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数理論理学（数学基礎論） その14
- 1 ：2019/03/22 〜 最終レス ：2020/05/24
- 数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その13
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1532721493/
- 2 ：
- 数学基礎論は数学の基礎論ではない。まったく数学には関係ない論理のお遊び
- 3 ：
- Vの中で操作してる以上は数学だぞ
- 4 ：
- 計算機科学はチューリングマシンをイデア的に捉える
論理学は一階述語論理を人の論理の形式化とする
数学はチューリングマシンも一階述語論理も集合とする
- 5 ：
- Yコンビネータ
型無しラムダ計算においてよく知られた（そしておそらく最もシンプルな）
不動点コンビネータはYコンビネータと呼ばれる。これはハスケル・カリーによって
発見されたもので、次のように定義される。
Y = (λf . (λx . f (x x)) (λx . f (x x)))
実際に関数gを適用することによって、この関数が不動点コンビネータとして動作する
のが分かる。
Y g = (λf . (λx . f (x x)) (λx . f (x x))) g (Yの定義より)
= (λx . g (x x)) (λx . g (x x)) (λfのβ簡約、主関数をgに適用)
= (λy . g (y y)) (λx . g (x x)) (α変換、束縛変数の名前を変える)
= g ((λx . g (x x)) (λx . g (x x))) (λyのβ簡約、左の関数を右の関数に適用)
= g (Y g) (第2式より)
これをそのままラムダ計算で使うと、評価戦略が値渡しだった場合には (Y g) が
(g (Y g)) と展開された後も、引数の値を先に求めようとして
(g (g (Y g))) →...→ (g ... (g (Y g))...) のように無限に展開され続けて
止まらなくなってしまうので、次節で示すZコンビネータのように修正する。
評価戦略が名前渡しの場合はこのまま使える。 このカリーによるコンビネータのみを
Yコンビネータとすることもあるが、実装などでは不動点コンビネータを指す名前として
他の形であってもYという名前を使っていることもある。
SKIコンビネータ計算では次のようになる。
Y = S (K (S I I)) (S (S (K S) K) (K (S I I)))
- 6 ：
- >>4
計算機科学はチューリングマシンをハードウェア、機械として捉える、が正解
- 7 ：
- >>5
> Yコンビネータ
・・・
> Y = (λf . (λx . f (x x)) (λx . f (x x)))
> 評価戦略が名前渡しの場合はこのまま使える。 ・・・
これは間違い。評価戦略が名前渡しであっても Y は使えない。それを示すために
君が書き下してくれたY gの式変形をどちら向きにも進める変換 “＝” による等式でなく
簡約 “→” による評価として→で向き付けられた形に書き直してみよう。
（“≡” は構文的に同一の項であることを示す。なお、「α変換」は
束縛変数に対する名前の付け替えというメタ言語的な操作なので
ここではα変換の前後は構文的に同一の項として扱い“≡”で示した）
Y g
≡ (λf . (λx . f (x x)) (λx . f (x x))) g (Yの定義より)
→ (λx . g (x x)) (λx . g (x x)) (λfのβ簡約、主関数をgに適用)
≡ (λy . g (y y)) (λx . g (x x)) (α変換、束縛変数の名前を変える)
→ g ((λx . g (x x)) (λx . g (x x))) (λyのβ簡約、左の関数を右の関数に適用)
← g (Y g) (第2式より)
最後のステップが逆向きの簡約 “←” であることに注意。
このステップは絶対に本来の簡約 “→” の向きには書き直せないので
Y コンビネータは名前呼びでも使えないことが分かる。
名前呼びの簡約戦略の場合に正しく動く不動点コンビネータで最も有名な例は
Turing のΘコンビネータで、λ項として書き下すと以下のようになる：
Θ ≡ (λx y, y(x x y))(λx y, y(x x y))
最後に、これを用いた Θg という項が簡約によって確かに g(Θg) になることを確かめておく：
Θ g
≡ ((λx y, y(x x y))(λx y, y(x x y))) g
≡ ((λz w, w(z z w))(λx y, y(x x y))) g ・・・・・・・・・・・・ α変換
→ (λw. w((λx y, y(x x y))(λx y, y(x x y)) w)) g ・・・ β簡約
≡ (λw. w(Θ w)) g ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ Θの定義で置き換え
→ g(Θ g)
なお、値呼びの簡約戦略で正しく動く不動点コンビネータも勿論ある。
具体的な定義は、例えば次にある：
Daniel P. Friedman & Matthias Felleisen “The Little Schemer” 4th ed., p. 172 (The MIT Press, 1996).
