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現代数学の系譜 カントル 超限集合論
現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む37
なぜ右翼と左翼は争っているのか
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む52
【あさひ】高校数学の質問スレPart397
奇数の完全数の存在に関する証明5
人工知能・機械学習のスレッド＠数学板
社会人のお前らに聞きたい
ポエムはここに書いてね 2
点の長さは0である。しかし点の集まりである線には長さが存在する。
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
- 1 ：2017/12/27 ～ 最終レス ：2018/01/21
- “現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。）
- 2 ：
- 過去スレ （そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます）
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む
48 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1513201859/
47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/
46 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1510442940/
45 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1508931882/
44 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1506848694/
43 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1506152332/ （だれかが立ててスレ。私は行きません。このスレに不満な人は、そちらへ）
42 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1505609511/
41 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1504332595/
40 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1503706544/
（40以降現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む)
（39以前 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む)
39 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1503063850/ （別名 数学セミナー時枝記事の墓）
38 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1502430243/
37 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1501561433/
36 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1499815260/
35 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1497848835/
(35以降 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
34以前 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む)
34 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1496568298/
33 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1495860664/
32 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1495369406/
31 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1494038985/
30 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1492606081/
29 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1484442695/
28 (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ) http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1483314290/
27 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1483075581/
26 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1480758460/
以下次へ
- 3 ：
- >>2つづき
25 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1477804000/
24 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1475822875/
23 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1474158471/
22 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1471085771/
21 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1468584649/
25 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1477804000/
20 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1466279209/
19 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1462577773/
18 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1452860378/
17 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1448673805/
16 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1444562562/
15 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1439642249/
14 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1434753250/
13 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1428205549/
12 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1423957563/
11 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1420001500/
10 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1411454303/
9 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1408235017/
8 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1364681707/
7 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1349469460/
6 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1342356874/
5 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1338016432/
4 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1335598642/ スレタイに4が抜けてますが(4)です
3 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1334319436/
2 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1331903075/
1 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1328016756/
- 4 ：
- 以下、暫くテンプレ貼りを続けます。
- 5 ：
- 大学新入生もいると思うが、間違っても２ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな
再生は無理だろう
そもそも、２ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない
アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない
複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを
- 6 ：
- 個人的には、下記は、”知恵袋の人>>> ２ＣＨ（旧２ＣＨ）の人”と思うよ（＾＾
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1484442695/494
494 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/17
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部～修士
ライター：amane_ruriさん（最終更新日時:2012/8/6）
ナイス！：5閲覧数：11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）
2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈ*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈ*)の人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) (注*)：2ｃｈは、現2ｃｈ)
- 7 ：
- 過去スレより
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
有名な話で、有限単純群の分類
”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか
おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。
- 8 ：
- >>7 補足
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1492606081/352
352 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/29(土)
みんな、何に価値をおいているか、それぞれだろうが・・
個人的には、数学板で一番価値を置いているのは、確かな情報 つまり 根拠の明確な情報 つまり コピペ
わけのわからん名無しさん（素数さん）のカキコを真に受けるとか、価値をおく人は少ないだろう
きちんと、大学教員レベルの証明があればともかく、匿名板でそれはない（名無しカキコは基本価値なし）
- 9 ：
- >>8 補足
＜数学ディベート＞について
過去スレより
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1494038985/50
50 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/06
どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾；
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1494038985/189-190
189 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
いやはや、（文系） High level people たち（ ID:jEMrGWmk さん含め）の、数学ディベートもどきは面白いですね（＾＾；
”手強い？”とは・・、まさに、ディベートですね
私ら、理系の出典（URL)とコピペベース、ロジック（論証）＆証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル（２ＣＨスタイル？）とは、明白に違いますね
