【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】
過去スレ：
1. http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1295154182/
2. http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1476702312/
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必 も 明. '. 入 |:.:.:.:.:.:.:.:',:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
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に と は ｉ j./ ＼|:.:.:.｀:ー‐┐:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
な 大 | j′ .!:.:.:
る き
ぞ な
努
力
が
無かったんや(迷言)
k=1 のときは見覚えのある関数だが、k≧2 は？
出題２
・λ∈R の中で面倒な計算をゴリゴリ敢行するか、
・Cまで広げてギリシャの幾何学をする
ギリシャの幾何学。。
何もぼかせていない気が
だめですよーヒント過多はw
びっくりした。問題が公開された上に、webでの解答も可になった。
で、送信した解答は公開されるのか？？？
時間はまだたっぷりあります。ネバーギブアップで頑張っていただきたい。
要所で粘れるか、それとも簡単に諦めてしまうか、生き様が試されます。
でも今月2問を5時間で解くのははっきり言ってつらい。
私は時弘先生の大ファンですが、彼の問題は秋の行楽シーズンにはそぐわない。
他に誘惑のないじとじとする梅雨の時期、またはコタツがぬくい極寒の時期にじっくり楽しみたいものです。
>>10-11
初回はなんとなく手違いが起こりそうでpdf送信は回避しました。
答案チェックが大変になりそうですが、大丈夫なんでしょうか。
■出題２
{z, w} を固定したとき lim(λ→±∞) |λ-z|/|λ-w| = 1
∴ F(z, w) ≧ 1,
λは ｛ｚ，ｗ} の垂直２等分線上またはｗ側にある。
(1) x=u のとき
垂直2等分線は実軸Rに平行
題意より |v| >> |y| としてよい。
|λ-z|/|λ-w| < 1 （λ=x=u で最小)
F(z, w) = 1,
lim(|v|→∞) F(z, w) = 1
(2) x≠u のとき
垂直2等分線は実軸Rと交わる。
交点は λo = (x+u)/2 + (vv-yy)/(2(u-x)),
もし最大点λがあれば(*)、λoよりもｗ寄り（遠方）にある。
|λ| > |λo| = O(|v|^2)
w = u + iv,
z は定数 だから
F(z, w) = |λ-z|/|λ-w| = 1+O(1/|v|)
lim(|v|→∞) F(z, w) = 1,
ところで、最大点λは存在するんだろうか？
> 最大点λは存在するんだろうか？
複素数ν = λ + iμ ∈Ｃ に対して
|ν-z|/|ν-w| = f の軌跡を考える。(f≧1)
f=∞ では1点w であるが、fが有限のときは wを内包する閉曲線となる。
fを減らせば閉曲線は膨らみ、f=1 では {z, w} の垂直2等分線となる。
(2) の場合、実軸Ｒと垂直2等分線は交わる。
fを∞から減らして行き、初めてＲに接した点がλである。
ところで、λは１つしかないか？
> λは１つしかないか？
ν∈Ｃ と f≧1 に対して
g(ν, f) = f^2|ν-w|^2 - |ν-z|^2 とおく。{z, w} は定点。
g(ν, f) < 0 ⇔ νは閉曲線の内部
g(ν, f) > 0 ⇔ νは閉曲線の外部
g(ν, f) = 0 ⇔ νは閉曲線の周上
g((ν1+ν2)/2, f) = {g(ν1, f) + g(ν2, f)}/2 -(ff-1)|(ν1-ν2)/2|^2 ≦ {g(ν1, f) + g(ν2, f)}/2,
より
g(ν1, f) = g(ν2, f) =0 ⇒ g((ν1+ν2)/2, f) ≦ 0,
周上の2点 ν1, ν2 の中点は閉曲線の内部にあるので、閉曲線は凸である。
∴ 実軸Ｒに初めて接する点λはたた一つ。
こうしてギリシャの幾何学は回避された。ペキン原人やクロマニオン人も解けたかも(?)
