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フェルマー最終定理について
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む24
無職だから最近数学の勉強をしている
まだ中学生だけど大学の数学科に行きたい
数理論理学（数学基礎論） その14
数学は東大より京大 ← これ
面白い問題おしえて〜な 29問目
数学の本 第88巻
三角関数っていつ使うんだよ。
数学で一番美しい数ってなんだと思う？
一つの整数を二つの平方数の差で表す方法
- 1 ：2016/05/19 〜 最終レス ：2019/12/01
- 俺知ってる。
お前知らないだろ。
知ってるから715を例にあげると全部で4つある。
358^2-357^2
34^2-21^2
74^2-69^2
38^2-27^2
- 2 ：
- 方法は
(a+b)^2-(a-b)^2=4ab
の式から一つの整数を4abで表せれば左辺の式より二つの平方数の差で表せる事になる。
715みたいに一つの整数が奇数の時はちょっと工夫がいる。
- 3 ：
- 因みに素数は二つの平方数の差で表せる解が一つしかない。
- 4 ：
- (((p-1)/2)+1)^2-((p-1)/2)^2=p
素数の二平方数の差の解がこれ。
- 5 ：
- 因みに平方数とは整数の二乗数の事な。
- 6 ：
- 俺は統合失調症になって実家でニートしながら数学の勉強してる人間。
友達になってくれる人がいたら
1618kiko@gmail.comにメールして。
- 7 ：
- a^2-b^2=(a-b)(a-b)だからな
奇数なら奇数×奇数、
4の倍数なら偶数×偶数を作ればいいだけだしな
で？
- 8 ：
- >>7
式も間違ってるし、ちょっと何言ってるのかわからない。
- 9 ：
- >>7
とりあえず適当な整数上げて全部の解だしてみろよ。
今のところ
奇数×奇数=奇数
偶数×偶数=偶数
としか言ってないぞ。それが俺の式を内包してるだけで具体的にどう関係があるんだよ。
- 10 ：
- で？
じゃねーよ。腹立つな。
- 11 ：
- 2n+1=(n+1)^2-n^2
4n=(n+1)^2-(n-1)^2
- 12 ：
- >>11
そう。
俺の式の一例になってる。ありがとう。
- 13 ：
- 4で割ると2余る数は平方数の差では表せない
<証明>
aを任意の非負整数とし、4a+2が平方数の差で表せると仮定すると、m、n(m＞n)を自然数とし
(m^2)-(n^2)=4a+2 と表せる。
両辺を因数分解して
(m+n)(m-n)=2(2a+1)
ここで(m+n)が奇数なら(m-n)も奇数となり左辺は奇数となるが右辺は偶然なので矛盾
また、(m+n)が偶然なら(m-n)も偶然となり左辺は4の倍数となるが右辺は4の倍数ではないので矛盾
背理法により命題が示された
- 14 ：
- >>13
証明は真似できない馬鹿だけど
約数の偶数と奇数の数が関係ありそうなのは解る。
- 15 ：
- 126で試してみたけど二つの平方数の差の解はなかったし。
- 16 ：
- 平方数を小さい方から並べて差をとっていくと、3、5、7、9と奇数の列になっている(証明略)
これを利用すると、異なる平方数の差は、連続する奇数の和として表せる
ここで、連続するa個の奇数の中央値をbとすると、このa個の奇数の和はabと表せて、aとbの偶奇は一致する(証明略)
(このことからも4で割ると2余る数は連続する奇数の和で表せないことがわかり、素数は１パターンのみであることもわかる)
奇数、もしくは4の倍数をab(aとbの偶奇は同じ)の形に因数分解すれば、aとbの片方を連続する奇数の個数、他方を中央値として連続する奇数の和で表せる(ただし連続する奇数のうちの小さいものが負数になる場合は除く)
これを用いれば4で割ると2余る数以外の任意の自然数を平方数の差で、全ての表し方で表せる
- 17 ：
- キリが良いので自分は去ります。
さようなら。
- 18 ：
- >>1は中高生かな？
数をあれこれ計算していじるの楽しいよな
ある法則を見つけた時なんか特に楽しい
また何か見つけたらここに書いてくれい
- 19 ：
- >>18
優しいから出現する。
ありがとう。また、発見したらきます。またね！
- 20 ：
- 統失はRよ
大した計算じゃねーよ
- 21 ：
- >>20
何も得意技はこれだけじゃないし、そんな言葉に屈しないね。
- 22 ：
- >>1が間違ってたのに「また発見したら」とはこれいかに
- 23 ：
- >>22
証明がないだけで間違ってないんだが。
- 24 ：
- >>23
m^2-n^2=6の整数解を挙げよ
- 25 ：
- >>24
無い