私ら、（文系） High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ（＾＾；
190 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから
典拠もなしによく議論しますね～。よく分かりましたよ（＾＾；
私とは、議論がかみ合わないわけだ・・
”他サイトからのコピペでスレを埋め尽くす行為” なんて非難されましたけどね～（＾＾；
ディベートに勝ちたいからそういう発言なんですね～。典拠もなしで、出した典拠も読まない議論か・・。よく分かりましたよ（＾＾；
- 10 ：
- 過去スレより
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1497848835/638
638 名前：現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/07/11(火) 08:40:28.58 ID:+FRiTcES
>>630
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>まあ、おっちゃんが、上記を理解したら、時枝は終わりにしよう
>マジメに時枝問題のことでスレ主に付き合う気はなく、
>もはやそういうことをする価値もない。
>スレ主自身の主張や考え方が大きく間違っていることを私のせいにするべきではない。
いやいや、おっちゃんよりレベルの低い人と議論するつもりはないんだよ～（＾＾
がまあ、おっちゃんのいう「価値もない」にも一理ある
ということで、皆さん悪いが、時枝は、一時棚上げだ。時々やろう
下記のパロディーで言えば、「数学雑談&ガロア理論 ～おっちゃんとボクと、時々、（時枝 ＆ ￥さん）～」かな（＾＾
まあ、話題を散らしながら、ゆっくりやりましょう（＾＾
おっちゃん！ いま気になっていることを、好きに書いてくれ！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%BF%E3%83%AF%E3%83%BC_%E3%80%9C%E3%82%AA%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%81%A8%E3%83%9C%E3%82%AF%E3%81%A8%E3%80%81%E6%99%82%E3%80%85%E3%80%81%E3%82%AA%E3%83%88%E3%83%B3%E3%80%9C
東京タワー ～オカンとボクと、時々、オトン～ - Wikipedia
(抜粋)
『東京タワー ～オカンとボクと、時々、オトン～』（とうきょうタワー オカンとボクと、ときどき、オトン）は、リリー・フランキーの実体験を基にした長編小説である。
2006年と2007年にテレビドラマ化（単発ドラマと連続ドラマ）、2007年に映画化、舞台化されている。
2005年6月29日、扶桑社より発売された[1]。装丁もリリー本人。初版は3万部だった。2006年1月には100万部を突破。2006年10月31日には200万部（扶桑社発表）を越すベストセラーとなった。
久世光彦が「泣いてしまった…。これは、ひらかなで書かれた聖書である」と評価した。
(引用終り)
- 11 ：
- 「現代数学のもとになった物理工学」の解題：
言わずもがなですが、数学の発展の大きな原動力は、物理です。数学の発展の大きな原動力は、工学です。
別に説明するほどのこともないですが。
古代の幾何学の背景に、実際の土地測量や巨大建築からの要請が原動力にあったことは間違いないでしょう。
ニュートン以来の解析や数論も同様。
で、物理学の背景に、工学に直結する日常のいろいろな事象がある。戦争というのも、大きな要因ではあります。仏エコールポリテクニークなども、ナポレオン戦争遂行のための工学校です。
（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%AF%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%82%AF エコール・ポリテクニーク 1804年にナポレオン・ボナパルトによって軍学校とされる）
工学が物理の進展を促した面は多々あります。有名なプランクの熱と光の放射の理論を研究した背景に、当時の工学的課題であった、高温物体を光学測定により正確な温度を知るため（今の光温度計）であったと言われています。
つまり、工学的課題「高温物体を光学測定により正確な温度を知るための光温度計」→物理的課題「高温物体の光放射理論構築」→プランクの量子仮説→量子力学の誕生→作用素環→非可換幾何（現代数学）ということなのです。
コンヌ先生もおっしゃっているそうですが、物理や工学の課題は、いままでもそうですが、現代数学のエネルギー源なのです。
京大数学科がだめになったのは、「20世紀の古い数学に閉じこもってしまった」というようなことがあるのではないでしょうか？ 新しい数学へのチャレンジが無い？
（参考 過去スレ39 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1503063850/476 (抜粋)「自己顕示欲だけが目的で人生を送り、ほんで他人の邪魔ばっかししてるから筑波とか京大みたいになってアカン様になんのや。」 ）
- 12 ：
- 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）まとめについては
スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/11-67
ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です！ ＼（＾＾）／
テンプレ以上です。
- 13 ：
- 前スレ >>621
＞貴方の証明を斜め読みしたが、稠密で無い場合、つまり、どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提でしか、
＞証明していないように見えるが、どう？
息をするように間違えるゴミクズ。
斜め読みしかしてないからそういう間違いに陥るのである。
例の定理の仮定は「 R－B_f は第一類集合である 」というものである。
もちろん、例の定理の証明は この仮定のもとで進められる。
となれば、お前の今回の発言は次のような意味になってしまう。
「 R－B_f は第一類集合であるという仮定のもとで証明が進められているが、
この仮定では どこかにBfを満たす区間(a, b)が取れる前提になってしまうぞ」
もちろん、お前のこの発言は間違っている。なぜなら、第一類集合 A であって、
A が R の中に稠密に分布しているような例が存在するからだ。
- 14 ：
- 前スレ>>822
＞だが、定理の前提の関数fは自由度が高いので（不連続も可だし）、あなたの定理でいう区間(a, b)に、”反例関数”のx＝0の近傍を切り取って来て、
＞貼り付ければ、区間(a, b)はリプシッツ連続でなくなるよ。（この貼付操作は、全ての区間に適用できるよ）
息をするように間違えるゴミクズ。一体どうやって張り付けるつもりだね？
もし張り付けによって反例を作りたいのなら、x＝0 の近傍が「離散的に分布する」ような貼り付けでは意味が無いんだぞ？
なぜなら、それ以外の開区間を取れば、そこではリプシッツ連続になるからだ。従って、張り付けによって反例を作りたいのなら、
x＝0 の近傍が「 R の中に稠密に分布する」ような貼り付けを考えなければならないんだぞ？
では、一例として、関数 f(x) を有理数 p だけ平行移動した f(x＋p) という関数を考え、これらを単純に足し算した
g(x) ＝ Σ[p∈Q] f(x＋p)
という関数を考えてみよう。この場合、"x＝0 の近傍" の挙動をする点が R の中に稠密に分布するように見えるが、
まず大前提として、上記のように定義した g は「ちゃんと各点で収束しているのか？」という問題が生じる。
もし収束してないなら、この g はそもそも well-defined でないことになるので失敗である。また、
仮に収束しているのだとしても、今度は
「 R－B_g は第一類集合になっているのか？」
という新たな問題が生じる。なぜなら、仮に収束するのだとして、その収束は、直観的には
「 "x＝0 の近傍" が少しずつズレた関数 f(x＋p) の値がひたすら打ち消し合ってギリギリ収束する」
というものであるため、当初考えていた「 x＝0 の近傍 」は、g のグラフにおいては影も形もなくなってしまい、
もはや g(x) がどの点で Ag(x)＜＋∞ や Ag(x)＝＋∞ を満たすのかが全く分からなくなってしまうからだ。
最悪の場合、「むしろ g のグラフは物凄くキレイな形になる」という可能性すらあり得るｗ
[続く]
- 15 ：
- 削除依頼を出しました
- 16 ：
- [続き]
そして、R－B_g が第一類集合になってないなら、そもそも例の定理の適用範囲外になるので、反例の構成に失敗する。
また、R－B_g が第一類集合になっているだけでもダメで、
Ag(x)＝＋∞ が成り立つ点が R の中に稠密に存在するようにしなければ反例にならない。
しかし、既に述べたように、当初考えていた「 x＝0 の近傍 」は、g のグラフにおいては影も形もなくなってしまい、
もはや g(x) がどの点で Ag(x)＜＋∞ や Ag(x)＝＋∞ を満たすのかが全く分からなくなってしまうので、
そもそもの話として、
「 Ag(x)＝＋∞ が成り立つ点が R の中に稠密に存在するようにする」
という芸当自体が極めて困難な作業になる。
お前は軽々しく「貼り付け」とか言っているが、そんなに簡単な話じゃないんだよ。
もし「貼り付け」によって反例が構成できると考えているなら、
具体的な貼り付けの例を厳密に構成して、このスレに書いてみろよ。
絶対に反例になってないからｗ
- 17 ：
- ガロアのスレ主は狂ってるのか…
- 18 ：
- 痴呆老人です
- 19 ：
- >>13
あなたは、力があるね（＾＾
だが、なにか、第一類集合と書けば、それが免罪符になっているように錯覚していないか？
第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
場合分けが必要だろう？
補集合R-Bfが、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は(a; b) 上でリプシッツ連続である”を導くのは、なんか変
それこそ、循環論法では？
- 20 ：
- >>14-16
例えば、補題1.5
”∀y, z ∈ R [x － 1/M < y < x < z < x +1/M → ｜f(z) － f(y)｜ <= N(z － y)] が成り立つ”
で、あなたの反例関数を考えるなら、上記は成り立たないんじゃない？
あなたの関数に上記を適用してみて
- 21 ：
- 例の定理を仮定すれば例の定理は自明である
スレ主
- 22 ：
- >>19
数学の証明の構成を理解していればそこに書いたようなことは書かないでしょうね
- 23 ：
- おっちゃんです。
>>23
>第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
>場合分けが必要だろう？
場合分けをするのは証明においてそれをしたことで結論を導けるときで、
背理法の枠組みの証明で場合分けをするには場合分けの議論のどこかで
R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆出来る
という仮定の条件を完全に使い切らなければいけない。
R－B_f は第一類集合と仮定されていて、第一類集合にはR上で稠密なときと稠密でないときとがあるので、
場合分けをして定理を示すには、
R－B_f はR上で稠密な第一類集合という仮定をして、fが或る開区間の上でリプシッツ連続なことを示し、
その上、R－B_f はR上で稠密ではない第一類集合という仮定をして、fが或る開区間の上でリプシッツ連続なことを示さなければいけなくなる。
1つの定理を示すにあたり、結論が同じのダブル定理を示すことになる。
- 24 ：
- >>19
>>23は>>23ではなく>>19(スレ主)宛て。
- 25 ：
- >>20
成り立つだろバカタレ。その補題は straddle lemma と同種の定理だと言ってるだろうが。
y と z が点 x を「跨いでいる」ことが重要なんだよ。
http://www.math.nus.edu.sg/~graeme/Analysis/Straddle_Lemma.html
このリンク先でも見てみろ。x^{3/2}sin(1/x) ではなく x^2sin(1/x) を考えているが、構造は全く同じだ。
原点を跨いでいる場合、グラフの見た目からも明らかに傾きが有界に収まってるだろ。
「跨いでいたら N の値が有界になる」と言ってるのが補題1.5であり、sttradle lemma なんだよ。
単にリプシッツ連続性を考えるときは、跨いでない場合も考えなくてはいけなくて、
それだと「 N 」の値が有界に収まるとは限らなくなるんだよ。
だから例の関数は原点の近傍でリプシッツ連続に「ならない」わけ。
それでも、y と z が原点を跨いでいるときは、straddle lemma と同じ理由によって、有界に収まるわけ。
いい加減にしろよゴミクズ。
straddle lemma で検索すれば一番上に上記のリンク先が出てくるのに、お前はその程度も調べてないのかよ。
お得意のコピペはどこに行ったんだよ。本当に流し読みしかしてなくて、何かを調べる気も起きなかったってことだろ？
そういうのは問題外なんだよ。数学以前に、一般論として、
「流し読みしかしてないけど、ここはヘンだと思う」
なんてのは門前払いなんだよ。「流し読みしかしてないお前が100％悪い。きちんと読みこんで来い」
という話にしかならないんだよ。たった2ページの証明に、なにを屁理屈を捏ねていつまでも逃げようとしているのだ。
- 26 ：
- >>19
