分からない問題はここに書いてね453
前スレ
分からない問題はここに書いてね452
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1555080760/
(使用済です: 478)
（1）この2枚のコインを1枚ずつ投げる。両方とも裏が出る確率を求めよ。
（2）この2枚のコインの片方にペンでAと書き、もう一方にBと書く。そのうえでこの2枚のコインを1枚ずつ投げるとき、両方とも裏が出る確率を求めよ。
（3）コインを1枚ずつではなく、2枚同時に投げる場合、（1）（2）の確率は変化するか。
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「京」を超える性能を持つ後継機の製造がことし3月から
始まっていて、14日、主要な部品が公開されました
「京」の後継機となる新しいスーパーコンピューターの開発は、
国のプロジェクトとして理化学研究所と富士通が進めていて、
ことし3月からハードウェアなどの製造が始まっています
14日は、演算を行うコンピューターの頭脳とも言える
ＣＰＵ＝中央演算処理装置と、計算速度を上げるため
ＣＰＵを複数つなぎ、冷却も行うシステムボードと
呼ばれる装置1台が都内で報道陣に公開されました
{1/n:n∈N}∪{0}が閉集合であることを収束列用いて証明するにはどうすればいいんですか？
nは2以上の自然数とする。
nに対して、k<n<2kを満たす自然数k全体からなる集合 S_n を考える。
二項係数の和 C[n,k] + C[2k,n] を最小にするような S_n の要素を1つとり、kをnで表せ。
[前スレ.013, 020]
片対数目盛でプロットすると上に凸である。
C[n,k] ≒ C[2k,n] となるｋの辺りで最小になるであろうと予想する。
スターリングの近似式を使うと
0 = log（C[2k,n]) - log（C[n,k])
≒ (2k+1/2)log(2k) + (k+1/2)log(k) + (n-k+1/2)log(n-k) - (2k-n+1/2)log(2k-n) -(2n+1)log(n),
n,k >>1 のときは k/n = x とおいて
2x･log(2x) + x･log(x) + (1-x)log(1-x) - (2x-1)log(2x-1) = 0,
x = 0.63477252011487296
このあと、どうするか････
> 埋まってしまったので再度
> {1/n:n∈N}∪{0}が閉集合であることを収束列用いて証明するにはどうすればいいんですか？
S= {1/n:n∈N}∪{0}の点列anがx>0に収束するならxの近傍(x/2,2x)に属するanの部分列bnが取れる。
しかしS∩ {1/n:n∈N}∪{0}は有限集合ゆえ閉集合であるから、bnの極限はまたS∩ {1/n:n∈N}∪{0}の元。
∴x = lim bn ∈S。
Ｙ● _ ●Ｙ ＿
（＠ ▽ ＠) ／／
∩ ∩ ／／
｜ |／／
｜ /／
.. |_/￣|_／
nが小さいときの k と k/n
n k k/n
-----------------
9 5 0.556
12 7 0.583
15 9 0.600
18 11 0.611
21 13 0.619
24 15 0.625
27 16 0.593
30 19 0.625
40 25 0.625
50 31 0.620
60 37 0.617
80 50 0.625
100 63 0.630
200 126 0.630
500 317 0.634
∞ ∞ 0.63477252
-----------------
10 - 7/48 < 6ζ(2) < (√2 + √3)^2 を示せ。
ただし ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + ････ = Σ[k=1,∞] 1/kk
ζ(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + Σ[k=4,∞] 1/kk
< 49/36 + Σ[k=4,∞] 1/(kk-1/4)
= 49/36 + Σ[k=4,∞] {1/(k-1/2) - 1/(k+1/2)}
= 5/6 + 19/36 + 2/7
= (1/6)(5 + 205/42),
∴ 6ζ(2) < 5 + 205/42 < 5 + 44/9 < 5 + 2√6 = (√2 + √3)^2,
6 - (22/9)^2 = 2/81 > 0 より √6 > 22/9,
左
ζ(2) = Σ[k=1,∞] 1/kk
= 2 - Σ[k=1,∞] {2/(2k-1) -2/(2k+1) -1/kk}
