /√(π(m+1/4)),
(略解)
a_m = √{π(m+1/4)} C[2m,m]/(4^m),
b_m = √{π(m+1/3)} C[2m,m]/(4^m),
とおくと
a_m < b_m,
(4m+5)(2m+1)^2 - (4m+1)(2m+2)^2 = 1 より
a_{m+1}/a_m = √{(4m+5)/(4m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} > 1,
a_m は単調増加。
(3m+1)(2m+2)^2 - (3m+4)(2m+1)^2 = m より
b_{m+1}/b_m = √{(3m+4)/(3m+1)}・{(2m+1)/(2m+2)} < 1,
b_m は単調減少。
よって
a_1 < a_2 < ････ < a_m < ････ < b_m < ････ < b_2 < b_1
ゆえ収束する。
極限値 １
3<π<4 √(π(m+1/4)) < 1 < √(π(m+1/3)) より a_0 < 1 < b_0
3<π<3.2 √(π(m+1/4)) < 2 < √(π(m+1/3)) より a_1 < 1 < b_1
m>1 のときも a_m < 1 < b_m
極限値はウォリスの公式
C[2m,m] = (2m)! / (m!)^2 ～ 4^m / √(πm),
またはスターリングの公式
log(n!) = (n+1/2)log(n) - n + (1/2)log(2π) + 1/(12n) + O(1/n^3)
log{C[2m,m]} = log{(2m)!} - 2log(m!) = m log(4) - (1/2)log{π(m+1/4)} + O(1/m^3)
から出る。
f(x)>=0 を満たす条件を a,b,c,d の式で表せ、という古典的な問題
解けたけど、昔から答は知られている気もする。
答の書いてある本とか論文とかWEBを知ってる人いる?
自分の解は複雑で2chには書けないけど、誰も知らないなら論文に投稿する。
（ ´Д｀ ） 新年あけまして
/ ヽ
し、__X__,ノJ
/´⌒⌒ヽ
ｌ⌒ ⌒ｌ おめでとうございます。
⊂ （ ） ⊃
V￣V
正の数 a，b，c に対して
(a^2019 -a^31 +3) (b^2019 -b^31 +3) (c^2019 -c^31 +3) ≧ 9 (abc)^(4/3),
[第９章.395, 397]
(aa+bb+cc)^2 - (ab+bc+ca)^2 ≧ (√6)|(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)|,
[前スレ.574, 576]
//www.casphy.com/bbs/highmath/472060 不等式２-196
じゅー君 (作)
x^2019 - x^31 + 3 ≧ 2．08319787624644064040 x^(4/3),
等号成立は x = 0．99794707802373850618 のとき。
(6053x^2019 - 89x^31 - 12 = 0 の正根)
最良値 9．040481720894526247626
人
／⌒＼ （＿_）
＼●／（＿＿）／⌒＼
∩ （・∀・ ）＼●／ あけおめでござる。
Y ￣ ||ｙ|| ￣`''φ
Lノ /ニ|| ! ソ >
乂/ﾉ ﾊ ヽー´
`ー-、＿_|
〔問題390〕
正の数 a，b，c に対して
(a^2019 - a^31 + 3) (b^2019 - b^31 + 3) (c^2019 - c^31 + 3) > 3 (a^4 + b^4 + c^4),
[前スレ.390]
x0 = 0．99794707802373850618 とおく。 >>26
(x^2019 - x^31 + 3)^3 ≧ k {(x/x0)^12 + 1 + 1} ≧ 3k (x/x0)^4,
ここに k = 2．98882413327445720383
(左辺) = (a^2019 - a^31 + 3)(b^2019 - b^31 + 3)(c^2019 - c^31 + 3)
≧ k [{(a/x0)^12 + 1 + 1} {1 + (b/x0)^12 + 1} {1 + 1 + (c/x0)^12}]^{1/3}
≧ k {(a/x0)^4 + (b/x0)^4 + (c/x0)^4} (←コーシー)
= (k/x0^4) (a^4 + b^4 + c^4)
= 3．01349390694842082546 (a^4 + b^4 + c^4)
等号成立は a=b=c=x0.
k/(x0^4) = 3．0134939069６484208254
||x||_p はp-norm
p>q>0に対して、||x||_p ≦ ||x||_q ≦ n^(1/q - 1/p)*||x||_p.
今年もよろしくお願いします ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
||x||_p = (|x_1|^p + |x_2|^p + ････ + |x_n|^p)^{1/p}
p次平均ノルム
p≧1
x ≒ x0 の周りにテイラー展開すれば
(x^2019 - x^31 + 3)^3 = 3k{1 + 4(x/x0 - 1) + 45791.82863314406(x/x0 -1)^2 + ････},
(x/x0)^12 + 1 + 1 = 3{1 + 4(x/x0 - 1) + 22(x/x0 - 1)^2 + ････},
(x/x0)^4 = {1 + 4(x/x0 - 1) + 6(x/x0 - 1)^2 + ････},
自然数 n に対して m が 2n より大きい自然数ならば a(2n)/b(2n)<a(m)/b(m) が成り立ち,
自然数 n に対して m が (2n+1) より大きい自然数ならば a(2n+1)/b(2n+1)>a(m)/b(m) が成り立つ.