＞補集合R-Bfが、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は(a; b) 上でリプシッツ連続である”を導くのは、なんか変
キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを
示すことであって、最終的に Q が出てくるなら、途中の場合分けで "何が起きていても"、どこにもヘンなことは無い。
たとえば、「関数 f：R → R が 点 x で微分可能なら、f は点 x で連続である」という当たり前の定理が存在するが、
これは今となっては当たり前なだけであって、本来は厳密な証明が必要である。そこで、全てを忘れて頭を真っ白にして、
「 f が点 x で微分可能であっても、果たして本当に点 x で連続なのかは分からない」
という立場で考えることにする。ゆえに、我々がここで証明すべきは、微分可能という条件を仮定に置いて、そこから
「連続である」という条件を導くことである。ここで、２つのケースに場合分けすることで、f が点 x で連続であることを
導くことにする。より具体的には、次のような場合分けを行う。
ケース１： f が点 x で連続である場合を考え、f が点 x で連続であることを導く。
ケース２： f が点 x で連続でない場合を考え、f が点 x で連続であることを導く。
すると、お前の論法によれば、
「ケース２では、f が点 x で連続でない場合を仮定して置きながら、結論で "f は点 x で連続" を導くのは、なんか変」
と言っていることになる。 すると、お前の論法によれば、「最初から点 x で連続の場合しか考慮してない」と言っていることになる。
[続く]
- 27 ：
- [続き]
しかし、f が点 x で連続であることの "実際の証明" は、ここでは全く書いてないことに注意せよ。
従って、お前が実際に言っていることは、
「如何なる証明を考えようとも、ケース１,２ による場合分けをスレ主の方から改めて持ち出すことによって、
ケース２がなんか変なので、その証明は最初から "点xで連続の場合" しか考慮してないことが露呈する」
と言っていることになる。むろん、このような主張は論理が滅茶苦茶で問題外である。
そして、この滅茶苦茶な論法は、「 P → Q 」の形をした如何なる定理にも適用可能である。
以下、P と Q は何らかの命題であり、「 P → Q 」という形の命題が真であることが証明済みであるとする。
すると、スレ主の滅茶苦茶な言い分によれば、次のように言えてしまう。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示したい。以下のように場合分けして示す。
ケース１：Q が成り立つ場合に、Q が成り立つことを示す。
ケース２：Q が成り立たない場合に、Q が成り立つことを示す。
しかし、ケース２では、Q が成り立たない場合を仮定しておきながら、結論で「Qが成り立つ」を導くのは、なんか変である。
よって、P→Q の如何なる証明を持ち出そうとも、その証明は「最初から Q が成り立つ場合しか考慮してない」ことが露呈する。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
このように、お前の滅茶苦茶な論法を使えば、「 P → Q 」の形をした命題の如何なる証明も、
ケース１,２による場合分けを持ち出すことによって、「最初から Q の場合しか考慮してない」と
批判することが可能になってしまう。すなわち、お前にとっては、「 P → Q 」の形をした如何なる命題も、
全く受け入れられない命題となってしまう。
実際には、お前の頭がいかにポンコツであるかが露呈しているだけである。
[続く]
- 28 ：
- [続き]
では、ケース１,２を持ち出しながら「 P → Q 」を実際に証明する場合には、どういう形で証明が進むのかを以下で見ていく。
ここでは、冒頭で挙げた「微分可能なら、その点で連続」という命題について考える。証明は３通り用意した。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
証明その１：
f は点 x で微分可能とする。ケース１,２に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。先にケース２から見ていく。
ケース２： f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)－f(x))/(y―x) ＝ f'(x) が存在するのだったから、
lim[y→x](f(y)－f(x)) ＝ lim[y→x](f(y)－f(x))/(y－x) * (y－x) ＝ f'(x) * 0 ＝ 0 となる。
すなわち、lim[y→x] f(y)＝f(x) となる。これは、f が点 x で連続でないという仮定に矛盾する。
よって、このケースは起こらないことが判明した。
よって、ケース１のみを考えればよい。すなわち、「 f は点 x で連続」の場合のみを考えればよい。
しかし、これはまさに導きたい条件そのものであった。よって、題意が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
上記の証明では、ケース２が起こらないことを「きちんと証明コストをかけて判明させている」ところに、
自明でないポイントが存在する。おそらくスレ主は、論点を先取りして定理そのものを無意識のうちに適用してしまったがゆえに、
「全く証明コストをかけずとも、ケース２が実際には起こらないことが最初から分かっているのだから、
この証明は最初からケース１だけを考えているのと同じ(もしくは、この定理は証明の必要がなく、自明な定理である)」
といったバカげた勘違いに陥っているのだと推測される。もちろん、定理そのものを適用してしまったら、
「全く証明コストをかけなくてもケース２が起こらないことが最初から分かる」のは当たり前の話である。
しかし、それでは循環論法なのである。スレ主の頭がいかにポンコツであるかが露呈しているだけである。
[続く]
- 29 ：
- [続き]
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
証明その２：
f は点 x で微分可能とする。ケース１,２に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。
ケース１： f は点 x で連続であると仮定する。よって、f は点 x で連続である。
ケース２： f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)－f(x))/(y―x) ＝ f'(x) が存在するのだったから、
lim[y→x](f(y)－f(x)) ＝ lim[y→x](f(y)－f(x))/(y－x) * (y－x) ＝ f'(x) * 0 ＝ 0 となる。
すなわち、lim[y→x] f(y)＝f(x) となる。よって、f は点 x で連続である。これは、
f が点 x で連続でないという仮定に矛盾する。矛盾した状態からはどんな条件も導けるので、
特に、「 f は点 x で連続である」という条件が導ける。
よって、いずれのケースにおいても、f は点 x で連続であることが言えた。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
上記の証明は、
――――――――――――――――――――――――――――
「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、
「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを示すことだけである
――――――――――――――――――――――――――――
という原則に立ち返った証明である。ただし、各ケースの最中で矛盾が起きた場合には、
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、特に Q 自体を帰結できる」
という論法を用いて、「このケースでも Q が導ける」という捉え方をしている。
スレ主が「なんかヘン」と言っていた感覚は、実際にはこのような論法で解消可能なのである。
[続く]
- 30 ：
- [続き]
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
証明その３：
f は点 x で微分可能とする。ケース１,２に場合分けすることで、f が点 x で連続であることを導く。
ケース１： f は点 x で連続であると仮定する。よって、f は点 x で連続である。
ケース２： f は点 x で連続でないと仮定する。一方で、lim[y→x](f(y)－f(x))/(y―x) ＝ f'(x) が存在するのだったから、
lim[y→x](f(y)－f(x)) ＝ lim[y→x](f(y)－f(x))/(y－x) * (y－x) ＝ f'(x) * 0 ＝ 0 となる。
すなわち、lim[y→x] f(y)＝f(x) となる。よって、f は点 x で連続である。
よって、いずれのケースにおいても、f は点 x で連続であることが言えた。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
上記の証明は、本質的には「その２」と全く同じであり、
――――――――――――――――――――――――――――
「 P → Q 」という形の命題を証明するのに必要なのは、
「 P を仮定すれば Q が導ける」ことを示すことだけである
――――――――――――――――――――――――――――
という原則に立ち返った証明である。ケース２では やはり矛盾が起きているが、もはや
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、～～～」
といった言い回しすらない。それもそもはず、その言い回しをするより前に、示したかった条件「 f は点 x で連続である 」が
導けているからだ。上記の原則に立ち返った場合、「 Q 」が導けた時点で、それ以上何も言う必要がないので、
「矛盾した状態からは何でも帰結できるので、～～～」という言い回しすらしていないのが、この証明である。
このような様々な理由により、スレ主の批判は全く批判になってないのである。
- 31 ：
- このスレに追いつきたくて教科書（宮島静雄微積分）を読み始めました
早速つまづいてしまいました‥（泣）
すみませんが、次の質問についてヒントをいただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。
あ、ガロア理論の頂を踏む、も今はお休みしています（泣）
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12183928827
- 32 ：
- >>31
- 33 ：
- [1]リーマン予想を測度論で解決する方法
[2]明示公式が意味を持つために必要なリーマンのゼータ関数の非自明零点が可算個であることの証明
[1]と[2],それぞれに興味ある人は、こちらを参照
https://mobile.twitter.com/i/moments/938713348601819136
コレをベースに議論しましょう！！
- 34 ：
- >>31
間違いを指摘するのは基本とても面倒です
あと例は
f(x)=x^2
と
A={x|x≧0}
B={x|x≦0}
でどうでしょうか
- 35 ：
- >>34
やはり間違いが存在するんですね、もし哀れな子羊を助けてやろうと気が向くようでしたら、よろしくお願いいたします。
私もその例を考えていました
なわち f(A)∩ f(B) ⊂ f(A∩B)が成立しない反例は思いつきました。
すなわち、
A={x|x∈Z, x ≧0} = { 0, 1, 2, 3,‥}
B={x|x∈Z, x < 0} = { -1, -2, -3, ‥}
写像 f: x -> x^2 とする
このとき、f(A)∩f(B) = {1, 4, 9, 16, ‥} である
一方A∩B は明らかに空集合
ゆえにf(A∩B)=Φ
以上より f(A)∩ f(B) ⊂ f(A∩B) ではない反例が存在する
- 36 ：
- >>35
間違いがあるかどうかを指摘するのも基本とても面倒です
- 37 ：
- fとf^-1で非対称なのはfが写像だからです
f(x)の値が複数になるのを許せばf^-1でも等式になりません
f(x)=±√x
でABは前のでどうでしょう
- 38 ：
- >>23-24
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>場合分けをするのは証明においてそれをしたことで結論を導けるときで、
結論が分かれるときも、場合分けすべきだろうね
１）稠密でない場合は、どこかにリプシッツ連続な区間（a,b）がとれる
２）稠密である場合は、仮定を満たす関数は存在しない（空集合）
のようにね（＾＾
- 39 ：
- >>25
沢山のレスがありがとう
年末は忙しいので、ゆっくり読む暇が無い
だが、あなたのレスはレベルが高いね
助かるよ
勉強になるな～
貴方は力があるね～
だが、あなたくらいレベルの高い友達が・・近くにいないんだね
それが、残念だね
- 40 ：
- >>30
沢山のレスがありがとう
まあ、ゆっくりやろう
まだ、疑問に思っているのは
下記のDifferentiability of the Ruler Functionの記述と貴方の定理との整合性だ
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
(抜粋)
The ruler function f is defined by f(x) = 0 if x is
irrational, f(0) = 1, and f(x) = 1/q if x = p/q
where p and q are relatively prime integers with q > 0.
