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数学は暗記か
Inter-universal geometry と ABC予想 30
数学の本第78巻
高校数学の質問スレPart399
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高校数学の質問スレPart401
フェルマーの最終定理の簡単な証明4
分からない問題はここに書いてね478
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Inter-universal geometry と ABC予想 27
分からない問題はここに書いてね459
- 1 ：2020/03/29 ～ 最終レス ：2020/05/01
- さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね458
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1581260776/
(使用済です: 478)
- 2 ：
- 乙です
- 3 ：
- 円x^2+(y-1)^2=1に外接し，x軸にも接する円の中心をPとするとき，点Pの軌跡を求めよ。
ただし，円の中心Pがy軸上にあるときは除くものとする。
↑
おそらく楕円になりそうですが、焦点が外接点なのか、x軸との接点なのかわけわかりません。
自分にとっては解き方教えてもらわないと絶対無理だろの問題です。
解き方を教えていただけないでしょうか？
- 4 ：
- >>3
放物線じゃね？
円Ｐの半径をrとすると、円Pは外接するんだから、Pと(0,1)との距離はr+1
そこから式を立てたらいい
- 5 ：
- 中心間の距離を使ってどのような式を立てればよいんでしょうか？
- 6 ：
- 放物線C:y=x^2上の点Pにおける接線の上に、PX=1をみたす点Xをとる。ただしXのx座標はPのx座標より大きいとする。
PがC上を動くとき、Xが動いてできる曲線を求めよ。
- 7 ：
- 三角形の内接円と傍接円の共通接線４本のうち３本は三角形の辺ですが
残り一本は外接円の（傍接円の逆の位置の）頂点での接線に平行なことを示せ
- 8 ：
- 外接円の頂点？
- 9 ：
- ああ、わかった。
△ABCの∠Aの二等分線とBCの交点をP、
外接円のAにおける接線と直接BCの交点をQとする。
AB<ACとしてよい。
∠QAB=x、∠PAB=∠PAC=yとする。
∠WAP=x+y。
接弦定理により∠ACB=x。
∴APQ=x+y。
よって辺BCを直接APについて反転させた直線lと直線APのなす角もx+y。
∴l//AQ。
一方で直線BCは内接円と辺BCに接する傍接円の両方に接し、直線APはこの２円の中心を通るからlはもまたこの２円に接する。□
- 10 ：
- >>3
円の中心を P(x,y)、半径をr>0 とすれば
x^2 + (y-1)^2 = (r+1)^2,
|y| = r,
これより
P(x,y) = (±2√r, r)
よって
y = xx/4, (x≠0)
- 11 ：
- >>6
P(p,p^2) におけるCの接線は
y = 2p(x-p) + pp,
X(p + 1/√(1+4pp), pp + 2p/√(1+4pp)) = (x,y)
xx-y = 1/(1+4pp),
に
p = x - √(xx-y),
を入れて
(xx-y){1 + 4[x-√(xx-y)]^2} = 1,
変な問題だな。
- 12 ：
- >>7
内接円と傍接円Aの辺以外の共通接線 // 傍接円Bと傍接円Cの辺以外の共通接線
でもあった
- 13 ：
- V を有限次元ベクトル空間とする。
V' を V の双対空間とする。
U^0 := {φ ∈ V' | φ(u) = 0 for all u ∈ U} とする。
U と W を V の部分空間とし、 W^0 ⊂ U^0 とする。
U ⊂ W を証明せよ。
- 14 ：
- 任意のU要素 u を持ってくる.
適当な直和分解: V=W+W’ に対して u= w + w’.
任意の φ ∈ W^0(⊂U^0) に対して φ(w’)=φ(u)-φ(w) = 0
よって w’=0 (そうでなければ φ(w’)=1 となる φ(∈W^0)が構成できる)
ゆえに u=w ∈ W, 即ち U ∈ W である.
- 15 ：
- 誤: U ∈ W である.
正: U ⊂ W である.
- 16 ：
- >>１４
ありがとうございました。
- 17 ：
- 0---3
長さ3の数直線があり、一方の端の座標を0、他方を3とする
数直線上に2点X,Yをランダムに配置する
X,Yの座標をそれぞれx,yとしこのときx,yの距離が1以下になる確率を求めよ
*(条件から0≤x≤3,0≤y≤3のうち |x-y|≤1を満たす面積を考えれば幾何的に解けますがこの方法は置いておき)
この問いを連続型の確率分布とみて解く場合、どのように解けばよいでしょうか
次の確率密度関数のようなものが成り立(ちそう)だと思いましたが、
この後どうすればよいか or 根本から間違っているのでしょうか、ご教授下さい
f(x)= { (1+x)/3 (0≤x≤1)
2/3 (1≤x≤2)
(4-x)/3 (2≤x≤3)
0 (x≤0, 3≤x)
- 18 ：
- fはX=xの下でYがxの1近くになる確率だからfにX=xとなる確率密度=1/3を掛けて積分する
∫[0,3]P(X=x）*P(max(0,x-1)<Y<min(x+1,3)│X=x)dx
=∫[0,1]P(X=x）*P(0<Y<x+1│X=x)dx
+∫[1,2]P(X=x）*P(x-1<Y<x+1│X=x)dx
+∫[2,3]P(X=x）*P(x-1<Y<3│X=x)dx
=∫[0,1]1/3*(x+1)/3dx+∫[1,2]1/3*2/3dx+∫[2,3]1/3*(4-x)/3dx
=1/9{(2^2-1^2)/2+2(2-1)+(4(3-2)-(3^2-2^2)/2}=5/9
- 19 ：
- > *(条件から0≤x≤3,0≤y≤3のうち |x-y|≤1を満たす面積を考えれば幾何的に解けますがこの方法は置いておき)
置いておくも何もこの↑発想が 連続型の確率分布を前提としたものです.
[0,3] の線分上に一様ランダムに置かれるものとすれば
f(x,y) = 1/9 (0≤x≤3,0≤y≤3)
f(x,y) = 0 (それ以外)
となるでしょう. ( ∬dxdy f(x,y) = 1 )
～を満たす領域S上での積分 ∬[(x,y)∈S] dxdy f(x,y) が ～が起きる確率と解釈されます.
その結果として「幾何学的な "面積比率" を計算すればいいよ」という事になるわけです.
- 20 ：
- 幾何的に解くのは、二次元の一様分布F(x,y)=1/3^2を考えて、xとyが条件を満たす所を積分し
高さが1/3^2、面積が3*3-2*2の柱体の体積を求めるのと同じことだよね
f(x)を使うのは、xを固定してF(x,y)を切ってyが条件を満たす確率を求めてから、
ｘで累次積分するわけで同じことをやっている
- 21 ：
- 000～999の中の数字の総数は？
- 22 ：
- >>21
3000
- 23 ：
- >>22
3×1000＝3000ですよね
けど3×1000になる意味が分からないんです
- 24 ：
- 数学に詳しい人に聞きたいです。
命数の垓の次って?か??のどちらですか？
読み方は(じょ、し、ぢょ、ちょ)のどれですか。
Google検索結果等でも意見が分かれたままなのではっきりしてほしいです。
- 25 ：
- >>23
000～999っていうのは000、001、002、……、998、999という1000個の数のことじゃないの？
1個あたり3つの数字が使われていてそれが1000個あるんだから3000
- 26 ：
- ど底辺の私に教えて欲しいのですが、
10個の景品を求めて150人で抽選します。
抽選には家族3人で参加します。
家族のうち誰か1人でも当たれば良いとして
何分の一くらいの確率になりますか？
5分の1ですか？
- 27 ：
- 黒碁石が3個と白碁石が147個入っているツボからランダムに10個取ったときに
黒がx個である確率はC[3,x]C[147,10-x]/C[150,10]だから
x=0の確率はC[147,10]/C[150,10]=Π[k=3,12](150-k)/Π[k=0,9](150-k)
=Π[k=10,12](150-k)/Π[k=0,2](150-k)=140*139*138/(150*149*148)
- 28 ：
- >>21
1999-1000+1=1000
- 29 ：
- >>27わかりません……園児に教えるレベルでお願いします…
- 30 ：
- 前>>28
>>3第1象限に円を描いていくと、
｡оΟノ↑このように中心はx軸から遠ざかり、第2象限でもy軸と線対称に同様な図形が描けるから、放物線になる。
y=ax^2とおくと、
x^2+(y-1)^2=1と合同な外接円をx軸とも接するとき中心は(2,1)だから、
これを代入し1=a･2^2
1=4a
a=1/4
∴y=x^2/4
- 31 ：
- 前>>30
その玉は、
その小さな玉は、
こっちがx軸上を原点からどんなけ離れようとも、
Pがどんなけx軸から離れようとも、
点(0,1)に居ながらにしてクルッと首だけ180°見渡して絶対真うしろにはまわりこませねえ。
せやで楕円にはならない。
- 32 ：
- 前>>31
なんどもその玉の写メを撮ろうとしたけど、遠巻きに撮るかモザイクがやっと。
2年間つかず離れず、結局名前はわからないまま。
いつかまた逢える日を楽しみにしてる。
原点でな。
- 33 ：
- >>25
1個あたり3つの数字というのはどういう事ですか？
0～999で1000個の数があって、000～999の場合、0が000になるのは分かりますが、999は999のままじゃないですか？
- 34 ：
- >>29
簡単に考えていいなら、石を一つ取って戻しを10回繰り返したと考えると楽
全てが白でない確率は1-(147/150)^10=1-(1-1/50)^10≒1-(1-10/50)=1/5
あるいは、たった一人でチャレンジする場合の当たる確率は10/150=1/15で低いので
三人でチャレンジする場合は複数人が当たる確率は低いと見て無視して単に三倍して1/5
- 35 ：
- >>24
10^24 は 秭(禾弟？）または 𥝱(禾予？）読みは「じょ」
なお、SI単位系では yotta と呼ぶらしい。ヨタ話ですが････
- 36 ：
- >>34
分かりやすくありがとうございます。
確率論なんかの難しいことは全くわからないのですが
考え方は間違ってなさそうで良かったです。
- 37 ：
- >>26
1-(1-10/150)^3
=0.186962962963
- 38 ：
- >>26, >> 37
確率: P{3人とも外れる}
= [外れ140個から3つ選ぶパターン総数] / [全150個から3つ選ぶパターン総数]
= (140*139*138) / (150*149*148)
P{3人の誰かが当たる}
= 1 - P{3人とも外れる}
= 1 - (140*139*138) / (150*149*148) = 5186 / 27565
= 0.18813...
- 39 ：
- 別の考え方
P{3人の誰かが当たる}
= P{3人のうち誰か1人が当たる} + P{3人のうち誰か2人が当たる} + P{3人のうち3人が当たる}
= C{3,1} P{3人のうち指定済の1人が当たり, 2人が外れる}
+ C{3,2} P{3人のうち指定済の2人が当たり, 1人が外れる}
+ C{3,3} P{3人のうち指定済の3人が当たる}
= ( 3* 10*140*139 + 3* 10*9*140 + 1* 10*9*8 ) / (150*149*148)
= 5186 / 27565
= 0.18813...
- 40 ：
- >>37
非復元だからこれは誤答
- 41 ：
- 円Aの内部に円Bがあり両円の中心を結んだ直線と円Aの交点をN_0とする。
N_0を通る円Bの接線（２接線のどちらか）と円Aの交点をN_1とする。
N_1を通る円Bの接線と円Aの交点（のうちN_1じゃない方を）をN_2とする。以下同様に接線を引き続けたときに
N_0に戻ってくるためには両円の半径の比rと中心間の距離dがどのような条件を満たせばよいか？
- 42 ：
- >>33
元の問題の「数字の総数」が何を意味しているのかをはっきりさせてくれないと答えようがない
>>25は000には0という数字が3つ使われているという意味で回答している
000で1つの数字、001も002も999もそれぞれに1つの数字ととらえるのであれば000～999には1000個の数字がある
- 43 ：
- >>42
すみません。納得しました。
ありがとうございました。
- 44 ：
- 黒点が等間隔で一辺に各頂点を含んで7個ずつ置かれている正三角形があり、内部にも等間隔で黒点が並んでいる
この時、正三角形の内部、返上から黒点を3つ選んだ時、正三角形は全部で何個できるか？
8C3でダメなのは何でですか？
- 45 ：
- すみません
8C3じゃなく、8C4ではなぜダメなのか、です
- 46 ：
- a^b+b^c=c^a
を満たす自然数a,b,cを全て求めよ。
- 47 ：
- 分からない問題というより質問なんですが、
虚数iってZFC公理系からどう厳密に構成するんでしょうか
現代数学のほとんどはZFC公理系から作れると聞いたのですが、iの作り方についてはいくらググっても調べられませんでした
- 48 ：
- R^2に適当に演算入れたときの(0,1)とか
多項式環の剰余環R[x]/(x^2+1)におけるxの像とか
- 49 ：
- >>48
すみません 下は勉強不足で分からないですが、上は確かに複素数の演算規則さえ与えればR^2と思えるということですか
なるほどありがとうございます
- 50 ：
- >>44
問の設定が合ってるか自信ないが↓このように計算してみた.
{含まれる正三角形の個数}
= #size1+#size1’ +#size2+#size2’ +#size3+#size3’ +#size4 +#size5 +#size6
= (6*7+5*6 +5*6+3*4 +4*5+1*2 +3*4 +2*3 + 1*2) / 2
= 78
sssp://o.2ch.sc/1n0jj.png
- 51 ：
- >>46
ABC予想で証明できる？
- 52 ：
- 正の数aの平方根のうち非負のものを√aと表す。
この定義に基づいて、0<x<yならば√x<√yを証明せよ。
- 53 ：
- >>50
回答ありがとうございます
各点を結ぶので、斜めの形の正三角形も考慮する必要があります
- 54 ：
- >>53
斜めは気づきませんでした.
正三角形が入った籠を数えると数えやすくなるでしょう.
#{斜め正三角}
= ( 4*5 + 3*4+2*3+1*2 + 2*3 + 1*2 ) / 2 * 2 = 48
もう少しスマートな数え方があるといいのですが...
http://o.2ch.sc/1n0nw.png
- 55 ：
- >>54
回答ありがとうございます
この問題、解答だと、9C4で答えを出しているのですが、8C4だとどこの正三角形が考えられないのかがイマイチ分からないです
- 56 ：
- >>52
√x = 0 と仮定すると x = (√x)^2 = 0 となり題意と矛盾する。
∴ √x > 0,
同様にして √y > 0,
辺々たして √y + √x > 0
一方、題意により y-x > 0,
∴ √y - √x = (y-x)/(√y + √x) > 0,
∴ √y > √x.
- 57 ：
- 〔補題〕
m,n が自然数ならば
m^n - n^m = 0 (m=n または｛m,n}={2,4｝のとき)
(m^n-n^m)/(m-n）> 0 (m≠n かつ（m=1 または n=1 または m+n≦5）のとき)
(m^n-n^m)/(m-n）< 0 (m≠n かつ（m≧2 かつ n≧2 かつ m+n≧7）のとき)
- 58 ：
- >>55
9C4 や 8C4 どういう背景からでてきたのか気になります.
模範解答に何の解説も無いのですか？
- 59 ：
- >>44
この問題、ニフティサーブのフォーラムで出されていたのを思い出します。
「正置な正三角形」という概念を導入します。
正置な正三角形とは、文字通り、一辺は水平で、この辺の上方に頂点を持つ「向き」に
置かれた正三角形です。そして、
・サイズｎの正置な正三角形には、ｎ個の正三角形が属す
が言えます。（傾いたものを含む）ある正三角形があると、その正三角形の三つの頂点全てを含む
正置な正三角形がただ一つだけ定まります。このように、一つの正置な正三角形に定まることを指して、
「属す」と表現してます。ちょっと考えてみれば、自明なことです。
従って、サイズｋの正置な正三角形がいくつあるかを数え上げ、それをｋ倍して総和をとれば、求めたいものが求まります。
サイズ1,2,3,...,6の正置な正三角形は、それぞれ、21,15,10,6,3,1個あるので、
1*21+2*15+3*10+4*6+5*3+6*1=21+30+30+24+15+6=126
一辺の頂点の数がn+1(=サイズがn)であれば、サイズnの正置な正三角形は、C[n+1,2]個あるので、
Σ[k=1,n](n+1-k)*C[k+1,2]=C[n+3,4]
が答えとなります。
- 60 ：
- https://imgur.com/a/6tcbMmr
３（２）ですが、
「Bを計算せよ」とはどういうことなんでしょうか
f(x)＝log(1+x)(1-x)＝log(1+x)＋log(1-x)
f'(x)＝1/(1+x) － 1/(1-x)
f(n)(x)＝{((-1)^(n-1))(n-1)︕}/(1+x)^n － (n-1)︕/(1-x)^n
より
ｎが奇数のとき f(n)(0)＝0
ｎが偶数のとき f(n)(0)＝-2・(n-1)︕
f(x)＝－2Σk=1〜∞(ｘ^2k)/2k
でいいのですか？
(1)の結果を利用するとはどういうことを言ってるのでしょうか。
- 61 ：
- >>58>>59
回答ありがとうございます
下に2段分黒点を追加して、一辺9個ずつの正三角形にし、その底辺について9つの点から4個の点を選び、それをABCDとします。この時、Cの左隣の黒点をC'とし、AとC'からは右上に向かって、Dは左上に線を引きます
この時、C'とDの線がぶつかったところからC'は真左に向かって線を伸ばし、これが作られる三角形の底辺となります
またBはAC'Dを固定した時、 C'を含む残りの点から選ぶことができ、これが斜めの三角形などの個数の代わりになります(このやり方では斜めの三角形を直接表すことが出来ないので、代替している)
よって9C4となるみたいです
2段追加して考えているのですが、1段追加しただけで、8C4とすると、どこで不備が出てくるのかが分からないです
- 62 ：
- (1)の結果でxに-x^2を代入(xの範囲には注意)
それで正しい変形になってるかどうかは級数展開の一意性からわかる
- 63 ：
- >>59 ありがとうございます.
Σ[k=1,n] k * #{正置正三角形 size:k}
=Σ[k=1,n] k * C[n-k+2,2]
=Σ[k=1,n](n+1-k)*C[k+1,2]
ここまでは理解できました.