左:
0 < t < 1/2 ⇒ 1-t > t,
1/2 < t < 1 ⇒ t > 1-t,
(中辺) > (a+b-1)∫[0,1/2] t^{a+b-2} dt + (a+b-1)∫[1/2,1] (1-t)^{a+b-2} dt
= [ t^{a+b-1} ](0,1/2) + [ (1-t)^{a+b-1} ](1/2,1)
= (1/2)^{a+b-1} + (1/2)^{a+b-1}
= (1/2)^{a+b-2},
右:
ヤングの不等式より
t^{a-1}･(1-t)^{b-1} ≦ [(a-1)t^{a+b-2} + (b-1)(1-t)^{a+b-2}]/(a+b-2),
(中辺) ≦ [(a-1)t^{a+b-1} - (b-1)(1-t)^{a+b-1}](0,1) /(a+b-2)
= [(a-1) + (b-1)] / (a+b-2)
= 1,
a,b,c > 0 に対して、
(a+b+c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 8[(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2]/(a+b+c)^2,
( //www.casphy.com/bbs/highmath/472060/ 不等式２ - 325, 336 )
( //suseum.jp/gq/question/3013 )
bはaとcの中間にあるとしてよい。
(a-b)(b-c) ≧ 0,
(c-a)^2 = (a-b)^2 + 2(a-b)(b-c) + (b-c)^2,
s = a+b+c，u = abc とおく。
(左辺 - 右辺)･ssu
= [c(a-b)^2 + b(c-a)^2 + a(b-c)^2]ss - 8u[(a-b)^2 + (c-a)^2 + (b-c)^2]
= (css -8u)(a-b)^2 + (bss -8u)(c-a)^2 + (ass -8u)(b-c)^2
= [(b+c)ss -16u](a-b)^2 + (bss -8u)･2(a-b)(b-c) + [(a+b)ss -16u](b-c)^2
≧ 4a[(a-b)(b-c)]^2 + 16b[(a-b)(b-c)]^2 + 4c[(a-b)(b-c)]^2
= 4(a+4b+c)[(a-b)(b-c)]^2
≧ 0,
(b+c)ss - 16u -4a(b-c)^2 = (b+c)[ss - 4a(b+c)] = (b+c)(-a+b+c)^2 ≧ 0,
bss - 8u -8b(a-b)(b-c) = b[ss -8b(a-b+c)] = b(a-3b+c)^2 ≧ 0,
(a+b)ss - 16u -4c(a-b)^2 = (a+b)[ss - 4c(a+b)] = (a+b)(a+b-c)^2 ≧ 0,
(1) (abb)^3 + (bcc)^3 + (caa)^3 + 3(abc)^3 ≧ abc{(ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3} + (abc)^2･(a^3 +b^3 +c^3)
バルカンMO-2015、P1
(2) a√(a+3b+c) + b√(a+b+3c) + c√(3a+b+c) ≦ √(a+b+c)･√{a(a+3b+c)+b(a+b+3c)+c(3a+b+c)},
セルビアMO-2017、P1改
(3) (a-b-c)^2 /b + (b-c-a)^2 /c + (c-a-b)^2 /a ≧ (aa+bb)/(a+b) + (bb+cc)/(b+c) + (cc+aa)/(c+a),
クロアチアMO-2018、A1改
ｶﾞｲｼｭﾂかも知れませんが････
( ﾟ∀ﾟ)ノ ごきげんよう
a,b,c>0 に対して
1/a + 1/b + 1/c ≧ 2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a) ≧ 9/(a+b+c) ≧ 9/√{3(aa+bb+cc)}.
( ﾟ∀ﾟ)ノ ごぶさたでござる。
なんと！元の不等式はヌルヌルでござったか…
(aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 + 2(ac+bd)^2
= (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 + 2(ab+cd)^2.
これって何か背景あるのかな？
行列式を展開して作れるのかなと思ったが、どんな行列式から出てくるか思いつかん。
(aa+bb-1)^2 + (cc+dd-1)^2 - 2(ab±cd)^2
= (aa+cc-1)^2 + (bb+dd-1)^2 - 2(ac±bd)^2.
= (aa+dd-1)^2 + (bb+cc-1)^2 - 2(ad±bc)^2, (複号同順)
同じことだけど････
n個の正数 x_1, x_2, …, x_n の相加平均を A_n、相乗平均を G_n とする。
それに正数 y を追加した (n+1)個組の相加平均を A_{n+1}、相乗平均を G_{n+1} とする。このとき
n(A_n - G_n) ≦ (n+1)(A_{n+1} - G_{n+1}),
[前スレ.866, 872]
ニコニコ大百科
http://dic.nicovideo.jp/a/jacobsthalの不等式
NOTEの不等式って、ヤコブスタールの不等式とどこが違うの？
畏れながらお奉行様、手前には何のことやらさっぱり分からぬ始末にございまして、いやはや、いったいどこからそのような根も葉もない噂が流れ ましたことやら。
溜池通信
http://tameike.net/writing/shanghai27.htm
いい加減にしろよ馬鹿が
それを気にしていたら、このスレの住人は務まりませぬ。。。
雑誌を全部サーチしてから出すなんて、どだい無理だし。
コーラを飲めばゲップが出るくらい当たり前のことだと思っていたけど…
ということで願いたい。
A, B, C は正の実数で次式を満たす。
M = (A+B+C)/3 = 1/(nn+n+1),
n = 1, 2, ････
このとき次式を示せ。
{(1-A)/A^p}^p + {(1-B)/B^p}^p + {(1-C)/C^p}^p ≧ 3{(1-M)/M^p}^p,
ただし p = 1/(n+1).
by K. Chikaya (2019/Feb)
http://suseum.jp/gq/question/3043
x,y,z>0 のとき次を示せ。
4 + xx + xyy + xyzz ≧ 4xyz,
カナダMO-2012 A.1
左から AM-GM するだけ....