Using ruler-like functions that "damp-out" quicker
than any power of f gives behavior that one would
expect from the above.
Let w:Z+ --> Z+ be an increasing function that
eventually majorizes every power function. Define
f_w(x) = 0 for x irrational, f_w(0) = 1, and
f_w(p/q) = 1/w(q) where p and q are relatively
prime integers.
** f_w is differentiable on a set whose complement
has Hausdorff dimension zero. Jurek [4] (pp. 24-25)
Interesting, each of the sets of points where these
functions fail to be differentiable is large in the
sense of Baire category.
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
(Each co-meager set has c points in every interval.)
つづく
- 41 ：
- >>40 つづく
[13] Gerald Arthur Heuer, "Functions continuous at irrationals and discontinuous at rationals", abstract of talk given 2 November 1963 at the annual fall meeting of the Minnesota Section of the MAA, American Mathematical Monthly 71 #3 (March 1964), 349.
The complete text of the abstract follows, with minor editing changes to accommodate ASCII format.
Earlier results of Porter, Fort, and others suggest additional questions about the functions in the title. Differentiability and Lipschitz conditions are considered. Special attention ispaid to the ruler function (f) and its powers.
Sample results:
THEOREM:
If 0 < r < 2, f^r is nowhere Lipschitzian; f^2 is nowhere differentiable, but is Lipschitzian on a dense subset of the reals.
THEOREM:
If r > 0, f^r is continuous but not Lipschitzian at every Liouville number;
if r > 2, f^r is differentiable at every algebraic irrational.
THEOREM:
If g is continuous at the irrationals and not continuous at the rationals, then there exists a dense uncountable subset of the reals at each point of which g fails to satisfy a Lipschitz condition.
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り)
つづく
- 42 ：
- >>41 つづき
ああ、いま改めて読むと
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957) Senguptaより
”・・・ f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”
なんてありますね。”at least one of the four Dini derivates of f is infinite”が、貴方の定理に近いかな？
”Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).”か・・
これか、これに近い文献を読まないことには、訳わからんな
えーと、Meagre setか・・
”E is co-meager in R”が、イメージできんな・・（＾＾
前提a)(連続不連続が稠密)を、b)(連続とディニ微分発散が稠密な組み合わせ)に、緩和しても・・
a) f is continuous and discontinuous are each dense in R.
↓
b) f is continuous and the E *) are each dense in R. ( *)the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.)
a)Eは、co-meager
↓
b)Eは、meager
には出来ない？ それとも出来るの？
定理1.7成立なら、「 meager には出来ない」？
これ、やっぱり元論文読まないと、イメージ湧かないな～（＾＾
まあ、ゆっくりやろうや
- 43 ：
- >>42 つづき
（参考）
https://en.wikipedia.org/wiki/Meagre_set
Meagre set
Examples
Subsets of the reals
The rational numbers are meagre as a subset of the reals and as a space ? that is, they do not form a Baire space.
The Cantor set is meagre as a subset of the reals, but not as a space, since it is a complete metric space and is thus a Baire space, by the Baire category theorem.
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%96%8E%E9%9B%86%E5%90%88
疎集合
数学の分野における、位相空間内の疎集合（そしゅうごう、英語: nowhere dense set）[* 1]とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。
この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。
注釈
1^ a b 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
以上
- 44 ：
- >>30
ところで、証明をつっついて悪いが
補題1.5の証明中で
１）
"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N (y － x)] (1) が成り立つ"
を、条件 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ から導いている
｜y － x｜ <1/M は、そこに書かれているように、ある区間(x-1/M, x+1/M)のことだな
ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間（c, d）と書けるだろ？
定理1.7の証明は、それで終りでは？
２）
それから、前スレ>>615で
”「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」
という条件からは、
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない”
というが、それ（”全体で”）を導くことは、定理1.7（「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」）をいうだけなら、不必要では？
（ 上記のある区間（c,d）で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい？ ）
３）
それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"というけれど
R－Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
それでも、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね？ （言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
まあ、年末年始は忙しい
十分レスできないと思うが
貴方も、気張らずにやってください （＾＾
以上
- 45 ：
- >>40-42
＞まだ、疑問に思っているのは
＞下記のDifferentiability of the Ruler Functionの記述と貴方の定理との整合性だ
悪あがきは やめたまえ。前スレ540 で既に述べたとおり、
スレ主の大好きな f^r と f_w は、例の定理の反例になり得ない。
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1513201859/540
このレスにより、R－B_{f^r} は第一類集合にならず、R－B_{f_w} も第一類集合にならないので、
f^r と f_w は例の定理の「適用範囲外」ということになり、よって例の定理の反例になり得ない。
また、f^r と f_w が例の定理の「適用範囲外」であるという事実により、Differentiability of the Ruler Function が
どのように記述されていようとも、そのことと例の定理との間の整合性なんか 全 く 考 え る 必 要 が な い 。
- 46 ：
- 忙しい、ゆっくりやろう
で4年間進歩が無いスレ主
未だにεδ論法さえ理解できず
- 47 ：
- >>38
＞１）稠密でない場合は、どこかにリプシッツ連続な区間（a,b）がとれる
＞２）稠密である場合は、仮定を満たす関数は存在しない（空集合）
いつまでそのゴミみたいな場合分けに拘るつもりだ？場合分けせずとも、例の pdf の証明を辿ることで
直接的に結論が出せるのだから、その場合分けは必要ない。仮に場合分けしたところで、
>>26-30で書いたことと全く同じ理屈になるだけから意味が無い。一応やってみようか？
[続く]
- 48 ：
- [続き]
R－B_f は第一類集合とする。f がある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。(1),(2)で場合分けする。
「その１(>>28)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて
矛盾するので、このケースは起きない。よって、(1)のみ考えればよい。そして(1)の場合は、
例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「その２(>>29)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れて矛盾するので、
矛盾した状態からは何でも帰結できることにより、「リプシッツ連続な区間が取れる」ことになる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「その３(>>30)」の流儀の場合
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
