分からない問題はここに書いてね456
前スレ
分からない問題はここに書いてね455
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1566136007/
(使用済です: 478)
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
xx-8x+yy+12=0…②
の共通接線Lを求めよという問題で
各円の中心を出してから、
L:2ax+2by+c=0…③
とおいて点と直線の距離の公式を使えば解けるのはわかるのですが、式変形でやってみようと思い
①−③で整理して、
(x-a)^2+(y-b)^2=aa+bb+c+1=D、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、D=0かつ、点(a,b)がLの上にあればよい、
同様に②-③で、
(x-a-4)^2+(y-b)^2=c-12+(a+4)^2+b^2=E、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、E=0かつ、点(a+4,b)がLの上にあればよい、
となって、y=bでLが2通りのx座標を取るので、Lは傾き無限のy軸に並行な直線、となってしまったのですが、図を書けばこれは誤りです
とんでもないアホすぎミスをしてると思うのですが私の実力ではどこでミスしたのか分からないのでここの達人方お願いいたします
D=0とかE=0とかしてるところがおかしいです
x^2+y^2=1…①
2x+2y=2√2…②
この連立方程式考えてみましょう
グラフ書けばこれらは接していますね
①-②すると
(x-1)^2+(y-1)^2=3-2√2
あなたは勝手に右辺0にしてますよね
①と②両方満たすのがひとつしかないわけですよね
①-②と②両方満たすのは一つしかないと言えても、①-②満たすのが一つとは限りませんね
(x-4)^2 + yy = 4 … ②
①の接線で傾きがmのもの
y = mx ±√(1+mm),
②の接線で傾きがmのもの
y = m(x-4) ±2√(1+mm),
y切片が一致することから
±√(1+mm) = -4m ±2√(1+mm),
これより
m/√(1+mm) = -3/4, -1/4, 1/4, 3/4,
m = -3/√7, -1/√15, 1/√15, 3/√7,
y = ±(x+4)/√15,
y = ±(3x-4)/√7,
バスを使わず通学している生徒は何人ですか？
中心(4,0)で半径2 … ②
直線L: y = mx+k, … ③
(x,y)～L の距離 |y-(mx+k)|/√(1+mm),
(0,0)～L の距離が1
|k|/√(1+mm) = 1,
(4,0)～L の距離が2
|4m+k|/√(1+mm) = 2,
これより
k = -(4/3)m, 4m,
m = ±3/√7, ±1/√15,
y = ±(x+4)/√15,
y = ±(3x-4)/√7,
>>7
(1-0.24)x 人
というのはどうやって解くのでしょうか
T字型の集合とはR^2の部分集合で
あるa,b>0を用いて
｛(x,0)| -a<x<a｝∪ ｛(0,y)| -b<y<0｝
という集合の回転と移動で得られるものであると定義されます
1-0.24=0.76
∴バスを使わずに通学する人は0.76x人
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1412425325/
雑談スレ【54】 2018/07/10(火) 03:17:19.95
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1531160239/
雑談スレ【５４】 2018/07/11(水) 03:18:01.83
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1531246681/
このスレが正統の「分かスレ４５６」です。
[前スレ.960] にて 2019/09/07(土) 23:29:22.15 認知
A=Σ(k=0→n) (nCk)^2
B=Σ(k=0→n) (nCk)^3
それぞれどうやれば求まりますか？
Aだけでもお願いします
なるべく高校程度の範囲でお願いします
1 / cos(x) の x = 0 でのテイラー展開を x^8 の項まで計算せよ
という問題の解答ですが、 1 / cos(x) は偶関数だから、
1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …
とおき、
cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …
との積が 1 になるように漸化式を作ると、
1/ cos(x) = 1 + (1/2)*x^2 + 5/24*x^4 + (61/720)*x^6 + (277/8064)*x^8 + …
Σ b_n
がともに絶対収束ならば、
コーシー積 Σ c_n
も絶対収束して
Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n
cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …
は (-∞, +∞) で絶対収束する。
1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …
はその収束半径を R とすると、 (-R, R) で絶対収束する。
↑の命題により、
x ∈ (-R, R) のとき、
a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + …
は絶対収束して、
a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + … = cos(x) * (1/cos(x)) = 1
が成り立つ。
x = 0 を代入すると、
a_0 = 1
両辺を2回微分すると、
2! * ((-1/2)*a_0 + a_1) + … = 0
x = 0 を代入すると、
a_1 = 1/2
…
というように、 a_0, a_1, … を決定できる。
なので、そもそも、
1 / cos(x)
がテイラー展開できるのか？
ということに答えなければならないはずです。
>A=Σ(k=0→n) (nCk)^2
A=ΣnCk・nC(n-k)=2nCn
>B=Σ(k=0→n) (nCk)^3
No good answer
すいません、よくわかりません…
B(n) = Σ(k=0→n) (nCk)^3
= Σ(k=0→n) {(n+r)C(k+r)・(k+r)Cr}^3 / {(n+r)Cr}^3, (r≧0)
B(n) = Franel number
〔漸化式〕 (J.Franel)
(n+1)(n+1)･B(n+1) = {7n(n+1)+2}B(n) + 8nn･B(n-1),
〔生成函数〕 (P.D.Hanna)
Σ(n=0→∞) B(n)(x^n)/(n!)^3 = { Σ(k=0→∞) (x^k)/(k!)^3 }^2.
