TOP カテ一覧 スレ一覧 100～終まで 2ch元 削除依頼
もんたん
長谷川亮太スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む26
【悲報】大学1年生「TeXよりWord」
惑星ニビルの衝突
こんな板復活させなくてよかったのに
Inter-universal geometry と ABC予想 28
皆本健太郎の東方project
フェルマーの最終定理証明したったwwww
分からない問題はここに書いてね443
コラッツ予想がとけたらいいな
- 1 ：2012/10/14 ～ 最終レス ：2018/05/09
- 525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/09/03(月) 18:24:27.22
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
コラッツ予想について、証明を考えてみました。
ご指摘ご意見ご感想など、ぜひよろしくお願いします。
- 2 ：
- , '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
- 3 ：
- , '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
- 4 ：
- , '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
- 5 ：
- 豆岡高校
- 6 ：
- スレ立てありがとうございます。
- 7 ：
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレ レス数が少ないから上げとくわね。
| ` -'＼ ｰ' 人 でも何れけされる運命ね。
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 8 ：
- 最初に偶数はアウト（１に収束）
４の倍数になったらアウト
この辺の証明は省略
１を除く奇数３・５・７・９…
の偶数番目は(3n+1)/2の中で４の倍数で省く
３・７・１１…
の奇数番目は(3n+1)/2を２セットの中で４の倍数なので省く
７・１５・２３…
の奇数番目は３セットの中で４の倍数なので省く
以下その連続
数学的証明の仕方はしらね(・д・｀)
n=8x-1
(8x-1)+4x=(3n+1)/2
後は任せた
- 9 ：
- 偶数nにおいては「奇数×２のα乗」なので奇数になる
奇数nにおいて
n=2x-1(n>0)としたときxが奇数であれば(3n+1)/2をすると偶数となる
n=4x-1(n>0)としたときxが奇数であれば(3n+1)/2を２回すると偶数となる
n=8x-1(n>0)としたときxが奇数であれば(3n+1)/2を３回すると偶数となる
↓
n=(2y)x-1(n>0かつ奇数,y>0,x>0かつxは奇数)のときに(3n+1)/2をy回すると偶数となる
nが有限であればn>y,n>xが成り立つので偶数になる
nが偶数ならばn/2となりn>n/2
nが奇数ならばn=2x+1とおき
(3n+1)/2=3x+2
このとき3x+2が偶数であればx=2yとおき
(6y+2)/2=3y+1=(3n+1)/4
n>1なのでn>(3n+1)/4
- 10 ：
- 訂正
奇数nにおいて
n=(2のy乗)x-1のときに(3n+1)/2をy回すると偶数になる
- 11 ：
- 自分のことで手がいっぱいだがそっとエールを送りたい
- 12 ：
- こちらの過去スレも参考になるよー
【検証】コラッツの予想(1-1000)
http://2chnull.info/r/math/1240289175/1-1001
- 13 ：
- nが奇数→n+1を素因数分解する
上記での２の乗数をy,その他を全てかけたものをxとする
n=(2^y)x-1 ← n=（2のy乗)x-1であってるか分からないけど
(3n+1)/2をしたときに出る値mは
m=3x(2^y-1)-1
mに対しても偶数であれば/2,奇数であれば上記
nに何ステップ入れたとしてもその数値がnに戻るにはx,yがともに１でなければならない
よってn=１以外の奇数でループ不可
- 14 ：
- ・・・で、いいのかな？
- 15 ：
- ＞奇数nにおいて
＞n=(2のy乗)x-1のときに(3n+1)/2をy回すると偶数になる
これは成り立たないよ
例：7=4*2-1、11=4*3-1だが
7,22,11,34,17,52,26,...
というか、そんなに簡単に証明できたら難問になってないからｗ
- 16 ：
- >>15
7=2^3-1では？
- 17 ：
- 単なる思いつきだけど話の種にでも
自然数全体からなる集合をNとする。NからNへの、この問題の操作を表す関数をfとおく。
すなわち、nが奇数ならf(n)=3n+1、nが偶数ならf(n)=n/2と定める。
Nの部分集合Aで、f(A)⊂Aを満たすものを「コラッツ不変集合」と呼ぶことにする。
すなわち、Aのどの要素nに対してもf(n)∈Aが成り立つような集合Aのことである。
特にf(A)=Aを満たすものを「コラッツ強不変集合」と呼ぶことにする。
すなわち、コラッツ不変であり、かつ「どのn∈Aに対してもあるm∈Aが存在してf(m)=n」を満たす集合Aのことである。
例
N自身はコラッツ強不変集合
｛1,2,4｝はコラッツ強不変集合
｛1,2,4,8,…,2^k｝(k≧3)はコラッツ不変だがコラッツ強不変でない
より一般に、(1,2,4以外の)ある自然数から始めて1になるまでに現れる全ての自然数の集合はコラッツ不変だが、コラッツ強不変でない
例えば｛13,40,20,10,5,16,8,4,2,1｝
「コラッツ予想が正しい」⇔「全てのコラッツ不変集合が｛1,2,4｝を含む」が成り立つ…と思う。
- 18 ：
- あ、最後の命題は「空でない全てのコラッツ不変集合が…」に訂正
- 19 ：
- チラ裏の続き
>>17と同じ記号で
Nの任意の部分集合Aに対し、Aを含む最小のコラッツ不変集合が存在する。
A∪f(A)∪f(f(A))∪f(f(f(A)))∪…
がそれである。
・φ,Nはコラッツ不変
・コラッツ不変集合の任意個の和集合はコラッツ不変
