現代数学の系譜 カントル 超限集合論
１）現代数学はインチキのデパート
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1570145810/28-
直接には、ここの28からの続き
２） １）の前スレ
現代数学はインチキだらけ
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1567930973/1-
３） ２）の中の正則性公理に関する議論の前のスレ（＾＾
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1568026331/1-
あと、関連事項は、>>1のスレから適宜写してくることにしましょう（＾＾
現代数学はインチキのデパート より
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1570145810/21-25
どうも、ガロアスレのスレ主です（＾＾
昨日のID:4Fu/lmU2さん（>>21）と
今日のID:kZwmbLNIさん（>>25）と
が、同一人物かどうか？ それが分からない
それと、二つのIDの中に、私がガロアスレで論争していた人がいるかどうか？
一応、ここでは、二つのIDは同一人物で、私がガロアスレで論争していた人とは別人という前提で対応します
（そのうち分かってくるかも知れませんが。ああ、（>>28）「私はサル石ではありません」と書かれましたね）
なお、議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果
テキストや、ウェブサイトにある、現代数学の成果は認めるものとしましょう
（そうしないと、全てを公理からの構成や厳密な証明を求めるようなことをすると、余白が足りない（時間も足りない））
さて、論点を整理しましょう
（>>3より）
１）正則性公理(>>16)は、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ を禁止する
（が、無限上昇列を禁止するものではない）
なお、無限上昇列から、ノイマン構成により自然数N＝ωの構成が認められる
２）ツェルメロ構成で、{{…{}…}}（{}の多重無限）が考えられるが、正則性公理に反するか？
で、
１）正則性公理において、>>17に示した ノイマン構成の∈の2項関係の列について
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
これは、正則性公理には反しないまでは合意（>>23-24）できましたね
つづく
ああ、
（>>3より）などのリンクは、
元のスレの現代数学はインチキのデパートのものです
今後も、そういう類いがあると思いますが、
おかしなリンクと思ったときは、元のスレの「現代数学はインチキのデパート」
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1570145810/1-
を覗いてみてください（＾＾
つづき
１）の論点の
「正則性公理(>>16)は、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ を禁止する
が、無限上昇列を禁止するものではない」
について
ノイマン構成の∈の2項関係の列
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
これは、正則性公理には反しない
これは、当たり前。無限上昇列を禁止したら、現代数学の公理系としては機能しない
そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿る、無限下降列でしょ
それとの折り合いをどうつけるか？
ID:kZwmbLNIさんは
現代数学はインチキのデパート
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1570145810/23-24
(抜粋)
ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω
は”明らかに”有限長です。
(引用終り)
と解釈することで折り合いを付けた
ここは、ちょっと異論があるのですが、後で（＾＾
つづく
つづき
まず、タイポ訂正
そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿る、無限下降列でしょ
↓
そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿ると、無限下降列でしょ
分かると思うが（＾＾
さて、>>4より
(引用開始)
議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果
テキストや、ウェブサイトにある、現代数学の成果は認めるものとしましょう
（そうしないと、全てを公理からの構成や厳密な証明を求めるようなことをすると、余白が足りない（時間も足りない））
(引用終り)
これを合意したものとして
下記、正則性公理より、
「フォン・ノイマン宇宙、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」
という存在を認めることにしましょうね（＾＾
(参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
(引用終り)
つづく
ところで私は昨日のID:4Fu/lmU2氏とは別人です
私は「ガロアスレ」には書いたことはありません
なお、宜しければHNを変更していただけますでしょうか？
このスレッドはガロアスレではありませんので
「古典ガロア理論も読む」は削除してほしいのです
よろしくお願い致します
＞１）正則性公理は、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ を禁止する
＞ （が、無限上昇列を禁止するものではない）
ええ
＞なお、無限上昇列から、ノイマン構成により自然数N＝ωの構成が認められる
いいえ
無限上昇列だけでは、ノイマン構成によるN=ωの存在は云えません
無限公理の設定により、N=ωの存在が認められます
＞２）ツェルメロ構成で、{{…{}…}}（{}の多重無限）が考えられるが、
＞正則性公理に反するか？
{}が有限重なら正則性公理に反しませんが
{}が無限重の場合、構成方法によっては正則性公理に反します。
＞１）正則性公理において、ノイマン構成の∈の2項関係の列について
＞0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
＞これは、正則性公理には反しないまでは合意できましたね
「・・・ ∈N」と書き続ける限り、合意に至りません
かならず∈の左側に具体的要素を書いてください
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω （ｍは自然数）
であれば、合意に至ります
（当然上記は有限列ですが、合意しない人はおりますまい）
＞ノイマン構成の∈の2項関係の列
＞0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
＞これは、正則性公理には反しない
>>9でも述べたとおり、「∈N」の左側に要素ｍを記入した列
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω （ｍは自然数）
は、正則性公理に反しません。
＞これは、当たり前。
ええ、有限列ですから。
＞無限上昇列を禁止したら、現代数学の公理系としては機能しない
＞そして、無限上昇列が出来たら、それを逆に辿る、無限下降列でしょ
無限上昇列のどの項も有限番目ですから
そこから下降した場合、有限回で起点に戻ります
また、ωは無限上昇列には現れません
ωは別に追加されます
そしてωからの下降については、有限回で{}に至ります
＞ID:kZwmbLNIさんは
＞「ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら
＞ 0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω
＞ は”明らかに”有限長です。」
＞と解釈することで折り合いを付けた
解釈ではありませんね。
