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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む29
≒≒≒≒≒≒≒≒≒ 数学アカデミー
♂♂♂♂♂♂♂♂♂♂♂♂ 星質 ３
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遂に解かれた！AX+BY=CZ
【R言語】統計解析フリーソフトＲ 第6章【GNU R】
5次方程式の解を表現できる数体系
【数学者】ID:JtmyZOC7【解析】
なぜ∞という数が存在すると思ってる学生が多いのか
「コホモロジー」
【数セミ】エレガントな解答をもとむ2【2016．11】
- 1 ：2016/10/17 〜 最終レス ：
- 過去スレ：
【数セミ】エレガントな解答をもとむ【2011．2】
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1295154182/
- 2 ：
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必 も 明. '. 入 |:.:.:.:.:.:.:.:',:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
要 っ 日 ', / / ＼ !＼:.:.:／.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
に と は ｉ j./ ＼|:.:.:.｀:ー‐┐:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
な 大 | j′ .!:.:.:
る き
ぞ な
努
力
が
- 3 ：
- 亜米利加にはMAA
加奈陀にはCrux
洪牙利にはKomal
日本には数蝉
比較する雑誌のレベルが違いすぎるか？
他の国にはないの？
- 4 ：
- 日本には、現代数学もあるよね。
大学院への数学って感じだけど。
- 5 ：
- 他誌に関する楽しい会話をぶった切る形ですみませんが
恒例の問題講評(16年10月号)を書かせていただきます。
ここは数セミのエレ解スレなので遠慮なく行きます。
-------
10月号の問題を一言で表すと『2問ともハードでキッツいわ』です。
■問1のレベルは？？（解いた方、補完を頼みます）
伊藤J先生といえばハードな空間図形を出題することで有名。
14年は立方体表面を鋭角三角形で分割（正解者16名）。
15年は立方体と正四面体を畳みました（正解者6名）。
本年は立方体の表面を蟻が歩きます。
前スレで白状したように私は解けませんでした。
ギブアップほど悔しいものはありませんね。
14,15年のときほど難しくなさそうだっただけになおさらです。
というのも答えらしきものがネットに出ているのである。
じゃあ一体なにが難しいのか？
2点を結ぶ経路はいくつもあるが、経路の候補をうまく絞り込まないと
場合分けが爆発するのである。この絞り込みを厳密かつ簡便に行う方法を
見つけることができなかった。
正しいアプローチはなんだったのか？
スレ住人のエレガントな解答をもとめます。
■問2のレベルは7〜9（常連正解率10〜40%）
時弘T先生といえばハードな力学系を出題することで有名。
彼の問題は『できるだけエレガントに解こう』というぬるい考えを寄せ付けない。
『解き方は問わん。お前の脳力を見せてみろ！』という男塾的な問題が多い。
彼の問題でA10神経が活性化してしまう方は私と同じエレ解中毒者です。
それはさておき14,15年は有理式。ともに完答者はたったの2名（レベル9〜10）。
本年の出題は離散力学系より。14,15年のときほど難しくなさそうである。
というのも方針がある程度はっきりしているからだ。
操作Tで"10"の個数が非減少であることを示せばよい。
問題内容からしてエレガントな手法もありそうだ。
しかし、言うは易し。工夫なしに厳密に示すのは大変だし、
エレガントな手法も私には見つけられなかった。
なお時弘先生は厳密でない解答には容赦なくバッテンをつけるので要注意（15年が好例）。
甘い読者を切って捨てるような硬派な態度がまた良しである。
- 6 ：
- 11月号掲載の解答編問2について、以下のコメント>>前スレ933を転載しておきます。
（大円→円と勝手に修正しました）
平面までの距離が円の半径の2乗に比例することは解答編にも
書かれていますが厳密には示されてませんよね。
この補題をエレガントに示せれば全体的にもエレガントです。
賢い方、エレガントなコメントをよろしくです。
-----------
>>前スレ933
球の問題の解答編読んだ。
なるほどなあ、積分は本当にゴリゴリやる方法だと無理っぽいね。自分が考えたのはこんな感じ。
ランダムに選んだ3点が成す円と球の中心との距離（解答編で言うd）の確率密度関数は、
その円の半径の2乗に比例する（※後述）。円の半径の2乗は1-d^2だから、確率密度関数は
1-d^2を「1-d^2を0から1まで積分した値」で割って3(1-d^2)/2となる。
解答編にあるようにdに対するA^2+B^2の値は
((1+d)^2+(1-d)^2)/4
だから、これに3(1-d^2)/2を掛けた3(1-d^4)/4を0から1まで積分した3/5が解となる。
