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数論幾何


1 ：2015/11/11 ～ 最終レス ：2020/03/18
類体論、EGA、SGA、エタールコ・ホモロジー、
モチーフ、分岐理論、hodge理論、局所体
など数論幾何のトピックスについて話し合うスレです。

（特に初学者で、周りに相談できる人が少ない人のための、
質問やアドバイスを貰える場として活用しましょう）

※雑談、初歩の代数系の話など、数論幾何を勉強中の人以外の
数論幾何の内容自体と無関係な話題は禁止です

2 ：
エタールコ・ホモロジー

3 ：
エタノールコ・ホーリック

4 ：
>>2
スンマソンm(_ _)m
エタール・コホモロジーの打ち間違いですた

5 ：
クリスタリンコ・(ry

6 ：
７レスで終了

7 ：
俺は史上最強の数学者であり詩人

8 ：
詩人じゃなくてグルのダルマ

9 ：
SGA4の一番最初の部分辺りで
relationに「τ」という記号が出てくるんですが
一切その記号について説明が書いてありません。

誰か教えろ下さい

10 ：
>>9
つブルバキ集合論

11 ：
>>10
お、おおぅ、おおおぉぉぉおおーーーーーん！！！
あざーーす！！！

12 ：
ブルバキ集合論の英訳版を今みたら
一番最初に「τ」の記号が出てきたけど
その意味は　see no. 3, Remark. って書いてあって・・・
肝心の『no. 3』が何の文献を指してるか意味不明orz
□の記号の意味もまた不明・・

http://math.stackexchange.com/questions/177494/what-is-the-tau-symbol-in-the-bourbaki-text
http://mathoverflow.net/questions/14356/bourbakis-epsilon-calculus-notation
ここに同じ質問があるみたいだけど回答がよく分からんorz

おおおーーーーーん

13 ：
http://togetter.com/li/183182
τ_x(R(x)) の「直感的」な意味は R(x) を満す x が存在する場合
その x のどれか。存在しない場合不定の対象。という感じです。

なんだ
これだけの事でいいのか
意味分からなくても文脈で予想できる通りの範囲内やわ

14 ：
>『no. 3』

項番号じゃね？この場合は「(第1章第1節)第3項」

15 ：
>>14
度々ありがとうございますー。
Formative constructions の項ですか
また後で見てみますっ、ありがとうございましたー。

16 ：
岩澤先生「local class field theory」6章2節の
L=K_abの証明のstep3のところで
hence there is a character Χ of U/U'
といきなり出てきますが、指標って沢山の色々の意味もあるし、
理由も含めてよく分かりません（；；）

17 ：
193 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/11/15(日) 11:35:41.32 ID:1O6RtxjV
早く数理研に行きたい。
理科大とかクソすぎて数理研で数論幾何やってる先輩が羨ましい

18 ：
類体論と岩澤理論ってどういう関係なのかな
類体論をやって岩澤理論はあまり知らない、って感じの人も多いのかな

19 ：
理科大がクソなのは事実だぞ。あの傲慢で無能な女教員共は直ちに消えるべき

20 ：
他の理科大生もみんなおもってるんだな

21 ：
理科大に数論幾何やってるやつなんていんの？

22 ：
>>16
単にC^*(Cは複素数体)への準同型ということのような気がするが

23 ：
>>22
ありがとうございます。
なら何故 such that のような指標が存在するんでしょうか

24 ：
理科大から数理の玉川さんのとこに入った人いるよ

25 ：
>>24
その情報を知ってるっているということは
あなたはK田研の関係者ですか？

26 ：
>>25
悪いけどこれ以上は何も言えない

27 ：
正直、何が分からないのかわからない

28 ：
>>27
再度ありがとうございます。
そこまで自明なら存在する証明を２，３行できぼんぬですm(_ _)m

29 ：
「characterのorder」の定義を調べるべき

30 ：
すまん、スレ違いだと思うが、
ナイジェリアの数学者がリーマン予想を解いたという話はどうなったの？

31 ：
そんな話はナイジェリア

32 ：
残念ながら数論幾何が完成していなかった事は明白だ

33 ：
玉川先生についてる元理科大生なら顔と名前は知ってる

34 ：
そんなすれ違いあってたまるか

35 ：
>>29
レス遅れましたがお返事ありがとうございますm(_ _)m
仰る通り言われてみれば確かに
指標の位数が何か分かってませんでした（笑）。
「何が分かってないか」をすぐ分かって下さって
ビックリです。