列ですから、∈の左右を明記することは当然であって
何の解釈の余地もありません。
したがって折り合いというのも言葉遣いとして間違っています。
この議論では必然的に通常の数学のωと、今話題のωが両方出てきてどっちの話してんのかわけわかめになる。
＞「フォン・ノイマン宇宙、WFは0に冪集合の演算を有限回、
＞ あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」
＞という存在を認めることにしましょう
上記を認めても、1の言われる
{{…{}…}}（{}が無限重）
がフォン・ノイマン宇宙に入っていないので
1の主張は正当化できないですね。
ごもっともです。
今後ωは、無限公理で存在が認められる集合
{{},{{}},{{},{{}}},…}
を表すこととしましょう。
{{…{}…}}（{}が無限重）
については、1が主張していることなので
1が(ω以外の)名前をつけてください。
つづき
>「フォン・ノイマン宇宙、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラス」
>という存在を認めることにしましょう
さて、この前提で
下記より、冪集合で P({a})={Φ,{a}}
つまり、 P({a})は{a}という一元集合の冪集合です
ここで、{Φ,{a}}から、{{a}}という集合を作ることができるということを認めることにしましょう
（注：{Φ,{a}}から、元Φを取り除くだけですけど（多分、分出公理を使う）
あるいは、 P({Φ,{a}})={Φ,{Φ},{{a}},{Φ,{a}}}としても、{{a}}は作ることができる ）
まあ、要するに
{a}という集合に対して、一つ{}が多い{{a}}を、冪集合作る操作で、構成することができるということ
ここで、フォン・ノイマン宇宙の「0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合」を認めると
空集合Φ={}に、ω回冪集合の演算を繰り返して
ツェルメロ構成で、集合 {{…{}…}}（{}の多重無限）（>>4）が、出来ました（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
冪集合
(抜粋)
冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。
定義
集合 S が与えられたとき、S のどの部分集合をも元とする集合
P(S):={A：a set｜A⊆S}}
を S の冪集合と呼ぶ。例えば
・ P({a})={Φ,{a}}
https://tnomura9.exblog.jp/26409538/
tnomuraのブログ
冪集合公理 by tnomura9 | 2018-02-02 08:02
(抜粋)
これまで調べた、外延性の公理、空集合の公理、対の公理、和集合の公理、冪集合公理から構築できる公理的集合論の世界は、空集合 {} を base case にして {{}}, {{{}}}, {{}, {{{}}}}, などのように有限集合を無限に作り出していく集合の生成体系で、そのなかでは和集合の演算が導入されている。
また、その中にはそれらの集合の冪集合も含まれる。
なお、>>9-10は、無限公理のωについて述べているので問題ないでしょう
＞フォン・ノイマン宇宙の
＞「0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合」
＞を認めると、空集合Φ={}に、ω回冪集合の演算を繰り返して
＞ツェルメロ構成で、集合 {{…{}…}}（{}の多重無限）が、出来ました
出来ません
Vωのことなら、その要素は遺伝的有限集合になりますが、すべて{}は有限重です
そこからさらに1回冪集合の演算を繰り返した場合
はじめて無限集合が出来上がりますが、その場合も
要素、その要素・・・ととっていった場合、必ず有限回で空集合に至る、
という意味で{}は有限重です
ところで>>11でID:o3KPqddg氏から
{{…{}…}}（{}の多重無限）について
ω以外の名前を付けて区別するよう求められましたので、
別の名前をつけてください
ID:kZwmbLNIさん、どうも
お付き合い頂きありがとうございます（＾＾
「古典ガロア理論も読む」は削除、雑談は残しました
あなたくらいまともなレベルで議論できる人が、いまの２ch数学板には居なくなりましたね（＾＾
よろしくお願い致します
なお、繰返しますが、適度にやりましょう
それから、これも繰り返しですが
２ch数学板では、書けない数学記号（高度なやつ）が結構あるので
お互い、どこかのテキストにあって、ネットから確認できる合意文献は
お互い認めることにしましょうね
（数学記号制限ありで、字数や行数制限ありの板では、外の世界の数学と同様の数学の議論は無理ですから。本当なら、板書とか図とか書きたいのですがね（＾＾ ）
ーωの定義ー
順序対<x,y>の定義
∀z <x,y>:⇔z=x ∨ (∀w w∈z ⇔ w=x ∨ w=y)
関数の定義
f:x→y:⇔∀z ∀a∈x ∃!b∈y <a,b>∈f
関数が単射の定義
f:x→y is injective:⇔∀a b c <a,c>∈f ∧ <b,c>∈f⇒a=b
関数が全射の定義
f:x→y is surjective:⇔∀b∈y ∃a∈x <a,b>∈f
xが有限集合の定義
x:finite:⇔∀f:x→x f:monic⇒f:epic
xが順序数の定義
x:ordered number:⇔∀a b c∈x a∈b ∧ b∈c ⇒ a ∈c ∧ ∀y⊂x y≠Φ ⇒ ∃a∈y ∀b∈y b=a ∨ a ∈ b
ωの定義
∀x∈ω :⇔ x:finite ∧ x:順序数
ー再掲終わりー
簡単にするために正則性の公理を利用して一部手をぬいてますがそこはお察し。
数学科で学んだ経験が無くとも普通の集合論の教科書の最初の10ページ目くらいまでに載ってる話でココまでは議論もないでしょう。
その ‘ツェルメロ構成のω’ を現代数学での議論の範囲内で議論するつもりならその ‘ω’ に現代数学でいうところの ‘well defined’ と呼べる定義を与えて下さい。
哲学の話をしたいならご自由に。
{}、{{}}、{{{}}}、…
という{}の有限重の集合は全て存在する
しかし、{}の無限重の集合は存在しない
P(V_ω)=V_ω+1を作っても、その中には
{{}、{{}}、{{{}}}、…}
とかいう無限集合は存在するが
{}の無限重の集合はやはり存在しない
>この議論では必然的に通常の数学のωと、今話題のωが両方出てきてどっちの話してんのかわけわかめになる。
私は、今話題のωと通常の数学のωとは、同じ意味で使っていますよ
>>12
＞ 上記を認めても、1の言われる
その「1の言われる」とかいう表現やめてもらえますかね？
「1の言われる」という表現は、いままでサル石しか使っていません
あなたは、サル石ですか？
サル石なら、議論は打ち切りますよ
サル石とは、ガロアスレ以外では相手をするつもりがないのでね
＞{{…{}…}}（{}の多重無限）を現代数学での議論の範囲内で議論するつもりなら
＞現代数学でいうところの ‘well defined’ と呼べる定義を与えて下さい。
（注：原文で‘ツェルメロ構成のω’ とあるところを
{{…{}…}}（{}の多重無限）に置き換えました）
ごもっともです。
ただ、うまく書き表せるでしょうか？私には思いつきません
1が主張されていることなので、1に全てお任せ致します。
＞私は、今話題のωと通常の数学のωとは、同じ意味で使っていますよ
それは認められませんね
あなたのいう集合は、無限公理の集合ωとは異なりますから、区別願います
＞その「1の言われる」とかいう表現やめてもらえますかね？
では、あなたが呼ばれたい名前を示してくださいますか
HNが長いので、そのままでは書きづらいのです
代案が示されない場合、今後、雑談氏と呼びますがいいですか？
あなたは議論といっていますが、私が考えるかぎり雑談なので
数学の話したいの？
数学っぽい与太話ができればそれで満足なん？
もし、あなた（◆e.a0E5TtKE 氏）が
{{…{}…}}（{}の多重無限）をωと呼びつづけるなら
誠意がないものとして、「議論」を打ち切ります
少なくとも呼び名の問題よりもはるかに本質的なことですから
{{…{}…}}（{}の多重無限）を数学の論理式で表そうとすると