a_nでもいいのか
https://www.web-nippyo.jp/elegant/
電子時代ジャノー
楕円暗号理論の関連した問題はナイノカノー
格子理論はアッタガノー有限体の楕円曲線理論は美しいのーー
仕事なんかなってられんのーー
こんな美しい世界はナイノー
虚数除法も素晴らしいのーー
楕円曲線と格子理論がクロスするとこの世のものとは思えんのーー
ディオファントス近似絡みの問題も楽しみにしちょります。
楕円曲線、ディオファン、ガロア、格子絡み、仕事なんかおっぽりだしたくなるべ。
仕事さぼって、スタバでエレカと格闘じゃ。
文句あっか！！！
高校、大学時代愛読してたが、20年前に一度再会、またまた再会。
一生縁が切れそうにないわ。
今は、数論、楕円曲線、暗号にハマってる。
ICMレポも楽しみにしてまっせ。
自制しよう。
エレカ、数論、楕円曲線、暗号でこっそり楽しもう。
森北の暗号理論と楕円曲線も理解するのは大変だわさ。
ひもといてみた。なつかしいのーー。
数セミとも再再会できたし。
つーか問題１は一発ネタのような気がするが。
小谷善行先生は不調なのかな？
それとも「存在しない」を証明するのが難しいのか？
「遠山 啓先生に敬意を表して、それっぽく説く」
というのもアリな気がするが。
「荒らしに構うのも荒らし」とは云われるが、
いちおう言っとこう。
受験数学より真剣勝負の数学の研究のほうが大変なので、
傾向としては
『エレガントな解答を求む』>『大学への数学』の宿題
だが、エレ解も「いちおう解答は用意されている」し、
たまに「小手試し」的な出題もあるので、
予備校生にとってはエレ解のほうが手ごわいと思う。
まぁ、「お子ちゃま には、エレ解の味はわかんないよな（笑）」
みたいな優越感はあると思われ。
「示せ」っつーところに重点があるような気がするので
（「それは、数学的に厳密な証明なのか！？」とか
言われると、数学の博士号を取得していないと
解答できなくなる）、「一般的に納得されやすい証明」と
いうことになろうかと思う。
四辺形以上の多角形（＝多辺形）については、
凸でない場合があって、「凸多辺形」「凸多角形」という
言葉がある。それはいい。線形計画法なんかでは、
「多凸性」というのは、重要な概念だからな。
同時に、四辺形以上の多辺形については、
「辺が交差する」場合がありうる。このとき、
そういった多辺形を、なんと呼ぶべきか？
たとえばの話、五芒星や六芒星を「多辺形」と
認めるのかどうか？
また、その場合、「面積」について、二つの定義があるうる。
どちらを採用するかについて、「数学的な呼び名」、
あるいは定義というのはあるのだろうか。また、それぞれについて、
「数学的な一般的名称」というものがあるんだろうか。
あるとすれば、それは何に準拠しているのか。
そのあたりの意見を聞きたい。
> 森重文先生、
まじか。出典キボンヌ。
探してみてください。柏原先生、神保先生、辻先生は３集に、名前残してる。皆数学少年じゃったのじゃよ。
有限体上の楕円曲線研究で。
■出題１：レベル6〜7（常連正解率60〜80％）
※スツルムの定理不使用の場合レベル10（正解者0〜2名）
時弘男塾長の出題。例年通り題材は力学系。
正整数kに対し、P_0＝1, P_1＝x−1, P_n＝x^k * P_{n−1}−P_{n−2}でP_n(x)を定め、
小問(1)x＞0、(2)kを奇数としてx＜0、(3)kを偶数としてx＜−1における零点の個数を求める問題。
彼の問題はいつも難しく2015年は正解者たったの2名（昨年はめずらしく易しかったが）。
今回も『どうやって解くんじゃい…』とまず途方に暮れるところから始まる。
が、本問はスツルムの定理を使えば比較的簡単に解ける。
使わずに解くことを要求しているとすれば難易度はレベル10に跳ね上がる。
■出題２：レベル５（常連正解率95％）
加古先生の出題。
複素数z, w, 実数λに対してF＝sup|λ−z|/|λ−w|（λ∈R）と定めたとき、
Im(w)の絶対値を∞に飛ばすとFはどうなるか？という問題。