- 8 ：
- >>7訂正
失礼、チューリングのΘコンビネータのλ項で、束縛変数とλ項本体とを区切るピリオド “.” が間違ってコンマ “,” になってました
- 9 ：
- Bertrand Russellはその著書「Principia Mathematica」の序で次のように述べている。
「……数学の原理に関するいかなる理論も、それを支持する主たる論拠は、
常に帰納的なものでなければならない。換言すれば、それはその問題の理論によって、
我々が通常の数学を演繹できるという事実の中に存在するものでなければならない。
数学においては、最高度の自明性は、演繹のはじめの段階で得られることはめずらしく、
解いていくにつれてある段階で得られるというのが普通である。
したがって、その段階に到達するまでの初期の演繹においては、前提から真の結論が
引き出されるという理由でその前提が信じられるのであり、前提からその結論が
引き出されるという理由でその結論が信じられるのではない」
- 10 ：
- つまりコーエン最強と
- 11 ：
- age
- 12 ：
- まだまだ死に絶えてはいません
- 13 ：
- ∪Aに関する疑問を突き詰めてみると
P(x)≡∃y∈A(x∈y)
の真偽って確定するとしていいのかな？
与えられたｘについてyを選ばなくて良いって言うのはなんだか胡散臭いし
選び出すことができるってなんだか選択公理っぽい
公理にしてる根拠が薄くないかな
- 14 ：
- 選び出すって何おかしなこと言うてんねん
存在するかどうかを問題にしてるだけや
- 15 ：
- 何が存在してるか言えなくて
何か存在してるだけではやだなぁ
- 16 ：
- xに対して
∃y∈A(x∈y)
が成り立っているとき、そのyをブルバキ流に書けば
τy(y∈A∧x∈y)
だ
これは∃の意味をどう決めるかによる
- 17 ：
- ブルバキだと
｛(x,τy(y∈A∧x∈y))}
は集合なの？
これが集合なら
F=｛(x,τy(y∈Bx))｝
も集合？Fって選択関数のことだけど
- 18 ：
- xが集合で、
∃y(y∈A∧x∈y)
が成り立ってるなら
τy(y∈A∧x∈y)
も集合。だから
(x,τy(y∈A∧x∈y))
は集合。よって
｛(x,τy(y∈A∧x∈y))}
は集合。
Bxが何のことかわからないけど、
何か集合aがあって、Bをa上の写像と見做すことにする。
∀x∊a(Bx≠φ)
が成り立ってるなら、
F={(x,τy(y∈Bx))| x∊a}
はブルバキでは選択関数となる。
でもそれはτに強い規則を課していて
s=t⇒τy(y∈Bs)=τy(y∈Bt)
が満たされるから。
ブルバキでは選択公理は定理となる。
でもブルバキ読んでないしあまり詳しいことはよく知らない。
- 19 ：
- >>18
>ブルバキでは選択公理は定理となる
ありがとう
やはりブルバキだとそうなるのね
ちょっと強すぎな感じ
- 20 ：
- 数学基礎論=ZFC教
- 21 ：
- >>20
そんなことはない
- 22 ：
- >>20
> 数学基礎論=ZFC教
全くの間違い
数学基礎論は本来は今の数理論理学全般を指すのではなく数学の基礎付け＝ヒルベルトのプログラムの精神を引き継いだ学問分野を表していた
そういう意味では数学基礎論の最もコアな部分は証明論それもGentzen流の純粋に構文的な手段のみに限定して還元主義的な証明論だが
このGentzen流証明論は構文的であるが故にZFCのような集合論とは全く無縁と言って良い
現在の日本のように「数学基礎論」という学問名を「数理論理学」つまり論理を数学的な手段で分析する学問一般を表すものとして使うのは
数学基礎論本来の意味からは邪道極まりない使い方
竹内先生や八杉さんらが共立現代数学講座から出した『数学基礎論』は実に正しい使い方だ、何しろあの本には証明論しか書いてないのだから
その点、新井さんの岩波からの『数学基礎論』は邪道なタイトルだなｗ
でも、竹内先生らの本が同講座の巻が軒並み品切れとなって久しいころに復刊された時には『証明論入門』というタイトルに変えられてしまった
