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全数学の中で最も感動的で美しい定理
☆★★『馬鹿板生活満喫ガイド：基本十項目』★★★
分からない問題はここに書いてね445
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む56
フェルマーの最終定理の簡単な証明8
なぜeやπは様々な性質を持つのか？
朝日生命
チラシの裏 ２枚目
奇数の完全数の存在に関する証明5
三角関数っていつ使うんだよ。
面白い問題おしえて～な 32問目
- 1 ：2020/04/07 ～ 最終レス ：2020/06/23
- 過去ログ置き場(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/
01 http://cheese.2ch.sc/test/read.cgi/math/970737952/
02 http://natto.2ch.sc/test/read.cgi/math/1004839697/
03 http://mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
04 http://mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
05 http://mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
06 http://mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
07 http://science2.2ch.sc/test/read.cgi/math/1064941085/
08 http://science3.2ch.sc/test/read.cgi/math/1074751156/
09 http://science3.2ch.sc/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.sc/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.sc/test/read.cgi/math/1134352879/
12 http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1157580000/
13 http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1183680000/
14 http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1209732803/
15 http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1231110000/
16 http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1254690000/
17 http://kamome.2ch.sc/test/read.cgi/math/1284253640/
18 http://kamome.2ch.sc/test/read.cgi/math/1307923546/
19 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1320246777/
20 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1356149858/
21 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1432255115/
22 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1464521266/
23 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1497416499/
24 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1502016223/
25 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1502032053/
26 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1518967270/
27 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1532793672/
28 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1540739963/
29 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1548267995/
30 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1572866819/
なお、削除依頼は不要です。
※前スレ
面白い問題おしえて～な 31問目
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1580123521/
- 2 ：
- 前スレの未解決問題
[0,1]上の無理数xに対して、
xの連分数展開を[a_0;a_1,a_2,...]とする.
p_n(x):= [a_0;a_1,a_2,...,a_n]としたとき、
極限lim(n→∞) (x-p_n(x))^(1/n)を求めよ.
- 3 ：
- あとこれも
整数から実数への関数 f:Z→R であって、任意の整数 x,y,z について
【 x^2 + 4y^2 = z^2 ならば f(x) + 4f(y) = f(z) 】
を満たすものを全て求めよ
- 4 ：
- f(0) = 0,
f(-x) = f(x),
f(2x) = 4f(x),
f(mm-nn) + 4f(mn) = f(mm+nn),
- 5 ：
- 「4以上の偶数は2個の幸運数の和として表せる」という問題は、未解決である
- 6 ：
- >>2 は [前スレ．994]
>>3 は [前スレ．843]
- 7 ：
- >>4
f(x)=x²
- 8 ：
- >>5
「4以上の偶数は2個の素数の和として表わせる」という問題は、未解決である。
(ゴールドバッハ予想)
- 9 ：
- 4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=5+5
12=5+7
14=7+7
16=5+11 たまたまだろ。
- 10 ：
- 数子さんは学校まで、行きは時速4km、帰りは時速6kmで往復しました。
平均時速は？
- 11 ：
- >>10
4.8
- 12 ：
- (時間基準)
総距離： 2L,
総時間： L/4 + L/6 = 5L/12,
∴ 4.8 [km/時]
(距離基準)
(4 + 6)/2 = 5.0 [km/時]
- 13 ：
- >>4
f((2^n)･m) = (4^n)f(m), (m：奇数)
f(x) は乗法的かも･･･
f(3）+ 16f(1）= f(5),
f(5）+ 16f(3）= f(13),
f(15) + 64f(1）= f(17),
f(7）+ 64f(3）= f(25),
f(21) + 16f(5）= f(29),
- 14 ：
- >>11
正解
- 15 ：
- 前>>9
>>10それは、数子さんの体調次第だろ。1週間ぐらい休むかもしれんぜ。
- 16 ：
- レンガの重さは、1kgに「レンガの重さの半分」を足したものである。
レンガの重さは何kgだろうか？
- 17 ：
- 2
- 18 ：
- いつから幼稚園の知能テストを扱うようになったんだ？ああ？
- 19 ：
- あしたは絶対死なない？ 007！ 前>>15正解!!