- 26 ：
- 約数の組合わせより
6=0.5*0.5*2*3なので
総組合わせを二つに分けて
3.5^2-2.5^2
2.5^2-0.5^2
6.25^2-5.75^2
とかも解になることが解る。
- 27 ：
- みすった。
6=0.5*0.5*2*3*2*2だった。
間違えた。今のなしで書き直す
- 28 ：
- ちょっと待って、家帰ってから書き直すから。
一例を書くと
12.5^2-11.5^2とか
合ってるよね？
- 29 ：
- あれ、違う
最初の方が合ってるや。
12.5^2-11.5^2の方がミス
- 30 ：
- >>27
6/4=0.5*0.5*2*3だ。
- 31 ：
- >>28
これは6*4=24の解だ。
- 32 ：
- >>26
ちょっと訳がワカランクなってるから書き直すと
約数の組合わせより
6/4=0.5*0.5*2*3なので
二つの取りつくし組合わせに分けて足して引いて
3.5^2-2.5^2
2.5^2-0.5^2
6.25^2-5.75^2
とかも解になることが解る。
- 33 ：
- この式の汚点は約数を把握しなければならないので
素数の倍数を把握しなければならないことになり
巨大数を二つの平方数の差で表す事が難しくなること。
- 34 ：
- >>16
論理的に
もし、この方のやり方に巨大数に対する約数の難のようなものがなければ
素数を把握する簡単な方法があることになるはずですが...どうですか？巨大数に対しての難しさはその方法にもありますか？
- 35 ：
- キリが良いので去ります。
さようなら。
- 36 ：
- >>34
すまないが君の主張がわかりにくいのでこちらの想像で補って応えさせてもらう。
>>巨大数に対する約数の難
これが｢巨大数を素因数分解することは一般に難しい｣ことを意味しているのならこれはその通りである。
>>16は、ある自然数をa×b(aとbの偶奇は同じ)に因数分解できるとすればその自然数を平方数の差で表す事ができるという主張で、ある自然数を(巨大な数の時でも)因数分解できるかどうかは別の問題である。
これが望む応えになっていないのなら続いて質問をしてほしい
- 37 ：
- 任意の自然数は２つの有理数の平方の差で表せ、その表し方は無数にある。
<証明>
a、bを有理数(a≧b)とすると任意の自然数はabと表せ、aとbの組み合わせは無数にある
x、yを有理数とし
x+y=a
x-y=b
とするとこの連立方程式をx、yについて解いて
x=(a+b)/2
y=(a-b)/2
となる
ab=(x+y)(x-y)=(x^2)-(y^2)
でありこれに上のxとyを代入すれば任意の自然数を２つの有理数の平方の差で表す式が導ける。
aとbの組み合わせは無数にあるのでこの表し方も無数にある。
- 38 ：
- 例えば
6=18×(1/3)
とすれば
x=(18+(1/3))/2=55/6
y=(18-(1/3))/2=53/6
となり
6=(55/6)^2 - (53/6)^2
と表せる
- 39 ：
- >>36
はい、素因数分解が難しい事を言ってます。
そのやり方でも因数分解はするんですか。
難しさは同じ...なんでしょうか..
>>37
>>38
のやり方は勉強になります。
知識が浅はかなのでどの事にもはっきり答えられませんが
色々教えていただきありがとうございます。
- 40 ：
- 非整数だと特に何の意味も価値もなくなる主張だが
- 41 ：
- >>39
>>そのやり方でも因数分解するんですか
そうです。
>>難しさは同じなんでしょうか
一般に、ある(巨大な)自然数ｎを因数分解をしないで平方数の差で全ての表し方で表すことは、ｎを素因数分解することよりも難しい(計算量が多い)
なぜなら、ｎを素因数分解するには√ｎまでの素数でｎを割ってみればいいが、一方ｎを平方数の差で全ての表し方で表す場合(大雑把に見積もって)ｎの約半分以下の2つの自然数の組み合わせを考えるので(n/2)^2の計算量が必要となるからである。
ものすごく大雑把に例えれば、10001という自然数が与えられた時
素因数分解するには多くて100回の計算が必要
平方数の差で全ての表し方で表す場合には多くて25000000回の計算が必要となる。
ただし、平方数の差で全ての表し方で表す場合に、もっと楽な画期的な計算方法が見つかれば計算量は少なくなるかもしれない。
- 42 ：
- >>41
ほんと.。そうなのか。
- 43 ：
- 心の狭いおっさんが集うスレだなあ
- 44 ：
- ￥
- 45 ：
- ￥
- 46 ：
- ￥
- 47 ：
- ￥
- 48 ：
- ￥
- 49 ：
- ￥
- 50 ：
- ￥
- 51 ：
- ￥
- 52 ：
- ￥
- 53 ：
- ￥
- 54 ：
- >>42