〔公式〕 (V.Strehl)
B(n) = Σ(n/2≦k≦n) (nCk)^2･(2k)Cn,
http://oeis.org/A000172
そのまま考えると
2nCn通りだろう
これを別の数え方で数えあげる
始めのn枚を並べた時に表が何枚あるかで場合分けして数えると
最初のn枚を並べたときk枚あるパターンはnCk通りで
この時残りのn枚は表のコインがn-k枚しか残っていないから
並べ方の組み合わせはnC(n-k)通り
合わせると最初のn枚に表がk枚あるような2n枚の並べ方の組み合わせは
nC(n-k) ・nC(n-k)
これを全部合わせると全パターンの並べ方の総数になるわけで、つまり2nCn
に等しいわけだ
1行目は
合わせて2n枚並べる組み合わせ、だった
B(n) = Σ(k=0→[n/2]) (n+k)!/{(k!)^3･(n-2k)!} ･ 2^(n-2k)
〔生成函数〕
y(x) = Σ(n=0→∞) B(n)･x^n = 1 + 2x + 10xx + 56x^3 + 346x^4 + 2252x^5 +
は2階線形微分方程式
x(x+1)(8x-1)y " + (24xx+14x-1)y ' + 2(4x+1)y = 0,
の解。
G.Coserea(2018)
(1+t)^(m+n)=Σ(m+n)Ck・t^k
(1+t)^m(1+t)^n=ΣmCi・t^iΣnCj・t^j=ΣΣmCi・nCj・t^(i+j)=Σ(Σ[i+j=k]mCi・nCj)t^k
Σ[i+j=k]mCi・nCj=(m+n)Ck
…
Σ[h+i+j=k]lCh・mCi・nCj=(l+m+n)Ck
…
Σ[Σi_j=k]Πm_jCi_j=(Σm_j)Ck
>>21
>>22
>>24
ありがとうございます！
Bは難しそうなので諦めます
Aについてじっくり読んで考えてみます
lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) does not always exist(for example, it does not exist if x = 0).
などと書いてあります。
lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) が収束するような x って存在するんですか？
証明をお願いします。
と展開される。 E_(2k) はオイラー数。
以下が成り立つことの証明を読みました。
非常に重要かつ興味深い結果だと思いました。
ところが、微分積分学の教科書でこのことが書いてある本はほとんどないように思います。
藤原松三郎以外の本で、このことが書いてある本を教えてください。
f(x) = Σ_{n = 0}^{∞} a_n * x^n
a_0 ≠ 0
Σ_{n = 0}^{∞} a_n * (x_0)^n ∈ R for some x_0 ∈ R - {0}
とする。
このとき、正の収束半径を持ったべき級数 g(x) = Σ_{n = 0}^{∞} b_n * x^n
で、
f(x) * g(x) = 1 for all x ∈ (-R, R) for some R > 0
が成り立つようなものが存在することを証明せよ。
Robert Strichartzの
The Way of Analysis
とかにもある
ありがとうございます。
Closure Properties of Analytic Functionsというセクションにある定理ですね。
ぱっと見、分かりやすくていい本っぽいですね。
ところで、それほどメジャーな本ではないと思いますが、この本を読んだきっかけは何ですか？
探せばいい本はたくさんあるようですね。
>>32
の本もパソコンにあったのですが、全く見たことがありませんでした。
1 = cos(x) {1/cos(x)}
= {Σ(j=0→∞) (-1)^j･{1/(2j)!} x^(2j)} {Σ(k=0→∞) |E_(2k)|/(2k)! x^(2k)},
x^(2n) の係数から
Σ(k=0→n) (2n)C(2k)･E_(2k) = 0,
〔漸化式〕
E_(2n) = - Σ(k=0→n-1) (2n)C(2k)･E_(2k)
と E_0 =1 により整数。
〔漸近形〕
E_(2k) / (2k)! ～ (-1)^k･(2/π)^(2k+1) (k→∞)
1 = cos(x) {1/cos(x)}
= {Σ(j=0→∞) (-1)^j･{1/(2j)!} x^(2j)} {Σ(k=0→∞) |E_(2k)|/(2k)! x^(2k)}
= Σ(n=0→∞) {Σ(k=0→n) (2n)C(2k)・E_(2k)}/(2n)! x^(2n)
から
Σ(k=0→n) (2n)C(2k)･E_(2k) = δ_(n,0)
E_0 = 1, (1.27323954)
E_2 = -1, (-1.0320491)
E_4 = 5, (5.019285)
E_6 = -61, (-61.02719)
E_8 = 1385, (1385.0697)
E_10 = -50521, (-50521.284)
E_12 = 2702765, (2702766.69)
E_14 = -199360981, (-199360994.9)
E_16 = 19391512145, (19391512295)
E_18 = -2404879675441, (-2404879677510)
E_20 = 370371188237525, (370371188272932)
……
( )内は (-1)^(2k)･2(2k)!･(2/π)^(2k+1)
(1) (√2 + √3)^n は負でない整数 a_n, b_n, c_n, d_n を用いて