彡∩∩∩∩☆彡☆彡☆
（^o^))o^))~☆彡☆彡☆
υ┳υヾυヾ彡○Ο。
彡┣-υ-υ◎∩∩ ゜
__◎゛￣ ⊂(_ _ )`⌒つ
~ ~~~~ ~[￣￣￣`υ￣￣]~~ ~~~~ ~~~~~~ ~~~ ~~~~~ >>16 x=1+x/2∴x=2(?)
- 20 ：
- >>4
fが二回微分可能とし、f''(0)=2aとする
g(x)=f(x)+f(-x)-2f(0)と置き、g'(x)=f'(x)-f'(-x)=2xf''(tx)より、（ただし-1<t<1）
g'(x)/(xx)'=f''(tx)より、g(x)/(xx)→f''(0)=2a(x→0)だから、f(x)/(xx)→a(x→0)
f(mm+nn)-f(mm-nn)=2nnf'(mm+tnn)=4f(mn)
f'(mm+tnn)=2f(mn)/(nn)=2mm*f(mn)/(mnmn)→2mm*a(n→0)より、f'(mm)=2mma
f'(x)=2axより、f(x)=ax^2（aは任意の実数）
- 21 ：
- 9本の直線で塗り分け可能な三角形を最大いくつ作ることが出来るか？
- 22 ：
- >>3 のfの定義域は整数ぞよ
- 23 ：
- 次のハサミの形状は？→切ったときの二つの刃のなす角が常に30度
- 24 ：
- ＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`∩∩､＼＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>21{(1+7)/2}7=28前>>19
- 25 ：
- n本目の直線を曳くと (n-1)個の交点ができ、
それらの間に (n-2)個の線分（⊿の境界線）ができる。
∴ 1+2+････+7 = 28
- 26 ：
- >>24
>>25
不正解
「三角形」だとそこまで作ることは出来ない
- 27 ：
- 前>>24＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`∩∩､＼＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼△▼△＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>21計算上は28個だが、重複している三角形は塗り分けられないからかぞえないようにし、塗った三角形を慎重にかぞえると13個。
- 28 ：
- 1/5の確率で帽子を忘れる数子さんが、3軒の家を回って家に帰ると、帽子を忘れたことに気づいた。
２番目の家に忘れて来た確率は？
各家で帽子を忘れる確率は同様に確からしいとする。
- 29 ：
- >>27
不正解
もっと作れる
- 30 ：
- 前>>27＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`.､,,､＼＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼∩∩＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>28数子さんが1軒目の家で帽子を忘れなかった確率は4/5だから、2軒目で忘れた確率は(4/5)(1/5)=4/25
- 31 ：
- k軒目で忘れる確率 p(1-p)^(k-1)
3軒のどこかで忘れる確率 p{1 + (1-p) + (1-p)^2},
∴ 忘れたのが2軒目の確率は (1-p)/{1+(1-p)+(1-p)^2} = 20/61,
- 32 ：
- ちなみに>>21は個数だけ言うと21が正解です
あとは具体的にどう作ればよいのか
- 33 ：
- 数子さんが二件目以降で帽子を忘れる確率はp
n≧2のとき、n-1件目までは帽子を忘れなかった下でn件目で忘れる確率は1/nとする
n件目で忘れる確率は？
- 34 ：
- たしか早稲田の入試問題だよな
昔大数・代ゼミにいた山本矩一郎が
巷の傍用問題集の解答が間違ってると叩いてた問題
- 35 ：
- >>31
正解
- 36 ：
- 10個の正方形が以下のようにぴったり敷き詰められている
