分からない問題はここに書いてね460
前スレ
分からない問題はここに書いてね459
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1585492157/
(使用済です: 478)
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
LINEAR-SEARCH(A, v)
■■for i = 1 to A.length
■■■■if A[i] == v
■■■■■■return i
■■return NIL
各 i に対して、 A[i] == v である確率を p とします。
このとき、このプログラムが A[i] == v かどうかをチェックする回数の平均値を E(steps) とすると、 A.length の値に関係なく、
1 ≦ E(steps) < 1/p
を満たすため、 E(steps) = Θ(1) になります。
↑に述べたことは正しいでしょうか？
ちょっと意外なようでいて、もっともな結果とも思えます。
クラス全員を１列に並べた配列を A とし、 v を血液型がAB型の人とする。
日本人全員を１列に並べた配列を A とし、 v を血液型がAB型の人とする。
↑このような例を考えれば、もっともな結果と思えます。
>「全くもって未知の問題」に遭遇する確率そのものを下げることができる
ときたか
もし不幸にも「全くもって未知の問題」に遭遇してしまったら、一体どうするのだろうか
こういう人は、考える前にひたすら類似問題を探すのかな
そもそも自力で問題を解いた経験が少ない人は、「自分の頭で考える」ということができるのだろうか
O(1) じゃない？
考えない人間は存在しないし、回答を見て分からなければ、何でもかんでも質問することは現実的に不可能だから必然的に考えることになる
そして回答をほとんど見ずに問題を考えた人と回答をすぐ見た人とで未知の問題に対する得点に有意な差が見られるというデータを見たこともない
あなたはそうやって生きてきて、今まで何とかなっているの?
もし不幸にも「全くもって未知の問題」に遭遇してしまったら、
まず最初に何をするの？
普通に何とかなっているな
不幸は諦める他ない
不幸が訪れる確率をどれだけ下げられるかが準備期間にやることだろう
想定外の問題に遭遇したらパニックになりそうで危うい人だな
もし人類のほとんどがこのような考え方の人になってしまったら、科学の進歩は止まるな
たまたまそうなっただけなので諦めてできることをやるだけ
「想定が甘かった」と言う人ならまだ信用できるが
この場合の「できること」というのは、新しい解法を考えることではなくて、
既存の解法でなんとかならないかひたすら「考える」ことなんだろうなあ
考える力とやらはそもそも何なのか全く不明だろう
ある意味スピリチュアルだ
哲学、論理学、心理学、生物学、脳科学等の複数の分野で考えられてきた
生物学的な観点から見れば、「思考」こそが人間と他の動物（例えばチンパンジー）との違いであると言える
一方で、俺が書き込んでいる内容は所詮は誰かの受け売りに過ぎないという指摘も考えられる
しかし、少なくとも過去の人類はそうやって「考える」ことによって新しい何かを生み出してきた
卑近な例でいえば、例えばフィクション作家は、恐らく「考える」ことによって常に新しい何かを生み出している
なぜなら、過去の作品のコピーでない作品には、必ず新しい何かが含まれているから
だが、すぐ回答を見ることは全く考えないことを意味しない
回答がないとか、試験中とか、回答を見ることができないときにそれまでの知識を用いて考えれば良い
結論を否定すると、正定値対称行列Aと対称行列の列Aiと0以下の実数の列eiで
e=lim ei は収束有限確定値。
eiはAiの固有値
limAi=A
となるものが採れてしまう。
実際まずlimAi=A,eiをAiの固有値とするときlimAi=AからAiの固有多項式の係数は有界だからeiも有限集合なので収束部分列が採れてしまう。
F:Mn(R)→Mn(R)
は、ある可逆行列A,Bを用いて
F(X)=AXBもしくはA(X^t)B
と書けることの証明わかる方いれば教えて下さい
双曲線とかも考えなきゃいけないんですよね？
よろしくお願いします。
区間[a,a+1)から無作為に実数を1つ選び、それをbとしたとき、f(b)>0となる確率をP(a)とおく。
lim[a→∞] P(a) を求めよ。
> 区間[a,a+1)から無作為に実数を1つ選び、
これどういう意味？
b = a+X
とする。
f(b) = sin(bb）> 0 は
0 <｛bb/2π｝< 1/2,
0 <｛bb/2π｝=｛bb/π}/2,
まず線形写像FとGが相似であるというのをある正則行列A,Bが存在して任意の行列に対しG(X)=F(AXB)が成立するときとする。
主張はFがrankを保存するとき、それは恒等写像と相似である事である。Eijを行列単位とし、Fij=F(Eij)とおく。
容易にF11=E11としてよい。
必要ならFを相似なものと取り替えてF12の一行目は0でないとしてよい。
F12の二行目以降が0でないとするとあるcをとってF(cE11+E12)のランクが2以上となって矛盾するからF12の二行目以降はすべて0である。
よってやはりFを相似なものと取り替えてF12=E12としてよい。
同様の議論を繰り返してF1i=E1iとしてよい。
同様の議論でF21も二行目以降が二列目以降のすべてが0であるが、後者とするとF(E12+E21)のランクが1以下となり矛盾するから前者である。
やはり同様の議論を繰り返してFi1=Ei1としてよい。
FijとFi1=Ei1に対して同様の議論をしてi行目以外のすべてが0か1列目以外のすべてが0である。
FijとFi1=E1jに対して同様の議論をしてj列目以外のすべてが0か1行目以外のすべてが0である。
この二つの条件を満たすのはFijがE11の定数倍であるか、Eijの定数倍であるかのいずれかの時であるが、前者のときF(E11+Eij)のランクが1以下となって矛盾する。
よってFij=cEijとおけるが、
rank(E11+E1j+Ei1+cEij)
=rank(F11+F1j+Fi1+Fij)=1
によりc=1である。
2kπ ≦ aa < 2(k+1)π,
2Lπ ≦ (a+1)^2 < 2(L+1)π,
(k,Lは自然数）とする。
(L-k-1)π < a + 1/2 <（L-k+1)π,
k,Lは自然数。
Y =（a+X)^2
とおくと、
X = √Y -a,
dX = dY/(2√Y),
P(a) = ∫_[0～1, sin((a+X)^2)>0] dX
= ∫_[aa～(a+1)^2, sin(Y)>0] dY/(2√Y),
∫_[2(k+1)π～2Lπ, sin(Y)>0] dY/(2(a+1)）< P(a）< ∫_[2kπ～2(L+1)π, sin(Y)>0] dY/(2a),
(L-k-1)π/(2(a+1)）< P(a）<（L-k+1)π/(2a),
(a +1/2 -2π)/(2(a+1)）< P(a）<（a +1/2 +2π)/(2a),
∴ lim[a→∞] P(a）= 1/2.
直観的には a → ∞ のとき f(x) = sin(x^2) は区間 [a,a+1) に属する b について
ほとんど至るところで f(b) > 0 となるわけだから、 P(a) → 1 になる気がするけど
＞ほとんど至るところで f(b) > 0 となるわけだから
なりません。
f(b) > 0 になる b と同じくらい f(b) < 0 となり得るわけだから、
正負でキャンセルされて 1/2 に収束するのか
g(x) := (f(x) + |f(x)|) / 2 として、関数 h(x) を
f(x) ≠ 0のとき h(x) := g(x) / f(x) かつ、 f(x) = 0 のとき h(x) := 0
と定めると、
P(a) = ∫[a→a+1] h(x) dx = 1/2 + F(a)
の形に書けて、 F(a) → 0 (a → ∞) となるという認識で合ってる？
y=mxとおいて解く方法って間違ってますよね？
具体的には、y=mxとおいて任意のmに対して
f(x,mx)=(x^3-m^3x^3)/(x^2+m^2 x^2)=((1-m^3)/(1+m^2)) x→0
なので極限値は0。という解法です。
y=mxだとy軸上の点は表せないし、原点の周りをまわりながら近づく場合とか、
どんな近づき方でも同じ値に近づくということを示せてないと思うんだけど。
マセマの「スバラシク実力がつく、、、」とかいう参考書に載ってて驚愕したんですがどうなんでしょう
もちろんダメです。
極形式で(θ∈(-π,π])
f(r,θ)=
1 (r=θ=1/n)
0 (otherwise)
で定めると、どんな定数θを固定してもlim[r→+0]f(r,θ)=0
だけどlim[P→O]f(P)=0にはなりません。
何らかの別の手段で極限値の存在が保障されている状況で、値のみ求める方法としては妥当。
前後の文脈もわからず、問題文すら正確にかかれていないような質問に対する1問1答では
書籍の正誤は判別できないことには留意すべき。
一般に制約条件が等式で制約式が連続関数なら成り立つ
連続の定義を「開集合の逆像は開集合」とすれば証明は自明
n次正方行列Aが対角化可能である条件は、
すべての固有値λi（mi重根とする）ついて、
dim(λiに属する固有空間）= m_i,
rank(A-λiE）= n - m_i,
* 固有空間は A-λiE を1回作用すればｏになる。
数セミ増刊「 数学100の定理」日本評論社 (1983）p.102-103
〔ジョルダン分解〕
n次正方行列Aはたがいに可換な2つの行列の和に分解できる：
A = S + N.
ここで
Sは対角化可能（スペクトル分解可能, semi-simple）
Nはベキ零（nil-potent）行列である。
この分解は一通りしかない。(一意的)
数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社（1983）p.98-99
いわゆるconstructibleになるのは自明
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_set_(topology)
行列の空間の中でじゃなくて対称行列全体のなかでですね
>>19
>>33
ありがとうございます
やっぱりそうですよね。ありがとうございます
>>32
極限値の存在は保証されてません。
本の掲載部分の画像リンクです。
https://imgur.com/XFm8Ivh
https://imgur.com/3kEqBec
１ページ目にはチェック法と書かれているけど、157ページ（２枚目）の
「∴ lim_((x,y)→(0,0)) (x^3-y^3)/(x^2-+y^2)=0」
と結論付けている部分は論理が破綻しているのでは？
これを読んだ学生は単純に「極限値lim_((x,y)→(0,0)) (x^3-y^3)/(x^2-+y^2)を求めよ。」
という問題が出題されたときに極限値の存在が保証されていないのに、
このような解法をしてしまうように書かれているように思います。
ちょっとひどい。
正確にはなんて本？
やはり工学部では大学の学部以上のレベルの本は無理なのかな？
g(x) = |bx^2+cx+a|
h(x) = |cx^2+ax+b|
が-1≦x≦1において
f(x)≦1 かつ g(x)≦1 かつ h(x)≦1
であるとき、実数a,b,cが満たすべき条件を求めよ。
「スバラシク実力がつくと評判の微分積分」馬場敬之、高杉豊 マセマ出版社
です。入手したのは第1版なのでその後どうなってるかは分かりませんが、
以下のサイトに改定内容が載ってたので多分そのままかと、、、
https://www.mathema.jp/%E6%94%B9%E8%A8%82%E7%89%88/
やっぱりひどいですよね
確かに東大工学部の人の本のようで、もうひとりは哲学科卒のようです
は近づく方角によって-1 ～ +1 まで変わるから、存在しない。(不連続)
例）
f(x,y）＝ xy(xx-yy)/(xx+yy), (x,y)≠(0,0)
f(0,0）= ０,
とおくと｜f(x,y)｜≦｜xy |,
さて、f_x_y(0,y）= -1（y≠0) 然るに
lim[y→0] f_x(0,y）= lim[y→0] (-y）= 0 = f_x(0,0)
だから f_x(0,y）は y=0 で連続。
故に f_x_y(0,0）= lim[y→0] f_x_y(0,y）= lim[y→0]（-1）= -1（定理23)
同様に f_y(x,0）= x, f_y_x(x,0）= 1 より f_y_x(0,0）= 1.
∴ f_x_y(0,0）≠ f_y_x(0,0)
f_x_y(x,y）= f_y_x(x,y）=｛(xx-yy)/(xx+yy)}(1+････)
は（x,y)=(0,0）で不連続でござる。
高木貞治：「解析概論」改訂第三版，岩波書店 (1961)
第2章 §23．微分の順序 p.58-59
λが重根（m≧2）の場合：
拡張固有空間にＡ＝Ｓ＋Ｎを作用すると、
Ｓは単にλ倍するだけだが、
ベキ零成分Ｎ≠Ｏは、互いに混ぜてしまう。
遅くなってすみません
レスありがとうございます
「同様の議論」がどこまで相似変換によってなのか、どこまで条件から自動決定してるのか、あるいは選択的に決めてしまってるのかが混乱してしまいました
(例えば単純に読むとこのままではXとX^tが相似であることも示せてしまいそうに見えました)
なんとか自分なりに整理して理解しました
ありがとうございました
数式P(x)をx-3で割ると余りが-11、x+2で割ると余りが4である。
P(x)をx^2-x-6で割ったときの余りを求めよ。
ありがとうございます。余りは次数が下がるということを知っておかないといけないのですね。
外接円の半径、内接円の半径、面積がそれぞれ等しい2つの三角形は
合同であることを示せ。
S = abc/(4R) = (a+b+c)r/2 = (ヘロンの公式)
もう一つの三角形の3辺の長さを a’ , b’ , c’ とすれば
上の面積の関係から
abc = a’b’c’ , a+b+c = a’+b’+c’ , ab+bc+ca = a’b’+b’c’+c’a’ となるので同一の3次方程式の解
2s=a+b+c,u=s-a,v=s-b,w=s-cとおくと
S^2=uvw(u+v+w)
r^2=uvw/(u+v+w)
4RS=abc=(u+v)(v+w)(w+u)
=(u+v+w)(uv+vw+wu)-3uvw
ヘロンの公式
S = √{σ(σ-a)(σ-b)(σ-c)}
= √{(ab+bc+ca)σσ - abcσ - σ^4},
より
ab+bc+ca =（S/σ)^2 + abc/σ + σσ
= rr + 4Rr +（S/r)^2,
ここに σ =（a+b+c)/2 とおいた。
3次方程式は
X^3 -（2S/r)X^2 +｛rr + 4Rr + (S/r)^2}X -4RS = 0,
3辺がそれぞれ等しいから合同。
有名なオイラー公式d^2=R^2-2Rrで決まるけど三角形の自由度はまだあるのか。
面積最大は二等辺三角形のとき？
a(n）= cot((π/2-b)･2^(n-1))
ただし b = arctan(2）= 1.10714871779409
(π/2 - b)/π = 1/2 - arctan(2)/π = 0.147583617650433･･･
これを2進法で表わせば
(0.001001011100100000001010001110110011101111100････)_2
無理数だから循環しない。
nが1つ増えると2倍になるから、１桁左にずれる。
0または1がm個連続する箇所があれば、
πの整数倍から π/(2^m) 以内に入る。
任意の自然数mについてそれが存在すれば、a(n）は非有界。
A = [a 1]
[0 a]
の場合
固有値は λ = a（重根)
固有ヴェクトルは
[x]
[0]
A-aE を作用すると
[x] → [y] → [0]
[y] [0] [0]
となり混ざっている。
円周率πの10進表示については
｢9｣ 5桁目
｢99｣ 44桁目
｢999｣～｢999999｣ 762桁目（Feynman point）
｢999999｣ 762桁目、193034桁目、････
｢000000｣ 1699927桁目
｢9999999｣ 1722776桁目
｢99999999｣ 36356642桁目
｢999999999｣ 564665206桁目
{(10^n)π｝が 0か1から 1/(10^m）以内であるようなnがある？
それ分母に２がなくて無理だった記憶が
賭け事でよく使われるマーチンゲールって知ってますか？1→2→4→8→16というふうに掛け金が倍ずつ増えていくやつです。
これで例えば10回目には掛け金がいくらになるか計算式で出す事はできますでしょうか？ちなみに10回目は512になります。よろしくお願いします。
足し算するだけだよ
等比数列の和の公式を知りたいのか？
いえ、掛け金の合計を出したいのではないです。10回目の掛け金512というのは1個ずつ2倍にして数えて出しましたが、公式を使って「2倍で増えていく数が10回目には512になる」と出したいと思いまして。
これが分かれば2倍ではなく例えば1.2倍ずつ賭けた場合30回目の賭け金はいくらになるかなどもすぐに計算できると思ってお聞きしました。
どうでしょうか(｡･_･｡)
それなら倍率を変えたいと書かないと何を言っているのかわからんだろう。
倍率をxとしてn回目は x^(n-1)
すみません、ありがとうございます。
公式すぐ出てくるのすごいww
>>69
ありがとうございます。
高卒にとってはちょっと難しいので頑張って理解してみます。
子は平均的には負けるだけなので、出目のふらつきで小勝ちしたときに速攻で逃げるのが正解
マーチンゲール理論だと、1000ドルかけて1ドル勝利なんてのも珍しくない上に
普通は掛け金制限があるし、自分の所持金にも限界があるので、勝つ前にゲームから撤収なんてことも普通
多分、運の流れとかでやってるほうが勝つ確率は多いように思える
マーチンゲールは質問の例えとして使っただけですよ(･_･｡)仰る通りマーチンなんて使っているようじゃ絶対に勝てません。
いつも思うんですけど確率とか統計とか数学に長けてる人は絶対に賭け事勝てると思う、みなさんやったほうがいいですよw
小～中学校相当の質問なので、普通の高卒者には難しくないだろう。
あなたには難しいというだけのことです。
公式すごいはいいけど、その公式を見て気づかないか？
実際の値を手計算や普通の電卓で求めるには結局掛け合わせていくしかないので君が512を求めた方法と同じだぞ
え、大学レベルの問題じゃないの？
わたし頭は良いほうだったんだけどな
>>75
実は。。気づきました。2の9乗って結局掛け合わせていくしかないのか、じゃあ質問しますけど
まあ、2の累乗だと2^10くらいまでは覚えてしまっている人の方が多いと思うけど
一般的な累乗の計算を簡単にやる方法は無いと思うよ
概算なら別だけど
2を自乗して2×2=4
4を自乗して4×4=16
16を自乗して16×16=256
256を2倍して256×2=512
うまくやれば掛け算は4回で済む
そうか、初めに質問するとき「累乗の計算を簡単にやる方法はありますか？」と聞けば端的だったんですね。
確かに2の累乗なら覚えてしまったほうが早いです。
(゜.゜)？！ ﾌﾑﾌﾑ
整数a,b,cについて
a^2±(a+b+c)
b^2±(a+b+c)
c^2±(a+b+c)
のすべてが平方数であるとき, a+b+c=0を満たすことを証明せよ。
「ジョルダン分解」
佐武一郎「行列と行列式」裳華房 (1958)
IV章 §2 例１. p.146-147
齋藤正彦「線型代数入門」東京大学出版会 (1966)
第6章 §3．定理[3.8] p.199-201
そうでないとしてさらに
|a|≦|b|≦|c| 、a+b+c>0
なる解が存在するとしてよい。
この時a+b+c≦3|c|‥‥?