(1)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
(2)の場合は、例の定理の証明と全く同じことをすれば、リプシッツ連続な区間が取れる。
よって、いずれの場合もリプシッツ連続な区間が取れる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
このとおり、どの証明の どの場合分けにおいても、「例の pdf の証明そのもの」を
その都度 持ち出せば証明が終わるので、お前の場合分けは実質的には全く機能していない。
- 49 ：
- >>44
＞ならば、c = x-1/M 、d = x+1/M として、ある区間（c, d）と書けるだろ？
＞定理1.7の証明は、それで終りでは？
息をするように間違えるゴミクズ。ぜんぜん終わらないよ。
なぜなら、その pdf の(1)の部分では「x」が固定されていて、動かせるのは y だけだからだ。
もし、お前が言うように c, d を定義したとしても、(1)で言えているのは
∀y∈(c, d) [ ｜f(y) － f(x)｜ <= N｜y － x｜ ]
ということに過ぎず、y しか動かせていない。一方で、f が(c,d)上でリプシッツ連続であるためには、
∀y,z∈(c, d) [ ｜f(y) － f(z)｜ <= N ｜y － z｜ ]
が言えなければならない。しかし、補題1.5の条件だけでは、ここまで強いことは言えない。
あるいは、別の言い方をすると、次のように言ってもよい。まず、
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という例の関数を考える。すると、｜Af(0)｜＝｜f '(0)｜＝0＜＋∞ だから、この f と x＝0 に対して補題1.5 の議論が使える。
すると、そのまま(1)のところまで来たとき、もしスレ主の言い分が正しいなら、「それで終わり」となり、
この f は原点の近傍でリプシッツ連続ということになるが、実際にはそんなことは無いだろ？
つまり、スレ主の言い分は自動的に間違ってるということ。
- 50 ：
- >>44
＞というが、それ（”全体で”）を導くことは、定理1.7（「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」）をいうだけなら、不必要では？
＞（ 上記のある区間（c,d）で、リプシッツ連続を言えば、定理1.7の証明は、そこで終わってないかい？ ）
その言い分そのものは正しいが、そのような (c,d) を見つける方法が全く自明ではなく、
ベールのカテゴリ定理を使わなければ そういう (c,d) が出て来ない、という話をしているんだよ。
つまり、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明になってないってこと。
少し詳しく見てみようか？まず前提として、
状況Ａ：
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
「 (a,b) ⊂ B_f を満たす開区間(a, b)が存在する」という条件からは
「 f は(a,b)上の 全 体 で リプシッツ連続である」という条件は導けない
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
という「状況Ａ」があるわけだ。すると、次のようになる。
(a,b)⊂B_f が成り立つとする。このとき、状況Ａにより、f は(a,b)全体でリプシッツ連続であるとは断言できない。
しょうがないので、(a,b)内の十分小さな区間(c,d)を取る。当然ながら、(c,d)⊂B_f である。
では、f は(c,d)上でリプシッツ連続なのか？残念ながら、状況Ａを区間(c,d)に対して適用すれば、
f は(c,d)上でリプシッツ連続だとは断言できない。では、(c,d)内の更なる小さな区間(s,t)を考えたらどうか？
当然ながら、(s,t)⊂B_f である。では、f は(s,t)上でリプシッツ連続なのか？
残念ながら、「状況Ａ」を区間(s,t)に対して適用すれば、f は(s,t)上でリプシッツ連続だとは断言できない。
……このように、いくら小さな開区間に限定しても、状況Ａがその開区間に適用できるので、
f がその区間の上でリプシッツ連続であるとは断言できなくなってしまう。
では、どうやって望みの部分区間(c,d)を見つければいいのか？
そのために本当に必要になるのが、ベールのカテゴリ定理である。
結局、(a,b) ⊂ B_f という条件に限定しても、例の定理の証明は ちっとも自明にならないのである。
- 51 ：
- >>37
教科書（宮島微積分）では、逆像と逆写像を区別しており、
逆像：写像f: X->Y について、「B⊂Y に対してB に写されるような X の要素の全体 { x ∈X | f(x)∈B} をBのfによる逆像といい、f^(-1)(B) で表す」
逆写像：「写像f:X->Y が単写のときf の値域に属する要素 y に対して f(x) = y となる x ∈ Xが唯一つ存在するので、y∈f(X) にこの x を対応させる f(X) から X への写像が定義され
る。この写像をf^(-1) で表し、f の逆写像という。」
また、
「逆像 f^(-1)(B) に用いた f^(-1) と、逆写像の意味は微妙にずれている」
とも書かれています。教科書では
① f(A∩B)⊂f(A)∩ f(B)
②f^(-1)(A∩B)=f^(-1)(A)∩ f^(-1)(B)
の f^(-1) は逆像の意味で与えられているのですが、これは、 y = f(x) を満たす x が複数あっても①②が成立するように見えます。
- 52 ：
- >>44
＞それから、これは重要だが、補題1.5の証明中で、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"というけれど
＞R－Bfが、稠密なら、区間(x-1/M, x+1/M)で、Dini微分が発散している点が、この区間内に多数存在することになるよ
＞それでも、"∀y ∈ R[｜y － x｜ <1/M → ｜f(y) － f(x)｜ <= N(y － x)] (1) が成り立つ"が言えるのかね？ （言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
息をするように間違えるゴミクズ。その(1)では「x」が固定されていて、y の方しか動かせないので、
別の点におけるディニ微分が発散していようがいまいが、(1)にとっては何の関係も無いのである。
具体例を１つ挙げておく。
f(x) ＝ x^2 (｜x｜は有理数), －x^2 (｜x｜は無理数)
として f を定義すると、この f は原点以外の各点で不連続なので、特に Af(x)＝＋∞ (x≠0) が成り立つ。
しかし、この f は原点で微分可能であり、f '(0)＝0 である。特に、正整数 N を何でもいいから1つ取れば、
Af(0)＝｜f '(0)｜＝ 0 ＜ N
となるので、M＞0 を十分大きく取れば、
∀y ∈ R [｜y － 0｜ <1/M → ｜f(y) － f(0)｜ <= N｜y － 0｜] (1)
が成り立つことが実際に示せる。この(1)の様子を、グラフを書いて視覚的に確かめてみよ。
(f(y)－f(0)/(y－0))
という、x の方を x＝0 に固定して y の方だけ動かしたときの「傾き」は、y が原点に十分近ければ実際に有界の範囲に
収まっていることが視覚的に容易に確かめられるだろう(x≠0 なる任意の点では Af(x)＝＋∞が成り立っているにも関わらず)。
- 53 ：
- >>44
＞（言えるとしても、区間内にDini微分発散点が稠密に存在するという前提を押さえた証明がなされるべきと思うが）
他の点でのディニ微分の値がどうなっているかなんて、全く考える必要がない。
なぜなら、そのような情報とは無関係に(1)が導けていることが、機械的に容易に確認できるからだ。
実際、(1)を導くのに使ったのは、ほとんど limsup の定義のみである。
お前は証明の読み方が おかしい。
証明の中に盛り込まれてない別の情報Ｐとの整合性が お前にとって気になったのだとしても、
それはお前が自分の頭の中で解決すればいいだけの話であって、
「この証明は情報Ｐについての議論を盛り込むべきである」
なんていうことにはならない。その証明が情報Ｐとは無関係に進むことが機械的に確認できたなら、
その情報Ｐはお前にとっての単なる「杞憂」に過ぎなかったのであり、その証明は情報Ｐを盛り込む必要がどこにも無い。
- 54 ：
- >>51
その通りです
yに対しy=f(x)を満たすxが複数有り得るからこそ①になり
ｘに対しy=f(x)を満たすyが複数あり得ないからこそ②になります
- 55 ：
- >>54
逆にfが写像(1価)でも単射なら
すなわち
yに対しy=f(x)を満たすxが複数あり得ないのであればf^-1の場合の②同様①は等号になります
- 56 ：
- ガロアのスレ主がゴミクズ野郎なのがよく分かるな
- 57 ：
- スレ主は勉強するか黙るかどちらかにすべき
- 58 ：
- お兄さん「先生来られました」
おばあさん「先生？」
おじいさん「数学の先生」
俺「まあ…うん…数学やってる」
おばあさん「計算が得意なの？」
俺「計算は…あまり得意じゃない。計算するのが数学じゃなくて計算するための理論を組み立てるのが数学だから」
- 59 ：
- スレ主は今年も進歩ゼロでしたとさ
- 60 ：
- ここまで酷いとホントにゴミだよ
なんで数学板にいるの？ってレベル
- 61 ：
- >>58
これってスレ主？
- 62 ：
- ズレ主を表す今年の漢字2017は？
「誤」「乱」「偽」「劣」「愚」
- 63 ：
- スレ主の反応が無い。
冬休み、うつ、飽きた
どれだ？
- 64 ：
- スレ主がこのまま消えますように
- 65 ：
- 皆さま、どうも。スレ主です。（＾＾
明けまして、おめでとうございます。
新年も、よろしくお願いします。ｍ（＿ ＿）ｍ
- 66 ：
- >>53
ID:gcYWyS10 さん、沢山レスありがとう
貴方のレスは、レベル高いね
あとで、じっくり読むよ（＾＾
- 67 ：
- で、勝手ながら、年末年始に読んだ関連を貼るよ（＾＾
まず、関連参考：検索でヒットしたので貼る。
BaireCategory.pdfの”3. Pointwise limits of continuous functions.”に、「422に書いた定理」の関連記述
「Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions,
then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior).
(In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)」とあり（当たり前か？ （＾＾ ）
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/m447f16index.html
MATH 447- Advanced Calculus I- Fall 2016- A. FREIRE
(or: ANALYSIS IN R^n)
(抜粋)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/BaireCategory.pdf
Sets of discontinuity and Baire's theorem Baire Category Notes (5 problems) (the problems are HW8, due Friday 11/4)A. FREIRE 2016
(抜粋)
1. Sets of discontinuity. For f : R → R, we define
Df = {x ∈ R; f is not continuous at xg:
3. Pointwise limits of continuous functions.
Theorem. If f : R → R is a pointwise limit of continuous functions,
then Df is Fσ meager (that is, a countable union of closed sets with empty interior).
(In particular, by Baire's theorem, f is continuous on a dense subset of R.)