緑の正方形が1辺3cmのとき、他の9個の正方形の辺の長さを全て答えよ
https://i.imgur.com/mUsX1kN.jpg
- 37 ：
- >>36
問題とは関係ないが
色の塗り分けからアタック２５を連想した
- 38 ：
- >>36
上辺左から 22 19 24
中央赤11、 青5、白6
下辺左から 25 17 23
- 39 ：
- >>28
0.8*0.2/(1-0.8^3)
- 40 ：
- 正解です！
http://ksik-math.seesaa.net/article/102649682.html
池野-信一ほか：「数理パズル」 中公新書-427 (1976) p.178～187
http://www.amazon.co.jp/数理パズル-中公新書-427-池野-信一/dp/4121004272
- 41 ：
- >>33
1件目で忘れる確率もｐでいいの？
- 42 ：
- (1-p)^n/n
- 43 ：
- ∥∩∩ ∥ □ ∥;;;;;;
（(-_-)∥ ∥;;;;;;
（っ⌒⌒ﾞ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼`>>36小さいほうから。ビビデバビデブー!! 緑3青5白6赤5+6=11黄色11+6=17白3+11+5=19黄色19+3=22青6+17=23赤5+19=24白22+3=25前>>30
- 44 ：
- f(f(f(x))) = x
を満たす関数 f(x) を求めよ。 ただし f(x)=x は除く。
単項式、多項式、有理式など･･･
- 45 ：
- f(x)=-1-x^(-1)
- 46 ：
- 正解です！
f(x) = a(1 - a/x) (a≠0)
f(f(x)) = aa/(a-x),
複素数も使っていいらしい…
- 47 ：
- 以前どこかで書いた気がするけど
f(x) = 1 - b/(x+1) ; b=1/cos^2(π/n) ,n≧3
とすれば、f^{n}(x) = x です。n = 3 なら、
f(x) = 1 - 4/(x+1) = (x-3)/(x+1)
- 48 ：
- >>47
なるほど！
f(x) = g^(-1)( F{g(x)}),
F(x) = 2cos(π/n) - 1/x,
g(x) = cos(π/n)･(x+1)
ですか････
- 49 ：
- F(x）= 2cos(π/n）- 1/x
=｛sin(2π/n)x - sin(π/n)}/{sin(π/n)x - sin(0)},
F(F(x)）=｛sin(3π/n)･x - sin(2π/n)}/{sin(2π/n)･x - sin(π/n)},
F^{k}(x）=｛sin((k+1)π/n)･x - sin(kπ/n)}/{sin(kπ/n)･x - sin((k-1)π/n)},
F^{n}(x）= x,
f^{n}(x) = x,
- 50 ：
- ∥∩∩ ∥ □ ∥~ﾟ 彡
（(~-~)∥ ∥______
（っγυ ｡∥╂─╂
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂
＼■υυ■_∩∩､＼＼＼
＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼`>>34『山本の1次変換の基本』は格別おもしろかった記憶がある。前>>43
- 51 ：
- Youtube の光源問題が面白い
平面上、凸凹の部屋にロウソクをN本置いた場合、
光の反射で光が全くたどり着けないエリア、暗闇エリアが
存在するのはどういう図形の場合か？
リンク張れないから検索ワードだけ置いとく
The Illumination Problem
面白いのは、
ロウソク1本で全体まで光が行き届くように見えるのに、
実は、1点だけ暗闇 の部分が存在する図形の例。
(面積ゼロだから暗闇エリアじゃないじゃん！ というツッコミは無しで)
- 52 ：
- >>51
こういうのって2次元の部屋だから暗闇エリアが成立するけどさ、
3次元の部屋だと、たぶん、ロウソク1本で全体に行き渡るよね？
2次元だとビリヤードのボールのような反射の仕方しか出来ないから