ここで√(c^2+a+b+c)>|c|+2とすると
c^2+a+b+c-c^2
≧(|c|+3)^2-|c|^2
≧6|c|+9
コレは?に反するから
(c^2+a+b+c)=(|c|+2)^2, (|c|+1)^2。
∴a+b+c=4|c|+4,2|c|+1
前者の時3|c|≧4|c|+4は矛盾するから
a+b+c=2|c|+1‥‥?。
√(c^2-(a+b+c))<|c|-2とすると
c^2-(a+b+c)-c^2
≦(|c|-3)^2-|c|^2
≦-6|c|+9
∴-3|c|≦-6|c|+9
∴|a|≦|b|≦|c|≦1であるが、コレを満たす解はないから
(c^2-(a+b+c))=(|c|-2)^2, (|c|-1)^2
∴a+b+c=4|c|-4,2|c|-1
?とこの２つはいずれも矛盾する。
f(x,y)={xy/(x-y)}log(y/x)
とおくとき、f(a,b)+f(b,c)+f(c,a)の符号を調べよ。
相異なる正の実数 x,y について
xy/(x-y)=1/{(1/y)-(1/x)} は x>y のとき正、x<y のとき負
log(y/x) は y/x<1 すなわち x>y のとき負、y/x>1 すなわち x<y のとき正
したがって積 {xy/(x-y)}log(y/x) は常に負
よってf(a,b)+f(b,c)+f(c,a)は負
蛇足だが････
f(x,y）= -｛log(1/y）- log(1/x)}/(1/y - 1/x）=｛g(1/y）- g(1/x)}/(1/y - 1/x),
g(t）= - log(t)
これは g関数上の2点（1/x, log(1/x)) と（1/y, log(1/y)）を結ぶ線分の傾き。
0<a<b<c ゆえ 0<1/c<1/b<1/a
g(t）= - log(t）は下に凸だから
f(b,c）< f(a,c）< f(a,b）< 0,
x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0
の重複を込めた4解をそれぞれα,β,γ,δとする。
a,b,c,dのうち少なくとも1つが実数でないとき、β=α'かつδ=γ'が成り立つことはあるか。
ただしw'は複素数wの共役複素数を表す。
∴与= (x-α)(x-α')(x-γ)(x-γ') は実係数。
x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0
の重複を込めた4つの解をα,β,γ,δとおくとき、|α|=|β|=|γ|=|δ|=1となるようにa,bを定めよ。
解と係数との関係と δ＝1/(αβγ) から
2次の係数は実数、1次と3次の係数は共役
が導け、a, b はともに実数とわかる
b=-1 とすると2つの ±1 でない実数解が現れ不適
∴ (a, b)=(-1, 1), (1, 1)
題意により｜α｜=1 だから 1/α = α' など。
∴ α が解ならばその共役 α' も解である。（±1と共役複素解に限る）
与式の係数（a,b）は実数である。
題意により（a,b）＝（±1, ±1)
ただし、aの符号が逆転しても左右が入れ替わるだけである。
b=1 のとき
ax = e^(i(2kπ/5)) (k=1～4)
b=-1 のとき
x^4 +ax^3 -xx +ax+1 =｛xx +（√13 +1)ax/2 +1}{xx -（√13 -1)ax/2 +1}
(√13 +1)/2 = 2.3027756 >2 実根 |α| < 1 < |β| となり題意に不適。
(√13 -1)/2 = 1.3027756 < 2 複素根
答 (a,b）=（±1, 1)
> 与式より、α が解ならばその逆数 1/α も解である。
何故？
シーブリーズのボトルタイプを買ってきてスプレータイプに適量入れ、カルピスをうすめる要領で満杯にしたい。スプレータイプが130mlだったとして適量は何mlか。
答え見てこの後3/2x=18になるらしいのですがここに至るまでの解き方が全然わかりません
3/2x=18まで行ければ両辺に2/3でわかるのですが...
与式より、解α≠0
α^4 +aα^3 +bα^2 +aα +1 = 0,
を α^4（≠0)で割ると
1 + a/α +b/α^2 + a/α^3 + 1/α^4 = 0,
∴ 1/α も解。
表記がおかしいんじゃないか？
3分の5は5/3だぞ
左辺は(5/3)x-xなんじゃないの？
それなら={(5/3)-1}x=(2/3)x
なるホロ
エスパー乙
３分の５ｘを「3/5x」と表記する猛者が現れるとは予想外だった
自己相反多項式ってやつですね
f(x) = x^(deg f) f(1/x)
が成り立つとき、 α ≠ 0 が f(x) の根なら、 1/α も f(x) の根になる
a = mm+nn,
b = pp+qq,
c = xx+yy,
の場合。
a' = mm-nn, a" = 2mn とおくと（a,a',a"）はピタゴラス数で、
a^2 ± 2a'a" = (a')^2 +（a")^2 ± 2a'a" =（a'±a")^2, は平方数。
題意より
a+b+c =（mm+nn）+（pp+qq）+（xx+yy),
2a'a" = 4mn(mm-nn),
2b'b" = 4pq(pp-qq),
2c'c" = 4xy(xx-yy),
はすべて等しい。
う～む。
ご指摘の通り3分の5xでしたすみません
解説ありがとうございます、5/3-3/3で2/3になるという事だったんですね。おかげで理解できました、本当にありがとう
この程度の質問で数学板に来るなよ
ゴミはRや
よかったね
>>96
3/5x-x=18
3-5x^2=90x
5x^2+90x-3=0
x=｛-45±√(45^2+15)｝/5
=-9±(2√510)/5
問題変えない場合こうなる。
括弧はネットの表記上誤解のないようにつけた。
#^2^A=2^#^A =2π であることを証明せよ。
注 任意の集合Aに対して＃^2^A >#^Aであることが,Cantorにより証明されている
#^2^A=2^#^A =2π であることを証明せよ。
注 任意の集合Aに対して＃^2^A >#^Aであることが,Cantorにより証明されている
これ誰か教えてくれ
優しいエスパーだらけじゃないぞ
なお、ちゃんとタイプしても回答がもらえることは保証しない
2πはナゾだが
何のpdfからコピペしたらそうなるんだよ
有限集合だって言うんだから
濃度＝元の個数nについての数学的帰納法を使えばいいだけ違うん？
どこも難しくない
これって同じ意味だけど、それぞれの式に式としての名前（種類）ってある？
要するに横棒を使ってる式と操作記号を使ってる式のそれぞれの名称が知りたい
#^2^A = 2^#^A = 2^n
であることを証明せよ
打ち直してみた
>>115
具体的にどうすればいい？
x→∫f(x,y)dyはxで微分可能になりますか？
聞かないとわからんのかい？
n=#A とする
n=0 のとき A={}、2^A={{}}
#2^A = #{{}} = 1 = 2^0 = 2^n = 2^#A
n=k で #2^A = 2^#A = 2^n が成立するとき、
n=k+1 で A={a1, ..., ak, a(k+1)}
2^A = 2^{a1, ..., ak} ∪ {B∪{a(k+1)} | B ∈ 2^{a1, ..., ak}}
#2^A = #2^{a1, ..., ak} + #{B∪{a(k+1)} | B ∈ 2^{a1, ..., ak}} = 2^k + 2^k = 2^(k+1) = 2^n = 2^#A
∴#2^A = 2^#A □
このとき(x,y,...,z)→f'(x,y,...,z)は単射になると思うのですが示し方を教えて下さい
全微分可能なら
cos(2π/5)? -sin(2π/5)
sin(2π/5)? cos(2π/5)
1? 0
0? -1
で生成されるSL(n,R)の部分群の位数を求めよ
図を書くと感覚的にわかるのですが不等式で説明することは難しいのでしょうか？
{(x,y,z)∈R^3|x,y,z≧0, x^3+y^3+z^3≦1} が凸集合であることを示せ でした
[ cos(2π/m), -sin(2π/m) ]
[ sin(2π/m), cos(2π/m) ]
[1, 0]
[0,-1]
2π/m の回転と鏡映は正m角形を保つ。
∴ 二面体群Ｄ_m
mが奇数のとき 2m,
mが偶数のとき m,
字汚くてすまん
https://i.imgur.com/js6loKt.jpg
全微分可能とします
|∂f(x,y)/∂x|<φ(y)が成り立つならルベーグの収束定理から微分可能になると思うのですがそれを使うんですかね？
それに含まれる2点
P_0 (x_0, y_0, z_0)
P_1 (x_1, y_1, z_1)
を結んだ線分上の点を
P_λ ((1-λ)x0+λx1, (1-λ)y0+λy1, (1-λ)z0+λz1)
= (x_λ, y_λ, z_λ)
とする。ここに 0<λ<1. Jensenにより
(x_λ)^3 =｛(1-λ)x_0 + λx_1}^3 ≦（1-λ)(x_0)^3 + λ(x_1)^3,
3成分の和をとると
x^3+y^3+z^3 ≦（1-λ)(x0^3+y0^3+z0^3) + λ(x1^3+y1^3+z1^3)
≦（1-λ）+ λ
= 1
∴ 線分P0-P1上の点はすべてそれに含まれる。
∴ 凸集合。
ddx/(dt)^2 + 3(dx/dt）+ 2x = 5
を次のように2元連立の微分方程式に変形した
場合、以下の問に答えよ。
dx/dt = y, ････（1)
dy/dt = -2x -3y + 5, ････（2)
(1）+（2）より
d(x+y)/dt = -2(x+y）+5,
x + y = C e^(-2t) + 5/2,
(1)*2 +（2）より
d(2x+y)/dt = -（2x+y）+5,
2x + y = C' e^(-t）+ 5,
辺々引いて
x(t）= C' e^(-t）- C e^(-2t) + 5/2,
なるほど x→x^3 が凸関数であることを用いるのですね すっきり射精できました
そんなに凝視(みつ)めるな わかい友
････
問ひはそのままに答へであり
堪へる痛みもすでにひとつの睡眠(ねむり)だ。
････
伊藤静雄「そんなに凝視(みつ)めるな」より
「知性」 1939年12月号に発表。
第４詩集「反響」(1947/Nov) /「凝視と陶醉」の部
「伊藤静雄 詩集」新潮文庫 (1957/May) 桑原武夫・富士正晴 編
「伊藤静雄 詩集」岩波文庫 (緑125-1) (1989/Aug) 杉本秀太郎 編
× 伊藤静雄
○ 伊東静雄（1906/12/10～1953/03/12）
「tAA=Aならば、Aは冪等かつ対称行列である事を示せ。」って言うのがわかりません。
Aが正則行列の時は右側からA^-1を掛ければ良いというのは分かるんですけど、Aが特異行列の時は分かりません。
A=Eまたは0だと思ってそれを示すのかと思ったからです...
両辺の転置行列を考えればすぐにわかる
本当だ...なんで気付かなかったんだろ.....
>>140
そうですね..
>>140
ありがとうございます!
お願いします
⬜⬜⬜）⬜⬜⬜７⬜⬜
⬜０⬜
⬜⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜⬜８
⬜⬜⬜
⬜⬜⬜
⬜３
p,qにおける微分が等しいときp,qにおける接平面で分けられる閉半空間のうち、曲面Sを含む側をD,Eとする。
D⊂Eとしてよい。E⊂Dでないとすると∂E∩D=φであるから特にqはDに含まれない。
これはDがSを含む事に反する。
∴D=E
∴{p}=∂D∩S=∂E∩S={q}
問題では触れられていませんが、2変数関数を1変数関数の積として表すことは常に可能なのでしょうか。よろしくおねがいします。
（略記して引用）
u(x,t)は位置xの時刻tでの温度を表し、kは正の定数である。
1次元の熱伝導は、偏微分方程式du/dt=k{d^2(u)/d(x^2)}で記述される。
t?0に対し、0?x?πでの1次元の熱伝導を
境界条件：u(0,t)=u(π,t)=0
初期条件：u(x,0)=x(π-x)
のもとで考える。以下の問に答えよ。
(1)u(x,t)をxのみに依存する関数X(x)とtのみに依存する関数T(t)を用いてu(x,t)=X(x)T(t)と変数分離する。
（以下略）
積で表わした関数の無限和なら表わせるから
その1要素を求めただけだ
>>144
. 1923
109)210700
. 109
. 1016
. 981
. 257
. 218
. 390
. 327
. 93
ちょっと違うかな。
どなたかよろしくお願いします
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(x)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。
Max{ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)} が最小となるようなx,y (0<x<1, y>1, xy<1)
を求めたいのですがどうやればよいのでしょうか
f(x,y)=1/(x+e^y)とする。
g(x)=Σ[k=1,2,...] a[k]x^(-k)
h(x)=Σ[k=1,2,...] b[k]x^(-k)
を用いて
f(x,y)=g(x)h(y)
と表すとき、a[n],b[n]を求めよ。
そんなg(x)とh(y)がとれるのは
f(x,0)/f(x,1)=g(0)/g/(1)
が定数になるときに限られる。
http://o.2ch.sc/1nywh.png
分かりにくい書き方にもかかわらずありがとうございます。
>>155にお絵かきしました。
４段目が10□7だと思うのですが、他がさっぱりで
お力を貸していただければ幸いです。
f(x,0)/f(x,1) = h(0)/h(1) なので定数なのでは？
ただ気になるのは、左辺は x = 0 で y の値に依らず常に定義されるが、
右辺は x = 0 で定義できない
f(x,y)=g(x)h(y)と分解できる必要条件が
f(x,0)/f(x,1)が定数となる事。
本問fx,y)=1/(x+e^y)では
f(x,0)/f(x,1)=(x+e)/(x+1)
は定数なので条件を満たすg,hはそもそも存在しない。
失礼しました
左辺が定数になるとは限らないという意味だったのですね
除数も商も余りも合ってるのに、どうして被除数だけ間違えるのかなぁ。
そういう芸風かなぁ。
ただしy=f(x)である。
y(0)=0
yy'-2y'y''+yy''=(e^y - e^y')^2
>>156あってたのか。難しかったよ。たまたま一瞬あった気がして、なんか違う気もして、まぁでもあってたんならいいや。
パソコンの助けなしで答えられるのは凄い。
お願いします！！！
c1でいいなら
f(x,y)=∫[0 x]k(t,y)dtとおける。
F(x,y)=∫[u:0,x][v:0,y]k(t,u)dtduとおく。
(F(x+h,y)-F(x,y))h
=k(x+θ(h),y)h
あ、間違い、取り消し
1,2,...,n-1の数字が1つ書かれたカードが1枚ずつ、計n-1枚のカードが袋に入っている。
袋からカードを無作為に1枚取り出し、書かれた数字を記録し、袋の中に戻す。これを3回行い、記録した数を順にa,b,cとする。
このときa+b+c<nとなる確率p[n]と、n→∞としたときのp[n]の極限値を求めよ。
> 微分可能なf(x,y)があったとき
> x→∫f(x,y)dyはxで微分可能になりますか？
なりません。
まず、微分可能性を仮定しても、偏導関数が積分可能かわからない。
より強く、fがC^1級とか仮定しても、区間が有界とは書いてない。
きちんとした教科書参照して仮定をチェックしてくれ。
1/6
Eを通り上底下底（AD、BC）に平行な直線とAB,CDとの交点をF,Gとする。
EF=EGを初等幾何で証明したいのですがたぶん超簡単だと思うのでヒントを
C、Dが直角っている？
相似の比
それを同じ高さのとこで切ってみよう
FE = AD･q/(p+q）= BC･p/(p+q) = EG.