a_n + (√2)b_n + (√3)c_n + (√6)d_n,
と表せることを示せ。
(2) d_(2n-1) を求めよ。
(略解)
漸化式
a_(n+1) = 2b_n + 3c_n,
b_(n+1) = a_n + 3d_n,
c_(n+1) = a_n + 2d_n,
d_(n+1) = b_n + c_n,
と
a_1=0, b_1=1, c_1=1, d_1=0
から。
(2)
a_(2n-1) = d_(2n-1) = 0,
b_(2n) = c_(2n) = 0,
後者は
(√2 + √3)^(2n) = (5+2√6)^n
= Σ(k=0,n) C(n,k) (5^k)(2√6)^(n-k)
= a_(2n) + (√6)d_(2n),
Aは実数を成分とする2次正方行列で A≠E、A≠O とする。
このとき、Aによる一次変換αの不動点
( x ) ≠ ( 0 ) を求めよ。
( y ) ( 0 )
(略解)
A = (a b)
(c d)
A-E ≠ O,
|A-E| = (a-1)(d-1) - bc = |A| - (a+d) +1 = 0,
とするとき、不動点は
( x ) ＝ ( b ), (1-d)
( y ) (1-a), ( c )
実数を成分とする2次正方行列Aは、
A = [a,b]
[c,d]
ad-bc = 1
3以上のある自然数nに対して A^n = E,
を満たす。Aを求めよ。
(略解)
A = ±E
pはnの素因数として
A = [ cos(2qπ/p), ±sin(2qπ/p) ]
[ 干sin(2qπ/p), cos(2qπ/p）]
>>41 不動軸と云うべきか....
それだけじゃ収まんめえよ
[4 -7]^3
[3 -5]
とか計算してみい
分からない問題
(1) スターリングの公式の導出
log(k) ≧ ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx,
(1/2){log(k-1)+log(k)} ≦ ∫[k-1,k] log(x)dx,
を k=2,････,n について足すと
log(n!) = Σ[k=2,n] log(k) ～ (n+1/2)log(n) -n +c,
0.89180 = (3/2)log(2e/3) < c < 1,
は出るが、
c = (1/2)log(2π) = 0.91894
が出ませぬ....orz どうやるんだろ？？
*) log(n+1/2) = log(n) - log{1 - 1/(2n+1)} > log(n) + 1/(2n+1),
分からない問題
(2) オイラー定数γを規則的な連分数で表示する。
代数的数どころか無理数かどうかも怪しい。
もう、ｻﾊﾟｰﾘですよね。
分からない問題
(3) 円周率πを計算するニュートンの公式の導出
(略解)
二項公式
(1-xx)^n = Σ(k=0,n) (-1)^k C(n,k) x^(2k),
で n=-1/2 のとき、
1/√(1-xx) = Σ(k=0,∞) (-1)^k C(-1/2,k) x^(2k),
xで積分して
arcsin(x) = Σ(k=0,∞) (-1)^k {C(-1/2,k)/(2k+1)} x^(2k+1),
x=1/2 のとき
π/6 = Σ(k=0,∞) (-1)^k {C(-1/2,k)/(2k+1)} (1/2)^(2k+1),
ここに、一般化二項係数
C(-1/2,k) = (-1)^k {(2k-1)!!/(2^k・k!)}, (k≧1)
= 1 (k=0)
ｻﾊﾟｰﾘでもないか。
ネイピア数eにはある。
e = 2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]
円周率πにもある。(正則ぢゃないけど)
π = 3 + (1^2)/{6 + (3^2)/[6 + (5^2)/(6 +(7^2)/(6 + ････))]}
A = [cosθ+ p sinθ, -q(1+pp)sinθ]
[(1/q)sinθ, cosθ- p sinθ]
p,q≠0：実数, θ=2πk/n, k：整数
らしい。。。
[脇スレ.090]
n = 3 の場合で
p = 18q = ±3√3,
1+pp = 28,
k = ±1,
θ = ±2π/3,
cosθ = -1/2,
sinθ = 3q = 1/(4q) = 9/(2p),
とおけば >>44 を含む。
ジョルダンセルのサイズが1で固有値がともに1の冪根でtrace、determinantが実数が条件だから固有値が+1,-1となるケース、つまりtr=0、det=-1のケースも入れないといかん。
>det=-1のケース
ad-bc=1
お、ホント。
見逃した。失礼。
固有値λ = e^(iθ) に対する固有ヴェクトルu
( p+i )
( 1/q )
固有値λ = e^(-iθ) に対する固有ヴェクトルu
( p-i )
( 1/q )
[脇スレ.090]
〔漸近形〕
E_(2k) / (2k)! ～ (-1)^k ２(2/π)^(2k+1) (k→∞)
>>37
( )内は (-1)^ｋ 2(2k)!･(2/π)^(2k+1)
n! = Γ(n+1) = ∫[0,∞] x^n e^(-x) dx (置換: x=n+(√n)t)
= ∫[-n^2,∞] (n+(√n)t)^n e^(-n-(√n)t) (√n)dt
= n^(n+1/2) e^(-n) ∫[-n^2,∞] (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) dt