=C[n+3,4]
この最後の式変形がちょっと考えて診たのですが分かりません. (常識なのでしょうか...)
どうかご教授願います.
- 64 ：
- 中略しただけです。
結果が、「たまたま」コンビネーションを使って簡単に書けるので、それを用いただけですが、
「たまたま」ではなく、何らかの「必然性」が背後に隠れている気はしますが、ちょっと不明です。
- 65 ：
- すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明してくれ～
- 66 ：
- ポエムにもほどがあるだろ
- 67 ：
- >>64 ありがとうございます.
必然性のある関係式が得られました. (参考 [wikipedia: 二項係数])
1/(1-x)^a = Σ[m=0,∞] a(a+1)..(a+ m-1)/m! x^m
= Σ[m=0,∞] C[a-1+m, m] x^m = Σ[m=0,∞] C[a-1+m, a-1] x^m
Σ[m=0,∞] C[p+q-1+m, p+q-1] x^m = 1/(1-x)^{p+q}
= 1/(1-x)^p * 1/(1-x)^q
= Σ[m=0,∞] { Σ[k=0,m] C[p-1+k, p-1] C[q-1+m-k, q-1] } x^m
= Σ[m=0,∞] { Σ[k=1,m+1] C[p-2+k, p-1] C[q+m-k, q-1] } x^m
x^m の係数を比較して
C[p+q-1+m, p+q-1] = Σ[k=1,m+1] C[p-2+k, p-1] C[q+m-k, q-1]
m=n-1, p+q=5, q=2 ∴ p=3 の代入により
C[n+3,4] = Σ[k=1,n] C[k+1,2] (n+1-k)
初等的には >>61 のイメージから得られると予想するのですが
そもそも内容が理解できていません...
- 68 ：
- >>60
・ラグランジュの剰余
R_n = (x^n)f^(n)(ξ)/n!
・コーシーの剰余
Ｒ_n = x^(n-1)(x-ξ) f^(n)(ξ)/n!
などがある。ただし ξは0とxとの中間の或る値である。
どれを使うのか分かるはずだが････
高木貞治：「解析概論」改訂第三版，岩波書店 (1961)
第2章 §25, 定理28, p.61～67
・余談
旧ソ連の物理学者I.タム(1895～1971) は ロシア革命直後、ゲリラ隊につかまったとき
これを知っていて助かったらしい。
数セミ増刊「100人の数学者」日本評論社 (1989) p.116
- 69 ：
- >>67
回答ありがとうございます
説明が下手で申し訳ございません
どこか言って頂ければ補足します
よろしくお願いします
後、8C4ではなく、8C3としたらダメなのか？
が正しいです
- 70 ：
- どこというか... どうイメージしたらいいのか分かりませんでした.
いえこちらの理解力が不足しているだけなのですが,
できれば軽く絵を描いてもらえると助かります.
- 71 ：
- はよせい(｀_´)
- 72 ：
- すみません 初めてなので下手ですが。。
AとC'とDの線でできた正三角形を基準に考えるんだと思います
間違えてたらすみません
- 73 ：
- >>56
ありがとうございます。
中学3年生はx<y⇒√x<√yを使っていますが、証明なしで使うのは良いと思いません。
しかし証明は中学3年生には難しいと思います。
- 74 ：
-
sssp://o.2ch.sc/1n0qs.png
- 75 ：
- >>74 やっと理解できました. B の置き場に困っていたのでしょうか.
それならもう一段足せば良いでしょう.
そして C, D から斜め上に伸ばす直線の方向を1回だけ変えるのです.
サイズ k の正置正三角形に対して B の置き場が k 個できます.
図で分かると思います. ここから C[9,4] が浮かんで来ます.
http://o.2ch.sc/1n0s4.png
- 76 ：
- >>60
いちいち新たにlog(1-x^2)の微分の計算などせずとも、
先に作っておいたlog(1+x)の級数があるのだから-x^2で置換して利用しろってことでしょ
ラグランジュの剰余項なら、0<θ<1として、Rn(x)=(-1)^(n-1)x^n/n/(1+θx)^nだから、
xが負のとき、│Rn(x)│<(-x)^n/n/(1+x)^n=(-x/(1+x))^n/n
xが正のとき、│Rn(x)│<x^n/nだから、-1/2<x<1ならばRn(x)→0
- 77 ：
- >>76
ありがとうございました
- 78 ：
- >>75
一辺の8コずつの点で8C3と考えた時、9C4と比べて作れない三角形って具体的にどういうのがありますか？
- 79 ：
- >>46
1, 1, 2
- 80 ：
- >>78
3段増ではなく 1段増で考えて 底辺の全 8 黒点から A, B, C を拾います.
Aから右上, Bから右上, Cから左上方向に直線を伸ばします.
そこから正置正三角形 (底辺が水平な△)を構成するのは以前と同じです.
全ての正置正三角形がこれで尽くされるのは明らかです.
よってその総数は C[8, 3] = 56 になります.
この場合、逆さまや斜め向きの正三角形はカウントされません.
- 81 ：
- >>80
実際に点を書いてやってみたんですが、8C3と9C4では見かけ上、作れる三角形に差はないように思えてしまうんですが、どこで違いが出てるのでしょうか？
理解が遅くて申し訳ないです
よろしくお願いします
- 82 ：
- >>81
>>75 にて「 サイズ k の正置正三角形に対して B の置き場が k 個できます. 」
と書きました.
サイズ k の正置正三角形に内接する正三角形 を考えてみましょう.
元の△と合わせて k 個の正三角形が得られます.
逆に斜めや逆さま正三角形に外接する正置正三角形が一意に決まることは明らかです.
よってA,C の間を Bが動くことで 全ての正三角形がカウントされます.
(斜め△は煩雑なので絵には描かなかっただけです)
例えばサイズ4 の場合を見れば内接正三角形の数え方が分かると思います.
sssp://o.2ch.sc/1n0x4.png
- 83 ：
- いきなり！ステーキのスクラッチの当たり確率ハズレ確率のことで揉めています
誰か来てください！
お願いしますm(_ _)m
今の所、下記のスレで>>33から>>118までの議論です
いきなりステーキ Part.23
http://matsuri.2ch.sc/test/read.cgi/kbbq/1585980246/33-
- 84 ：
- >>79
証明はどうやるんでしょうか？
- 85 ：
- ・計算機サイト
http://wolframalpha.com
・数学板@2ch時代から続く数学板@2chに於ける数式の表記法の一覧
http://mathmathmath.dote ra.net
・激しくガイシュツ問題一覧
https://web.archive.org/web/20181107033930/http://www.geocities.co.jp/CollegeLife-Club/7442/math/index.html
- 86 ：
- >>46
1,1,2だけっぽいね
証明には取り組んでないけどかなり難しそう
- 87 ：
- 図を書き直してみたら気づきました, Bの置き場を作るには 2段増設のままでもできますね.
C 発の直線だけ折り曲げればいいです.
http://o.2ch.sc/1n0zz.png
- 88 ：
- >>82>>87
回答ありがとうございます
1段増設でも問題なさそう、と思ってしまってるのですが、2段増設で9C4と1段増設で8C4
(すみません。8C3ではなく、8C4でした。頭が混乱して、色々と訂正してしまい、申し訳ございません)
とでは作れる三角形に違いがないように見えてしまっているのですが、どこで具体的な違いがあるのでしょうか？
- 89 ：
- >>88
1段増だけでは正置△を一番下に置いた時に Bの置き場が足りなくなります.
例えば
右下にサイズ1 の正置△を置きました. Bを置く余地はゼロです.
左下にサイズ3 の正置△を置きました. Bを置く余地は 2つしかありません.
このままではどうにもならないのです.
あえて意味を見出すなら
サイズ 5 (一辺に 6点) の黒点△から作れる正△の配置数が C[8,4] になります.
http://o.2ch.sc/1n13n.png
- 90 ：
- >>44
１辺の長さがkの△向きの正三角形内には置けるが、それ未満の大きさの正三角形には向きを変えることなく置けない、かつすべての頂点が三角格子点の上に有る、
そういう条件の正三角形はちょうどk通りだけある
１辺の長さnの△向きの正三角形内に、そのようなk通りの正三角形を置ける位置は、各々Ｃ[n-k+2,2]箇所あるので、正三角形の総数は、それらのk=1からk=nまでの総和である
よって正三角形の総数は
Σ{k=1→n}kＣ[n-k+2,2] ?
に等しい。
この式?はＣ[n+3,4]に等しい。
n=7 のときは Ｃ[n+3,4]=210 となる
- 91 ：
- >>90
なお、正三角形の向きが△しか許されないとすると、正三角形の総数は
Σ{k=1→n}Ｃ[n-k+2,2]
となる。この式はＣ[n+2,3]に等しい
>>44の問題は、正三角形を置く向きに、辺の長さに比例した自由度があるためnの次元かひとつ増えると解釈できる
- 92 ：
- >>44で書かれているような黒点は平面 x+y+z=n 上の非負整数格子点 等として扱うことができます。
この問題の場合は、n=6に相当します。(x,y,z)=(a,b,c)を、“abc”と コンマや括弧を省略して表すと、
28個の黒点には、次のような座標が当てられます
600
510 501
420 411 402
330 321 312 303
240 231 222 213 204
150 141 132 123 114 105
060 051 042 033 024 015 006 (正三角形状になるように、適当にスペースを挿入して下さい)
この問題の答えは、126個で、n=6の時のC[n+3,4]に一致しますが、この、C[n+3,4] といえば、
x+y+z+w+t=n-1 の非負整数解の個数と見ることもできます。
そこで、x+y+z+w+t=n-1 の非負整数解と、黒点三つからなる正三角形を、一対一に対応できないか？
という疑問というか衝動が湧くことは、不思議なことでは無いと思いますが、恐らく、
x+y+z+w+t=n-1 の非負整数解(x,y,z,w,t)=(a,b,c,d,e)に対し、
三点 P(a+d+1,b+e,c),Q(a,b+d+1,c+e),R(a+e,b,c+d+1) で構成される正三角形を当てれば、よいと思われます。
ちなみにこの三点は、正置な正三角形 P'(a+d+e+1,b,c),Q'(a,b+d+e+1,c),R'(a,b,c+d+e+1)
に、それぞれ、(-e,e,0),(0,-e,e),(e,0,-e) を加えて（＝正置な正三角形を回転させて）作ったものです。
これが正しければ、C[n+3,4]のような形で表現できることの説明にもなります。
>>67 さん。関係式ありがとうございました。やはり「必然性」ありましたね。納得です。
- 93 ：
- 正置な正三角形だけを数えるなら、月見団子状に積まれた団子の、土台以外の団子が、
正置な正三角形と一対一に対応できます。
土台以外の団子に対し、その団子を直接または間接的に支える、「最小限の土台の団子の固まり」に
当たる三角形がそれです。
方程式 x+y+z+w=n-1 の非負整数解は、四次元空間内で、正四面体状に配置された格子点にあたります。
方程式 x+y+z+w=n-1 の解 (x,y,z,w)=(a,b,c,d)に対し、
(a+d+1,b,c),(a,b+d+1,c),(a,b,c+d+1) を当てれば、これらは必ず正置な正三角形になります。
- 94 ：
- はよせい(｀_´)
- 95 ：
- 1+i/10≦log(x)≦1+(i+1)/10
を満たすxの最小値をm_i、最大値をM_iとする。
（1）i=0,1,...,9について、M_i - m_iの値はすべて相異なることを示せ。
（1）iは0以上9以下の整数とする。
iがこの範囲を動くとき、M_i - m_iを最大とするiを求めよ。
（2）（1）と同様に、M_i - m_iが4番目に大きくなるようなiを求めよ。
- 96 ：
- >>90
回答ありがとうございます
理解できました。BとCをBとC'のように考えていたのがダメだったという事ですね
助かりました
ありがとうございました
- 97 ：
- >>89
回答ありがとうございます
理解できました。BとCをBとC'のように考えていたのがダメだったという事ですね
助かりました
ありがとうございました
- 98 ：
- すみません。間違えて投稿してしまいました
- 99 ：
- >>89～93
改めまして、回答ありがとうございます
おかげ様で、理解できました
平面上の格子点として、捉えて考えるのは僕にはちょっとまだ無理そうです…
沢山の方に協力頂きまして、ありがとうございました！
- 100 ：
- Mathpixはwolframより使える
- 101 ：
- >>73
対偶 √x≧√y>0 ⇒ x≧y
なら すぐ出ますが。。。
- 102 ：
- f(x)=-x(x-2)
a[0]=a, a[n+1]=f(a[n])
とする。
以下の条件をすべて満たす実数aが存在することを示せ。
・任意の非負整数nに対して0≦a[n]≦1
・0≦p<q≦1であるどのような(p,q)に対しても、不等式p<a[k]<qを満たすある非負整数kが存在する。
- 103 ：
- 方程式x=f(x)を解くのに、これをy=xかつy=f(x)という連立方程式と見て、
x=aという近似値から、(a,0)→(a,f(a))→(f(a),f(a))→(f(a),0)=(a[0+1],0)
と動く動点の運動と考えて逐次的に作られた近似値の列としてa[n]を考える
ただし、区間を①x<0、②0<x<1、③1<x<2、④2<xの四つの場合で振る舞いが変わる
①a<0の場合、a[0+1]-a=-a^2+2a-a=-a(a-1)<0より、①から①にどんどん進む
②0<a<1の場合、0<-a(a-2)=a[0+1]=-(a-1)^2+1<1なので②から②に進む
③1<a<2の場合、0<-a(a-2)=a[0+1]=-(a-1)^2+1<1なので③から②に進む
④2<aの場合、a[0+1]=-a(a-2)<0だから、④から①に進む
なので、例えばa=(p+q)/2とすれば、②0<a<1だからこれ以降のa[n]も常に②となり成り立つ
- 104 ：
- a[0]=0,2 のとき a[n]=0（n≧1),
a[0]=1 のとき a[n]=1,
0 < a[0] < 2 のとき
0 < a[n] < １（n≧1)
a[n+1］- a[n］= f(a[n]）- a[n]
= a[n](2-a[n]）- a[n]
= a[n](1-a[n])
> 0,
∴ n≧1 で a[n］は単調増加。
p = 0.9a[1］+ 0.1a[2],
q = 0.1a[1］+ 0.9a[2],
とおけば
p < a[k］< q,
を満たす非負整数kは存在しない。
なお、n→∞ のとき
a[n］= 1 - |1-a[0]|^(2^n) → 1
- 105 ：
- y=e^xはx→-∞でほぼx軸に平行、x→∞でほぼy軸に平行とみなせるので、傾き-1のある直線に関して左右対称とみなせると考えたのですが、「左右対称とみなせる」をどう数式で表したらいいか分かりません
- 106 ：
- >>65
ハンガリーのレーニ(A.Renyi,1921～1970) が「大きな篩い」を使って示した。(1947)
中国の陳景潤(1933～1996)の定理は、じゅうぶん大きいすべての偶数について k=2 の定理が真であることを示す。(～1978)
k=1の場合は ゴールドバッハの予想である。(未解決)
- 107 ：
- >>18-20
ご丁寧にありがとうございました。
- 108 ：
- 玉木のホモトピー論のノートで勉強していてわからないことがあるので教えてください
連続写像f:X→Yに対して写像跡 E_fを
E_f={(x,ω)∈X×Map(I,,Y) | f(x)=ω(0)}として定めると
p(x,ω)=ω(1)という写像E_f→Yがfibrationになり
さらにi(x)=(x,c_f(x))という写像X→E_f(ただしc_f(x)はf(x)での定値写像からなる道)と
r(x,ω)=xという写像E_f→Xに対してiとrはホモトピー逆写像であるという定理があります(ここまでは理解できました)
その際にi*rとid_E_fの間のホモトピーHをp*H=pr_1*(p×id_I)という可換性が成り立つようにとれるという主張があるのですが
(*は合成です)
これはIで0のとき、つまりH=i*rの時にすでに成り立たないので主張としては偽だと思います
これをどこか修正して正しい内容にすることはできないのでしょうか？
というのも、その定理の系として元々のfがすでにfibrationである時に
fとp:E_f→Bとがファイバーホモトピー同値という主張があり、その証明に可換性を使っているのです
この系が成り立つのかも含めてわかる方いたら教えてください
該当箇所は下の37p(ノート内のページとしては33p)です
http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/downloadables/notes/fibration.pdf
- 109 ：
- a^a+b^b=c^c
を満たす自然数a,b,cは存在しないことを示せ。
- 110 ：
- a≦b<cとして、右辺=c^c≧(b+1)^(b+1)=(b+1)*(b+1)^b>(1+1)*(b+0)^b=2b^b≧a^a+b^b=左辺
- 111 ：
- a^a + b^c = c^b
を満たす自然数a,b,cを求めよ。
- 112 ：
- 1^1+2^3=3^2
- 113 ：
- >>111
(a,b,c) = (a, 1, a^a +1) は trivial なので除く。
- 114 ：
- すいません、質問です
プログラムを書いていて関数を作る必要が出てきたんですが、
数学がさっぱりで考えてもわからなかったのでこちらで聞かせてください
例えば0～100までの間に分布した数を、
50～90までに置き換えたい場合どういう計算式を書けばいいのでしょうか？
文章での質問で伝えられる自信がないので図を書いてみました
https://i.imgur.com/F6O9hzM.png
どなたかよろしくお願いします
- 115 ：
- 0.4x+50
- 116 ：
- 1次式では
After = 50 + 0.4･Before,
ほかに
After = 50 + 40･(Before/100)^n,
After = 50 + 40･f(Before/100)^n， f(0)=0，f(1)=1，単調増加
などもある。
- 117 ：
- >>115
>>116
ありがとうございます
なるほど、全体の何割を占めるかを考えてから、AFTERの最小値を上乗せすればいいのですね
Beforeの最大値は仮に100として図を書きましたが、
最大値がわからないけど（少なくとも90以上）、50～90の間に値を収めたい、
という場合だと、もはや数式を書くことは不可能になりますか？
- 118 ：
- あ、AFTERの最大値が100を超える場合のことも考慮したいです、補足です
- 119 ：
- あ、すいません！自己解決です！
こちら側で最大値を取得する方法を思いつきました
ですので
>>115
>>116
さんの回答で解決です
ありがとうございます
- 120 ：
- https://youtu.be/QuZL5IKpO_U?t=1538
A を可逆な n 次行列とする。
↑の動画の解答で、 A の固有値を λ_1, …, λ_n とするとき、 A^(-1) の固有値 は 1/λ_1, …, 1/λ_n になるということを証明なしに使っています。
λ が A の固有値であるとき、 1/λ は A^(-1) の固有値になるということは簡単に分かりますが、固有値に重複がある場合に、
重複度まで一致することは自明なことでしょうか？
- 121 ：
- 対角化してみた？
- 122 ：
- a^b + b^a = c^c, a>1, b>1
を満たす自然数a,b,cは存在しないことを示せ。
- 123 ：
- https://dotup.org/uploda/dotup.org2108566.png
- 124 ：
- >>120
B := A^{-1} とおく.
det( xI - B ) = (x-λ1')(x-λ2')...(x-λn') {Bの特性多項式 }
= det( xBA - (x/x)B )
= |B| * x^n * det( A - (1/x) I )
= |B| * (-x)^n * det( (1/x) I - A )
= 1/|A| * (-x)^n * (1/x - λ1)(1/x - λ2)...(1/x - λn) {Aの特性多項式 }
= 1/|A|*(λ1λ2...λn) * (x - 1/λ1)(x - 1/λ2)...(x - 1/λn)
= (x - 1/λ1)(x - 1/λ2)...(x - 1/λn)
∴ λ1' = 1/ λ1, ..., λn' = 1/ λn
- 125 ：
- >>123
任意の x ∈ V に対して
[射影分解の存在]
x = (P1+...+Pn)(x) = x1+...+xn ( xi := Pi (x) ∈ Ui )
[分解の一意性]
任意の分解 x = x1'+...+xn' (xi' ∈ Ui) に対し,
ImPi = Ui より Pi(yi) = xi' となる yi ∈ V が存在する.