凸凹の部屋で暗闇エリアが存在してしまう。
3次元だと光の反射はもっと自由になるから、
暗闇エリアは存在できない、または、かなり少ないはず。
- 53 ：
- >>32
・例1
y = 3,
y = -6 ± (√3)x,
y = 10 ± (√t)x,
y + (√3)x + 20 = ± (√t){x - (√3)y},
y - (√3)x + 20 = ± (√t){x + (√3)y},
ただし、t ≒ 82.8068
半径10の円に内接する9角形の対角線で作った。(3回対称)
・例2
a: y = 7 -7x,
b: y = 9 -3x,
c: y = 8,
d: y = 8x,
e: y = 9 +x,
f: y = 3 +3x,
g: y = 7 +6x,
h: y = 13 -4x,
i: y = 13 -x,
http://shochandas.xsrv.jp/triangle/triangle2.htm
n本の直線で描ける三角形の最大数
http://oeis.org/A006066
- 54 ：
- ・例１は↓で b=3 の場合。
y = b,
y = -2b ± (√3)x,
y = 10 ± (√t)x,
y = ((√t - √3)x -20)/(1+√(3t)),
y = ((-√t - √3)x -20)/(1-√(3t)),
y = ((√t + √3)x -20)/(1-√(3t)),
y = ((-√t + √3))x -20)/(1+√(3t)),
ただし、√t = {(20+b) + (√3)√(100-bb))}/{√(100-bb) - (√3)b},
b=3 のとき √t = (5√3 + √91)/2 = 9.099823026
交点は半径10の円周上または内部にある。円周上には
(0, 10) (±5√3, -5) (±√(100-bb), b)
(±{(√3)b + √(100-bb)}/2, {-b + (√3)√(100-bb)}/2)
(±{(√3)b - √(100-bb)}/2, {-b - (√3)√(100-bb)}/2)
- 55 ：
- ついでに････
http://mathworld.wolfram.com/KobonTriangle.html
- 56 ：
- >>54
円の中心から見た交点の方角
0, ±2π/3, ±2{2π/3 - arctan(√t)} = ±arccos(b/10),
±2arctan(√t), ±2{4π/3 - arctan(√t)}.
- 57 ：
- P(x),Q(x)は実数係数の多項式で、cは実数の定数とする。いま、任意の実数xに対して
x^4+P(x)≧Q(x)^2+c, x^4+Q(x)≧P(x)^2+cがともに成り立っているという。
⑴cとしてありうる最大の値を求めよ
⑵ ⑴のcに対し、ありうるP(x),Q(x)の組をすべて決定せよ
- 58 ：
- (1)
c = 1/4,
(2)
P(x) = Q(x) = ±xx + 1/2,
- 59 ：
- 訂正...orz
(2)
P(x) = Q(x) = a･xx + 1/2, (-1≦a≦1)
- 60 ：
- フェルマーって色んな予想を残して、
「オレなら証明も出来るだろうけど、
忙しいからオレはこれには取り組まない」 って態度だったよな。
あれって他の数学者に宿題を与えて、それを証明させることで皆に実績を残させる
ためにわざとやってたんだろうか。
若い数学者がくだらない問題やフェルマー自身、人類の誰もが
おそらくは解けないような難問、そういうのに学者としての
人生を費やして人生を棒に振る人が出ないように…
「意義があって証明が間違いなく存在するであろう課題」を
同時代の数学者たちのために、あえて予想として沢山、残してくれたんだよ。
- 61 ：
- ∥前>>798__＼俺なら証
∥ ｡∥─╂ ∥明できる
∥ ∥─╂ ∥と思うけ
∥___∥＼＼`∥ど、忙し
､＼＼＼＼＼＼)､いでな
￣|＼＼＼＼／| ＼ぁ。
］| ∥￣￣∥ |＼ ＼
__|`∥____∥っっ＼ ＼
￣| ∥ ⊂(_ _ )`⌒つ│
____┠─── `υ──┤
- 62 ：
- >>61
これは間違いなくフェルマー