= 2 - Σ[k=1,∞] {4/(4kk-1) - 1/kk}
= 2 - Σ[k=1,∞] 1/{(4kk-1)kk}
= 2 - 1/3 - 1/60 - 1/315 - Σ[k=4,∞] 1/{(4kk-1)kk}
> 2 - 89/252 - (1/63)Σ[k=4,∞] 1/kk
= 2 - 89/252 - (1/63){ζ(2) - 49/36},
∴ 6ζ(2) > 10 - 7/48 = 9.854167
〔系〕
3.139134 < √{6ζ(2)} < √2 + √3 = 3.146264
区別の出来ない２枚のコインを振って「裏」「裏」が出る確率と
区別の出来るコインを２回振って「裏」「裏」が出る確率は
同じか？ それとも異なるか？
注）
・「不可弁別性」とは素粒子が区別できないこと
・「自己同一性をもたない」とは素粒子が区別できないこと
のうち一番大きい数が2nCnであることはパスカルの三角形を既知としない場合どのようにしてわかりますか？
a[k]=2nC(k+1)-2nCk
= (2n)!/{(k+1)!(2n-k-1)!} - (2n)!/{k!(2n-k)!}
= (2n-2k-1)(2n)!/{(k+1)!(2n-k)!},
より
1 = C[2n,0] < C[2n,1] < ････ < C[2n,n-1] < C[2n,n] > C[2n,n+1] > ････ > C[2n,2n-1] > C[2n,2n] = 1
パスカル△を使う方が面倒かも？
>>17
k+1とkの差を調べると2nCnが最大だと分かるということですね
ありがとうございます
∠A=2∠MACとなった。
∠B、∠Cをθで表せ。
たかしくんは、家から歩いて2時間かかる学校へ、自転車に乗って出掛け、20分後に自転車が壊れたので、そこから歩き始めました。
壊れた自転車のハンドルの角度をθを使って表せ。
Ｔ字ハンドルにしたらいいのに。
θ=90°と推定する。
自転車で徒歩の(120/20)=6倍で走れれば学校着く瞬間まで乗れる。
Ｔ字ハンドルなら可能。
∴θ=90°
彡（^o^))
彡っξ`ヾ
（^.^))γ）
υ┳υヾJ
彡┣━υ◎ﾞ
__◎ﾞイメージフラッシュ――｡前>>22雨降ってきた!
16
一般項を求めるまでは分かるんですがシグマ計算が分かりません
∠B=2∠MACとなった。
∠A、∠Cをθで表せ。
{1, 4/3, 7/9, 10/27, 13/81, 16/243, 19/729, 22/2187, 25/6561,
28/19683, 31/59049, 34/177147, 37/531441, 40/1594323, 43/4782969}
失礼しました、∠MAC=θです。
中間値の定理をうまく使ったらできそうだけど思いつかない。。
直観的に、できないように思うのですが、証明ができません。
いかがでしょうか？
複素平面が使えるなら2,3行
正三角形の1頂点が原点Oにあると設定して差し支えない
格子点A(m,n)を3頂点の1つとし、複素平面の回転を使ってOAを60°回転させる。
Aの移動先をBとし、Bが格子点なら△OABが正三角形と言える。
B(x,y)として
x+yi=(cos60°+isin60°)(m+ni)
=[ {(1/2)m-(√3/2)n} + {(√3/2)m+(1/2)n}*i ]
m,nは整数だから(√3/2)mと(√3/2)nが0にならないとxもyも無理数になってしまう
したがってm=n=0。しかしこれではOとAが一致してOABは三角形にならない。
よって3頂点が同時に格子点になることはない
「正方形の3頂点を含む」なら任意の点からできるんだから
その点を隣の点に変えたらどうだ
優しめの採点で、20点中5点くらい？
＞区別の出来ない２枚のコインを振って「裏」「裏」が出る確率と
＞区別の出来るコインを２回振って「裏」「裏」が出る確率は
＞同じか？ それとも異なるか？
区別の出来ない２枚のコインを振って
最初に裏がでる確率は１／２で
最初に表が出る確率も１／２で
「裏が出る確率１／２」＋「表が出る確率１／２」＝「裏か表が出る確率＝１／１「
ここまでは別に不思議なことは何もない
問題はここからで
最初にコインの裏が決定したあとに
残ったコインが裏になる確率はいくらか
ってことだ
区別の出来る２枚のコインを振った場合は
最初に１枚のコインが裏に決定しても
最初に１枚のコインが表に決定しても
次のコインの確率は裏と表が同確率で１／２となる
ところが区別の出来ない２枚のコインの場合は
最初に１枚のコインが裏に決定した後に
「次のコインが裏になる確率」と「次のコインが表になる確率」が異なる
当然の事だが
最初に１枚のコインが表に決定した後に
