現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む54
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。
このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています〜（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。
スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾
（旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てた）
（数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1506152332/
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。）
過去スレリンク集
53 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1537363981/
52 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1526384086/
51 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1518094687/
50 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1516499937/
49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/
48 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1513201859/
47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/
46 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1510442940/
45 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1508931882/
44 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1506848694/
43 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1506152332/ （だれかが立ててスレ。私は行きません。このスレに不満な人は、そちらへ）
42 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1505609511/
41 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1504332595/
40 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1503706544/
（40以降現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む)
（39以前 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む)
以下次へ
38 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1502430243/
37 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1501561433/
36 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1499815260/
35 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1497848835/
(35以降 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
34以前 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む)
34 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1496568298/
33 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1495860664/
32 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1495369406/
31 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1494038985/
30 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1492606081/
以下次へ
28 (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ) http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1483314290/
27 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1483075581/
26 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1480758460/
25 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1477804000/
24 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1475822875/
23 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1474158471/
22 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1471085771/
21 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1468584649/
25 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1477804000/
20 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1466279209/
19 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1462577773/
18 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1452860378/
17 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1448673805/
16 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1444562562/
15 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1439642249/
14 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1434753250/
13 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1428205549/
12 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1423957563/
11 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1420001500/
10 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1411454303/
9 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1408235017/
8 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1364681707/
7 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1349469460/
6 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1342356874/
5 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1338016432/
4 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1335598642/ スレタイに4が抜けてますが(4)です
3 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1334319436/
2 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1331903075/
1 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1328016756/
以上
このスレは、趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな
再生は無理だろう
そもそも、２ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない
アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない
複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1484442695/494
494 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/17
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部〜修士
ライター：amane_ruriさん 最終更新日時:2012/8/6
ナイス！：5閲覧数：11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）
2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈ*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈ*)の人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) (注*)：2ｃｈは、現2ｃｈ)
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
有名な話で、有限単純群の分類
”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか
おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1492606081/352
352 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/29(土)
みんな、何に価値をおいているか、それぞれだろうが・・
個人的には、数学板で一番価値を置いているのは、確かな情報 つまり 根拠の明確な情報 つまり コピペ
わけのわからん名無しさん（素数さん）のカキコを真に受けるとか、価値をおく人は少ないだろう
きちんと、大学教員レベルの証明があればともかく、匿名板でそれはない（名無しカキコは基本価値なし）
＜数学ディベート＞について
過去スレより
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1494038985/50
50 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/06
どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾；
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1494038985/189-190
189 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
いやはや、（文系） High level people たち（ ID:jEMrGWmk さん含め）の、数学ディベートもどきは面白いですね（＾＾；
”手強い？”とは・・、まさに、ディベートですね
私ら、理系の出典（URL)とコピペベース、ロジック（論証）＆証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル（２ＣＨスタイル？）とは、明白に違いますね
私ら、（文系） High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ（＾＾；
190 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから
典拠もなしによく議論しますね〜。よく分かりましたよ（＾＾；
私とは、議論がかみ合わないわけだ・・
”他サイトからのコピペでスレを埋め尽くす行為” なんて非難されましたけどね〜（＾＾；
ディベートに勝ちたいからそういう発言なんですね〜。典拠もなしで、出した典拠も読まない議論か・・。よく分かりましたよ（＾＾；
(おっちゃん、他のスレで苛められて、逃げて戻ってこないが（＾＾ )
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1497848835/638
638 名前：現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/07/11(火) 08:40:28.58 ID:+FRiTcES
>>630
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>まあ、おっちゃんが、上記を理解したら、時枝は終わりにしよう
>マジメに時枝問題のことでスレ主に付き合う気はなく、
>もはやそういうことをする価値もない。
>スレ主自身の主張や考え方が大きく間違っていることを私のせいにするべきではない。
いやいや、おっちゃんよりレベルの低い人と議論するつもりはないんだよ〜（＾＾
がまあ、おっちゃんのいう「価値もない」にも一理ある
ということで、皆さん悪いが、時枝は、一時棚上げだ。時々やろう
下記のパロディーで言えば、「数学雑談&ガロア理論 〜おっちゃんとボクと、時々、（時枝 ＆ ￥さん）〜」かな（＾＾
まあ、話題を散らしながら、ゆっくりやりましょう（＾＾
おっちゃん！ いま気になっていることを、好きに書いてくれ！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%BF%E3%83%AF%E3%83%BC_%E3%80%9C%E3%82%AA%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%81%A8%E3%83%9C%E3%82%AF%E3%81%A8%E3%80%81%E6%99%82%E3%80%85%E3%80%81%E3%82%AA%E3%83%88%E3%83%B3%E3%80%9C
東京タワー 〜オカンとボクと、時々、オトン〜 - Wikipedia
(抜粋)
『東京タワー 〜オカンとボクと、時々、オトン〜』（とうきょうタワー オカンとボクと、ときどき、オトン）は、リリー・フランキーの実体験を基にした長編小説である。
2006年と2007年にテレビドラマ化（単発ドラマと連続ドラマ）、2007年に映画化、舞台化されている。
2005年6月29日、扶桑社より発売された[1]。装丁もリリー本人。初版は3万部だった。2006年1月には100万部を突破。2006年10月31日には200万部（扶桑社発表）を越すベストセラーとなった。
久世光彦が「泣いてしまった…。これは、ひらかなで書かれた聖書である」と評価した。
(引用終り)
言わずもがなですが、数学の発展の大きな原動力は、物理です。数学の発展の大きな原動力は、工学です。
別に説明するほどのこともないですが。
古代の幾何学の背景に、実際の土地測量や巨大建築からの要請が原動力にあったことは間違いないでしょう。
ニュートン以来の解析や数論も同様。
で、物理学の背景に、工学に直結する日常のいろいろな事象がある。戦争というのも、大きな要因ではあります。仏エコールポリテクニークなども、ナポレオン戦争遂行のための工学校です。
（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%AF%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%82%AF エコール・ポリテクニーク 1804年にナポレオン・ボナパルトによって軍学校とされる）
工学が物理の進展を促した面は多々あります。有名なプランクの熱と光の放射の理論を研究した背景に、当時の工学的課題であった、高温物体を光学測定により正確な温度を知るため（今の光温度計）であったと言われています。
つまり、工学的課題「高温物体を光学測定により正確な温度を知るための光温度計」→物理的課題「高温物体の光放射理論構築」→プランクの量子仮説→量子力学の誕生→作用素環→非可換幾何（現代数学）ということなのです。
コンヌ先生もおっしゃっているそうですが、物理や工学の課題は、いままでもそうですが、現代数学のエネルギー源なのです。
京大数学科がだめになったのは、「20世紀の古い数学に閉じこもってしまった」というようなことがあるのではないでしょうか？ 新しい数学へのチャレンジが無い？
（参考 過去スレ39 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1503063850/476 (抜粋)「自己顕示欲だけが目的で人生を送り、ほんで他人の邪魔ばっかししてるから筑波とか京大みたいになってアカン様になんのや。」 ）
スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/11-67 ご参照！
ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です！ ＼（＾＾）／
（前スレ53で一段落ですが）
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
つづく
話の始まりは、https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1510442940/422-423
（現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む46）
定理の詳細の始まりは下記から。定理1.7と関連の系1.8の証明のPDF（今はリンク切れ）が、下記リンクからダウンロードできる
（引用開始）
スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/594
＜スレ46の422に書いた定理＞
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI
以下の pdf に証明を書いた。
ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz （注：残念ながら、2018年10月時点では削除されているので、下記アスキー文ご参照。手元にはPDFは残っているのだが）
なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、
pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所では その都度
「内点を持たない閉集合」
という言葉に置き換えた。
(引用終り)
スレ49において、PDFから、証明をアスキー化して、その全文を貼った
（文字化けと誤記はご容赦。読みにくいだろうが、そう思ったら右のURLのPDFを嫁め（・・と書いたが、削除されてしまった）。（＾＾ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明 ）
スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/178-186
つづく
この話を理解するためには、ディリクレ関数、トマエ関数、The modified ruler function などの病的関数の知識が必要だ
そのための参考が下記
（参考）
http://nygsuken.webcrow.jp/article/8.html
病的な関数とは? 西大和学園 数学研究部 2016-04-10
＜The modified ruler function のまとめサイト下記＞
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
あと、これ（下記２つのPDF）くらいは、読まないと
スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/81 より
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/366 より
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88
可算集合
可算個の可算集合の和集合や、有限個の可算集合の直積集合はまた可算である。これより、代数的数全体の集合 Q は可算であることが従う。しかし、可算個の可算集合の直積集合や、可算集合の冪集合は非可算であり、その濃度は連続体濃度である。
可算個の可算集合の直積集合の濃度は、この濃度不等式
2^No <= No^No <= (2^No )^No = 2^No
( Noは、アレフゼロを表わす)
によって、 N と等しいことが示される。
( N は、アレフ を表わす)
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1388503163
ID非公開さん2012/6/403:36:36 Yahoo
可算集合の可算個の和集合も可算集合になることを示せ
ベストアンサーに選ばれた回答
nbr********さん 2012/6/406:20:08
[takeru5hSI]
A_m = {a_mn ，A=∪A_mとする．a_mnをm+nが小さい順に，m+nが等しいものはmが小さいほうを先に並べると(同一のものが重複して出てきたときは飛ばす），この順番ですべてのa_mnの番号付ができるから，Aは可算．
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/
嶺 幸太郎 神奈川大学工学部数学教室
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/ep_del_2018_04_09.pdf
(抜粋)
実数の連続性とε-δ論法 最新版 2018/04/09 更新
・ボリュームがありすぎたため１割程度カットしました。
削除された部分は、2018/02/27バージョンに残っています。
更新内容：
・ボリュームがありすぎたため１割程度カットしました。
削除された部分は、2018/02/27バージョンに残っています。
・削除後の整合性を取るために、色々と書き加えました。
・前書きと索引を加えました。
実数の連続性とε-δ論法（2018/02/27）
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/ep_del_2018_02_27.pdf
目次
第１部：数列の極限と実数の連続性
第１章 集合概念の基礎
第２章 実数の性質
第３章 数列の極限とその性質
第４章 数列の極限と実数の連続性
第２部：写像の基礎とε-δ論法
第５章 写像概念の基礎
第６章 実数値関数
第７章 関数の極限
第８章 連続関数
第９章 指数法則
第３部：距離空間の幾何学
第１０章 点列の収束と写像の連続性
第１１章 位相
第１２章 距離空間に関する諸概念
第１３章 連結空間と中間値の定理
第１４章 点列コンパクト空間
第４部：付録
第１５章 より厳密な微分積分法へ
第１６章 命題と論理式
(引用終り)
これ、キーワード”現代数学の系譜 ガロア理論 嶺 幸太郎”google検索すると
下記がヒットした（＾＾；
スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/221
221 ：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ：2018/01/07(日)
(抜粋)
”ε-δ論法”にコンプレックスのある方へ（＾＾
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/
http://www.math.kanagawa-u.ac.jp/mine/ep_del/ep_del_2017_10_02.pdf
実数の連続性とε-δ論法 嶺 幸太郎 神奈川大 2017/10/02版
(引用終り)
久し振りに見に来たおっちゃんです。
pdf の定理 1.7 の証明は読んでいないが、有理数か無理数とかはどうでもよくて、
背理法での証明で大事なのは、実数直線R上で G_δ集合 と F_δ集合 を考えていて、
G_δ集合 が F_δ集合の補集合になっていることだと思われる。
(前)スレを見ると激しい論争になったようだが、背理法も全体集合を直線Rとして
R上で G_δ集合 と F_δ集合 を意識して使っていると思われる。
スレ主は一致の定理が成り立つことを否定したのか。
それじゃ、ここ最近一日中計算して手が疲れているから、おっちゃんもう寝る。
じゃ、おっちゃんもう寝る。
>補題1.5の証明もなんか怪しいんだが
えーと、補題1.5は下記だが、これは元PDFから、文字コピーして、
それをアスキーでない部分を手でアスキーにしたんだが
それで確認だが、補題1.5自身は成立と思っているのだが、それで良いかな？
証明はともかくとして
スレ49 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/178-179
(抜粋)
178 投稿日：2018/01/05
(抜粋)
補題1.5 f : R → R とx ∈ R は
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
を満たすとする. このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x − 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]が成り立つ.
証明
仮定により,
lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
を満たす正整数N が取れる.
lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜
に注意して,
inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
ということになるので, あるδ > 0 に対して
sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
である. 以下, δ > 1/M を満たす正整数M を1 つ取っておく. このとき,
∀y ∈ R [ ｜y − x｜ < 1/M → ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜] ・・・(1)
が成り立つことを示す. ｜y − x｜ < 1/M を満たすy ∈ R を任意に取る. もしy = x ならば, 明らか
に｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ が成り立つ. 以下では, y ≠ x としてよい. よって,
0 < ｜y − x｜ < 1/M < δ
となるので, δの定義から,
｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
となる. 特に, ｜f(y) − f(x)｜ <= N｜y − x｜ となる. 以上より, (1) が成り立つ. 以上の準備のもとで,
題意を示す. y, z ∈ R であって
x − 1/M < y < x < z < x +1/M
を満たすものを任意に取る. このとき, (1) により
｜f(z) − f(y)｜ <= ｜f(z) − f(x)｜ + ｜f(x) − f(y)｜ <= N｜z − x｜ + N｜x − y｜ = N(z − y)
が成り立つ(絶対値が外れてN(z − y) になっているのは, y < x < z から出る). よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
補足
１．もし、スレ49のNo.178のアスキー文を読んだとしたら、私のタイプミスもありうるのでね
２．なので、補題1.5の成否と、その証明の成否は、分けて考えたいのだが
おっちゃん、どうも、スレ主です。
生きていたんですね（＾＾
お元気そうでなによりです
>スレ主は一致の定理が成り立つことを否定したのか。
そんなことはしていないよ
例の定理の主が、我田引水で強引な主張をしているだけのこと
例の定理の主が、言いたいことは、
例の定理1.7と系1.8との関係で背理法を使っているのだが
そのアナロジーとして、一致の定理の背理法証明を持ち出して、自分の背理法証明を守ろうとしているってことですよ
それに対して、私は、系1.8は、補集合が稠密で開区間が取れない場合にも関わらず
定理1.7は明らかに、開区間が取れる場合、即ち、補集合が稠密でない場合の定理だから、それを適用することは誤りだと主張している
で、一致の定理の背理法証明と、彼の定理1.7→系1.8の背理法証明とは、きっと微妙に違うんだわ（面倒だからスルーしたけど）
で、彼の定理1.7は、補集合が有理数Qのような稠密な場合は、当然、開区間が取れないので不成立
つまり、彼の定理1.7は、「補集合が有理数Qのような稠密な場合ではない」というのが、隠れ条件になっていると思う
（それは本来明示すべきと思う。そして、「補集合が有理数Qのような稠密」な場合は、別に定理を立てるべき。そういう主張です）
いやそれが理解できないことがアホたる所以なのか
認知症レベルのアホには一縷の望みも無い
補題1.5自体は(定義1.1から系1.4を承認した上で)多分合っていると思う
証明は最初の１文「仮定により,lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N
を満たす正整数N が取れる. 」はいいとして次の式lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜ から怪しい
ブログでやれカス
>補題1.5自体は(定義1.1から系1.4を承認した上で)多分合っていると思う
了解。安心したよ（＾＾
>次の式lim sup y→x ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜= inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜ から怪しい
えーと、ここ分かり難いけど
前スレ53 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1537363981/605
定義1.1 一般に, g : R → R とx ∈ R に対して,
lim sup y→x g(y) := inf δ>0 sup 0<｜y−x｜<δ g(y)
と定義される.
(引用終り)
ここの定義1.1で、g(y)＝｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜ と置いただけと思う
余談だが、
前スレ53 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1537363981/609
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)
と定義される.”
と書くのが、普通の数学の書き方だと思った
(引用終り)
と書いたのと関連しているが、変数をｘ、固定点を定数aとか、
普通の数学記法に従って書いてないので、読みづらかった
まあ、こっちがこの手の記法に慣れていないからかも知れんがね（＾＾
これ（下記）ちょっと読み直しているのだが、
下記の”Peano differentiable”、 ”Peano derivative”がよく分らない
検索したが、
分り易い文献がヒットせず（＾＾；
＜The modified ruler function のまとめサイト下記＞
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
[17] Alec Norton [Kercheval], "Continued fractions and
differentiability of functions", American Mathematical
Monthly 95 #7 (Aug./Sept. 1988), 639-643.
[MR 89j:26009; Zbl 654.26006]
Define g:R --> R by g(x) = 0 if x is irrational, g(0) = 1,
and g(p/q) = 1/2^q if p and q are relatively prime with
q > 0.
PROPOSITION: There exists a partition A_0, A_1, A_2, ...
and A_oo of the irrational numbers, where each set is
c-dense in the reals, such that g is infinitely Peano
differentiable at each point of A_oo and, for each
n >= 0 and for each x in A_n, g is n-times Peano
differentiable but not (n+1)-times Peano differentiable
at x. Moreover, the complement of A_0 is a first
category set and the complement of A_oo is a Lebesgue
measure zero set.
NOTE: Norton says "uncountable dense sets" instead of
"c-dense in the reals". While it is a little
ambiguous what he means (uncountable sets that
are dense in the reals, or sets having an uncountable
intersection with every open interval) until one
gets to the proof, it is clear from the proof
(the sets involved are Borel, for instance)
that the sets are, in fact, c-dense in the reals.
つづく
つづき
Regarding Peano derivatives, this is easy to find on
the internet. Norton writes: "... the Peano derivative
agrees with the ordinary higher derivatives whenever
the latter is defined, and has the virtue of allowing
us to discuss higher derivatives in the context of a
dense set of discontinuities."
The complete text of Norton's remarks on p. 642 follow,
with minor editing changes to accommodate ASCII format.
Remarks. (1) The Proposition says that g is either not
differentiable at "most" points or infinitely differentiable
at "most" points, according to whether "most" is interpreted
in the sense of category or measure. This is related to the
well-known dichotomy between the Diophantine irrationals
and the Liouville irrationals (those which are not
Diophantine). See [Oxtoby's book] for more on this
interesting topic.
つづく
つづき
(2) Suppose we alter the definition of g so that 2^q
is replaced by w(q), where w:Z+ --> Z+ is some increasing
function. Then the following are left to the reader.
(See [Nymann's paper] for (a) and other related results.)
(a) If w(q) = q^2, then g is nowhere differentiable.
(Use (2).)
(b) If w(q) = q^3, then g is differentiable on a dense,
uncountable set of irrationals, but nowhere twice
differentiable.
(c) No matter how rapidly w increases, the set A_0
of points of nondifferentiability is residual.
As a consequence of (c), no function vanishing at the
irrationals and discontinuous at the rationals can be
differentiable at the irrationals. In fact, a little
more argument shows that no function can be discontinuous
at every rational but differentiable at every irrational.
(This last has been known, by another method of proof,
for some time, e.g. [Boas' "Primer of Real Functions"],
[Fort's paper].) The following theorem implies (c) and
the above statements, and provides a nice application
of the Diophantine approximation point of view. (A slightly
weaker version appears in [Heuer's 1966 paper] and is
considered from a more general viewpoint in [Beesley,
Morse, and Pfaff's 1972 paper].)
つづく
On p. 643, Norton proves the following result.
THEOREM: Let f:R --> R be discontinuous on a set of points
that is dense in R. Then there exists a co-meager
(i.e. residual) set B such that for all x in B
and for all s > 0, f fails to satisfy a pointwise
Holder condition of order (exponent) s at x.
NOTE: See also the comments I make in Heuer [15] and Nymann [16] above.
(引用終り)
和文では下記くらい
英文なら、専門的な論文多数ヒットだが
ぱらぱら見たが、私には重すぎる感じだな（＾＾
https://kaken.nii.ac.jp/ja/report/KAKENHI-PROJECT-09640148/096401481998jisseki/
科研費
(抜粋)
1998 年度 実績報告書
2進群上のベゾフ空間におけるフーリエ解析 公開日 : 1999-12-11 更新日 : 2016-04-21
研究概要
今後の課題として,B^α_<pq>(2^ω)をチェザロ平均により特徴づけることや弱微分,強微分,
Peano微分の関係やこれらによるB^α_<pq>(2^ω)の特徴付け等が残っている.