ω(＝{{},{{}},{{},{{}}},…})や、ω’(＝{{},{{}},{{{}}},…})とは
根本的に異なる困難に突き当たることに気づけますね。
どうも、ガロアスレのスレ主です（＾＾
ああ、貴方が
現代数学はインチキのデパート
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1570145810/21
のID:4Fu/lmU2さんだったか（＾＾
１）もし可能なら、前スレ21とか>>18の出典 手元のテキストでもなんでも良いですが
ご紹介ください。他のROMさんたちにも、その方が良いでしょう
２）あと、分出公理、冪集合公理、無限公理その他を、私は使います。まあ、それは自分で貼りますよ
３）あと、”哲学の話をしたいならご自由に”ですね、どちらかと言えば、私はそちらです
そもそも、これは私の持論ですが、２ch数学板で、数学ゼミでやるような厳密な議論はしない方が良いと考えていますので
（それ、時間と余白のムダ。相手が誰かも分からない名無しさんとの議論は、普通に議論していても、だいたいが議論が議論が噛み合いませんしね。
「現代数学でいうところの ‘well defined’ と呼べる定義」なんて、∀と∃のてんこ盛りの式書いても、記号制限もある不便な板では、余計混乱するだけだと
まあ、落ちているそういう定義は、コピペできる範囲で、拾ってきますけど。
でも、たいてい、特殊記号の制限と文字化けで、えらく苦労しています（＾＾； ）
上記、可能な範囲で
よろしくお願いします（＾＾
>誠意がないものとして、「議論」を打ち切ります
ええ、結構ですよ
２chでの「議論」には、それほど価値を置いていませんので
そもそも、お二人の数学の資格とレベルは？
それが、この数学板で証明できますか？
証明できないなら、どこのだれもと知れないですよね
（中学生なのか高校生なのか大学生なのか院生なのか教員なのか研究者なのか？ 教員、研究者は無いと思うけど ）
だから、名無しさんと、時間をかけて、ここで議論する意味は、あまりないでしょ？
私は、勝手に書きたいことを、続けて書きますので
悪しからず、ご了承ください（＾＾；
> 今話題のωと通常の数学のωとは、同じ意味で使っていますよ
{a}は記法上は{}をつけているだけだが意味はaを要素と持つ集合という意味
「通常の」ωは「全ての有限順序数(= 自然数)を要素に持つ集合」から定義される
「1の言う」ωは異なる定義なんでしょう？
つまりω = {?}と書くのなら何を要素に持っているの？ということを
書いてくれと他の人は言っているんですよ
例を挙げると
(1)有限集合をただ1つ要素に持つのならば
ω = {ある1つの有限集合} : 順序数は有限
(2)無限集合をただ1つ要素に持つのならば
ω = {ある1つの無限集合} : 順序数はω+1以上になる
上の(1), (2)では順序数はωにはならない
それで「1の言う」ωではω = {?}が集合として何を要素に持てば
順序数がωになるのかを書かないと定義できたことにはならない
>>26
> 上記、可能な範囲で
> よろしくお願いします（＾＾
だからその範囲で上の内容をあなたが書けばよいのです
∃ω.{}∈ω∧(∀x.x∈ω⇒x∪{x}∈ω)
ω’(＝{{},{{}},{{{}}},…})
∃ω’.{}∈ω’∧(∀x.x∈ω’⇒{x}∈ω’)
さて{{…{}…}}（{}の多重無限）はどう表せるのか？
そもそも、{}は上記の集合の要素か？ {{}}は？ {{{}}}は？
出展もクソも>>18の内容は数学科なら最初の2,3ヶ月目までに絶対習う内容で(順序数は微妙だけど)まさに何にでも載ってるし誰でも知ってる話だけど。
しかし俺が読んだのは確か共立出版の公理的集合論って本だったかな？
あなた掲示板だからある程度はコンセンサスとれてるとして効率的に行こうといってる。
まさにそこは正論なんだけど、だからこそ理学部数学科では自分ではコッチの方がいいかなぁと思いつつもそこは世間一般で通用してる定義を採用する。
しかしもちろんどうしてもそうでないものを採用せざるを得ない場面はあるし、その場合には必ず数学的な定定義を与えてから議論を始めないと数学にならない。
あなたのωを仮にΩと書くなら、このΩは数学の世界では全くコンセンサスは取れてません。
論理式を用いて正確に定義してください。
でなければそもそも議論が始まりません。
(引用開始)
ノイマン宇宙のV_ωには
{}、{{}}、{{{}}}、…
という{}の有限重の集合は全て存在する
しかし、{}の無限重の集合は存在しない
(引用終り)
おやおや
公理的集合論では、どんな奇妙な集合でも、禁止されていない集合は存在しうる
だから、出現して困る集合は、公理で禁止する必要がある
そのための、正則性公理
そうして、正則性公理は、無限上昇列を禁止するものではない
例 ノイマンの自然数構成N＝ω （>>6）
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
では、ツェルメロの自然数構成で
0：Φ
1：{Φ}
2：{{Φ}}
・
・
n：{・・{Φ}・・} n重
これで、全ての有限の自然数は構成できる
無限公理で、Nとωが出来たあとに、
ω：{・・{Φ}・・} ω重
と定義すれば良い
まあ、これが、ツェルメロの自然数構成の弱点であり、批判されるところでもあります（＾＾
自然に、N＝ωが出るノイマン構成の方がはるかに綺麗です
>つまりω = {?}と書くのなら何を要素に持っているの？ということを
>書いてくれと他の人は言っているんですよ
そうあせらないで（＾＾
そのうち、しばらくすれば、分かってきますから
定義も、準備が必要なんです（＾＾
＞(1)有限集合をただ1つ要素に持つのならば
＞ω = {ある1つの有限集合} : 順序数は有限
＞(2)無限集合をただ1つ要素に持つのならば
＞ω = {ある1つの無限集合} : 順序数はω+1以上
：の後の「順序数は…」はどういう意味？
どうも、ありがとう
>しかし俺が読んだのは確か共立出版の公理的集合論って本だったかな？
あなたは、なかなか誠実な人ですね
よく分かりました
>あなたのωを仮にΩと書くなら、このΩは数学の世界では全くコンセンサスは取れてません。
>論理式を用いて正確に定義してください。
>でなければそもそも議論が始まりません。
いや、>>32に書いたけど
そうあせらないで
定義の前に、{・・{}・・}と、多重かつ可算無限（厳密には最小のω）に{}が重なった集合が存在しうるかどうか？
私は、存在しうると考えています
もし、存在できないとすれば、存在を規制する公理が存在するべき
それは、正則性公理ですか？
まず、存在しうるか否か
それを決着させましょうよ（＾＾
なんか、存在し得ないという反論側が、「要素が分からない」とか云々とか横道へ
その前に、どの公理に反するのかと、その公理をどう適用して存在しないことを主張するのかを明確に（＾＾
＞あなたのω（{{…{}…}}（{}の多重無限））を仮にΩと書くなら、
＞このΩは数学の世界では全くコンセンサスは取れてません。
少なくとも、ZFCにおける集合ではないですね
◆e.a0E5TtKE氏は{{…{}…}}（{}の多重無限）を
別の記号であらわすことを拒否したので、
我々が決めましょう Ωとあらわすことでもいいですか？
＞公理的集合論では、どんな奇妙な集合でも、禁止されていない集合は存在しうる
「Vωでは」と書いているので、
フォンノイマン宇宙の定義を読んで確認しましょう
確認なしの「感想」は無意味ですから
フォン・ノイマン宇宙
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
「・V0は空集合, {}とする。
・各順序数 βに対して、Vβ+1はVβの冪集合とする。
・各極限順序数 λに対して、Vλは、次の和集合とする:
Vλ＝∪(β＜λ)Vβ」
ωは極限順序数ですから、VωはVn(nは自然数)の合併です
{}はV1,{{}}はV2,{{{}}}はV3,…で現れます
VωはVnの合併ですから、あらゆる{}の有限重は現れますが
無限重は現れません
>無限公理で、Nとωが出来たあとに、
>ω：{・・{Φ}・・} ω重
>と定義すれば良い
１行目のωと2行目の「ω：」のωは違いますよね
だから2行目のωを別の表記に変えましょう
といってるんですよ 理解しましたか？
あなたが拒否したので、我々のほうで
Ω：{・・{Φ}・・} ω重