Pi( x1'+...+xn' ) = Pi( x )
Pi( P1(y1)+...+ Pn(yn) ) = xi
0+..+0+ Pi(yi) +0+..+0 = xi {射影子の性質 PiPi = Pi は 1,2 から導出可能}
∴ xi' = xi
- 126 ：
- 平面上にどの３点も同一直線状にない５点が与えられたときに
５点を通る二次曲線が一つ決まりますが、楕円、双曲線、放物線のどれになるのかを
配置から幾何的に判定する方法があれば教えてください
- 127 ：
- 群数列の問題で
1,3,3^2,3^3,…3^k(k=1,2,3…)という数列を考える。
1,3,1,3,3^2,1,3,3^2,3^3…
初項から第n項までの和をSnとするときSn≦555を満たす最大のnを求めよ。
解答が1枚目、僕の答えが2枚目です、
3(3^m -1)はダメでしょうか?
https://i.imgur.com/Sl9ScJG.jpg
https://i.imgur.com/Wa9wsdc.jpg
- 128 ：
- >>127
とりあえず メモでは
Σ[k=1,m] 3^k = ( 3^{m} - 1 ) / 2 になってますが間違ってますね.
Σ[k=1,m] 3^k = ( 3 + 3^2 + ... + 3^m ) (3-1) / (3-1) = ( 3^{m+1} - 3 ) / 2
和公式については その導出過程を記憶して,
最終結果に自信がないときは m=1 とかで検算したらよいと思います.
- 129 ：
- >>126
５点の凸包が4角形以下なら双曲線だろうな・・・・
- 130 ：
- xを実数とし、-1<x<1の範囲でf(x)=(-2)^xを考える。
f(x)の実部と虚部の値が一致するようなxがちょうど2つ存在することを示し、それらを小さい方からs,tとしたとき
∫[s,t] Re(f(x)) dx
の値を求めよ。
- 131 ：
- f(x) = (2^x)(-1)^x
= (2^x)exp(iπx)
= (2^x){cos(πx) +ｉsin(πx)}
g(x) = cos(πx) - sin(πx)
= sin(π(x +1/2)) - sin(πx)
= 2sin(π/4)cos(π(x +1/4))
= (√2)cos(π(x +1/4))
g(x)=0, -1<x<1 より
x + 1/4 = ±1/2,
s = -3/4, t = 1/4,
∫[s,t] f(x)dx
= 1/{log(2)+iπ} [ f(x) ](x=s,t)
= 1/{log(2)+iπ} {f(t) - f(s)}
= 1/{log(2)+iπ} {f(1/4) - f(-3/4)}
= (1+i)/{log(2)+iπ} {3/2^(5/4)},
これの実数部をとる。
- 132 ：
- >>131
∫[-3/4, 1/4] f(x) dx = 0.4673334916 + 0.298388058ｉ
- 133 ：
- >>128
等比数列の和の公式の初項をかけるのを忘れていました、ありがとうございます。
- 134 ：
- https://www.youtube.com/watch?v=e9T0oQ_i0Vs&t=308s
- 135 ：
- >>123
証明
https://light.dotup.org/uploda/light.dotup.org642167.png
- 136 ：
- >>135
即死してんぞ
- 137 ：
- >>124
ありがとうございました。
- 138 ：
- 古典力学の仮定のもとでは、重力加速度gは無理数であることを証明せよ。
- 139 ：
- 一いち十じゅう百ひゃく千せん万まん億おく兆ちょう京けい垓がい世よ穣じょう溝こう澗かん正せい載さい極ごく
垓の次は世(よ)
と表現して何か問題あるでしょうか？
問題なければこのまま提唱したいと思います。
- 140 ：
- >>138
無理数なのははじめてきいた。
考えたこともなかったな。
光速は有理数？？
- 141 ：
- >>139
万 億 兆 京 垓 𥝱また秭 穣 溝 澗 正 載 極 恒河沙 阿僧祇 那由他 不可思議 無量大数
- 142 ：
- >>141
二択である未解決問題の解消方法で提唱した。
二択状態のままでは解決しない。
- 143 ：
- 禾予 禾𠂔
- 144 ：
- >>142
原字が後者で国字が前者
前者を使えば良い
- 145 ：
- >>144
坱は初見ですよ。他で見かけたことはない。
- 146 ：
- JIS第一第二水準漢字範囲内でよいはず。
垓は一般に周知されていますからそのままでもいいと思われます。
- 147 ：
- Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right 3rd Edition』を読んでいます。
V を F 上の有限次元線形空間とし、 V' を V の双対空間とする。
φ_1, …, φ_n を V' の基底とする。
このとき、 V の基底で、その双対基底が φ_1, …, φ_n であるようなものが存在することを示せ。
- 148 ：
- >>140
光速を単位とすれば整数
- 149 ：
- >>130
f(x)=(-2)^x = 2^x e^{iπx} {複素平面上の対数螺旋}
= e^{ (log2 + iπ) x} = e^{ax}
グラフより
πs = -π + π/4 ∴ s= -3/4
πt = +π/4 ∴ t= +1/4
∫dx [x=s,t] f(x)
= (1/a)( f(t) - f(s) )
= (1/a)( 2^{1/4}+2^{-3/4} ) e^{iπ/4}
= (1/a)( 2^{1/4} (1+ 1/2) ) 2^{-1/2} (1 + i )
= (log2 - iπ) / ((log2)^2+π^2 ) * (3/2 )*2^{-1/4}* (1 + i )
= (3/2 )*2^{-1/4}*(log2 + π) / ( (log2)^2+π^2 ) + i ～
= 0.4673... + i ～
>>131 も f(t)-f(s) = (|f(t)|+|f(s)| ) e^{iπ/4} ∝ (1 + i) を利用してるようだが
これはグラフ書いたほうが分かりやすいと思う.
sssp://o.2ch.sc/1n3au.png
- 150 ：
- >>126 >>129 境界が放物線になりそうだから簡単そうなのから証明抜きで調べると
平面上に凸四角形があるとき４つの頂点を通る放物線が何個あるかを考える
凸四角形が平行四辺形⇒放物線はない ⇒５点目を凸五角形になる位置どこにおいても楕円
凸四角形が台形⇒放物線は１つ⇒放物線を境界として楕円と双曲線に分かれる
それ以外 ⇒放物線は２つ⇒２つの放物線を境界として楕円と双曲線に分かれる
- 151 ：
- >>147
Vの基底 {e_i} を任意に採り, 行列Aを以下のように定義する.
A[ij] = (φ_i・e_j) = (φ_i・e_1, φ_i・e_2, ..., φ_i・e_n)
もし行列Aが非正則なら 列成分ベクトルの間に一次従属関係が成り立つ.
Σ[j] c[j]* (φ_i・e_j) = 0 (あるjにおいて c[j]≠0)
φ_i・(Σ[j] c[j]* e_j) = φ_i・v = 0 (v≠0)
これは矛盾である. {∵ φ・v ≠ 0 となる一時形式 φ の存在}
よって逆行列 A^{-1} が存在する.
f_i := A^{-1}[ji] e_j と定義する.
基底の取り替えになるので {f_j} がVの基底を成す事はあきらか.
φ_i・f_j = A^{-1}[kj]* (φ_i・e_k) = A^{-1}[kj]* A[ik] = δ[ij]
つまり {f_i}の双対基底は {φ_i} である.
- 152 ：
- 最初から Ker φ_i の共通部分とればいいんじゃね？
- 153 ：
- 荒らしのまつざかくんに構うなよ
- 154 ：
- >>152
ちょっと分かんないので解説求む.
- 155 ：
- 5点 (0,0) (±1,1) (±a, 2) を通る2次曲線は何でしょう？
|a|<√2, |a|=√2, |a|>√2,
- 156 ：
- 前>>32
>>155|a|=√2のとき、
y=x^2
∴放物線
- 157 ：
- 準線x=l(l<0), 焦点(f,0)(f>0)を仮定できないのがつらい……
- 158 ：
- >>138
一般相対論のもとではどうでしょうね？
高精度の時計（光格子時計）で計測したところ、スカイツリーの展望室では地面よりも
1日（8.64×10^4 s）あたり 4.26×10^(-9) s だけ速く時間が進んだ。
くわしい研究によれば、この比は (1+gh/cc) に等しい。
重力加速度 g = 9.79 (m/ss)
光速度 c = 299792458 (m/s)
として標高 h (m) を求めよ。 （h = 452.6 m)
- 159 ：
- なお、墨田区押上１丁目の標高は 0(m) である。
- 160 ：
- そもそも証明できるものなのか
地上でも場所によって多少変化があるのを考慮すれば中間値の定理的に有理数も無理数も取りうると思うんだが
- 161 ：
- 限りなく0に近い確率で有理数となるがだいたい無理数
- 162 ：
- >>155
| xx yy y |
| aa 4 2 | = 2xx - (aa-2)yy + (aa-4)y = f(x,y) = 0
| 1 1 1 |
f_x = f_y = 0 より
中心 (0, (4-aa)/(4-2aa)) |a|≠√2
- 163 ：
- >>140
光速は偶数で
c = 299792458 m/s = 2･7･73･293339 m/s
国際度量衡総会(1983)の決議
産技総研･計量標準総合センター、もしくは将棋連盟の谷川九段まで？
- 164 ：
- >>126
I.ニュートン(1642-1727)の「プリンシピア」に５点をとおる円錐曲線の作図法がある。
方ベキの定理(の変形)を活用した。
- 165 ：
- ↓この事実の証明を教えて下さい。
A を正則な対称行列とする。
A の正の固有値の数と正のピボットの数は等しい。
- 166 ：
- >>158 の比の値は √(1＋2gh/cc) だった。 ｽﾏｿ.
- 167 ：
- ↓を証明してください。
A の固有値がすべて実数である ⇒ A は対称行列である。
- 168 ：
- >>167
明らかに成り立ちませんね。
ストラングさんは間違っていますね。
- 169 ：
- >>165,167, 167
数学の本に居着いていてる基地外です
相手をしないように
- 170 ：
- ここ数日アホばっかり
- 171 ：
- >>167
A の固有値がすべて実数 ⇔ A はエルミート行列（実対称行列も含む）
(略証)
ｘの転置共役ｘ' とｙの内積を (ｘ,ｙ) とする。
(ｘ, Aｘ) = (ｘ, λｘ) = λ(ｘ, ｘ)
( Aｘ, ｘ) = ( λｘ, ｘ) = λ’(ｘ, ｘ)
より
Aの固有値がすべて実数 ⇔ λ = λ' ⇔ (ｘ, Aｘ) = (Aｘ, ｘ) ⇔ Aはエルミート
- 172 ：
- 佐武一郎「行列と行列式」裳華房 (1958) p.168
IV章、§5、例1
* 「線型代数学」(1974) に改題する前のもの。
コメント
固有値が実数だの、ヴェクトル・空間が直交するだのは、
内積空間（距離空間）から来たウィルスだろう。
その元の正規行列もノルム空間から来たもんだ。
本来の線型代数と無縁のことにページを割くのは、
軒を貸して母屋を取られてるんぢゃないか？
ぬるぽ
- 173 ：
- 数学記号カードゲームってどんなものがあるのかな？
- 174 ：
- ライフゲームのウィキペディア眺めてた三葉結び目上でライフゲームをやってる画像が貼ってあったけど
結び目にする意味はあるの？トーラス上と変わらないよね？
Game of Life on the surface of a trefoil knot
https://en.wikipedia.org/wiki/Conway%27s_Game_of_Life#/media/File:Trefoil_knot_conways_game_of_life.gif
- 175 ：
- ライフゲームを創ったコンウェイが亡くなったとのこと
- 176 ：
- >>175
> ライフゲームを創ったコンウェイが亡くなったとのこと
情報ありがとう
コンウェイは武漢肺炎に殺されたのか、志村けんなんかよりずっとショックだ
これでずっと噂されていた三角形本(The Book of Triangles)が出版される可能性はゼロになっちゃったんだなあ
- 177 ：
- 足立幸信さんのHPやついが去年の10月から更新されてないのですが
どうされたのでしょうか
- 178 ：
- (0,0),(4,0),(4,4),(0,4)を4頂点とする正方形内の各格子点に人が立っている。
これら16人のうち、2人が若者で、14人は老人である。
時刻t=0において、(0,0)に立っている人がウイルスCに感染した。各時刻t=i(i=0,1,2,...,8)において、Cは感染者の隣接格子点に立つ人にも感染する（隣接格子点の数は3または4である）。
感染確率は隣接格子点に立つ人が若者の場合1/4、老人の場合3/4である。
（1）若者が(0,0)および(4,4)に立っているとする。時刻t=8において、点(4,4)に立っている人が感染者となる確率を求めよ。
（2）若者が(1,3)および(3,1)に立っている場合はどうか。
（3）(4,4)に立つ人が感染者となる確率が最も低くなるように若者を配置したい。その方法と理由を簡単に述べよ。
- 179 ：
- すみません。
こういうフライパンがあるんですが、宅急便送料を知りたいので、近似でタテ、ヨコ、高さ、の合計値を出したいと思います。
外径26×高さ7.7×最大長46.5cm・底厚4.7mm以上、ハンドル取外し時：最大長33.5cm
ハンドル取り外したときのサイズが知りたいのです。
○に棒が付いた虫眼鏡のような形で棒の太さはゼロとして近似して計算しようと思いました。
つまり、外径26cmの○に、(33.5cm-26cm)=7.5cmの棒が付いている物のタテ、ヨコ、高さ、の合計値の最小を目安として計算したいのです。
よろしくお願いします。
- 180 ：
- 正方形内部に格子点は9個しか見当たらないのですが
- 181 ：
- 棒の向きに33.5cm、直角方向に 26cm の長方形の箱だと、
タテ＋ヨコ = 33.5 + 26 = 59.5 cm
棒の向きと45°向きの正方形の箱だと
タテ＋ヨコ = (33.5 - 26/2)√2 + 26 = 55.0 cm
なので、正方形の方が短くなる。
高さ 7.7 cm をたすと 62.7 cm
- 182 ：
- >>178
(0,0)から（4,4)だと25人だと思うけど
- 183 ：
- >>181
ありがとうございます。自分でも計算してみたのですが、
その二つの場合のほかに、
短い辺が26㎝で、長い辺に棒をくっつけたとき、45度よりも少し小さい角度の時に、
長い辺は、
13+√（(13+7.5)^2-13^2） = 28.85cm
タテヨコ高さ62.55cmとなるのではないでしょうか？
しかし、それが最小であるというのはどうやってやるのでしょうか？
微分で傾きがどうのこうのやった記憶があるのですが、20年以上も前なので忘れてしまいました。
- 184 ：
- 実際に計った方が早くね？
棒の太さをゼロで考えてそんなに細かいところまで計算するのは妥当でないと思うし
- 185 ：
- こういう格子点で若者（●）２人、老人２３人でいいのかな？
https://i.imgur.com/RF34qft.png
- 186 ：
- >>185
こういう風に広がるシミュレーションプログラムを作ってみた。
https://i.imgur.com/eatlhhh.png
ｔ＝8 で(0,0)から(4,4)に感染が広がる割合は
> (re=mean(replicate(1e4,f25())))
[1] 0.3331
> try(mean(replicate(1e5,f25())))
[1] 0.33068
となったので約１/3という結果が得られた。
数理解は賢人にお任せ。
- 187 ：
- >>186
４×４のグリッドだと
対角線上の格子点が感染する確率は
> (re=mean(replicate(1e4,f25())))
[1] 0.7842
と近似解がでてきた。
- 188 ：
- 0={1,2,3} 1={0,4,7} 2={0,5,8} 3={0,6,9} 4={1,8,9}
5={2,7,9} 6={3,7,8} 7={1,5,6} 8={2,4,6} 9={3,4,5}
0={1,2,3} は左辺が1,2,3の{}内に0が含まれていることを表す
1={0,4,7}は1が0,4,7に含まれているetc
今は１０個の数を３つの数でコンシステントに定義できましたが
n個の数をm個の数で同様に矛盾なく定義可能となるn,mを全て求めよ
- 189 ：
- 何を言わんとしてるのやら... これで伝わる人いるの？
- 190 ：
- 頂点の数nでかつ各頂点に接続する辺の数がすべてmであるような、多重辺のないグラフを作れるn,mの組み合わせを求めよ
ってことじゃね
- 191 ：
- >>190
四面体: (n,m)=(4,3) , 立方体: (8,4) , ... みたいな話ですか？
それでも >>188 の記法はよく分かりません。
- 192 ：
- r-正則グラフは頂点vかrのどちらかが偶数 かつ v>=r+1のとき存在する
https://mathworld.wolfram.com/RegularGraph.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_graph#Existence
- 193 ：
- 整数mについての方程式
arctan(m-1)+arctan(m)+arctan(m+1)=nπ
の実数解が存在する非負整数nをすべて決定し、それらのnに対する解を全て求めよ。
ここでg(x)=arctan(x)はf(x)=tan(x)の逆関数であり、その定義域は-π/2<arctan(x)<π/2である。
- 194 ：
- >>193
tanの和公式を二回つかって
tan(a + b + c) = { tan(a) + tan(b+c) }/{ 1 - tan(a) tan(b+c) } = ...