n→∞ で (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) → e^(-t^2/2),
∫[-n^2,∞] (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) dt → ∫[-∞,∞] e^(-t^2/2) dt = √(2π)
x=n のまわりにテーラー展開して
x^n e^(-x) = (n/e)^n {1 - tt/2 + ttt/(3√n) + (n-2)t^4 /(8n) + (6-5n)t^5 /(30n√n) + ････ }
= (n/e)^n e^(-tt/2 + (t^3 /√n) -(t^4)/(4n) + (t^5)/(5n√n) - ････ )
～ (n/e)^n e^(-tt/2) ････ 正規分布
これは ｔ=±√2 の辺りでも極大値の 1/e であり、t<-√n ではひじょうに小さい。
∴積分の下限を -∞ としてもよい。
n! = ∫[0,∞] x^n e^(-x) dx
～ (n/e)^n ∫[-√n, ∞] e^(-tt/2) (√n)dt
～ n^(n+1/2) e^(-n) ∫[-∞, ∞] e^(-tt/2) dt
= n^(n+1/2) e^(-n) √(2π),
でござるな。
↑は、
lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)
の値を求めている動画です。
40万回以上も再生されている動画ですが、いい加減すぎやしないでしょうか？
こういう解答を何の疑いもなく受け入れてしまう人もいると思います。
質が悪いですよね。
f(x,t) = exp(-xx) cos(t),
g(x,t) = exp(-xx) sin(t),
F(x,t) = [[f, -g] [g, f]],
D = [[∂/∂x, -(∂/∂t)] [∂/∂t, ∂/∂x]], … 微分演算子
X(x,t) = {F(x,t)^(-1)} D F(x,t),
とおく。
自然数nに対して X^n をx,tで表わせ。
[脇スレ.102]
とおくと
F(x,t) = exp(-xx) T(t),
F^(-1) = exp(xx) T(-t),
D T(t) = T(t) (∂x - 1),
より
X^n = {F^(-1) D F}^n
= F^(-1) D^n F
= F^(-1) (∂x - 1)^n exp(-xx) T(t)
= exp(xx) (∂x - 1)^n exp(-xx) E,
さて、どうする？？
字で書いて
なんか間違ってるのかこれ
リーマン和のようなものを作っていて、それが広義積分に収束するということを勝手に仮定しています。
a_n := log((n!/n^n)^(1/n))
=
(1/n) * log(n!/n^n) = (1/n) * log(1/n * 2/n * … * n/n)
=
(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n))
とおく。
log(x) は単調増加関数だから、
(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log((n-1)/n)) ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx ≦ (1/n) * (log(2/n) + … + log(n/n))
が成り立つ。
よって、
(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n)) ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(n/n) = ∫_{1/n}^{1} log(x) dx
∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(1/n) ≦ (1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n))
が成り立つ。
まとめると、
∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(1/n) ≦ a_n ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx
が成り立つ。
であり、
lim_{ε → +0} ε * log(ε) = lim_{ε → +0} - log(1/ε) / (1/ε) = 0
であるから、
lim_{ε → +0} ∫_{ε}^{1} log(x) dx
=
lim_{ε → +0} [(1 * log(1) - 1) - (ε * log(ε) - ε)]
=
lim_{ε → +0} [- 1 - ε * log(ε) + ε]
=
-1
である。
したがって、
lim_{n → ∞} ∫_{1/n}^{1} log(x) dx + lim_{n → ∞} (1/n) * log(1/n) ≦ lim_{n → ∞} a_n ≦ lim_{n → ∞} ∫_{1/n}^{1} log(x) dx
∴ -1 ≦ lim_{n → ∞} a_n ≦ -1
∴ lim_{n → ∞} a_n = -1
lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)
=
lim_{n → ∞} exp(a_n)
=
exp(-1)
誤魔化しですが、誤魔化されたことに気づかない人も多いと思います。
そこが質が悪いですよね。
同じ問題がありました。
(a)