なお、△AED と △CEB は相似により
p：q = AD：BC
FE = EG = AD･BC/(AD+BC).
例4: f(x) = x^(x)^(1/x) の x -> +∞ のときの漸近展開
f(x) = exp( log(x) + 1/x * log^2(x) + 1/(2x^2) * log^3(x) + o(log^3(x)/x^2)
となるのはわかるのですが、
> log(x) は 無限大でこれだけ切り離せばあとは無限小となる。だから、
f(x) = {e^(log(x))} * {1 + 1/x* log^2(x) + 1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2)}
となる理由がわかりません。
教えてください。
x^x^1/x = exp{ logx * x^1/x } = exp{ logx * exp{ 1/x * log x } }
= exp{ log x * [ 1 + 1/x * log x + 1/(2! x^2) * log^2 x + 1/(3! x^3) * log^3 x + ... ] }
= exp{ log x + δ }
= exp{ log(x) } * { 1 + δ + δ^2/2! + o(δ^2) }
=exp{ log(x) } * { 1 + 1/x * log^2(x) +1/(2x^2) * log^4(x) + o(log^4(x)/x^2) }
δ := 1/x * log^2(x) + O{1/x^2 * log^3(x)}
δ^2 = 1/x^2 * log^4(x) + O{1/x^3 * log^5(x)}
AB // CD ではないから、点Xで交わる。
AD < BC としてもよい。
△ADX ∽ △BCX
∴（AX/BX)(CX/DX）= 1,
XEの延長線とBCの交点をMとおくと
チェヴァの定理より
(BM/MC）= 1,
∴ MはBCの中点。
△FGX ∽ △BCX より、EはFGの中点。
命題「Pである⇒Qである」から対偶命題「Pでない⇒Qでない」が導ける
というときの"導ける"の意味は"必ず正しく演繹される"という意味でいいのでしょうか？
もしそうであるならば、
"導ける"の否定"導けない"は"必ずしも正しく演繹されるわけではない"という意味
でいいのでしょうか？
さらにそうであるとすると、"導けない"を使った次の命題
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は導けない
は
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は絶対に導けない
とは違った意味になりますか？
ABの延長線とCDの延長線の交点をXとおく。
AD < BC としてもよい。
題意より
AD//BC
(XA/AB）=（XD/DC) ･･･ (*)
対角線ACと△BMX についてメネラウスの定理より
(XA/AB)(BC/CM)(ME/EX）= 1,
対角線BDと△CMX についてメネラウスの定理より
(XD/DC)(CB/BM)(ME/EX）= 1.
辺々割るとチェヴァの定理になる。
(*）を使えば
BM = MC,
∴ MはBCの中点。
△FGX ∽ △BCX より、EはFGの中点。
お願いします。
題意より
ay/(y-1）> a,
b/(1-xy）> b,
c/(1-x）> c,
しかし xyy=1 に沿って y →∞, xy→0, x→0 とすれば、
ay/(y-1）→ a,
b/(1-xy）→ b,
c/(1-x）→ c,
∴ Max{a,b,c｝に近付く。
331777=(2^a)(3^b)+1
= 25･13271 + 2
= 25･23･577 + 2
=（24+1)(24-1)(24^2 + 1) + 2
=（24^2 - 1)(24^2 + 1) + 2
= 24^4 + 1
=（2^3･3)^4 + 1
= (2^12)(3^4) + 1,
a=12, b=4
右辺のマイナスがなぜ出てくるのかわかりません、どなたかご教示願います
Sを2単体⊿^2上の加群の局所系として、⊿^2の頂点をe0,e1,e2とする
また|e0e1|でe0からe1へ向かう辺をあらわすとして
S(|e2e1|)S(|e1e0|)= -S(|e2e0|)
自分では、e2からe1を経由してからe0へ行く道はe2から直接e0へ行く道とホモトピー同値なので
右辺はプラスになるのではないかと考えたのですが
正しい条件で計算したらちゃんと合いましたので質問を撤回します
対偶のPとQはすでにある通り逆ですね
命題論理では、「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」が導けるというのは推論規則を適用して変形できるということです
推論規則を適用して変形できるというのは、例えば¬¬PからPに変形してもよい、といった必要最低限のルールを定め、それを上手く組み合わせればたどり着けるということです
「P⇒Q」から「¬Q⇒¬P」を導けるというのも、推論規則を色々組み合わせて変形していけばたどり着けるからです(パズルになるのでここではやりませんが)
したがって導けないということは、推論規則というルールをどんなに組み合わせて使っても絶対にたどり着けないということなので、絶対に導けないといっても同じことを表すと思います
Aの下から数えてk桁目の数字をnに置き換えた整数をN(k,n)とする。
例えばN(1,9)=331779、N(3,0)=331077、N(6,4)=431777である。
ただし1≦k≦6かつ0≦n≦9で、N(6,0)は定義しないものとする。
N(k,n)≠Aのとき、N(k,n)=(2^a)(3^b)+1を成立させる非負整数a,bは存在しないことを示せ。
>>192
有難うございます。
対偶のとり方を間違えていました。
>>192さんに書いていただいたことは理解できたと思います。
ということは、>>182の
命題「Pである⇒Qである」から裏命題「Pでない⇒Qでない」は導けない
は 真 であるということですよね？
他のスレの論争を見ていて、
(1)命題からその裏の命題は導けない
という主張に
(2)命題からその裏の命題が必ず導けるとは限らない(導かれないこともある)
の方が正しいという理由で(1)は間違いであると主張している人を見かけて気になっているのですが、
(1)が正しいと考えてよいでしょうか？
正確に話すと非常にややこしい話ですが、
「P⇒Q」から「Pでない⇒Qでない」は導けないことが導けますね
というのも、
Aを前提にBを導ける、というのをA |- Bという風に書き、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない とはならないことを導きたいわけですが、
これを示すためここでは、A |- Bであることが、Aが真であるような真理値の全ての割り当てに対してBもまた真である、ということと同値である事実(命題論理の完全性定理)を利用します
どういうことか、実際にやってみますが、
P⇒Q |- Pでない⇒Qでない が成り立つことは、
Pに偽、Qに真と偽を割り当てた2パターン、およびPに真、Qに真を割り当てたパターンについて、「Pでない⇒Qでない」もまた真になることと同値です
ところが、Pに偽、Qに真を割り当てたパターンでは「Pでない⇒Qでない」は偽になります
従って「P⇒Q |- Pでない⇒Qでない」が成り立たないことが導けます
0<ε<1 に対して
xy = 1/y < ε/2,
とすれば
x < (ε/2)^2 < ε/2,
Max{ y/(y-1), 1/(1-xy), 1/(1-x)｝< 1/(1-ε/2）< 1+ε,
Max{a,b,c｝= M とおけば
M < Max{ ay/(y-1), b/(1-xy), c/(1-x)｝< M(1+ε),
Sの直径/Sの長さの最大値はπであるような気がするのですが、どう示したらいいでしょう？
なおSの直径とはsup{||a-b||;a,b∈S}で定義します
Sの長さ/Sの直径の間違いですね
> >>197
> Sの長さ/Sの直径の間違いですね
perimeter diameter inequalityでぐぐったら、
perimeter/diameter ≦π
は正しいようです。最大値を与えるのは、等幅領域
証明は知りませんが、
http://emis.matem.unam.mx/journals/JIPAM/images/016_99_JIPAM/016_99.pdf
にリストがありました。
ありがとうございます
円以外もあったのは意外でした
S を含む円で、直径が S の直径に一致するようなもの（つまり S の「外接円」）がとれるような気がするんだけど、
反例あるかな？
ルーローの三角形かそれに近いものでも出来る？
（g○f）^－１=ｆ^－１○g^－１
を証明せよ
実際に定規とコンパスで描いてみましたが、無理でした
ルーローの三角形の幅は正三角形の頂点から対角辺の方向に垂直に下した線の外周までの長さと一致するが、
この線の中点を円の中心にすると、残りの2つの頂点の近くがはみ出てしまう
また、正三角形の外接円はルーローの三角形に外接するが、
この外接円の直径は明らかにルーローの三角形の幅よりも大きくなってしまう
自明すぎて何を要求されてるのかわからんので、糞ほど丁寧に書いてみた。
書くの面倒だから f^-1=f~ と略記する。
また、計算の優先順位を表すカッコが関数の引数のカッコと紛らわしいので
計算の優先順位のカッコはすべて中カッコで書いておく。(本来はただのカッコ)
任意の x∈X について
{{f~〇g~}〇{g〇f}}(x)={f~〇g~}({g〇f}(x))=f~(g~({g〇f}(x)))=f~(g~(g(f(x))))=f~(f(x))=x
∵f(x)∈Y であるからg~の定義から g~(g(f(x)))=f(x) , x∈X であるからf~の定義から f~(f(x))=x
任意の z∈Z について
{{g〇f}〇{f~〇g~}}(z)={g〇f}({f~〇g~}(z))=g(f({f~〇g~}(x)))=g(f(f~(g~(z))))=g(g~(z))=z
∵g~(z)∈Y であるからf~の定義から f(f~(g~(z)))=g~(z) , z∈Z であるからg~の定義から g(g~(z))=z
この関数は比較的簡潔な形をしている微分方程式の解なので、何かあるのかと思い質問しました。
>>172
△DEGと△DBCにおいて三角形の相似よりDG:DC=EG:BC――?
台形ABCDにおいてDG:DC=AF:AB――?
△AFEと△ABCにおいて三角形の相似よりAF:AB=FE:BC――?
???よりEG:BC=FE:BC
∴EG=FE
>>172
△DEGと△DBCにおいて三角形の相似よりDG:DC=EG:BC――1
台形ABCDにおいてDG:DC=AF:AB――2
△AFEと△ABCにおいて三角形の相似よりAF:AB=FE:BC――3
1,2,3よりEG:BC=FE:BC
∴EG=FE
ベッセル関数らしいということが分かりました
J_n(z)=1/(2π)∫[0→2π] cos(nx-z sinx)dx
公式集の第１行目に載っとるがな
スレ違いかもしれませんがよろしくお願いします。
（問題）{0^n 1^n 2^n | n≧1}を受理するTuringマシン（どんな種類でもよい）を与えよ。
でも「どんな種類でもよい」ってのが引っかかる
多テープチューリングマシンで別のテープをカウンタ代わりにしたらもっとスマートにできそう
ttps://www.classes.cs.uchicago.edu/archive/2015/winter/28000-1/Lec13.pdf
０が続いた回数ど同じ数の０をテープに書いて、
１が続いた回数と同じだけテープを戻し
２が続いた回数と同じだけテープを進める
折り返し点で回数をチェックしたら簡単にできそう
回答ありがとうございます。
実はまだよく分かっていませんがもう少し勉強してみます。
これくらいのことになじめない自分がいやになりますが。
これの答えを先生が「ε>0をとる」から始めていたんですけど、εは0に近ければ何でもいいんではないんですか？なぜ0より大きいとするんですか？
そんな強い主張はしてない
εが大きいときは自明だから全てのε＞0にしておけば問題ない
ありがとうごさいました
定数列は距離の公理から距離0なのでコーシー列
詳しくお願いします
(1,2,3,4) で生成される部分群 H を計算して、 (1,2) を含む右剰余類を計算するだけ
m>N, n>N なるとき |a_m - a_n| < ε
なることを俗に「コーシー列」と云う････
高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第１章、§6 p.11 定理8
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをPとする。
Pのx座標およびy座標をaで表せ。
>>237
P(a√3+α,α^3-3a^2α)
とりあえず保留。
この書き込みでええよ。
> 微分可能な点の集合が孤立点を含むような実変数の実数値関数ってありますか？
f(x)=x^2 （xは有理数）
f(x)=0 (xは無理数)
とか。
連続な関数で、ということなら、高木関数を二乗して周期的に拡張したら？
xが有理数のとき f(x)=x^2
xが無理数のとき f(x)=0
f(x)は x=0 でのみ微分可能
ありがとうございました。
開集合とは限らない集合A(⊂ R^n)上でfが微分可能であることの定義ですが、以下の2つの定義は同じことでしょうか？
1. Aの内部で微分可能。
Aの境界の点aで微分可能であるとは、線形写像λで、任意の正の実数εに対して、0 < |x - a| < δとなるようなx∈Aが|f(x) - f(a) - λ(x - a)|/|x - a| < εとなるような
正の実数δが存在するようなものが存在することである。
2.Aを含む開集合B上で微分可能な関数でそのAへの制限がfに等しいようなものが存在する。
では〔問題〕です。
(1)
∂{-(n+z cosθ)sin(nθ-z sinθ)}/∂θ
= - zz(sinθ)^2･cos(nθ-z sinθ)
+ z(sinθ) sin(nθ-z sinθ)
+ (zz-nn) cos(nθ-z sinθ)
= {zz(∂/∂z)^2 + z(∂/∂z) + (zz-nn)} cos(nθ-z sinθ),
を示せ。
(2)
zz･J "(z) + z･J '(z) + (zz-nn)J(z) = 0,
を示せ。
(1)dy/dx＝2y/x+x/y
(2)dy/dx＝x+2y/2x+y
一階線型微分方程式とベルヌーイの微分方程式
(1)dy/dx+2ycosx=sinxcosx
(2)dy/dx-2xy＝e^x2
(3)dy/dx+y＝3e^x・y^3
この辺解いてくれる方いらっしゃいますか？
S^1上の局所系Sとしては、x∈S^1としてS_xが整数Zと同型になる場合は2種類の局所系があり
(特性準同型π_1(S^1)=Z→Aut(Z)が1を±1にうつすものの2つあるので)
その場合のホモロジーとコホモロジーについては具体的に計算して双対定理が成り立つことはわかりました
しかしS_xが一般の加群のときには局所系としてはどのようなものがあるのかがそもそもわかりません
どのように考えればよいのか教えてください
n→∞
の解法がわかりません
どなたか教えてください；；
下からは1を落とせばいい
{2 + 1/(n*2^(n-1))}^n = 2^n + 1 + ････
∴ 2 < (1+2^n)^(1/n) < 2 + 1/(n*2^(n-1)),
大学の課題は「大学学部レヴェル質問スレ」でやれ
と言いたいが生憎 複素函数論の入口辺りで渋滞してるので･･･
同次形
(1) は y(x) = x･u(x) とおけば
dy/dx = u(x) + x(du/dx),
y(x) = ±x√(Cxx-1), (C>0)
(2) は x-y=u, x+y=v とおけば
dy/dx = {(dv/du)-1}/{(dv/du)+1},
(x+2y)(2x+y) = (3v-u)/(3v+u),
より
dv/du = 3v/u,
v = Cu^3,
x+y = C(x-y)^3,
一階線形方程式は
(1)
{y･e^(2sin(x))} ' = e^(2sin(x))sin(x)cos(x),
y･e^(2sin(x)) = (1/4){2sin(x)-1} e^(2sin(x)) + C,
y = (1/4){2sin(x)-1} + C･e^(-2sin(x)),
(2)
{y･e^(-xx)} ' = 1,
y･e^(-xx) = x + C,
y(x) = (x+C)e^(xx),
(3)
非線型項 y^n があれば y^(1-n) = u(x) とおく。
本問では 1/yy = u(x)
du/dx -2u = -6 e^x,
{u･e^(-2x)} ' = -6 e^(-x),
u･e^(-2x) = 6 e^(-x) + C,
1/yy = u(x) = 6 e^x + C e^(2x),
ありがとうございます！「大学学部レヴェル質問スレ」の存在を初めて知りました！
解けなかったので助かりました！
ある新聞社が内閣の支持率を調べるために全国の有権者から無作為に1000人を抽出する世論調査を企画している。全体の内閣支持率を0.3とした時、この世論調査における標本の内閣支持率Pの平均と分散の正規分布に従う時
平均と分散を求めよ。また、この世論調査による支持率がP>=0.33となる確率を求めよ
平均0.3
分散0.00021
Pr[p>=0.33] 0.02158184
3次関数
f(α)=x^3-3(a^2)x
はx=αで極大値をとるとする。
xy平面上の直線y=f(α)と曲線y=f(x)の交点のうちA(α,f(α))でないものをP(p,f(p))とする。
（1）p=2αを示せ。
（2）3次方程式(x-b)^3-3(a^2)(x-b)+c=0を解け。
ありがとうございます！
>>250
解けました！
ありがとうございます
1億回シミュレーションして検算
> n=1000
> k=1e8
> p=rbinom(k,n,0.3)/n
> mean(p)
[1] 0.2999973
> var(p)
[1] 0.0002100855
> mean(p>=0.33)
[1] 0.02158068
上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。
a,b,cは実定数とする。
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
がx=mで極大値、x=Mで極小値をとるならば、m<Mであることを示せ。
x=mで極大値、x=Mで極小値をとるから
f'(m)=f'(M)=0 かつ f''(m)<0 かつ f''(M)>0
f'(x)は2次以下の多項式で、x=m,Mを根にもち、3次の係数が3だから
f'(x)=3(x-M)(x-m)=3x^2-3(M+m)x+3Mm
したがって f''(x)=6x-3(M+m)
f''(m)<0 より m<M (f''(M)>0 からも同じ m<M が得られる)
純粋に代数的に示すのは無理じゃね？
普通に導関数の符号を調べるのが一番早そう
>f''(m)<0 かつ f''(M)>0
なぜ？
これは極大極小の必要条件ではないはず
x=r(cosθ)^4, y=r(sinθ)^4としたときの
rとθの範囲を教えて下さい.