- 63 ：
- おそらくは解けないような難問があれば俺がそれを解いてみせるから、心配しないでいいよ。
￣]/＼_______前>>61__
__/＼/ ∩∩ ∩∩ /|
￣＼/ ((`_`)(ｰ_ｰ))/ |
￣|＼_,U⌒U､(っu~) |_
］| ∥~UU~ ￣`υυ / /
__| ∥ □ □ ∥ |/ /
___`∥________∥／_/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /
__________________∥/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
- 64 ：
- 赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。
i_1 + i_2 = i,
j_1 + j_2 = j
k_1 + k_2 = k,
(i,j,k）が
i+j+k = 偶数,
|i-j| ≦ k ≦ i+j,
の条件を満たすとき、
{i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2} ←集合として同じ
とすることができるか？
（色違いは許して同数）
- 65 ：
- 前>>63前々>>61
前々の前>>50
面白い問題ないの？
なんで最近ないの？
自粛してんの？
- 66 ：
- >>64
面白くない
- 67 ：
- 〔問題〕
a>b>c>0 のとき、次式をヴィジュアルに示せ。
(1) (a+b)(aa-ab+bb) = a^3 + b^3,
(2) (1/2){(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2} = aa+bb+cc -ab-bc-ca,
(3) aa(b-c) + bb(c-a) + cc(a-b) = - (a-b)(b-c)(c-a),
(4) a^3 +b^3 +c^3 -3abc = (a+b+c)(aa+bb+cc -ab-bc-ca),
(5) (a+b+c)(ab+bc+ca) -abc = (a+b)(b+c)(c+a),
(6) (a+b+c)^3 -a^3 -b^3 -c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a),
http://suseum.jp/gq/question/3146
百聞は一見に如かず(?)
- 68 ：
- 見える化
ってやつか
- 69 ：
- 和算の問題
平面上に水平な直線があり、
その上に一辺の長さが10の正方形が二つ接合して横に並んでいる。
その二つの正方形の接合線の真上に、直径が10の小円が置かれている。
そしてこれらの正方形と小円の右に大円があり、
大円は、直線と、右の正方形と、小円に接している。
この大円の直径を求めよ。
和算の問題だから、三角関数などの使用は禁止。
初等幾何で解けるのかどうかは知らないが、
勘で答えを見つけることはできる。
- 70 ：
- 水平線をx軸、接合線をy軸とすると
正方形の頂点: (0,0）（0,10）（±10,0）（±10,10)
小円: x^2 +（y-15)^2 = 5^2,
大円の中心を（a, b）半径をRとする。
題意より
b = R,
(a-10)^2 + (b-10)^2 = R^2,
a^2 + (b-15)^2 = (R+5)^2,
これより
a = b = R = 10(2+√2),
なお、大円は接合線にも接して、45°線について対称である。
- 71 ：
- 前>>65
>>69
大円の半径を甲とすると、
三平方の定理より、
y軸とy=甲で直角をなす直角三角形について、
(甲+5)^2-(甲+乙)=(甲-15)^2──?
y=10とx=甲+乙で直角をなす直角三角形について、
(甲+乙-10)^2+(甲-10)^2=甲^2──?
?より10甲+25-2甲乙-乙^2=甲^2-30甲+225
-2甲乙-乙^2=甲^2-40甲+200──?
?より2(甲-10)^2+2乙(甲-10)+乙^2=甲^2
甲^2-40甲+200+2甲乙-20乙+乙^2=0──?