と決めさせていただきました
ただ、そうしたところで、実はまだΩは定義されていません
では頑張って定義見つけて下さい。
面白そうな定義が見つかればまた拝見します。
＞ノイマンの自然数構成N＝ω
＞0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ∈N＝ω
相変わらず「 ∈N」の左側を・・・と書いていますが
そういうことをしている限り、あなたは間違いに気づけませんよ
ｍ∈N で、ｍは自然数です
したがって
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・ ｍ∈N＝ω
は有限列です
＞{・・{}・・}と、多重かつ可算無限（厳密には最小のω）に{}が重なった集合
＞が存在しうるかどうか？私は、存在しうると考えています
１．「存在しうる」が「ZFCで証明できる」の意味なら、
ZFCでの証明を示しましょう。
２．「存在しうる」が「ZFCと矛盾しない」の意味なら
最低でも上記の証明の存在を示す公理となる論理式を示しましょう
＞存在できないとすれば、存在を規制する公理が存在するべき
＞それは、正則性公理ですか？
Ω＝{・・{}・・}、Ω＝{Ω}という形で
安直に実現するなら正則性公理に反します
他の方法があるなら示してほしいですね
＞まず、存在しうるか否かそれを決着させましょうよ
数学として間違った態度ですね
はっきりいって、いい定義が見つかるなら
とっくに数学者が見つけて研究しているでしょうね
「要素が分からない」というのは、決して横道ではなく本質ですよね
Ω＝{・・{}・・}で、
{}∈Ωでない
{{}}∈Ωでない
{{{}}}∈Ωでない
・・・
としたら、Ωの要素は何なんですか？ということになる
そこで無理筋だと気づくのがまともな人なんですけどね・・・
◆e.a0E5TtKE氏は気づかないようです
＞定義も、準備が必要なんです
>>34
＞そうあせらないで
ろくに定義もせずに、あせって
{{…{}…}}（{}の多重無限）
と書いたのは◆e.a0E5TtKEさん、あなたです
あせらないで、書き込みせずに考え続けたら如何ですか？
その間、このスレッドは、我々が有効に使わせていただきますから
御心配なく
(引用開始)
ID:kZwmbLNIさん
現代数学はインチキのデパート
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1570145810/23-
(抜粋)
ｍ∈Nで、ｍは自然数であるなら
0∈1∈2∈3∈・・・∈n∈n+1・・・m∈N＝ω
は”明らかに”有限長です。
(引用終り)
と解釈することで折り合いを付けた
ここは、ちょっと異論があるのですが、後で（＾＾
(引用終り)
ここに戻ります
最小の超限順序数 ωは、極限点です。集積点とも言います
T1-空間（＝”任意の相異なる二点が分離できる”。実数Rはそうです）では
集積点ωは、”任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である”
つまり、閉区間[0,1]内の数列
0=1-1/1,1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・
を考えます。n→∞で、1-1/n→1に収束します。そして、[0,1]の点1は、集積点です
もうお分かりでしょう。1-1/nが順序数nに対応し、点1は∞つまり順序数nに対応します
点1は集積点で、”任意の近傍が S の点を無限に含む”ですから、閉区間[0,1]の内側に少しでも入れば
無限の1-1/nたちを含みます。無数の順序数nたちを含みます
なので、あなたの上記証明は、「ωは、極限点」という性質を反映していませんね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
(抜粋)
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類（クラス）において順序位相に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
集積点あるいは極限点は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
https://ja.wikipedia.org/wiki/T1%E7%A9%BA%E9%96%93
T1空間
(抜粋)
X が T1-空間であるとは、X の任意の相異なる二点が分離できるときに言う
(引用終り)
ID:o3KPqddgさん、どうも
>では頑張って定義見つけて下さい。
>面白そうな定義が見つかればまた拝見します。
そうそう
しばし、ご猶予を
また、お願いします（＾＾
閉集合、開集合、位相空間ですか？(゜ロ゜;
>あなたの上記証明は、「ωは、極限点」という性質を反映していませんね
ええ
まず、位相は考えていません 集合論ですから
次に、極限順序数というのは、そもそもωが最初ですが
ωは無限公理によってはじめて定められるものです
ωには最大の要素というものはありません
つまり「最大の自然数（有限順序数）」は存在しません
したがって、どのような∈の列も
0∈1∈2…n-1∈n∈ω
という有限列にならざるを得ません
反駁するなら集合論の中でやってください
関係ないものを持ち出す時点で
見当違いであることに気づきましょう
0={},1={{}},2={{{}}},…
において
1の要素は0のみ
2の要素は1のみ
…
ｎの要素はｎ-1のみ
となる
Ωを無限重の{}としたとき
Ωの要素は何か
0は違う、1も違う、2も違う、…、任意のnについて「違う」といえる
無限公理のωについては、ωー1は存在しないが、
上記のΩについて、例えばΩー1の存在を認めた上で
Ωの要素はΩー1だとしたとしよう、そして
Ωー1の要素はΩー2
Ωー2の要素はΩー3
…
としたとしよう
その場合、際限なく下降でき（つまり正則性公理に反し）
しかも0どころかどの自然数ｎにも到達しそうもない
Ω∋Ωー1∋Ωー2∋Ωー3…
さて、
「自然数 ノイマン構成の集合Nから、{・・・{Φ}・・・}（{}はω重）なる集合が取り出せる」話（＾＾
・自然数
ノイマン構成
0：Φ
1：{Φ｝
2：{Φ,{Φ}}→{{Φ}}（一番右以外のΦを除く。{}は2重）
3：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}→{{{Φ}}}（一番右以外のΦを除くことを繰返す）
・
・
n：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・}→{・・{Φ}・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）
・
・
ω：N＝{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}→{・・・{Φ}・・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重）
自然数 ノイマン構成の集合Nから、{・・・{Φ}・・・}（{}はω重）なる集合が取り出せる
これが、ツェルメロ構成のω {・・・{Φ}・・・}（{}はω重）に相当しますね
つまり、ノイマン構成とツェルメロ構成とは、一対一に対応していますよ。当たり前ですが（＾＾
なので、ノイマン構成でωが可能なら、ツェルメロ構成でそれに相当する集合ωが存在し得るのです
ここで、
”（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）”とか
”（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重）”とかは
分出公理（下記）を（繰り返し）使うと思います
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
この構成法はジョン・フォン・ノイマンによる[1]。
http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/02/102042
Rei Frontier Tech Blog
2017-11-02
ZFC公理系について：その1
(抜粋)
分出公理と共通部分
次の公理を導入しましょう。
(Set6') 分出公理
∀a∃b∀x(x∈b⇔x∈a∧P(x)).
