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- >>508
補題
L→M→N
が短完全列でL,Mが有限生成ならMも有限生成。
∵)x1‥xlがLの生成元、z1‥znがNの生成元となるものをとるとき、y1‥ylをM→Nによる像がz1‥znになるものをとれば、Mはx1‥xlとy1‥ynで生成される。
主張
M'が有限生成アーベル群Mの部分加群ならM'も有限生成アーベル群。
∵)Mの生成元の個数mによる帰納法。
Mが巡回群のときは容易。
m<Mで成立するとしてm=Mとする。
M部分加群LをM-1元で生成され、N=M/Lが巡回群であるようにとる。
M'がMの部分加群のとき、L'=L∩M'とおけば準同型定理によりN'=M'/L'はNの部分加群である。
帰納法の仮定からL'、N'は有限生成であり、補題からM'も有限生成である。
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