4 + xx + xyy + xyzz + xyzww ≧ 4xyzw,
カラクリが分かると何でもないですね、ありがと。
(abcd + bcde + cdea + deab + eabc)^4 ≧ 125(a+b+c+d+e)(abcde)^3
abcd + bcde + cdea + deab + eabc = 5(G^5)/H,
a+b+c+d+e = 5A,
abcde = G^5,
だから
A^(n-1)･H ≧ G^n ≧ A･H^(n-1) … Sierpinskiの不等式
の右側でござるか。
・文献3 (大関) 2-2 例題1 p.79-80
1/a=A, 1/b=B, 1/c=C, 1/d=D, 1/e=E
とおく。 与式は
(A+B+C+D+E)^4 ≧ 125(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC),
となる。 左辺を展開すると、いろいろなパターンの4次項が現れる。
5つから重複を許して4つを取り出す場合は
(4,1) (3,1,1) (2,2) (2,1,1) (1,1,1,1)
の5パターンがある。
(4,1) A^4 + B^4 + C^4 + D^4 + E^4,
(3,1) 4(A^3)(B+C+D+E) + …
(2,2) 6(AABB+AACC+AADD+AAEE+BBCC+BBDD+BBEE+CCDD+CCEE+DDEE),
(2,1,1) 12AA(BC+BD+BE+CD+CE+DE) + …
(1,1,1,1) 24(ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC) = 24v,
AM-GM より (A^4 + B^4 + C^4 + D^4)/4 ≧ ABCD,
(4,1) ≧ v,
同様にして（ﾁｮﾄ怪しい…)
(3,1) ≧ 16v,
(2,2) ≧ 12v,
(2,1,1) ≧ 72v,
(1,1,1,1) = 24v,
となるので、
(左辺) = (A+B+C+D+E)^4 ≧ (1+16+12+72+24)v = 125v = (右辺),
訂正ｽﾏｿ
5つから重複を許して4つを取り出す場合は
(４) (3,1) (2,2) (2,1,1) (1,1,1,1)
の5パターンがある。
Muirhead から
(4) ≧ (3,1) ≧ (2.2) ≧ (2,1,1) ≧ (1,1,1,1) = 24v,
ですね。
一般のnについても、同様に成立。
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201902&t=mat&l=en
C.1511
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201812&t=mat&l=en
B.4980
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201810&t=mat&l=en
C.1493, B.4968の分数の取りうる値は？
http://www.komal.hu/feladat?a=honap&h=201809&t=mat&l=en
Given that xx+yy+zz=3, where x,y,z are positive numbers. Prove that
2^(1/x) + 2^(1/y) + 2^(1/z) ≧ 6, (2019/Feb)
(略証)
コーシーで
(xx+yy+zz)(1/x+1/y+1/z)^2 ≧ (1+1+1)^3 = 27,
あるいは AM-HM で
1/x + 1/y + 1/z ≧ 9/(x+y+z) ≧ √{27/(xx+yy+zz)} = 3,
AM-GM で
(左辺) ≧ 3･2^{(1/x +1/y +1/z)/3} ≧ 3･2 = 6,
等号成立は x=y=z=1.
B and C are interior points of a line segment AD such that AB=CD.
Prove that PA+PD ≧ PB+PC for any point P on the plane. (2018/Dec)
(略証)
・Pが直線AD上になく、B≠C の場合。
ADの中点 = BCの中点 をFとし、PFの延長線上に PF=FQ となる点Qをとる。
問題図は点Fに関して対称である。
⊿PAF ≡ ⊿QDF、 ⊿PBF ≡ ⊿QCF
PA = QD、 PB = QC
ここで、⊿PDQ ⊃ ⊿PCQ だから
QD + PD ≧ QC + PC,
∴ PA + PD ≧ PB + PC,
・B=C の場合は△不等式となる。
・Pが直線AD上の場合は明らか。A以遠またはD以遠のとき等号成立。
Let n>3 be a positive integer, and let a_1, a_2, ････, a_n be positive real numbers. Prove that
1 < a_1/(a_n+a_1+a_2) + a_2/(a_1+a_2+a_3) + ････ + a_n/(a_{n-1}+a_n+a_1) < [n/2]
where the left-hand side of the inequality cannot be replaced by a larger number, and the right-hand side cannot be replaced by a smaller number.
( [x] denotes the greatest integer not greater than the number x.) (2018/Oct)
(左側)
(分母) < a_1+a_2+････+a_n により成立。
また ε>0, a_i = ε^(i-1) とすると、(中辺) < 1 +(n-1)ε,
ε→0 とすれば1に近づく。
(右側)
nが偶数のとき、隣合うペアについて
a_i/(a_{i-1}+a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}) < a_i/(a_i+a_{i+1}) + a_{i+1}/(a_i+a_{i+1}) = 1,
だから成立。
nが奇数のときは、分母（a_{j-1}+a_j+a_{j+1}）が最小となるような j に対して
a_{j-1}/(a_{j-2}+a_{j-1}+a_j) + a_j/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) + a_{j+1}/(a_j+a_{j+1}+a_{j+2}) < (a_{j-1}+a_j+a_{j+1})/(a_{j-1}+a_j+a_{j+1}) = 1,
残った偶数項を隣合うペアに分ける。 後略
A triangle of unit area has sides a,b,c, such that a≧b≧c.
