高校数学の質問スレPart400
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレPart399
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1548693213/
(a±b)^2=a^2±2ab+b^2
(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3
a^3±b^3=(a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b=√(ab)、√a/√b=√(a/b)、 √(a^2b)=a√b [a > 0、b > 0]
√((a+b)±2√(ab))=√a±√b [a > b > 0]
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)=0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β)=(-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)=2R [正弦定理]
a^2=b^2+c^2-2bccos(A) [余弦定理]
sin(a±b)=sin(a)cos(b)±cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b)=cos(a)cos(b)干sin(a)sin(b)
log_{a}(xy)=log_{a}(x)+log_{a}(y)
log_{a}(x/y)=log_{a}(x)-log_{a}(y)
log_{a}(x^n)=n(log_{a}(x))
log_{a}(x)=(log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)'=f'±g'、(fg)'=f'g+fg'、(f/g)'=(f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n]a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）∮は高校では使わない）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M=[[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, H[n,k]=nHk
■共役複素数
z=x+iy ( x , y は実数 ) に対し z~=x-iy
入力例
・因数分解
factor x^2+3x+2
・定積分
integral[2/(3-sin(2x)),{x,0,2pi}]
・極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity
・無限級数
sum (n^2)/(n!) , n=1 to infinity
・極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]
グラフ描画ソフトなど
・FunctionView
http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
・GRAPES
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/
・GeoGebra
https://sites.google.com/site/geogebrajp/
入試問題集
http://www.densu.jp/index.htm
http://www.watana.be/ku/
http://www.toshin.com/nyushi/
参考書などの記述についての質問はその前に前後数ページを見直しましょう
またマルチポストは嫌われます
上式を因数分解せよ
これ解ける人いますか？
さっぱり分からず困っています・・
与式はa-bを因数に持ちそう。実際a=bを代入すると与式=0になり、(a-b)を因数に持つ。(因数定理より)
具体的に、
与式=(a-b)((a^2b^2-ab(a+b)(c+d)+(a^2+ab+b^2)cd)(c-d)+c^3(a-d)(b-d)-d^3(a-c)(b-c))
と因数分解できる
同様にa-c,a-d,b-c,b-d,c-dについても考えて、残りの部分も因数分解していくことができる
因数分解の結果は、
ttps://www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E3(b-c)(b-d)(c-d)-b%5E3(a-c)(a-d)(c-d)%2Bc%5E3(a-b)(a-d)(b-d)-d%5E3(a-b)(a-c)(b-c)
のAlternate formsのMore
ご丁寧な返答、本当にどうもありがとう
便利なサイトまでご教示頂いて・・大変に参考になりました。
障害者カルトニホンザル起源厨パクリ民族ヒトモドキを皆殺しにしろ
ニホンザルヒトモドキはゴミムシ下痢で戦争を引き起こすヒトモドキ民族皆殺しにしろ
Rよ
立体てなんできれいにくっつくとわかるのですが？
例えば正四面体の場合