・コラッツ不変集合の任意個の共通部分はコラッツ不変
が成り立つことが容易に分かる。
よって、コラッツ不変集合全体を開集合(または閉集合)としてNに位相が定まる。(どっちがいいんだろう？)
コラッツ不変集合を閉集合と定義した場合、上で挙げた「Aを含む最小のコラッツ不変集合」はAの閉包に一致する。
- 20 ：
- どちらの位相でもfは連続(証明略)
実例を見ると、「コラッツ不変⇔閉集合」の方がそれっぽい気がする。
wikipediaの「コラッツの問題」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
にあるような図で考えると、閉集合は下に閉じている感じで、開集合は上に延びていく感じになる。
例えばn∈Nに対し、「有限回の操作でnになる数全体」は開集合。特に、これはnを含む最小の開集合である。
- 21 ：
- と、ここまで書いてみたはいいけど、結局「集合XとXからXへの写像fの組」についての一般論の域をほとんど出てない…どうしたものか。
位相の言葉による言い換えが２つほど得られたので一応書いておく。
「コラッツ予想が正しい」⇔「Nが連結」
∵
(左⇒右)1を含む最小の開集合をAとすると、Aは「有限回の操作で1になる数全体」と一致し、予想が正しければA=Nである。
このことから、1を含む連結成分はNとなり、Nは連結。
(右⇒左)再び1を含む最小の開集合をAとすると、Aは「有限回の操作で1になる数全体」と一致し、これよりAは閉集合でもあることが分かる。
Aは開かつ閉で空でないから、連結性よりA=N
。これは、全ての自然数が有限回の操作で1になることを意味し、したがって予想は正しい。□
「ループが有限個かつ無限に大きくなる列は無い」⇔「Nはコンパクト」
∵
(左⇒右)任意に開被覆｛U_λ｝をとる。有限個のループから１つずつ数をとり、a_1,…,a_nとすると、
a_i∈U_(λ_i)(i=1,…,n)となるようにλ_iが選べて、｛U_(λ_i)|i=1,…,n｝が有限部分被覆となる。
(右⇒左)ちょっと長くなるので概略で。
対偶を示す。
無限に大きくなる列があればそれをa_1,a_2,…とする。
ループが無限個あれば各ループから一つずつ数をとり、a_1,a_2,…とする。(選択公理？)
どちらの場合も、a_iを含む最小の開集合をU_iとおくと、｛U_i｝を用いて有限部分被覆を持たない開被覆を構成できる。
- 22 ：
- 調べたらさらに古いスレが
コラッツ予想
http://logsoku.com/thread/science2.2ch.sc/math/1072595845/
- 23 ：
-
2進整数環 Z_2 の部分集合 S を以下の規則で構成する。
α = 3^(-1) ( ∈ Z_2 ) とする。
1) 1 ∈ S
2) n ∈ S ⇒ 4n - 1 ∈ S
3) n ∈ S ⇒ α(4n - 1) ∈ S
4) n ∈ S ⇒ 2αn ∈ S
5) 以上の規則で生成される数のみが S の要素である。
コラッツ予想は、S が自然数全体 N を含むことと同値。
---------------------------------------------------------
で、何がいえるかというと・・・いや、それは
- 24 ：
- Z_2に拡張できるってのは俺も考えたことがあるな。
で、拡張について考えてみたら以下のことが分かった。
以下、Z_2に拡張したとして議論するが、他になんらかの拡張があったとしても(多分)同様。
Qを有理数体とする。
①Z_2∩Qの元から始めて操作するとZ_2∩Qの元しか現れず、Z_2＼Qの元から始めて操作するとZ_2＼Qの元しか現れない。
∵前半は自明。後半は背理法。
x∈Qが現れたとすると、その一つ前は2xか(x-1)/3なので、一つ前も有理数。
繰り返すと、結局最初の数が有理数ということになり矛盾。□
②Z_2＼Qではループは存在しない。
∵a∈Z_2から何回か操作してaに戻るとする。このとき、aはある方程式g(x)=xの解になる。
ここでg(x)は、xに「3倍して1を足す」「2で割る」を何回か繰り返して得られる多項式であり、したがって有理数係数の1次式である。
よって、g(x)=xの解は有理数。□
- 25 ：
- ②の所改行し忘れた…
そんなわけで、有理数より大きく広げる必要は無いんじゃないかなーとか思ったり。
- 26 ：
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 27 ：
- 分母が5の既約分数で調べてみたら、いくつかループがあった。それぞれ
1/5
19/5
23/5
187/5
347/5
を含むもの(これらはそのループ中で最小の数)。まだ小さい初期値でしか調べてないから、もっとあるかも。
下２つは、両方とも「*3+1」を17回、「/2」を27回で計44回の操作でループする。なんかありそう。
負の数でも調べてみたら、少なくとも-1/5から-299/5までは、全て-1/5を経由して1/5のループに到達した。
なんか普通の自然数と雰囲気似てる気がする。
- 28 ：
- >>27
整数で考えると3n+5になるのか
それから187はループじゃないっぽい
もっと大きい数でもやってみたら
大体1か19か187のループに入る
低確率で347(例:443)、23はほとんどない
- 29 ：
- 阿呆の書き込みは軽蔑に値するだけ。
狢
>389 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/23(金) 20:18:33.20
> 低脳撲滅主義の下では現低脳が絶える時に低脳上限上昇による新低脳が生まれる故の無限淘汰地獄｡
> 低脳撲滅主義に於いて低脳認定基準を設けても時代と共に基準は改正されるので無駄な事である｡
> つまり猫改め描改め狢は学力的弱肉強食主義である。行き過ぎた撲滅主義は文化衰退を招く｡
>
- 30 ：
- http://uploda.cc/img/img50b15832de2ac.bmp
26までの数からの変化をまとめてみた
- 31 ：
- 狢
>454 名前：粋蕎 ◆C2UdlLHDRI ：2012/11/24(土) 19:51:25.34
> あーあ、独逸みたいな三大政党化を期待しとったが期待外れじゃな｡
> 一大政党では独裁を生み