Show that b ≧ √2. (2018/Sep)
(略解)
2⊿ = bc･sin(A) ≦ bc ≦ bb,
b ≧ √(2⊿),
等号成立は直角2等辺⊿
Solve the following simultaneous equations on the set of positive real numbers:
1/(1+a+ab+abc) + 1/(1+b+bc+bcd) + 1/(1+c+cd+cda) + 1/(1+d+da+dab) = 1,
a+b+c+d = 4. (2018/Sep)
(略解)
abcd ≦ {(a+b+c+d)/4}^4 = 1, (← GM-AM)
1/(1+b+bc+bcd) = a/(a+ab+abc+abcd) ≧ a/(a+ab+abc+1),
1/(1+c+cd+cda) = ab/{ab+abc+abcd(1+a)} ≧ ab/(ab+abc+1+a),
1/(1+d+da+dab) = abc/{abc+abcd(1+a+ab)} ≧ abc/(abc+1+a+ab),
(左辺) ≧ 1,
等号条件から a=b=c=d=1.
bを底辺としたときの高さ（辺bに下した垂線の長さ）m はc以下だから
2⊿ = bm ≦ bc ≦ bb,
ワクワクするね
3(a+b)(b+c)(c+a)/(16abc) ≧ Σ[cyc] (a+b)^2/{(b+c)^2 + (c+a)^2}.
p(n+1)^3 < Π[k=1 to n] p(k).
4302, 4304, 4308, 4309, 4310
https://cms.math.ca/crux/v44/n1/Problems_44_1.pdf
4311, 4316, 4319, 4320
https://cms.math.ca/crux/v44/n2/Problems_44_2.pdf
4321, 4322, 4327, 4329
https://cms.math.ca/crux/v44/n3/Problems_44_3.pdf
4335, 4336, 4340
https://cms.math.ca/crux/v44/n4/Problems_44_4.pdf
4348, 4349, 4350
https://cms.math.ca/crux/v44/n5/Problems_44_5.pdf
4353, 4359, 4360
https://cms.math.ca/crux/v44/n6/Problems_44_6.pdf
4367
https://cms.math.ca/crux/v44/n7/Problems_44_7.pdf
4376、4377, 4380 ←ﾊｧﾊｧ
https://cms.math.ca/crux/v44/n8/Problems_44_8.pdf
4388, 4389
https://cms.math.ca/crux/v44/n9/Problems_44_9.pdf
4398, 4399
https://cms.math.ca/crux/v44/n10/Problems_44_10.pdf
春ですな ( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
nについての帰納法で････
・n=5 のとき
(左辺) = p(6)^3 = 13^3 = 2197,
(右辺) = p(1)p(2)p(3)p(4)p(5) = 2･3･5･7･11 = 2310,
により成立。
・n>5 のとき
ベルトラン予想（チェビシェフの定理）より p(n+2)/p(n+1) < 2,
∴ {p(n+2)/p(n+1)}^3 < 8 < p(n+1),
n について成立すれば n+1 のついても成立する。(終)
さくら、さくら、今 咲き誇る
http://www.youtube.com/watch?v=PB-IdtDRY1I
crux/v44/n1/Problems_44_1
4304
Evaluate
cot(π/7) + cot(2π/7) + cot(4π/7) + {cot(π/7)}^3 + {cot(2π/7)}^3 + {cot(4π/7)}^3,
4306-改
Prove that
√(16n+24) > √n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) > √(16n+20),
4308.
Let a,b & c be positive real numbers. Prove that
27abc(aab+bbc+cca) ≦ (a+b+c)^2･(ab+bc+ca)^2,
4309.
Let a,b & c be real numbers such that a+b+c=3. Prove that
2(a^4 + b^4 + c^4) ≧ ab(ab+1) + bc(bc+1) + ca(ca+1).
4304.
cot(π/7) + cot(2π/7) + cot(4π/7) = √7,
{cot(π/7)}^3 + {cot(2π/7)}^3 + {cot(4π/7)}^3 = 18/√7,
∴ 25/√7.
4306-改
右)
√n + √(n+3) = √{(2n+3) + 2√(n(n+3))} ≧ √{(2n+3) + 2(n+1)} = √(4n+5),
{√(n+1) - √n} - {√(n+3) - √(n+2)} = 1/{√(n+1) + √n} - 1/{√(n+3) + √(n+2)} > 0,
√n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) ≧ 2√(4n+5),
左) GM-AM より
√n + √(n+1) + √(n+2) + √(n+3) ≦ 4√(n+3/2) = √(16n+24),
4308.
A = aab+bbc+cca, B = abb+bcc+caa, C = 3abc とおくと与式は
9CA ≦ (A+B+C)^2,
(u+v+w)^2 ≧ 3(uv+vw+wu) より
B^2 ≧ 3abc(aab+bbc+cca) = CA,
A+B+C ≧ A + √(CA) + C ≧ 3√(CA),
4309.
(解1)
a^4 + b^4 + c^4 ≧ (1/3)(aa+bb+cc)^2 ≧ (1/9)(aa+bb+cc)(a+b+c)^2 = aa+bb+cc ≧ ab+bc+ca,
a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2,
辺々たす。
(解2)
a^4 + b^4 + c^4 ≧ (1/3)(aa+bb+cc)^2 ≧ (1/27)(a+b+c)^4 = (1/3)(a+b+c)^2 ≧ ab+bc+ca,
a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2,
辺々たす。
http://cms.math.ca/crux/v45/n1/Solutions_45_1.pdf
crux/v44/n2/Problems_44_2
4316.