有限群の指標って奥が深そうで難しそうですけど
巡回群の場合なら（岩澤先生の本のp87）、
指標によって、生成元は1のp^s乗根に写り、
その位数がp^sなら、1の原始p^s乗根に写る、
ってだけっぽいですね。

早速参考文献を探して確認してみます。
有益なご指摘ありがとうございました！

36 ：
なんか、数論幾何を勉強している人間のやりとりにはとても見えないんだがw

37 ：
数論や代数幾何の習得で忙しくて、2年生用代数の単位を落としましたｗ
を地で逝ってるハイパースペシャルスーパーエリートさんでしょ

38 ：
理科大なんだからｗ

39 ：
なら仕方ないな

40 ：
NHK教育を見て48814倍賢く三連休 [転載禁止]©2ch.sc
http://nhk.2ch.sc/test/read.cgi/liveetv/1448009976/

41 ：
俺の役目は理科大志望の高校生に現実を教える事。
これが数学界のみならず社会のための仕事です。協力してくれる方感謝します

42 ：
>>36
局所類体論は数論幾何じゃない(それ以前の話)

43 ：
>>42
代数的整数論のスレがないし
類体論の内容は数論幾何の実質だろ。

逆に言えば数論幾何とは単に「類体論のスキームtheoreticな議論」に
しか過ぎないのだから問題ない。

44 ：
>>43
>類体論の内容は数論幾何の実質
>数論幾何とは単に「類体論のスキームtheoreticな議論」に
しか過ぎない

さすがにそれは、数論幾何の範囲を狭め過ぎだろ

45 ：
>>44
（指し示す範囲の言葉遊びだが）それが全てとは言ってねーよ。
だけどスレ分けしたって過疎るだけだし
類体論は極まるという事がない、とは、とんからりのお言葉だろ。

代数幾何は他スレあるから、曲面論とかはそっちでやりゃいいが
EGAは数論幾何やってりゃいつでも立ち返る機会あるんだから、
こっちにも含めりゃいい

46 ：
>>45
明らかにおかしい

47 ：
＞逆に言えば数論幾何とは単に「類体論のスキームtheoreticな議論」に
＞しか過ぎない

数論幾何は「類体論のスキームtheoreticな議論」に尽きる(それが全て)って言ってるよね

48 ：
>>47
そうだよな。ハッキリ言って「言葉遊び」ではごまかしきれないレベル

ついでに言うと
>類体論は極まるという事がない
仮にそれがその通りだとして、数論幾何の守備範囲を議論するのに何の関係が？

49 ：
それより類対論をスキームにのせて議論する理由はなぜですか？

50 ：
>>47
～と言っても過言ではない、という常識的な文言が単に省略されてるだけだろ。
アスペかよ。

加藤先生は「類体論の憧れ」によって数論幾何を発展させて来た訳で、
大道具そのものが本質じゃない。
そもそも非可換類体論とは何かはまだ確定していない訳で、
それは数論全てをその思想の傘下に置く事が期待されてるのだから。

>>48
結論連呼しか出来ない、単純否定しか出来ない、文句しか言えない、
自分の意見を、根拠を言う事が出来ないバカはもう黙りましょう。

因みに「言葉遊び」とは類体論とは何かに掛かってる話だぞ。
広い意味で言えば保型形式もみんな類体論の一種の拡張とみなせる。
何を持ってして類体論の文脈下であるかは言葉遊びでしかない。
あと何の関係が、ってそれは>>47←へのレスの通り。

51 ：
>>49
>それより類対論をスキームにのせて議論する理由はなぜですか？

とても深い質問で
俺も詳しく知らないから他の人に答えて貰った方がいいけど、
数論の発展の流れとして

有理数体のことを知るためには
代数体をみんな相手にした方がいい。

という風にまず認識され、その後数論幾何の発展によって

有理数体のことを知るためには
代数体上の代数多様体（スキーム）をみんな相手にした方がいい。

という風に現代的に深化したらしい。
あとガロア表現の構成する上で代数幾何的な方法が
現在知られている唯一の方法である場合がある
という事情もあるらしい。

52 ：
>>50
アスペ乙

53 ：
>>49
「スキームにのせて議論する」の意味が分からないけど

代数体又はその整数環をスキームと思って議論すると言う意味なら
例えば高次元類体論などへの拡張を見込むと
そのような定式化をした方が見通しがよくなるのは間違いないし

また、スキームを道具として使うという意味なら
例えば代数体を相手にするにしても非可換類体論まで考えるときには
モジュラ―曲線などの理論(最早スキーム論は前提)が自然に現れるという事情があるかと