納得しきれないのなら自分で10001を平方数の差で表せるか確かめてみるとよい。
自分で確かめることにより理解が深まり考察の練習にもなる。
(n+1)^2 - n^2 = 2n+1
の式にn=5000を代入することにより
5001^2 - 5000^2 = 10001
はすぐに求められる
5001以下の自然数の中から２つを選びそれらの平方の差が10001になるか確かめてみよう。
２つの自然数を選ぶ時に、闇雲に選ぶのではなく整理して順番に調べていくと法則性を見つけやすくなり、余計な計算をしなくて済むかもしれない。
- 55 ：
- 10001/4=0.5*0.5*73*137
105^2-32^2=10001
なのは解るけど
>>54
関数電卓使うけど
5000から試していってます。
平方数の差の数のそれぞれのズレかたを調べてみろって事ですね。
やってみます。
- 56 ：
- 32*(105-32)*2+(105-32)^2=10001
- 57 ：
- 話を拡大して三乗の差 増やしてn乗の差では？
a^n-b^n=m
- 58 ：
- >>57
このスレでやるのはやめてくれ。
今、それも含めて勉強してるからネタバレされたくない。というのが本音。
- 59 ：
- このスレ以外でなら見ないから良いけど
スレをたてたからにはこのスレは見届けるつもりだから。
- 60 ：
- じゃあ手伝うか
分かったら先にネタバレするから付いてこいよ
- 61 ：
- ネタバレか。
まぁ、良いか...
- 62 ：
- 頑張ろうな
- 63 ：
- 頑張ろう
- 64 ：
- 頑張れ
- 65 ：
- ￥
- 66 ：
- ￥
- 67 ：
- ￥
- 68 ：
- ￥
- 69 ：
- ￥
- 70 ：
- ￥
- 71 ：
- ￥
- 72 ：
- ￥
- 73 ：
- ￥
- 74 ：
- ￥
- 75 ：
- 頑張った
- 76 ：
- >>75
え、もうできたの？
俺はまだまだぜんぜん時間掛かりそうなんだけど。
- 77 ：
- >>76
ここまで計算したこととそこから考えたことを途中でもいいから書いてごらん
- 78 ：
- >>77
平方数の差の公式が何故成功したのかを改めて知るために復習してた。
((715-121)/22+11)^2-(715-121/22)^=715
38^2-27^2=715
が始まりで(a+b)^2-(a-b)^2=4abを導いたなーって眺めてのと
立法数、４乗数を1から順に6まで並べて眺めてた。のと
立法体の中に小さい立法体が入っている図を作図したのと
平方数のやり方を真似てみて
(a+b)^3-(a-b)^3=6ba^2+2b^3
になるけど2b^3さえなければ上手くいく式だったのになーって考えてた事くらい。
次の勉強は
平方数が1.3.5.7.9.11.13.15
といった奇数の和で成り立っていることが立法数にも言えないか探るのと
平方数の際に使う2n+1+2n+3...
の和が二つの平方数の差になっている事が立法数にも言えないか探ることかな。
- 79 ：
- まだ、他にも考えてる事はあるけど
とりあえず、これだけ。
なんとなく法則は見付かってきて、良い流れがきている気がする（何割と言われれば２割くらい）
きれいな式じゃなくても解が見付かれば良いかなと思ってる。
一番最後に試すのは虚数使ってみることにしている。
ついでに38^3-37^3=4219
4219-1/(3*38(38-1))=1
っていう2n+1の方法な真似たのもやってみた。
- 80 ：
- >>76、78、79はn乗の差の話を持ち出した人で、素因数分解について疑問を持った人とは別の人かな？
いずれにせよ>>78、79に応える。
まず誤字
×立法数 ○立方数
いろいろな角度から問題を眺める事はとてもいい事だ。新たな発見やアイデアが見つかるかもしれない。
(a+b)^3 - (a-b)^3
=6ba^2 + 3b^3
=3b(2a^2 + b^2)
と因数分解してみてはどうだろうか
あるいは
x^3 - y^3 =(x-y)(x^2 + xy + y^2)
の因数分解から始めるのもいいかもしれない。
それから、｢となり合う平方数の差｣や｢となり合う立方数の差｣を文字式を使って表してみると法則性がわかる。
このあたりの発想や概念は中２の｢文字式の利用｣の単元を復習しよう。
教科書や問題集があればそれをやるといいし、なければネット上に問題や解説が豊富にある。
簡単な問題を繰り返し解く(証明を自分の力で書く)ことによって、どんな場面で文字式が役立つのかわかり、論証のゴールに向かってどう進めればよいかの思考の練習になる。
>>79の後半についてはすまないが理解できなかった。
｢ある整数を自然数のｎの差で表す｣際に複素数まで因数分解を試みるのか、それとも問題を｢ある整数を複素数のｎ乗の差で表す｣ことに拡張したいのか、それ以外か。