Let f:[0,11] be an integrable and convex function. Prove that
∫[3,5] f(x)dx + ∫[6,8] f(x)dx ≦ ∫[0,2] f(x)dx + ∫[9,11] f(x)dx,
(略解)
下に凸だから
f(3+t) ≦ {f(t) + f(t) + f(9+t)}/3,
f(6+t) ≦ {f(t) + f(9+t) + f(9+t)}/3,
辺々たす。
f(3+t) + f(6+t) ≦ f(t) + f(9+t),
0≦t≦2 で積分する。
4317.
Solve the following system of equations over reals:
a+b+c+d = 4,
abc + bcd+ cda + dab = 2,
abcd = -1/4,
(略解)
ab+ac+ad+bc+bd+cd = 3√3,
となるから a～d は↓の実根。
0 = t^4 -4t^3 +(3√3)t^2 -2t -1/4 = {t-(1+√3)/2}^3 {t-(5-3√3)/2},
∴ a～d = (1+√3)/2 = 1.36602540378444 (3重根)
(5-3√3)/2 = -0.0980762113533
4320.
For positive real numbers a,b,c,d, prove that
(a+b)(a+b)(a+c)(b+c)(b+d)(c+d) ≧ (a+b+c+d)(abcd)^(5/4),
http://www.youtube.com/watch?v=Bq4wIVAYwoA
最近の数オリに不等式が少ないのは、ネタ切れなのかな？
crux/v44/n3/Problems_44_3
4321.
Find the greatest positive real number k such that
(aa + bb + cc + dd + ee)^2 ≧ k(a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + e^4)
for all real numbers a,b,c,d & e satisfying a+b+c+d+e=0.
k = 20/13, 等号成立は {1,1,1,1,-4} のとき。
4325.
Solve in real numbers the system of equations:
x^4 -2y^3 -x^2 +2y = -1 +2√5,
y^4 -2x^3 -y^2 +2x = -1 -2√5,
x = (1+√5)/2 = φ = 1.61803399
y = (1-√5)/2 = -1/φ = - 0.61803399
(x, y) ≒ (1.8 1.5) 付近では接触しないようでござる。
4327.
Prove the following inequality for all x>0:
arctan(x) arctan(1/x) < π/{2(xx+1)}.
4330.
Let a & b be integers such that aa -20b +24 = 0.
Find the complete set of solutions of the following equation over integers:
5xx + axy + byy = 11.
a = 2(5n+7), b = 5nn+14n+11
(x, y) = (n, -1) (-n, 1) (3n+4, -3) (-3n-4, 3)
a = 2(5n-7), b = 5nn-14n+11
(x, y) = (n, -1) (-n, 1) (3n-4, -3) (-3n+4, 3)
s,t,u と schur で何とかなりそうな伊予柑…
4327-改
Prove the following inequality for all x>0:
arctan(x) arctan(1/x) < πx/{2(xx+1)},
(略解)
x⇔1/x としても不変だから、0<x≦1 としてよい。
arctan(x) < x,
arctan(1/x) < π/{2(xx+1)},
辺々掛ける。
〔補題〕
0<x≦1 のとき
arctan(x) > πxx/{2(xx+1)},
arctan(1/x) < π/{2(xx+1)},
(略証)
・0 < x < 2/π のとき
arctan(x) = ∫[0,x] 1/(tt+1) dt > x/(xx+1) > πxx/{2(xx+1)},
arctan(1/x) = (π/2) - arctan(x) < π/{2(xx+1)},
・(4-π)/π < x ≦ 1 のとき
arctan(x) = (π/4) - ∫[x,1] 1/(tt+1)dt
≧ (π/4) - (1-x)/(xx+1)
= πxx/{2(xx+1)} + (1-x){πx - (4-π)}/{4(xx+1)}
≧ πxx/{2(xx+1)},
arctan(1/x) = (π/2) - arctan(x) ≦ π/{2(xx+1)},
crux/v44/n4/Problems_44_4
4335.
Let a & b be fixed positive real numbers and let n≧2 be an integer.
Prove that for any non-negative real numbers x_i, (i=1,2,････,n) such that x1 + x2 + ････ + xn = 1, we have
(a･x_1 + b)^(1/3) + (a･x_2 + b)^(1/3) + ････ + (a･x_n + b)^(1/3) ≧ (a+b)^(1/3) + (n-1)b^(1/3).
f(x) = (ax+b)^(1/3) は上に凸だから、Jensenで
f(x) ≧ x･f(0) + (1-x)･f(1),
4336.
For non-negative integers m & n, evaluate in closed form
Σ[k=0,n] Σ[j=0,m] (j+k+1)C[j+k,j]
1 + (mn+m+n)(m+n+3)!/{(m+2)! (n+2)!},
4340.
Let a,b,c & d be positive real numbers such that
a + b + c + d = 1/a + 1/b + 1/c + 1/d.
Show that
a + b + c + d ≧ max{ 4√(abcd), 4/√(abcd) }.
crux/v44/n5/Problems_44_5.pdf
4346.
Find all x,y,z ∈ (0,∞) such that
64(x+y+z)^2 = 27(xx+1)(yy+1)(zz+1),
x+y+z = xyz.