「次のコインが表になる確率」と「次のコインが裏になる確率」も異なる
同値律が成立するかどうかは
確率に大きな影響を与えるが
注）
同値律が成立する場合は
区別が出来なければ同一で１個
区別の出来ない物が２個あるという場合は
同値律が成立してない
区別出来なくても別物であるという事実は変わらん
を仮に認めたとして、だからといって
命題「対象が区別できない⇒対象がフェルミ統計に従う」
とはならないのだが、物理屋さんはこの二つをよく混同する
いくらなんでもこんなおかしなミスしてる人間物理学科にいるわけない。
知ったかの高校生じゃないの？
「区別できない」ということは「自己同一性をもたない」とも表現される
「自己同一性」とは
自分は自分だし自分以外は自分以外で
自分と他が区別できる状態
「自己同一性」を持たないという状態は
自分と他とが区別出来ない状態
ということで「別物である」ということが成立しない状態だが
座標が違えば衝突しない限り区別できるんじゃないの？
物理界では
区別ができない対象の統計をフェルミ統計と名づけた
物理の「不可分別性」というのは
位置を含めてあらゆる物理量は区別できないという状態だが
ということで
座標（位置）を含めて区別ができない
リンゴの場合は座標(位置）が異なるので
区別が出来る
電子の場合は座標（位置）を含めて
あらゆる物理量が区別できない
そこで確率統計がリンゴと電子で異なってくる
リンゴの場合は
座標１にあるリンゴ１と
座標２にあるリンゴ２という区別が付けられる
だが電子の場合は位置も含めて全ての物理量で区別が付けられないので
電子１とか電子２とかの識別名を付ける事は不可能
２個の電子は
位置も含めて全ての物理量が区別できないし
電子の持っている物理的性質も区別できない
観測される確率も物理的性質の１つだが
これも２個の電子の間で区別できない
リンゴの場合は観測される確率は
リンゴ１とリンゴ２で区別されて
それぞれが独立して観測される確率を持っている
ところが電子の場合は
観測される確率という物理的な性質が
２個の電子で区別できない
（情報不可弁別性）
ようするに
電子１が観測される確率とか
電子２が観測される確率とか
電子を区別して確率を論ずる事ができない
１個１個の電子の確率を分けて論ずることが出来ないので
電子２個が観測される確率という感じで
確率が論じられる
観測出来るかどうかなんて関係ないし
区別できないコインと
区別できるコインの
裏と表という物理量の観測確率で
別に問題はない
区別のできないコインの場合は
コイン１の裏の出る確率とか
コイン２の裏の出る確率とか
２枚のコインを
コイン１・コイン２というように識別する事はできない
ようするに２枚のコインが「裏・裏」となる確率
というように２枚のコインを識別しない表記が必要になる
数学屋でも数理物理系なら正しく把握してるが
区別できるコインの場合は
・コイン１が裏のでる確率
・コイン１が表のでる確率
・コイン２が表の出る確率
・コイン２が裏の出る確率
という表記になる
区別のできない２枚のコインの場合はコイン１・コイン２とかの識別は出来ないので
・２枚のコインが「裏・裏」になる確率
・２枚のコインが「表・表」になる確率
・２枚のコインが「裏・表」になる確率
という表記になる
しかし同じことをやっているところを表裏の情報だけを観測していて２枚の区別がつかないやつと他の情報も観測して２枚の区別のつくやつがいたら表裏の出方はどうなるんだよ
見るやつによって出方が違って見えるのか？
アリアリアリアリアリアリ
アリーヴェデルチ！ Arrivederci！
1日に10～20レス程度、中身スッカスカの数学もどきレスを投稿
レスは返してくるがずっと同じことしか書けないため話が噛み合わない
いかにもニワカ丸出しのアホなレスすぎて突っ込みたくなる気持ちは分かるが、マジで時間の無駄だからスルー推奨
区別の出来ないコインは
区別に出来ない電子をたとえてるのだが
箱の中の２個の電子が
箱の右側の観測装置で観測される事をコインの裏が観測されたとたとえ
箱の左側の観測装置で観測される事をコインの表が観測されたとたとえてる
>>28正弦、余弦、倍角、式の数＞未知数∴∠Cがθで表せそう。∠Aもθで表せる気がする。
>>32じゅうぶんな数の格子をある適当な幅で等間隔に引けば、正三角形の三つの頂点を格子に載せられると考える。
一般項 a_k = (3k-2)/3^(k-1), >>29
S_n = Σ[k=1,n] a_k = Σ[k=1,n] (3k-2)/3^(k-1) = (1/4){15 - (6n+5)/3^(n-1)},
>>64こぷくんくらぁぷ。
志望するコースと専門分野は？
＞観測出来るかどうかで区別出来るかどうかを言うなら表裏以外の情報を観測しなきゃいいだけじゃねえか