・各複素数の実部虚部を適切に限定して、問題をほぐす。
・素直にFの挙動を調べて極限を考える
という正攻法で解けるので難易度は高くない。
エレガントに解くことを至上命題と考えている猛者は腕の見せ所。
いろんな考え方がありそうです（既に本スレでも示されていますが）。
数学少年？
> 皆数学少年じゃったのじゃよ。
そういえば広中先生も京大なんだよなぁ ……
SSS（新数学者集団）とかの話とか、なんか載ってる本とかない？
自分は東日本なんだけど、遠山さんが東大中退だったりするので、
いまいち「東京」って、狭苦しい感じがある。京都って、数学に
向いてる土地柄なのかもしれない、と思って興味があるんだよ。
そういえば阿部寛も数学少年だったらしいぞ（笑）
将来の数学者発掘が目的。ドリンフェルトも愛読？？？
いや、面白いのは分かるし、たぶん問題の意味もわかるだろうと
思う（数学は世界の共通言語だ）んだけど、
ロシア語とかハンガリー語とかで解答を書けって言われたら、
ちょっと退く部分はある。
まぁ、「やれ」と言われりゃ やらんでもないけど、
なんかしらコンピュータ言語とかに落としこんで
貰えれば、そのほうが楽なような気がする（笑）。
昔コテ付け忘れるなハゲとか罵倒されたので泣く泣く付けた
11月号はいったいどうしたことだ
出題１は文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度
出題２は一昔前の高校教科書の例題レベル
はっきり言おう、糞であると。
今月はp.40の数オリを解いて楽しめということか・・
というわけで数オリを解いているのですが、どれもこれもエレガントな良問ばかりですばらしい
解答もエレガントさ（センスの良さ）を要求しているところがまたすばらしい
易しくてもエレ解難易度6以上といったところ
数オリ開催日にオーバーエイジ枠を同時開催してくれたらいいのに
エレ解常連がチームを組んで戦うのです。萌えますね
たまには、一休みも必要です。
末永く継続してもらわんといかんからな。
数学者の皆様。
その他のフィールズ受賞者、ネバリンナ受賞者はどうよ。
佐藤ーテイト予想のテイラーもイギリス代表らしい
量子素因数分解のショアもアメリカ代表らしい
谷山ー志村予想のテイラー先生も出場者だったのか。
ピーター ショアもそうらしい。
> はっきり言おう、糞であると。
いや、問題２はともかくも、
問題１は けっこう深いぞ？
あれ、じつは構文解析のアルゴリズムの
計算量とかと関連してくる。
単純に解だけ示すんなら、確かに
「文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度」では
あるのだが、「だったら、なんで自然数限定なのか？」
（べつに実数まで拡張しても問題はあるまい？）とか
「点で接している複数の N 角形を認めるかどうか？
その場合の『面積』を、どう定義するか？」とか、
考えどころは ありそうな気はする。それを考えた上で
「エレガントな解答」を出そうと思うと、
それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。
こんばんは。返信どうも
自分はあんまり研究とか発展とか考えずに喋っております
研究肌の方のコメントは深みがありますな
> （べつに実数まで拡張しても問題はあるまい？）とか
Motoさんだったらどのように実数へ拡張しますか？
> 点で接している複数の N 角形を認めるかどうか？
> その場合の『面積』を、どう定義するか？」とか、
面白いですね。それは考えなかったです
この問題を特にあたっては心配無用なので・・
> それを考えた上で
> 「エレガントな解答」を出そうと思うと、
> それほど簡単な話ではなかろうと思うのだが、どうか。
なんか30秒でそれなりにエレガントな解答ができちゃったので、もう今月は羽を伸ばして紅葉にでも行こうかとｗ
でもそれじゃ知的満足が得られないってんで数オリに手をだしたら問題が美しすぎてうっとり
エレ解もこうならんかなと
> どのように実数へ拡張しますか？