さて問題は※だが、私の力では厳密性をかなり欠いた議論となる。ランダムに選んだ1点が、ある特定の
円の上に乗る「確率」は、その円の周の長さに比例すると言って良いだろう。従って、ランダムに選んだ
3点がすべてその円の上に乗る「確率」は、長さの3乗、つまり半径の3乗に比例する。
あれ？2乗じゃなかったのか？と思うかもしれないが、球上に存在する円の「個数」は、
半径が小さいほどたくさんだということを考えなくてはならない。野球ボールの上に半径1cm
の円を100個描いた場合と2cmの円を100個描いた場合では、前者の方が薄く見える
はずだ。何個描けば同じぐらいの濃度に見えるかといえば、これは円の周の長さ、つまり
半径に反比例するだろう。
そういうわけで、特定の円上に3点が乗る「確率」は半径の3乗に比例するが、円の
「個数」は半径に反比例するため、確率密度関数は半径の2乗に比例する。
こういう風に考えたけど、如何せん議論に厳密性を欠くし、これでも5点で考える方法の
方がエレガントなので、そっちで応募した。※は数値実験でも確認しているので、誰か
もう少し厳密な証明を考えてくれないかなと思う。
- 7 ：
- >>3
ルーマニアには、Gazeta Matematicaという数学雑誌がある。
- 8 ：
- >>3
中国？なら、香港科学技術大学のも有名だな
- 9 ：
- コテ荒らしは即NG
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- 20 ：
- 誌上の通信制のコンテストでは、日本よりも海外のがレベル高いよね。
- 21 ：
- 今月号の問１みたいなのを平気で出す出題者がいるからなあ。恥を知れ！
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- 問1叩かれてるけど問2も大概じゃね
- 33 ：
- まあ問１は鹿野だから、あんなもんだろ。他に出題者はいないのですか？
- 34 ：
- 平面幾何の専門家の最後の一人が亡くなったし、一松の爺さんも歳だし、新しい人材を発掘せんとな。
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- >>34
平面幾何 パーフェクト・マスターいいよな。
- 46 ：
- 問題が簡単な月は賑わいますねw
- 47 ：
- 参加が安易な板が寂れてますねww
￥
- 48 ：
- 安易なのはどこも同じでしょうw
このスレで言えるのは、問題が難しいときは沈黙し、
問題が簡単なときはよく喋るニンゲンが多いということです
- 49 ：
- 安易なのは大学も同じでしょうww
このクニで言えるのは、周囲が厳しいときは屈服し、
状況が簡単なときはよく走るニンゲンが殆どということです
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- 50 ：
- あんたのコメはスレ違いですな
- 51 ：
- おつむのカスはスレ汚しですな
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- 荒らしが必死
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- この荒らしってマジで頭おかしそうだけど、身内は医者に連れて行かないのかな？
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- 荒らしが必死
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- 77 ：
- すっかり解くのを忘れていた。今夜は第２問に取り組むかな。
- 78 ：
- 問2はそこそこ面白いかも
- 79 ：
- 締め切りって10日必着だっけ？
- 80 ：
- >>79
そうだよ
- 81 ：
- うーん・・問2の答えはどこまで簡単に書けばよいものやら。
- 82 ：
- ははーんなるほど・・・（独り言）
- 83 ：
- >>82
独り言は書く必要ない。お前の日記帳じゃないんだから。ｶｰｯ(ﾟДﾟ≡ﾟдﾟ)､ﾍﾟｯ
- 84 ：
- ここの人が指摘していたニッコリ問題の問題、訂正が載ってたね。
- 85 ：
- >>84
ついにごめんなさいが出たねｗ
でもどうせ謝るなら誤答に回された人間全員の名誉を回復せいよという気も。
そして今月の解答編を読んでまたしても唖然。
俺は前スレでこう書いた：
>>728
> ■問1はレベル3〜4（常連正解率95%以上）
>
> T内氏の問題としては珍しく（失礼）曖昧なところがない。
> （数列規則の曖昧さは見逃してあげてほしい。素直に考えることにしましょう・・）
>
> 取り立てて難しくはないが、だからといってありふれた問題でもない。
> 方針はすぐに思いつけるが、厳密に論じるにはまずを何を示すべきか、
> それなりの考察は必要である。易しいがエレ解らしい良問と言える。
まずみなさんに謝りたい。上の寸評はデタラメだった。
自分が素直に考えた数列規則はちっとも素直ではなかったらしい。
素直に考えたらコレだろ？という思い込みが強かったようです。すみません。
4〜7歳児が考えない数列規則は不正解扱いというのもすごいｗ（数学者のやることか？）
- 86 ：
- 次の注目は『ぞろ目そろばん』で大穴の開いた解答編(16年5月号）を執筆したN山氏ｗ
（もうすでにごめんなさいしてますか？俺が訂正文を見逃している可能性もあります）