> 二大政党では思考不足の極論選択を生み
> 三大政党で初めて民衆は思考勘案し吟味選択する｡
> じゃが此の分じゃ単に民衆は釣られる対象にしかならんな、あれじゃ野合と言われても仕方ない｡
>
- 32 ：
- >>30
まだまだだな
http://uploda.cc/img/img50b1fb425dba0.jpg
はみ出てるけど奇数のみ399まで
- 33 ：
- 私は某女子短大で教えているが、女子学生はキャンパス内では全員例外なく全裸になり、
学生証を安全ピンで乳首に刺して止めておくべきだ。
やらなければこちらがブスッと刺す。血が出るかも。
生理の時は私がタンポンを入れたり抜いたりしてやる。血が付くかも。
云う事聞かない奴は逆さ吊りだ。トイレに行きたくなっても行かせない。
クリスマスは私と女子学生の乱交パーティーだ 。勿論女子学生同士の愛も OK.
女子学生は皆食べ頃だ。参加しない奴には単位を出さない。
等と云った妄想を毎日朝から晩までしている。
授業中もチンコが立ちっぱなしで困る。
- 34 ：
- ペアノの公理系で解けるのかな
なんか此の手の数列の問題で超越的手法じゃないと証明できないやつあったよね
- 35 ：
- ABC予想を解くのに使われた「遠アーベル幾何」というものの話を最近聞いたんだが、なんかコラッツ予想にも使えそうな感じがした。
体における和と積の複雑さに対して効力を発揮するとかなんとか。
難しすぎてまだまだ俺の手には負えそうにないが。
- 36 ：
- >>35
そのアイデアいただき～ッ！
- 37 ：
- ε⌒ ﾍ⌒ヽﾌ
（ ( ・ω・） ブーブーお前解けないのかコラーッ
しー し─Ｊ
- 38 ：
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんしかいないのね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 39 ：
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 40 ：
- コラッツ予想を2進数で考えたいと思います。
初期値7->22->11->34->17->52->26->13
->40->20->10->5->16->8->4->2->1
を例にとって、奇数のみを並べると以下のようなパターンができます。
これを「コラッツ・パターン」と名付けましょう。
1次元のセルオートマトンとも見なせます。
（普通の2進数とは上位下位を逆に、下位ビットを左にしています。）
111 7
1101 11
10001 17
01011 13
000101 5
0000001 1
セルオートマトンと見なした時は以下のルールで下へ伸びていきます。
(1)「1」の塊は、次ステップで両端が離れる
「11」は「1001」に、「111」は「10101」になります。
(2)単独の「1」は、次ステップで「11」になる
(3)「11011」のような、次ステップで左「1」と右「1」が
重なる場合は、右(上位)へ繰り上がる
「11011」は次ステップで「1000101」になります。
(4)最後に、左端に+1する
- 41 ：
- 次に、ルール(4)を削除したパターンを考えてみます。
左端がえんえんと左へ伸びていきます。
00000111
000010101
000111111
0010111101
01110110001
10100101011
さらに、元のパターンとの差をとります。
00000___
00001
000101
0011001
01001001
110110101
「左端を伸ばすパターン」＋「差のパターン」＝「元のコラッツパターン」
「差のパターン」＜「元のコラッツパターン」───(ｲ)
となります。
- 42 ：
- ここで、各パターンの右端に注目してみます。
「元のパターン」の右端は、ある傾きの直線をとります。
一方、「差のパターン」の右端は、それより大きい傾きで進行します。
二つの傾きを重ねると、あるところで交差・逆転します。
すると、大小関係が逆転するので(ｲ)式と矛盾します。
これを回避するには、二つの傾きが交差する前に、コラッツ操作が1に収束するしかありません。
こうなるイメージです。
o x
o x
o x
o x
o x
ox
くわしくは、
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
(4)コラッツ・パターン
からをご覧ください。
- 43 ：
- あげてみる
http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20120606/20120606043249.jpg
- 44 ：
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 45 ：
- >>40-43
仮に1を初期値とするコラッツ・パターンを作るとしたら、
1
01
001
0001
00001
ということであってる？
これは明らかに傾き1。
これを見るに、「元のコラッツ・パターン」の傾きが必ずしもlog[2](3/2)になるとは限らないんじゃないかと。
「+1」の影響が意外と大きい。
- 46 ：
- >>45
初期値1のコラッツ・パターンはそれで合っています。
これで良いのです。
「元のパターン」の右端は、『コラッツ操作が1に収束するまでは』傾きlog[2](3/2)の直線をとります。
でした。言葉足らずでした。
そしてこれが背理法の要です。
>>42の
> 二つの傾きを重ねると、あるところで交差・逆転します。
> すると、大小関係が逆転するので(ｲ)式と矛盾します。
> これを回避するには、二つの傾きが交差する前に、コラッツ操作が1に収束するしかありません。
は1行追加して、
二つの傾きを重ねると、あるところで交差・逆転します。
すると、大小関係が逆転するので(ｲ)式と矛盾します。
これを回避するには、二つの傾きが交差する前に、コラッツ操作が1に収束して、
『「元のパターン」の右端傾きが1になるしかありません。』
です。
- 47 ：
- こうなると大小関係が逆転して矛盾するから、
o x
o x
o x
o x
o x
ox
xo
こうなるしかありません。
o x
o x
o x
o x