”顧みて他を言う”
https://kotobank.jp/word/%E9%A1%A7%E3%81%BF%E3%81%A6%E4%BB%96%E3%82%92%E8%A8%80%E3%81%86-458990
コトバンク
(抜粋)
顧みて他を言う
（読み）
カエリミテタヲイウ
デジタル大辞泉の解説
顧(かえり)みて他(た)を言う
《「孟子」梁恵王下から》
答えに窮して、あたりを見回して本題とは別のことを言ってごまかす。
数学はディベートとは違う
”顧みて他を言う”では済まない
自分の背理法証明の失敗を、
一致の定理の背理法を引いて、
救うことはできない
（>>14より）
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
条件の”内点を持たない閉集合の高々可算和”を場合分けして
１）稠密でない場合
２）稠密な場合
それぞれを、証明すれば、それで終りの話だ
１）では、「ある開区間の上でリプシッツ連続である」は、楽に成立する
２）では、「ある開区間の上でリプシッツ連続である」は、成立しえない
２）の場合に、そんな関数は存在しないことが言えれば、系1.8は言える
それを、さっさと実行すればいいだけのことです。数学としては、それが王道でしょ？
場合分けは、数学の基本中の基本
場合分けしたら、証明できない？？
そんなバカな話は、聞いたことがない
が、おかしなことに例の定理の主さん、
これに抵抗するんだな
どうなっているんだろう？
＞ここの定義1.1で、g(y)＝｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜ と置いただけと思う
ｗｗｗｗｗ
要するに定義1.1は使い物にならないということで
ありがとう（＾＾
>要するに定義1.1は使い物にならないということで
自分には分かり難かったね
普通、>>32に書いたように、二つの変数ｘ、ｙを使うのではなく
一つの変数ｘと、一つの定数aとを使う
二つの変数ｘ、ｙを使う表現は、混乱するかも
（二つの変数ｘ、ｙを、同時に動かす気はないんだろう。普通の極限の定義と思う）
(抜粋 >>25より)
補題1.5 f : R → R とx ∈ R は
lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
を満たすとする. このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [x − 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]が成り立つ.
(引用終り)
ここで、最初の「lim sup y→x」でのｙと、後の「∀y, z」でのｙと、同じｙを使っているが
なんの関係もないんだ
だから、>>32で指摘したように
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)
と定義される.”として
（改善版）
補題1.5 f : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
lim sup x→a ｜（f(x) − f(a)）/（x − a）｜< +∞
を満たすとする.
このとき, ある正整数N,M >= 1 に対して
∀y, z ∈ R [a − 1/M < y < a < z < a +1/M → ｜f(z) − f(y)｜ <= N(z − y)]が成り立つ.
(終り)
と表現する方が、分り易いと思う
最初の式と後の式で、共通はaだけになって、すっきりすると思う
まあ、証明の初版だし、許容範囲と思うが、
ちょっとした気遣いは必要と思うよ
これが一般に定義される、と言ってしまうと後の叙述では特に断りを入れないとsup 0<｜y−x｜<δ g(y)が単調でないgは扱えなくなる。何がしたいんだか。
「証明」を書いたのは恐ろしく虚無的な人間なんだろう。
その話は、例の定理の主さん、詳しかったね
過去ログでいろいろ例示を教えて貰ったよ（＾＾
まあ、まずは、下記知恵袋でも（＾＾
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12175270077
yahoo 知恵袋トップ>教養と学問、サイエンス>数学
(抜粋)
fiy********さん2017/6/1114:16:20
リプシッツ連続とはなんなのかさっぱりわかりません。
いろいろ調べましたが理解できませんでした
どなたかリプシッツ条件について簡単に教えて下さいm(__)m
よろしくお願いします
ベストアンサーに選ばれた回答
sma********さん 2017/6/1213:55:13
もう少し具体的に質問された方が回答しやすいのですが...
とりあえず定義を書いておきます.
【定義】
関数 f(x) が「リプシッツ連続」であるとは,
ある定数 K≧0 が存在して, 任意の x,y∈R に対して,
|f(x) - f(y)| ≦ K |x-y|
が成り立つこと.
あるいはもっと一般に.
【定義】
(X,dx), (Y, dy) を距離空間とする.
写像 f : X→Y が「リプシッツ連続」であるとは,
ある定数 K≧0 が存在して, 任意の x,y∈X に対して,
dy(x,y) ≦ K dx(x,y)
が成り立つこと.
※ 何か不明な点があれば補足します.
質問した人からのコメント2017/6/17 20:46:36
ありがとうございました
(引用終り)
つづく
>>48
あと、下記の関連を読むのが良いと思う
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12175270077
(抜粋)
続いて関連質問列挙
・関数f(x) がリプシッツ連続であるとは，ある定数M > 0 が存 在して，不等式｜ｆ(...
・”リプシッツ連続ならば連続である” の反例を分かりやすく教えてください。
・リプシッツ連続に関して質問です。 f(x)＝x^2に関してリプシッツ連続かどうか求め...
・f(x)=x f(x)=x^2 はそれぞれリプシッツ連続ですか？ またリプシッツ連続の場...
・解析学(微分)について質問です。 『リプシッツ条件』ってなんですか？ リプシッ...
・数学 リプシッツ連続の問題です g(x)=√xが(0,1)でリプシッツ連続でないことを示し...
関連度の高い質問
・リプシッツ連続の判定についてf(x) = -xlog|x|がx=0以外でリプシッツ連続であるこ...
・次の連続関数はリプシッツ写像であるかどうか調べよ（1）E^1→E^1;x→sinx解き方分...
・１階微分がリプシッツ、またはヘルダー連続になる関数y=f(x)って、どんな関数です...
(引用終り)
以上
補足
１）あと、多項式の関数 ｙ＝an x^n+an-1 x^(n-1)+・・・+a1 x+a0
は、微分しても、y' は ｘ→∞ の場合のみ y' →∞ になるので
ｘが有限の範囲では、リプシッツ連続 （但し、リプシッツ定数 k < ∞ ）
２．分数べきで、１未満の関数 例えば、 ｙ＝ ｘ＾（1/2） では、 ｙ’＝（1/2） ｘ＾（-1/2） =1/(2*ｘ＾（1/2）) (注 微分すると負数冪になる関数な。なお、 式中の*は、エクセルで使う積の記号です。普通は数学では省略されるのだが、アスキー文では見難いので入れた)
ここで、ｘ→０で、ｙ’→∞ となるので、ｘ＝０でリプシッツ連続ではない
とりあえず、こんな簡単な例でもどうぞ
例の定理の主さん、
もっと面白い例を沢山挙げていたけどね（＾＾
ああ、そういう見方もあるかな（＾＾
>>32に書いたけど
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)
と定義される.”
として
>>45の補題1.5で
（改善版）
補題1.5 f : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
lim sup x→a ｜（f(x) − f(a)）/（x − a）｜< +∞
を満たすとする.