こんな展開図になってるやつを
▽△▽
▽
真ん中の三角形を底面に回りの三角形を起こしていってくっつけるとして
穴が開いちゃうかもしれなくないですか？
しっかり正四面体になると高校数学の範囲で証明できるのでしょうか？
▽△▽
▽
↑これが出来たんだから、再び組み立てたら
正四面体に戻るでしょ、という事
切って開くのを動画で撮影していたとして、
その動画を逆再生すれば、元通りになるのが見て取れる
どうしよ…
展開図の真ん中以外の正三角形は※の各面と合同だから起こしたら当然ピッタリ重なる
このことに手計算で気付くにはどのような方法があるでしょうか。
よろしくお願いします。
小さい素数から順に実際に割ってみる
2、3、5で割り切れないのは割らなくてもわかる
7、11、13……と順に割ってみる
割る数より商の方が小さくなっても割り切れる素数が見つからなかったら元の数は素数
素因数分解を考えるのは当然だよね
25^2=625だから、23までの素数で529を割っていこうと考える
もしどの素数でも割れなければ529は素数だと分かるし、割れるならそれはそれで良い
二乗して一の位が9になる数の一の位は3か7しかない 27の二乗では529を超えてしまうのは瞬時にわかる 17の二乗は289だと知っている よって23の二乗を試してみると529となる
だけだろ何変な理屈こねてんだこいつら
質問する分には良いけど回答すんなよ雑魚ども
t=f(x)と置換し、両辺をxで微分すると
dt/dx＝f'(x) となり、
dt＝f'(x)dx が得られ、これを与えられた被積分関数にどう利用できるか、というふうに積分を進めて行きます、というのが教科書にも書いてあり、授業でも教わった解法です。
何が疑問かというと、dt/dx=f'(x) からdt=f'(x)dx を得るときに、決して、両辺にdxをかけるという操作が行われていないということです。
例えばdxを微小変化であるΔxと捉えれば、それはかけることは出来るのでしょうが、ここではdx、すなわち四則演算をしてはならない記号です。
実際にどの参考書を見ても、「dxを両辺にかけると」などという文言は載っておらず、「置き換えられるので～」のような曖昧な表現をしていました。
どういう理屈で、このdt=f'(x)dx という式が得られるのでしょうか。また、記号dx単体では何を意味するのでしょうか。
四則演算して構わないよ
関数の微分というのが一番初等的で簡単ですね
ウィキペディアとかで探せばすぐ出てきますよ
微小変化だと思っても構いません
もっと詳しく知りたいなら大学の数学を勉強しなければなりません
dxというのはΔxの極限値ですから、つまりは結局微小変化量に変わりはない、確定値だから四則演算できるよ、ということですか？
あと、それは受験の際、答案に書いても大丈夫なんですかね？
あ、レス書いてる時に、、
ありがとうございます、調べてみます。
わからない人がわからないから違う違うと言ってるだけです
受験とかどうでもよくなくて？
実際置き換えてんじゃん
∫f(g(x))dg(x)=∫f(t)dt
の所はただの演算で置き換えじゃ無いよ
ちゃんと区分求積法やってないから意図がつかめないんだよな
∫[a,b]f(t)dt=lim f(ti)Δti
でti=g(xi)にするだけなのに
それをちゃんと理解するのは高校レベルでは難しい。
大学のベクトル解析という授業でやっとこさわかるもの。
現代数学では余接ベクトル場と定式化されてるもので本格的にキチンと定式化されるのは数学科でも専門課程に入ってから。
正直数学科卒でもちゃんとわかってない人もいるくらいに難しい。
数学科以外だとちゃんとした定義理解できてるひとはかなり一握り。
これは当面は”そういう計算しても大丈夫”くらいに思っておけばいい。
「置き換えて」と「形式的に」は全く別の部分を指しています。
例えば、∫sinxcosx dx ならsinx=tとsinxをtに置き換える、すなわち置換していますよね？
単にここの部分を指して「置き換えて」といっているのであり、dt=f'(x)dxの計算方法をごまかした表現ではありません。
一方、「形式的に」は、dt=f'(x)dxの部分を指しています。
dt=f'(x)dxは2通りの解釈があります。
1つ目は積分の式は不可分な一体のものとして考え、dt=f'(x)dxはインテグラルと被積分関数を省略して書いているというもの。
高校でも微分しても等しければ不定積分同士は等しいってことはみっちりやりますよね。
原始関数を求める問題で微分したら被積分関数となるものがあれば、
それが原始関数でありそれ以上の理由は何もないのと同じく、
置換積分の公式を微分しても等しいということを用いているだけなので
dxを両辺にかけるという作業はどこにもありません。
2つ目は積分の式は個別要素を集めたものと考えるもの。
直感的にも合致し素早く計算できますが、
分数のように扱ってよいことがdxが何かも教えられていない状況で示せるわけがありません。
高校の微積分の範囲だけは理論よりもまずは計算なので、dt=f'(x)dxを出すのに2つ目で計算して良いのですが、
普段といっていることが違うぞと思われたくない人が1つ目でやっているフリをする場合に「形式的に」といっているだけです。
なるほど！
なぜなのかは今は説明しないみたいな感じで教わった記憶がある