= { t(a) + t(b) + t(c) - t(a) t(b) t(c) }/{ 1 - t(a) t(b)- t(b) t(c)- t(c) t(a) }
を得る.
これより
{ (m-1) + m + (m+1) - m(m-1)(m+1) } / { 1 - m(m-1) - m(m+1) - (m-1)(m+1) } = tan(nπ)
m(4 - mm) / ( 2 - 3mm ) = 0 ∴ m(m+2)(m-2) = 0
・m = 0 の場合
atan(-1) + atan(0) + atan(+1) = 0 より n=0 である.
・m = +2 の場合
0 < atan(1) + atan(2) + atan(3) < (π/2)*3 より n=1 である.
・m = -2 の場合 n < 0 になるので 不可 .
よって (n,m) = (0, 0), (1, 2) これが全ての解である.
- 195 ：
- 「ごちそうさまですと言え。」
何様が命令しているんだ。ふざけんな！お前らのように盗聴しかできないガキに調子に
乗られたくないわ
お前は何の権限でおれに命令しているんだ。私は47才だ。
- 196 ：
- 答えろ！ゴミ！
- 197 ：
- 「名前を逆にしたからだ！。」と聞こえてきました。
名前を逆にしたのは、政治が勝手に決めたことですし、それに民間人の私が従う法律もありません。
勘違いはいい加減にしろよ！
- 198 ：
- >>194
g(x) = arctan(x) は単調増加で -π/2 から π/2 まで動く。
与式もmについて単調増加で -3π/2 から 3π/2 まで動く。
∴ それがすべての解。
- 199 ：
- つまり、隣辺が1:2の直角三角形と1:3の直角三角形の角をうまく組み合わせると3π/4やπ/4の角を作れるわけね
面白いね
- 200 ：
- 以下の連立方程式を解け。
(x+y)(x^2+y^2)=2(x^2+1)(y^2+1)
(x^2+y^2)(x^4-y^4)=2{(x^2+1)(y^2+1)}^2
- 201 ：
- 次の微分方程式の解の導出が分かりません。
途中式を含めて教えて貰えると嬉しいです。
d^3φ/dr^3+1/r*(d^2φ/dr^2)-1/r^2*(dφ/dr)=0
解はφ=C1*ln(r)+C2*r^2+C3
(C1,C2,C3は積分定数）
- 202 ：
- >>199
中学受験の有名問題でそんな感じのやつなかったっけ？
- 203 ：
- 仕事終わったら家に帰る、もしくはネカフェに泊まる
定期はどうやって買うんの
落合南長崎駅から新宿三丁目駅（新宿で乗り換える）
落合南長崎駅から八潮駅（都庁前と新御徒町駅で乗り換える）
パターン1
月9日は家に帰る
パターン２
仕事が遅いときだけネカフェに行く
パターン3
…
難しい計算だ
落合南長崎から都庁前の定期を買っても
落合南長崎駅から八潮駅の価格が変わらなさそう
- 204 ：
- 500mlにアルコール濃度96％の飲み物があります。
その飲み物 90ml ＋水 20ml ＝アルコール濃度78.5%
その飲み物 170ml ＋水 40ml ＝アルコール濃度77.7%
の場合、アルコール濃度60％にするには
飲み物と水をどう配合したら良いでしょうか。
- 205 ：
- その飲み物 100ml ＋水 60ml
ぢゃね？
- 206 ：
- >>200
与式を
f(x, y) = (x+y)(xx+yy) - 2(xx+1)(yy+1) = 0,
g(x, y) = (xx+yy)(x^4-y^4) - 2{(xx+1)(yy+1)}^2
= (xx+yy)^2 (x+y)(x-y) - 2{(xx+1)(yy+1)}^2
とおく。
0 = 2g(x, y) - {(x+y)(xx+yy) + 2(xx+1)(yy+1)}f(x, y)
= (xx+yy)^2 (x+y){2(x-y)-(x+y)}
= (xx+yy)^2 (x+y)(x-3y),
∴ xx+yy=0 または x+y=0 または x-3y=0.
・xx+yy = 0 のとき
f(x, y) = -2(xx+1)(yy+1) = 0 から
(x, y) = (-1, ±i) (1, ±i) (±i, -1) (±i, 1) 8個
・x+y = 0 のとき
f(x, y) = -2(xx+1)(yy+1) = 0 から
(x, y) = (i, -i) (-i, i) 2個
・x-3y = 0 のとき
f(3y, y) = 40y^3 - 2(9yy+1)(yy+1)
= -2(y-1)(9y^3 -11yy -y-1) = 0,
・ y-1=0 から (x, y) = (3, 1) 1個
・ 9y^3 -11yy -y-1 = 0 から
(3b, b) (3c, c) (3c~, c~) 3個
b = {11 + 3(2870/27 - 2√1713)^(1/3) + 3(2870/27 + 2√1713)^(1/3)}/27
= 1.36347986
c = (11/9 - b)/2 + 0.27659068ｉ
= -0.07062882 + 0.27659068ｉ
- 207 ：
- >>200
x, y を実数に限れば
xx+yy > 0, xx+1 ≧ 1, yy+1 ≧ 1 だから
(x,y) = (3,1) (3b, b) の2個
b = {11 + 3(2870/27 - 2√1713)^(1/3) + 3(2870/27 + 2√1713)^(1/3)}/27
= 1.3634798606776
- 208 ：
- >>206
x-3y=0の場合が計算ミスしてませんか？
- 209 ：
- >>206
x-3y=0の場合が計算ミスしてませんか？
- 210 ：
- 前>>32
>>204
78.5％っていうのは実際に計算してみると、
90×0.96÷(90+20)=86.4/110
=0.785363636……(％)
77.7％っていうのは実際に計算してみると、
170×0.96÷(170+40)=163.2/210
=0.777142857142857……(％)
のことである。問題はこれでいい。これを踏まえ、
その飲み物xmlを水30mlで希釈したらアルコール60％になったとして、
x×0.96÷(x+30)=0.6
96x=60(x+30)
36x=1800
x=50(ml)
∴その飲み物50mlを30mlの水でうすめたらいい。
- 211 ：
- 整数問題で自然数の問題です。
方程式 (X+1)(X-1) = Y^3
ぱっと見た感じ、解として
X=3, Y=2 がみつかります。
●X、Y を自然数とし、 かつ、 Y ≠ 2 とする。
問1
● 「Yが奇数」 である場合、
(X+1)(X-1) = Y^3
について、
(X+1) は整数の3乗、かつ、
(X-1) は整数の3乗 である
これを証明せよ。
****************************
↑ これが良くわかりません。
Yが奇数の時、 なぜ X+1 と X-1 の両方ともが
「整数の3乗」 であると確定するんですか？
(ちなみに、Yが偶数のときは難しすぎるので無視)
- 212 ：
- ・Yが奇数のとき
X+1 も X-1 も奇数で その差が2.
∴ 互いに素。
{X+1, X-1} = {A^3, B^3}
A,B は奇数 gcd(A,B)=1
・Yが偶数のとき
X+1 も X-1 も偶数。
(X+1)/2 と (X-1)/2 の差が1
∴ 互いに素。
{X+1, X-1} = {2A^3, 4B^3}
Aは奇数 gcd(A,B)=1,
- 213 ：
- 解が無いなら何でも言える
- 214 ：
- 三角形ABCの内部に点Oをとり、
（１）AOとBC、BOとAC、COとABの交点を各々D、E、F
（２）FEとAD,FEとBCの交点を各々G、H
（３）OHとAB、OHとACの交点を各々I、J
とする。このときCF、DI、JGは一点で交わることを証明せよ。
（BE、IG、DJも一点で交わる）
- 215 ：
- 楕円x²/4+y²=1上を動く点Pと定点(1，0)の距離の最小値を求めよ。
また，そのときの点Pの座標を求めよ。
3/4(x-4/3)²-1/3
↑
距離の最小値？『-1/3』の謎を教えてください。答えは当たりました。
割り込みすいません。
- 216 ：
- すいません。
楕円(x^2)/4+y^2=1上を動く点Pと定点(1，0)の距離の最小値を求めよ。
また，そのときの点Pの座標を求めよ。
3/4(x-4/3)^2-1/3
↑
距離の最小値の2乗？『-1/3』の謎を教えてください。答えは当たりました。
割り込みすいません。
- 217 ：
- 前>>210
>>215-216
x^2/4+y^2=1上の点P(x,y)と(1,0)の距離の2乗は、
(x-1)^2+y^2=x^2-2x+1+1-x^2
=3x^2/4-2x+2=f(x)とおくと、
f'(x)=3x/2-2=0となるのはx=4/3のときで、
y=±√{1-(1/4)(16/9)} =±√5/3
P(4/3,±√5/3)
(1,0)との距離は、
√{(4/3-1)^2+(√5/3)^2}
=√6/3
=0.816496581……
- 218 ：
- 微分するのは目から鱗でしたが、
平方完成しての-1/3は？
- 219 ：
- すいません。間違ってました。
- 220 ：
- /__/__/__/__/__人人__
/＿人人__/＿/_(＿^_)_
/_(_ )_)_/__/_(＿＿)ﾖｫ
/_(_( _)_/__/_(^o^))_
/_(^) )_/__/_(__っ┓
/_(υ__)┓__/◎┻υ◎
◎ﾞυ┻-◎ﾞ_/__/__/__/__/__/ｷｺｷｺ…… __/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/__/「困ったら微分」「困難は分割せよ」前>>217高校時代に先生が言った言葉だよ。「信じる者は救われる」
- 221 ：
- >>204
アルコールと水を混ぜると体積は足し算での計算より減るんじゃなかったかな？
- 222 ：
- >>220
びぶんのことはびぶんでせよ とも聞いた。
- 223 ：
- >>221
水＋アルコール混合による体積減少を考慮するとなると、混ぜる前の精密な計算はかなり厄介ですね。
いちおう日本のアルコール度数表示は体積パーセントとのこと...
- 224 ：
- >>212
ありがとう。
まったく分からん。
>>213
ごもっともです。
だからこそ、重要なんです。
Yが奇数のときに、X、Yの解が存在しないことを
証明するための手続きなんです。
(X+1) (X-1) が両方、整数の立方であることを説明したら、
以下のように続けてフィニッシュなんです。
最小の立方体でも体積は 1 と 8 で
7 離れている。
よって距離が2しか離れていないような
自然数で構成される立方体2つの組が存在しないのは明らか。
Yが奇数のとき、これを満たす 解 (X,Y) は存在しない。
おしまい
- 225 ：
- >>212
ちなみに、
「Y ≠ 2 で Yが偶数の場合、
解 X,' は存在しない」
という証明も…何かの長い論文で証明されてます。
そちらは、素人が戯れに解くような問題じゃないみたいでした。
- 226 ：
- >>225
無限降下法でしょ。
数学的帰納法を理解できるなら、理解できるレベルのお話だと思うけど。
- 227 ：
- 正多角形のうち、以下の条件を満たすもの全体からなる集合をSとする。
（条件）『直交する2本の対角線が、少なくとも1組存在する』
例えば正方形ABCDを考えると、対角線ACとBDが直交するため、Sの要素である。
では正2n+1角形(n=2,3,...)全体からなる集合をTとするとき、S∩Tは空集合か。
結論と理由を述べよ。
- 228 ：
- がんばれ。そのうち分かる。
>>213 は誤り。
- 229 ：
- >>217 で正解だが、芸風を伝承して･･･
AP^2 = (x-1)^2 + y^2
= (x-1)^2 + (1 - xx/4)
= (3/4)(x - 4/3)^2 + 2/3
≧ 2/3,
∴ AP ≧ √(2/3), (x, y) = (4/3, ±(√5)/3)
また最大値は
9 - AP^2 = 9 - (x-1)^2 - y^2
= 2(2+x) + (4-xx) - (1-xx/4)
= 2(2+x) + 3(1-xx/4)
≧ 0 (-2≦x≦2 より)
∴ AP ≦ 3, (x, y) = (-2, 0)
- 230 ：
- >>227
正奇数角形の場合は、どの対角線にも、それに平行な辺がある。
(略証)
対角線の端点以外に奇数個の頂点がある。
一方の側に偶数個、他方の側に奇数個の頂点がある。
偶数個の側に頂点を辿ってゆけば、対角線に平行な辺に至る。(終)
したがって、Sの条件は
『直交する2辺(の延長線)が、少なくとも1組存在する』
と同値である。
しかし、直交する2辺(の延長線)が存在する正多角形は、偶数角形に限る。
∴ S∩T は空集合。
なお、Sは正2n角形全体からなる集合に一致する。
対角線 0 - n と 対角線 (n-k) - (n+k) が直交する。
- 231 ：
- >>223
>水＋アルコール混合による体積減少
の関係式ってネット検索したけど、みつけられなかった。
- 232 ：
- ・教えて！goo
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/1678133.html
「水＋エタノール＝？」
・研究紀要／東京学芸大学附属竹早中学校
http://core.ac.uk/download/pdf/33468167.pdf
の8ページの図 (W.Cordes, 2008)
・アルコール表
http://unit.aist.go.jp/nmij/
計量標準総合センター → 計量標準・JCSS → 一番下の「アルコール表」の下の「参考」
「エタノール水溶液の濃度と密度との対照表(旧表)」
(15℃におけるアルコール表) alchol120530.pdf
- 233 ：
- >>221竜二の「水飲ましときゃいいから、来週サツが引っ張るらしいから絶対買うなよ」のところが浮かんだ。前>>220
∥∩∩∥ □ ∥;;;;;＼
（(~o~) ∥;;;;;;∥
（っγυ ｡∥╂─╂∥
■`(_)_)ц~ ∥╂─╂∥
＼■υυ■_∩∩､＼＼∥
＼＼＼＼⊂(_ _ )`⌒つ)
＼＼＼＼＼＼＼`υ､＼/|
＼＼＼＼＼`.,､､､＼`/ |
__＼＼＼＼彡`-`ﾐっ/ L
￣|＼_＼＼_U,~⌒ヾ /
］| ∥￣￣￣￣U~~U / /
__| ∥ □ □ ∥ |/ /
___`∥________∥／_/
￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥ /
__________________∥/
- 234 ：
- >>212
なるほどー
- 235 ：
- aを実数とし、
S(a) = Σ[n=1,2,...] {1/(n-a) - 1/(n+a)}/2a
とおく。
（1）lim[a→+0] S(a)を求めよ。答えのみでよい。
（2）（1）の結果を用いて、オイラーの定数γと円周率πとの間にある関係を考察し、それを等式の形で表せ。
- 236 ：
- >>232
ありがとうございました。
リンクを辿って
https://labox-ecc.com/documents/publi.pdf
に複雑な式が掲載されておりました。
ちょっと手がだせませんね。
- 237 ：
- 任意の自然数の列a1,a2,…anがある。
この両側から適当にそれぞれ何個か取り除き、(取り除かない場合も含める)少なくとも1個残すようにすることによって、残した数の和がnの倍数であるように出来る事を証明せよ。
- 238 ：
- >>235
(1)
S(a) = Σ[n=1,∞] {1/(n-a) - 1/(n+a)}/(2a)
= 1/(2aa) - {1/a + Σ[n=1,∞］(1/(a-n) + 1/(a+n))}/(2a)
= 1/(2aa) - {π/tan(πa)}/(2a)
= {1 - (πa)/tan(πa)}/(2aa)
→ ππ/6 (a→0)
= 1.644934
*) マクローリンで
x/tan(x) = x･cos(x)/sin(x)
= (1-xx/2+･･･)/(1-xx/6+･･･)
≒ 1 - xx/3 + ････
(2)
ちょっと手が出せませんね。
- 239 ：
- >>237
Si=a1+‥+ai とおく。
n|Si (1≦i≦n) なるiがあればa1～aiを残す。
そうでなければDirichlet原理からSi≡Sj(mod n) (1≦i<j≦n)なるi,jがとれる。
この時a(i+1)～ajを残せば良い。
- 240 ：
- >>223
アルコール度(Vol%)
混合液1L中のアルコールの量を、
15℃における純アルコール (密度 0.79351 g/cc) の体積として表示したもの。
===================
アルコール度 密度
(Vol%) (g/cc)
-------------------
0.0 0.99910
60.0 0.91296
77.7 0.86970
78.5 0.86753
96.0 0.81171
100 0.79351
===================
(OIML R 22 -1975 国際アルコール表) >>232
- 241 ：
- >>204
その飲み物 90ml + 水 20ml ＝ アルコール 86.4ml + 水 24.4987 ml
アルコール 78.5 Vol% ＝ アルコール 78.5ml + 水 24.4845 ml
その飲み物 170ml + 水 40ml ＝ アルコール 163.2ml + 水 48.49755 ml
アルコール 77.7 Vol% ＝ アルコール 77.7ml + 水 25.3371 ml
密度(g/cc) ≒ 0.9923 - 0.0607 V - 0.0936 V^2 - 0.0407 V^3,
ここに Vはアルコール度(Vol) 0.1 < V ≦ 0.96
- 242 ：
- P(x),Q(x)は実数係数の多項式で、cは実数の定数とする。いま、任意の実数xに対して
x^4+P(x)≧Q(x)^2+c, x^4+Q(x)≧P(x)^2+cがともに成り立っているという。
⑴cとしてありうる最大の値を求めよ
⑵ ⑴のcに対し、ありうるP(x),Q(x)の組をすべて決定せよ
- 243 ：
- 2以上の整数a,b,cで
a!=b^c+c^b
を満たすものは存在するか．
- 244 ：
- a=2, b=c=1
- 245 ：
- 2以上はb,cにもかかってる
- 246 ：
- id変え忘れてるよ
- 247 ：
- 自演きも
- 248 ：
- ID隠しもキショい
- 249 ：
- >>212
3行でさらっと解説されてるけど
じっくりとここだけを考えたら解けたわ。
(2n+1) (2n+3) = Y^3
(2n+1) と (2n+3) が立方数 (整数の3乗 x1)であることを
証明せよ
って感じで。
- 250 ：
- 中共のオトモダチ、東ドイツのメルケルちゃん。
そして、実質、 ドイツ帝国になり下がった EUちゃん。
@ EU + 中国
= ドイツ帝国 + 中国共産党
これ、期末試験に出るから覚えとけ～ ( '～')
- 251 ：
- >>242
(1) c = 1/4,
(2) P(x) = Q(x) = a･xx + 1/2, (-1≦a≦1)
- 252 ：
- すいません、質問です
物体を動かすアニメーションを作ってて、どうも動きがロボットみたいに味気ないので
慣性の法則っていうんですか、加速、減速、加速したのち減速
の三つの関数を入れようと思ってます
で、以下でできたのですが、欲を覚えて、加減速具合をなめらかに（移動と時間の関係を比例に近づける）したり、
逆に急激にしたり出来るような変数を付け加えた計算式に改造しようと適当に数時間いじってたんですが、
どうしても出来なかったのでどなたかアドバイス頂けないでしょうか
どれくらい難易度高いのかもよくわからないのにすみません
イージングについての参考はこちら
http://nakamura001.hatenablog.com/entry/20111117/1321539246
※カーブの具合についての計算方法は上記の通り色々あるのですが、かゆいところに手が届かないので変数で変更したいです
t : 時間(進行度)
b : 開始のX座標
c : 開始と終了の値の差分（移動距離）
d : 移動にかかる合計時間
■easeInQuad（加速）
c * (t /= d) * t + b;
■easeOutQuad（減速）
-c * (t /= d) * (t - 2) + b;
■easeInOutQuad（加速したのち減速）
if ((t /= d / 2) < 1) c / 2 * t * t + b; ※時間（進行度）が半分未満ならこちらの行だけ実行、そうでなければ下の行
-c / 2 * ((--t) * (t - 2) - 1) + b;
参考：
ちなみに単なる直線の比例グラフだと以下のようになります
c * (t /= d) + b;
- 253 ：
- >>252
例えばこんな感じとか
(言語: javascript)
function easeInOut(t,b,c,d, p,q,r){
let x=t/d
let y=c / (r/p + (1-r)/q)
if (x<r) {
y *= x**p /(p*r**(p-1))
} else {
y *= (r/p + (1-r)/q) -(1-x)**q /(q*(1-r)**(q-1))
}
return y + b
}
始まりと終わりの緩急を p, q で その切り替え時間(の比率) を r で指定する。
if 分岐の2関数が滑らかに接続するようにしただけ。 難易度は低い。
グラフ↓は (p,q, r) = (2, 3, 0.8) と (0.5, 1, 0.4) の場合
- 254 ：
- グラフ
sssp://o.2ch.sc/1n7mc.png
- 255 ：
- >>253
なるほどです！
ちょうどjavascriptで書いていたので助かりました
ありがとうございます
- 256 ：
- >>211
ようやく >>212さんの説明に追いついたわ。
210さんが1時間でレスした内容を理解するのにワイは2日かかった。
みんな頭いいな、旧帝大の工学部とか？
前半
yが奇数の時、
------> y^3 = (X+1)(X-1) = 1x立方 x 1x立方
自然数の立方で差が2であるようなものは存在しないので、
これを満たす自然数 x,y は存在しない。
後半 (時間かかった)
yが偶数の時、
-------> y^3 = (X+1)(X-1) = 4x(自然数の立方) x 2x(奇数の立方)
- 257 ：
- 問い1.3
X,Y は自然数とする。
「Yが4以上の偶数である時」、
............. Y^3 = (X+1)(X-1)
を満たす自然数 X, Y は存在しないことを証明せよ。
ヒント: Y^3 = (X+1)(X-1) = 4x(自然数の立方) x 2x(奇数の立方)
↑ めっちゃムズいし、Yが奇数の時のように、簡単には解けない。
ガチで論文何ページか必要なレベル…だと思う。
- 258 ：
- a,bを整数とし、f(x)=x^2+ax+bを考える。
いま正の実数xに対し、単位円周C上に点P(cos2πf(x), sin2πf(x))をとる。
またCの弧で(1/√2)≤x≤(√3/2)かつy>0を満たす部分をKとする。
xが変化するとPもC上を動くが、PがKに含まれるようなxの範囲（閉区間）は無数に存在する。それらをx座標が小さい順にI_1,I_2,...とする。
（1）区間I_nの長さL[n]をa,bで表せ。
（2）極限 lim[n→∞] Σ[m=1,2,...,n] L[m]を求めよ。
- 259 ：
- １.４１４２......