その頃には「数学基礎論」という言葉が本来の意味でなく数理論理学一般を指す邪道な使われ方がメジャーになってしまっていたから
数理論理学の教科書としては証明論しか書いてないので羊頭狗肉だと（数学基礎論の本来の意味を知らない）無知な読者たちから
批判を浴びるのを出版社が恐れたからかも知れないね
- 23 ：
- >>22は頭の堅い人の偏見だから割り引いて読むように
- 24 ：
- 計算機科学でも数学でもない一群
- 25 ：
- 「本来は」とか言い出したら現代数学のほぼ全てが邪道になってしまうよ
数学に限らず物理もそうかな
- 26 ：
- >>24
wikipediaでもmathoverflowでもmathematical logicを数学の分野として扱ってるが
- 27 ：
- 逆にマスマティクスじゃないロジックってなんなの？
- 28 ：
- ヘーゲルみたいなやつ
- 29 ：
- 論理哲学みたいな奴？
- 30 ：
- >>23
“mathematical logic”という分野の意味で「数理論理学」でなく「数学基礎論」の語を使う日本だけが異常なんだよ
海外では“foundations of mathematics”と“mathematical logic”は適切に使い分けられているよ
学問分野の名称（前者FMは後者MLの一部分というか“philosophy of mathematics”とも共通部分を持つような学問領域を指す）でも
書籍のタイトルでもね
- 31 ：
- 数学に威張り散らすより実学工学な計算機科学と密接に連携しろよ。
まあ文学部卒のバカだと実学な時点で臍が曲がるんだろうけど。
- 32 ：
- 超巨大基数ってクラスぐらいに大きい集合があるってことにしたいことかな？
ZFに付け加えても矛盾起こらないんだろうけれども
- 33 ：
- 文学部が計算機科学と連携とか面白そうだな
俺は数学科卒だけど
- 34 ：
- 今日本の数理論理学、数学基礎論の日本を代表する研究者って誰？
- 35 ：
- >>34
新井先生
- 36 ：
- 誤解する人はいないとは思うが旦那の方だな
- 37 ：
- test
- 38 ：
- test
- 39 ：
- ｎ変数部分帰納的関数ｆ、ｇについて質問ですが、
f \simeq g の定義って、｢ｆ、ｇの定義域が一致して、その定義域における値も一致している｣
つまり｢ｆ、ｇを(n+1)項関係関係と見たとき、集合としてｆ=ｇ｣という理解でいいですか？
- 40 ：
- それとも、｢ｆ、ｇの定義域は異なっていても良いが、ｆ、ｇ両方の定義域に属する元に対しては値が一致する｣ということですか？
- 41 ：
- さあ？
- 42 ：
- 数理論理学（数学基礎論） その14
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg
https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
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- 43 ：
- 3600
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！
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- 44 ：
- 新井敏康『数学基礎論』の集合論の章で、
Godel operationとして書いてある
F4(x,y):={u∪{v}:u∈x, v∈y}から
直積が構成できると書いてあるけど、
具体的にはどうやれば良いですかね？
冪集合の公理も置換公理もないから
どうやれば良いのかちょっとよく分からないのですが。
- 45 ：
- このスレ死んだな
たまにチラホラ更新されるから見てたんだけど
- 46 ：
- 新井さんの本のタイトルが『数学基礎論』ってなんか大袈裟というか羊頭狗肉というか
数学の基礎付けに関して特記すべきような内容は何も書いてなくて