0≦r≦1は分かるのですが, θの範囲が分かりません．
3x^2+2ax+b=0の解 x=(-a±√(a^2-3b))/3 の一方がmでもう一方がM
どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM ということなので、
f(m)>f(M) で決めることになる。
f(x)=x^3+ax^2+bx+c=(3x^2+2ax+b)(3x+a)/9 + (2b/3-2a^2/9)x+c-ab/9
と変形すると、上の解を入れたときの値は、第一項が消えて、
f(m)=(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9
f(M)=(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9 と表せる。
この二つの大小は、(2b/3-2a^2/9)が正か負かに依ることが判る。
3x^2+2ax+b=0の解から、a^2>3b が この問題の前提になっている（極大、極小を持つ）
ので、(2b/3-2a^2/9) が負であることが確定。
つまり、f(m)>f(M) ならば、m<M がいえる。
二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント
T^px=T'(T^(p-1)x)T'(T^(p-2)x)...T'(x)を示せ
ウォルフラム先生によれば
https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum%5BBinomial%5B1000%2C+r%5D+%283%2F10%29%5Er+%287%2F10%29%5E%281000+-+r%29%2C+%7Br%2C+330%2C+1000%7D%5D&lang=ja
0.021581844295845248882986311033030824174678492692266322905...
0.021581844295845248882986311033030824174678492692266322905...
正規分布近似が精度が低いなぁ
> pnorm(0.33,0.3,sqrt(0.00021),lower=F)
[1] 0.019216965118390775
2*√((x-1)*x^3) / x^2
確かに>>263の指摘の通り>>261は説明不足でした。あと「3次の係数→2次の係数」も間違いですね。すみません。
「一般に二回微分可能な関数f(x)について、f(x)がx=tで極大値をとるならばf''(t)≦0である。>>260のf(x)について f''(m)=3(m-M)≠0 であるから f''(m)＜0」
を追記する必要があります。
3次関数について極大値＞極小値が成り立つのを認める前提であれば>>265の方針も良いのだと思います。
分かりやすいサイトでもいいのでぜひお願いします
興味深い議論だが、
>3x^2+2ax+b=0の解 x=(-a±√(a^2-3b))/3 の一方がmでもう一方がM
>どちらが、mで、どちらがMかは、極大の方がmで、極小の方がM ということなので、
>f(m)>f(M) で決めることになる。
>二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負というのが、ポイント
これって循環論法じゃない？
実際、5次関数とかなら、 f(m) ≦ f(M) となるような m, M のペアが存在することもあるわけだし
f(m) > f(M) はどうやって証明するの？
この方針による証明も書いておこう
まず、仮定より m ≠ M である（もし m = M ならその近くで f(x) が定数になってしまうので）。
f(x) の導関数 f'(x) は（2次の係数が正なので）下に凸な2次関数であり、 x 軸との交点は高々2つである。
仮定より f'(m) = f'(M) = 0 であるので、 f'(x) の x 軸との交点はちょうど2つであり、それらを α, β (α < β) とすると、
下に凸な2次関数の性質から、
x < α または β < x のとき、 f'(x) > 0
α < x かつ x < β のとき、 f'(x) < 0
となる。ゆえに、 f(x) は x = α で極大値、 x = β で極小値をとるので、 m = α < β = M が成り立つ。
一言でいうと f(x)をf ' (x)で割り算すれば解決しますが 以下は詳細:
f ' (x) = 0 は異なる2つの実数解を持つので a^2 ＞ 3b がいえる.
それらをs,tとおく (s＜t)
sが極大値をあたえる点で, tが極小値を与える点である
よって示すべきものは f(s)＞f(t) である
多項式f(x)を f'(x)で割り算したときの余りをr(x)とおく.
r(x)の1次の係数を計算すると 2(3b-a^2)/9
a^2＞3b より これは負であることがいえるので
f(s)-f(t)=r(s)-r(t)＞0 だから r(s)＞r(t)
■
>>265 の人は「二つ停留点（極値）を結ぶ直線の傾きが負」
という記述の部分で誤解されたみたいだが
それは単に数式で起こった現象をあえて言葉でも説明しているだけで
>>265 の方法はこれで既に正しいとおもう
人によっては f'(s)=f'(t)=0, s＜t なら sが極大値をあたえる点であることなどは
追加で説明が必要かもしれないが それは例えば >>275 のラスト4行
>人によっては f'(s)=f'(t)=0, s＜t なら sが極大値をあたえる点であることなどは
>追加で説明が必要かもしれないが それは例えば >>275 のラスト4行
まさにそこの説明が>>260の問題で求められていることなのでは？
それがいえれば m = s < t = M なので>>260の証明は終わる
実際、平均値の定理から
f(m) - f(M) = (m - M)f'(c)
となるような m と M の間の定数 c が存在するが、>>275の考察より f'(c) < 0 なので、
f(m) - f(M) > 0 ⇔ m - M < 0
>> これって循環論法じゃない？
そんなことはない。
三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になるが、
三次の係数が負の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは正になる。
このことを、「f(x)=x^3+ax^2+bx+c」という設定からスタートしたことに
「則し」、それにあわせて答えただけ。
極大とは、その近隣で、最大ということ。極小とは、その近隣で最小ということ。
極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
三次関数においては、極大値と極小値の大小関係は、 極大値 ＞ 極小値 で確定。
四次関数、五次関数、．．．なら、隣合っているかどうかは、個別に判断しなければならない。
従って、265のような議論はできない。
x=1/t とおく。以上
>>270
日本ぢゃ未だにＮ(np, np(1-p)）で近似するのか････こりゃ参った。
先進国ではＮ(np+(p-1/2), (n+1)p(1-p)) を使うらしいが。
これ、計算が（見かけより）重いから（大した量でもないが）、
安物の教科書では端折ったり誤魔化したりしてるけど、
スターリングの公式と (1+1/m)^(m+1/2) = e を使って丁寧にやれば
きっちり合うものだ。
一度じっくり取り組むと力になるよ～
r=2 θ=π/4でも成立するから
0≦r≦1からして間違っている。
> r=2 θ=π/4でも成立するから
え？
>284は嘘書いた、撤回します。
> re=0
> for(b in 2:5){
+ re = re + choose(7,b)*choose(5,5-b)
+ }
> re
[1] 756
無作為に選ぶとその確率は756/792=0.9545455
1000万回シミュレーションして検算。
> g=c(rep(1,7),rep(0,5))
> mean(replicate(1e7,sum(sample(g,5)) >= 2))
[1] 0.9545951
θは任意の実数値をとり得る。
>三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる
そのことを証明しなければ意味がない
>極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
>三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
それがまさに f(m) > f(M) であり、>>279にあるように、それは m < M と同値
あなたが言っていることはまさに循環論法か、
あるいは>>260は自明と言っているだけ
Y=(gx^2+hx+i)/(jx^2+kx+l)
xを消去したときにX,Yの二次式になるための係数の条件を知りたいのですが
どっかにないでしょうか？
さらに言えば
>極大と、極小が「隣合っている」なら、極大は極小よりおおきいのは自明。
『極大と、極小が「隣合っている」』を
「実数 R の部分集合上で定義された実関数 f(x) に対し、 f(x) の極大点 m と極小点 M が存在し、
ある区間 I が存在して m ∊ I かつ M ∊ I かつ、他の極値点は I に属さない」
と解釈すると、これは全然自明じゃない
例えば、 f(x) として不連続な関数
f(x) = |x| (x > -1), -|x+2| - 2 (x < -1), 0 (x = -1)
を考えると、 f(x) は x = -2 で極大値 -2, x = 0 で極小値 0 をとり、これらは「隣合っている」が、 f(-2) < f(0)
したがって、『極大と、極小が「隣合っている」』の定義を明確にした上で、
どのような関数に対して主張が成り立つか考え、その主張を証明しなければならない
>三次関数で、極大と極小があるなら、それらは、隣合っているのも自明。
これも、なぜ三次関数ならそれらが「隣合っている」のか考え、その主張を証明しなければならない
>> >三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる
>> そのことを証明しなければ意味がない
なるほど、>>265は、将にそれを示したのだが、遠回しだと理解できないようだな。
だから、循環論法うんうんと粘着してくるんだろう。多くの人にとっては、265の
繰り返しと写るだろうが、補足する。
二つの停留点は、(m,f(m)),(M,f(M))。
具体的には、(m,(2b/3-2a^2/9)m+c-ab/9),(M,(2b/3-2a^2/9)M+c-ab/9)
この二点の傾きは、
{f(M)-f(m)}/(M-n)={(2b/3-2a^2/9)M-(2b/3-2a^2/9)m}/(M-m)=(2b/3-2a^2/9)
これが負であることは、三次関数f(x)=x^3+ax^2+bx+cが極値を持つという
問題の設定から、f'(x)=0 →、3x^2+2ax+b=0 の解 が二つの実数解を持つ
という条件、つまり、D/4=a^2-3*b>0 を使うと出てくる。 というだけ。
投稿者（出題者）は、f(x)=x^3+ax^2+bx+cと提起した。
それに則して答えるのが、当たり前。5次関数や不連続な関数を持ってきて、
反論の為の反論を行うのは止めなさい。
なるほど
確かにそれなら
>三次の係数が正の三次関数だと、停留点同士を結んだ直線の傾きは負になる
は証明できているね
ただし、それから従うのは
{f(M)-f(m)}/(M-n) < 0
だけであって、あなたは
f(m) - f(M) > 0 ⇔ m - M < 0
を証明しただけにすぎない
したがって、あなたの議論は>>260の証明にはなっていない
260投稿者が、>>265あるいは、>>292の内容で納得するかどうかポイントになるが、
納得しない場合は、f(x)=x^3+ax^2+bx+c において、何が極大で、何が極小かを問うことになる。
つまり、二つの停留点があることを確認してもらい、一方を極大、一方を極小としたとき、
極大値 ＞ 極小値
となるように、極大（値）、極小（値）を命名しただけであることを納得してもらうことになる。
もしかしたら、「納得できない。上に凸だと極大だ」とか言うのかもしれない。
つまり、「停留点に於ける微係数が負なら極大」ということになるが、その方針での回答が将に、>>275だ。
しかし、260の投稿者は、
>> グラフの形状を考えれば自明ですが数式で示すにはどうしたら良いでしょうか。
>> 上手く式変形できず困っています。よろしくおねがいします。
と書いている。
投稿者は、275のような理解はできているが、f(x)=x^3+ax^2+bx+c としたとき、
a,b,c 等の関係から、それを示すのはどうすればいいのか？ と疑問を持ったのでは無いのか？
275の回答で投稿者が納得するなら、それでもいいが、納得できないからこそ、問題を投稿したのでは？
だからこそ、265のような回答を作った。
○：「停留点に於ける二次微係数が負なら極大」
訂正します
>極大値 ＞ 極小値
これは一般には成り立たないので、
なぜ f(x)=x^3+ax^2+bx+c なら成り立つのかということが説明できなければ意味がない
また、同様な式変形による厳密な証明は、>>272で与えられている
>となるように、極大（値）、極小（値）を命名しただけであることを納得してもらうことになる。
定義を勝手に変更されましても
あとは、「同値な主張を仮定して議論しても意味がない」とだけ
もちろん数学的な証明になっていないとしても投稿者が納得することも多々あるが、ここは数学板だから全く別の人から突っ込まれるのも必然だ
2次の係数によってその極値が極大か極小か（さらに最大か最小か）までわかるが、
3次関数だとそのように代数的に示すのは難しくて、微分を使うと簡単だというのは面白い
所謂「立方完成（立体完成）」を使って（微分を使わずに）同様に確認できるだろうか？
一応できなくはないかな
f(x)=x^3+ax^2+bx+c を「立方完成」すれば、
X^3 + pX + q
の形に書けるので、この形の3次関数について、
X = ±√(-p/3) の小さいほうが極大点になり、大きいほうが極小点になることを直接計算して示せば良い
ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない
式変形が好きな人はチャレンジしてみると良いかも
>ただ、実際に f(x) を「立方完成」したときに、微分を使わずに p < 0 となることを示すのが難しいかもしれない
よく考えたら p < 0 は明らかだった
もし p ≧ 0 なら、 X^3 + pX + q は X について狭義単調増加だから、極値点は存在しない
事象空間Fの公理
（i）Ω ∈F((ii)よりØ ∈F)
（ii）A ∈ F→A^C ∈ F
（iii）Ai ∈ F（i=1,2...）→ ∪Ai ∉ F
確率（測度）Pの公理
P:Ω→［0,1］に対して
（1）0□P（A）□1 for all A ∈ F
（2）P（Ω）=1
（3）Ai ∈ F（i=1,2...）with A ∩Aj= Ø（i≠j）
上記の公理を使いP（A^C）＝1－P（A）を証明せよ
(3)を直したら(2)(3)から自明だろ
その公理おかしくない？
すいません、わかりません
どうすればいいですか？
＞どうすればいいですか？
公理の(3)を正しいものに直せばよい。
ほぼ何もしなくていい
2次方程式 x^2+bx+c=0 の解の1つが(-1+√33)/8より大きく0.6より小さくなるようなb,cのうち、|b|+|c|が最小となるものを求めよ。
三次の係数が正負どちらでも考察できるように、
f(x)=dx^3 + ax^2 + bx +c
と変更。これを、x=pの周りでテイラー展開すると、
f(x)=d(x-p)^3 + (3 d p+a)(x-p)^2 + (3 d p^2+2 a p+b)(x-p) + d p^3 + a p^2 + b p +c
x=pを極値とし、そこから少しだけずれたx=p+εでの値との差は、
f(p+ε)-f(p)=dε^3 + (3 d p+a)ε^2 + (3 d p^2+2 a p+b)ε
だが、pは極値なので、(3 d p^2+2 a p+b)は0。第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、
f(p+ε)-f(p)≒ (3 d p+a)ε^2
となる。x=pが極大なのか、極小なのかは、3dp+aの正負で決定される。
（(3 d p+a)が負なら極大で、(3 d p+a)が正なら極小）
pは、{-a±√(a^2-3bd)}/(3d) のどちらか。
(3 d p+a) に p={-a-√(a^2-3bd)}/3dを 代入すると、-√(a^2-3bd)<0 なので、極大
(3 d p+a) に p={-a+√(a^2-3bd)}/3dを 代入すると、√(a^2-3bd)>0 なので、極小
従って、m={-a-√(a^2-3bd)}/3d , M={-a+√(a^2-3bd)}/3d となる。
dが正なら、m<M だし、dが負なら、m>Mとなる
俺の知ってる公理とは違うけど、俺の知ってる公理では
A∪A^c=Ω(非交和)より1=P(Ω)=P(A)+P(A^c)
>第一項は、εを小さな量としているので、無視すると、
実際のところ、 ε がどれくらい小さければ無視できますか？
基準となる量を明示的に書けますか？
(-1+√33)/8 = 0.593070
f(x) = xx +bx +c とおくと、題意より
f((-1+√33)/8)･f(0.6) < 0,
これより
(b,c) = (-(9+5n),5+3n) |b|+|c| = 14+8n,
(b,c) = (23+5n,-(14+3n)) |b|+|c| = 37+8n,
は題意を満たす。nは非負整数 (n≧0)。
最小の解は
(b,c) = (-9,5), |b|+|c| = 14, (9-√61)/2 = 0.594875
> 基準となる量を明示的に書けますか？
そりゃあ書けるでしょ。
例えば、|ε|<(3 d p+a)/(2d)とかで良いっしょ。
でも、具体的な表示を見なくてもオーダー考えれば良いというのが微積の便利なとこなのに、何でいちいち聞くの？
ありがとうございます
おかげで、具体例でちゃんと成立していることが確認できました
いま小数点以下第k桁目の数字がa[k]であり、整数部分が0である実数を考えたい。
例えばn=3で、1回目に6、2回目に3、3回目に5が出た場合、そのような実数は0.635である。
n→∞としたとき、このような実数の期待値の極限を求めよ。
(0.777…) / 2 じゃなくて？
> E <- function(n,k=1e5){
+ sim <- function(x) sum(sample(6,x,replace = TRUE) * 0.1^(1:n))
+ mean(replicate(k,sim(n)))
+ }
> E(10)
[1] 0.38918789171006402
> E(100)
[1] 0.38942027966393805
> E(1000)
[1] 0.38884678526292493
7/18でいいみたい。
なるほどね。
2行2列で行列式が1である行列の全体の集合は、
行列の和と実数倍によってベクトル空間となるか。
どのように説明すればいい？
[ cosθ, sinθ] + [cosθ, -sinθ] = [2cosθ, 0]
[ -sinθ, cosθ] [sinθ, cosθ] [0, 2cosθ]
行列式 = (2cosθ)^2 ≠ 1,
思い違いかな？
それとも学業とか仕事なのかな
零行列の行列式は1でない、で終了
実数倍についても閉じてない。
det(cA) = c^2 det(A) = c^2 ≠ 1,
ケッタイな問題だな。
各桁の期待値が(1+2+..+5+6)/6=3.5で0.77777..../2の方がわかりやすいな。
内接円上の任意の点GをとりGの内接円との接戦と直線ABとの交点をH、
DGとEFとの交点をIとすると３点H、I、Cは同一直線上にあることを示せ。