(引用終り)
で、lim sup x→aを、「inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ」を使った表現に、定義1.1を使って書き直して
（>>25の証明の）
”あるδ > 0 に対して sup 0<｜y−x｜<δ ｜(f(y) − f(x))/(y − x)｜< N である. ”
みたいな風に、式を展開していきたいための、定義1.1だと思ったけど
私は、全く単純に、こう考えたんだがね（＾＾
有り難う。自分が知りたいのは、リプシッツ連続になる例から何が言えるのか、なんだから参考にしてみる。
>>51
それならリムスプは一切書かずに上限の下限で一貫すればいいと思うんだよね。
前半了解
で、後半は、定理の主さんは、いろいろ考えがあって、
これが分かりやすいと思ったのでしょうね
（>>51より）
”定義1.1 一般に, g : R → R x ∈ R で, ある点a ∈ Rに対し
上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)
(引用終わり)
これ明らかに、”イプシロン・デルタ論法”に持ち込みたいって意図ですよね（＾＾
つまり、「lim」の記号を、「inf δ> 0」みたく書きたいという意図
参考に、下記に”イプシロン・デルタ論法”の例がありますので、見てください
https://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2017-06-07-1
ねこ騙し数学
第１９回 リプシッツ連続と一様連続 2017-06-08
(抜粋)
Xを実数Rの空でない部分集合とし、fをXからRへの関数とする。このとき、任意のx1,x2∈Xに対して、あるK>=0が存在し、
|f(x2)-f(x1)| <= K|x2-x1| （１）
であるとき、fはXでリプシッツ連続という。また、（１）式の定数Kをリプシッツ定数と呼ぶ。
関数f(x)がXでリプシッツ連続であるとき、f(x)がXで連続であることは、次のように証明できる。
(引用終わり)
それでもinf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)のinf δ> 0というのはやっぱりおかしい。
多分inf 0<δ<+∞のつもりで書いたんだろうが、これだと上限の上界が決まらない。
lim δ→0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)にすべきだろう。
まあ、下記でも読んでみて
（余談だが、”任意の（どんなに小さい）正の数ε に対しても，適当な（大きい）実数N(ε) を見つけて”と
親切に、小さい、大きいを書いてくれているのが良いね。多分数学科では、わざとスルーじゃないかな？）
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/index-j.html
原隆（数理物理学）のホームページ 九大
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/11/kisoenIII01.html
基礎数学演習III (物理学科)
Last updated: 2011/08/04
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/11/kisoenIII01.pdf
基礎数学演習III (物理学科) 講義内容のまとめ（5/18版）2011
大学２年向け
1 極限の厳密な定義（最低限）
(抜粋)
皆さんは高校でlim n→∞ an = α という式の意味を習ったはずだ．
多分，n が限りなく大きくなるとき，an が限りなくα に近づくなどという「定義」を聞いたのではないか？
この定義は特に間違ってはいないし，これで十分な場合はこれでやれば良い．
しかし，この言い方は以下の理由で困ったものである．
次に，「近づく」「大きくなる」などの「動き」が何となく入っており，考えにくい．
・もっと困ったことに，この言い方には「どのくらい速く極限に収束するのか」の収束の速さに関する言及が全くない．
そのため，少しややこしい極限?? 特に２つ以上の変数が混ざった極限1?? を考えだすと，お手上げになる．
これらの欠点を克服すべく，極限への収束の速さまで含めた，定量的な定義が考えられた．これがε-N 論法で，
以下のように書かれる．
（ア）任意の（どんなに小さい）正の数ε に対しても，適当な（大きい）実数N(ε) を見つけて，
すべてのn > N(ε) で，｜an ? α｜< ε とできる．
1.2 関数の極限：ε-δ 論法
この定義にもε-N 論法の時と同じ注意が当てはまる．簡単に繰り返すと
・極限を考えているのに，ともに正で有限のε, δ しか定義に現れないところがミソである．
・ε, δ をどんなに小さくとっても良いという掛け合い漫才によって，
「x がa に近づく」ときに「f(x) がb にいくらでも近づく」ことを表現しているのは，ε-N 論法と同じである．
つづく
つづき
1.6 上極限と下極限
収束先がわからない数列が収束するか否かを判定するもう一つの必要十分条件として，
「上極限」と「下極限」を考えておくことにする．
そのあとで，「コーシー列なら収束する」の証明も付け加えよう．
A の端と端を決める（ギリギリの数にする）つもりで，「上限」と「下限」を定義する．
定義1.6.2 (上限と下限) A を実数の集合とする．A が上に有界のとき，
A の上界の最小値をA の上限（supremum）と定義し，sup A と書く．
同様にA が下に有界のとき，A の下界の最大値をA の下限（infimum）と定義し，inf A と書く．
（注）上限と上界は間違いやすいから，注意する事．（正直，僕は日本語だとどっちがどっちだったかすぐにわからなくなる．）
以上の準備の下に，数列an の上極限と下極限を以下のように定義する．
定義1.6.4 (上極限と下極限) 実数列{an} が与えられたとき，極限
lim n→∞ (sup k?n ak) (1.6.1)
を{an} の上極限といい，lim sup n→∞ an (1.6.2)
上極限の定義の中に現れている
(sup k?n ak)は，n について単調減少である．
従って，上極限は必ず存在する（特別な場合として+∞ も極限に含めるとして）．
(引用終わり)
以上
lim n→∞ (sup k?n ak) (1.6.1)
↓
lim n→∞ (sup k >= n ak) (1.6.1)
(sup k?n ak)
↓
(sup k >= n ak)
余談だが、ほんと不便な板だよ
ちょっと凝った数学記号が入ると、すぐ文字化け発生だからね
まあ、原文見てもらう方が早い
この原先生の「極限の厳密な定義（最低限）」は、過去スレでも紹介していると思う
まあ、物理学科生向けに、数学の厳密な扱いを教える講義らしい
で、数学科向けではおそらく省略される（わざと省略する？）表現が
入れてあるので、良いと思った
（私らには、イメージがはっきりして有難いんだ）
”1.6 上極限と下極限”（>>56）
まあ、分かっていると思うが
「A の端と端を決める（ギリギリの数にする）つもりで，「上限」と「下限」を定義する．」
「A が上に有界のとき，A の上界の最小値をA の上限（supremum）と定義し，sup A と書く．」
ってことで、
定理の主さん 定義1.1で
”上極限が
lim sup x→a g(x) := inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)”（>>53）
みたく、inf sup を使っていると思う
（ここら、もうちょっと調べると、資料が見つかるかもね）
あと、>>47で書かれた”単調”って話も
「(sup k >= n ak) は，n について単調減少である」（>>56）
と出てくるので、話は合っている気がするよ
>>47の”単調”って話も、ID:4srmLQLtさん なかなかレベル高いね