それはそれとして>>51が類体論をどんなものと認識しているのかもう少し詳しく聞きたいな

54 ：
加藤和也の受け売りかよ

55 ：
捨てゼリフｶｺﾜﾙｲ

56 ：
>>55
どこが捨て台詞なの？

57 ：
スミマセン質問です(・・;)

EGAⅣ-4 21.6.1(p271)の
Cycle 1-codimensionnel associé à un diviseur
の項で prescheme X が noether なら
3（X）がZ^(X)と同じになる事の証明は
EGAでは省略されているのでしょうか？該当する証明箇所はありますか？

localement fini の定義もEGAでは既知としてるみたいで、
diviseurの時にどういう意味を表してるのか分かりづらいです(ﾉ△･｡)

58 ：
アクサンテギュが文字化けしちゃったので訂正(・・;)
◯ Cycle 1-codimensionnel associe a un diviseur

59 ：
ある開被覆が存在して、その各開集合に制限したら有限集合、で問題ないと思うが>localement fini

そうすると、3（X）がZ^(X)と同じになる事の証明はXのコンパクト性から明らかになる

合ってるかどうかは知らん

60 ：
>>59
ヒー、早速回答ありがとうございます。でも？？よく分かりません

localement fini とは Zをcycleとすると
任意のXの点pにおいて、
pを含み、muit_x(Z)≠0となる{x}^(-)が有限個
（或いは、pの十分小さい近傍Uと交わるn_x≠0なる{x}^(-)が有限個）
という意味でしょうか。EGAが定義を省いてるのは不自然な感じを受けますし

>Xのコンパクト性から明らかになる

これがその後noether性とどう関わるか自明そうに見えないですし
EGAは証明を省いてるでしょうか？(・・;)

61 ：
sga４の原本読めません。たすけて　

62 ：
{x}^(-)ではなく単に位相空間Xの点xとして考える方がよい

あと、noetherスキームの定義も確認すべき

63 ：
なんか数論幾何って、優秀な学生しかやらない(できない)ものかと思っていたんだが勘違いだったか

64 ：
>>61
たすけてあげます
sgaとかtopoiとか数論幾何はすっぱり諦めて
表現論とか非線形微分方程式とか数理物理の勉強を始めなさい

65 ：
>>64
表現論や数理物理はいうほど数論幾何や代数幾何とかけ離れてない。

66 ：
>>65
でも表現論や数理物理や非線形数学（のある部分）はsgaやegaを読まなくても出来ます
俺が良い例

67 ：
可積分系じゃなくて非線形微分方程式とか非線形数学とか言うのはなんか癖があるなあ・・・

68 ：
代数的トポロジーから入る手も割とお勧め
最近は自然に数論幾何とかの共同研究者が出来ていろいろ教えてくれる例も少なくない

69 ：
>>62
質問の中身に答える気がない（答えられない）なら
いい加減なレスしてくれてやるなよ
却って邪魔

70 ：
>>69
R

71 ：
何で荒れてんだｗ

72 ：
質問に答えてくれる人がいないと
やっぱ盛り上がらないね
チーン

73 ：
馬鹿ばっかしで見てられんわ。焼いたりはセンけどサ。

川＆柳

74 ：
>>73
増田さんお久しぶりです。

75 ：
▲＆▼

76 ：
頭の悪い奴が跋扈せえへん事を願ってるわ。糞菌愚とかアホ蕎麦とかナ。

▲＆▼

77 ：
定微分方程式が専門の奴にdisられている

78 ：
>>60
局所有限の意味は、松島先生の本などに出てくる普通の意味でいい。
点xの閉包からなる閉被覆に対しては局所有限を適用して、
schemeXの各点pの（それら閉被覆と有限個しか交わらない）
十分小さい近傍からなる開被覆に対してはXのcompact性を適用すればいい。

（そうすると点xの閉包は、必ずそれら十分小さい開近傍のどれか
一つと交わり、それら開近傍は有限個で、かつその各開近傍は
有限個の閉包としか交われないので、合計が有限個になる）

位相空間のちょっとした事に気づくかどうかだけの話なので
君がEGAを読む力がない訳でもなければ君がアホな訳でもない。

79 ：
>>78
レス遅れましたが回答して頂き
本当にありがとうございます。
完全理解しました。これからも頑張ります。
>>59>>62さんも適切なご指摘ありがとうございます。

80 ：
SGA4って丁寧過ぎるくらいに詳しく書いてるって評判だけど
最初の方見たら証明の行数めっちゃ少なくね

81 ：
Verdierさん，面倒だったか，つらかったんじゃないでしょうか
後で導来圏をちゃんと整理しなかったことも，G先生に叱られてるようだし
２冊目の後半からはArtin,Deligneも参加してわりと普通の数学になってるようだし