ｄｙ/ｄｘ：＝lim[△ｙ→０]△ｙ/△ｘ
において△ｙ＝０となっても良かったが、右辺定義の分母は△ｘ≠０であった。
証明では
ｄｚ/ｄｙ：＝lim[△ｙ→０]△ｚ/△ｙ
が現れ△ｙ≠０でなければならないはずだが・・・
これを解決せよ
証明の部分は書いてないんだけどこの場合どうすれば解決できるのか、わかる方教えてください
最初は恐らくlim ⊿y→0の誤りかな
要するに論理では変数の記号が重複するとおかしなことになるということで、違うものには違う記号を使う
「集合の任意の元 a, b, c に対し…」と書かれていても、 a, b, c が相異なるとは限らないのと同じ
おっしゃるとおり△ｘ→０です
証明ですが
二つの関数ｘ→ｙ＝ｆ(ｘ),ｚ＝ｇ(ｙ)の合成
ｘ→ｙ＝ｆ(ｘ)→ｚ＝ｇ(ｆ(ｘ))＝(ｇ○ｆ)(ｘ)
の微分を考える。ｘを△ｘ増分させると
ｘ＋△ｘ→ｙ＋△ｙ＝ｆ(ｘ＋△ｘ)→
→ｚ＋△ｚ＝ｇ(ｙ＋△ｙ)＝ｇ(ｆ(ｘ＋△ｘ))＝(ｇ○ｆ)(ｘ＋△ｘ)
となり、△ｘ→０⇒△ｙ→０⇒ｚ→０に注意して
ｄ/ｄｘ(ｇ○ｆ)(ｘ)
＝ｄ/ｄｘ・ｇ(ｆ(ｘ))＝ｄｚ/ｄｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・△ｙ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・lim[△→ｘ]△ｙ/△ｘ
＝lim[△→ｘ]△ｚ/△ｙ・lim[△→ｙ]△ｙ/△ｘ
＝ｄｚ/ｄｙ・ｄｙ/ｄｘ
即ち
ｄｚ/ｄｘ＝ｄｚ/ｄｙ・ｄｙ/ｄｘ
詳しい記法では
ｄ/ｄｘ(ｇ○ｆ)(ｘ)＝ｄ/ｄｘ・ｇ(ｆ(ｘ))＝[ｄ/ｄｙ・ｇ(ｙ)]・・・｛ｙ＝ｆ(ｘ)｝
・ｄ/ｄｘ・ｆ(ｘ)
ここで記法「・・・｛ｙ＝ｆ(ｘ)}」の意味は・・・の中の計算が完了してから
・・・の中のｙにｆ(ｘ)を代入するということである。
それならその「証明」ではダメで、有名な回避方法がある
記号の使い方がイマイチなのが気になるが
どんな方法ですか？
微分の定義を、商を使わない形に書き換える
解析概論に載っている方法なら、 y = f(x) について、 Δx ≠ 0 のとき
Δy = f'(x)Δx + εΔx
と置くと、 x を固定すれば、 Δx → 0 のとき ε → 0 になる
ただし、 Δx = 0 のときは ε = 0 と定義する
逆に、 Δx ≠ 0 のとき、A = A(x) を x に依存するが Δx には依存しない定数として
Δy = AΔx + εΔx
かつ Δx → 0 のとき ε → 0 と仮定すると、 A = f'(x) が成り立つ
重力つき四目ならべのルールは...
タテヨコのマス目に下に地面が存在
2人のプレイヤーが交互に、コマをおく
列を作るために下にコマがない場所(空中)にコマを置く事は出来ない
タテ・ヨコ・ナナメのいずれかに4個ないしそれ以上の数を先に列を作れば勝利
1.実際にその論文を読む方法、読んだ方、説明・要約できる方等について聞きたいです。
また、コンピューターで総当たりした等の証明ですか?
2.先手必勝である理由は、盤面が有限だからという事が関わってきますか?
3.高さが無限であれば、先手必勝ではなく最善手同士ならば永久に勝負がつかないですか?
またはそのようにあなたは予測しますか?
4.左右も無限である場合の予測はどうですか。
5.コネクト4(7x6マスの玩具)に限った話で、終盤でのハメ手の例を思いついたら教えて下さい。
0.ルールの記載に不備ありましたら、指摘と意図を汲んだ修正をお願いします。
まさにそのwikipediaにリンクが張られているんだから読めばいいやん。
https://tromp.github.io/c4/c4.html
nとmを1以上の整数としたときに
mn<p<(m+1)n (1≦m≦n)
となる素数pが少なくとも一つ存在する
という命題が成立すると考えられます。
×ベルトランの仮説
〇ベルトラン＝チェビシェフの定理
感謝です。
あっ、91ページのpdfは見つけました。
整数論は、その学者しかいないと思っているんだろうか？
笑える
チョト改良････
μ = (n+1)p - 1/2 + (p-1/2)/{12(n+1)p(1-p)},
σ^2 = (n+1)p(1-p),
非対称な（歪度≠0）ものを対称関数で近似するのはナニだが。
円の式に放物線の式を代入して
y+(y-a)^2=r^2
とyの方程式を作りました。
そこから(i)2点で接する場合、(ii)1点で接する場合に分けて、それぞれ異なる2実数解・重解を持つようにa,rを定めたのですが、答案はバツでした。
何か致命的な勘違いをしているのでしょうか。よろしくお願いします。
横だけど、作った方程式ってあってる?
1点の場合って多分原点だよね?
先に場合分けした方がいいかもしれん?
共有点の個数が３～４個の場合は
そのやり方ではどう見分けるんでしょうね？
まあ、1交点はたまたま1接点になるけど
σ^2 = {n+1 -1/(2(n+1))}p(1-p),
その方針からスタートして誤答ではない答案を作成することは可能なため、あなたのその書き込みからバツの原因は特定できません。
nの2以上の約数dで、(n^2+1)/dが整数となるようなdを全て求めよ。
存在しない
(n^2+1)/d=((n^2)/d)+(1/d)
(n^2)/dは整数で(1/d)は整数でないからその和が整数となることはない。
接するのはどれだろ？
https://i.imgur.com/1Igmigk.png
２点で接するなら
接点(p,p^2)
2p*(p^2-a)/p=-1
2(p^2-a)=-1
p^2=a-1/2
x^2+(y-a)^2=r^2
p^2+(p^2-a)^2=r^2
a-1/2 + (-1/2)^2=r^2
a=r^2+1/4
かなぁ？
接点１箇所交点２箇所ならa=r
作図して検証
https://i.imgur.com/1avu8gg.png
いま、曲面Cで囲まれる領域D(0≦z≦1)にz軸の正の方向から水を注いでいっぱいにする。z軸の正の方向からDに球を近づけていき、Cに接するまで水の中に沈めていく。
（1）球がDに完全に沈み込むような、球の半径の最大値を求めよ。
（2）球の半径をrとする。Dからあふれ出す水の量をrで表せ。
知ってる人も居るかも知れんが、わしはこの答えに納得してない
もう一つは、百分の一の確率で「当たり」があるとする。
この２種類のくじを一つづつ引いて、どちらかが「当たり」だったとする。
引いた当たりは、どちらの「当たり」であった可能性が高いか？
当然、百分の一で起こる当たりの可能性の方が高いと考えるだろう。
希にしか起こらないことを「当たり」と呼ぶこととしよう。
陽性と判定されるのは、
実際に感染していて、検査も正しく判定された場合と、
実際には感染していないが、検査が誤った場合がある。
実際に感染している「１万分の１の当たり」か、誤判定という「１００分の１の当たり」か
どちらを引いたと考える方が、可能性が高いと考えられるか？
人間心理というか、脳のヒューリスティックな「論理学」や「確率論」は多分に本能的な感覚なんだから
どういう意味で使っているのだろう？
(1) 1/2
https://i.imgur.com/ePs1VLw.png
ベイズ統計学はまさにそれだよね。
CIは信頼区間confidence intervalじゃなくて信用区間credibility intervalと区別する人もいるくらい。
それが100%でない検査受けたら1%って、なんで100倍になってんの？
問題文の1行目がないと知らなければほぼ全員が「条件不足で答えられない」という正答を出せない問題
そのような感覚をお持ちの方のために書いたのが >>364 です。お読み下さい。
>>371
「ほぼ全員」というのは、「全員ではない」ということがミソですね。同意です。
罹患率と検査精度の問題として出されたのなら、「納得いかない」と感じる人が
いるかもしれないが、数学的にはそれが正しいのだろうという、コンセンサスが得られている。
もし、罹患率が不明なら、たとえ検査精度が「これこれ」だという情報があっても、
その「これこれ」が実際に罹患している確率ではないことも、同様と思われる。
しかし「二つの封筒問題」として出された場合は、異常な方向へ問題が進展してしまった。
本質的には、罹患率不明（言及無し）、検査精度既知（0.5）の問題と差がないのに、
「条件不足で答えられない」という回答を受け入れられない人が、なんと多く現れたことか．．．。
嘆かわしい。
あ、逆に読んでしまった。
「初見の「二つの封筒問題」」
と同様、ほとんどの人が引っかかってしまうことを指摘されていたんですね。
全くの同意です。
的中率も同様
https://i.imgur.com/5rPBhkc.png
x^2+y^2+z^2≦(1+x)(1+y)(1+z)≦x^2-2y^2+4z^2
0≦x
0≦y
0≦z
を満たす(x,y,z)全体からなる領域Dで、x+y+zを最大とする点の座標を求めよ。
割合の問題
１．もっと「なるほど！」的な回答ある？
２．分かりやすい図にできる？
３．植木算とか鶴亀算とかあるじゃん。どういう分野の問題？どうぐぐればよい？
おもりの重さはどのようにして決定されているのか、または最適な重さはどれくらいなのかと言う疑問がありました。
工学的には、かごの重量と、モーターの最大可搬重量の半分、の和が最も昇降出来る重量が大きくなると言う理由から設定されるそうです。
さて、数学的に最適なカウンターウェイトの重量の定義とその求め方は何が考えられますか?
数学的とか、物理的、統計的、経済的とか、このような点を重視し、○○が最小(最大)になるのが最善とし、その計算方法は...等の解答をお願いします。
例)一ヶ月間の使用電力が最も少ない重さが経済的に最適
ものすごい計算量になってしまいました。対称性を活用して式変形できないでしょうか。
y=x^3-3xの-1≦x≦1の曲線をC、Cをx軸方向にs,y軸方向にtだけ平行移動させた曲線をC(s,t)とする。
（1）s,tを色々と変化させる。CとC(s,t)の共有点はいくつあるか。ありえる値を全て求めよ。
（2）（1）において、ちょうど2個の共有点を持つようなs,tの範囲をst平面上に図示せよ。
自然数nに対して
f(x) = x^2 + n^2 + n^2 - (1+n)^2･(1+x),
とおく。
f(x) = (x-1){x-n(n+2)} -4n -1 < (x-1){x-n(n+2)},
f(x)=0 は2つの正根をもつ。
小さい根は0と1の間にあり、大きい根は n(n+2) より大きい。
大きい根を x_n とおくと
(x, y, z) = (x_n, n, n) ∈ D
x+y+z > n(n+4) → ∞ (n→∞)
この命題は、ルジャンドル予想を解決したから書いているんですからね
変な反応は止めていただきたい
(1)st＞0のときＣとＣ(s,t)の共有点は0
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2＜(1-s)^3-3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は1
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2≧(1-s)^3,3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は2
>>382
(1)st＞0のときＣとＣ(s,t)の共有点は0
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2＜(1-s)^3-3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は1
st≦0かつt＜s^3-3sかつ-2≧(1-s)^3-3(1-s)+tのときＣとＣ(s,t)の共有点は2
(2)(1)よりst平面の領域が決まると思う。
そうでもなくね？
まず、 -1 ≦ x ≦ 1 の条件から、C と C(s,t) が共有点を持つための必要条件として、
-2 ≦ s ≦ 2 がわかる
f(x) = x^3 - 3x とおくと、 f(x) は閉区間 [-1, 1] で狭義単調減少だから、
s = 0 の場合は無数の共有点を持つ（C(0, 0) = C）か、あるいは1つも共有点を持たない
s ≠ 0 のとき、 C と C(s, t) が共有点を持つとすると、 x についての2次関数が得られるから、
共有点の個数はその2次関数の判別式 D の符号で決まる
g(s) = D/3s とおくと、 g(s) は3次関数で、閉区間 [-2, 2] で狭義単調増加であることがわかる
あとは s > 0 と s < 0 で場合分けすれば st 平面上の範囲が求められるはず
狭義単調減少と狭義単調増加の件は特に必要ではなかったわすまん
いやごめん
交点の x 座標が実際に -1 ≦ x ≦ 1 になるための条件も必要だったわ
忘れてくれ
f'(s)=f'(t)=0, s＜t となったとする(問題の前提条件)
すでに繰り返し述べられているように
f(s)＞f(t) は簡単に示せる(f(x)をf'(x)で割り算する)
さて, f(x)が x=s で極大値を取ることを示そう
f'(x)は因数定理より f'(x)=3(x-s)(x-t) とかけるから
x＞s で f'(x)＜0 であり x＜s で f'(x)＞0 だから
f(x)は x=s で極大値を取ることがいえる
同様に x=t で極小値を取ることがいえる
この解法のほうが高校数学的かもしれない
高校数学だと極値を取るかどうかの判定が前後で符号変化するかどうかがメインだからね
極値の定義から直接議論するなら これも既にあるようにテイラー展開するのがいいだろう f(x)がすでに多項式の形をしてるからテイラー展開の概念を知らなくても ただの式変形で議論できる これも代数的かつ初等的 ただし高校数学的とはいえないだろう
高校数学的な話は>>261,>>272で終わっとるんやで。あとは蛇足や。
x_n = {(n+1)^2 + √[(nn+2n-1)^2 + 4(4n+1)]}/2
> {(n+1)^2 + (nn+2n-1)}/2
= n(n+2),
溶液の濃度計算の問題と同型だからそれで答えると
塩分濃度９０%の水に塩分濃度１０%の水を等量混ぜ合わせると
塩分濃度５０%の水になる。
塩分濃度８０%の水に塩分濃度０%の水をほんの少しだけ混ぜると
塩分濃度が８０パーセントより少しだけ小さな水になる。
混ぜ合わせる溶液の量と塩分量を明示する
（天秤図、天秤法とか言うものもあるそうな）
こういうのではどうでしょうか？
# シンプソンのパラドックス
#
# ある仮想疾患の治癒率
#
# 軽症 重症
# Ｋ大学 10/10 10/90
# Ｔ大学 70/90 0/10
# 放置 40/50 5/50
#
# Ｋ大学の方が軽症・重症とも成績がよいが
# 総数比較ではＴ大学の方が成績がよい。
# この疾患は自然治癒率が45%とされています。
# この疾患のＴ医大での治癒率は70%です。
# これに対しＫ大学での治癒率はわずか20%です。
K大学は 1 - (80/90)x,
T大学は (70/90)(1-x),
放置は (40/50) - (45/50)x,
同じxで比べれば
K大学 > 放置 > T大学
ですが
K大学はx=0.9 放置はx=0.5 T大学はx=0.1
で比べれば逆転します。
男子の平均点はB組の方が上
女子の平均点もB組の方が上
だが、クラス全体の平均点ではA組が上
A組男子={90,80+a} ; a=1～9
A組女子={70}
B組男子={90}
B組女子={80,70}
もし扱えるなら特に線形回帰の場合の統計的決定問題のモデルを教えて下さい
データはどういう確率分布族から生成されてると思えばいいんでしょうか？
例えば線形回帰だとp(y|x)が正規分布に従うとかはわかるんですが、p(x)はどういうのが仮定されるのでしょうか？
いくつかのxを固定して観測していくパターンとランダムにxを観測するパターンの2通りがあると思いますが両方お願いします
次にP_2とP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_3とする。以下同様に
P_kとP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_(k+1)とする。このとき
P_1=P_nとなるある自然数nが存在するのはO,P_1がどういう条件を満たす場合か？
＞次にP_2とP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_3とする。以下同様に
＞P_kとP_1を結ぶ直線に平行なOを通る直線を描きEの交点をP_(k+1)とする。このとき
ここのP_k(k≧3)のとりかたとして、点Oと一致してもいいのか？
一致していいなら、点P_kを点Oと一致するようにとればP_(k+1)=P_1となるので求める条件は「なんでもいい」となる。
一致しないようにとるのなら、P_1=P_nとなるのはOとP_1が一致しているときに限る。このときP_1=P_2であり、P_3以降は定義できない。
もしP_1=P_nとなる自然数n(n≧3)が存在すると仮定すると直線P_(n-1)P_1と直線OP_1が平行となるが、同じ点P_1を通る平行な2直線なので一致することになり
楕円と直線の交点は高々2個だから点P_(n-1)が点Oと一致することになるがこれは点P_(k+1)の取り方に反する。
P_2だけP_3以降と点の取り方が違うので、P_1=P_2だけあり得ることになる。
「P_kとP_1を結ぶ直線がOを通る接線に平行な場合はO=P_(k+1)とする」というつもりでした。
Oの接線に平行になる場合が存在するのはどういうときかっていう問題です。
完全に別問題となるような条件を後出しするものではない。その条件を新たにくわえて返答したとしても、どうせさらに後出しがあるのだろう。
そもそも>>400の問題文の時点で突っ込みどころ満載で、文章の変なところを最大限好意的に解釈して答えたのにこの仕打ちかよ。
問題文は改変せず正確に漏れなく全文かけ。
一般に図形全体を一定の方向に定数倍に拡大・縮小したとき、2直線の平行は保たれる。角度は変わるがな。
したがって>>400の楕円Eは適切に拡大・縮小して円であるとしてかまわない。
円であれば、P_1=P_n となるのは弦OP_1が円に内接する正(n-1)角形の1辺となるときである。
楕円Eの長軸の長さを2a、短軸の長さを2bとする。
楕円Eの長軸を実軸、短軸を虚軸とする複素平面における点Oの座標を(s+ti)、点P_1の座標を(u+vi)とするとき
4以上の自然数nが存在してarg{(bs+ati)/(bu+avi)}=2π/(n-1)であればよい。
さあ、次はどんな後出しがくるかな
より、幾何的Broun運動を表す
dY＝μYdt +μYdW
を導け
いまVの辺上を点Pが動く。Pは時刻0にAをスタートし、一辺の一端から他端までをちょうど1秒かけて移動する。
（問題）nを自然数とし、PがAからBまでn秒かけて移動したとする。nとして考えられる自然数は無数に存在するが、このようなn全体からなる集合は自然数全体の集合と一致するか。一致しない場合、n全体からなる集合はどのようなものか。
自然数全体に一致するのは自明では？
A と B を往復すれば全ての奇数が、
B の隣(≠A)を経由して B に到達してから A と B を往復すれば全ての偶数がとれる
円に変換したら単なる回転移動となることが簡単にわかるから、楕円を円に変換したときに二点の
中心角が2pi/nであればいい
本読め
これは
X=I、x∈I
と書きたかったのかな。
Iについて、最初の方に定義が書いてあるんとちゃうかな。
（1）nは2020桁以上の平方数で、各桁の数字は1,2,5のいずれかである。
（2）aの小数点以下第k位の数字をN[k]と表す。1以上9以下のある自然数iが存在し、どのkに対してもN[k]≠iを満たす。
1.211211121111211112‥、3.4334333433334‥∈R＼Q
det(A) = (-1)^(n-1) * (n-1) * 2^(n-2),
http://oeis.org/A085750
>>414 (2)
L = Σ[k=1,∞] 10^(-k!)