おれら、ぜんぜん浮かばないキーワードだわ（＾＾；
https://m.youtube.com/watch?v=Sc57eewItKo
良いテキストが見つかった（下記）
この服部哲弥先生の数学基礎も、当時過去スレで紹介だけはしたんだがね（＾＾
”(11) lim ￣n→∞ an = inf N∈N sup n >= N an”辺り、原文を見て下さい
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/hattori.htm
服部哲弥
現職：慶應義塾大学経済学部 教授
1958年生まれ 1985年東京大学大学院理学系研究科博士課程（物理学専攻）修了（理学博士）
専門：数理物理学，確率過程論
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/suukiso.htm
1999-2002年度（於名古屋大学1年理系対象）の記録
http://web.econ.keio.ac.jp/staff/hattori/kiso1r.pdf
数学基礎 第１学期．１変数関数の初等解析学．服部哲弥 2002
(抜粋)
P10
§3.2 数列の上極限，収束，極限．
問題点は何か． これから，いくつかの単語を定義する．なぜか？
最終的に定義したいのは極限だが，周知のように極限は必ずあるとは限らない．上極限は上に有界な数列
なら必ず存在する．極限の存在しない数列があることは良く知っているだろうが，極限が存在しなくてもn
が大きくなるときのan の傾向を示す量が必ず存在してほしい．
上極限は，n が大きいときのan たちの「最大値の極限」である．
例えばan = (?1)n のとき，
上極限は lim ￣n→∞ an = 1 であり，
下極限は lim ＿n→∞ an = ?1 である．
そして上極限と下極限が一致するとき極限がある，と定義することができる．
定義4 (上極限) 「プレ」極限の概念として上極限がある．
これは数列の遠く（大きなn）のほうの上限という気持ちである．
数列{an} の上極限lim ￣n→∞ an とは
単調減少数列 bN = sup{an | n = N,N +1,N +2, ・ ・ ・}, N ∈ N, の下限のことを指す．
定義を式で書けば，
(11) lim ￣n→∞ an = inf N∈N sup n >= N an
上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．
lim ￣, lim ＿ はそれぞれ上（下）極限を表す一つの記号．
limsup とも書くが，sup をとってさらにlim をとる，という意味ではない！
(引用終り)
「数列{an} の上極限lim ￣n→∞ an とは
単調減少数列 bN = sup{an | n = N,N +1,N +2, ・ ・ ・}, N ∈ N, の下限のことを指す．」
と書いてある
ID:4srmLQLt（>>47）さんの”単調でないと適用できないはず”という発言は
ここらのことを言おうとしていたのかな
で、おれら言いたいことは、もっと単純な話で、
>>39にも書いたけど
（>>14より）
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
ってことなんだけど
つづく
つづき
定理1.7で、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」なのだから
定理1.7で、場合分けして
１）リプシッツ連続でない点の集合 が、R中で稠密稠密でない場合
２）リプシッツ連続でない点の集合 が、R中で稠密稠密である場合
として、
定理1.7は、上記１）の場合の定理なのだ
上記２）の場合は、定理1.7の外
２）の場合に、こういう関数
具体的には、例えば、
有理数の集合Q上でリプシッツ連続でなく、無理数の集合P上でリプシッツ連続である
そういう関数が存在するかどうか
それが問題になる
つづく
つづき
で、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R 」は
２）の場合に当てはめるべき関数であると。
１）の場合に当てはまらないよと
２）の場合の上記例のように、「有理数の集合Q上でリプシッツ連続でなく、無理数の集合P上でリプシッツ連続である」
という関数が、存在しなければ、その系として、系1.8は導ける
存在すれば、系1.8は導けない
（元々系1.8は既存の確立した論文があって、簡単な別証明を考えようがスタートだったのだが、
２）の場合の関数が存在するなら、系1.8の上位の定理 ”リプシッツ連続とリプシッツ不連続”の定理みたいなの（それが定理1.7だった）を作って、
その系として、「系1.8 ”微分と不連続”の場合」を導くことはできないってことになると
でも、さすがに、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」という定理1.7を、
２）の”リプシッツ連続でない点の集合 が、R中で稠密である場合”に、適用しようというのは、無茶。そういう主張です）
以上
訂正
１）リプシッツ連続でない点の集合 が、R中で稠密稠密でない場合
２）リプシッツ連続でない点の集合 が、R中で稠密稠密である場合
↓
１）リプシッツ連続でない点の集合 が、R中で稠密でない場合
２）リプシッツ連続でない点の集合 が、R中で稠密である場合
おっと、昨日はコテハンとトリップが抜けていたね（＾＾
で、
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
の証明もすべっていると思う
つまり、証明の中のどこかで、ある開区間が取れて、
そこで、リプシッツ連続になる
あるいは、Bf 内に開区間が取れる
そういうものを無意識に使っちゃったんだと
そう思っている
だって、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和」というのがR中に稠密に存在するなら
Bf内には、開区間は取れないし、きっと、「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」も言えないと思うから
でも、そういう証明の詳細に入る前に大きな問題がある
だから、そこには入らずに議論したかったし
なにより、具体的にどこがどうってところまで
まだ詰め切れていない
まあ、だいたいここかなというのはあるけどね
でも、それをまた数学的な主張まで煮詰めるのも大変だし、それをこの板で表現するのも大変だしね
でも、面白い問題ではある
>と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
>f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
>の証明もすべっていると思う
g(y) = 1/n^3 (∃m,n ∈N、y = m/n, (m,n) = 1 のとき) 0 (otherwise)
で定めて
f(x) = Σ[y∈Q、0≦y≦x] g(y)
と定めればR−BfはQの部分集合なので内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるけどfは連続にならないのでは？
http://rosie.2ch.sc/test/read.cgi/liveplus/1540952533/l50
了解
（”f(x) = Σ[y∈Q、0≦y≦x] g(y)”の部分が、意味が取れなかった）
>>61のpdfの５０頁を見るとlim δ→0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)の方で合っているみたいだ(ドヤァ)
へー、読むの早いね（＾＾
おれは、そこまでは、全く読まなかったんだ
で、えーと、それは、PDFのP50の命題51のすぐ下
（引用）「例えば
lim ￣ x→x0 f(x) ：= lim δ→0 sup{f(x) | 0 < |x - x0| < δ} .