は定数ですか？
- 260 ：
- >>195-197
それたぶん拾った雑音を言語野が無意識に言語化しちゃってるのでは？
いわゆる“空耳”、「幻聴」なのでは？
- 261 ：
- >>260
私には何故か嫌がらせを行う人間達がまとわりついている
「しはくはむり」と二回誰だか分からない女の声が聞こえてきたが
学部卒が博士を上回る仕事をするとそうなるらしい
- 262 ：
- >>261
BOSEのノイズキャンセルとか高性能遮音ヘッドホンどうぞ
- 263 ：
- >>261
思春期前期１３～１５歳前後頃
猫を飼ってましたか？
- 264 ：
- >>263
飼っていたと思われます
- 265 ：
- 解答ありがとうございます。
もしかしたら...
「猫からの人獣共通感染症で
脳内で炎症反応が起きミクログリアに脳神経細胞が食べられ過疎てしまった後のマクログリアによる修復が追いついていない状態」
にあるのかも知れませんね。
言語野聴覚野関連領域での神経過疎化が改善しきってないのかも？ですね..
素地にＡＳＤなどがあって神経に伝わる雑音のカット機能に障害があると陥り易い症状なのかも知れませんね..
辛いですよね。
周囲からも理解されずに孤独を深めてしまいますよね…
良い治療薬が作られるかもですから、それまで少しでもお気持ちが楽に安心して過ごせる事を願ってます
- 266 ：
- >>265
いいえこれは幻聴ではありません、2chで目立つ行動をすると、それを意味不明に叩く人間達が
多く発生するのです
先輩を馬鹿にしやがって、だとか社会を馬鹿にしやがってと叫び、私の部屋での
独り言を盗聴して、因縁を付けてくる人間が確かにいるのです
特に、私が行った研究が他の学者を馬鹿にしているというふうに考える奴らがいる
から、嫌がらせを言われたり、部屋の中に勝手に入られて、物を壊されるということ
が起きています
- 267 ：
- a!+abc=c!
を満たす互いに素な自然数の組(a,b,c)を全て求めよ。
- 268 ：
- b=(c!-a!)/(ac) for any a and c>a, c | (a-1)!
- 269 ：
- >>251
P(x) = Q(x) = ax^2 + 1/2 (|a| <= 1)？
- 270 ：
- >>44
>>53
>>55
はじめに正△の各辺をn等分するなら、正△の総数は M(n) = (n+3)Ｃ4.
いまの場合は n=6
数学セミナー、2006年2月号のエレ解・出題１
(出題 2月号、解説 5月号、中本先生)
- 271 ：
- >>266
＞部屋の中に勝手に入られる
自宅なら刑法第130条の規定する刑法犯に問えますよね？
＞物を壊される
「器物損壊罪」刑法261条に明確に抵触しますよね
１に証拠２に証拠、３・４も証拠で５に証拠
── 論より証拠 ──
刑事K(起訴・公判維持)可能な強力かつ充分な証拠収集にお励み下さい。
グッドラックでございます…
- 272 ：
- ※ご存知かとは思いますが、
刑法は「疑わしきは罰せず」などと抜かすザル法で名高い
「犯罪者に有利に～
～被害者に不利に」
出来ているトンデモな悪法です。
証拠・証言力でしか、対処しようが無いと思います。
それが出来なければ「幻聴・被害妄想」、統合失調症の典型的な症状との判別がつきません。
- 273 ：
- この問題の解き方教えて下さい
高校数学です
sinx-sinxcosx+cosx-1/2の最大値最小値を求めよ
- 274 ：
- √(n+1)/{n+√(n+1)+√(n+2)} = {n+√(n+1)-√(n+2)}/(n+1)
を満たす自然数nを全て求めよ。
- 275 ：
- >>273
(与式)= sinx +cosx - (1/2)(sinx+cosx)^2
= -(1/2)q^2 + q { q := sinx+cosx = √2.sin(x+π/4) }
= -(1/2)(q-1)^2 + 1/2 { =: f(q) }
-√2 ≦ q ≦ +√2 より
f(+1) = +1/2 (最大値)
f(-√2) = -(1/2)(3+2√2) +1/2 = -1-√2 (最小値)
- 276 ：
- >>275
ありがとうございます
- 277 ：
- 数学の公式って
著作権とかロイヤリティって
発生しないよね。
論文を読むためには、
会員になったり、有料のサブスクをしないといけないのに
なんか変な感じ。
- 278 ：
- ・ダウンロードコンテンツ 幾何学 (ピタゴラスの定理セット)
・ダウンロードコンテンツ 代数学 (線形代数セット)
・ダウンロードコンテンツ 微積分 (ライプニッツ、ニュートンセット)
↑ こういう風に特許をかけそうなのに
数学者って寛容だな
- 279 ：
- そもそもアルゴリズムも特許なしの筈だったんだがな
数学も何時まで持つやら
- 280 ：
- >>279
総当りN^2 探索 … 100円
二分木探索 … 2000円
クイック・ソート … 5000円
- 281 ：
- >>275
グラフ化と数値解を出してみた
https://i.imgur.com/1SmTY91.png
> f<-function(x) sin(x)-sin(x)*cos(x)+cos(x)-1/2
> curve(f(x),-pi,pi,bty='l',lwd=2)
> optimize(f,c(-pi,pi))
$minimum
[1] -2.356202
$objective
[1] -2.414214
> optimize(f,c(-pi,pi),maximum = TRUE)
$maximum
[1] 1.570803
$objective
[1] 0.5
- 282 ：
- 例) カーマーカー特許(AT&T)
USP 4,744,026 「最適資源割当のための方法および装置」(1988/May)
射影変換とアフィン変換を組合せて線形計画問題を解く方法。
産業連関分析なんかに使うのかな？
特許 第2033073号「最適資源割当方法」
特願昭61-501865 特公昭62-502580 特公平5-61672
研究の出口は用途の発見。
用途があれば産業にとって useful.
new & useful inventions are patentable.
- 283 ：
- >>273
(与式）= 1/2 -｛1-sin(x)}{1-cos(x)｝≦ 1/2（最大値)
(与式) = (√2 +q)(2+√2 -q)/2 -√2 -1 ≧ -√2 -1（最小値)
- 284 ：
- 前>>233式変形を思いつかずに解かなきゃみんなが解けることにはならない。微分だ。微分しないといけない。
>>273
f(x)=sinx-sinxcosx+cosx-1/2とおき、
f'(x)=cosx-cos^2x+sin^2x-sinx
=cosx+1-2cos^2x-sinx=0とすると、sinx=1+cosx-2cos^2x
cos^2x+sin^2x=1に代入し、
cos^2x+(1+cosx-2cos^2x)^2=1
cos^2x+1+cos^2x+4cos^4x+2cosx-4cos^2x-4cos^3x=1
4cos^4x-4cos^3x-2cos^2x=0
cosx=0,2cos^2x-2cosx-1=0
cosx=0,(1-√3)/2
(0≦x≦2π)
x=π/2,α
f(π/2)=sin(π/2)-sin(π/2)cos(π/2)+cos(π/2)-1/2=1-1･0+0-1/2=1/2
f(α)=sinα-sinαcosα+cosα-1/2
=(cos^2α-2cosα)(1-cosα)+cosα-1/2
=[{(1-√3)/2}^2-(1-√3)]+(1-√3)/2-1/2
={(4-2√3)/4-1+√3}-√3/2
=√3/2-√3/2
=0
最大値 1/2
最小値 0
違うか。計算間違いか？
- 285 ：
- 前>>284訂正。最小値が負になる可能性がある。
>>273
sin(4π/3)-sin(4π/3)cos(4π/3)+cos(4π/3)-1/2
=sin(7π/6)-sin(7π/6)cos(7π/6)+cos(7π/6)-1/2
=-2.2990381……
4π/3と7π/6のあいだのxを調べると、
f(5π/4)=sin(5π/4)-sin(5π/4)cos(5π/4)+cos(5π/4)-1/2
=-2.41421356……
＜f(6π/5)=-2.3……
∴x=π/2のとき最大値1/2
x=5π/4のとき最小値-1-√2
- 286 ：
- 前>>285確認。
f'(5π/4)=cos(5π/4)+1-2{cos^2(5π/4)}-sin(5π/4)
=0
f'(π/2)=cos(π/2)+1-2{cos^2(π/2)}-sin(π/2)
=0+1-2･0-1
=0
- 287 ：
- Σ[k=0,∞] (2k)! / ( 2^{2k} (k!)^2) * 1/(2k+1) = π/2
を証明してください.
出典は https://texclip.marutank.net の表示見本用の数式です.
sssp://o.2ch.sc/1n9he.png
- 288 ：
- >>274
これお願いします
- 289 ：
- >>274
√(n+1)/{n+√(n+1)+√(n+2)} = {n+√(n+1)-√(n+2)}/(n+1)
⇔
(n+1)√(n+1) = {n+√(n+1) + √(n+2)}{n+√(n+1) - √(n+2)}
⇔
(n+1)√(n+1) = {n+√(n+1)}^2 - (n+2)
⇔
(n+1)√(n+1) = (n-1)(n+1) + 2n√(n+1)
⇔
(n+1) = (n-1)√(n+1) + 2n
⇔
0 = (n-1){√(n+1) + 1 }
∴ n=1
- 290 ：
- 電卓でモードをDegにしてsin(30)とすると0.5になりました
モードをRadにしてsin(30)にすると-0.9880316241になりました
ラジアンを度に変換する式は deg=rad*(180/π) らしいので
この式を使えば-0.9880316241が0.5になるのかなっと思ったのですが結果は-56.61004209でした。
sin(30)=0.5と、変換式で出てきた-56.61004209は別物ですか？
- 291 ：
- 前>>286文字化けが激しいですが、
>>274
√(n+1)/{n+√(n+1)+√(n+2)}={n+√(n+1)-√(n+2)}/(n+1)の分母を払って、 (n+1)√(n+1)==n+√(n+1)-√(n+2)}{n+√(n+1)+√(n+2)}
=n+1)√(n+1)=n^2+2n√(n+1)+n+11 +)
n^2+2(-1)√(n+1) 1=0
n=1,n+1+√(n+1)=0 n≠1のとき
n+1+√(n+1)≠0
ゆ∴n =1
n=1
- 292 ：
- >>290
https://www.peko-step.com/tool/tfrad.html
- 293 ：
- >>287 の件
式の一部でググったら arcsin(x) の展開式が出てきました.
{d/dx}arcsin(x) = 1/√(1-xx) = (1-(xx))^{-1/2}
= 1 + (1/2)(xx) + ... + (1/k!)(1/2)(1+1/2)...(k-1+1/2)(xx)^{k} + ...
= 1+ Σ[k=1,∞](2k-1)!!/(2^k*k!) * x^{2k}
= Σ[k=0,∞](2k)!/(2^{2k} (k!)^2) * x^{2k}
∴ arcsin(x) = Σ[k=0,∞] (2k)!/(2^{2k} (k!)^2)*1/(2k+1) * x^{2k+1}
(与式) = arcsin(1) = π/2 {OK!}
- 294 ：
- 学者が解決できない問題を解決した人間に、「学者気取り」と侮辱するな！
学者と言えということではないが
- 295 ：
- a,b,tを正の実定数とし、平面上の2点A,BをA(a,0)、B(b,t)と定める。
y軸上を点P(0,x)が動くとき、|AP-BP|が最大および最小となるxを求めよ。
なおそのようなxが±∞となる場合は「最大値なし」のように答えよ。
- 296 ：
- フェルマーの最終定理って
あくまで予想だよな。
証明したのはワイルズさんだ、
よって、ワイルズの定理って呼ぶべきだと思うんだが…
なんで未だにフェルマーの最終定理って呼ばれるての？
ワイルズさん、かわいそす… (´・ω・`)
- 297 ：
- 谷山志村予想もワイルズの定理になるぞ
- 298 ：
- >>295
Pのy軸拘束条件を外すと
|AP - BP| が一定となる点の軌跡は 双曲線, 直線, 半直線2つ のどれかになる.
一目瞭然なので計算は省略.
a=b (ABがy軸に平行)の場合だけ「最大値なし」が生じる.
http://o.2ch.sc/1n9th.png
- 299 ：
- >>297
谷山 「それは」
志村 「こまる」
- 300 ：
- すみません
留数の範囲でわからない問題があるので質問させてください...
複素数zの関数 (e^z-1)/(sinz)^2
の原点における留数を求めよという問題です
留数自体あまり理解が深くないので詳しいところまで書いていただけるとありがたいです...