箱の中に区別のできないコインが２枚ある
（箱の右側と左側に観測装置がある）
ケース１ 右・右と観測される確率
ケース２ 左・左と観測される確率
ケース３ 左右で１枚づつ観測される確率
ケース１の場合は右・右で観測されるが
１ その時にコインが裏・裏と観測される確率は・・・
２ その時にコインが表・表と観測される確率は・・・
３ その時にコインが裏・表と観測させる確率は・・・
＞区別のできない２枚のコインの場合はコイン１・コイン２とかの識別は出来ないので
＞・２枚のコインが「裏・裏」になる確率
＞・２枚のコインが「表・表」になる確率
＞・２枚のコインが「裏・表」になる確率
＞という表記になる
区別のできない２枚のコインがワンセットとなって
「裏・裏」とか「表・表」とか「裏・表」になる確率を持っているということで
個々のコインが独立して「表」とか「裏」とかいう確率を持っているわけではない
ようするに区別のできない２枚のコインは
独立してないのだ
区別のできない２枚のコインが独立してないということは
１枚のコインの観測結果が残りの１枚の観測確率に影響を与えるということだ
（因果関係を持つ）
２枚の区別のできないコインを振って
最初に１枚のコインの裏表が確定すると
次のコインが裏と表の観測確率が異なってくる
ようするに最初に観測された観測結果が
次に観測される確率に影響を与えてしまう
（因果関係がある）
△ABCの外接円をK、BCの中点をMとする。Kの弧を直線AMにより分割し、うち点Bを含む方の弧に点Pをとり、また点Qを直線MPに関して点Aの反対側にとり、△MPQが正三角形となるようにする。
3点A,B,Qが同一直線上にあるとき、APの長さを求めよ。
>>73
A(0,0)
M(0,√(1-a^2/4))
B(a/2,√(1-a^2/4))
Q(3a/4,-a√3/4)
P(3a/4,a√3/4)
AP=√(9a^2+3a^2)/4
=(a√12)/4
=(a√3)/2
あと、内部か外部かも書いておいて欲しい
専門は詳しく書きたくなければ代数・幾何・解析のいずれかだけ書いてくれれば
はさみうちをするくらいは分かるのですが、どの関数で挟めば弧長が計算できるか教えて下さい。
浪人生です。よろしくお願いします。
〔問題〕
正の実数xに対して定義された関数f(x)=sin(1/x)を考える。
aを正の実数とし、xy平面上の曲線C:y=f(x)のa≤x≤a+1の部分の長さをL(a)とするとき、lim[n→∞]L(a)=1を示せ。
n→∞ は a→∞ か？
1 ≦ √(1 + (f’)^2) ≦ 1 + (1/x^2) でいけるんじゃね
外部
解析学
易しい問題でかっぱぐため、懐を広げていきましょう
比較的解きやすい代数、時に幾何辺り逃げるのも良いですが、口頭できつく突っ込まれると思われます
「なんで解析専攻？？？」
>>81←こいつ
おまえ理科大だろ
各チーム１０人いて１０枚の金貨を好きなように分配する（一人０枚以上１０枚以下）
１０人からランダムに一人を選んで対戦相手のチームより金貨の枚数が多いチームを勝ちとする（引分は0.5勝扱い）
可能な分配方法すべてについて一つずつチームが存在して無限回の対戦がランダムに行われるとするとき
勝率が最大にするには金貨の分配をどうするのが一番良いか？
コースを書いて欲しかったけど
まあ先端かrimsならこんな所で質問しないか
基礎科目は出題傾向があるから過去問を解きまくればそのうち解けるようになる
例えば重積分、行列計算、関数列や級数の収束性、留数定理は頻出
専門科目の2問選択だが、解析はだいたい測度論・関数解析・微分方程式が出る
個人的には関数解析は比較的解きやすい問題が多いと思う
ここの選択は専門分野や好みによる
万が一解ける問題が2問無かった時の為に保険でガロア理論を勉強しておく人が非常に多い
ただし専門外の問題を解くことがどれくらい評価されるのかは不明
英語は超簡単、英語でステートメント等を書いたことなくても少し練習すればすぐ慣れると思われる
答えの分からない問題があるときは友達と協力するか、院試問題集で類題を探すといいと思う
基盤じゃない場合は、言うまでもないが希望する指導教員と連絡を取るように
口頭試問では専門分野に関する質問に加えて、(基盤でない場合は)解けてない問題の解き直しをさせられることがあるから、試験本番で解けなかった問題も解いておく方がいい
D内でx^2-xy+yを最大にする点の座標を求めよ。
金融系の本読んでて信用創造とかいう仕組みが出てきたんだけど
ある人が100万円のうち10%分を除いた90万円を貸し出して、その90万円を借りた人は別の人に90万のうち10%分を除いた81万を貸し出して…ってのを繰り返すと最終的に全体として最大900万貸し出せるとのことなんだが（これはなんとかイメージできる）。