最後の式は(括弧が抜けているが補うとして)上の｢となり合う立方数の差｣の法則性から導けるが、なぜその式に至ったのか書いてくれると応えられる。
- 81 ：
- >>80
読みました。
ちょっと精神が滅入ってるので返事は控えます。
とりあえず、
(n+1)-n^3=3n(n+1)+1
又は
(n+m)^3-n^3=3nm(n+m)+m^3
の、式を使って解いていこうと考えてます。
方針は決めてるんですが、体力があまり無いので
一日一日に小分けして勉強するので、報告が遅れます。すみません。
- 82 ：
- >>81
無理をせず、自分のペースで勉強を進めたらよい。
報告が遅れるのはかまわない。
- 83 ：
- >>82
はい、ありがとうございます。
- 84 ：
- 1の差の立方数の場合
(n+1)^3-n^3より
ある自然数zが1の差の立法数の差で表すには
その自然数zから1を引いて3で割った数が((z-1)/3)
が1の差の2つの自然数の掛け算で表せれるなら((z-1)/3)/(n(n+1))
二つの立方数の差
(n+1)^3-n^3=z
となり、1つの自然数zを二つの立方数の差で表せれる事になる。
と言うところまで解けました。
例えば2977なら
(2977-1)/3=992
992/n(n+1)=0
n=31
32^3-31^3=2977
と解けます。
まだ差が1の範囲で楽な計算になるだろうけども
992/n(n+1)=0となるnの計算が
少し手間がかかる気がします。
今後、ここの計算が楽になる何らかの方法を見つけなければならないと感じています。
- 85 ：
- >>81
>>83
>>78
>>79
これも自分です。
問題提起した人は最初の提起依頼まだ現れていないです。
- 86 ：
- nを計算する時
992/n(n+1)=0より
(992/n)=n+1の式の方が
整数nで割った数が整数(n+1)じゃないといけないことが解るから良いかな。
ここでnは992を整数で割り切る数でなければならないことから
nは992の約数でなければならないと言えないか。
- 87 ：
- と言うことは高々、約数を把握すれば立方数の差の数がみえてくると言えるかもしれない。
- 88 ：
- >>86
間違えた。
何かおかしいと思ったらこれだ
×992/n(n+1)=0
○992/n(n+1)=1だった。
- 89 ：
- 992/n(n+1)=1より
n+1も992の約数でなければならない。
と言える。
あれ992/n=n+1の形にしなくても
nもn+1も992/n(n+1)=1の式から
992の約数でなければならないことが言えるか...
とりあえず、nもn+1も992の約数でなければならい事だけは確かか...
- 90 ：
- なら、手前の計算の時点で3nもn+1も2977-1の約数でなければならないと言えるか。
- 91 ：
- ならこうもいえるか。
1引いて3の倍数でない数は立方数の差の解を持たない。
と。
- 92 ：
- >>91
いや、違うな。
この主張は間違ってるわ。
- 93 ：
- とりあえず、確定していることは
例えば2977を例にあげると
(2977-m^3)にたいして3nmと(n+m) は必ず双方約数でなければ
もし、それが一つの組合わせもないならば2977は立方数の差で表せないと言える。
あれ、(2977-m^3)を3nmで表せれるならばn+mは(2977-m^3)の約数になる
と言えるかも。
- 94 ：
- ちょっと休も
法則が見つかってきて面白くなってきたけど色々と誤解が絡んでる可能性もあることを言ってるかもしれない。
- 95 ：
- >>93
二つ目の主張は間違ってる。
- 96 ：
- >>93
(2977-m^3)=3nm(n+m)
3nmもn+mも(2977-m^3)の約数でなければならない上で以上の式が成り立つnとmの組ならば
(n+m)^3-n^3=2977となる。
纏めるとこうなる。とりあえず、確定していることはこれだけ。
- 97 ：
- 変なこと言い過ぎた。
休む。
次、起きたら洗いざらい言ったことを電卓使って検算してみるとする。
- 98 ：
- 3,n,m何れも約数でなければならない。
かもしれん。
てことはとりあえず、m^3引いて3の倍数でない数は立方数の差の値にはならない事がいえる。
又mが大きくになるにつれてmが約数である確率は下がっていく。
- 99 ：
- ax^2+bx^2=n
全部自然数a,bは定数でnを表せないかな？
可能なら3乗差も行けると思う
- 100 ：
- 違うわ
x,yをa,b,nで表せればいいんだけど
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