sup は実数値または∞ の意味で確定する．
sup{f(x) | 0 < |x - x0| < δ} はδ に関して単調増加なので
δ → 0 とともに減少し，右辺の極限はR ∪ {±∞} の意味で確定する．」
の部分だね
で、さらに命題52があって、証明中に、次の式
（引用）「0
= lim ￣ x→c |f(x) - f(c)|
= lim δ→0 sup x； |x -c|<δ |f(x) - f(c)|
= inf δ>0 sup x； |x -c|<δ |f(x) - f(c)|.」
がある
（見易さを考えて＝の前に改行を入れたが、本文では横に長い式な）
この式の最後の”inf δ>0 sup x； |x -c|<δ”の部分が
（>>53より）
定義1.1 で、「lim sup x→a g(x) ：= inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x)」に
対応していると思うよ
なので、両方使って良いんだと思う（場合により、使い分けかな）
「上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．」と書いておきながら何でだろうね。
inf δ> 0 だったら開球の大きさが無限大に発散するということにならないか。
>「上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
>上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．」と書いておきながら何でだろうね。
>inf δ> 0 だったら開球の大きさが無限大に発散するということにならないか。
貴方は読むの早いね（＾＾
それ、良い質問ですね（by 池上）
おれも、それちょっと考えたんだ（いや別の文献でだが）
上記は、>>61の
「上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．」
だね
それで上記は、数列anで、「lim ￣n→∞ an」を考えているんだ
で、>>74の方 「lim ￣ x→c |f(x) - f(c)| 」なんだけど
上記数列に書き直すと
点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞) を考えて
「lim ￣ n→∞ |f(xn) - f(c)|」と書くと、
P50の命題52と、上記の数列anとが、つながるんだ
（なおP50は、”20 連続性”の節なのだが）
もう少し追加で書くと
点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞) だから、 |xn -c|<δ→0 (n→∞) ってことなんだ
で、関数ｆが点cで連続ならば、|f(xn) - f(c)| <ε →0 (n→∞) となる
要するに、n が大きくなって、n→∞のとき、δ→0（小さくなる）だし、
関数ｆが点cで連続ならばεの方も小さくなるよと
そういう 数列xn → c (n→∞) の記述（”n が大きくなった”うんぬん）と、
（>>74）”lim δ→0 sup x； |x -c|<δ”とのつながりじゃないかな
（参考）
https://www.oricon.co.jp/news/82608/full/
2010-12-01 17:25 オリコンNewS
【2010流行語トップテン】「いい質問ですねぇ」池上彰 喜びのコメント
＞点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞)
収束するかなぁ。
蛇足
「上限や下限は数列のn の小さい方も影響するが，
上極限や下極限はn が大きくなった「ずっと遠くの傾向」のみが影響する．」
で
関数の連続の場合には、
点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞) を考えると
|xn -c|<δ→0 (n→∞) で、δが小さいところ、つまり点ｃに近いところの傾向 のみが影響する
という言い換えになるんだな
>＞点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞)
>収束するかなぁ。
いや、これは”定義する”と読んでくれ
「点ｃに収束する数列 xn → c (n→∞)」を定義するってことね
蛇足だが
円周率 π を、小数点以下計算するみたいなもので
円周率 π を計算する公式（例えば級数展開）があって、
「その公式を使って、どんどん正確なπを計算する」みたいなことです
定義だから、必ずπに収束すると考えるべし
済まない。勘違いしていた。
考えたんだけど、inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x) のg(x)の従属変数が単調でないと、どうあっても上限の上界が決まりそうにない。
関数値が＋∞、−∞のときにδが＋∞、とすることもできない。十分大きなδをとっても、さらに大きな開球に含まれている元がさらに大きな関数値と対応しているかもしれないし、していないかもしれない。
要するに、ε‐δではなく、ε‐Ｎでないといけない。>>79の点ｃに収束する数列の項は自然数と対応していなければならない。
>考えたんだけど、inf δ> 0 sup 0<｜x−a｜<δ g(x) のg(x)の従属変数が単調でないと、どうあっても上限の上界が決まりそうにない。
>関数値が＋∞、−∞のときにδが＋∞、とすることもできない。十分大きなδをとっても、さらに大きな開球に含まれている元がさらに大きな関数値と対応しているかもしれないし、していないかもしれない。
>要するに、ε‐δではなく、ε‐Ｎでないといけない。>>79の点ｃに収束する数列の項は自然数と対応していなければならない。
ひじょうーに、良い質問ですね（by スレ主（＾＾ ）
その考察正しいです
いま、説明の時間がないから、後で書くけど、自分でも考えてみて
多分そこまで考えているなら、自分で納得できる説明を考えつくでしょう
あと、
ヒント
・ここイプシロン−デルタ論法は、まずは関数の連続に使うのだが、少し進むと、位相の話で、開集合を使った同値な定義がある習う
この「位相の話で、開集合を使った同値な定義」と一緒に理解するのが良いと
・あと、関数の連続の話は、まずはある点aの回りの話ってことね。
そうして、R全体で連続とは、点aでの連続が全てのRの点で言えるという話の流れになるってこと
この２つで大体答え（納得できる説明）は、自分で見つかるんじゃないかな？
まあ、これ日本の数学科での”イプシロン−デルタ論法”教育の欠陥のような気がする
要するに、日本の数学科ってのは、数学の心を語らないんだ。そういう情緒を排除して、ロジック１本勝負みたいな
そうすると、C++さんなんかが書いていたけど、「”イプシロン−デルタ論法”が分らないからお経のように丸暗記しています」と
それではちょっとね（＾＾；
まず訂正（細かいが）
誤 開集合を使った同値な定義がある習う
↓
正 開集合を使った同値な定義があると習う
本題は、開集合を使った同値な定義の資料下記３点ご参考
（自分の検索で上位に来たもの）
まあ、別の資料も沢山あると思うが
（貴方なら、既習の範囲かもしらんが（＾＾； ）
記
１）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/syugou/renzokusyazou.html
連続写像（開集合の逆像は開集合）理系インデックス
(抜粋)
これは微分積分学でよく知られている関数の連続性を一般化したものである。
実際、微分積分学で知られているεδ論法と同様の形をしている。
(引用終わり)
２）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A%E5%86%99%E5%83%8F
連続写像
目次
1 定義
1.1 開集合を用いた定義
1.2 閉集合を用いた定義
1.3 近傍系を用いた定義
1.4 点列および有向点族を用いた定義
1.5 閉包作用素による定義
３）
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/
授業/山田光太郎 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻
集合と位相第一 （2011年度）
http://www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/20110607.pdf
講義資料 10 開集合・閉集合 集合と位相第一 山田光太郎（東京工業大学理学部2年次）20110607
(抜粋)
■連続写像
定理10.17. 距離空間(X， dX) から(Y， dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，
任意のY の開集合U に対してf?1(U) がX の開集合となることである．
(引用終わり)
ああ、そうそう
学生さんなら、大学図書館で、
数学セミナー 2018年9月号
”やわらかいイデアのはなし／
連続写像の概念(演習)……藤田博司 70”（下記）
を、チラ見したらいいと思う
分かりやすく書かれていたと思う（＾＾
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/7833.html
数学セミナー 2018年9月号
・やわらかいイデアのはなし／
連続写像の概念(演習)……藤田博司 70
「ε-δ論法」 で”∀ε>0”だから、∀＝すべての、又は、任意の だよね
だから、”十分大きなδをとって”どうなるかを考える
そういうところでつまづく人もいるかも知れないね