= 0.110001000000000000000001000････
リューヴィル数（超越数第１号）
coeffだとおかしくなってしまいます
xのn次多項式f(x)で、積f(x)f(1/x)がxに依らない定数となるものを全て決定し、またそれらのみであることを証明せよ。
x→0とすれば定数項=0
f(x)=xg(x)とするとc=f(x)f(1/x)=g(x)g(1/x)
今言ったことからgの定数項も0になり、以下同様にしてc≧0,f(x)=(√c)x^nの形に限られる？
だから最終的な形としては、aを定数としてf(x)=ax^nと書けるものに限られる
f(x) = x^S(x,1/x)
ここに
S(x,y) は対称函数。例 s(x) + s(y).
A(x,y) は反対称函数。例 a(x) - a(y).
簡単のため文字種は 0, 1 の2文字に制限します.
長さ n のパスワード 全 2^n 種 {"0..000", "0..001", ..., "1..111"}
を(部分文字列として)含む文字列の最小文字数は 2^n +n -1 でしょうか？
(2^n +n -1 未満がありえないのは明らか)
n=1 の場合 例."01" (2文字)
n=2 の場合 例."00110" (5文字) . . .
一般的に文字数 2^n +n -1 の列が確実に存在する事を示すのは難しいような気がしました。
つ https://en.wikipedia.org/wiki/De_Bruijn_sequence
ありがとうございます。
末尾が先頭にループしてる点を除けばほぼそのままの問題ですね。
それなりに難しそうな問題だと言う事は分かりました。
https://books.google.co.jp/books?id=qjxv68JFe3gC&printsec=frontcover&hl=ja#v=snippet&q=periodic%20structures%20and%20the%20reciprocal%20lattice&f=false
の57pにあるような、ベクトルaとbのなす角を表現するのに
\sphericalangleを使うのは数学的にスタンダードな方法ですか？
特に、Xの部分集合族Aが有限加法族Eを含みかつ可算個の和と共通部分で閉じていれば、AはB[E]を含みますか？
\widehat{ab}みたいなのもたまに見る気がする。同一ではないかもしれないが
加法族なら補集合も入れるんじゃないの？
はい、なので共通部分も含めてます
Eの時点で補集合は閉じてるのでEの可算和の補集合はEの共通部分で書けます
「和と共通部分で表せる」だとちょっと変か
Eの可算個の集合から始めて和と共通部分をとる操作を何回か(有限回？)繰り返して得られるものです、なのでEの元の可算和として書ける集合たち(これ自体はEの元ではない)の共通部分とかも含めて考えてます
一致する。含む。
まず、集合族から生成される完全加法族とはその集合族を含む最小の完全加法族のことであるという定義でいいか？
あと「Eに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として書けるものの全体」をC[E]と書くことにしておく。
（一行目）
C[E]はEを含む完全加法族であるから、B[E]の最小性からB[E]⊂C[E]
B[E]はEを含む完全加法族であるから、Eに属するものたちの高々可算個の和と共通部分として表せるものはB[E]に属する。すなわちC[E]⊂B[E]
B[E]⊂C[E] かつ C[E]⊂B[E] であるから B[E]=C[E]
（二行目）
任意のS∈B[E]について、SはEに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として表される。
ここで、E⊂AであるからEに属するものはすべてAにも属する。
したがって、SはAに属するものたちの(高々)可算個の和と共通部分として表される。
Aは可算個の和と共通部分で閉じているのでS∈Aである。以上より B[E]⊂A
ありがとうございます
が整数となるような自然数nを全て決定せよ。
IMO-1990 (北京大会) A3.
【解答】は、たとえば
秋山 仁＋ピーター・フランクル 共著
「[完全攻略］数学オリンピック」日本評論社 (1991)
方程式[4] p.68-70
「数学オリンピック［全問題］1984~1990」日本評論社 (1991)
p.118-119
[コメント]
超難問であった。
https://www.mathtext.info/insuuriyou/k/4.pdf
この問題で、（3）までは理解できますが、
（4）が1日考えても理解できませんでした。
素因数分解をして、なぜ2つの数が36と63になるのか？
県立高校の入試問題の様です。
自分のアホさ加減にガックリです。
しらみつぶしに近いんじゃないのかな
どちらかが7の倍数で2桁なんだから7*2～7*14
このうち、素因数分解したときに2が2つまで、3が4つまででそれ以外がないのは7*2=14、7*3=21、7*4=28、7*6=42、7*9=63、7*12=84
このうち、ひっくり返し数を素因数分解して2と3以外の素因数があるものを除くと、21、42、63、48
あとはしらみつぶしで
もっと絞り込む方法あるかな？
ありがとうございます。
小問の1～3を利用した解き方を考えましたが、用いないないんですね。
「片方が7の倍数」で考える。
目から鱗です。大変参考になりました。
(1)より、 XY の一の位は 101ab の一の位に等しいから、
XY = 2268 の一の位は 8 なので、 ab の一の位は 8 であることがわかる。
したがって ab は 8 か 18 のいずれかである。
もし ab = 8 なら、 (a, b) = (1, 8), (2, 4) であるが、どちらも解ではない。
よって、 ab = 18 である。このとき、(a, b) = (2, 9), (3, 6) となる。
実際に計算すると、 (a, b) = (3, 6) が解であることがわかる。
計算して確認する部分は、
a^2 + b^2 = (XY - 101ab)/10
を利用すると簡単に確認できる
101ab を計算する必要もなかった
(1)より XY = 10(10ab + (a^2 + b^2)) + ab
だから、 XY の一の位が ab の一の位に一致することは明らかで、
a^2 + b^2 = ((XY - ab)/10) - 10ab
としたほうが計算は楽かな
>したがって ab は 8 か 18 のいずれかである。
なんで？
(a, b) が解ならば、
a^2 + b^2 = (XY - 101ab)/10 ≧ 0 より、
XY - 101ab ≧ 0 だから、
ab ≦ XY/101 = 2268/101 < 23
一の位が 8 になる正の整数で 23 より小さいものは 8 と 18 しかない
整数Xの十の位の数がa,一の位がb、整数Yの十の位の数がb,一の位がaである。
ただし、a<bとする。
積XYの百の位が2、一の位が8の時、整数Xを求めよ。」
としても、答えが唯一に定まる。
2けたの正の整数XとYがある。整数Xは, 十の位の数がa、一の位がbであり, 整数Y
は, 十の位の数がb, 一の位がaである。ただし, a<b とする。
このとき, (1)～(4) の各問に答えなさい。
(1) 2つの整数XとYの積XYをa,bを用いて表わしなさい。
(2) ab=6, aa+bb=37 のとき、積XYの値を求めなさい。
(3) (2)のとき、整数Xを求めなさい。
(4) 積XYが 2268 のとき、整数Xを求めなさい。
〔佐賀県〕
-------------------------------------------------
(3)
(a+b)^2 = (aa+bb) + 2ab = 37 + 2･6 = 49,
a+b = 7,
(b-a)^2 = (aa+bb) -2ab = 37 - 2･6 = 25,
b-a = 5,
a=1, b=6.
(4)
2268 = 101ab + 10(aa+bb) ≧ 121ab, ∴ ab≦18
2268 = 101ab + 10(aa+bb) ≦ (30 + 1/4)(a+b)^2, ∴ a+b≧9
(b-a)^2 = (a+b)^2 - 4ab ≧ 81 - 4･18 = 9, ∴ b-a ≧ 3,
(a,b) = (1,8) (1,9) ～ (1,18) (2,7) (2,8) (2,9) (3,6)
abの一の位が8となるものは (1,8) (1,18) (2,9) (3,6)
題意に適すものを（虱潰しで）探す。
> ルベーグ積分不可能だがリーマン積分可能な関数の具体例はどんなものがありますか？
無いよ。
問題文中に出てこないので、xやyだと何かわかりません、ってこと？
st平面とかの話ならともかく
私は、交点のx座標を求めなさいという問いに対して、x=2と解答するのも違和感があります。
この場合は問題文中にxがあるので、その反論だとなかなか説得力を感じ得ません。
そもそもこの場合だと、x=2でも全く違和感がないのが普通なのでしょうか？その辺りの自信もないのでどなたかお願いします。
ダメな理由が確かに見つからないんです。ですが違和感が0というわけでもなく書き込ませてもらった次第です。
交点の座標を求めよということは問題文に曲線または直線の方程式があるはずで、そこにx,yの文字が用いられているであろうから
xy平面であることは明らかで、何の問題もないであろう。
例えば「xの方程式 2x=5 の解を求めよ」との問題で、5/2 と答えるのが正解で x=5/2 と書くのは違和感があるとでもいうのか？これと同じことだぞ。
「5/2」はこの方程式の解だが「x=5/2」はこの方程式の解ではないからな。
> >>450
>
> 私は、交点のx座標を求めなさいという問いに対して、x=2と解答するのも違和感があります。
違和感はない。
しいて言うなら、交点のx座標を求めなさいという問いに対する答えとしては、
交点のx座標は2である。と答えるのが良い気がする、という程度。
それと同じ意味を指していると読み取れる答えならば、正解とするのが妥当。
そして、x=2と答えるのも、2と答えるのも、まともな文章になっていない時点で違和感がある。
整理すると
直線y=ax+bと直線y=cx+dの交点の座標を求めなさい。
1) (2, 5)
2) (x, y) =(2, 5)
3) x=2, y=5
1はOKってことだとおもうけど、2、3は減点かゼロってこと？
むしろその「答え」のほうが問題
ttps://youtu.be/Juoc2EHIfLc?t=341
何の説明もなく>>456の1みたいな書き方してる
で書かれてるように思っていました。
方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。どんな問題集の解答にもそのような書き方はなかったもので。また、x座標を求めなさいと言われてx=2と答えるのは、y軸に平行な直線を表しているように思えて違和感がありました。
学校の先生に聞いても、「マルだよマル」とだけ言われたので、こちらで質問させていただきました。もう少し勉強してみます。ありがとうございました。
厳密に言えば不正解だけど、正直そこまで厳密に理解してる人はそうそういない
>(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、
そうとは限らない
実際、 (y, x) = (5, 2) と書いても何の問題もない
それとも教科書か何かにそのように定義されているのか？
「記号 (・, ・) の左側は必ず x 座標で、右側は必ず y 座標にしなければならない」とでも？
そうでなければただの思い込みでしょう
掛け算の順序問題と同じ
＞方程式の場合は、「解は2です」という意味で、x=2と書くのが普通で、2だけだとバツだと思っています。ところが座標の場合は(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してるので、(x,y)=と書くのは蛇足でありバツではないのかと考えました。
ダブルスタンダードだな。その前半の解釈なら「座標は(2,5)です。」という意味で(x,y)=(2,5)と書くという解釈になるのではないか？
＞(2,5)と書いただけで、「x座標は2でy座標は5です」を表してる
この認識が誤りである理由は、>>461が指摘する点だけではない。
そもそも細かいことを言えば「(x,y)座標が(2,5)である」ことと「x座標が2でy座標が5である」ことは同値ではあるが異なる命題なので
「交点の座標を求めよ」との問題の答えとして「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは最適な答え方ではない。正解の許容範囲ではあるが。
「交点のx座標とy座標を求めよ」という問題であれば、答えに「x座標は2でy座標は5です」という意味の式を書くのは妥当だろう。
中1の教科書には左がx座標で右がy座標ということは書いています。
ふーん、じゃあ誤解の恐れがなければそれでもいいかもね
しかし、 (x, y) = (2, 5) のほうが正確な表現であることは間違いないので、
間違っても「蛇足でありバツ」ではない
むしろそのように解答する生徒のほうがあなたよりも数学を理解していると言えるでしょう
(x,y)=(2,5)と書かれてもまあ伝わる
方程式の解は変数に代入すると等号が満足されるような値のことであって、だから「解は2である」という表現のほうが正しい
ただ歴史的にずーっと「x=2」と書いてるし、そこまでキッチリ考えてる人が殆どいない
だから伝わるような書き方であれば良いということになる
その、「正確な表現」というのがよくわからないだけです。(●,●)で、座標を表すということは教科書に書いてあるので。だから蛇足というのは、(x,y)=(●,●)という書き方だと、「座標は座標は●●です」のように、同じことを二回書いてることになるから違和感があり、どんな教科書や問題集でも(x,y)=(,)のような書き方はしてないのだと思っています。
なぜ喧嘩腰なのか上から目線なのかはわかりませんが、私も友達同様中学生です。
なんだ中学生だったのか
つい採点する側の人かと思って厳しめに書いてしまった
なぜ (x,y) = (●,●) と書くべきかと言うと、
「 (●,●) で座標を表すとき、左側が x 座標で右側が y 座標」というのは中学校か、せいぜい高校まででしか通用しない「常識」だから
数学で (●,●) と書いたとき、これは必ずしも座標を意味するわけではなくて、一般には「順序対」というものになる
これは
「(a1, b1) = (a2, b2) となるのは a1 = a2 かつ b1 = b2 のとき、かつそのときに限る」
というように = が定義されていて、 (x, y) = (2, 5) というのは x = 2 かつ y = 5 の略記にすぎない
だから、 (y, x) = (5, 2) と書いても問題はない
また、 Wikipedia にあるように、「記号の意味は文脈に完全に依存」していることにも注意しないといけない
例えば、実数直線上の開区間を表すのに全く同じ記号を使う
おおよそ合ってるんだけども、大学数学をかなり勉強していてもこう思うのは正直無理もない
(x,y)=…という書き方は方程式の解と同様厳密ではない
確かに直交座標系は順序対などを使って定義されるが、直交座標系を定義した時点で順序対のどちらがx軸かということが定義されている
そして順序対の左側がx軸であるということは、おそらく暗黙の了解
というのも高校数学では暗黙の了解は意外とある
例えば1/Xというのは高校数学までは多項式とは扱われないが、R[X]を多項式環と定める(特に、R[1/X]は考えない)とは言及していない
要するにあんまり細かいことは先生側も知らないので、とりあえず迎合するしかない
お願いします。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10226449630?fr=ios_other
座標系の問題を言い出すとさらにややこしくて、高校でも極座標（系）をやるでしょ？
2次元の極座標では点の座標を動径 r と偏角 θ を使って (r, θ) で表すわけだから、直交座標と極座標が混在しているとき、
特に角度をラジアンで表すときは、 (2, 5) と書かれただけでは直交座標なのか極座標なのか判別できない
確かにわからないけど、そういう例は他にもある
例えば基底を忘れてしまうと線型写像の表現行列は何を表しているか分からなくなるが、基底が暗黙の了解で定まっていれば、表現行列をそのまま書いても問題はない
整理すると、(2,5)は暗黙のうちに直交座標系が定義されているので、そこは言及されているものとすれば一番正しい書き方
(x,y)=(2,5)のような書き方は、まあ厳密に言えば正しくないが、意味は伝わるし分かりやすいので問題ない
ただこう書くべきとは(数学的には正しくないので)俺には言えないかな
現実的な問題としては、先生が数学的に何が正しいのかわかるとは思えないから、うまーく周りに合わせるしかないというのが回答だけど
今当たり前のことがのちに当たり前ではなくなるのかと、色々怖くなりましたが勉強になりました。
B=b+√((b+c)(b+a))
C=c+√((c+a)(c+b))
とする
(ab+bc+ca)(A+B+C)=ABCを示せ
展開すれば確かにそうなるんですが、他に良い説明あれば教えてください
（1）a,b,c,dを正の実数とし、2次元の定ベャNトルuおよびvｂ=(a,b),v=(c,d)と定める。ただしuはどのような実数kに対してもu≠kvを満たす。
s,tを実数とし、原点<0,0>を始点としてsu+tvが表す位置を座標<s,t>と定める（また、点<s,t>とも呼ぶ）。
特にs,tが共に整数のとき、点<s,t>を格子点と呼ぶ。
a,b,c,dのとり方に依らず、ある2つの格子点が存在し、その2点間の距離を無理数とする整数s,tがとれることを示せ。
ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
（2）引き続き、（1）で定めた座標を考える。
さらにOを原点とする極座標{r,θ}を定める。ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
このとき、a,b,c,dのとり方に依らず、{r,θ}=<s,t>かつ<s,t>≠<0,0>となる実数の組(r,θ,s,t)が少なくとも1つ存在すると言えるか。
lim［n→♾］（1+1/-n）^-n=e=2.7182818284590...