Proof. We know Df = ∪ n>=1 D1/n (see Section 1), so it suffices to show
that the closed sets Dε have empty interior, for any ε > 0.
By contradiction, suppose Dε contains an open interval I.
We'll find an open interval J ⊂ I disjoint from Dε!
Let fn → f pointwise on R, with each fn : R → R continuous.
For each N >= 1, consider the set:
CN = {x ∈ I; (∀m, n >= N)|fm(x) - fn(x)| <= ε/3}.
Clearly ∪ N>=1 CN = I (by pointwise convergence). QED
(引用終り)
つづく
- 68 ：
- >>67 つづき
（上記の関連参考：出典URL）
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/m447f16topics.html
Math 447 Fall 2016- A. FREIRE
TOPICS
PART I: Topology
Supplementary handouts (for advanced students):
(adapted from more advanced classes and not yet in final form)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/GeneralTopologyReview.pdf
Definitions and Theorems from General Topology
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/BanachSpace.pdf
Locally compact Banach spaces are finite dimensional (includes 4 problems)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/SpacesOfContinuousFunctions.pdf
Spaces of Continuous Functions (outdated)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/StoneWeierstrassNotes.pdf
Stone-Weierstrass theorem-notes (includes 6 problems)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/m447f16/AscoliArzelaNotes.pdf
Ascoli-Arzela-Notes (final-included 7 exercises with solutions, and 11 extra problems.)
http://www.math.utk.edu/~freire/teaching/
Alex Freire
Department of Mathematics
University of Tennessee
（終り）
つづく
- 69 ：
- >>68 つづき
あと、いま、「422に書いた定理」に、似た文献を見つけて読んでいる。（＾＾
”I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994”
これ、出版されていて、アマゾンでもヒットした
疑問が二つ
１）Proposition 1.1.1. の「Given ε > 0 there is a δ > 0 such that {x ∈ (x0 － δ, x0 + δ) : |f(x) － f(x0)| ≧ ε} ∈ J.」で、普通のεδ論法だと、 |f(x) － f(x0)| ＜ ε と不等号の向きが逆になると思うが、誤植か？ σ-ideal を考えているから、これで良いのか？ どうも良いみたいだが
２）Corollary 1.1.6. の「(ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2」で、f|Kは、Theorem 1.1.4.の”(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.”の記載ぶりとの比較から、f|Kcの誤記かなと思ったり？ 意味が全く違ってくる
これにも、「422に書いた定理」の関連記述あり（後述）
つづく
- 70 ：
- >>69 つづき
http://www.math.wvu.edu/~kcies/prepF/BookIdensity/BookIdensity.pdf
I-DENSITY CONTINUOUS FUNCTIONS Krzysztof Ciesielski他 1994- 被引用数: 84
(抜粋)
CHAPTER 1
The Ordinary Density Topology
1.1. A Simple Category Topology
To gain some insight into what is happening with limits like this, it is useful
to generalize this idea to a topological setting.
A nonempty family J ⊂P(X) of subsets of X is an ideal on X if A ⊂ B and
B ∈ J imply that A ∈ J and if A∪B ∈ J provided A,B ∈ J. An ideal J on X
is said to be a σ-ideal on X if ∪n∈N An ∈ J for every family {An : n ∈ N} ⊂ J.
Let J be an ideal on R and Ｔo be the ordinary topology on R. The set
T (J) = {G ＼ J : G ∈ Ｔo, J ∈ J}
is a topology on R which is finer than Ｔo. The following proposition is evident
from the definitions.
Proposition 1.1.1. Let J be a σ-ideal on R and T (J ) be as above. For
f : (R, T (J )) → (R, Ｔo) and x0 ∈ R the following statements are equivalent to
each other.
(i): f is continuous at x0.
(ii): Given ε > 0 there is a δ > 0 such that
{x ∈ (x0 － δ, x0 + δ) : |f(x) － f(x0)| ≧ ε} ∈ J.
つづく
- 71 ：
- >>70 つづき
Theorem 1.1.4. Let J be a σ-ideal and f : R → R. The following statements
are equivalent.
(i): The function f is J -continuous J -a.e.
(ii): There exists a set K ∈ J such that the restricted function f|Kc is continuous.
Furthermore, if the ideal J contains no interval, then the following statement is
equivalent to (i) and (ii)
(iii): There exists a function g : R → R such that f = g J -a.e. and g is continuous in the ordinary sense J -a.e.
Proof. The fact that (ii) implies (i) is obvious. Suppose (i) is true and let
f be J -continuous on a set M = Jc for J ∈ J. For each n ∈ N and x ∈ M,
by Proposition 1.1.1(ii) there is an open interval I(n, x) and a J(n, x) ∈ J such
that
x ∈ I(n, x) \ J(n, x) ⊂ f－1((f(x) － 1/n, f(x) + 1/n)).
For each fixed n, there must be a countable sequence xn,m ∈ M such that
M ⊂∪m∈N I(n, xn,m).
Let
K = J ∪ ∪ n,m∈N J(n, xn,m) ∈ J.
If x ∈ Kc and ε > 0, then there must exist natural numbers n and m such that
2/n < ε and x ∈ I(n, xn,m). Then |f(x) － f(xn,m)| < 1/n so that
f(x) ∈ (f(xn,m) － 1/n, f(xn,m) + 1/n) ⊂ (f(x) － ε, f(x) + ε)
つづく
- 72 ：
- >>71 つづき
and
I(n, xn,m) ∩ Kc ⊂ f－1((f(x) － ε, f(x) + ε)).
Hence, f|Kc is continuous at x.
To prove the last part of the theorem, note first that (iii) implies (ii) even
without the restriction that J contains no interval. Now suppose that J contains
no interval and that f,K are as in (ii). Define
(1) G(x) = lim sup t→x,t∈Kc f(t)
and
(2) g(x) = G(x) when G(x) is finite,
or = f(x) otherwise.
In particular, it follows from (ii) that f|Kc = g|Kc . Let x ∈ Kc and ε > 0.
According to (ii) there is a δ > 0 such that
(3) |g(y) － g(x)| = |f(y) － f(x)| < ε/2
whenever y ∈ (x － δ, x + δ) ∩Kc. If z ∈ (x － δ, x + δ) ∩K, then the assumption
that K can contain no nonempty open set implies the existence of a sequence
{zn : n ∈ N} ⊂ (x － δ, x + δ) ∩ Kc
such that f(zn) → G(z). Hence, by (3), G(z) is finite, so g(z) = G(z) and
|g(z) － g(x)| ? ε/2 < ε. Therefore, g is continuous at x. QED
つづく
- 73 ：
- >>72 つづき
The following example is interesting in light of the previous theorem.
Example 1.1.5. Let I be the σ-ideal consisting of all first category subsets of
R. I-continuity is often called qualitative continuity [26]. It is well-known in
this case that f is a Baire function if, and only if, f is qualitatively continuous I-a.e.
In particular, combining Example 1.1.5 with Theorem 1.1.4 yields the following
well-known corollary, which will be useful in the sequel.
Corollary 1.1.6. Let f : R → R. The following statements are equivalent.
(i): f is a Baire function.
(ii): There exists a residual set K such that f|K is continuous.*2
(iii): f is qualitatively continuous I-a.e.
In the case of Lebesgue measure, the following is true.
*2 A set is residual if its complement is first category. This is often called comeager.
つづく
- 74 ：
- >>73 つづき
If condition (i) in Theorem 1.1.4 is strengthened to everywhere, the following corollary results.
Corollary 1.1.8. Let J be a σ-ideal which contains no nonempty open set.
A function f : R → R is continuous everywhere if, and only if, it is J -continuous everywhere.
Proof. If f is continuous, then it is clearly J -continuous. So, suppose f is
J -continuous everywhere, x0 ∈ R and ε > 0. Using Proposition 1.1.1(ii), there
must be an ordinary open neighborhood G0 of x0 such that
F0 = {x ∈ G0 : |f(x) － f(x0)| > ε} ∈ J.
Suppose there is an x1 ∈ F0. Choose δ > 0 such that
δ < |f(x1) － f(x0)| － ε.
As before, there exists an ordinary open neighborhood G1 ⊂ G0 of x1 such that
F1 = {x ∈ G1 : |f(x1) － f(x)| > δ} ∈ J.
It is clear that G1 ⊂ F0 ∪ F1 ∈ J, because |f(x1) － f(x0)| > ε + δ. But, this
implies J contains a nonempty open set, which contradicts the condition placed
on J in the statement of the corollary. This contradiction shows that F0 = Φ.