(x+i)(y+i)(z+i) = (xyz-x-y-z) + (xy+yz+zx-1)i
より
(xx+1)(yy+1)(zz+1) = (xyz-x-y-z)^2 + (xy+yz+zx-1)^2,
与式より
x+y+z = xyz = ±(3√3)/8･(xy+yz+zx-1)
ξ^3 -s･ξ^2 +{1±(8/3√3)s}･ξ -s = 0 の3根。
x = y = z = √3,
4348.
Let p∈[0,1]. Then for each n>1, prove that
(1-p)^n + p^n ≧ (2pp-2p+1)^n + (2p-2pp)^n.
4349.
Let x,y & z be positive real numbers such that x+y+z = 3.
Find the minimum value of
(x^3)/{y√(x^3 +8)} + (y^3)/{z√(y^3 +8)} + (z^3)/{x√(z^3 +8)}.
4350.
Let f:[0,1]→R be a decreasing, differentiable and concave function.
Prove that
f(a) + f(b) + f(c) + f(d) ≦ 3f(0) + f(d-c+b-a),
for any real numbers a,b,c,d such that 0≦a≦b≦c≦d≦1.
単調減少 だから
f(a) ≦ f(0),
f(b) ≦ f(b-a),
f(c) ≦ f(0),
f(d) ≦ f(d-c),
下に凸 だから
f(b-a) + f(d-c) ≦ f(0) + f(d-c+b-a),
辺々たす。
crux/v44/n6/Problems_44_6
4353.
Evaluate
lim[n→∞] (1/n)Σ[k=1,∞) Σ[j=1,n] 1/{k C[j+k-1,j]}.
・k=1
Σ[j=1,n] 1/C[j,j] = n
・k=2
Σ[j=1,n] 1/{2 C[j+1,j] = Σ[j=1,n] 1/{2(j+1)} ～ (1/2)log(n),
・k>2
1/C[j+k-1,j] = ((k-1)/(k-2)){1/C[j+k-1,j] - 1/C[j+k,j+1]},
Σ[j=1,n] 1/C[j+k-1,j] = ((k-1)/(k-2)){1/k - 1/C[n+k,n+1]}.
4356.
Solve the following system over reals:
a + b + c + d = 6,
aa + bb + cc + dd = 12,
abc + bcd + cda + dab = 8 + abcd.
これらより
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 12,
abc + bcd + cda + dab = 8,
abcd = 0,
0 = t^4 -6t^3 +12t^2 -8t = t(t-2)^3,
{a,b,c,d} = {0,2,2,2}
4359.
Let a,b & c be positive real numbers.
Prove that
3 ln(a^b + b^c + c^a) + a/c + b/a + c/b ≧ a+b+c + ln(27).
4360.
Let a,b,c be non-negative real numbers such that a+b+c = 1.
Find the minimum and the maximum values of the expression
(a+b)/(1+ab) + (b+c)/(1+bc) + (c+a)/(1+ca).
When do these extreme values occur ?
min. = 9/5, {a,b,c} = {1/2,1/2,0} {1/3,1/3,1/3}
max. = 2, {a,b,c} = {1,0,0}
crux/v44/n6/Problems_44_7
4367.
Let a, b & c be distinct complex numbers such that |a| = |b| = |c| = 1 and |a+b+c| ≦ 1.
Prove that
|(a+b)/(a-b)||(b+c)/(b-c)| + |(b+c)/(b-c)||(c+a)/(c-a)| + |(c+a)/(c-a)||(a+b)/(a-b)| = 1,
4370.
Solve the following system of equations:
a + b + c + d = 4,
aa + bb + cc + dd = 7,
abc + bcd + cda + dab - abcd = 5/16.
これらより
ab + ac + ad + bc + bd + cd = 9/2,
abc + bcd + cda + dab = 1,
abcd = 1/16,
0 = t^4 -4t^3 +(9/2)t^2 -t +(1/16) = (tt-2t+1/4)^2,
t = 1 ±(√3)/2, (重根)
Calculate
Σ[n=2,∞) (2^n)[ζ(n) -1 -1/(2^n)]
（与式) = Σ[n=2,∞) Σ[k=3,∞) (2/k)^n
= Σ[k=3,∞) (2/k)^2 /(1 - 2/k)
= Σ[k=3,∞) 4/{k(k-2)}
= Σ[k=3,∞) {2/(k-2) - 2/k}
= 2/1 + 2/2
= 3,
-----------------------------------
crux/v44/n8/Problems_44_8
4377.
Let x≧y≧z >0 such that x+y+z + xy+yz+zx = 1 + xyz.
Find min x.
与式より
xy+yz+zx -1 = xyz-x-y-z = A,
(x+i)(y+i)(z+i) = (xyz-x-y-z) + (xy+yz+zx-1)ｉ = A(1+i),
(x,y,z；A) = (7,3,3；50) (8,5,2；65) (13,4,2；85)
4378.
Find all k such that the following limit exists.
lim[n→∞) {k・F_(n+1) - Σ[i=0,n] φ^i} = 0,
where F_n is the n-th Fibonacci number and φ is the golden ratio.
F_n = {φ^n - (-1/φ)^n}/√5, (Binetの公式)
k = (√5)φ,
crux/v44/n9/Problems_44_9
4383.
Evaluate the inegral
∫[0,1] (ln x)・√{x/(1-x)} dx.
4388.