であることを証明せよ。但し
a:=1/a^n（0≠a ∉R,n ∉N）
(a)Dの中心は円周C':x^2+y^2=1(z=r)上を(1,0,r)から反時計回りに1周する。
(b)Dは平面z=0と常に垂直である。
(c)DとCの接点をPとすると、PにおけるDの速度ベクトルの向きは、PにおけるCの接線を反時計回りにθ回転させた方向と一致する(0≦θ<2π)。
Dが動いてできる曲面を分類せよ。
一行目の前半はeの定義の表現のうちの1つであり、定義なのだから証明のしようがない。
eの他の定義との同値性を証明せよというのならわかるが、それならそれでeの定義が別に述べられていないとどうしようもない。
一行目の後半はeの近似値を小数点以下13桁求めよとのことだが、これもeの定義が明確でないとどうしようもない。
二行目は、一行目が示せれば直ちにわかることである。
但し書きはaの定義のように見えてaを用いている以上定義になっておらず、そもそも∉という表現ではaやnが一体何なのかわからない。
aは多分虚数なんだろうがそれならわざわざa≠0を書く必要がない。nは自然数ではない複素数ということなのか？複素数ではないことまであり得るのか？
総じて問題の趣旨が全く分からない。まさに分からない問題であると言えよう。
(1)
＞ここで点<m,n>と点<p,q>の距離とは、√{(m-p)^2+(n-q)^2}のことである。
この距離の定め方なら、<1,0>=1u+0vと<0,1>=0u+1vの距離は√2だから無理数である。
しかし、この問いであれば1～2行目に何の意味もないな。
(2)
いまいち意味の取りにくい文章であるが
＞ただしrは点<s,t>と原点<0,0>の距離であり、θは原点を始点とする2つの方向ベクトル<s,t>と<1,0>とのなす角で、<1,0>から反時計回りを正とする。
この条件を満たすようにとるだけなのだから、少なくとも1つどころかいくらでも存在するだろう。
まず
A - a = A' B - b = B' C - c = C'
s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc,
とおく。
(右辺) - (左辺) = ABC -t(A+B+C)
= (A'+a)(B'+b)(C'+c) - t(A'+B'+C'+s) (← 展開する)
= {A'B'C' + aB'C' + bC'A' + cA'B'-a(b+c)A' -b(c+a)B' -c(a+b)C' +u} -st
= A'B'C' - (st-u)
+ a{B'C'-(b+c)A'} + b{C'A'-(c+a)B'} + c{A'B'-(a+b)C'},
題意により
A'B'C' - (st-u) = A'B'C'- (a+b)(b+c)(c+a) = 0,
B'C' - (b+c)A' = 0,
C'A' - (c+a)B' = 0,
A'B' - (a+b)C' = 0,
だから、確かにそうなる。
ありがとうございます。
うーん、やはりどこかである程度の展開は頑張らないとダメなんでしょうかね…
a,b,cについて斉次式なので其々を1/√(ab+bc+ca)倍したものを改めてa,b,cとおいて
それについて示しても良さそうですね
この場合、ab+bc+ca=1であり
A=a+√(a^2+1)
B=b+√(b^2+1)
C=c+√(c^2+1)
について
A+B+C=ABC
を示せばよい
(もしかすると余計に難しくなったかもしれません)
ab+bc+ca=1 で規格化すると
a = 1/tanα, b = 1/tanβ, c = 1/tanγ,
α+β+γ = π, (⊿の3つの角)
とおける。このとき
A = 1/tan(α/2) = tan((π-α)/2),
B = 1/tan(β/2) = tan((π-β)/2),
C = 1/tan(γ/2) = tan((π-γ)/2),
また
(π-α)/2 + (π-β)/2 + (π-γ)/2 = (3π-α-β-γ)/2 = π,
よって ⊿の3つの角だから
A+B+C = ABC.
今ちょうど同じ方針で考え始めてました！
三角形条件のときのtanの関係式知らないんですが、何か良いサイトか参照先ありますでしょうか？
tan(α+β+γ)=(ab+bc+ca-1)/(abc-(a+b+c))=0
よりα+β+γ=nπ(nはある整数)
cot((α+β+γ)/2)(AB+BC+CA-1)=ABC-(A+B+C)=0
1≦i<j≦nなる任意の自然数i,jに対して、2点間の距離d(P_i,P_j)が有理数であるとき、点P_1,P_2,...,P_nはどのように配置されているか。
ただしn≧2とする。
その証明が見つかりません
どこに載っているという情報だけでもいいのでご存知の方いたら教えてください
(領域不変性)R^nの開集合Uからの単射連続写像f:U→R^nは中への同相であり、f(U)はR^nの開集合
n=3のとき 一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
n=4のとき 一直線上にあるかまたは正四面体の頂点をなす
それ以外のとき すべて一直線上にある。
ただし正三角形や正四面体の1辺の長さは有理数であり、一直線上に並んでいるときはそのうち1点を原点とする数直線とみなしたときの有理数に対応する点上に並んでいる。
任意の3点P_s,P_t,P_uを選ぶ。これらが同一直線上にないとき、3点を頂点とする三角形P_sP_tP_uが存在する。
条件よりこの三角形の3辺はすべて有理数なので、余弦定理から cos∠P_s,cos∠P_t,cos∠P_u はすべて有理数である。
cosの値が有理数となる三角形の内角は60°,90°,120°のみであるから、内角の和が180°になるためにはすべて60°の正三角形しかありえない。
すなわち、P_1～P_nのうち任意の3点を選ぶとそれらは一直線上にあるかまたは正三角形の頂点上になければならない。
つまり、n≧3のとき一直線上にない点が1点でもあればその点は他の任意の2点との距離が等しいとなる。
3次元空間内でこの条件を満たせるのは正三角形と正四面体のみであるから、上記の解答となる。
>n=3のとき 一直線上にあるかまたは正三角形の頂点をなす
【反例】P_1 = (0, 0, 0), P_2 = (3, 0, 0), P_3 = (3, 4, 0)
盛大なる勘違いをしていた。>>491は根本的に間違いです。無視してくださいすみません。
ABC予想が解決ですか｡｡｡
すまん、a ∉Rはミス、a ∈Rだったわ
その二行目は一行目が示せれば直ちにわかるっていうのを具体的に教えてほしい
アホすぎてわからん
>♾: PERMANENT PAPER SIGN (中性紙マーク)
nが中性紙に近づくとはどういう意味なのか知りたい
>♾: PIG OR BOAR'S NOSE SIGN (豚・猪の鼻マーク)
nが豚・猪の鼻に近づくとはどういう意味なのか知りたい
つまり>>478のlim［n→∞](1+1/n)^n=e から lim［n→∞](1-1/n)^(-n)=e を示せばええんやな？
n=N+1 とおくと、n→∞ のとき N→∞ である。
(1-1/n)^(-n)={1-1/(N+1)}^(-N-1)
={N/(N+1)}^(-N-1)
={(N+1)/N}^(N+1)
=(1+1/N)^(N+1)
=(1+1/N)*(1+1/N)^N
→1*e=e
恋人に巡り会うまでの待ち時間の分布μは指数分布になる。つまり任意のs,t>0に対し、μ([s+t,∞))/μ([s,∞))=μ([t,∞))となると書いてあるのですが、
μ([s,∞))は何を表しているのでしょうか？
まともにタイプできん奴をいじるんじゃない
よく考えたら答え3かなあ
以下のx,y,zの大小を比較せよ。
x=(b/a)^2+(c/b)^2+(a/c)^2
y=(β/α)^2+(γ/β)^2+(α/γ)^2
z={βγ/(α^2)}^2+{γα/(β^2)}^2+{αβ/(γ^2)}^2
を満たす自然数の組(a,b,c,d)を考える。
以下の各場合について、このような(a,b,c,d)が無数に存在するかどうかを判定せよ。
（1）a=b=c=d
（2）a,b,c,dのうち、3つの数は等しい。残りの数はそれらと異なる。
（3）a,b,c,dのうち、ある2つの数は等しい。この数をx,残りの2数をy,zとすれば、x≠y≠zである。
（4）a,b,c,dはすべて異なる。
（１） f(x,y)=f(y,x)
（２） f(f(x,y),z)=f(x,f(y,z))
1/a + 1/b = 1/c + 1/d,
(1) 無数にある。
(2) ない。
(3) 無数にある。 (x,y,z) = (3n,2n,6n) (4n,3n,6n)
(4) 無数にある。 (a,b; c,d) = (2m-1,2m+1; m, m(2m-1)(2m+1))
(4) 無数にある。 (a,b; c,d) = ((2m-1)n, (2m+1)n; mn, m(2m-1)(2m+1)n)
*) １組あれば、そのa～dをn倍したものも可
明らかな命題かと思ったのですが証明が思いつきません。
補題
L→M→N
が短完全列でL,Mが有限生成ならMも有限生成。
∵)x1‥xlがLの生成元、z1‥znがNの生成元となるものをとるとき、y1‥ylをM→Nによる像がz1‥znになるものをとれば、Mはx1‥xlとy1‥ynで生成される。
主張
M'が有限生成アーベル群Mの部分加群ならM'も有限生成アーベル群。
∵)Mの生成元の個数mによる帰納法。
Mが巡回群のときは容易。
m<Mで成立するとしてm=Mとする。
M部分加群LをM-1元で生成され、N=M/Lが巡回群であるようにとる。
M'がMの部分加群のとき、L'=L∩M'とおけば準同型定理によりN'=M'/L'はNの部分加群である。
帰納法の仮定からL'、N'は有限生成であり、補題からM'も有限生成である。
可換環R上の加群Mに対して、任意のMの部分加群が有限生成加群であるとき、ネーター的であると定義する
0→A→B→C→0をR加群の完全列としたとき、AとCがネーター的であればBもネーター的である(実は同値、証明は略)
言い換えればAによるCの拡大がネーター的となる
可換環Rがネーター的であることを、R自身の加群としてネーター的であることと定める
Rがネーター環であれば、環の直和を完全列における拡大とすることで、任意の自然数n≧1に対してR^nがネーター的となる
したがって、もしRがネーター環であれば、任意のR上の有限生成加群Mにはネーター加群であるR^nからの全射R-線型写像が存在するので、Mもネーター的となる…①
特にRとして有理整数環Zを取る
有限生成アーベル群とはZ上の有限生成加群に他ならず、Zはネーター環であるので、①よりZ上の有限生成加群はネーター的であり、したがって言い換えれば、有限生成アーベル群の任意の部分加群が有限生成アーベル群となる
最後に、任意の可換環Rに対して、ある0以上の自然数nに対してRがZ/nZに同型であれば、部分加群と部分群は同値となる
よって有限生成アーベル群の任意の部分群が有限生成アーベル群となることが示せた
f(x,y) = a xy + b(x+y) + c,
ここに bb-b-ac = 0.