- 301 ：
- >>300
sssp://o.2ch.sc/1n9v9.png
- 302 ：
- 谷山「それはこまる」
志村「アイーン」
- 303 ：
- >>294
このレスを書いたらすぐにrejectメールがきた
どういう情報通信がなされているのでしょうか
- 304 ：
- >>298
便宜上 点P(x,y) とすると
|AP-BP｜が最大となるのは
|AP-BP｜= AB （三角不等式)
y =（t/(b-a))(x-a) (a≠b)
のうち（x-a)(x-b) ≧0 の部分。
x = a, (a=b)
のうち y(y-t) ≧ 0 の部分。
|AP-BP｜が最小となるのは
|AP-BP｜= 0,
y = {(bb-aa+tt) + 2(a-b)x}/(2t) (t>0)
- 305 ：
- テレビゲーム？？
＞コンウェイ氏はイギリス・リバプール出身の数学者で、1970年に発表した、
＞生命の誕生や死をコンピューター画面でシミュレーションするテレビゲーム「ライフゲーム」が世界的な人気を集めました。
- 306 ：
- テレビゲーム
それなんて死語の世界
- 307 ：
- dy/dx=x+y
をx+yをuとして解き、yの一般解を求めよ
- 308 ：
- >>307
u=x+y と置く.
du/dx = 1 + dy/dx = 1 + u
du/(1+u) = dx
d{log(1+u)} = d{x}
u = C*e^x - 1 {C: 積分定数}
∴ y = u - x = C*e^x - x - 1
- 309 ：
- f(x+1)-f(x)=x(x+1)
f(0)=0
を満たす数式f(x)を求めよ
- 310 ：
- >>306
懐かしい呼び方
マイコンとかもな
- 311 ：
- 前>>291
>>309
f(x)=x^3/3+ax^2+bxとおくと、
f(x+1)-f(x)=(x+1)^3/3+a(x+1)^2+b(x+1)-x^3/3-ax^2-bx
=x^2+x+1/3+2ax+a+b
=x(x+1)
1/3+2ax+a+b=0
a=0,b=-1/3
∴f(x)=x^3/3-x/3
確認する。
f(x+1)-f(x)=(x+1)^3/3-(x+1)/3-(x^3/3-x/3)
=x^2+x+1/3-x/3-1/3+x/3
=x^2+x
=x(x+1)
- 312 ：
- >>311
ありがとう
- 313 ：
- 一般解は
f(x) = x^3/3-x/3 + g(x)
g(x)は g(0)=0, g(x+1)-g(x)=0 [周期 1] を満たす任意関数
微分可能条件を外せば x∈(0,1) に対して f(x)の値を任意に定めて 他のxに対しては帰納的に定義できる
{ x∈(0,1) での x^3/3-x/3 を相殺して任意値に置き換える g(x) を持って来ればよい }
- 314 ：
- >>307
こういう宿題を書き込むザコ助どもに
イラつく
- 315 ：
- 球の表面積について考えよう。
(以下の物語はフィクションです)
****「単純な立体」****
遠い昔、ある惑星のある国にて
国王 「三次元の立体で、最も単純な物は何か？」
Aは答えた。
「それは三角ピラミッド(三角錐) です。
4つの頂点と4つの面を持ち、この立体は、その頂点の数が最小だからです」
Aのライバルであった B は答えた。
「それは球体です。
球はそれを構成する1つ1つのポリゴン(側面)の面積が最小だからです」
Aは反論した
「頂点と側面の数が無限個あるのに、どこが単純なのだ？」
Bは答えた
「それは本質ではありません。
紙粘土があれば素手で…ほら、ご覧ください。
このように美しい物が一瞬で誰にでも作れます」
国王 「なるほど、よく分からん」
結論が出せず、国王の仲裁のもと、
両者はお互いを認めて、その2つともを
「(3次元空間においての) ある種の単位元」
として認めることに同意した。
- 316 ：
- ある時、B は球の表面積が分からずに困っていた。
Aは、
「三角錐と球はどちらも単位元であり、
双子の兄弟のようなものだ。
球を観念上の三角錐と見做してはどうだろうか？」
と提案した。
B はなるほど…と思い、これを受け入れた。
球が観念上の三角錐であるならば、
それは側面を4つ持つはずで、その4つの合計が表面積だ。
しかし、前にB自身が述べたように
「球は側面が無限個であり、それを構成する1つ1つのポリゴンの面積がゼロ」 である。
B は困った。
Aは紙粘土の球を 真っ二つに割った。
そして、 「この断面を、観念上の側面の面積 としてはどうか？」と提案した。
Bは、またもや、なるほど…と思い、これを受け入れた。
球の表面積 = (観念上の)側面の面積 x 4 = pi x r^2 (x 4)
Bはこの理論をまとめて王立学会へ提出した。
学会「結論はもっともらしい、しかし、各所の論理に不備がある」
としてBの論文と自宅は燃やされた。
全てはAの罠だったのだ。
この A という男が、後のピタゴラスである。
- 317 ：
- >>309
二項係数の (n)C(r) = (n-1)C(r) + (n-1)C(r-1) から (n)C(r) = Σ_{k= r~n} (k-1)C(r-1)
x(x+1) = 2 (x+1)C(2) を右辺に入れると 2(n)C(3) = Σ_{x=1~n-2} x(x+1)
これによる一般化もある
- 318 ：
- 無限級数
a[k] = Σ[n=0,1,...] (n^k)/n!
について、以下の問いに答えよ。
ただし0!=1である。
（1）任意の自然数kに対してある自然数b[k]が存在し、a[k]はa[k]=b[k]eの形で表されることを示せ。
（2）a[k+1]をa[k],a[k-1],...のうち必要なもので表せ。
- 319 ：
- U = {1, 2, …, n}
S_1, …, S_m を互いに異なる空でない U の部分集合とする。
#(S_i ∩ S_j) = const. for all i, j ∈ {1, 2, …, m} such that i ≠ j が成り立っているとする。
このとき、 n ≧ m であることを示せ。
- 320 ：
- すみません
極限を求める問題で
lim[x→∞] 2n+1/n
lim[x→∞] (2n^2-n^3)
lim[x→∞] 2n^2-5n+3/3n^2-1
をお願いしまーす
- 321 ：
- すみません
極限を求める問題で
lim[x→∞] 2n+1/n
lim[x→∞] (2n^2-n^3)
lim[x→∞] 2n^2-5n+3/3n^2-1
をお願いしまーす
- 322 ：
- すみません
極限を求める問題で
lim[x→∞] 2n+1/n
lim[x→∞] (2n^2-n^3)
lim[x→∞] 2n^2-5n+3/3n^2-1
をお願いしまーす
- 323 ：
- lim[x→∞] 2n+1/n ＝ 2n+1/n
lim[x→∞] (2n^2-n^3) ＝ 2n^2-n^3
lim[x→∞] 2n^2-5n+3/3n^2-1 ＝ 2n^2-5n+3/3n^2-1
- 324 ：
- 正解ですね
- 325 ：
- 板から鎖を削り出すことが可能か不可能かというのは、数学的に証明できますか？
- 326 ：
- _____∩ っﾞ___前>>311
＼ (-_-)) /|､＼＼＼
＼＼υ⌒υ､ /|＼＼＼＼
￣￣￣￣|υ/|､＼＼＼＼
________｢￣|＼＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼＼
＼＼＼`∩∩､＼＼＼＼＼
＼＼⊂(_ _ )`⌒つ､＼＼
＼＼＼＼＼`υ､＼＼＼＼
＼＼＼＼＼＼＼＼＼>>325板から鎖を削りだすことはできる。証明することもできる。が、忙しいんでそれはだれかに任せたい。
- 327 ：
- 実際に出来るので数学を用いるまでもなく証明可能
- 328 ：
- >>318
(1)
a[k] = Σ[n=0,∞] n^k/n!
e^t = Σ[n=0,∞] t^n/n!
{t.d/dt} e^t = t.e^t =: g(1,t) e^t
{t.d/dt}^k e^t = Σ[n=0,∞] n^k.t^n/n! =: g(k,t) e^t
{t.d/dt}^{k+1} e^t = (t.{d/dt}g(k,t) + t.g(k,t)) e^t
∴ g(1,t)=t, g(k+1,t)= t.{d/dt}g(k,t) + t.g(k,t)
b[k] := g(k,1) ∈ N { k次多項式 g(k,t) ∈ R[t] の係数は全て非負整数 (∵ 帰納法) }
a[k] = g(k,1) e^1 = b[k] e
- 329 ：
- >>318
(2)
Σ[j=1,k] (-1)^j.a[j] = Σ[n=1,∞] Σ[j=1,k] (-n)^j/n!
=Σ[n=1,∞]( (-n)-(-n)^{k+1} )/(n+1)!
=Σ[n=1,∞]( (1-n)-(1-n)^{k+1} )/n!
= k.a[1] + (-1)^k.a[k+1] - Σ[j=2,k]C{k+1,j} (-1)^j a[j]
∴
a[k+1] = (-1)^{k+1} (1+k) a[1] + Σ[j=2,k] (C{k+1,j} + 1) (-1)^{k+j} a[j]
(1)の結果は使わなかった.
- 330 ：
- >>315-316
勉強できない子には
こうやって覚えさせるといいよ。
または、
球体に光をあびせて、投射された影4つ分。
- 331 ：
- 板から板の厚さよりも細くない鎖を削り出すことが可能か不可能かというのは、数学的に証明できますか？
- 332 ：
- ｎ次関数のｎ個の解を実数解はｘ軸上に複素数解はｘｙ平面を複素平面だと思ってプロットすると
もとのｎ次関数とｎ個の点の位置関係は何かきれいな幾何学的関係になってるのでしょうか？
- 333 ：
- >>329 (2) 別解
a[k] = Σ[n=1,∞] n^k/n!
= Σ[n=1,∞] ( n^k + n^{k+1} )/(n+1)!
= Σ[n=1,∞] ( (n-1)^k + (n-1)^{k+1} )/n!
= a[k+1] + Σ[j=1, k] (C{k,j} (-1)^{k-j} + C{k+1,j} (-1)^{k+1-j}) Σ[n=1,∞]n^j/n!
= a[k+1] + Σ[j=1, k] ( C{k,j} - C{k+1,j} ) (-1)^{k-j} a[j]
= a[k+1] - Σ[j=1, k] C{k,j-1} (-1)^{k+j} a[j]
∴
a[k+1] = (k+1) a[k] + Σ[j=1, k-1] C{k, j-1} (-1)^{k+j} a[j]
- 334 ：
- 平面上に、どの2点間の距離も奇数であるような4点は存在しないことを証明せよ。
- 335 ：
- >>332
まず、複素数上の任意のｎ点について、これを解とするｎ次関数が存在する
上記のｎ次関数の各項の係数は一般に複素数である
もし、各項の係数を実数に制限するのであれば、以下の性質を満たす
・ｎが奇数の場合、少なくとも１点は必ず実軸上にある
・実数でない解の場合、互いに共役である２点が解となる
- 336 ：
- z^k の係数を a(k) とする。
1.
〔掛谷の条件〕
a(0) ~ a(n) はすべて非負とする。
0 < a(n) < a(n-1) < ･････ < a(1) < a(0)
⇒ 根は単位円の外部
0 ≦ a(0) < a(1) < ･････ < a(n-1) < a(n)
⇒ 根は単位円の内部
0 = a(1) = a(2) = ･････ = a(n-1), |a(0)|=|a(n)|≠0
⇒ 根は単位円上
2.
f '(z) = 0 の根は f(z) = 0 のすべての根の凸包に含まれる。
- 337 ：
- >>318
(1)
x^k = Σ[j=0, k] s(k, j) x(x-1)････(x-j+1)
s(k, j) は第二種スターリング数。
を使えば
n^k = Σ[j=1, min{k,n}] s(k, j) n(n-1)････(n-j+1) (n≧1)
(n^k)/n! = Σ[j=1, min{k,n}] s(k, j) /(n-j)!
(与式) = Σ[j=1, k] s(k, j) Σ[n=j, ∞] 1/(n-j)!
= Σ[j=1, k] s(k, j) e
= b(k) e,
* s(k, j) は k個の異なる物をj組に分ける方法の数。
s(k, 1) = 1 (k≧1)
s(k, k) = 1,
s(k, 0) = δ(k, 0), s(k, j) = 0 (k<j)
s(k, j) = s(k-1, j-1) + j･s(k-1, j)
また
b(k) = Σ[j=0, k] s(k, j) はベル数。
- 338 ：
- >>319
ヒントを出しておきます： 線形代数の知識を使う。
- 339 ：
- 生成関数
Σ[k=j,∞] s(k,j)/k! x^k = (1/j!)(e^x - 1)^j,
Σ[k=0,∞] b(k)/k! x^k = e^(e^x - 1),
b(0)=b(1)=1, b(2)=2, b(3)=5, b(4)=15, b(5)=52, b(6)=203,
- 340 ：
- 例)
５つの異なる物を何組かに分ける方法の数は b(5) = 52 種ある。
「源氏香」
- 341 ：
- [質問の前提]
円周率の近似値を得るために、
単位円に内接する正多角形の1辺の長さを求める。
図と漸化式は省略
正6角形:1
正12角形:√(2-√3) = (1/2)(√6-√2) -> 0.5176381
正24角形:√(2-√(2+√3)) -> 0.2610524
正48角形:√(2-√(2+√(2+√3))) -> 0.1308063
正96角形:√(2-√(2+√(2+√(2+√3)))) -> 0.0654382
ここまでが書籍の参考に書いてあったことの抜粋です。
[質問]
正12角形は途中式(1/2)(√6-√2)が書いてあり納得できましたが、
24,48,96角形のケースは書いてありませんでした。
それぞれの途中式を教えてほしいです。
- 342 ：
- それくらい自分で計算できなきゃ聞く意味すらない
- 343 ：
- 多重根号を外したいってことなら無理なんじゃね？
- 344 ：
- >>340
同じモノだったら？
- 345 ：
- 分割数と云うらしい･･･
- 346 ：
- 正24角形
√(2-√(2+√3))=√(2-(1/2)(√6+√2))
ここで詰まるんだけど
そもそも多重根号はずせないケースなの？
ならばどうやって0.2610524を導くの？
- 347 ：
- >>341
中心角2θに対する辺の長さ L = 2sinθ,
から
中心角θに対する辺の長さ L ' = 2sin(θ/2),
を求める。
cos の半角公式
cos(θ/2）= √{(1+cosθ)/2},
を使う。
L ' = √{2 - √(4 - L^2)},
これくらい自分で計算できなきゃ･･･後ry)
- 348 ：
- >>344
同じモノ５つなら
(5)
(4,1)
(3,2)
(3,1,1)
(2,2,1)
(2,1,1,1)
(1,1,1,1,1)
p(5) = 7 種
- 349 ：
- >>348
ありがとうです
b(n),p(n)の直接式か漸化式かあれば
教えてください
- 350 ：
- >>346
多重根号が外れるケースのほうが多いとでも思ってるのかw
めでたいなー
- 351 ：
- p(k) の生成関数
Σ[k=0,∞] p(k) x^k = 1/{(1-x)(1-xx)････(1-x^n)････}
p(k）の級数展開が見つかった。(Rademacher, 1937)
同じk個をj組に分ける方法を q(k,j) とすれば
p(k) = Σ[j=1,k] q(k,j)
q(k,j) = q(k-1,j-1) + q(k-j,j)
q(k,1) = q(k,k-1) = q(k,k) = 1,
qの生成関数
Σ[k=j,∞] q(k,i) x^k =（x^j)/{(1-x)(1-xx)････(1-x^j)}
http://oeis.org/A000110 b(k)
http://oeis.org/A000041 p(k)
数セミ増刊「数学100の問題」日本評論社 (1984) p.58
- 352 ：
- >>346
ただの近似値でしょ
- 353 ：
- >>343
ありがとう。
多重根号はずせないとのことで
小数の平方根についてググルことで納得しました。
正24角形
√(2-√(2+√3))
=√(2-(1/2)(√6+√2))
=√(2-(1/2)(2.449+1.414))
=√(0.0685)
=√((6.85)(1/100))
√6<√(6.85)<√7
2.44<√(6.85)<2.64
√(6.85)≒2.62
√(0.0685)
≒0.262
- 354 ：
- ランダムな正定値行列の生成方法ってありますか？
半正定値行列であればランダムなnxn行列Aに対して(A^t)Aを計算すればいいのはわかるのですが正定値行列については調べても正しい方法がわかりませんでした
- 355 ：
- すみません解決しました
- 356 ：
- f(x) = a x^n + b x^(n-1 ) + ... + z = 0
n が奇数である時、f(x) = 0 を満たすxが
1つ以上存在することを証明せよ
↑ これって図で f(x) = x^3+1 を描けば
f(x) = 0 、すなわち、x軸を横切って交点を持つから
明らかなんだろうけどさ。
証明ってどうやるの？
x軸のどこかに隙間があったり、
関数の曲線が途中でジャンプしていたり
抜け道があるかもしれないじゃん。
例えば、
f(x)= 1/x は途中でジャンプしてるし、 x軸ともy軸とも交点がないよね。
- 357 ：
- >>336
> f '(z) = 0 の根は f(z) = 0 のすべての根の凸包に含まれる。
Gauss?Lucas theorem
https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%E2%80%93Lucas_theorem
ガウスがこの定理を発見してたのか。実係数のｎ次関数のグラフの極値になってる
ｘ座標の最大（最小）の外側に（複素数）解の（実部）が必ず存在するってことはすぐに言えるのか
- 358 ：
- >>356
連続性がどうしたこうした
- 359 ：
- >>358
有理数は連続してねぇじゃん？
無理数も連続してねぇじゃん？
有理数と無理数をつなげ合わせただけの物が
なぜ連続だと言えるんだ？
なぜ実数が連続していると言える？
数学者が信じているだけで連続していないかもしれないじゃん。
- 360 ：
- f(x) = a x^n + b x^(n-1 ) + ... + z = 0
n が奇数である時、f(x) = 0 を満たすxが
(すなわち、x軸との交点) が1つ以上存在することを証明せよ。
回答
f(x) = x^3 + 1 の場合を考える。
r を実数とする。
y = f(x) = 0 を満たすx軸上の点 (r, 0) が
1つも存在しないと仮定する。
x軸 を 3つに区分けする。
[r より小さい有理数を並べたもの] < r < [r より大きい有理数を並べたもの]
次に r + δ を考える。 この時…
ああああああああああああああああ 訳わかんねぇ
- 361 ：
- 考えろ、考えろ、考えるんだ、おれ、…。
確実に答えに…本質に…近づいている…
>>360は良い線いってる
このスレのザコ助どもに答えられないなら、
おれが自分で解くしかない。
「尋ねるよりも己で調べるのが良い、
調べるよりも己で考えるのが良い、
考えるよりも己で確認するのが良い」
- 362 ：
- 前>>360
>>326
アルファベットの並びは変わらないからn=25
25は奇数だから題意を満たす。
f(x)=ax^25+bx^24+cx^23+dx^22+ex^21+fx^20+gx^19+hx^18+ix^17+jx^16+kx^15+lx^14+mx^13+25x^12+ox^11+px^10+qx^9+rx^8+sx^7+tx^6+ux^5+vx^4+(w+1)x^3+yx+z
はx→±∞のときf(x)→+∞だから全体として下に凸。
f'(x)=25ax^24+24bx^23+23cx^22+22dx^21+21ex^20+20fx^19+19gx^18+18hx^17+17ix^16+16jx^15+15kx^14+14lx^13+13mx^12+300x^11+11ox^10+10px^9+9qx^8+8rx^7+7sx^6+6tx^5+5ux^4+4vx^3+3(w+1)x^2+y=0
を満たすxをx=αとおくと、
f(α)＜0ならf(x)=0を満たすαは2つ以上の偶数個存在する。
f(α)=0ならf(x)=0を満たすαは1つ以上の奇数個存在する。
f(α)＞0ならf(x)=0を満たすαは存在しない可能性はあるが、存在する可能性もある。
- 363 ：
- 前>>362訂正。前々>>326
>>360
f(x)=ax^25+bx^24+cx^23+dx^22+ex^21+fx^20+gx^19+hx^18+ix^17+jx^16+kx^15+lx^14+mx^13+25x^12+ox^11+px^10+qx^9+rx^8+sx^7+tx^6+ux^5+vx^4+(w+1)x^3+yx+zと書くまでもなかった。
題意よりnは奇数で、
x→+∞のときf(x)→+∞
x→-∞のときf(x)→-∞
よってy=f(x)のグラフは少なくとも一回x軸をまたぐ。
∴f(x)=0を満たすxが少なくとも1つ以上存在する。
いったんわかると、当たり前だろうが、と思う。これだから証明は。ただの当たり前。意味がない。
- 364 ：
- a,bは複素数の定数とする。方程式
z^4+az^3+bz^2+az+1=0
の4つの複素数解をα、β、γ、δとする。
複素数平面上の4点P(α),Q(β),R(γ),S(δ)を周および内部に含む円で半径最小のものを求めよ。
- 365 ：
- >>356
a≠0, b, c, ････は実数とする。
p = 1 + (|b|+|c|+････)/|a| とすると
f(p)f(-p) < 0,
区間[-p,p] を繰り返し2等分する。
任意の ε>0 について
f(x1) f(x2) < 0 |x1-x2| < ε
を満たす [x1,x2] がある。
>>357
最も外側の極値では｜f(x)｜が極小だから、複素数解が存在しそう････
- 366 ：
- 三角形ABCとその外接円の外部（周を含まない）に点Dがある。
ABCDを内部（周を含む）に含む半径最小の円を作図する方法は？
- 367 ：
- pを実数の定数とする。
実数a,b,cについての以下の連立不等式を解け。
b≦a+pb+(p^2)c≦c
c≦(p^2)a+b+pc≦a
a≦pa+(p^2)b+c≦b
- 368 ：
- 両端だけ書けば
b≦c,
c≦a,
a≦b,
∴ a=b=c,
中辺から
・1+p+pp = 1 つまり（p=-1 または p=0）のとき
a=b=c
・p(p+1)≠0 のとき
a=b=c=0.