For positive real numbers a,b & c, prove
8abc(aa+2ca+bc)(bb+2ab+ca)(cc+2bc+ab) ≦ (27/64){(a+b)(b+c)(c+a)}^3.
4389.
Considerthe real numbers a,b,c & d.
Prove that
a(c+d) - b(c-d) ≦ √{2(aa+bb)(cc+dd)}.
{a(c+d) - b(c-d)}^2 + {a(c-d) + b(c+d)}^2 = 2(aa+bb)(cc+dd),
あるいは
(a+bi)(c-di)(1+i) = {a(c+d) - b(c-d)} + {a(c-d) +b(c+d)}ｉ,
(a-bi)(c+di)(1-i) = {a(c+d) - b(c-d)} - {a(c-d) +b(c+d)}ｉ,
辺々掛ける。
4390.
Let x,y & z be positive real numbers with x+y+z = m.
Find the minimum value of the expression
1/(1+xx) + 1/(1+yy) + 1/(1+zz).
4383.
(略解)
x = (sinθ)^2 とおくと
dx = 2 sinθ cosθ dθ
(与式) = 4∫[0,π/2] log(sinθ) (sinθ)^2 dθ
= 2∫[0,π/2] log(sinθ) {1 - cos(2θ)} dθ
= 2I - ∫[0,π/2] log(sinθ) 2cos(2θ) dθ
= 2I - [ log(sinθ) sin(2θ) ](0,π/2) + ∫[0,π/2] {cos(2θ)+1} dθ
= 2I + [ {-log(sinθ) + 1/2} sin(2θ) + θ ](0,π/2)
= 2I + π/2
= -π{log(2) - 1/2} (*)
-----------------------------------------------
*) 次を使った。
[例3]
∫[0,π/2] log(sinθ) dθ = - (π/2)log(2). (Euler)
被積分函数は θ→0 のとき -∞ になるが、θ^a log(sinθ) = (θ^a)logθ + (θ^a)log(sinθ/θ) → 0 (a>0) だから、
積分は収束する。(定理36)
この積分を I とすれば θ を π-θ に，また π/2-θ に変換して
I = ∫[π/2, π] log(sinθ) dθ, I = ∫[0,π/2] log(cosθ) dθ.
故に
2I = ∫[0,π] log(sinθ) dθ.
ここで θ=2φ とすれば
I = ∫[0,π/2] log(2φ) dφ = ∫[0,π/2] log(2 sinφ cosφ) dφ
= ∫[0,π/2] log(2) dφ + ∫[0,π/2] log(sinφ) dφ + ∫[0,π/2] log(cosφ) dφ,
= (π/2)log(2) + I + I.
よって標記の結果を得る。
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店(1961) p.113
第3章 積分法、§34. 積分変数の変換、[例3]
4390.
0 < m < √2 のとき
1 + 1 + 1/(1+mm) ≦ (与式) ≦ 3/(1+mm/9),
√2 < m < √3 のとき
1 + 2/(1+mm/4) ≦ (与式) ≦ 3/(1+mm/9),
√3 < m < √6 のとき
1 + 2/(1+mm/4) ≦ (与式) ≦ 1 + 1 + 1/(1+mm),
√6 < m のとき
3/(1+mm/9) ≦ (与式) ≦ 1 + 1 + 1/(1+mm),
>>74
crux/v44/n10/Problems_44_10
4398.
Prove that for n∈N, we have
1/(2n-1) + ∫[0,1] {sin(x^n)}^2 dx ≧ (2/n){1-cos(1)}.
4399.
Let ABCDE be a pentagon. Prove that
|AB||EC||ED| + |BC|ED||EA| + |CD||EA||EB| ≧ |AD||EB||EC|.
When does equality hold ?
crux/v44/n2/Problems_44_2
4317.
他にもまだあった。
・ab+ac+ad+bc+bd+cd = 3√3 のとき
a～d = (1+√3)/2 = 1.36602540378444 (3重根)
(5-3√3)/2 = -0.09807621135332
・ab+ac+ad+bc+bd+cd = -3√3 のとき
a～d = (1-√3)/2 = -0.36602540378444 (3重根)
(5+3√3)/2 = 5.09807621135332
4320.
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - (a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab) = (ac-bd)^2 ≧ 0,
より
(左辺)^2 ≧ {(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}^3,
(左辺) ≧ {(a+b+c+d)(abc+bcd+cda+dab)}^(3/2)
≧ 8(a+b+c+d)^(3/2)･(abcd)^(9/8)
≧ 16(a+b+c+d)･(abcd)^(5/4),
右辺の係数16が抜けてました。ｽﾏｿ
http://cms.math.ca/crux/v45/n2/Solutions_45_2.pdf
〔補題〕
(1/16) (a+b+c+d)^4
≧ (4/9) (ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2
≧ { (a+b)(b+c)(c+d)(d+a) + (a+c)(c+d)(d+b)(b+a) + (a+d)(d+b)(b+c)(c+a) } /3
≧ (a+b+c+d) (abc+bcd+cda+dab)
≧ 16 abcd,
(略証)
s = a+b+c+d, t = ab+ac+ad+bc+bd+cd, u = abc+bcd+cda+dab, v = abcd とおく。
3ss - 8t = (a-b)^2 + (a-c)^2 + (a-d)^2 + (b-c)^2 + (b-d)^2 + (c-d)^2 ≧ 0,
8tt - 6(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - 6(a+c)(c+d)(d+b)(b+a) - 6(a+d)(d+b)(b+c)(c+a)}
= {(a-b)(c-d)}^2 + {(a-c)(b-d)}^2 + {(a-d)(b-c)}^2 ≧ 0,
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a) - su = (ac-bd)^2 ≧ 0,
su - 16v = ab(c-d)^2 + ac(b-d)^2 + ad(b-c)^2 + bc(a-d)^2 + bd(a-c)^2 + cd(a-b)^2 ≧ 0,
訂正
4388.