円の面積や錐の体積を最初に習ったときのように、その計算で正しいかどうかは今の段階では厳密には言えないけどそうなるものとして覚えなさいってのと同じだと考えていた
もちろんわかってても知識０の人間に一から説明したら一言二言ですむものじゃないし。
というよりそういうかいいかげんな説明で分かったような気になって満足するよりは、開き直って”俺は厳密には説明できん。でも計算はできる。文句あるか？”で満足しとくのもありかもしれん。
実際理系大卒でもその方が多い。
そんなもん厳密に定義して何が楽しいっていうのはよく聞くし。
もちろん分かってくると楽しいんだけどね。
じゃあちゃんと説明してあげてよ。
おれも ”ただの微積のdx” を一言二言で説明できる方法があるなら聞きたいし。
もちろんそれがベクトル解析の理論につながっていく前段階の説明として数学畑の人間が満足できる厳密な説明できるん？
それ以上の抽象化は不要ですし、意味的にも接ベクトル持ち出す必要性は一切ありません
無批判に微分形式の演算やみくもにやるのが考えてないって感じ。
df=f’(x)dx
これは確かに微分形式とかでも話はできるかもしれませんね
df/dx=f’(x)
これは微分形式で考えると、単なる形式的な答えになるだけではないですか
一般に微分形式間の割り算なんて定義されませんからね
でも関数の微分と考えればどちらも自然に解釈できます
単なる微小量をちゃんと書いただけですから当たり前ですね
この程度のこと説明するのに微分形式云々持ち出すのは、それしか知らないからだとしか思えませんけど
異聞形式の手前でつまずいたんならもうレスしなくていい。
じゃー早くこれを微分形式の割り算という観点から説明してくださいねー
ちなみに関数の微分の場合はなにも問題ないですね
関数の微分はただの関数として定義されていますから
おれはそれは長くなりすぎて無理と>>43で書いたけど？
微積の話に限れば多様体の話なんぞ持ち出さなくてもいいといったのはそっちなんだからそれ聞かせてよ。
俺様理論でなくて、後のベクトル解析につながっていく、多様体まで持ち出してないので簡単に説明できる、しかしキチンと厳密に定義された微分形式の理論を展開してください。
さっきもいいましたよね
あっそ。
じゃもういいや。
毎日毎日、ラクラク解ける問題ばかりだから常勝なんだよね・・・。
たまには、解けない解けないっと悩んで負けてみたい、それが今の切実な悩み。
教科書見せてもらったら部分分数分解って恒等式のところの例題でさらっとふれてるだけなんだな
(しかも変形の説明が全くない)
同値じゃダメですよね
直接割り算しないと
高校生は黙ってて
わかってしまえばなんてことはないんだけど、やっぱりちゃんと理解しようとするとそれなりには頑張らんといかん。
まぁまぁの割合でここで挫折する。
わからない人はしっかり勉強してもらいたいものですね
厳密には関数の微分ですね
ウィキペディアに載ってますよ
教科書によってはそういう解釈もあるようですが、
有限の量と理論立てている教科書もありますよ。
無限小とは振る舞いのことで、無限に小さい量があるわけではないという立場の教科書を読んだことはありませんか？
無限小をそのまま扱うのは超準解析とかですからね
そうなんですか。
質問者がそこまで求めていないようなので避けていましたが、dxは有限の量ではなく無限小という方ばかりなので、
皆さんそちらで勉強されてきたのかなと思っていました。
全微分については書かれているけれども、
導関数ではなく名詞の微分については書かれていない教科書もありますしね。
有限で済ませる本も結局は無限や無限小を扱いたいわけです
それが解析学ですからね
量でも関数でもないdxという新しい対象の意味付けを
なぜ紫の部分の範囲がしぼれるのでしょうか？
ベクトル解析は現代数学、理論物理学のど真ん中にある理論のひとつ。
ここにキチンとつながっていけるような理解をしないといけない。
なんとなく置換積分をなんとなく納得するためにわかりやすく説明できたらそれでいいというものじゃない。
受験数学レベルの問題がチョロチョロ解けてそれが最終目標だというならそれでもいいけど。
高校数学に関係ない。
他でやれ。
置換積分は微分形式から出てくるわけじゃないですよ？
最初に置換積分があって、形式的に微分形式使ってかけると言ってるだけです
実際、微分形式の積分は、普通の重積分を用いて”定義”されてますよね
一生置換積分で遊んでりゃいいじゃん。
微小量はΔxだろ
dxとdyは接点を原点とする接線を表す式の変数だ
微小である必要などない
「微分形式につまずくとリーマン幾何にいけない」はまあいいとして、その後が意味不明
algebraic/topological K-theoryは微分形式を一切使わなくても展開できるし、Picard群もalgebraicな対象に対し考えるなら同様
これらがリーマン幾何の延長上にあるというような書き方なのも不自然
もちろん作用素環や代数幾何やってる人でも微分形式くらい当然扱えるだろうけども
何にせよ将来使う道具は高校生のうちに意識すべき、という理屈はちょっと謎
仮にそれを認めるなら、ε-δ論法や行列はもちろん群•環•体論測度論リーマン/ルベーグ積分論などなども意識すべきでしょう(んなわけない)
それから、分野によっては積分概念は微分形式にとどまらずもっと抽象化されるのに、そこだけ取り出してるのもかなり不自然