o xここで1に収束
o x
o x
o x
- 48 ：
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 49 ：
- 1だけが特別ってのも変だと思う。
他の数でも+1が上手く作用して、部分的に傾きが大きくなることもある。
27なんかはそれが多く起こって長く続くんだろう。
- 50 ：
- うーん変ですか……
1だけが特別というのは
1だけが4-2-1ループする唯一の奇数という
コラッツ予想の特徴をよく表していると思うのですが……
- 51 ：
- あ
- 52 ：
- 傾きの大小だけで交わるかどうかを判断することはできない。
例えば、y=(x-1)/xはx>0の範囲で増加するが、xをどれだけ大きくしても1を超えることはない。
実際、「差のパターン」の差分を計算してみると、確かにlog[2](3/2)より大きくはなるがlog[2](3/2)に収束しそうな感じがした。
- 53 ：
- がーん そんなあ。
確かにy=(x-1)/xの傾き1/x^2は、y=1の傾き0よりも大きいけど、
二つのグラフは交わりませんね。
ということは
「差のパターン」は「元のコラッツパターン」に漸近するんですかね？
- 54 ：
- だんだん平行になっていく、ぐらいじゃないかなあ
直感的には「差のパターン」は「元のコラッツパターン」よりずいぶん小さい気がする
- 55 ：
- 数学板でちゃんとした投稿が大半を占めている貴重なスレなので
お礼にこのスレに関連する情報を１つ書いておくね。知ってたらゴメン。
コラッツ予想に関して、最近までの主要な結果（一般化も含め）や昔の論文の復刻を纏めた次の本が
２年ちょい前にアメリカ数学会(American Mathematical Society)から出版された。
Jeffery C. Lagarias "The Untimate Challenge: The 3x+1 Problem", ISBN: 978-0-8218-4940-8
AMSの会員ならAMSのホムペから少し安く買えるけど、会員以外でもアメリカのAmazonとかで買えるはず。
CoxeterやConwayやRichard Guyら錚々たる連中の昔の論文もリプリントされていて読めるので
コラッツ大好きな人はこの本を持ってるとちょっとハッピーだと思う。
- 56 ：
- >>54
うわああああああああ
>>55
情報ありがとうございます！
さっそく見てみます！
- 57 ：
- 有理数への拡張を詳しく考えてみた
分母が奇数のものだけを考え、分子が奇数なら「3倍して1足して2で割る」、分子が偶数なら「2で割る」という操作をする。
例えば1/5から始めると、
1/5→4/5→2/5→1/5→…
とループする。
ここで、分子に奇数が現れたら○、偶数が現れたら×と書くことにすると、上記のループは「○××」が繰り返してることになる。
そこで、逆に「○××」で元に戻る数が他にあるかを考える。
初期値をxとすると、
x→(3x+1)/2→(3x+1)/4→(3x+1)/8
と変化するはずだから、方程式
(3x+1)/8=x
が得られ、これを解くと解はx=1/5のみ。
よって、「○××」が繰り返されるループは1/5を初期値とするもののみであることがわかる。
同様にして、○×からなる有限列を一つ指定すれば、それに応じて有理数が一つ定まる。
得られた有理数が実際に指定してループを辿るかは非自明だが、おそらく辿る。
- 58 ：
- 「×○×」や「××○」を指定しても、初期値が変わるだけで「○××」と同じループが得られる。
そこで、これは「○××」が円形に並んでいるものと考えられる。
この考えから、次のことがわかる。
定理
n個の奇数とm個の偶数からなるループの個数は、n個の○とm個の×からなる円順列の個数に等しい。
例
奇数2個、偶数4個からなるループを考える。
○2個、×4個からなる円順列は、
○× ○× ○×
○× ×× ××
×× ○× ×○
(半時計周りに並んでいるとする)
の3通り。左上の○に対応する数は、それぞれ1/11,7/55,1/5となる。
これらは、実際に指定した偶奇を辿ってループすることが確かめられる。
奇数n個、偶数m個からなるループについて方程式を作ると、
(3^n*x+a)/2^(n+m)=x (aは正の整数)
という形になる。これを解くと、
x=a/(2^(n+m)-3^n)
となる。したがって、ループを構成する数は、分母が2^(n+m)-3^n(の約数)であるような分数として書ける。
とりあえずここまで
- 59 ：
- http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130214/20130214184540.jpg
7から始まるコラッツ数列を強制的にループさせてみると、
3周目で「左端を伸ばすパターン」と「差のパターン」が交差した。
ここから何か言えないだろうか。
- 60 ：
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんしかいないのね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 61 ：
- http://science2.2ch.sc/test/read.cgi/math/1072595845/
http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1240289175/
- 62 ：
- コラッツ操作を式であらわすと
初期値をx、ステップ数をn、nステップ後の奇数をx_nとして
x(3/2)^n + 3^(n-1)/2^n + p_1*3^(n-2)/2^n-1 +...+ p_1*p_2*...p_(n-2)*3^1/2^2 + p_1*p_2*...p_(n-1)/2
= p_1*p_2*...p_n*x_n
となる。
左辺第一項x(3/2)^nが「左端を伸ばすパターン」、
左辺残りが「差のパターン」、
右辺p_1*p_2*...p_n*x_nが「元のコラッツパターン」に対応している。
p_nはコラッツ操作で偶数が2回以上続いた時の2のべき。
「差のパターン」のp_nの積の部分は例えば
1,1,2,2,2,4,4,8,8,8,8,16...