"普通の言葉"で述べると、
「任意の集合aに対して、P(x)が成り立つようなaの元xの全体からなるaの部分集合bが存在する」といえます。
番号にダッシュ'がついているのは、分出公理は後々に出てくる公理から証明されるので、ZFCに数える必要がないためです。
外延性公理によってこのようなbは確定し、
{x∈a?P(x)}
と表されます。
(引用終り)
＞ω：N＝{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}→{・・・{Φ}・・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はω重）
◆e.a0E5TtKEさん、あなたの躓いた石を見つけましたよ
N={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}に一番右の要素は存在しません
したがって、そのやり方では
{・・・{Φ}・・・}
はできません
＞つまり、ノイマン構成とツェルメロ構成とは、一対一に対応していますよ。当たり前ですが
自然数の範囲では一対一に対応しますが、
Nに対する{・・・{Φ}・・・}は存在しません
「最大の自然数は存在しない」と理解している人なら当たり前ですが
（逆にいえば、当たり前でない人は、最大の自然数がある、と誤解している）
＞反駁するなら集合論の中でやってください
えーと、これなんかどうしょうか
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係
任意の順序数 α, β, γ に対して次が成り立つことが示される：
α not∈ α,
α ∈ β かつ β ∈ γ ⇒ α ∈ γ,
α ∈ β または α = β または β ∈ α 。
そこで、α ∈ β のとき β は α より大きいといい、α < β と書く。
この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。
ω より小さな順序数（すなわち自然数）を有限順序数と呼び、ω 以上の（すなわち ω と等しいか ω より大きい）順序数を超限順序数と呼ぶ。
順序数の大小関係に関して次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。
だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
>◆e.a0E5TtKEさん、あなたの躓いた石を見つけましたよ
>N={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}に一番右の要素は存在しません
いえいえ
極限ですよ
有限の
n：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・}→{・・{Φ}・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）
ここで、n→∞とする
n→∞の極限を正統化するのが、無限公理でしょ（＾＾
n→∞の極限が分からないと、>>42の極限順序数 ωが集積点であるということが理解できない
補足します
閉区間[0,1]内の数列
0=1-1/1,1-1/2,1-1/3,・・,1-1/n,・・
を考えます。n→∞で、1-1/n→1に収束します。そして、[0,1]の点1は、集積点です
１）nが任意の自然数では、数列は、半開区間[0,1 ）内です
２）nが自然数Nの全ての要素を渡りきって、ωに到達したときに、1-1/n→1に到達します
３）任意の1-1/nから点1の間に、無数の数列を構成する点があるということ
（再録）
なお、議論の前提として、ある程度、標準的に認められている現代数学の成果
テキストや、ウェブサイトにある、現代数学の成果は認めるものとしましょう
（そうしないと、全てを公理からの構成や厳密な証明を求めるようなことをすると、余白が足りない（時間も足りない））
(引用終り)
これ思い出しておいてくださいね
それで
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
任意の自然数よりも大きい最小の超限順序数 ω
(抜粋)
特徴付け
極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる:
・順序数全体の成す類（クラス）において順序位相に関する極限点 (ほかの順序数は孤立点となる)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E7%A9%8D%E7%82%B9
集積点/極限点
(抜粋)
集積点あるいは極限点は、位相空間 X の部分集合 S に対して定義される概念
定義
位相空間 X の部分集合 S に対し、X の点 x が S の集積点であるとは、x を含む任意の開集合が少なくとも一つの x と異なる S の点を含むことを指す
この条件は T1-空間においては、x の任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値である
(引用終り)
これ、認めましょうね
超限順序数 ωが、極限点であること、任意の近傍が S の点を無限に含むという条件に同値であること
だから、超限順序数 ωから、任意の有限順序数ｎの間には、「S の点を無限に含む」つまり、無限の順序数がある
補足します
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
その後、それらの最小上界（後に ω + ω と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。
だがそれで終わりではない。
無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
(引用終り)
このような、順序数の無限の列が、ZFCで構成できる
多分、ノイマン宇宙とかですかね。あるいは、到達不能な巨大基数か（＾＾
で、例えば、最小の超限順序数 ωなどから、
下の有限順序数ｎの世界へ行くのに
無限上昇列を逆に辿れば、無限に降下する列になる
でも、これを正則性公理で禁止するということはおかしいですよ
つまり、正則性公理のいう無限降下列禁止と、
超限順序数 ωなどから無限上昇列を逆に辿る話とは別ものと考えざるをえないということ
＞＞>N={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・}に一番右の要素は存在しません
＞いえいえ、極限ですよ
極限は、N自体であって、Nの要素の中にはありませんよ
無限公理の式
∃ω．{}∈ω∧∀x.x∈ω⇒x∪{x}∈ω
とくにx∈ω⇒x∪{x}∈ωのところ
つまりいかなる元ｘもその右側にｘ∪{x}なるｘがある
といってるわけですから、一番右の元など存在しようがないのです
まず、ωを定義する式を真っ先に読むこと
それより先に読むべきものなどありませんよ
>>52
>いえいえ
>極限ですよ
>
>有限の
>n：{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・}→{・・{Φ}・・}（一番右以外のΦを除くことを繰返す。{}はn重）
>
>ここで、n→∞とする
訂正して解釈して読んでも、極限は極限は存在せず、第n項がnの実数列 {n} は発散する。
>n→∞の極限を正統化するのが、無限公理でしょ（＾＾
自然数全体の集合Nや無限集合の存在性を保証するのが無限公理。
可算無限無限集合Nの存在性の保証はペアノの公理で済む。
＞議論の前提として、ある程度、標準的に認められている
＞現代数学の成果は認めるものとしましょう
あなたは無限公理の式を読みましたか？理解しましたか？
わたしにはとてもそうは思えません
もし一度でも読んで理解したなら
「ωの一番右の元」なんて存在しないものを
口にすることは絶対にしない筈ですから
まず公理の式を見ましょう そして理解しましょう
それなしに書き込むことはやめてください 迷惑です
>>56の訂正：極限は極限は → 極限は
>>56は>>51宛て。
まあ、どっちもスレ主だが。
＞https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
＞極限順序数
”極限順序数は他にもいろいろなやり方で定義できる”のところで
引用するならまずここでしょう。読みましたか？
・最大元を持たない非零順序数。
「最大元を持たない」と書かれていますね
ωには最大元、つまり一番右の元はない、ということです
あなたはwikipediaの文章も読まずに（読んでも理解せずに）
全く矛盾することを書いたんですよ それじゃ検索しても無駄ですね
検索したなら一字一句読んで理解してください
理解せずに全く正反対の嘘を書かれては迷惑です
＞最小の超限順序数 ωから、下の有限順序数ｎの世界へ行くのに
＞無限上昇列を逆に辿れば、無限に降下する列になる
いつまで、その嘘を書き続けるおつもりですか？
まず
0,1,2,…
という無限列にはωは現れません
現れないものを起点とする列は作れませんね
次に
0,1,2,…
という無限列の右側に無理矢理ωを追加した列を
ひっくりかえしたとしましょう
そのとき、ωのすぐ右側には何が来ますか？
答えられないでしょう
当然です そんなものは存在しないからです
無限公理のωからの下降列を構成する場合
ωの次に来るのは別にω未満の最大の元ではありません
ω未満のｎであればなんでもいいんです
そしてそのようなｎはみな自然数ですから
結局下降列は有限列になります
＞これを正則性公理で禁止するということはおかしいですよ
存在しない無限下降列は禁止できないですよ
もし、存在すると言い切るのなら、
ωのすぐ右側の元を書いてみてください
その瞬間、あなたも自分が間違っていたと気づく筈
もし気づかないなら、知的誠実さが欠如しています
さて
・正則性公理では、「無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない」と規定するが
・順序数では、「順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する」
一方
「0, 1, 2, 3, ............, ω」
「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
（ここでノイマン構成では
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている）
となる
・二つを比較すると、
正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない
順序数の無限下降列には、最小元が存在する
という違いがある
これ、大きなポイントでしょうね（＾＾
・あとは、これをどう解釈するのかだけです
１）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、もともと、正則性公理には反していない
２）無限列が、極限順序数ωなどを跨ぐ場合は、除外（ωは集積点ですから、跨げば必ず無限列を成す）
３）クラスの違いで考える。有限順序数の集合の属するクラスと、ωの集合の属するクラスとでは
クラスが別で、クラスを跨ぐ数列には、正則性公理は適用できないと考える（∵ 元々ZFCは、クラスを扱えない）
この１）〜３）のどれか（あるいは全て）
こんなところじゃないでしょうか
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、∃y∈x,x∩y=0
・∀xについて、∈がx上well-founded
・∀xについて、無限下降列である x∋x1∋x2∋・・・ は存在しない。
つづく
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
順序数の大小関係に関して次が成り立つ：
5.順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............, ω + ω, S(ω + ω), S(S(ω + ω)), S(S(S(ω + ω))), ..............................