数理論理学の教科書として標準的な話題を扱ってるだけなんだから
素直に『数理論理学』ってタイトルにしとけばよかったのに
- 47 ：
- 数理論理学も複素関数化すると簡単になるのか？
解析接続とか数理論理学で聞いたことないが…
- 48 ：
- >>47
頑張ってね
- 49 ：
- >>46
英文タイトルは？
- 50 ：
- >>44
F4って順序対には成らないの？
- 51 ：
- >>47-48
解析接続を一般化した概念の「層」を使った強制法という手法で連続体仮説が解決されてる。
- 52 ：
- 強制法に層は普通出てこないと思うが
そういうのが載ってる資料とかあるなら興味あるから知りたい
- 53 ：
- >>51
> 解析接続を一般化した概念の「層」
本の拾い読みばっかりしてる感じ
- 54 ：
- >>53
コピペで数物の話題をIUTのスレに書き込んでる奴にストーカーされても困るしな。
- 55 ：
- >>54
全く意味不明
- 56 ：
- >>52 トポスのことを層と同一視してしまっているのだろうと思う。
ある種のトポスと一階述語論理に対応がついて，その上で強制法が展開できるのはマックレーンのSGLとかに載っているが，層論的に整理した複素解析とトポスとは直接的な関係はあんまりないと思う。知らんけど
- 57 ：
- >>52 トポスのことを層と同一視してしまっているのだろうと思う。
ある種のトポスと一階述語論理に対応がついて，その上で強制法が展開できるのはマックレーンのSGLとかに載っているが，層論的に整理した複素解析とトポスとは直接的な関係はあんまりないと思う。知らんけど
- 58 ：
- >>49
Mathematical Logic だね
- 59 ：
- 京都賞が如何にも基礎論っぽい方向だしそう名付ける方が本人にはしっくりくるんだろう
- 60 ：
- 集合論の初歩の指導に関する質問
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1568026331/
ここの>>1が
「{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} だから {}∈{{{}}}だ」 とか
「{{}}∈{{{}}} で {{}}は集合 だから {{}}⊂{{{}}}だ」 とか
トンチンカンなことばっかりいうんですよ
どういう指導が効果的でしょうか？
また どういうテキストがおすすめでしょうか？
- 61 ：
- >>58
> Mathematical Logic だね
だよねー
だったら新井さんも日本語タイトルは「数理論理学」にしておけよって話
日本だけだよ、大昔ならいざ知らず現代になっても
“foundations of mathematics”（に相当する言葉）を“mathematical logic”（に相当する言葉）と全くの同義語かの如く使うのは
新井さんが英語タイトルを『数学基礎論』に相当する“Foundations of Mathematics”でなく“Mathamatical Logic”にしてるってことは
彼は日本だけの非常識さを知ってるってことだ
にも拘わらず日本語タイトルでは相変わらず羊頭狗肉な『数学基礎論』を使うって実に質が悪いとしか言い様がない
- 62 ：
- >>61
＞羊頭狗肉な『数学基礎論』
私は逆の認識ですけどね
「数学基礎論」って数理哲学みたいじゃないですか
でも中身は完全に数学 むしろ狗頭羊肉
ということで、あなたとは全く逆の考えから
日本語タイトルは「数理論理学」にしておいたほうがよかった
と思っています
- 63 ：
- 三段論法みたいに人間が直感的に信じてる論理って誰が用意したんだろう
- 64 ：
- >>59
文意を把握できない
京都賞と数理論理学の関係をどうとらえているの？
- 65 ：
- >64
失礼。思い切り思い込みでてきとー書いちまった。
日本数学会賞。
- 66 ：
- あげ
- 67 ：
- >>62
貴方がどちらを高級と考えているかはこの議論に全く関係ない