のように増加していく。
ここから先に進まない……
- 63 ：
- 「差のパターン」3^(n-1)/2^n + p_1*3^(n-2)/2^n-1 +...+ p_1*p_2*...p_(n-2)*3^1/2^2 + p_1*p_2*...p_(n-1)/2
をf(n)とおく。
「差のパターン」の右端グラフは2進数目盛上にあるので
log{f(n)}になる。底は2。
これの2階差分u_(n+1) - 2u_n + u_(n-1)を取ると、
log{f(n+1)} - 2log{f(n)} + log{f(n-1)}
= log{ f(n+1)*f(n-1) / f(n)^2 }
f<0だから、この式は正。
2階差分が正だから、「差のパターン」の右端グラフは下(左)に凸。
この結果と先にあげた
「左端を伸ばすパターン」右端傾きより「差のパターン」右端傾きが大きい を合わせて
二つの右端グラフが交差する、と言えるのではないだろうか。
- 64 ：
- × f<0
○ f>0
- 65 ：
- あ、やべ。
logの中が1より小さかったらlogは負になるんだ。
考え直します。
- 66 ：
- log{ f(n+1)*f(n-1) / f(n)^2 }の中が1より大きいか考える。
n=5でf(n)が5項ある場合を考える。nが増えても同様。
(a+b+c+d+e+f)*(a+b+c+d) / (a+b+c+d+e)^2
a+b+c+d+e=Aと置くと
(A+f)*(A-e) / A^2 = {A^2+A(f-e)-fe} / A^2
e = (1/2)*p_1*p_2*...p_(n-1)
f = (1/2)*p_1*p_2*...p_(n-1)*p_n
なので、p_n=1の場合、分子がA^2-feとなって 分数式 < 1。
p_n=2の場合、f=2eだから分子がA^2+Ae-fe、A>fだから 分数式 > 1。
p_n=4,8,16,...も同様に 分数式 > 1。
よってlog{ f(n+1)*f(n-1) / f(n)^2 }は
p_n=1の場合、負。
p_n=2以上の場合、正。
「差のパターン」の右端グラフは
偶数が1回しかない時、上に凸で、偶数が2回以上の時、下に凸という、
なにも進展しない結果になった。
コラッツ操作で、偶数が2回以上続くほうが多い、とか言えないかなあ。。。
- 67 ：
- ネットを見てると、よく
「4x+1となる数については調べなくてよい」
とありますが、これは数学的帰納法の一部分であって、
「4x+1はコラッツ操作で1に収束する」が証明された訳ではないですよね。
何故こんな事を聞くかというと、4x+3もコラッツ操作で4x'+1に接続されるので、
予想が解けちゃうなー、と思ったので。
- 68 ：
- 科学技術フェスタで、奇数の時3n+1にする代わりに3n-1にすると、ループが3種類できて
その3種類の頻度はほぼ同じになるっぽい（証明はできてない）、という発表を高校生がやっとった。
- 69 ：
- い
- 70 ：
- 全ての数がコラッツ操作で小さくなれば、
コラッツ予想は証明されます。
値が2xの場合は2で割って小さくなります。
同様に値が4x+1や16x+3でもコラッツ操作を続けると小さくなります。
これを全ての数で言えないかを今考えています。
- 71 ：
- こんな数学的帰納法を考えています。
・x = 1で成り立つ
・x < kで成り立つと仮定したとき、
x = kでも成り立つ
値が4x+1や16x+3の場合はコラッツ操作をおこなうと小さくなるので、
上記の方法が使えます。
すぐ小さくならない値k1については、
・x=k1とそれに連結される数を除くx<k2で成り立つと仮定したとき、
x=k2でも成り立つ
するとk1はk2に連結するのでx=k1でも成り立つ
という方法が考えられます。
図にするとこんな感じです。
k2
／＼
／ k3
k1
k2>k3となるk2は、全ての数が4x+1を通過することから
すぐ見つけられます。
あとはk1とk3がつながってループする事がなければ良いわけです。
- 72 ：
- あと、すぐ小さくならない値が複数個連結される可能性もあります。
図にするとこんな感じです。
／＼
／＼...／ ↓
／＼...／ ｜
／ ｜
↑................................................┘最後はループする
- 73 ：
- 式であらわします。
すぐ小さくならないk1がすぐ小さくならないk2に連結されるとします。
k1の側は、例えばk1=27+2^5*xとおくと、2ステップ後にちょびっと小さくなるので、その値は
((3*k1+1)/2*3+1)/4 = (9*k1+5)/8 = 31 +3^2*2^2*x1 －－－①
となります。
k2の側は、k2から後ろ向きにnステップ伸びるとして、
コラッツ逆操作「2のべき乗をかけて1引いて3で割る」をおこないます。
n=1の場合は
(k2*2^p1 -1)/3
n=2の場合は
((k2*2^p1 -1)/3*2^p2 -1)/3 = k2*2^(p1+p2)/3^2 -2^p2/3^2 -1/3
一般化して
(1/3^n)( k2*2^(p1~pn) -2^(p2~pn) -3*2^(p3~pn) -...-3^(n-2)*2^pn -3^(n-1) ) －－－②
となります。（ p1+p2+...+pn を p1~pn と略記）
連結されるので、①と②をイコールで結びます。
3^n*( 31 +3^2*2^2*x1 )
= k2*2^(p1~pn) -2^(p2~pn) -3*2^(p3~pn) -...-3^(n-2)*2^pn -3^(n-1)
- 74 ：
- n=1の場合は
2*47 +3^3*2^2*x1 = k2*2^p1 => p1=1となって
47 +3^3*2*x1 = k2
n=2の場合は
3*(2*47 +3^3*2^2*x1) = k2*2^(p1+p2) -2^p2 => p2=1
2*71 +3^4*2*x1 = k2*2^p1 => p1=1となって
71 +3^4*x1 = k2
第一項は31から始まるコラッツ数列になること、
pnはそのときの2で割る回数になるところがポイントです。
一般化すると、以下になります。 CO31 は31から始まるコラッツ数列です。
CO31 +3^(n+2)*x1/2^(p1~p(n-2)) = k2