- 369 ：
- >>366
Dと外接円の中心を結ぶ線を引き、
それが外接円と交わる点のうち、Dから遠い方をEとする。
DEの中点を中心として直径DEの円を描けば、
何はともあれ四点A、B、C、Dはその円内に含まれる。
次にDを中心として、
A、B、Cのうち最もDから遠い点を半径とする円を描き、
それがDEと交わる点をFとする。
DFの中点を中心として直径DFの円を描けば、それが最小の円である。(?)
- 370 ：
- >>366
・ABCDの凸包が3角形のとき
3辺の長さを p>q>r とする。
pp ≧ qq+rr のとき 直径pの円
pp ≦ qq+rr のとき 外接円
・ABCDの凸包が4角形のとき
対角の和を A+C、B+D とすると合計360°
一方は 180°以上。
180°以上の側の大きい方の頂点を除いて三角形で考える。
- 371 ：
- >>369を訂正
「次にDを中心として」以下は間違いだから省略。
最小の円はDEを直径とする円か？
- 372 ：
- sinπ/5を求めよ
- 373 ：
- 間違えた
sin（π/5）を求めよ
- 374 ：
- >>366
簡単すぎてわろ主www
A,B,C のうち、
D と最も離れた点 との線分を直径とする円で確定じゃん。
- 375 ：
- >>373
sin(π/5)
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=sin%28%CF%80%2F5%29&lk=3
0.587785252292473129168705954639072768597652437643145991072...
または
sin(36 °)
- 376 ：
- >>373
正五角形の図より 1 : 2x = 2x : 1-2x
∴ 4x^2 + 2x - 1 = 0
cos(2π/5) = x = (-1 + √5)/4
sin(π/5) = √{1-cos(2π/5) } / √2 = √{10 -2√5 } / 4
http://o.2ch.sc/1nbcu.png
- 377 ：
- ありがとう
- 378 ：
- 前>>363
>>373
黄金比は(1+√5)/2
cos(π/5)=(1+√5)/4
sin(π/5)=√{(1-cos^2(π/5)}
=√{1-(6+2√5)/16}
=√(10-2√5)/4
=0.587785252……
- 379 ：
- >>374
DとBがもっとも離れた点とする。中心DでBを通る円をE、DBを直径の両端とする円をFとする。
Eの内部かつFの外部の領域にABのどちらか一点があるときは間違いだとすぐわかる。
その場合は外部にある点とBCの外接円が半径最小
>>370
- 380 ：
- 前>>378
>>366
△ABCの外接円の中心Oを通る半直線DOと外接円の交点をEとし、DEの中点にコンパスの針を刺し、半径DE/2の円を描く。
- 381 ：
- >>379
え、余裕ぶったけど >>374 は間違ってるんか！？
ABCは同一の外周円、 円1 の上にあって、
点Dはその外側にあるっていう前提だろ？
じゃあ、Dから最も遠い点が…この場合、Bとしたら、
線分DB を直径にして円を描いたら、A,B,C すべて中に含むし、
これが答えだろ。
だって、これより小さい円 = 直径が小さい円 なんて描けないだろ。
- 382 ：
- ああああ、
手元にコンパスがねぇえええ！！
作図したい時に限ってコンパスが見当たらない
- 383 ：
- おれは手を動かした方が
考えが捗るんだ。
散歩したり、トイレやベッドで
パズルを考える事もあるけどさ、
やはり数学は手を動かすのが一番やりやすい。
… MS-Paint でやってみるか
- 384 ：
- ここで作図できるよ
https://www.geogebra.org/geometry
- 385 ：
- A(a,b,c,d)
Aを変化させた場合の値は分るとする
Aはロスを表すもので0～1と考えられる(場合により１を超えるだろうがabcdの値に制限があるとする)
aのみを変化させることは可能 → いくつかプロットすると曲線となった
bを変化させるときaも変化してしまう
cを変化させるときaも変化してしまう
dを変化させるときaも変化してしまう
Aの計算式の算出方法について方針など教えてください
- 386 ：
- >>366 一般化した話のスライドがあった。一般化しても数学的に簡単な話かと思っていたらそうでもないみたいだ。
最小包含円 点集合を包含する半径最小の円
https://www.jaist.ac.jp/~uehara/course/2014/i481f/pdf/ppt-7.pdf
- 387 ：
- 全然数学的じゃないけど円の形を保ったまま伸び縮みする輪ゴムをかぶせれば一発だな
- 388 ：
- >>381
>線分DB を直径にして円を描いたら、A,B,C すべて中に含むし、
含むと限らない
DBを半径として円を描いたらABCすべて含むけどな
- 389 ：
- f(a) = ∫[0, ∞] e^(-x)cos(ax)dx = 1/(1+a^2)
とおく。
（1）a=1/bなるbを用いて、h(1/b)を求めよ。
g(a) = ∫[0,a] f(a) da
h(a) = ∫[0,a] g(a) da
（2）∫[0, ∞] sin(x)/x dx = π/2 を示せ。
- 390 ：
- 三本の太さは同じだが長さと重さの違う棒、
その1（長さa, 重さA）、
その2（長さb, 重さB）、
その3（長さd, 重さD）がありまして、
その棒をこの順番で溶接でくっつけたときに、重心がどこにあるかを調べたいのです。
棒は均一に同じ密度だとします。
どのようにしたらよいのでしょうか？積分を使うのでしょうか？
- 391 ：
- >>389
f(a) = ∫[0, ∞]dx e^(-x)cos(ax)
= {1/(1+ia) + 1/(1-ia)}/2
= 1/(1+a^2)
g(a) = ∫[0,a]da 1/(1+a^2) = arctan(a)
h(a) = ∫[0,a]da arctan(a)
= a.arctan(a) - ∫[0,a]da a/(1+a^2)
= a.arctan(a) - (1/2)∫[0,a^2]ds 1/(1+s)
= a.arctan(a) - (1/2) log(1+a^2)
g(a) = ∫[0,a]da f(a)
= ∫[0, ∞]dx e^(-x) ∫[0,a]da cos(ax)
= ∫[0, ∞]dx e^(-x) sin(ax)/x
= ∫[0, ∞]dx e^(-x/a) sin(x)/x
∴ ∫[0, ∞] e^(-x/a) sin(x)/x = arctan(a)
a → ∞ により ∫[0, ∞] sin(x)/x = π/2
h(1/b) 云々は意図がよくわからない
- 392 ：
- h(a) = ∫[0,a]da g(a)
=∫[0, ∞]dx e^(-x) ∫[0,a]da sin(ax)/x
=∫[0, ∞]dx e^(-x) {1- cos(ax)}/x^2
= a.∫[0, ∞]dx e^(-x/a) {1- cos(x)}/x^2
= 2a.∫[0, ∞]dx e^(-x/a) {sin(x/2)/x}^2
= a.∫[0, ∞]dx e^(-2x/a) {sin(x)/x}^2
∴ ∫[0, ∞]dx e^(-2x/a) {sin(x)/x}^2
= arctan(a) - (1/2a) log(1+a^2)
(a → ∞) ∫[0, ∞]dx {sin(x)/x}^2 = π/2
問題の意図とは違うかも。
- 393 ：
- 辺の長さ1対2対√3の三角形に外接する三角形ABCの面積Sの最大値最小値教えて下さい
sssp://o.2ch.sc/1nc0e.png
- 394 ：
- 最大値最小値？
それ、直角三角形だから外接円は直径2だろ？
- 395 ：
- >>393
最大値はない。いくらでも大きくできる
最小値は元の三角形と同じとき。(√3)/2
- 396 ：
- >>395
ありがとうございます
- 397 ：
- 3辺の長さがBC=a,CA=b,AB=cで、最長辺がABであるような△ABCを考える。
ここで以下の（操作）を定義する。
（操作）「3辺の長さがx,y,z(0≦x≦y≦z)の三角形に対して、3辺の長さがx,y,z/2の新しい三角形を作る。」
△ABCに（操作）を施し、その新しくできた三角形に（操作）を施し、さらに…と無限に（操作）を施すことができるとき、a,b,cが満たす関係式を求めよ。
ただし3辺の長さがx,y,zの三角形に（操作）を施すことができないとは、3辺の長さがx,y,z/2の三角形が存在しないことを指す。
- 398 ：
- 三角不等式
y-x < z < x+y,
y-x < z/2 < x+y,
が両立することから
2(y-x) < z < y+x,
∴ y < 3x,
さて、どうするか････
- 399 ：
- 複素数ってネーミングが酷いけどさ、
あれって英語のImaginary Number
英語圏、数学動画のコメント欄でも評判が悪いのな
以下のように改名すべきって主張されてて納得したわ。
・Real Number → Direct Number
直行数
・Imaginary Number →Lateral Number
側方数
- 400 ：
- xの値の範囲が1≦ｘ≦のときに、aを定数とする2次関数ｙ＝－ｘ＾２＋2axの最小値は－４である。このときのaの値を求めよ。ただし、aの値の範囲は１＜a＜2。
- 401 ：
- >>399
複素数はComplex Numberですが
知らんのか？
- 402 ：
- 2x2正方行列AについてA^3=Oとなる条件を求めよ
と言うのがわかりません
A=(ab)
(cd)
として
A^2=(a+d)A-(ad-bc)E
A^3=(a+d)A^2-(ad-bc)A=Oなら
[(a+d)^2-(ad-bc)]A＝(a+d)(ad-bc)E
ここからがわかりません
とりあえずAはEの実数倍であることは必要であってますか？
- 403 ：
- >>402
[(a+d)^2-(ad-bc)]＝(a+d)(ad-bc)＝0 の場合は、AがEの定数倍である必要がない
- 404 ：
- >>401
そうなんだ。
>>399 は
複素数に出てくるアレだ、虚数の話ね。
- 405 ：
- >>403
なるほディウス！
つまり
a+d=0またはad-bc=0、かつ、
(a+d)^2=ad-bc、
またはA=EorO
ってことですか
- 406 ：
- >>402
ケイリー・ハミルトンの定理とか懐かしい
どこまでの条件が欲しいのかわからないけど、もし成分レベルの条件が欲しいなら、
仮にAに逆行列が存在したらどうなるか考えてみればわかると思う
- 407 ：
- >>406
なるほど
それはありますね
- 408 ：
- >>405
[(a+d)^2-(ad-bc)]A＝(a+d)(ad-bc)E でAがEの定数倍なら
A=kE と置けば k={(a+d)(ad-bc)}/{(a+d)^2-(ad-bc) ってことだぞ}
- 409 ：
- A^3=O
⇔a+d=0 かつ ad-bc=0
←はハミルトンケーリーより自明。
→A^3=Oよりad-bc=0は明らか。
∴ A^2-(a+d)A=O。
両辺にAをかけて(a+d)A^2=O。
∴ (a+d)^2A=O。(∵ A^2=(a+d)A)
∴ (a+d)^2a=0, (a+d)^2d=0。
∴ (a+d)^3=0。
- 410 ：
- >>397
どなたかこれをお願いします
かなり昔の早稲田大学の理系入試に類題があったと思いますが見つけられず、教えを請いに参りました。
- 411 ：
- >>409
ネタばらしされちゃったから補足しておくと、成分を使わずに書けば
tr(A) = det(A) = 0
が A^3 = O であるためのの必要十分条件ってこと
当然 A の逆行列は存在しない
あと、後半の証明は、もし a + d ≠ 0 なら A = O になって矛盾するとしたほうがスマートかな
- 412 ：
- >>410
その（操作）っていつでも可能じゃないの？
問題の条件が足りない気がする
- 413 ：
- >>405
(a+d)(ad-bc) = 0,
すなわち
a+d=0 または ad-bc=0,
これと
[(a+d)^2 - (ad-bc)] = 0
から
a+d = ad-bc = 0 ･･･ (*)
∴ A^2 = O も成り立ちますね。
なお、A=kE の場合も
A^3 = (k^3)E,
k = 0,
A = O,
となり、(*) に含まれます。
ところで････
A = k [1, x] = k [1, 1] [x, -1]
[x, xx] [x, x] [x, -1]
のようになっており、左右入れ替えて掛ければ
[x, -1] [1, 1] = O
[x, -1] [x, x]
つまりAの正体は零因子なので
A^2 = O
となるのです。
- 414 ：
- ↑ の訂正
A = 2k [x, -1] = k [1, 1] [x, -1]
[xx, -x] [x, x] [x, -1]
でした。ｽﾏｿ
- 415 ：
- もちろん、
A^3 = O ⇔ A^2 = O
が成り立つのは2次行列に限った場合です。
反例：シフト行列
[ 0, 1, 0 ]
R = [ 0, 0, 1 ]
[ 0, 0, 0 ]
[ 0, 0, 1 ]
R^2 = [ 0, 0, 0 ]
[ 0, 0, 0 ]
R^3 = O
- 416 ：
- >>400
yが最小となるのは、xの範囲のどちらかの端だが････
x=1のときは y=-1-2a, これともう一方の値のうちの小さい方が4
- 417 ：
- >>412
y > 3x のときは
y - x > (x+y)/2 > z/2,
となるから｛x, y, z/2｝は不可能らしいよ。
あと 2(y-x) < z も要るかな。
- 418 ：
- >>417
ん？よくわからない
z / 2 と x, y について何か追加の条件があるの？
単に一番長い辺を1つ選んで、その辺の中点と頂点を結んで新しい三角形を作るのを繰り返すだけだと思ってた
- 419 ：
- 任意の三角形で可能なら
>三角形の成立条件（存在条件）：三辺の長さが a,b,c である三角形が存在する必要十分条件は，
>a+b>c かつ b+c>a かつ c+a>b
https://mathtrain.jp/seiritu
あと c が一番大きい前提の条件 a ≦ c かつ b ≦ c でも書いておけばいいのかな
よくわからないけど
- 420 ：
- 辺長 x, y は元のままですよ。
- 421 ：
- >>417
>>419
すみません、勘違いでした
x と y が残るからこの場合は不可能なのね
- 422 ：
- 成立する具体例ってある？実は存在しないってオチ？
それとも1回できれば無限にできるとか？
- 423 ：
- >>418
問題文読み間違えてる
例えば3辺の長さが(1,100,100.4)の三角形に対してこの操作を行うと、(1,50,50.2)の数の組ができるけど、これは三角形の3辺にならない
- 424 ：
- >>422
早稲田の問題は一回できれば無限回できるというオチだったと記憶していますが、この問題よりも条件に制限があったと思います
成立する例は正三角形とかですね
(2,2,2)→(2,2,1)、これは三角形の成立条件を満たす
- 425 ：
- >>424
(2,2,2)→(2,2,1)→(1,2,1)
無理じゃね？
- 426 ：
- >>425
一回は（操作）可能ですよ
無限回可能かというと、そうではないですね
- 427 ：
- >>422
たとえば (x, y, z) = (1, 2^(1/3), 2^(2/3)) だと相似だから。
>>423
(1, 100, 100.4) → (1, 100, 50.2)
- 428 ：
- (5,5,6)→(5,5,3)→(5/2,5,3)→(5/2,5/2,3)
これで1ループなので無限回操作可能ですね
- 429 ：
- >>427
すいません書き間違えました…
- 430 ：
- z<2x なら、うまくローテーションしそう･･･ (十分条件)
- 431 ：
- >>428
なるほど、相似か
正三角形でない二等辺三角形とかかな？
- 432 ：
- >>431
>>425で無理だった
- 433 ：
- >>430
0 < x ≦ y ≦ z のとき、
z ≦ 2x かつ y < x + z/2 かつ 2x < y + z
が十分条件の1つになることがわかった
このとき、
(x,y,z)→(x,y,z/2)→(x,y/2,z/2)→(x/2,y/2,z/2)
でループになる
（証明）
(1): (x,y,z)→(x,y,z/2)
仮定より、
x < y + z/2
y < x + z/2
z/2 < x + y
となるので（操作）を施すことができる
このとき、
z/2 ≦ x ≦ y
(2): (x,y,z/2)→(x,y/2,z/2)
仮定より、
x < y/2 + z/2
y/2 < x + z/2
z/2 < x + y/2
となるので（操作）を施すことができる
このとき、
y/2 ≦ z/2 ≦ x
(3): (x,y/2,z/2)→(x/2,y/2,z/2)
仮定より、
x/2 < y/2 + z/2
y/2 < x/2 + z/2
z/2 < x/2 + y/2
となるので（操作）を施すことができる
このとき、
x/2 ≦ y/2 ≦ z/2
ここで、(3)で得られた(x/2,y/2,z/2)は(x,y,z)と相似であるので、
以上(1), (2), (3)により、(x,y,z)がなす三角形は、無限に（操作）を施すことができる
（証明終了）
これ以外に無ければいいんだけど…
- 434 ：
- >>433
この条件を使ったら、二等辺三角形を含まないループ
(8,10,12)→(8,10,6)→(8,5,6)→(4,5,6)
が作れた
- 435 ：
- >>433
この3条件のうち、
y < x + z/2
は必要条件だから、
x ≦ z/2 ≦ y
と
x ≦ y ≦ z/2
の場合で分けて考えれば、残りも証明できるかも
- 436 ：
- >>435
x ≦ y ≦ z/2 はありえない
言いたいのは
z/2 ≦ x ≦ y
ではないの？
- 437 ：
- >>436
>x ≦ y ≦ z/2 はありえない
それは証明できる？
>言いたいのは
>z/2 ≦ x ≦ y
>ではないの？
>>433の証明でわかるのは、
z ≦ 2x かつ y < x + z/2 かつ 2x < y + z
が十分条件の1つになることと、
z/2 ≦ x ≦ y のときは「y < x + z/2 かつ 2x < y + z」が必要になるってことだけ
残りのパターンも考えないと必要十分にならない
- 438 ：
- a+b+c≦20を満たす、自然数(a,b,c)の組のうち、aが奇数のものは半数以上あることを示せ
- 439 ：
- >>437
＞>x ≦ y ≦ z/2 はありえない
＞それは証明できる？
三角不等式と与条件より
z/2 ＜ (x+y)/2 ≦ (y+y)/2 ＝ y
- 440 ：
- (19-1,2)+(19-3,2)+...+(19-17,2)
=18*17/2+16*15/2+14*13/2+12*11/2+10*9/2+8*7/2+6*5/2+4*3/2+2*1/2
=N(aが奇数)
(19-2,2)+(19-4,2)+...+(19-16,2)
=17*16/2+15*14/2+13*12/2+11*10/2+9*8/2+7*6/2+5*4/2+3*2/2
=N(aが偶数)
N(aが奇数)とN(aが偶数)の各項を大きい方から見比べて、N(aが奇数)>N(aが偶数)
- 441 ：
- 大学でε-δ論法をやってるんですが
x→0でのsinx/x、(1+x)^(1/x)
これらの極限はεδでどうやって示せるんですか？
- 442 ：
- >>439
ありがとう
それで z/2 < y がわかるから、あとは
x < z/2 < y
のケースを考えればいいね
- 443 ：
- >>441
[例1] lim[x→+0］（1+x)^(1/x）= e.