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。
そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく。
(引用終り)
以上
＞可算無限集合Nの存在性の保証はペアノの公理で済む。
これ、誤りですね
自然数全体の集合は可算無限集合ですから
そしてまさにその集合の存在を認めるのが無限公理
ペアノの公理は、集合論の公理ではなく自然数論の公理です
つまり自然数論では対象は自然数しかないのですが
それを規定するのがペアノの公理です
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ようこそ
お元気そうでなによりです
＞一方
＞「0, 1, 2, 3, ............, ω」
＞「すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である」
＞（ここでノイマン構成では
＞0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω となる順序が形成されている）
＞となる
これ、嘘ですね
何度も書いてますが
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω
では、「∈ω」の左側の要素が…のままで明記されません
したがって∈列ではありません
順序数の順序の列と∈列は異なります
この事実をまず理解しましょう
＞ 正則性公理の無限下降列には、最小元が存在しない
＞ 順序数の無限下降列には、最小元が存在する
あなたのいう「順序数の無限下降列」が
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω
のことなら、そもそも無限下降列ではないので嘘です
通常であれば「誤り」というところですが、
あなたが私の文章を一切読まず（読んでも理解せず）に
執拗に書き込みつづけるのであえて「嘘」といわせていただきました
はっきりいって非常に悪質と言わざるを得ません 迷惑です
＞これ、大きなポイントでしょうね
実に初歩的でつまらない誤りですよ
だからこのような誤りに固執して書き込みするのは迷惑です
>ペアノの公理は、集合論の公理ではなく自然数論の公理です
テキストに書いてあると思うが、ペアノの公理は素朴集合論の公理だろ？
ペアノの公理で可算無限集合Nは構成出来る。
あなたが必死に否定しようとしている
無限に関する
{・・・{Φ}・・・}（{}はω重）
なる集合の存在に対する論法
まるで、哀れな素人さんの論法そっくりですよ
＞１）順序数の無限下降列には、最小元が存在するから、
＞ もともと、正則性公理には反していない
そもそもあなたのいう
0∈1∈2∈ 3∈ ............∈ω
は「∈ω」の左側の元を記載した瞬間、
有限列になるので、無限下降列にはなりません。
最小元の存在とかいう以前の問題
＞２）無限列が、極限順序数ωなどを跨ぐ場合は、除外
＞ （ωは集積点ですから、跨げば必ず無限列を成す）
いかなる超限順序数であろうと、降下列は有限です
極限順序数の場合は、すぐ下の順序数がないので飛びます
つまりωの下は、自然数ｎになります
＞３）クラスの違いで考える。
＞ 有限順序数の集合の属するクラスと、
＞ ωの集合の属するクラスとではクラスが別で、
＞ クラスを跨ぐ数列には、正則性公理は適用できないと考える
順序数が理解できてませんね
順序数の全体はクラスですが、
有限順序数の全体はωという集合です
また、例えばたかだか可算無限順序数の全体の集合はアレフ１です
そして、前にも述べたように、いかなる無限順序数でも降下列の長さは有限です
超限帰納法が意味を持つのは、降下列の長さが有限だからです
>順序数の順序の列と∈列は異なります
ノイマン構成では、順序数の順序の列と∈列は一致するのでは？（＾＾
下記より
”集合 x について以下はZFで同値である。
・x は順序数である。
・x は推移的集合であり帰属関係 ∈ に関する整列集合である。 (ジョン・フォン・ノイマンの定義)[3][4]”
とありますよ
一方、ツェルメロ構成では、一致しない。そこは批判されています（＾＾
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/順序数
順序数
定義
整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G A,<を超限帰納法によって
GA,< の値域 ran(GA,<) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
順序数の特徴付け
集合 x について以下はZFで同値である。
・x は順序数である。
・x は推移的集合であり帰属関係 ∈ に関する整列集合である。 (ジョン・フォン・ノイマンの定義)[3][4]
注釈
2．^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。
詳細は「順序型」を参照。
(引用終り)
HN「哀れな素人」氏の主張の全てが
誤っているわけではありませんよ
彼の主張で誤っているところがあるとすれば、それは
「無限集合が存在するならば矛盾する」という点でしょうか
（矛盾しない、と断言できるわけではないが、
少なくとも矛盾の証明がないのに矛盾するというのは誤り）
一方、自然数を列挙する行為で、
「最後の自然数を書いて完結する」
のはあり得ない、というのは正しいです
完結するのに最後の自然数が必要、
という点は誤っていますが
（完結する、とは集合として扱えるという意味）
一方、あなたは
「いや、自然数を列挙する行為も
最後の自然数を書いて完結する。
最後の自然数はωだ。」
と言いたいようですが、全くの誤りです
無限集合を正当化するのに、こんな酷い嘘をつく必要はありません
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
分出公理
置換公理はフレンケルによって次の分出公理の代わりにおかれたものである（1922年）。分出公理は上に述べた ZF の公理から示すことができる。
分出公理 任意の集合 X と A を自由変数として使用しない論理式 ψ(x) に対して、X の要素 x で ψ(x) をみたすような x 全体の集合が存在する：
∀X∃A∀x(x∈A←→(x∈X∧ψ(x)))。
この公理は、論理式 ψ をパラメータとする公理図式である。
論理式 ψ を決めたとき、X に対して分出公理が存在を主張する集合はただ一つであることが外延性の公理から言えるので、
これを {x∈X｜ψ(x)}で表す。
{x∈X｜x∈Y} を X∩Yで表す。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88%E5%85%AC%E7%90%86
冪集合公理
(抜粋)
略
A の冪集合 P(A)
この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：
任意の集合 A が与えられたとき、任意の集合 B が P(A) に属するようなある集合 P(A) が存在するための必要十分条件は、B のすべての元が A の元でもあることである。
部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。＊）
外延性公理により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。
冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、構成的集合論（英語版）においては可術性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。
(引用終り)
注：＊）ここ直訳ぽいけど、要するに、冪集合公理の記述には、”部分集合”という用語は使わないってことです
つづく
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理
(抜粋)
定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。
空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。
まず定義中の集合 A（注：無限集合） は以下の性質を満たすことを確認できる。
（以下同様に繰り返す）
各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},・・・} とおくと、 B は A の部分集合である。
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A≠Bである。
なぜならば定義により B∪{B}∈A であるが、B∪{B} not∈B となるからである。
一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、
無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。