- 75 ：
- k2を固定します。ここではk2=71+2^7*x2とおいてみます。
CO31 +3^(n+2)*x1/2^(p1~p(n-2)) = 71+2^7*x2
2^(p1~p(n-2))*(CO31 -71) = 2^(7+p1~p(n-2))*x2 -3^(n+2)*x1
この式の形 c = 2^a * x1 - 3^b * x2 を考えることによって
何か言えるのではと思うわけです。
- 76 ：
- >>74の後半は間違っていました。
第一項が分数になることもあります。
コラッツ数列ぽいことはぽいのですが......
- 77 ：
- ここでちょっと内容を変えて、
コラッツ操作ですぐ小さくなる値とそうでない値をまとめます。
すぐ小さくなる値を「良い値」、そうでない値を「悪い値」と呼びましょう。
全ての数を2進数の下位ビットで場合分けして、良い/悪いを調べます。
（2進数は左が下位）
2進数 良い/悪い どう小さくなるか
0… 良い 2x → x
10… 良い 4x+1 → 3x+1
1100… 良い 16x+3 → 3^2x+2
1101…
11010… 良い 32x+11 → 3^3x+10
11011… ★悪い 27+2^5x
- 78 ：
- 1110…
11101… 良い 32x+23 → 3^3x+20
11100…
111000…
1110000… 良い 2^7x+7 → 3^4x+5
1110001… ★悪い 71+2^7x
111001…
1110010…
11100101… ★悪い 167+2^8x
11100100… 良い 2^8x+39 → 3^5x+38
1110011… ★悪い 103+2^7x
1111…
11110…
111101… ★悪い 47+2^6x
111100…
1111000… 良い 2^7x+15 → 3^4x+10
1111001…
11110010… 良い 2^8x+79 → 3^5x+76
11110011… ★悪い 207+2^8x
11111… ★悪い 31+2^5x
- 79 ：
- 「11011…」「1110001…」「11100101…」「1110011…」
「111101…」「11110011…」「11111…」が悪い値ですが、
「1110001…」と「11100101…」は、次ステップで「11011…」になるので
考えなくて良いです。
よって、「11011…」「1110011…」
「111101…」「11110011…」「11111…」
の五つの場合を考えれば良い事になります。
- 80 ：
- う
- 81 ：
- 一つ定理が出来たので書きます。
コラッツ操作でxがsステップで小さくなれば、
3^s < 2^lを満たすx+2^l*yもsステップで小さくなる。
コラッツ操作で奇数→奇数までを1ステップと数えます。
証明は、まず、xがsステップで小さくなれば、その時の2で割った合計をl0と置くとき、
3^s < 2^l0が成り立つ事を言います。―――①
sステップ後の数は、それぞれのステップで2で割った回数をpnとすると、
(3^s/2^(p1~ps))*x + 3^(s-1)/2^(p1~ps) + 3^(s-2)/2^(p2~ps) + ... + 1/2^ps < x
(3^s/2^(p1~ps))*x < x
3^s < 2^(p1~ps) = 2^l0 よって①は成り立つ。
- 82 ：
- 次に、3^s < 2^lを条件（②）としたx+2^l*yもsステップで小さくなる事を証明する。
①と②を重ねると次の三つの場合がある。
2^l0 < 2^l, 2^l0 = 2^l, 2^l0 > 2^l
2^l0 < 2^lの場合、xのsステップ後をx1とおいて、x+2^l*y―(sステップ後)→x1+3^s*2^(l-l0)y
x > x1, 2^(l-(l-l0))*y > 3^s*yだから、x+2^l*y > x1+3^s*2^(l-l0)yが成り立つ。
2^l0 = 2^lの場合、x+2^l*y―(sステップ後)→x1+3^s*y
x > x1, 2^l*y > 3^s*yだから、x+2^l*y > x1+3^s*yが成り立つ。
2^l0 > 2^lの場合、x+2^l*y―(sステップ後)→2^(l0-l)*x1+3^s*y
2^l*y > 3^s*y。x > 2^(l0-l)*x1を言いたいので、次の補題を考える。
3^s < 2^l が成り立てば、xはsステップ後、計l回2で割った時点で小さくなる。―――③
- 83 ：
- ③を証明する。コラッツパターンを使う。
http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130603/20130603020241.jpg
コラッツパターンより、
log[2]x > log[2]x -(l0-s) + s*log[2](3/2)―――④
log[2]x > log[2]x+1 -(l0-s) + s*log[2](3/2)―――⑤
が言えればよい。
3^s < 2^l0 -> s*log3 < l0*log2 -> log[2]3 < l0/s とlog[2]3 -1 = log[2](3/2)から、
l0/s -1 > log[2](3/2) -> l0-s > s*log[2](3/2)
log[2]x > log[2]x -(l0-s) + s*log[2](3/2) ④が言えた。
④が言えたから条件3^s < 2^lより、log[2]x > log[2]x -(l-s) + s*log[2](3/2)が言える。
これとl0-1 ≧ lより、log[2]x > log[2]x+1 -(l0-s) + s*log[2](3/2) ⑤が言えた。
④⑤が証明できたので、③も成り立ち、
2^l0 > 2^lの場合も x+2^l*y > 2^(l0-l)*x1+3^s*yが成り立つ。
以上です。
- 84 ：
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 85 ：
- __ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
/ ／:::::／ ＼
/ /::::::/ | | | |
| |:::::/ / | | | | | |
| |::/ / / | | || | | ,ﾊ .| ,ﾊ|