90+81+…
よくわからんのはこっち
この計算は100万÷0.1＝1000万
1000万－100万（最初の100万）＝900万
という式で簡単に出せるらしいんだが、この100万÷0.1の意味がわからない
100万を0.1で割るってのは100万のなかに0.1がいくつあるのかってことでしょ？
極端に言えばこの1000万ってどこから来たんだよっていう
上の説明ならまだ理解できるんだけど
a_n = 0.9 × a_{n-1} (n≧1)
で等比級数の和（n≧1での総和）を計算すれば 0.1 で割るという操作は一応出てくる
が>>88に書いてある説明が自然なものなのかどうかはわからん
教えてくれてありがたいんだがその説明だとアホな俺にはよくわからん（アンダーバーの意味もわかってない）
調べてたら確かに等比級数って言葉は出てきた
できたらもう少し砕いて教えてほしい
以降その 90% を次々と貸すわけなので
総額 = 90 × (1/(1-0.9)) = 900 (万円)
この計算に等比級数の和の公式を用いた
＞しかし同じことをやっているところを表裏の情報だけを観測していて２枚の区別がつかないやつと他の情報も観測して２枚の区別のつくやつがいたら表裏の出方はどうなるんだよ
＞見るやつによって出方が違って見えるのか？
区別のつかない素粒子という場合は
位置も含めて全ての物理量で区別がつかない
何かの物理量で区別が出来る場合は
それは区別のできない物とはいわないし
確率統計も区別の出来るものとして扱われる
ありがとうございます
すみません。多分RIMSです
区別の出来ない２個の物とは
同値律が成立する２個の物ということで
ライプニッツの原理の「同一者不可識別の原理」
を満足する２つの物だ
というか京大の数学科の院ってrims以外にあるんですか？
調べ不足ですみません
数学教室(数学系)とRIMS(数理解析系)がある
さらに数学教室の場合は博士課程に進む前提の先端コースと主に修士卒で就職する基盤コースに分かれる
数学教室
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/
RIMS
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/ja/index.html
理学研究科募集要項
http://www.sci.kyoto-u.ac.jp/ja/_upimg/kce/AfM4Rg/files/application_mc20%281%29.pdf
教授もそれぞれ所属が決まってるから注意(募集要項のp14～18)
院試説明会も別々
指導を受けたい先生によってどちらを受けるか決めるといいと思う
基盤コースでない場合は予め連絡を取っておくべき
院試説明会で直接話すのもいい
ありがとうございます。
数学教室ですね。
調べてみます
やっぱりrimsと比べると入学難易度は下がるのでしょうか？
以下の基礎値と要素A～Dの組み合わせを判定式に当てはめて答え(Y)が最大になる組み合わせを出したい。ただし幾つか条件あり。
基礎値=30
係数X 1.0
要素A 最小単位1 最大値10
要素B 最小単位3 最大値30
要素C 最小単位10 最大値70
要素D 最小単位-5 最大値-50
判定式
Y=基礎値-(1回目*X)-(2回目*X)-...
条件
①各要素は最小単位の倍数で各回に分割可能、但し各回合計を最大値にしなければいけない。
②要素C,Dが両方使われた段階で係数Xは1.5に変化して戻らなくなる。
③判定式が1回目,2回目,,と続く過程でマイナス値になってはいけないが最後の回のみマイナス値でも良い。
例1
1回目 X=1.0 D=-50
2回目 X=1.0 A=1
3回目 X=1.5 A=9 B=30 C=70
Y=30-(-50)-(1)-(109*1.5)
=-84.5
例2
1回目 X=1.0 C=20 B=9
2回目 X=1.5 D=-50
3回目 X=1.5 A=10 B=21 C=50
Y=30-(29)-(-50*1.5)-(81*1.5)
=-45.5
基盤はかなり下がる
先端とRIMSは多分それほど変わらないと思う
同じ専門分野や指導教員を希望する受験者の存在や教授の気質にも依る
遅くなりましたが、ありがとうございました。
複素平面まで考えなくても、
点BのX座標を計算すると（途中は省略）、
(m-√3n)/2
となり、m,nが整数なので、これは無理数ですよね。
だから点Bは格子点ではありえない。
・・・で、いいですね。
参考になりました。
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