上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。
ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）
(引用終り)
以上
＞ノイマン構成では、順序数の順序の列と∈列は一致するのでは？
ωについていえば、一致しません
ｎ∈ω （ｎは自然数）しかいえませんから
あなたの主張は整礎性の否定であり、超限帰納法の否定です
つまり集合論の根幹を全面的に否定する暴挙です
＞一方、ツェルメロ構成では、(順序数の順序の列と∈列は)一致しない。
すでに、>>74にてノイマン構成でも、ωで一致しないと述べたので
不一致が問題ということではありません
問題は
「無限公理のωでは、ｎ∈ωはいえるが
あなたのいうΩでは、ｎ∈Ωがいえない」
という点です
もしかしてあなたは
｛｛｛｝｝｝の要素は｛｛｝｝だけでなく｛｝もそうだ
と思ってますか？
もしそうならそれは全くの誤りです
｛｝と｛｛｝｝を要素とする集合は
｛｛｝、｛｛｝｝｝であって｛｛｛｝｝｝ではありません
(引用開始)
＞つまり、ノイマン構成とツェルメロ構成とは、一対一に対応していますよ。当たり前ですが
自然数の範囲では一対一に対応しますが、
Nに対する{・・・{Φ}・・・}は存在しません
(引用終り)
あなたのやろうとしていること、そもそも無理ゲーですよ
１）現代数学は、無限と無限操作を許容している（下記 フォン・ノイマン宇宙ご参照 ）
２）0に冪集合の演算を超限回繰り返して得られる集合を許容している
（無限の演算とか無限の操作を許容するのは現代数学では当たり前。それで矛盾が起きないようにってことが重要）
３）冪集合を使って、{a}から{{a}}というカッコ{}を一つ集合を作ることができる（>>14に示しました）
４）だから、空集合Φに冪集合の演算を超限回繰り返して得られる集合 {・・・{Φ}・・・}（{}が無限重になっている集合）は存在します
それ、フォン・ノイマン宇宙の説明に書いてある通り
５）正則性公理に反するという主張は、不成立。
そもそも、正則性公理は最小元の存在を規定するものであって、無限上昇列を禁ずるものでない。
（無限上昇列を禁じたら、現代数学にならんぞ）
その代表例が、ノイマンの自然数構成で、逆に辿れば、ωから0（＝Φ）に至る降下列
これが、正則性公理に反するなどありえんよ
理屈は、ツェルメロ構成に同じだよ
６）空集合Φに冪集合の演算を超限回繰り返して得られる集合
{・・・{Φ}・・・}（{}が無限重になっている集合）
を否定するなんて、
それ、無理ゲーですよ
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。
補足
”アレフ0 = ω は自然数全体の濃度であり、選択公理の下で最小の無限基数である．”
なんですよね
そして、アレフ0が、可算無限集合 自然数の濃度なんですよね
https://konn-san.com/math/freshman-2016-resume.pdf
集合論への招待＊
〜実数直線の集合論〜
石井大海
Saturday 4th June, 2016
P2
実は，集合の宇宙はこの順序数に沿ってボトムアップに構成されている，ということがわかります*2)：
*2) これは実際には von Neumann による基礎の公理のお陰で証明出来るので，Cantor らの頃の公理化されていない集合論の定理で
はありません．しかし，こうした生成的な集合観は基礎の公理が提案される以前から集合論者の脳裡にあったものです．
P3
? アレフ0 = ω は自然数全体の濃度であり、選択公理の下で最小の無限基数である．
追加
”・N の順序型を ω で表す．最小の無限順序数で，N そのものと同一視できる．”
だな
自然数ノイマン構成
Φ＝0∈1∈2∈3・・・∈n・・・∈N(＝有限の自然数の全てを含む最小の集合)＝ω（最小の極限順序数として）
ですよね
（参考）
https://konn-san.com/math/freshman-2016-resume.pdf
集合論への招待＊
〜実数直線の集合論〜
石井大海
Saturday 4th June, 2016
P2
・N の順序型を ω で表す．最小の無限順序数で，N そのものと同一視できる．
追加
列
Φ＝0∈1∈2∈3・・・∈n・・・∈N
の長さが有限？
あなた
なんとかの素人さんですか？
３）冪集合を使って、{a}から{{a}}というカッコ{}を一つ集合を作ることができる（>>14に示しました）
↓
３）冪集合を使って、{a}から{{a}}というカッコ{}を一つ増やした集合を作ることができる（>>14に示しました）
(引用開始)
冪集合で P({a})={Φ,{a}}
つまり、 P({a})は{a}という一元集合の冪集合です
ここで、{Φ,{a}}から、{{a}}という集合を作ることができるということを認めることにしましょう
（注：{Φ,{a}}から、元Φを取り除くだけですけど（多分、分出公理を使う）
あるいは、 P({Φ,{a}})={Φ,{Φ},{{a}},{Φ,{a}}}としても、{{a}}は作ることができる ）
(引用終り)
上記より、空集合の冪集合を繰返して順に集合を作り、{}の多重になった集合を作る
1回P(Φ)={Φ}→{Φ}（1重）
2回P({Φ})={Φ,{Φ}}→{{Φ}}（2重）
3回P({{Φ}})={Φ,{{Φ}}}→{{{Φ}}}（3重）
・
・
n回P({・・{Φ}・・})={Φ,{・・{Φ}・・}}→{{・・{Φ}・・}}（n重集合）
（ここに、{・・{Φ}・・}は、{}のn-1重集合）
フォン・ノイマン宇宙の「0に冪集合の演算を超限回繰り返して得られる集合」を認める
空集合Φに、ω回冪集合の演算を繰り返した集合として、ω重集合
ω回P({・・・{Φ}・・・})={Φ,{・・・{Φ}・・・}}→{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）
”{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）”を定義します
この集合の性質は、超限順序数ωの性質を引き継ぐものとします
つまり
Φ＝0∈1∈2∈3・・・∈n・・・∈ω＝N
で、この∈関係は、ノイマン構成と違って、集合演算としては推移的ではない
但し、単なる順序としての∈関係では、推移的です（順序の逆転はない）
これが、”{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）”の定義です（＾＾
この話は、>>70の下記と符合していますね
つまり、「順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できる」ということです
つづく
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
(抜粋)
注釈
2．^ 順序数は本来、上で述べた定義とは異なる仕方で定義されていた。
その定義とは、順序集合全体の集まりを「同型である」という "同値関係" によって類別したとき、順序集合 (A, <) の "同値類" を (A, <) の順序型（order type）と呼び、特に整列集合の順序型を順序数と呼ぶというものである。
ところが現代の標準的な集合論においては、A が空集合でない限り (A, <) と同型な順序集合全体の集合といったものは存在しないことが示される。したがって、このような順序数の定義の仕方は正当な方法であるとは認められない。
これを克服するために考えられたのが上で述べた定義であり、現在は上の定義（あるいはそれと同値な定義）が広く用いられている。
だが、順序型というアイデア自体が排除されたわけではない。順序数を上で述べたような仕方で定義した後、それを用いることによって順序型を正当な方法で定義できるということが知られている。
ただし、整列集合の順序型と順序数は別のものになる。
詳細は「順序型」を参照。
以上
おっちゃん、どうも、ガロアスレのスレ主です。
おっちゃん、おやすみ（＾＾
まだダメ。
wikiの下の方にちゃんと
‘冪集合をとる操作を超限的に繰り返したもの’
を数学的にどう定義するか述べられてるでしょ？
それと同じ事をやらなけりゃダメ。
＞空集合Φに冪集合の演算を超限回繰り返して得られる」
＞集合 {・・・{Φ}・・・}（{}が無限重になっている集合）
＞は存在します
嘘をいくら書かれても真実にはなりませんね
証明できますか？できませんよ
＞列
＞Φ＝0∈1∈2∈3・・・∈n・・・∈N
＞の長さが有限？
ええ
あなたがいつまでも「・・・∈N」と∈の左側を書かないから
自分の誤りに気づけないのです
なぜいわれたことをやらないのですか？
必ずやりましょう それが数学です
＞フォン・ノイマン宇宙の
＞「0に冪集合の演算を超限回繰り返して得られる集合」
＞を認める
＞空集合Φに、ω回冪集合の演算を繰り返した集合として、ω重集合
＞ω回P({・・・{Φ}・・・})={Φ,{・・・{Φ}・・・}}→{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）