特に残念だったのは、この大穴解答を投稿した方が解答者が多かったこと。
みなさん虎の巻（ネタ元の論文）をネットで検索して読んだのだ。
この奇抜な（エレファントかつ一見してスジの悪い、そして実際に穴の開いた）
解答を投稿したきっかけはネットで論文を見つけたこと。それ以外に説明がつかない。
その論文に大穴が開いているとは夢にも思わなかったか、『おかしいな』と
思っていても引用多数の論文だけに真偽を疑わなかったか。
どちらかだと俺は思う。
- 87 ：
- コテハンつけるの忘れてました。
俺のレスを読みたくない人間のために付けています。
>>86
> 特に残念だったのは、この大穴解答を投稿した方が解答者が多かったこと。
→訂正：
特に残念だったのは、この大穴解答を投稿した解答者が多かったこと。
訂正ついでに補足：
何がそんなに残念だったかというと、実際に論文の方法で手を動かしてみれば
この論文が間違いだらけ穴だらけなのがすぐに分かるからだ。
- 88 ：
- 悪態はこれくらいにして11月号の講評です：
■問1はレベル1（常連でない方の正解率も95%以上）
ここは素直に合同式の威力に感動しておくのが大人の振る舞い。
■問2はレベル3（常連正解率95%以上）
大学の理数系に通う（通った）者なら、
・除法の原理（部分分数分解）
・ローラン多項式の係数求値法
を用いた標準的な解答ステップに迷うとは思えない。
迷うとしたら、
1. 知識をどこまで証明なしで使うか？
2. 答えをどこまで簡単に書くか？
である。
2については問題文にf=c0+c1*x^1+...cd*x^dと具体的に書かれていることがヒントになる。
すなわち、f(x)を用いた一般式ではなくc_kとdで具体的に表せ、と読める（気がする）。
そこで少し調べてみるとたしかに簡単な形に書ける。
ちょっと約束事をしてやれば、もっと簡単な形に書ける。
で、まあ十分簡単だからこの辺でやめよか、となる。
所感としては2問とも面白みも骨もない外れ月でした。
- 89 ：
- だからコテ外してんじゃねーよ
- 90 ：
- とりあえず月曜まで入荷しない田舎者のために、12月号の問題を教えろ！ お〜ん？
- 91 ：
- >>86
よく分からんけどその論文はまともなジャーナルに掲載されたものなの？
だとしたらレフリーのミス？
- 92 ：
- >>91
Yes
"Journal of Recreational Mathematics"
Recreational mathematicsの分野では一番知られた雑誌だった（過去形）。
もちろん査読付き。AutherはBallew&Weger。
論文はN山先生のホームページから辿れるので気が向いたら読んでみてほしい。
ちなみに当該論文の訂正記事は見つかっていない。
もし見つかっていたら教えてほしい。
なおrepdigitがあの3通りに限られる事実自体は、
2013年に楕円曲線の整数点問題に持ち込む力技でも示されている。
http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1571065313002138
問題は事実の成否ではなくBallew&Wegerが採用した初等的アプローチにある。
さらに大きな問題はBallew&Wegerの論文がrepdigitの古典として
後続する論文や書籍に数多く引用されてしまったこと。
楕円曲線の論文でもしっかり引用されている。
- 93 ：
- >>92の補足：
Ballew&Wegerはとても簡単に読める。
必要な知識は合同式くらい。
ぜひ間違い探しを楽しんでください。
ヒント：間違いは１つではありません。
- 94 ：
- >>92
詳細有り難う
時間ができたら辿ってみるよ
- 95 ：
- 11月の出題で、
N＝1^n＋2^n＋3^n＋4^n
が5で割り切れるための、ｎに対する条件を問う問題があった。
これを一般化して
〔問題〕
S_n(m)＝1^n+2^n+…+m^n がｍで割り切れるための（ｍ，ｎ）に対する条件は？
・ｎ=1、ｍ＝奇数
・ｎ=奇数(>1)、ｍ={奇数または4の倍数}
・ｎ=偶数、ｍ={ｍのどの素因数pについても、(p-1)はｎを割り切らない}？
→ ｍが2や3を因数にもつ場合はｍで割り切れない。
(p-1)がｎを割り切ると、フェルマーの小定理のせいか、ｍで割り切れなくなる…
- 96 ：
- >>95
nが奇数のときは a^n＋(m-a)^n ≡ 0（mod m）なので
m:奇数 S_n(m) ≡ 0 （mod m)
m:偶数 S_n(m) ≡ (m/2)^n （mod m)だ
で簡単だが
- 97 ：
- 今月号の問１は番外問題も含めて簡単だよな。
チンコ弄ってる間に片付いたぜ。
- 98 ：
- >>97
感想どうも。難度の情報はありがたい。
いつから取り掛かればいいかスケジュールできるからね。
- 99 ：
- >>85
数列の問題はOEISで検索が基本。
まあ半分カンニングみたいなものだが、今回は規則を見つけるのが本題じゃないし、良いだろう。
- 100 ：
- >>99
そんなの全然カンニングじゃない。
ネットで調べないと解けない問題もあるよね。
たとえばH田女史のルービックキューブの問題。
キューブの操作手順を知らないとまず解けない。
100〜のスレッドの続きを読む
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