いや、これは単なる例えとして言ってみただけで、
やっても面白くないと思う。
むしろ、出題者の小谷 善行さんは情報工学がご専門なので
有限組合せ問題として考えるのが本筋かな、と。
たとえば、任意の長方形 m × n があったとして、
それに内接する N 角形があったときの最大の N は
いくつかとか、その場合の面積はいくつかとか、
そのあたりの考え方の問題は面白いんじゃないかな、と。
ただ、それをやるとコンピュータによる力業になって
しまいそうなので、エレ解の趣旨から外れる。
問題自体は、もともとプログラミングのほうで
チェッカーボードを使ったパズルがあり、
それがパリティを利用しているので、
「あぁ、それだな」と思った。
それで、ちょっと発展させて、フラクタル図形
とかに向かう方向で、面白い性質が出てくるんじゃ
ないかな、と。あるいは、「1 × 1 の正方形を
辺で接続したときに、頂点の個数と面積と図形の
関係を考える」とか。
問題１は「辺の長さが順に 1, 2, 3, … N」なんだな。
見た感じ、「魔円陣」（完全ゴロム環）の
バリエーションみたいな感じだ。
例示された図は
４＋６＝８＋２＝１０
５＋３＝７＋１＝８
だ。Nが４以上の偶数だというのは確定だが、
N=４では解がないのので６以上。
で、８のときに解があるのも例で示されている。
エレガントに解こうとすると、けっこう手ごわいぞ、
これ。プログラム書いて数値実験で追っかけまわして
法則性を割り出す、とかやんないとダメかな？
> 出題１は文字通り３０秒、頭の中だけで解ける難易度
お互い恥をかいたので許そう(-_-!)。
早とちりはイカン、っちゅーこっちゃね。
「岡、NOTE をねらえ！」
判定の場（court。法廷。「テニスコート」の「コート」も
同義）では 誰でも 独り 独りきり
私の（数学への）愛も 私の苦しみも
数セミ読者しか わかってくれない
続きは誰か書いてくれ。
「ヒントとか出しているようで、じつは引っ掛け」とかだから、
信用しないように。
「もっと困れ」（by 横井 庄一）じゃないけど、
「もっと苦しめ」という助言も上のほうから あったので、
せいぜい苦しんでくれ。
解があるNはすぐ絞れますが、そのあとが問題ですねぇ…
>>53
「横井庄一のサバイバル極意書 〜 もっと困れ！」小学館 Be-pal books (1984/Jan)
181p．絶版
いや、奇数でないことを示すのが
意外に手ごわいっちゅーかキモっちゅーか。
合計が N (N + 1) / 2 なんで、「N または N + 1 の
どっちかが８の倍数」が必要条件なのは分かるが、
たとえば N ＝ 7 のときの解がないことを
エレガントに示すのに手こずっている。
もう一点は、N が８の倍数のときに、必ず
N 角形が存在することの証明がどう示せるかだ。
１６角形とかいうと、「後戻り」の可能性もあれば
辺が途中で交差してしまうケースも排除せんと
いかんだろうし。
「N角形になる」のであれば N個の頂点で曲がっているはず。（本問では垂直に）
うむ。確かに「明らか」なんだが、
それを「中学生にもわかる」ように
「示す」のがエレガンスだと思う。
数学マニアにとっての「明らか」さは、
必ずしも数学初心者にとっての
「明らか」さではないところが
悩みどころ。
整数論（というか、自然数論）の範囲内だと、
「古代バビロニア人にも説明できる」くらいまで
ガッチリ組まないと いかんと思う。
Σ→ + Σ← = 1 + 3 + … + (N-1) = NN/4,
Σ→ = Σ← (…閉じる)
∴ 8 | NN
∴ 4 | N
∴ N+2 ≡ 2 (mod 4)
・鉛直な辺
Σ↑ + Σ↓ = 2 + 4 + … + N = N(N+2)/4,
Σ↑ = Σ↓ = (偶数) (…閉じる)
∴ 16 | N(N+2)
∴ 8 | N
で、この後どうするか。 >>58
とりあえずN=8,12,16,…くらいで実際できるかできないかやってみるこってすな。
ヒントあるし。
しかし水平は偶数、垂直は奇数???