＞”{{・・・{Φ}・・・}}（ω重集合）”を定義します
「ω回」が誤りですね
>>36で書きましたよ 必ず読みましょう
フォン・ノイマン宇宙
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
「・V0は空集合, {}とする。
・各順序数 βに対して、Vβ+1はVβの冪集合とする。
・各極限順序数 λに対して、Vλは、次の和集合とする:
Vλ＝∪(β＜λ)Vβ」
ωは極限順序数ですから
Vω＝∪(n＜ω)Vn
です
勝手に「ω回」とか嘘八百をでっちあげるのは
迷惑だから絶対にやめてください
◆e.a0E5TtKE氏は
wikiのフォンノイマン宇宙の記述を読まずに
フォンノイマン宇宙に関する嘘をつき続けるとか
知的誠実さに著しく欠けていると言わざるを得ませんね
ツェルメロ構成
批判はされているけれど（＾＾
https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/
Stanford Encyclopedia of Philosophy
Zermelo’s Axiomatization of Set Theory
First published Tue Jul 2, 2013
(抜粋)
3.2.1 Representing Ordinary Mathematics
The first obvious question concerns the representation of the ordinary number systems.
The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
Moreover, it seems that, since both the set of natural numbers and the power set axiom are available, there are enough sets to represent the rationals and the reals, functions on reals etc.
What are missing, though, are the details: how exactly does one represent the right equivalence classes, sequences etc.?
And assuming that one could define the real numbers, how does one characterise the field operations on them?
In addition, as mentioned previously, Zermelo has no natural way of representing either the general notions of relation or of function.
This means that his presentation of set theory has no natural way of representing those parts of mathematics (like real analysis) in which the general notion of function plays a fundamental part.
3.2.2 Ordinality
Zermelo's idea (1908a) was pursued by Kuratowski in the 1920s, thereby generalising and systematising work, not just of Zermelo, but of Hessenberg and Hausdorff too, giving a simple set of necessary and sufficient conditions for a subset ordering to represent a linear ordering.
He also argues forcefully that it is in fact undesirable for set theory to go beyond this and present a general theory of ordinal numbers:
(引用終り)
”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.
Moreover, it seems that, since both the set of natural numbers and the power set axiom are available, there are enough sets to represent the rationals and the reals, functions on reals etc.
What are missing, though, are the details: how exactly does one represent the right equivalence classes, sequences etc.?”
ツェルメロ自然数構成
批判はされているけれど（＾＾
・by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these
・since both the set of natural numbers and the power set axiom are available, there are enough sets to represent the rationals and the reals, functions on reals etc.
・何が不足なの？ What are missing, though, are the details: how exactly does one represent the right equivalence classes, sequences etc.?
まあ、ツェルメロ自然数構成から、無限集合が出来て、自然数とその冪集合から、有理数や実数や実関数などはできる
でも、批判はあった。それは、基礎論パイオニアの宿命でもあったかもしれない（＾＾
{{…{}…}}（{}が無限重）
の最初に現れる}は（左から）何文字目ですか？
”The natural numbers are represented by Zermelo as by Φ, {Φ}, {{Φ}}, …, and the Axiom of Infinity gives us a set of these.”
これで、無限集合ができるなら、{・・・{Φ}・・・}と無限多重の{}カッコが加わった集合が構成されうるってことですよ
それがなければ、有限集合にしかならんわな
だから、くどいけど、Stanford大 URL見ると Michael Hallett さんて方らしいが、ツェルメロ構成で実数まで到達できると言っているんだから
{・・・{Φ}・・・}と無限多重の{}カッコが加わった集合が構成されうるってことですよ（＾＾
英語読めませんか？
Infinity
This final axiom asserts the existence of an infinitely large set which contains the empty set, and for each set a that it contains, also contains the set {a}. (Thus, this infinite set must contain ∅, {∅}, {{∅}}, ….)
つまり>>29で述べたω’(＝{{},{{}},{{{}}},…})
∃ω’.{}∈ω’∧(∀x.x∈ω’⇒{x}∈ω’)
だといってます
決して{・・・{Φ}・・・}ではありません
無限集合って定義というか公理なんだからさ、そういう質問は関係ないよね（＾＾
それ、同じ質問、ノイマン構成でも同じ質問できるよね？
ノイマン構成で無限集合ができました
それで小さい元を左に大きい元を右に並べて、一番右の数字は何か？答えられないならなに？ ノイマン構成の無限集合が存在できないとでも？ （＾＾；
左から順に元を削除していって、
最後の１個を残す、というやり方で
{・・・{Φ}・・・}を作ることはできません
なぜなら最後の１個が存在しないからです
＞小さい元を左に大きい元を右に並べて、一番右の数字は何か？答えられないならなに？
＞ノイマン構成の無限集合が存在できないとでも？
一番右の要素が存在しなくても集合として存在します
横方向は可算無限だろうが、非可算無限だろうが、いくらでも広がりますが
縦方向は必ず有限です
>>92の英文の読みは>>94さんが正解ですね。
Zermeloの構成で可算無限集合ができると言ってる無限集合は{0,1,2,3,‥}であってこのスレのΩが構成できるという意味ではありません。
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