日本のその分野の研究者たちの間では「数学基礎論」のほうが「数理論理学」より高級だと思われている、という事実だけが重要
彼ら自身の間ではそう思われていることの証拠は、彼らの研究分野の英語名がmathematical logicであるにもかかわらず
日本語では自分達の分野を今でも数学基礎論と呼ぶケースが現在でも極めて多いからだ
つまり数学的であること以上に「（数理）哲学」的であることを高級だと思っているということだ
これは私の個人的な推測であり根拠も証拠もないが、彼らは自分達の分野が恐らく「数学とは何かの本質に迫っている」とでも思いたいから
「数理論理学」という単純に技術的な手段と研究対象とから成る分野名でなく「基礎論」という言葉を有難がって今も使いたがるのだと思われる
だから新井さん本人を含め彼ら自身にとっては「数学基礎論」という呼び名のほうが「数理論理学」よりも高級な名前なのですよ
貴方が逆だと思おうともね
- 68 ：
- >>67
すごい早口で言ってそう
- 69 ：
- >>62
数理論理学は羊頭狗肉
- 70 ：
- 論理主義者は数理論理学＝基礎論って考えになるんじゃないの？
- 71 ：
- 論理主義者ならそもそも数学より前に論理学があることになるから、
数学を前提とする数理論理学は基礎にはならないな
正直俺は数学基礎論を日本にしかない別名程度にしか思ってなかったけど
- 72 ：
- >>71
> 正直俺は数学基礎論を日本にしかない別名程度にしか思ってなかったけど
「数学基礎論」に相当する言葉は海外にもあるぞ、例えば英語ならば“foundations of mathematics”だ
そして、英語圏ではこの言葉はこの言葉に相応しい内容（数学の基礎付けという数理哲学的な色彩の濃い内容）を指したり
そういう内容の書籍のタイトルとして使用されるのが普通だ
“foundations of mathematics”（に相当する言葉）を“mathematical logic”（に相当する言葉）の別名あるいは同義語として
平気で広く使っているのは私の知る限り日本だけだ
- 73 ：
- >>72
＞“foundations of mathematics”を
＞“mathematical logic”の別名あるいは同義語として
＞平気で広く使っているのは私の知る限り日本だけだ
竹内外史が悪いｗ
- 74 ：
- 史上最低の馬鹿 現るｗｗｗｗｗｗｗ
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1568026331/30-31
- 75 ：
- 2215
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
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- 76 ：
- Sierpinskiの“Cardinal and Ordinal Numbers”について質問です。
第１版と第２版とで内容はどの様に違っているのでしょうか？
（ページ数に関しては487pp.と491pp.なので４ページしか増えていないようなのですが）
御存知でしたら教えて頂けると助かります。宜しくお願い致します。
- 77 ：
- (P∨Q)∧(P∨R)├P∨(Q∧R)
この証明ってレモン方式の自然演繹でどう記述すればいいんでしょうか？
初歩的なことなんでしょうけど、どうしてもわからないのでどなたかお教えください。
よろしくお願いします。
- 78 ：
- >>77
長いよ
- 79 ：
- (P∨Q)∧(P∨R)|-P∨Q
(P∨Q)∧(P∨R)|-P∨R
P|-P∨(Q∧R)
¬P,P∨Q|-Q
¬P,P∨R|-R
Q,R|-Q∧R
Q∧R|-P∨(Q∧R)
を組み合わせてね
爆発律と排中律を使うし
- 80 ：
- (P + Q)*(P + R)
=P + P*R + Q*P + Q*R
=(P + P*Q) + P*R + Q*R
=P + P*R + Q*R
=(P + P*R)+ Q*R
=P + Q*R