??辺々足すと乙=0
?に代入し、
甲^2+40甲-200=0
甲=20+√(400-200)
=20+10√2
大円の直径は2甲なるゆえ求める値は、
2甲=40+20√2
=68.2842712……
- 72 ：
- これも和算の問題。
上底が２、下底が６の等脚台形がある。
その中に楕円があり、楕円は台形の各辺と接している。
この楕円の長軸の長さを求めよ。
- 73 ：
- 4本の直線
y = ±√3, y = (√3)(2±x)
は（±1, √3）（±3, -√3）で交わる。（もう1点あるが...）
∴ 上底が2、下底が6の等脚台形をなす。
各辺と原点の距離は √3 だから、直径 2√3 の円に外接する。
y軸方向に縮小すれば、長軸 2√3 の楕円になり、
y軸方向に拡大すれば、短軸 2√3 の楕円になる。
- 74 ：
- 前>>71
>>72
長軸を甲、短軸を乙とおくと等脚の1つは当該楕円の接線であり、xが2増加するときyは-2b増加し、点(1,b)と点(3,-b)を通るから、
y-b=(-2b/2)(x-1)
y=-bx+2b
y=0のときx=2
長軸の長さaは、単位正方形の内接円の半径が対角線の半分すなわち中心から頂点までの距離のうちいくらを占めるかに等しいから1/√2を掛けて、
a=2/√2
=√2
- 75 ：
- 前>>74補足。
甲=a,乙=bと西洋式に置き換へてゐます。
- 76 ：
- https://cocorolife.jp.sharp/mask/
このマスクを２０億枚買うとしたら１２００億円くらいなんだけど
箱の大きさを考えたら５０枚で９５ｍｍ×１７５ｍｍの箱入りなんで
２０億枚だと３８００ｋｍ×７０００ｋｍの箱になったんだけど
でか過ぎるでしょどうしても納得できないんですけどｗ
奥行きとかも考えないといけないんですよね
教えてください
- 77 ：
- 1億2596万人が365日マスクを交換すると、年間?45,345,600,000?枚マスクが必要。
453億枚ですよ。
- 78 ：
- >>75
じゃあ√も使うなよw
- 79 ：
- あ、逆だったごめん
- 80 ：
- 前>>75やむ無く訂正すべし。
>>72
長軸を甲、短軸を乙とおくと等脚の1つは当該楕円の接線であり、xが2増加するときyは-2乙増加し、点(1,乙)と点(3,-乙)を通るから、
y-乙=(-2乙/2)(x-1)
y=-乙x+2乙
y=0のときx=2
長軸の長さ甲は、単位正方形の内接円の半径が対角線の半分すなわち中心から頂点までの距離のうちいくらを占めるかに等しいから1/根2を掛けて、
甲=2/根2
=根2
米印 尚、根2とは、2の平方根のこととする。
- 81 ：
- 前>>80訂正。
>>72
長軸の長さの半分を甲、短軸の長さの半分を乙とおくと等脚の1つは当該楕円の接線であり、xが2増加するときyは-2乙増加し、点(1,乙)と点(3,-乙)を通るから、
y-乙=(-2乙/2)(x-1)
y=-乙x+2乙
y=0のときx=2
長軸の長さの半分である甲は、単位正方形に内接する円の半径が対角線の半分すなわち中心から頂点までの距離のうちいくらを占めるかに等しいから、
1/根2を掛けて、
甲=2/根2
=根2
尚、根2とは、2の平方根のこととする。
∴長軸の長さは、
2甲=2根2
- 82 ：
- >>57
(1)
題意より
x^4 + min(P-QQ, Q-PP) - c ≧ 0,
一方
min(P-QQ, Q-PP) ≦ 1/4, (*)
より
x^4 + 1/4 - c ≧ 0,
x=0 の場合から c ≦ 1/4,
c=1/4 のときは P(0) = Q(0) = 1/2.