82 ：
そういやSGA4-1の著者であるVerdierって
グロたんと共に導来圏の立役者だったな。

今でこそ導来圏は双有理幾何やらミラー対称性、有限次元代数の表現などで
有名だが、本来はエタール・コホモロジーの記述に本質的な
役割を果たしたんだよね

83 ：
>>82
日本人なら佐藤幹夫と柏原正樹を挙げろ

84 ：
すみません質問です。

Z_pの指標群がQ_p/Z_pに同型である事の
証明が載ってる参考文献を教えて下さい。

85 ：
「任意のZ_pからC^*への連続準同型に対し、ある自然数nが存在して、p^nZ_pの像が{1}になる」
ことさえ示せばいいんだよね
その事実はWeilのBasic Number Theoryのどっかにあったはず

86 ：
これZ_p　＝　proj lim Z/(Z/p^n) （位相群として）より自明、
よって元の命題も自明。
コンパクト群の指標群は離散群である、
というポントリャーギンの定理の例な。

87 ：
すまん、誤植
proj lim Z/p^n

88 ：
>>85
自己レス。
Weilの本には見つかんなかった(´・ω・｀)
別に難しい訳じゃないから、文献探すより証明を書いた方が早そう(´・ω・｀)

fをZ_pからC^*への連続準同型とする。
Uを実部が正の複素数全体からなるC^*の開集合とすると、
連続性からあるnに対しf(p^nZ_p)はUに含まれるが
p^nZ_pが部分群なのでf(p^nZ_p)もC^*の部分群でなければならない。
しかしUに含まれるC^*の部分群は{1}だけなのでf(p^nZ_p)={1}となる。


まぁもちろん、ポントリャーギン双対定理を認めればもっと簡単だけど。

89 ：
>>85 >>88
レスありがとうございます。
そのweilの本は、類体論を体論よりも環論に基礎をおいて記述してると
聞いたことがあり、いつか読みたいと思っていたので
そこに載ってないのは残念です。

証明もつけて下さりありがとうございます。
（証明はなんとなく分かりましたがその結論から
どうして質問の命題が言えるのかよく分かってませんが（笑））
私は代数的整数論をすっ飛ばして（局所）類体論の本を
読んでいるので、代数的整数論は必要に応じて拾い読み
出来たらいいなと思っていましたので、文献を通して
その周辺も含めて理解したいので、
質問の内容が記述されている参考文献をまた自分でも探して
みます。回答有り難うございました。

90 ：
>>86
レスありがとうございます。
位相群も勉強したいのですが、微分幾何やリー群の本の
最初にチョロっと書いてある程度の位相群の話では足りませんし、
位相群の本そのものだと分厚くて参照文献として扱いにくいし、
今知りたい事を適時探すのはどうも容易ではなさそうです。

数論の人って位相群は何の本で勉強してるのか気になります（笑）。
ですが風景が見えて来ましたので参考になりました。
回答ありがとうございます。

91 ：
EGAを眺めてると心が落ち着く

92 ：
指数定理のスキーム版ってないんですか？

93 ：
R・R型定理

94 ：
リーマン・ロッホ・グロタンディークの定理

95 ：
族の指数定理

96 ：
>>91
あれだけ分厚いのに
まだ丁寧な証明省いてる所あるからなー。
院生にギャップを埋めさせてそれを校正して注釈として加えたらいいのに。

97 ：
SGA4の最初の10ページほど（exposeⅠの0～3）
に目を通したんですが、明らかにself-containedになって
ないですよね。
圏論やhomology代数の初歩は知っていますが、
それだけでは読めない。
下準備として事前に読んでおくべき教科書とか
存在するのでしょうか

あと例えばlemme2.8.1の(2)などは
どのように証明したらいいのでしょうか？
（definition2.1くらいまでならかろうじて
理解出来ました）

98 ：
基本的な質問ですがweil divisorがわかりません
ハーツホーン原書p130
ＹをスキームXのprime divisorとする
Yのgeneric pointをpとすると
O_pXはXのfunction fieldのdiscrete valuation ringとなるとあります
これはなぜですか？

99 ：
>>98
ハーツホーンの質問は
代数幾何学のスレでお願いします
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1422664947/l50

因みにその質問ですが、その局所環がkrull次元1の正則環である事は
p130の定義そのもので、krull次元1の正則環がdiscrete valuation ring
である事はp40のthm.6.2Aから言えると思います。

100 ：
>>99
ありがとうございます


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