f を [1, ∞) で狭義単調増加関数とする。
f(1) + … + f(n-1) < ∫_{1}^{n} f(x) dx < f(2) + … + f(n)
を示せ。
(b)
f = log とし、
n^n / exp(n-1) < n! < (n + 1)^(n + 1) / exp(n)
を示せ。
したがって、
lim_{n → ∞} (n!)^(1/n) / n = 1 / e
が成り立つ。
(b)
log(1) + … + log(n - 1)
=
log((n - 1)!)
∫_{1}^{n} log(x) dx
=
n * log(n) - n + 1
log(2) + … + log(n)
=
log(n!)
よって、
log((n - 1)!) < n * log(n) - n + 1 < log(n!)
(n - 1)! < n^n / exp(n - 1) < n!
∴
n^n / exp(n - 1) < n! < (n + 1)^(n + 1)
今電車の中でイヤホン持ってきてないから声聞こえないけど説明はなんて言ってんの？
分解して
(n!/n^n)＝((1/2)^1)*((2/3)^2)*((3/4)^3)*・・・((n-1)/n)^(n-1))*n/n
と見れば
各項の((k-1)/k)^(k-1)という数列、これは定義式からeに収束する数列そのもの、の逆数なので
それらを掛け合わせた(n!/n^n)も(積の)チェザロ平均の法則から同じ値に収束する、とシンプルに求める事はできる
一応、数列a_kが収束するなら (a_1a_2・・・a_n)^(1/n)も同じ値に収束するという法則ね
単に幾何平均だな
a_k := (k/(k+1))^k とおく。
n!/n^n = a_1 * … * a_{n-1}
n!/n^n = (1/a_n) * (a_1 * … * a_n)
(n!/n^n)^(1/n)
=
(1/a_n)^(1/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)
=
((n+1)/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)
lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)
=
lim_{n → ∞} ((n+1)/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)
=
lim_{n → ∞} ((n+1)/n) * lim_{n → ∞} (a_1 * … * a_n)^(1/n)
=
1 * lim_{n → ∞} a_n
=
lim_{n → ∞} a_n
=
lim_{n → ∞} (n/(n+1))^n
=
lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^n
=
lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^(n+1) / (1 - 1/(n+1))
=
lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^(n+1) / lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))
=
(1/e) / 1
=
1/e
log(x) は連続関数だから、
lim_{n → ∞} log(a_n) = log(α)
である。
log((a_1 * … * a_n)^(1/n))
=
(1/n) * log(a_1 * … * a_n)
=
(log(a_1) + … + log(a_n)) / n
である。
lim_{n → ∞} log((a_1 * … * a_n)^(1/n))
=
lim_{n → ∞} (log(a_1) + … + log(a_n)) / n
=
lim_{n → ∞} log(a_n)
=
log(α)
である。
exp(x) は連続関数だから、
lim_{n → ∞} (a_1 * … * a_n)^(1/n)
=
lim_{n → ∞} exp(log((a_1 * … * a_n)^(1/n)))
=
exp(log(α))
=
α
である。
積分を使わないというだけで、この解法のほうが複雑で難しいですね。
対数取って
でしょ
チェザロ平均でいいと思う
いやさね、どれだけシンプルに答えが出るか
って事なんだ
(n!/n^n)が((1/2)^1)*((2/3)^2)*((3/4)^3)*・・・((n-1)/n)^(n-1))*n/nと分解されるのは行間とかなしで一目みれば明らかだろう
それぞれの項の((k-1)/k)^(k-1)がeの逆数なんてのも見れば明らかだろう
そして数列の調和平均、相乗平均、相加平均が元の数列と同じ値に収束するというのもそういう法則を知っていれば明らか
つまりこの問題の為に必要な計算は1行でいいという事だ
別に積分が悪いってわけじゃないけどね
誤差評価には役立つし
binary512はExponentが23bit
binary1024はExponentが27bit
binary2048はExponentが31bit
binary4096はExponentが35bit
binary8192はExponentが39bit
binary16384はExponentが43bit
binary32768はExponentが47bit
binary65536はExponentが51bit
である場合の問題点。
(∂/∂x - 1)^n = {exp(x)(∂/∂x)exp(-x)}^n