| |/ / / /| ,ﾊﾉ| /|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'
| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' |
| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレは馬と鹿と豚さんばかりね。
| ` -'＼ ｰ' 人
| /(l ＿＿／ ヽ、
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
. | /::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ | '､ ＼
| /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ ヽ、 |
| |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ /:＼__/‐､
| |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::| く:::::::::::::￣|
| /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
| |／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
| /:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/
- 86 ：
- ③の証明に不備があったので修正します、③を少し弱めます。
3^s < 2^l < 2^l0が成り立てば、xはsステップ後、
計l回2で割った時点で同じか小さくなる。―――⑥
これを証明します。
logの底は2です。
sステップ後のコラッツ値をxsとおいて対数を取ると
以下が成り立ちます。
log(xs) = log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)
>>83より
log(x) > log(x) -(l-s) + s*log(3/2)―――④
log(x) > log(x)+1 -(l-s) + s*log(3/2)―――⑤
が成り立ちます。切り上げて
[log(x)] ≧ [log(x) -(l-s) + s*log(3/2)]―――⑦
[log(x)] ≧ [log(x)+1 -(l-s) + s*log(3/2)]―――⑧
コラッツパターンより
[log(x) -(l-s) + s*log(3/2)] = [log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]
[log(x) -(l-s) + s*log(3/2)] +1 = [log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]
⑦⑧に代入
[log(x)] ≧ [log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]
切り上げを外して
log(x) ≧ log(x) -(l-s) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)
以上で⑥が証明できました。
- 87 ：
- 話題がコロコロ変わってすみません。おさらいです。
コラッツ予想を2進数で考えます。
コラッツ数列の奇数のみを並べると以下のようなパターンができます。
これをコラッツパターンと名付けます。
（下位ビットが左）
111 7
1101 11
10001 17
01011 13
000101 5
0000001 1
コラッツパターンは以下のルールで下へ伸びていきます。
(1)「1」の塊は、次ステップで両端が離れる
「11」は「1001」に、「111」は「10101」になります。
(2)単独の「1」は、次ステップで「11」になる
(3)「11011」のような、次ステップで左「1」と右「1」が
重なる場合は、右(上位)へ繰り上がる
「11011」は次ステップで「1000101」になります。
(4)最後に、左端に+1する
sステップ後値の初期値0位置からの距離をLnとおきましょう。
例の5ステップ目はLn=7となります。
- 88 ：
- 次に、ルール(4)を削除したパターンを考えてみます。
左端がえんえんと左へ伸びていきます。
00000111
000010101
000111111
0010111101
01110110001
10100101011
左端を伸ばすパターンと名付けます。
sステップ後値の初期値0位置からの距離をLlとおきましょう。
例の5ステップ目はLl=6となります。
- 89 ：
- 例からも分かるように、Ln=Llの時とLn=Ll+1の時があります。
これ以外はないことを証明します。
コラッツパターンのルールより、1ステップ後の右端は+0 or +1です。
左端に+1しているから、Ln≧Llです。
なので、Ln=Llから1ステップ後Ln=Ll+1になるところを考えてみます。
http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130713/20130713165031.jpg
図より、Ln=Ll→Ln=Ll+1になることはありえるが、その次のステップで
Ln=Ll+1→Ln=Llになるので、2以上ずれることはありません。
Ln=Ll or Ln=Ll+1です。
- 90 ：
- sステップ後値の初期値0位置からの距離Lnは、
コラッツパターンを2進数で書いているのでlog[2]の対数目盛と見なして、
sステップ後コラッツ値のlog[2]を取れば良いことになります。
コラッツ操作27→41を変形すると
(27*3+1)/2 = 41 = (27+1/3)*3/2 = 27*(1+1/(3*27))*3/2
logをとって
log41 = log27 +log(1+1/(3*27)) +log(3/2)
コラッツ操作41→31を変形すると
(41*3+1)/4 = 31 = (41+1/3)*3/4 = 41*(1+1/(3*41))*3/4