高校数学を外れたことは参考文献を挙げて自分で調べさせればじゅうぶんだろ
高校生活のうちに意識せよなんて書いてないよ。
むしろ高校生のうちはこういう計算してもいいんだ、よくわかんないけどでいいと思う。
いかんのは大学入ってどっかで躓いたのを説明が悪い、簡単な事をワザワザ難しく説明してると話を矮小化して微分形式の理論に端を発するのちの発展的テーマにつながるせっかくの流れを断ち切ってしまう事。
ベクトル解析の理論の重要なポイントは単にそれが関数を次元個束ねたものではなく、ベクトル束という直積集合の発展バージョンにおける切断とみなさなければならないという発見。
ここから、では空間にはどんな直線束が存在しうるのかという研究から生まれたのがK theotyであり、その成す群がPicard群。
もちろん代数的なものに限ってしまえばジェネラルな直線束の議論だけは持ち出さなくてもいいけど、背景理論としてここから来てるというのがわかってるやつとそんでないやつは違いがでる。
岩波の上野先生の代数幾何の教科書のあとがきにもそのように書かれてたし、実際そうだと思う。
もちろん高度な数学に挑戦する事ばかりが数学との正しい付き合い方というつもりはないが、微分形式ひとつとってみても決して "簡単な事をワザワザしちめんどくさく説明してる" というわけではない。
結局そういう考え方がより発展的なテーマに挑戦していくための入り口を自ら閉ざしている事になる。
置換積分の公式でヤコビアンがあるから、座標変換した後の微分形式でもwell-definedになってると示せるわけですから
思ってたよりマトモなこと言い出したんで藁田。
何に顔真っ赤にしてるのか知らないけど滑ってる
流れ見てなくて74が高校生に向けたレスだと勘違いしてた、申し訳ありません
43以降の言い争いを見てみたけど、完全にあなたに同意
誤字がやたら多いのは気になるが
「dt=f'(x)dx」に疑問を持つ高校生に対する説明としては>>40が完璧に思われる
そして数学科の人間にとっては各辺を微分形式と思うことで厳密に正しい表記と見なせる、ということだね
突っかかってる側の意見もみたけど正直そちらは何を言いたいのかよく分からなかった
本題とは関係ないけど、K-theoryってGrothendieckが代数幾何の文脈で導入したのが始めでは？
スレチだからあまり広げないほうがいいかもしれんが
これは高校で教えられる形式的な形と何の変わりもありません
しかし、関数の微分と考えれば、df/dxはただの割り算としてみなすことができるのです
それをわからない人がたくさんいるというお話です
df/dxの意味を微分形式を用いて厳密に意味付けしてください
高校の話ではdf/dx=f’(x)が先にあってdf=f’(x)dxが形式的
微分形式ではdf=f’(x)dxが先にあってdf/dx=f’(x)が形式的
何にも意味ないですよね
＞微分形式ではdf=f’(x)dxからdf/dx=f’(x)は形式的に導かれるものです
＞微分形式ではdf=f’(x)dxが先にあってdf/dx=f’(x)が形式的
全く違います
そもそも微分形式と関数の微分は別の概念であり、df/dx=f'(x)を形式的な表記などとは考えません
「df=f'(x)dx」という表記が、高校生にとってはただの記号遊びに過ぎず、数学科の学生にとっては厳密に数学的な表記である、というだけです
ちなみに誰も微分形式の考え方を高校生も学ぶべきとは書いてません
念のため書いておくと
df/dx=(d/dx)f
なので、高校数学の段階では、積分記号を抜かしてdxだけ取り出したり、df/dxを分数とみなした計算をしてしまうのは全く意味のない計算です
一方、dxやdtは微分形式としては意味があるので、そこで初めて「df=f'(x)dx」を数学的な意味で捉えることが出来るようになる、という話です
それから、上の方で微分形式の割り算は定義されない、とあなたは書いてますが、ある種の意味で微分形式の割り算は定義されます
初等的な多様体論では普通教わりませんが
微分形式の割り算のことですか？
もしそうならスレ違いの質問なので答えるつもりはありません
仮に教えるとしても、微分形式のことをさっぱり理解していないあなたには微分形式から説明する必要がありますしとても面倒でやりたくないですね
もし数学科の学生ならその程度は自分で調べて学ぶことを勧めます
こちらとしてはあくまであなたのレスの誤りを指摘するのみです
つまりわからないということでいいですか(笑)？
微分形式の割り算が乗ってるホームページを貼るのでもいいですよ
微分形式ってただの長さなんだから別に割り算して構わないよ
割り算に意味があるのはdxとdyにdy=f'(x)dxという関係があるときだけ
そしてこの関係があるのは微分可能な関数によりy=f(x)という関係があって
なおかつ接線を介してdxとdyを対応させるときだけ
xという座標はx軸の単位の1のデュアル（x(1)=1）
dxという座標はx軸のある点での接線の単位を∂/∂xと名付けたときにそのデュアル（dx(∂/∂x)=1）
高校数学では、何だかよくわかんないけどそうやっちゃっても大丈夫ってことでいいんじゃないのか
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