For positive real numbers a,b & c, prove
8abc (aa+2ca+bc)(bb+2ab+ca)(cc+2bc+ab) ≦ {(a+b)(b+c)(c+a)}^3.
crux/v44/n3/Problems_44_3
4325.
与式を辺々たす。
0 = (x^4 -2y^3 -x^2 +2y +1) + (y^4 -2x^3 -y^2 +2x +1)
= (xx-x-1)^2 + (yy-y-1)^2
よって
xx -x -1 = 0 かつ yy -y -1 = 0,
>>83
やっぱり、そうだ。
http://cms.math.ca/crux/v45/n3/Solutions_45_3.pdf
4319.
Let x_1,x_2,････,x_n ∈ (0,+∞), n≧2, α≧3/2,
such that (x_1)^α + (x_2)^α + ････ +(x_n)^α = n.
Prove the following inequality:
Π[i=1,n] {1 +x_i + x_i^(α+1)} ≦ 3^n.
(略証)
x ≦ (α-1 +x^α)/α より
1 + x + x^(α+1) ≦ 1 + (1 +x^α)(α-1 +x^α)/α
= 1 + (1+X)(α-1 +X)/α
= 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/α)(X-1)^2
≦ 3 + (1+2/α)(X-1) +(1/8)(1+2/α)^2･(X-1)^2 (← α≧3/2)
= 3{1 +y +(3/8)yy}
≦ 3 e^y, (←補題)
ここに X = x^α, y = (1/3)(1+2/α)(X-1),
題意により
y_1 +y_2 + ････ +y_n = (1/3)(1+2/α)(X_1 +X_2+････+X_n -n) = 0,
(左辺) ≦ (3^n)e^(y_1+y_2+････+y_n) = 3^n.
〔補題〕
y > -0.9323381774 のとき 1 +y +(3/8)yy < e^y.
x>0, X>0, α≧3/2 のとき y > -7/9 > -0.9323381774
さて、補題をどう示すか････
4367.
O(0), A(a), B(b), C(c) とおく。
題意より A,B,Cは単位円上にあり、⊿ABC は鋭角三角形。
∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ とおくと tanα>0, tanβ>0, tanγ>0,
(a+b)/(a-b) = -i/tan(∠AOB/2) = -i/tanγ, etc.
(左辺) = 1/(tanγ･tanα) + 1/(tanα･tanβ) + 1/(tanβ･tanγ)
= (tanβ + tanγ + tanα)/(tanα･tanβ･tanγ)
= 1, (α+β+γ=π より)
4325.
xx-x-1 = 0, yy-y-1 = 0
を元の式に入れて
2√5 = x^4 -2y^3 -x^2 +2y +1 = (xx+x+1)(xx-x-1) -2(y+1)(yy-y-1) +2(x-y) = 2(x-y),
-2√5 = y^4 -2x^3 -y^2 +2x +1 = (yy+y+1)(yy-y-1) -2(x+1)(xx-x-1) +2(y-x) = 2(y-x),
これから x,y が出る。
模範解答は････
4319.
X = x^α,
f(X) = log{1 + X^(1/α) + X^(1+1/α)}
とおくと
f "(X)･αα･X^(2-1/α)･exp{2f(X)} = -α(α+1)X^(2+1/α) -2αX^(1+1/α) -αX^(1/α) +(α+1)X -(α-1)
< -2αX^(1+1/α) + (α+1)X - (α-1)
< -α[2X^(α+1)]^(1/α) + (α+1)X - 1/2 (← α≧3/2)
< 0,
より f(X) は X>0で上に凸。
∵ (α/(α+1))･2X^(1+1/α) + (α-1)/(α+1)
> (α/(α+1))[2X^(α+1)]^(1/α) + (1/(α+1))･(1/2) (← α≧3/2)
> X (← Jensen)
http://cms.math.ca/crux/v45/n2/Solutions_45_2.pdf
4321.
|a| ≧ |b|,|c|,|d|,|e| としてもよい。このとき
5aa - S_2 = 5aa - (aa+bb+cc+dd+ee) ≧ 0,
aa = (-b-c-d-e)^2 ≦ 4(bb+cc+dd+ee) = 4(S_2-aa),
∴ 4S_2 -5aa ≧ 0, (等号は b=c=d=e のとき)
2aa -S_2 = (-b-c-d-e)^2 -bb -cc -dd -ee = 2(bc+bd+be+cd+ce+de),
よって
S_4 = a^4 + b^4 + c^4 + d^4 + e^4
= a^4 + (S_2 -aa)^2 -2(bbcc+bbdd+bbee+ccdd+ccee+ddee)
≦ a^4 + (S_2 -aa)^2 -(1/3)(bc+bd+be+cd+ce+de)^2
= a^4 + (S_2 -aa)^2 -(1/12)(2aa -S_2)^2
= (13/20)(S_2)^2 - (1/15)(5aa -S_2)(4S_2 -5aa)
≦ (13/20)(S_2)^2,
http://cms.math.ca/crux/v45/n3/Solutions_45_3.pdf
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