logをとって
log31 = log41 +log(1+1/(3*41)) +log(3/2) -log2
= log27 + log(1+1/(3*27))(1+1/(3*41)) +2*log(3/2) -log2
よって一般化するとLnは以下になります。
引き算の部分はコラッツパターンでは右によせているので消えます。
Ln = [log(x) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)]
左端を伸ばすパターンの式は、初期値に次々と3/2をかければ良いので
log( x*(3/2)^n ) = log(x) +s*log(3/2)
となります。切り上げてLl = [log(x) +s*log(3/2)]です。
- 91 ：
- よって、>>89より最大でもLn=Ll+1なので、
[log(x) +s*log(3/2) +log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)] = [log(x) +s*log(3/2)] +1
切り上げを外して
log(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 2
logをとって
(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
となります。
- 92 ：
- もしコラッツ予想で4-2-1以外のループがあったら
(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1)
の中のループ1周期の積をXとおいて
X*X*X*…
となりますが、X>1なので、いずれ
X*X*X*… > 4
となって
(1+1/3x)…(1+1/3x_s-1) < 4
と矛盾します。
よって
コラッツ予想で4-2-1以外のループは存在しない
ことが証明できました。
- 93 ：
- >>89の画像の上から2番目の図で、
コラッツパターンは11、左端を伸ばすパターンは01
となることはないか？
- 94 ：
- ちょっとまってください
- 95 ：
- 一通り検証したけど、そこ以外は間違いはなさそう
本質的に難しいのはここなのかも
直接修正できなくても、Ln-Llが上から抑えられさえすればおｋ
- 96 ：
- >>93
>>95
ありがとうございます。
指摘の部分ですが、すぐにできそうにないです。
>>89の画像の上から2番目の図で、
コラッツパターンが0011、左端を伸ばすパターンは**01の時は、
同じように次々ステップでずれはなくなります。
コラッツパターンが0111、1011、1111の時はどうしよう……
- 97 ：
- 修正できました。流れは以下です。
初めてコラッツパターンと左端を伸ばすパターンがずれる所を考える
ずれるステップをsとおく
↓
s-1,s-2,s-3のずれはない
↓
特定のパターン（2つ）しかあらわれない
↓
その特定のパターンはsでずれて、s+1,s+2,s+3ではずれない
↓
次にずれる時s2も、s2-1,s2-2,s2-3のずれはない
- 98 ：
- 特定のパターン1つ目です。
コラッツパターン 左端を伸ばすパターン
s-3 **1 ***1
s-2 *11 **11
s-1 0101 **101
s 0000[1] *1111
s+1 **011 101101
s+2 **1001 ***0001
s+3 *11011 *****11
特定のパターン2つ目です。s+2でまたずれるのでs'と置きなおしています。
コラッツパターン 左端を伸ばすパターン
s-3 **1 ***1
s-2 *11 **11
s-1 0101 *1001
s 0000[1] 11011
s+1 **011 ***101
s+2 -> s' **100[1] **1111
s+3 -> s'+1 *11011 *101101
s+4 -> s'+2 **00101 *******1
s+5 -> s'+3 ***1111 ******11
Ln=Ll or Ln=Ll+1が言えます。
- 99 ：
- ぐじゃりましたね。こうです。
http://cdn-ak.f.st-hatena.com/images/fotolife/r/righ1113/20130803/20130803214250.jpg
- 100 ：
- 無限大に発散するほう、いけるか……
100～のスレッドの続きを読む
奇数の完全数の存在に関する証明は正しいはず
コラッツ予想がとけたらいいな その2
確率論とそれに近い分野のスレ
奇数の完全数の存在に関する証明が完成しました2
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む74
Inter-universal geometry と ABC予想 否定派
数学の本 第90巻
巨大数探索スレッド15
数学の本 第83巻
荻野暢也
--------------------
【ｼｬｰﾌﾟ】ポケコン 11:PRINT "SHARP"
【韓国】肺炎で死亡した17歳の高校生、新型コロナ『陰性』判定［03/19］
別館★羽生結弦＆オタオチスレ13339
【ゴーン被告逃亡】関空は「ほぼ無人」 空港警備の抜け穴を利用
吉原炎上！
六興電気ってどうよ
☆☆100円化粧品についてpart116☆★
アイヌを侵略した日本いかんでしょ
【欧州車】Dセグメント車を語れ【日本車】
【2月23日】国内感染者838人(＋69) うちクルーズ691人(＋57) 死者4人
福岡県の映画事情3
【SKE48卒業生】松井玲奈 応援スレ☆958.1【(れ・ω・な)】
【悲報】俺、SIMを初のNGネームにしてしまう……
【速報】池江璃花子さん めちゃくちゃ痩せる 0930みたい 手かざしのおかげか？ [876811395]
【さよなら私のクラマー】新川直司7【君嘘】
PC向けUSBゲームパッドを語るスレ Part 48
【2007】大 暖 冬【2009】
Chromebook Part32
【通称】建築物環境衛生管理技術者 91棟目【ビル管】
【韓国】 ジャレド・ダイヤモンド教授「日本、ひざまずいて謝罪したドイツに習うべき」★３[10/31]
TOP カテ一覧 スレ一覧 100～終まで 2ch元 削除依頼