The preceding corollary demonstrates that global J -continuity may not be a
very useful concept. In particular, it is worthwhile noting for future reference
that global I-continuity and global N-continuity are no different than ordinary continuity.
(引用終り)
つづく
- 75 ：
- sage
- 76 ：
- >>74 つづき
（上記の関連参考：出典URL）
http://www.math.wvu.edu/~kcies/
Krzysztof Chris Ciesielski, Ph.D. Professor of Mathematics at Department of Mathematics, West Virginia University and Adjunct Professor at Medical Image Processing Group, Dept. of Radiology, Univ. of Pennsylvania.
(抜粋)
Books:
(with L. Larson and K. Ostaszewski) I-density continuous functions, Memoirs of the AMS vol. 107 no 515, 1994; MR 94f:54035.
(引用終り)
https://www.amazon.co.jp/I-Density-Continuous-Functions-American-Mathematical/dp/0821825798
I-Density Continuous Functions (Memoirs of the American Mathematical Society) (英語) Krzysztof Ciesielski (著),? Lee Larson (著),? Krzysztof Ostaszewski (著) 1994/1/1
http://www.jstor.org/stable/44151978?seq=1#page_scan_tab_contents
JOURNAL ARTICLE I-density Continuous Functions Krzysztof Ciesielski, Lee Larson and Krzysztof Ostaszewski Real Analysis Exchange Vol. 15, No. 1 (1989-90), pp. 13-15 Published by: Michigan State University Press
（終り）
つづく
- 77 ：
- >>76 つづき
（参考：用語解説）
https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal_(set_theory)
Ideal (set theory)
(抜粋)
In the mathematical field of set theory, an ideal is a collection of sets that are considered to be "small" or "negligible". Every subset of an element of the ideal must also be in the ideal (this codifies the idea that an ideal is a notion of smallness), and the union of any two elements of the ideal must also be in the ideal.
More formally, given a set X, an ideal I on X is a nonempty subset of the powerset of X, such that:
1. Φ ∈ I
2.if A∈ I and B⊆ A, then B∈ I, and
3.if A,B∈ I, then A ∪ B∈ I
Some authors add a third condition that X itself is not in I; ideals with this extra property are called proper ideals.
Ideals in the set-theoretic sense are exactly ideals in the order-theoretic sense, where the relevant order is set inclusion. Also, they are exactly ideals in the ring-theoretic sense on the Boolean ring formed by the powerset of the underlying set.
Contents
1 Terminology
2 Examples of ideals
2.1 General examples
2.2 Ideals on the natural numbers
2.3 Ideals on the real numbers
2.4 Ideals on other sets
3 Operations on ideals
4 Relationships among ideals
5 See also
6 References
(引用終り)
つづく
- 78 ：
- >>77 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Sigma-ideal
σ-ideal Sigma-ideal (Redirected from Σ-ideal)
(抜粋)
In mathematics, particularly measure theory, a σ-ideal of a sigma-algebra (σ, read "sigma," means countable in this context) is a subset with certain desirable closure properties. It is a special type of ideal. Its most frequent application is perhaps in probability theory.
Let (X,Σ) be a measurable space (meaning Σ is a σ-algebra of subsets of X). A subset N of Σ is a σ-ideal if the following properties are satisfied:
(i) O ∈ N;
(ii) When A ∈ N and B ∈ Σ , B ⊆ A ⇒ B ∈ N;
(iii) {A_n}_{n∈N }⊆ N→ ∪ _{n∈N }A_n∈ N.
Briefly, a sigma-ideal must contain the empty set and contain subsets and countable unions of its elements. The concept of σ-ideal is dual to that of a countably complete (σ-) filter.
If a measure μ is given on (X,Σ), the set of μ-negligible sets (S ∈ Σ such that μ(S) = 0) is a σ-ideal.
The notion can be generalized to preorders (P,?,0) with a bottom element 0 as follows: I is a σ-ideal of P just when
(i') 0 ∈ I,
(ii') x ? y & y ∈ I ⇒ x ∈ I, and
(iii') given a family xn ∈ I (n ∈ N), there is y ∈ I such that xn ? y for each n
Thus I contains the bottom element, is downward closed, and is closed under countable suprema (which must exist). It is natural in this context to ask that P itself have countable suprema.
A σ-ideal of a set X is a σ-ideal of the power set of X. That is, when no σ-algebra is specified, then one simply takes the full power set of the underlying set. For example, the meager subsets of a topological space are those in the σ-ideal generated by the collection of closed subsets with empty interior.
(引用終り)
つづく
- 79 ：
- >>78 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Ideal
Ideal
(抜粋)
Mathematics
Ideal (ring theory), special subsets of a ring considered in abstract algebra
Ideal, special subsets of a semigroup
Ideal (order theory), special kind of lower sets of an order
Ideal (set theory), a collection of sets regarded as "small" or "negligible"
Ideal (Lie algebra), a particular subset in a Lie algebra
Ideal point, a boundary point in hyperbolic geometry
Ideal triangle, a triangle in hyperbolic geometry whose vertices are ideal points
(引用終り)
つづく
- 80 ：
- >>79 つづき
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_abstract.pdf
典型的連続関数のDini微分（著者最終稿）斎藤新悟 実解析学シンポジウム2009報告集，pp. 25-33.
（上記の関連参考：出典URL）
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/papers.html
斎藤新悟 出版物
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/
斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授 1981年大阪府生まれ 東京大学理学部数学科卒業
つづく
- 81 ：
- >>80 つづき
（以前のスレから関連抜粋）
スレ46 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1510442940/398
＜引用＞
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
(抜粋)
So, in this paper we
are going to analyze the dierentiability of the real function
fν(x) =0 if x ∈ R ＼ Q,
or =1/q^ν if x = p/q ∈ Q, irreducible,
for various values of ν ∈ R.
Theorem 1. For ν > 2, the function fν is discontinuous (and consequently
not dierentiable) at the rationals, and continuous at the irrationals. With
respect the dierentiability, we have:
(a) For every irrational number x with bounded elements in its continued fraction expansion, fν is differentiable at x.
(b) There exist infinitely many irrational numbers x such that fν is not differentiable at x.
Moreover, the sets of numbers that fulfill (a) and (b) are both of them uncountable.
Theorem 2. For ν > 2, let us denote
Cν = { x ∈ R : fν is continuous at x },
Dν = { x ∈ R : fν is dierentiable at x }.
Then, the Lebesgue measure of the sets R ＼ Cν and R ＼ Dν is 0, but the four sets Cν, R ＼ Cν, Dν, and R ＼ Dν are dense in R.
(引用終り)
つづく
- 82 ：
- >>81 つづき
で、”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）が、結構重要キーワードじゃないかな？
R中のQのように稠密分散で、
R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
（似た状況は、上記の「the Lebesgue measure of the sets R ＼ Cν and R ＼ Dν is 0, but the four sets Cν, R ＼ Cν, Dν, and R ＼ Dν are dense in R.」とある通りで）
「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えるかどうかだ？
以上
- 83 ：
- >>82
>R中のQのように稠密分散で、
>R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
？
- 84 ：
- おっちゃんです。
今日は午前4時に散歩したら、新聞配達のお姉ちゃんが自転車で配達していた。
今は意識もうろうとしていて、もうお寝んねタイム。
- 85 ：
- まあ、深夜に散歩するのも案外日常とは違う面白い光景が見られる。
深夜にコンビニに行く人も時々見かける。
昼間の車の排気ガスで汚れた空気とは違い、昼間程汚れていない新鮮な空気は吸えるな。
それじゃ、おっちゃん寝る。
- 86 ：
- Thomae（「ポップコーン」）関数の絵が面白いので、ご紹介。
https://arxiv.org/abs/1702.06757
https://arxiv.org/pdf/1702.06757
Number-theoretic aspects of 1D localization: "popcorn function" with Lifshitz tails and its continuous approximation by the Dedekind eta S. Nechaev, K. Polovnikov (Submitted on 22 Feb 2017 (v1), last revised 26 Feb 2017 (this version, v2))
(抜粋)
We discuss the number-theoretic properties of distributions appearing in physical systems when an observable is a quotient of two independent exponentially weighted integers.
The spectral density of ensemble of linear polymer chains distributed with the law ?fL (0<f<1),
where L is the chain length, serves as a particular example.
At f→1, the spectral density can be expressed through the discontinuous at all rational points, Thomae ("popcorn") function.
We suggest a continuous approximation of the popcorn function, based on the Dedekind η-function near the real axis.