* [高校数学の質問スレPart404．102-105]
(2)
0 ≦ x^4 + min(P-QQ, Q-PP) - c
= x^4 - (1/4)(P+Q-1)^2 - (1/4)(P-Q)^2 - (1/2)|P-Q||P+Q+1|
≦ x^4 - (1/4)(P+Q-1)^2 (等号は P=Q のとき)
= x^4 - {P(x) - 1/2}^2,
| P(x) - 1/2 | ≦ xx,
∴ P(x) = Q(x) = a･xx + 1/2, (-1≦a≦1)
- 83 ：
- ∀z∈C に対して f(f(z)) = z^2
をみたす一価の複素関数 f:C → C は存在しないことを示せ
- 84 ：
- >>83
f(0)=aとおくとf(z)の零点は全て方程式f(f(z))=f(a)の解であるが、仮定によりz^2=f(a)の解となり、高々二個しかない。
よって多項式p(z)と多項式q(z)により
f(z)=p(z)e^q(z)とおける。(因数分解定理)
このとき
f'(z)=(p'+pq')e^q(z)
となる。
一方で
f'(f(z))f'(z)=2z
により方程式f'(z)=0の解はちょうど1個である。
よってp'+pq'は一次式である。
qの次数が2以上ならpは定数であり、f(z)は恒等的に0であるか零点を持たないがいずれも仮定に反する。
qが一次式ならばpは定数であり、同じく仮定に反する。
qが定数ならf(z)、f(f(z))は多項式でf(f(z))の次数は(deg f)^2となり、それが2となる事はない。
- 85 ：
- nを2以上の自然数とする. 黒板に2がn個書かれている.
このとき, 以下の操作を繰り返し行う：
操作：黒板に書かれた数のうち2つを任意に選んで、その2数を消し, 代わりに(選んだ2数の積+1)÷(選んだ2数の和)を1つ黒板に書き加える.
初めの状態から上記の操作を(n-1)回繰り返して黒板に数が1つだけ残ったとき, その残った数をnを用いて表せ.
- 86 ：
- ~∩∩..zzZZ
(-_- )`⌒つ
￣￣`υ￣￣]
前>>81
>>85
5/4,14/13,41/40,122/121,365/364,2552/2551,……
{2+3+3^2+3^3+……+3^(n-1)}/{1+3+3^2+3^3+……+3^(n-1)}
- 87 ：
- >>84
f(z）= 0 ⇒ f(f(z)）= f(0）= a,
⇒ zz = a ⇒ z = ±b,
>>85
n個の数 a_1, a_2, ････, a_n が書かれている。
その下に 1/a_1, 1/a_2, ････, 1/a_n を書く。
a_i と a_j に対して操作を行った結果を b とすると、
1/b =（a_i + a_j)/(a_i･a_j）= 1/a_i + 1/a_j,
(n-1)回の操作の後では
1/h = 1/a_1 + 1/a_2 + ････ + 1/a_n,
∴ 残った数は
h = 1/(1/a_1 + 1/a_2 + ････ + 1/a_n) = H(a_1, ････, a_n)/n.
H(････) は調和平均。
- 88 ：
- >>85
見落としがあったので訂正
n個の数 a_1, a_2, ････, a_n が書かれている。
a_i と a_j に対して操作を行った結果を b とすると、
b =（a_i･a_j + 1)/(a_i + a_j),
これは coth の加法公式の形である。
そこで、各a_k の下に A_k を書く。
ここに A_k = (1/2)log((a_k +1)/(a_k -1)) で
coth(A_k) = a_k をみたす。
a_i と a_j に対して操作を行った結果を b とすると、
b = coth(A_i + A_j)
(n-1)回の操作の後では
h = coth(A_1 + A_2 + ････ + A_n).