原隆先生も>>55で書いてあるけど、
”任意の（どんなに小さい）正の数ε に対しても，適当な（大きい）実数N(ε) を見つけて”です。
同じことは、下記にもあるけど
まあ、お説のように、εで大きいところは、考えないんだ（だからδも（普通は）大きくならない）
まあ、それって、普通の数学の「∀＝すべての、又は、任意の」と使い方が違う（普通大きい方も考えて良いが）。
これ、おかしいかもね
そこらの「なんで？」という疑問に答えるのが、上記の>>83とか>>84とかかな（＾＾
https://www.hellocybernetics.tech/entry/2017/04/29/091113
2017-04-29 HELLO CYBERNETICS
理系大学入学後にどん詰まる「ε-δ論法」について
(抜粋)
・はじめに
・ε-δ論法
・ε-δ論法が難しく感じる理由
・ε-δ論法の解説
・直感的な極限の話
・ε-δ論法での話
・最後に
ε-δ論法
ε-δ論法とは要するに、以下のように極限の定義を行うことです。
lim x→a f(a)=b
↓↑
∀ε>0,∃δ>0:|x - a| <= δ→|f(x) - b| <= ε
これで理解ができた人は、もうこれ以上記事を読む必要はありません。
ポイントと言えば、「任意のε」というのは結局のところ「非常に小さなε」と解釈していいということです。そしてεに対して「とあるδ」は何でも良いのです。小さいεに挟まれた式を成り立たせることのできるような適当なδを１つ見つければ良いのです。
大抵の場合、教科書は技巧的な仮定を置いていたりしますが、ともかくやろうとしているのは、「どんな小さなεが来ても、それに対応するδを準備出来ますよ」ということの証明です。
(引用終わり)
youtube補足追加（外にもyoutube２本ヒットしたがスルー）
そこそこ分かりやすかった（1.5倍速で見た（＾＾； ）
https://www.youtube.com/watch?v=t3JPms8Y1l4
【大学数学】ε-δ論法(関数の連続性)【解析学】
予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」
2018/05/04 に公開
youtube 6分15秒くらいのところ（下記なんだが）
https://youtu.be/t3JPms8Y1l4?t=375
この図で、εを狭くすると、
ｙの不連続ギャップにハマり込んで
ｘの領域 ｜x-a｜＜δを、いくら狭めても（δをいくら小さくしても）
不連続ギャップが存在するので、
｜f(x)-f(a)｜＜ ε という説明をしているのだが
もう少しくどく（ある意味大げさに）説明した方が良いと思った
まあ、分かると言ったら分かるけど
この場面が、このyoutube の一番のキモで要点のところだかね（＾＾
｜f(x)-f(a)｜＜ ε という説明をしているのだが
↓
｜f(x)-f(a)｜＜ ε と出来ないという説明を、しているのだが
補足
まあ、youtubeビデオでも言っているのだが
εを小さく取っていくと、不連続からギャップにハマるところが出てくる
そこで、今度は、”ｘの領域 ｜x-a｜＜δ”側から見ると
｜f(x)-f(a)｜＜ εと出来てないねと
まあ、言葉で書くと
もどかしいけどね
youtubeビデオ見てください（＾＾
> 「どんな小さなεが来ても、それに対応するδを準備出来ますよ」
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1537363981/124
> 時枝の無限長の数列で、決定番号は∞まで可能性があるから、決定番号が有限に収まる確率は０。
時枝記事の時にスレ主は極限(この場合はε-Ｎ)のことを全く理解できていなかったみたいだが
「どの同値類が来ても、それに対応する(有限値の)決定番号を準備出来ますよ」
ということです
だから決定番号が有限に収まる確率は1になる
ありがとう（＾＾
ありがとう
で、そういうなら、あなたの説明は？
それなら、>>81-82の説明を聞きたいんだが？
まあ、逃げるんだろうね（＾＾
それ正しいよ
>「どの同値類が来ても、それに対応する(有限値の)決定番号を準備出来ますよ」
>ということです
>だから決定番号が有限に収まる確率は1になる
突然で、話が見えない人も多いだろうから、簡単に書くと
数学セミナー 2015年11月号 箱入り無数目 時枝 正（下記参考）で
話の前提は、こうだったね
１）可算無限個の箱の列（まあ自然数で１番〜n番までの箱で、n→∞を実現したよと）
２）箱に任意の数を入れる（実数でもなんでも良し。重複も許す）
３）この数列を、列のしっぽの同値類で分類する
４）二つの数列において、ある番号mから先の数列しっぽが一致するとき、mを決定番号と呼ぶ
で、その流儀の説明倣えば
ａ）決定番号が１になる確率（２列の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
b）決定番号が２になる確率（２列の２番目以降の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
c）以下同様に、決定番号がｋになる確率（２列のｋ番目以降の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
d）よって、どの有限な決定番号を考えても、それ以降の全ての、しっぽの対応する可算無限個の箱の数が、一致する場合の確率は、０になります ！！（＾＾ （∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
（参考）
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/6987.html
数学セミナー 2015年11月号
箱入り無数目───────────────時枝 正 36
一晩時間をやるから
>>81-82について
あんた、なんか書いて見なよ
何にも書けないなら
100年ROMってろってことよ
その計算の仕方だとR^Nから一つ任意に数列を選ぶと選んだ数列が
R^Nの中に含まれる確率が0になるのでおかしいともいえますね
R^Nから一つ任意に数列を選ぶと選んだ数列がR^Nの中に含まれる
確率は当然1です
R^Nの中には選んだ数列が「必ず」存在します
> 決定番号が有限に収まる確率は1になる
これは代表元の中にしっぽが一致する数列が「必ず」存在することによる
多分、その考え、確率計算の問題から逸れていると思うよ
例えば、簡単のために箱が二つあるとする（可算無限長の箱の列の代わりにね）
１）二つの箱に、サイコロで1〜６の数を入れるとすると、二つが一致する確率は、1/6（説明は省略する）
２）二つの箱に、サイコロで1〜100の数を入れるとすると、二つが一致する確率は、1/100（説明は省略する）
３）二つの箱に、サイコロで1〜Nの自然を入れるとすると、二つが一致する確率は、1/N（説明は省略する）
４）３）において、N→自然数の集合全体に拡大すると、二つが一致する確率は、1/可算無限（説明は省略する）
５）３）において、入れる数を自然数→実数の集合全体に拡大すると、二つが一致する確率は、1/非可算無限（説明は省略する）
６）３）において、入れる箱を２つから可算無限個に増やすと、可算無限個の箱の実数が全て一致する確率は、1/（非可算無限）＾（可算無限）（ベキね）（説明は省略する）
確率が０と、存在するとこととは、矛盾しません
どうせ、一晩待っても何にも書けないんだろうが
まあ、別のこと（イプシロンデルタじゃないこと）でも書くか（＾＾
（>>63より引用）
定理1.7 (スレ26のNo.422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
ここで、
「有理数の点でリプシッツ不連続, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R 」
を考えると
系1.8 の証明中にあるように、
リプシッツ不連続な集合有理数Ｑは、”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”から、
定理1.7より、”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”となる
これは、有理数の点が、Ｒ中で稠密に反する
矛盾を生じたので、このような関数は存在しないと結論される
が、これは、ちょっと論証としておかしい
当然定理1.7は、
このような関数ｆ「有理数の点でリプシッツ不連続, 無理数の点でリプシッツ連続となるf : R → R 」
は、扱えない（場合分けの説明を、>>64に書いた通りである）
（本当に、存在するか、不存在かを立証するには、別の考察が必要であると）
つまり、もともとの定理1.7の設定（結論と条件）が適切でないと思うし、それが こういうおかしな帰結の原因であると思う
> 確率が０と、存在するとこととは、矛盾しません
>>94
> １）可算無限個の箱の列（まあ自然数で１番〜n番までの箱で、n→∞を実現したよと）
ε-ＮのN(決定番号に対応)が∞であれば極限は発散する
R^nをn→∞の極限を考えてR^Nにすると決定番号は有限値をとる
決定番号が∞ということはスレ主が選んだ無限数列がR^Nの元ではないということ
おれが>>97で書いたことは、それとは違う
・可算無限長の箱の列
・先頭からある有限個ｎを取り除いても、残りのしっぽは可算無限長の箱の列で、変化なし
・これが、時枝パラドックスの手品のたねの一つだろうと
（そもそも、「可算無限長の箱の列」は、時枝記事に書かれている前提条件ですしね）
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