Moreover, we provide simple arguments, based on the "Euclid orchard" construction, that demonstrate the presence of Lifshitz tails, typical for the 1D Anderson localization, at the spectral edges.
We emphasize that the ultrametric structure of the spectral density is ultimately connected with number-theoretic relations on asymptotic modular functions.
We also pay attention to connection of the Dedekind η-function near the real axis to invariant measures of some continued fractions studied by Borwein and Borwein in 1993.
(引用終り)
- 87 ：
- コピペ癖・思考停止は今年も健在でしたとさ
- 88 ：
- >>86
Figure 5: Plots of everywhere continuous f1(x) = -ln |η(x + iε)| (blue) and discrete f2(x) = Π/(12ε) g^2(x) (red) for ε = 10^-6 at rational points in 0 < x < 1.
が面白いね
- 89 ：
- >>84-85
おっちゃん、どうも、スレ主です。
レスありがとう
今年もよろしく（＾＾
- 90 ：
- （追加貼付）
スレ47 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1512046472/245
245 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/02
ちょっと、ピエロの過去レス46に戻る
スレ46 https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1510442940/181
（ピエロ）
181 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/11/15(水) 19:42:29.78 ID:fz0TcIh0 [2/3]
(抜粋)
さらにいえば、1/q^nを1/e^(-q)に置き換えても
リュービル数では微分不可能https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
(引用終り)
これ、結構面白ね（＾＾
要するに、Proposition 3.1で、無理数で０で有理数でプラス（T(x)＞０ xは有理数）となるどんな関数も、必ずどこか微分不可能な無理数があり、それは稠密だというのだ（下記PDF）
https://kbeanland.wordpress.com/research-articles/
Kevin Beanland ASSOCIATE PROFESSOR OF MATHEMATICS in the Department of Mathematics at Washington and Lee University.
Research Articles
My main research area is Banach space theory but, I have some work in real analysis and know some descriptive set theory as it applies to Banach space theory.
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.
(抜粋)
3. A DENSE SET. While attempting to prove that T(1/n2) is differentiable on the irrationals,
we discovered that quite the opposite is actually true. In fact, as the following
proposition indicates, functions that are zero on the irrationals and positive on the rationals
will always be non-differentiable on a rather large set.
Proposition 3.1. Let f be a function on R that is positive on the rationals and 0 on
the irrationals. Then there is an uncountable dense set of irrationals on which f is not
differentiable.
(引用終り)
- 91 ：
- >>51
C++さん、どうも。スレ主です。
年末は、ばたばたして、お相手できませんでしたが
新年おめでとうございます
今年もよろしくお願いします。ｍ（＿ ＿）ｍ
- 92 ：
- Liouville Numbers について、調べていたら、下記ヒット
http://www.mathematik.uni -wuerzburg.de/~steuding/elaz2014.pdf
On Liouville Numbers - Yet Another Application of Functional Analysis To Number Theory Vortrag auf der ELAZ 2014 in Hildesheim: Jorn Steuding
(抜粋)
P21/42
Category vs. Measure
The set
L = (R ＼ Q) ∩ n>=1 (∪q>=2 ∪p (p/q -1/q^n ,p/q+1/q^n ))
of Liouville numbers is
・ big in the sense of category
(residual, dense Gδ),
・ small in the sense of measure
(Lebesgue measure zero, Hausdorff measure zero).
For the set of normal numbers it is the other way around.
(引用終り)
http://www.mathematik.uni -wuerzburg.de/~steuding/
Prof. Dr. Jorn Steuding Universitat Wurzburg Institut fur Mathematik
- 93 ：
- （参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%82%A6%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%83%AB%E6%95%B0
リウヴィル数
https://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_number
(抜粋)
Structure of the set of Liouville numbers[edit]
For each positive integer n, set
U_n=∪_q=2～∞ ∪_p= -∞ ～∞ {x∈ R :0<|x - p/q|< 1/q^n｝ =∪_q=2～∞ ∪_p= -∞～∞ ( p/q - 1/q^n, p/q+ 1/q^n)＼ { p/q}
The set of all Liouville numbers can thus be written as
L=∩_n=1～∞ U_n.
Each Un is an open set; as its closure contains all rationals (the p/q's from each punctured interval), it is also a dense subset of real line. Since it is the intersection of countably many such open dense sets, L is comeagre, that is to say, it is a dense Gδ set.
Along with the above remarks about measure, it shows that the set of Liouville numbers and its complement decompose the reals into two sets, one of which is meagre, and the other of Lebesgue measure zero.
つづく
- 94 ：
- >>93 つづき
Irrationality measure
The irrationality measure (or irrationality exponent or approximation exponent or Liouville?Roth constant) of a real number x is a measure of how "closely" it can be approximated by rationals. Generalizing the definition of Liouville numbers, instead of allowing any n in the power of q, we find the least upper bound of the set of real numbers μ such that
0<|x - p/q|< {1/q^μ
is satisfied by an infinite number of integer pairs (p, q) with q > 0. This least upper bound is defined to be the irrationality measure of x.[3]:246 For any value μ less than this upper bound, the infinite set of all rationals p/q satisfying the above inequality yield an approximation of x.
Conversely, if μ is greater than the upper bound, then there are at most finitely many (p, q) with q > 0 that satisfy the inequality; thus, the opposite inequality holds for all larger values of q. In other words, given the irrationality measure μ of a real number x, whenever a rational approximation x ? p/q, p,q ∈ N yields n + 1 exact decimal digits, we have
1/10^n >= |x - p/q| >= {1/q^(μ +ε)
for any ε>0, except for at most a finite number of "lucky" pairs (p, q).
For a rational number α the irrationality measure is μ(α) = 1.[3]:246 The Thue?Siegel?Roth theorem states that if α is an algebraic number, real but not rational, then μ(α) = 2.[3]:248
Almost all numbers have an irrationality measure equal to 2.[3]:246
Transcendental numbers have irrationality measure 2 or greater. For example, the transcendental number e has μ(e) = 2.[3]:185 The irrationality measure of π is at most 7.60630853: μ(log 2)<3.57455391 and μ(log 3)<5.125.[4]
The Liouville numbers are precisely those numbers having infinite irrationality measure.[3]:248
(引用終り)
- 95 ：
- >>83
>>R中のQのように稠密分散で、
>>R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
>？
リウヴィル数をイメージしてもらえば、良いのでは？ 稠密分散で、”a nonempty open set”の集まり
例えば
Structure of the set of Liouville numbers より
”Each Un is an open set; as its closure contains all rationals (the p/q's from each punctured interval), it is also a dense subset of real line. Since it is the intersection of countably many such open dense sets, L is comeagre, that is to say, it is a dense Gδ set.”
- 96 ：
- >>95
>リウヴィル数をイメージしてもらえば、良いのでは？ 稠密分散で、”a nonempty open set”の集まり
R＼Qは？
- 97 ：
- >>95
>Since it is the intersection of countably many such open dense sets
- 98 ：
- >>96-97
>R＼Qは？
(>>82より再録)
"で、”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）が、結構重要キーワードじゃないかな？
R中のQのように稠密分散で、
R＼Qは、”a nonempty open set”の集まりになるけれども
（似た状況は、上記の「the Lebesgue measure of the sets R ＼ Cν and R ＼ Dν is 0, but the four sets Cν, R ＼ Cν, Dν, and R ＼ Dν are dense in R.」とある通りで）
「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えるかどうかだ？"
R＼Qも、リウヴィル数に同じ
つまり、屋上屋の説明だが、RからQを抜く（Qは、孤立点の集合（内点を持たない閉区間の集合））
Rは至る所開（”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）の集合）
R＼Qの各”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）は、ここにはq∈Qは含まれない
故に、このような場合には、「422に書いた定理」の系1.8の背理法証明に使えるような、区間(a, b)が取れると言えないのでは？
- 99 ：
- >>98 訂正
Rは至る所開（”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）の集合）
↓
R＼Qは至る所開（”a nonempty open set”（ordinary open neighborhood ）の集合）
- 100 ：
- >>98
>R＼Qも、リウヴィル数に同じ
まずリュービル数全体は
>Since it is the intersection of countably many such open dense sets
のようですので
開集合とは言えませんし実際開集合ではありません
内点を持たないからです
内点を持つなら有理数の稠密性によりリュービル数である有理数がそんざいしてしまいますよ
次に
R＼Qですが
Qは孤立点の集合ではありません
どの有理数の近傍にも必ず有理数が存在するからです
また閉集合でもありません
閉包がRだからです
ですのでR＼Qもまた開集合にはならないのです
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