= exp(x) (∂/∂x)^n exp(-x),
より
exp(xx) (∂/∂x - 1)^n exp(-xx)
= exp{x(x+1)} (∂/∂x)^n exp{-x(x+1)}
= exp{(x+1/2)^2} (∂/∂x)^n exp{-(x+1/2)^2}
= (-1)^n Ｈ_n(x+1/2), (← ロドリーグの公式)
Ｈ_n(x) はn次のエルミート多項式。
X = F^(-1) (DF) (←直後のＦにのみ作用)
= exp(xx)T(-t) D T(t) exp(-xx)
= exp(xx) (∂/∂ｘ -1) exp(-xx) E
= (-2x-1) E,
より
X^n = (-2x-1)^n E.
〔類題〕
F(x,t) = exp(-xx) [ [ cos(t), -sin(t) ] [ sin(t), cos(t) ] ],
D = [ [∂/∂x, -(∂/∂t)] [∂/∂t, ∂/∂x] ], … 微分演算子
X_n(x,t) = {F(x,t)^(-1)} D^n F(x,t),
とおく。
自然数nに対して X_n をx,tで表わせ。
以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限”
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。
以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？
なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。
定理3
I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, …
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。
証明
f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。
f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。
これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。
（1）∫1/(3^x+1) dx
（2）∫log(log(x))/{x･log(x)} dx
（3）∫e^(2x)/√(e^x + 1) dx
[脇スレ.216]
3^x + 1 = u とおく。
log(3) 3^x dx = du
(与式1) = ∫{1 - (3^x)/(3^x + 1)} dx
= x -∫(1/u)du /log(3) = x - log(3^x + 1) /log(3),
(2)
log(log(x)) = u とおく。
1/{x･log(x)} dx = du,
(与式) = ∫ u･(du/dx) dx = (1/2)uu = (1/2){log(log(x))}^2,
(3)
e^x +1 = uu とおく。
(e^x) dx = 2u du
(与式) = ∫2(uu-1)du = (2/3)u^3 - 2u
= (2/3)(uu-3)u = (2/3)(e^x - 2)√(e^x + 1),
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1567920449/l20
>>13
∫_{C} f(z) dz の定義ですが、リーマン和の極限によって定義しています。
ところが、 実数変数の複素数値関数 f(t) = g(t) + i * h(t) に対する
∫_{a}^{b} f(t) dt
の定義は、リーマン和の極限によって定義せず、
∫_{a}^{b} g(t) dt + i * ∫_{a}^{b} h(t) dt
によって定義しています。
統一性が全くありませんよね。
実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。
実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。
>>94
Serge Langの本では、
∫_{C} f(z) dz := ∫_{a}^{b} f(z(t)) * z'(t) dt
などと定義しています。
これでは、
∫_{C} f(z) dz
の意味が分かりづらいですよね？
途端に非常に難しくなりますね。
ジョルダンの定理とか。
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
というものです。
証明は、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
と
∫_{C} Q dy = ∬_{Ω} Q_x dx dy
とをそれぞれ証明して、積分の加法性から、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
が成り立つをことを証明します。
なぜ、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
のみをグリーンの定理と言わないのでしょうか？
なんか冗長なような気がします。
をグリーンの定理とよび、
その系として、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
を書けばいいように思います。
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