えっ、各頂点の角度が90度または270度の多角形が偶数角形なの、そんなに証明が難しいか？
警告！あなた書き過ぎです
> そんなに証明が難しいか？
「エレガントな解答をもとむ」なんだから、
エレガンスを追求しろと言っている！
『数学セミナー』の創刊者は
遠山 啓先生なんだから、「テープ算」みたいな
「中学・高校生にも直観的に理解できるような
シェーマを提示する」っつーのが、
重要なんだよ。エレ解は、「正解すりゃあ入選」みたいな
甘いモンじゃねぇんだぞ？
激しく同意
むしろ引っ掛けとか
誤誘導のほうが
マシ
さて、今回の任務は競泳の世界大会で金メダルを取ること…ぢゃなくて、数セミのエレ解問題の正解を応募することだが…
例によって、君あるいは君の仲間達がここのレスを信じて正解を逃したとしても当局は一切関知しないので、そのつもりで。
なお、このレスは自動的には消滅しない。
健闘を祈る。
（かなり古い…）
http://www.youtube.com/watch?v=erUcduVIt2A
http://www.youtube.com/watch?v=8WnNG2XtU8s
http://www.youtube.com/watch?v=TDQ1vwoINo0
http://www.youtube.com/watch?v=4dJ5MVmpjmw
ちょっと何言ってるか分からないです
安心しろ。『スパイ大作戦』を知らない奴は
多いだろうが、『ミッション・インポッシブル』は
映画でシリーズ続行中だ。
つーか、朝方なにげなく TV をつけてると、
クインシー・ジョーンズの『アイアンサイド』とか
『ミッション・インポッシブル』が、BGM として
流れていたりするので「変わんねぇなぁ ……」と
思う。
まぁ、エレ解スレでするネタじゃねぇとは思うが。
各種賞受賞者の数オリ出場歴もたのみまっせ！！
数列の和についての生地だったと思うのですが
どのような内容だったかご存知のかたいるすか？
それ、「エレ数」だったかなぁ ……
共立出版の『bit』で出てきた
「生贄」の話のような気がする。
n = 1 から始まる数列に、
n = 0 の項を つけ加えて一般化するとか。
たとえば「1 から n までの和」だったら、
「0 から n までの和」としてもイコールだから、
「n ×（n + 1）」でいいとか。
「（n + 1）× 1」よりエレガントな
感じがしないか？
〇「（n + 1）× n」
orz
5拍子の曲いいね。
「メリーゴーラウンド」 {大木彩乃：「幻の魚」(1999)}, #2
http://www.youtube.com/watch?v=0BF4YPjDkZw
「スプリット」{大木彩乃：「屋上遊園地」(2000)}, #10
"Wind" {明星: "Stoned Town" (2002)}, #1
"Wind" {Akeboshi: "Akeboshi" (2005)}, #1
http://www.youtube.com/watch?v=SaaRwKlcNaA
「ウタカタ」 {ジムノペディ：「今宵も、うたかた探し」(2004)}, #2
http://www.youtube.com/watch?v=W3GnrgBAwg0
「神様の舌打ち」{Akeboshi: "Akeboshi" (2005)}, #13
http://www.youtube.com/watch?v=U_3jGtk4l6A
雅楽の夜多羅拍子も。楽典とは何ぞや？
スレ違いだが。
まったくのスレ違いだが、
デイヴ・ブルーベックの
“Take Five” を忘れてはいけない。
スレ違いの極みでござるな。
テイク・ファイヴ {デイヴ・ブルーベック・カルテット：「タイム・アウト」 (1959)}, #3
http://www.youtube.com/watch?v=966iPSlYj2A