>>510 ネーター云々は私にはレベルが高すぎました。申し訳ない。
M :=＜s1,s2,..,sM＞, M' ⊂ M
L := ＜s2,..,sM＞ ⊂ M
N := M/L = ＜[s1]＞
L':= L∩M' {有限生成 ∵L'⊂L}
N':= M'/L' {有限生成 ∵M'/L'≃(M'+L)/L ⊂ M/L=N}
完全系列: 0→ L'=L∩M' → M' → M'/L'=N' → 0
補題より M' は 有限生成
サイコロを振り、出た目の数だけPを数直線の正の方向に動かす。
例えばサイコロを3回振り、出た目が順に3,2,4である場合、Pは点3、点5、点9の順に止まる。
以下、サイコロは無限回振られるものとし、その仮定のもとでPが点nに止まる確率をa[n]とする。
（1）数直線上の点kを1つ選ぶ。その点にPが止まった場合、賞金が得られるとする。賞金を得る確率を最大化するよう、kの値を定めよ。
（2）lim[n→∞] a[n]を求めよ。
これ、連続関数ならどうなるんだろ？
(∵ 全てのコウは前6項の平均なのでその最大を超えることはなく、等号成立は前6項が等しい時のみ。)
(0,1 % 1)
(1,1 % 6)
(2,7 % 36)
(3,49 % 216)
(4,343 % 1296)
(5,2401 % 7776)
(6,16807 % 46656)
(0,1.0)
(1,0.16666666666666666)
(2,0.19444444444444445)
(3,0.22685185185185186)
(4,0.2646604938271605)
(5,0.30877057613168724)
(6,0.36023233882030176)
((x+y)/(1-xy)+z)/(1- (x+y)z/(1-xy)) -(x+(z+y)/(1-zy))/(1-x(z+y)/(1-zy))=0
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28%28x%2By%29%2F%281-xy%29%2Bz%29%2F%281-+%28x%2By%29z%2F%281-xy%29%29+-%28x%2B%28z%2By%29%2F%281-zy%29%29%2F%281-x%28z%2By%29%2F%281-zy%29%29&wal=header&lang=ja
それはタンジェントの加法定理になってるから
x=tanα
y=tanβ
f(x,y)=tan(α+β)
他にもf(x,y)=min(x,y)とかokだよね
f(x,y)=g^-1(g(x)●g(y))
として可換かつ結合的な演算を得られるのか
>>511 はg(x)=ax+bで、●として通常の積を採用したものになってる
>>517 はg(x)=arctanxで、●として通常の和を採用したものになってる
lim[n→∞] a[n] はわかりますか？
直感的に1/6かなと思うのですが、きちんとした証明を与えられません。
2/7
T(X) = X1 + ... + Xn
とすると、
X1,......,Xn,Tの同時確率分布が
P(X1=x1,......,Xn=xn,T=t)=P(X1=x1)......P(Xn=xn)
となる理由を教えて下さい。
せいかい
>>513を厳密に解きたい方はこちらへ
http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/31_sugoroku.htm
他スレに貼られた応用問題もこれでいける
>>522がですか？
x ≦ y ≦ z,
(左側)
〔補題〕 ⊿の辺と角は同順序
0 ≦ (b-a)/2R = sinβ - sinα (←正弦定理)
= 2sin((β-α)/2)cos((α+β)/2) (←和積公式)
= 2sin((β-α)/2)cos((π-γ)/2) (←α+β+γ=π)
= 2sin((β-α)/2)sin(γ/2), etc. (終)
よって題意より
0 < α ≦ β ≦ γ,
sin は上に凸だから
1 > sinα /α ≧ sinβ /β ≧ sinγ /γ,
これより
1 ≦ b/a = sinβ / sinα ≦ β/α,
1 ≦ c/b = sinγ / sinβ ≦ γ/β,
f(u,v) = uu + vv + 1/(uv)^2 とおくと
x = f(b/a, c/b)
y = f(β/α, γ/β),
f(u,v) は u≧1, v≧1 では単調増加
∴ x ≦ y,
(右側)
uvw=1 のとき u+v+w ≦ u/w + v/u + w/v, ････ (*)
∴ y ≦ z,
*) 佐藤淳郎(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店(2013)
p.26 演習問題1.75
どなたかおねがいまします
a/sinα = b/sinβ = c/sinγ, (←正弦定理)
・α,β,γ ≦ 90°のとき (鋭角△、直角⊿)
sin は 0～90°で単調増加だから成立。
・θ > 90°のとき (鈍角⊿)
θ ' = 180°- θ = (他の2角の和)
および 他の2角は鋭角だから、正弦定理より
(a,b,c) と (他の2角, θ') は同順序。
(他の角) < θ' < θ だから θ ’→ θ としてよい。
*)
(u/w + u/w + w/v)/3
= (u/w + u/w + uww)/3 (← uvw=1)
≧ u, (← AM-GM)
巡回的にたす。
(y^2＋1/y^2)/x^2＝1
の関数はどんなグラフになりますか？
この式がどこからどうでたかというと
y^2＋x^2＝r^2 の円の式の変形です
この円の式が一点を中心に回帰する理由がもしr^2のせいなら、r^2をx^2に変えて、グラフは2次元なので他の2要素をyに習合したら波形になるかもと考えた中学生並感の考えです
このyをm、xをsにそれぞれ置き換えたら(三角関数など使わずに)物理の単位で表せるようにならないかという展望なのですが、スレチすいません
とにかく、(y^2＋1/y^2)/x^2＝1で波になるか、または成らないとしたらこのような形式で波になる三角関数など使わない式を教えて欲しいのです
よろしくお願いします。
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=%28y%5E2%2B1%2Fy%5E2%29%2Fx%5E2%3D1
2つの放物線
C:y=px^2
D:y=(1/p)(x-1)^2
がともにLと共有点を持つような実数pの条件をa,b,c,dで表せ。
>>531
(a-1)^2/p＞b＞pa^2のとき、
pc^2＞d＞(c-1)^2/p
pa^2＞b＞(a-1)^2/pのとき、
(c-1)^2/p＞d＞pc^2
辺々掛けてc^2(a-1)^2＞bd＞a^2(c-1)^2
またはa^2(c-1)^2＞bd＞c^2(a-1)^2
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28y%5E2%2B1%2Fy%5E2%29%2Fx%5E2%3D1+%E3%81%AE%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95&lang=ja
三角関数使いたくなかったら
y=exp(i*x)+exp(-i*x)とかどうかなあｗ
>>533
ありがとうございます。波にならないですね
(y^2+1/y^2)=(x^2+1/x^2)
この式ならどうでしょう？このサイトでもグラフ化されなかったのですが
虚数も使いたくないです
もし見つかりましたら教えてください
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%28y%5E2%2B1%2Fy%5E2%29%3D%3D%28x%5E2%2B1%2Fx%5E2%29&lang=ja
微分方程式ならできるけど、これも嫌だとするともうお手上げか
y + (d/dx)^2 y == 0
https://www.wolframalpha.com/input/?i=y+%2B+%28d%2Fdx+d%2Fdx+y%29+%3D%3D+0&lang=ja
微分記号そのものを指数化すると円や波にできるんですか！
…でも物理の単位を作りたいのでNGです
数学的には>>538だな
＞物理の単位を作りたいのでNGです
マクスウェル方程式知らないの？
単位なんか時定数かければ揃えられる
((2π/T)^2)y + (d/dx)^2 y == 0
xの単位が秒なら、周期Tの単位も秒
Φ→（１＋ｒ）ΦY０
Y０→YT（U）＝uY0 （PU時）
→YT（D）＝ｄY０ （PD時）
C０→CT（U）
→CT（D）
市場は完全流動的、売値＝買値、取引コスト０、無裁定と仮定する。
時刻ｔ＝０に於ける安全証券（銀行預金等）額をΦ０、原資産 (株等)の価格
をY０、この原資産の (コール)オプシ ョンの価格をC０、オプション行使価
格を Kとする。そしてこの時刻ｔ＝０で、この安全債権と原資産をΔ０単
位保有するポートフォリオを組んだとする。 このときｔ＝０における全資
産X０は
X０：＝Φ０＋Δ０Y0
である。オプション契約時刻ｔ＝０、オプション満期時刻ｔ＝T以外の時刻は考えず、
市場利子率 (銀行利子率)を ｒ≧０、満期時刻ｔ＝Tで原資産価格は確率Puで、YT（U）＝uY0,
u>1と値上がりし、確率PdでYT（D）＝ｄY０,0□ｄ＜１と値下がりするとする。時刻ｔ＝Tでのオプション価格をCTとする。
そして時刻ｔ＝Tでの総資産をXTとおく。即ち
XT：＝（１＋ｒ）Φ０＋Δ０TY
である。ここにYT、CT、XTはそれぞれ値
YT＝YT（U）,YT（D） CT＝CT（U）,CT（D） XT＝XT（U）,XT（D）
を取る確率変数である。
以上のことから次の（１）～（４）を証明せよ
（１）０□ｄ＜１＋ｒ＜u
（２）X０＝C０
（３）XT=CT
（４）CT＝（YT－K）^＋：＝｛YT－K（YT－K≧０）｝
｛ ０（YT－K<０）｝
[ z ] = floor(z) ∈ Z は z を超えない最大の正数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
f <- function(x,y) (y^2 + y^-2)*x^-2
x=y=seq(-20,20,len=200)
z=outer(x,y,f)
contour(x,y,z,levels = 1, bty='n',drawlabels = F,asp=1)
https://i.imgur.com/dkMbt7t.png
g <- function(x,y) x^2+x^-2 - y^2 -y^-2
w=outer(x,y,g)
contour(x,y,w,levels=0, bty='n', drawlabels=F, asp=1)
https://i.imgur.com/N4r48Nu.png
すなわち、単振動とか扱えないものを作りたいということでしょ。
何がやりたいの？
y = 1 - 2(4 {x/π} (1-{x/π}) )^2
[ z ] = floor(z) ∈ Z は z を超えない最大の整数
{ z } = z - [z] ∈ [0,1)
|y - sin(x)| ≦ 0.05601
＠ x = (n±0.1502333)π
g(x,y) = y^2 + 1/(y^2) - x^2 - 1/(x^2)
= (y^2 - x^2) + (x^2 - y^2)/(xy)^2
= (y^2 - x^2){(xy)^2 - 1}/(xy)^2
= (y-x)(y+x)(xy+1)(xy-1)/(xy)^2,
よって
y = ±x, (45°線、原点を除く)
y = ±1/x, (直角双曲線)
の4つに退化する。
y=x(x-1)は下向きの山が一つあります
y=x(x-1)(x-2)は上向きの山一つ、下向きの山2つあります
y=x(x-1)(x-2)(x-3)は上向きの山1つ、下向きの山2つあります
こんな感じでどんどん山を増やしてって無限個の山を作れば、波の形も再現できそうですね
波は、このようなxに関する無限次関数として表すことができるということが数学的に証明されています
で、このようにして作った波というのは、実は三角関数として表すことができるということもわかります
逆に、三角関数以外では波は作れないのですよ
ですから、三角関数をお勉強しましょうね
近道はないのです
お願いします
(x-1)(x-2)(x-3)の123と増えていくものをsにしてyとxをmに習合できませんか？
三角関数は単位にできませんし、πという物理の単位もありません。微分や積分も物理の単位では^1/n、^nになりますし、周期または周波数のs/syc、syc/sのサイクルも物理的な実体はないですし
円をy^2＋x^2＝r^2と三角関数を使わないで表現できるように、三角関数を何かしらの計算方法としてyとxの直接的な計算記号に落とし込んでyとxだけで表現できないかということです
完成目標はsin刃とcos刃の単振動です
あ、まったくわからないです
4＋6=9
3＋9=？
辞書を引いてみたんだよね
「哲学上または宗教上で、相異なる諸種の教理や学説が融合すること。神と仏を結びつけて、その本地垂迹を考えた、神仏習合思想はその一つ。」
なるほど。宗教の話をしていたのか
道理で話が通じないわけだ。
足し算の記号はΣで表しますけど、掛け算の記号は大文字のΠで表します
Π(x-m)=....(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)......
あんがい応用系の本には載ってないもので…
（２） x^n + y^n = z^n - 1
nは３以上の整数のとき方程式（１）（２）の整数解x,y,zは必ず存在するか？
2)x=y=0 z=1
線形なら無い
XとYは離散確率変数とします。
T(x)=tとならないxに対して、Pr(x,t)=0となることの証明と、
T(x)=tとなるxについては、Pr(x,T(x))=Pr(x)となることの証明を教えて下さい。
ありがとうございます
非線形ならある場合もあるんですね。まあ非線形で変数分離できるとは限らんでしょうが
1≦k≦nの条件のもとで、(n,k)+(n+k,k)を最大にする自然数kをnで表せ。
ただし(a,b)は二項係数を表し、aCbとも書く。
非自明な解は6^3+8^3=9^3-1だけ見つかった。他にあるかどうかは不明
k = n
（適当な証明）
n = 1 のときは明らか。
n > 1 のとき、次の主張が成り立つ。
主張「 1 ≦ k < n のとき、 (n,k) + (n+k,k) < (2n,n) 」
主張が正しければ、 k = n のときに最大となることがわかる。
補題1「 1 ≦ k < n のとき、 (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) 」
（補題1の証明）
数列 (n+k)!/k! を考えると、これは k について単調増加であるので、
(2n-1)!/(n-1)! ≧ (n+k)!/k! より (2n-1,n-1) ≧ (n+k,k) が従う。
補題2「 1 ≦ k < n のとき、 (n+k,k) > (n,k) 」
（補題2の証明）
明らか。あるいは、ヴァンデルモンドの畳み込みから、
(n+k,k) = Σ[j=0,k] (n,j)(k,k-j) > (n,k) より成り立つ。
（主張の証明）
パスカルの三角形より、
(2n,n) = (2n-1,n-1) + (2n-1,n) であり、二項係数の対称性から
(2n-1,n) = (2n-1,n-1) であるので、
(2n,n) = 2(2n-1,n-1)
あとは補題1と補題2から主張が従う。
エレガントな証明は他の人に譲ります
9^3+10^3=12^3+1^3=1729
お願いします
>>566で返答が得られていると思うけども。
この手の自明なことを証明せよということは、定義に忠実に従った記述が求められているわけで
Pr(x,t)やPr(x)の定義が正確に記述されてない以上こちらで勝手に決めつけて答えにくいわけで
自明ですね、となるわけだ
a_k = (n,k) + (n+k,k)
とおく。
パスカルの△より 1≦k≦m に対し
(m,k) = (m-1,k) + (m-1,k-1) > (m-1,k)
よって
a_{k+1} - a_k = (n,k+1) - (n,k) + (n+k,k+1)
> (n,k+1) - (n,k) + (n+k-1,k)
≧ (n,k+1) (1≦k<n)
∴ a_k は単調増加
直感的に明らかではあるんですけど証明ができないです。。。
Pr(x,t)は確率変数(X,T)の同時確率測度
Pr(x)はXの確率測度でPr(t)はTの確率測度です
直感的に明らかなのではなく、定義から明らかなのです。
確率変数、離散確率変数、確率測度、同時確率測度の定義を述べればそれでほぼ証明できたも同然のはずなのです。
つまり証明できないということはあなたがこれらの定義をわかっていないのだと思うのですが、それでは証明のしようもないのです。
n=3 の場合
y^3 = z^3 - x^3 + 1
= (z-x)(zz+xz+xx) + 1
= (z-x){(2x+z)^3 - (z-x)^3}/9x + 1,
ここで 9x = (z-x)^4 とすれば
y^3 = {(2x+z)/(z-x)}^3,
y = (2x+z)/(z-x)
= 3x/(z-x) +1
= (1/3)(z-x)^3 + 1,
z = x + (z-x),
これより
x = 9t^4,
y = 9t^3 + 1,
z = 9t^4 + 3t,
CはL_Pにより2つの曲線に分割されるが、Pの位置に関わらず、この2つの曲線はL_Pに関して線対称でないことを示せ。
lim[x→-∞]曲率半径=0
lim[x→-∞]曲率=0
前者はx≠-1のただし書きがなかったのですが、どういう事なのでしょうか？
初等的に解いてみた
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける法線」を
「xy平面の曲線C:y=e^x上の点Pにおける接線に垂直な点Pを通る直線」と解釈する
曲線 C 上の任意の点 P を P(x, y) = (a, e^a) とすると、 e^a ≠ 0 より、 直線 L_P は
L_P: y = - e^(-a) (x-a) + e^a = - e^(-a) x + ae^(-a) + e^a
となる。
曲線 C 上の任意の点 Q(x, y) = (x_1, e^x_1) に対し、
点 Q と直線 L_P に関して線対称な点を R(x, y) = (x_2, y_2) とするとき、
(e^(-2a) + 1)y_2 = - 2 e^(-a) x_1 + (e^(-2a) - 1)e^x_1 + 2(ae^(-a) + e^a)
が成り立つ。
曲線 C を直線 L_P によって分割した2つの曲線が直線 L_P に関して線対称であると仮定して矛盾を導く。
上の点 Q, R に対し、線対称の仮定から、 x_1 → +∞ のとき y_2 → 0 でなければならない。
しかし、上の y_2 の表示から、
a ≧ 0 のとき y_2 → -∞ (x_1 → +∞)
a < 0 のとき y_2 → +∞ (x_1 → +∞)
となるので矛盾。
e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
もし線対称線があるなら、それはe^xの傾きが45度
つまりx=0での法線でなければならない
しかしこの点では明らかに線対称でないから不可能
＞e^xはx→±∞でx軸y軸に平行に向かうから
いやさすがにe^xがx→+∞でy軸に平行に向かうは無いわ。
y = e^x は x → -∞ のとき直線 y = 0 に漸近するので、
線対称線があると仮定して y = e^x を折り返すと x → +∞ のときも漸近線が存在することになるが、
実際には x → +∞ のときに漸近する直線は存在しないので矛盾。
という論理なら正しいと思います
言い方がアレだが傾きは∞(つまりy軸の傾き)に向かう
それ以外のどの傾きにも向かっていかないわけだから
線対称にするなら少なくとも45度のところでなければならない、てのは論理的に問題ない
その方がシンプルで語弊もなくていいですね
来ないみたいね
存在しない。
r^2-r=r(r-1) および r^3-r=r(r-1)(r+1) が有理数であるからその商r+1も有理数である。つまりrは有理数である。
しかし、rが有理数であればr^nが無理数となることはない。矛盾するのでこれを満たすrは存在しない。