- 81 ：
- >>77
(P∨Q)∧(P∨R)|-P∨Q
(P∨Q)∧(P∨R)|-P∨R
P|-P∨(Q∧R)
Q,R|-Q∧R
Q∧R|-P∨(Q∧R)
- 82 ：
- P→QはあるのにP←Qはないの？P↔QはあるよねP←Qを見かけないんだけど？
- 83 ：
- P←Qがあれば（P→Q)←R=P→（Q←R)とか分かりやすいのに
- 84 ：
- >>83
←があれば便利だと思うのならば自分で好きに定義して使えば良いじゃない、例えば
P←Q def＝ Q→P
とね
ついでに言えば、自然言語の文法を型理論的に分析するLambek Calculusだと
上の→と←との各々に対応する型構成子がある
“Lambek Calculus”とか“Categorial Grammar”とかで色々と調べてみてごらん
- 85 ：
- >>84
>P←Q def＝ Q→P
読み方は
「なんとなれば」
でいいかな？チョット長い
「なしか」
でどうかな
- 86 ：
- 英語ではすでにifとonly ifでわけてるんじゃないですか？
- 87 ：
- P if QはP←Q
P only if Qは？if and only ifで成語となると思うんだけどP only if Q単独で¬P←¬Qの意味になる？
- 88 ：
- P only if Q
Pが成り立つのはQが成り立つ時に限る
P→Qてことですよね
- 89 ：
- 自分はif and only if (iff)以外の単独でonly ifが使われたのみたときないけど
それはそれとして
P only if QがP→Qであるとしたら
only if＝ならば
if＝？
- 90 ：
- 屁理屈こねる前に素直に英語の意味考えてみればああそうだなってなりますよね
if← and only if→=⇆
これだけですよね
- 91 ：
- >>90
屁理屈って･･･
if and only ifが⇔の意味であることは良いんだって
only ifが単独で使われたのみたときないのと
それはそれとして
only if＝ならば
となるから
if＝？
と聞いてみただけ
- 92 ：
- The logical relation is, as before, expressed as "if P, then Q" or "P ⇒ Q".
This can also be expressed as "P only if Q", "P implies Q" or several other variants.
Necessity and sufficiencyのwikipediaの記事で上の通り言ってるぞ、“only if”
- 93 ：
- ゲーデルの不完全性定理と複素平面上のガウス驚異の定理は関係ありますか？
ヒルベルトはどっちも理解していたはすですが、関連させて研究したひとは
カレーが好きですか。
- 94 ：
- >>93
＞ゲーデルの不完全性定理と複素平面上のガウス驚異の定理は関係ありますか？
ないですね
- 95 ：
- ¬（P⋀R)を口頭で言うとき、どういえばP⋀¬Rと区別した言い方になりますか？
- 96 ：
- のっとかっこぴかつきゅかっことじ
日本語で言いたい？
ぴかつきゅということではない
とかでは？
- 97 ：
- ためになりました。ありがとうございます。>>96
- 98 ：
- >>94 95 96 97
RをQに読替とは、知能が宇宙人LEV.だ
【予想される超模範怪答】
口頭 ⇔ 論理式
Pで、Q以外 ⇔ P∧¬Q
PとQ 以外 ⇔ ¬(P∧¬Q)
PやQ 以外 ⇔ ¬(P∨Q)
Pや Q以外 ⇔ P∨¬Q
【予想されるトンデモ反論】
スペースは、はずせ。
日本語がワカッテない。グダグダ
- 99 ：
- >>98
¬はノットであって以外では無いのは意外だろうか
- 100 ：
- 0615
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
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