e は nが自然数なるとき lim[n→∞］（1+1/n)^n として定義されたのであったが、
連続的変数xに関しても標記の等式が成り立つのである。
それを証明するために n ≦ 1/x < n+1 (nは自然数) とすれば
｛1 + 1/(n+1)}^n <（1+x)^(1/x）<（1 + 1/n)^(n+1),
任意のε>0 に対して一つの正数Nを取って、n≧N なるとき
e - ε <｛1 + 1/(n+1)}^n,（1 + 1/n)^(n+1）< e + ε
ならしめ得る。 然らば 0 < x ≦ 1/N なるとき
e - ε <（1+x)^(1/x) < e + ε,
すなわち ｜(1+x)^(1/x）- e｜ < ε.
∴ lim[x→+0］（1+x)^(1/x）= e.
[例2] lim[x→0］sin(x)/x = 1.
(前略)
1 > sin(x)/x > cos(x) (1)
さて 0 < sin(x）< x から lim[x→0］sin(x）= 0.
∴ 0 ≦ 1 - cos(x)^2 = sin(x)^2 < x^2 を用いて lim[x→0］cos(x）= 1.
∴ (1）から標記の関係を得る。 (証終)
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店（1961)
p.20-22 第1章 §9. 連続的変数に関する極限
- 444 ：
- 問い. 1 己の生に意味はあるか？
- 445 ：
- ↑ おまえには無い
↓ おまえも無い
- 446 ：
- うわ、矢印間違えた…
- 447 ：
- ↑ いや、合ってる。
- 448 ：
- >>438
a+b+c≦n を満たす自然数(a,b,c)の組
aを決めると b+c = n-a から
(b,c) の組合わせは n-a-1 とおり。
・aが奇数（1,3,････）のとき
n-a-1 = n-2, n-4, ････ (≧1)
足し合わせると［ ((n-1)/2)^2 ］とおり。
・aが偶数（2,4,････）のとき
n-a-1 = n-3, n-5, ････ (≧1)
足し合わせると［ ((n-2)/2)^2 ］とおり。
∴ 奇数の方が偶数より n/2 ほど多い。
- 449 ：
- ↑ a+b+c＝n を満たす自然数(a,b,c)の組
でした。
- 450 ：
- >>449
n = 3 から 20 まで足し合わせればいいのか
- 451 ：
- >>447
己の生に意味がないことに気づいた。
だから、己の生に意味を与えるために
仕事や結婚をするのでしょう。
- 452 ：
- >>450
k=3 から k=n まで足し合わせれば
a：奇数
Σ[k=3,n] [ ((k-1)/2)^2 ］=［ (n+1)(n-1)(2n-3)/24 ]
a：偶数
Σ[k=3,n] [ ((k-2)/2)^2 ］=［ n(n-2)(2n-5)/24 ]
全 体
Σ[k=3,n] (k-1)(k-2)/2 = Σ[k=3,n] {k(k-1)(k-2) - (k-1)(k-2)(k-3)}/6
= n(n-1)(n-2)/6,
n=20 の場合
a:奇数 615, a:偶数 525, 合計 1140
- 453 ：
- ↓ってどういうこと？
比例関係の場合xとyの比が同じだから一方がa倍になったらもう一方もa倍になるんじゃないの？
693 ツール・ド・名無しさん sage 2020/04/26(日) 19:26:02.18 ID:kTEMn+SY
比例ってy=kxだからxがa倍になったらyもa倍になるのでは？
720 ツール・ド・名無しさん sage 2020/04/26(日) 23:18:32.51 ID:8KMvg+fa
>>693
yがa倍の時xは(a+k)倍やろ
こんだけユニークIDで義務教育からやり直さないといけないやつがいるって日本の未来は暗いな
- 454 ：
- >>452
全部の組合せ
a+b+c = n のとき
(a-1）+（b-1）+（c-1）= n-3,
n-3 を3つの非負整数に分ける。
n-1 個から仕切りを2つ選ぶ。
C(n-1,2) = (n-1)(n-2)/2,
a+b+c ≦ n のとき
a+b+c+d = n+1
(a-1）+（b-1）+（c-1）+（d-1）= n-3,
n-3 を4つの非負整数に分ける。
n個から仕切りを3つ選ぶ.。
C(n,3) = n(n-1)(n-2)/6,
- 455 ：
- >>453
その通りであっている。
例の >>720は意味不明なことを言っているから無視しろ、
そいつの頭の中では別の関数 y = f(x) = (a+k)x の話をしているんだろう…。
y = f(x) = kx
において、 xがa倍になればyもa倍になる。
いわゆる、 f(2x) = 2 f(x) が成立する扱いやすい関数だぁね。
*********************************
一般のxの1次関数
y = f(x) = kx + D
でDがゼロの場合に見かける式ッス。
- 456 ：
- >>455
ありがとう
自分がおかしいのかと思った
- 457 ：
- >>415
A が 2x2行列のとき
A^n = O ⇔ A^2 = O
(略証)
A^n = O,
から
det(A）= 0,
2次のハミルトン・ケーリーから
A^2 = tr(A) A - det(A) E = tr(A) A
∴ O = A^n = {tr(A)}^(n-1) A,
∴ tr(A）= 0,
∴ A^2 = O, (終)
- 458 ：
- ↕ 3次以上では成り立たない。
n≧3 とする。
n次の右シフト行列R（主対角線の右上だけ1, 他は0）
左シフト行列L（主対角線の左下だけ1, 他は0)
に対しては A, A^2, ････, A^(n-1）≠ O, A^n = O.
- 459 ：
- >>433
z ≦ 2x は十分条件で不要、2x < y+z は自明ですね。
三角不等式
y-x < z < x+y,
は成立っていると仮定します。
x - z/2 ≦ x - y/2 ≦ y/2,
z/2 - x ≦（x+y)/2 - x = (y-x)/2 ≦ y/2,
より
|x - z/2| ≦ y/2,
が成り立ちますから、残る問題は
y < x + z/2,
のみです。
・y ≧ x + z/2 の場合
（x, y, z/2）が三角形にならない。→ 不可
・y < x + z/2 の場合
三角不等式
|x - z/2| ≦ y/2 < y < x + z/2,
が成り立ち、無限に（操作）を施すことができる。
(x, y, z) → (x, y, z/2) → (x, y/2, z/2) → (x/2, y/2, z/2) →
答 2|a-b| < c < a+b.
- 460 ：
- >>459
>2x < y+z は自明ですね。
本当だ、気が付かなかった
>z ≦ 2x は十分条件で不要
それは違くない？
(x, y/2, z/2) → (x/2, y/2, z/2)
が成立するには、
z/2 ≦ x
が必要では？
- 461 ：
- >>459
>>460
>2x < y+z は自明ですね。
>
>本当だ、気が付かなかった
あれ、ちょっと待って
等号不成立（2x ≠ y+z）は言える？
- 462 ：
- >>460
(5, 11, 14）→（5, 11, 7）→（5, 11/2, 7）→（5, 11/2, 7/2）→（5, 11/4, 7/2)
の初めの2つは z>2x です。
（1回目/3回目、2回目/4回目で同じ数を半減しています。）
3つ目で z<2x となった後は、ローテーションします。
>>461
たしかに。仰るとおり。正三角形は除外するのかも。
- 463 ：
- >>462
>(5, 11, 14）→（5, 11, 7）→（5, 11/2, 7）→（5, 11/2, 7/2）→（5, 11/4, 7/2)
>の初めの2つは z>2x です。
>（1回目/3回目、2回目/4回目で同じ数を半減しています。）
>3つ目で z<2x となった後は、ローテーションします。
なるほど
この後に、（5, 11/4, 7/2) → (5/2, 11/4, 7/2) となるから、これが（5, 11/2, 7）と相似になるのか
それなら z > 2x の場合も同様に証明できるかな？
>たしかに。仰るとおり。正三角形は除外するのかも。
あ、そうか
正三角形は無理なんだった
2x < y+z
は必要条件みたいだね
- 464 ：
- 1辺の長さが1の正方形ABCDの辺AB,AD上に、それぞれAP=x,AQ=x(0<x<1)となる点P,Qをとる。
正方形から△APQを取り除いた五角形S(五角形PBCDQ)の周上に2点X,Yをとる。
（1）線分XYを直径とする円とSの共有点の個数の最小値はいくつか。
（2）同様に最大値はいくつか。またそれを与えるX,Yの位置を1つ述べよ。
- 465 ：
- 前>>380
>>464
(1)最小値3
∵BDが直径でも外接円はCを通る。
(2)BC上にX,DQ間にYをとり、
x＜(1-x)/2すなわちx＜1/3のとき、
最大値10
x=1/8とすると、
BX=DY=1/8
正方形の中心Oに外接円の中心をあわせると、
外接円の半径rはr=OX=OY
PQの中点をMとすると、
OM＜OX＜OPのとき外接円は正方形と10の交点ができ、
OM=(3/8+1/16)√2
=7√2/16
=0.618718434……
ピタゴラスの定理より、
OP=√{(3/8)^2+(1/2)^2}
=√(9/64+16/64)
=5/8
=0.625
7√2/16＜OX＜5/8
x=1/8=0.125だから、
1/8＜XとなるXとして、
たとえばX=0.133……=2/15を選ぶと、
OX=√{(1/2-2/15)^+(1/2)^2}
=√{(121+225)/900}
=√346/30
=0.620035841……
OM＜OX＜OPに収まる。
- 466 ：
- >>464
円周とSの周の共有点ですかね。(つまり、内部を除く。)
共有点はつねに有限個としていいですか。
- 467 ：
- lim[n→∞]n√(1+1/n)^2-2(1+1/n)cos(π/n)+1
の答えは何になりますか？
教えて下さい
√以下は全て√の中に入ってます
- 468 ：
- >>467
(1+1/n)^2-2(1+1/n)cos(π/n)+1
= 1+2/n +1/n^2 - 2(1+1/n)(1 - π^2/2n^2 + o(1/n^2) ) + 1
= (1+ π^2)/n^2 + o(1/n^2)
n √{...} = √{1+ π^2 + n^2 * o(1/n^2)} → √{1+ π^2} (n→∞)
- 469 ：
- >>468
ありがとうございます
- 470 ：
- 前>>465補足。
>>464(2)の末尾。
∴Xの位置の1つが示された。
Yの位置はOについてXと点対称だから、
DQ間のDから2/15の位置にとればいい。
- 471 ：
- ホモロジーの加法性公理って和が有限個の時は他の公理から導けるんでしょうか？
ご教示おねがいします
- 472 ：
- ホモロジーに公理なんかあったか？
- 473 ：
- >>471
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~tsuboi/UnivLectures/ki2-2008/lecturenote2.pdf
- 474 ：
- >>473
まさにちょうどこの講義ノートを見て、導けるのか思ってと質問したところです
質問してから気づいたのですが当該の問題6.8の主張はそもそも間違っていますよね？
S^1を開集合の和で書いたら成り立たないですし
証明のどこがおかしいのかはまだ理解できていませんが
- 475 ：
- >>471
X∪Yをdisjoint unionとする。
i:H(X,φ)→H(X∪Y,φ)
p':H(X∪Y,φ)→H(X∪Y,Y)
a:H(X,φ)→H(X∪Y,Y)
とする。p'i=aは切除同型だからa^(-1)がとれる。
そこでp=a^(-1)p'とおく。
同様にして
j:H(Y,φ)→H(X∪Y,φ)
q':H(X∪Y,φ)→H(X∪Y,X)
b:H(X,φ)→H(X∪Y,X)
q=b^(-1)q'
とおく。
この時
pi=1x、qj=1y、pj=qi=0
ker q=im i
であるから
H(X∪Y)はH(X)とH(Y)の直和である。
- 476 ：
- >>475
丁寧にありがとうございます、理解できました
- 477 ：
- 東大工学系の院試の問題が100%解ける程度では数学が得意とは言えませんか？
- 478 ：
- どういう集団の中での話なのかで違ってくるだろう
世間一般のレベルで言えば得意と言っていいよ
- 479 ：
- >>477
得意って言っていいと思うよ、
少なくとも受験数学は得意で、
十分に学力は高いと言える。
数学者としての才能については知らん。
そういえば、学者として実績を出す人って
地方の旧帝大が多いよな。
あれくらいの学力の高さが…
もっとも学者に向いているんだろうか…。
- 480 ：
- 基礎的な研究ってそれに対するモチベーションがあることのほうが重要なんだろうね
地頭は旧帝程度でも十分
もちろんもっと賢い人にそのモチベーションがあればもっとすごい業績を上げる可能性はあるだろうけど
- 481 ：
- xy平面の各格子点に人が立っており、時刻0において(0,0)に立っている人（以下単に(0,0)と書く）はCウイルスに感染している。
各時刻n(=1,2,...)において、Cウイルスの感染者に隣接する格子点に立っている人は、確率pでCウイルスに感染する。
（1）時刻2において(1,1)が感染し、時刻3において(1,0)が初めて感染する確率をpで表せ。
（2）時刻3において(1,0)が初めて感染する確率をpで表せ。
（3）各時刻n,n+1,n+2において(n,0)が感染している確率a[n]を、それぞれpとnで表せ。
（4）a,bは非負整数でa≧bとする。時刻aにおいて(b,0)が感染している確率を、pとnで表せ。
（5）a,bは非負整数でn≧a+bである。時刻nにおいて(a,b)が感染している確率を、pとnで表せ。
- 482 ：
- 前>>470
>>481(1)p^2+p^3
(2)2p^3
(3)2p^n+n(n+1)p^(n+2)
- 483 ：
- 関数方程式
f(y'')+f(y')=f(y)
の定数でない解を1つ求めよ。
ここでy=f(x)であり、したがってf(y)=f(f(x))である。
- 484 ：
- ひとつ見つけるだけならf(x)=xとして微分方程式解けばいいだけじゃね
- 485 ：
- f(x)=0
x=t^2-3t+1
とか
- 486 ：
- こんなのが解けたとして、
将来なにのやくに立つのさ？
- 487 ：
- 楽しい、それでいいじゃないか
- 488 ：
- ナブラの導入をやっているのですが、偏微分をやった次の
「Fを、成分が関数であるベクトル値関数F=(Fx,Fy,Fz)として
∇・F=∂Fx/∂x+∂Fy/∂y+∂Fz/∂z
」
という下りがよく分かりません
「成分が関数であるベクトル値関数F」というのはどういうことですか？
- 489 ：2020/05/01
- すいません理解できましたので取り下げます
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