右方舞楽 抜頭（夜多羅拍子） (1943)
http://www.youtube.com/watch?v=EZc_De09gQo
うちの所長が、「パズル懇話会」の会合で小谷先生と二次会で
一緒だったので、結果的にヒントを貰っちゃったので
フェアではない、という話になった。
N ≡ 0 (mod 8) であろうことは、わりと証明が簡単だと
思うけれど（ぶっちゃけ、力業で なんとかなると思う）、
「N ≡ 0 (mod 8) のときに、常に解が存在するか？」を
“エレガント” に証明できるかどうかが問われているような
気がする。
ただし、あくまで「気がする」だけなんで、そこいらは
投稿した結果次第で判断してくれ (-_-)
十分性のとこも腕の見せ所だねぇ。
「少なくとも、一個以上存在する」のを示せばいいんじゃね？
「魔円陣」みたいに、「あると思ったら解がなかった」
みたいな話を排除すりゃいいんだと思われ。
そうじゃない。
「解がない」ケースは排除できるんだが、
「解がありそうな」ケースにおいて、
具体的な解が あることを
証明できるか どうかが問題なんだ。
また、どちらの方が難しい？
仕事忙しくて、休日も都会に出れない。
しかも、今、免停中。
http://rosie.2ch.sc/test/read.cgi/liveplus/1540952533/l50
もちろん 数オリです。
[前スレ.543, 554, 566, 577]
> しかも、今、免停中。
なにしたのｗ
そんなこと訊かれちゃ KöMaL なぁ。
[前スレ.581, 592, 960-963]
数理科学の最新動向を気軽に入手するには必須の雑誌ですからね。
これからも期待してます。
Hilbert 第１０問題の解決者もIMO金メダリストらしい。
量子素因数分解のショアもメダリストらしい。
計算機科学とIMO（数論、組み合わせmainテーマ）は相性いいみたい。
今回のショルツの数論幾何、ｐ進理論みたいだし。
■出題１
N=8n に限ることは容易に分かると思う。
例の図を見て最初に思いつくのは
1〜2n では ↓，←
2n+1〜6n では ↑，→
6n+1〜8n では ↓，←
というものだろう。
曲線 x = y - √|y| 上に
P_k (-k(k+1),-kk) k=0〜4n
曲線 x = y + √|y| 上に
Q_k（-k(k+1),-(k+1)^2) k=0〜4n-1
を取り、
P_0 - Q_0 - P_1 - Q_1 - … - P_4n を結ぶ。
* これらの曲線は、1本の放物線（軸： y=x-1/4）の2本の枝である。
このままでは閉じないから、P_nで180ﾟ 折り曲げ、さらに P_3n でも180ﾟ折り曲げよう。
このとき P_n および P_3n の接線を横切るから、N角形は自身と交叉しない。
また P_4n は P_0 と重なる、つまり閉じる。
このN角形の面積は 4(11n+2)n^2
3曲線に囲まれた部分の面積は (4/3)n^3
P_k たちが作る4n角形の面積は (4/3)n^3 + (2/3)n,
らしい。
>
> N=8n に限ることは容易に分かると思う。
>
限らんやろ？
水平 : 1 6 12 と 3 5 11
垂直 : 2 8 10 と 4 7 9
にわけて
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
でいけるやん。
辺の長さが順に1〜Nになるって問題文の最初に書いてある。
え？辺の長さ１〜１２になってるけど？
順に、だよ。
→12↑2→6↑8→1↑10←11↓4←5↓7←3↓9
は順になってない。
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