a_k = a のとき
a = coth(A),
h = coth(nA),
- 89 ：
- >>77
布マスクにしてほすぃ。
- 90 ：
- >>85
a_i と a_j に対して操作を行った結果を b とすると、
b =（a_i･a_j + 1)/(a_i + a_j),
より
(b-1)/(b+1) = {(a_i -1)/(a_i +1)}{(a_j -1)/(a_j +1)},
そこで、各a_k の下に (a_k -1)/(a_k +1）を書く。
(n-1)回の操作の後では
(h-1)/(h+1) = Π[k=1,n] (a_k -1)/(a_k +1)
=｛(a-1)/(a+1)}^n (a_k =a)
=（1/3)^n, (a=2)
h =｛Π(a_k +1）+ Π(a_k -1)}/{Π(a_k +1）- Π(a_k -1)}
=｛(a+1)^n + (a-1)^n}/{(a+1)^n - (a-1)^n} (a_k =a)
= (3^n +1)/(3^n -1). (a=2)
- 91 ：
- >>86
選び方によらずそうなることを示してください
端から順に操作をするとは限りません
>>88
>>90
素晴らしい
正解です
まさにcoth^(-1)の和の不変性を使うのが想定していた解法でした
- 92 ：
- 自然数の直積N^nに半順序を各成分の大小で入れる(直積順序、nは固定)
互いに大小関係のない元のみをもつ部分集合の大きさは有限であることを示せ
シンプルな示し方があるか気になってます
- 93 ：
- >>84
fは正則とは限らないけど
- 94 ：
- 学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ
ttp://x0000.net
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- 95 ：
- >>92
「互いに大小関係のない元」は各成分の大小によって決まるのですか？
- 96 ：
- 前>>86
てことは答えとしてはあってるってことか。
選び方は適当です。何回かやってn回やったらどうなるか問われてるから予想されるnの式を答えただけ。
数列として表されるから、数学的帰納法で証明できると思うけど、俺も忙しいでだれかに任せたい。
- 97 ：
- >>92
n = 1 なら自明で、 n = 2 のときは↓みたいに簡単に示せる（シンプルとは言っていない）けど、一般の場合がわからん
多分帰納法か何かで示せると思うんだけど、元の証明はどんな感じ？
n = 2 のとき
N^2 の互いに大小関係のない元のみをもつ部分集合を S とする。
集合 S の元 s ∊ S に対して、
s(k) := s の第 k 成分
とする。このとき、S において第1成分が最小になる元を一つ選び、それを a とする。
すなわち、 a ∊ S かつ ∀s ∊ S, a(1) ≦ s(1) とする。
このとき、S の仮定によって ∀s ∊ S, a(2) > s(2) である。
このとき、第1成分を固定すると、 a(2) > s(2) を満たす s ∊ S は高々1つしか存在しない。
さらに、 S の仮定から、∀s_1, s_2 ∊ S, s_1(1) < s_2(1) ⇒ s_1(2) > s_2(2) となることより、
第1成分が大きくなると第2成分は小さくなるが、第2成分には最小値が存在するため、 S の大きさは有限でなければならない。
- 98 ：
- >>95
伝わりにくい問題文ですみません
N^nの半順序をx≧y ⇔ x_i≧y_i (1≦i≦n)で定める
x≧yでもなくy≧xでもないときxとyに大小関係がないとする
部分集合S⊂N^nが条件「Sの任意の2元は大小関係がない」
を満たすときSは有限集合であることを示せ
です。
例えばn=3のとき
S={(1,2,3) (2,3,1) (3,1,2),(2,2,2)}
は条件を満たします
- 99 ：
- >>97
ですです。自分もその方針で帰納法で示しました。
かなりごちゃついてしまったのでエレガントに示せないか気になった次第です。
- 100 ：
- 実際に書き下そうとしたらどうしても長くなるもんだな…
N^n の元からなる任意の無限列{s_m}に対して、整数の組 m<m' であって
s_m≦s_m' を満たすようなものが必ず存在することを示す。
証明はnの帰納法による。n=1は明らか。
ある正の整数kについて、n=kの場合に主張が成り立っていると仮定する。
もしN^(k+1)上の無限列{s_m}が有界なら、鳩ノ巣原理から明らか。（二項が等しくても良いため）
非有界なら、適切に部分列{s'_m}をとればある成分（第i成分とする）が単調増加となる。
また、{s'_m}の第i成分を取り除いた無限列{s''_m}について、帰納法の仮定より
整数の組 m<m' であって s''_m≦s''_m' を満たすものが存在。
これらより s'_m≦s'_m' であるから n=k+1 の時も成り立つ。□
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