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- 353 ：
- [第２段]：2^e が無理数ではないとする。
すると、2^e は整数ではない実数だから、e＞1 から、2^e は2以上の有理数である。
従って、或る互いに素な n＞m なる正整数 n,m が存在して 2^e＝n/m、
従って、m!・2^{e}＝n・(m−1)! は2より大きい整数、
故に、2は正の素数なることから、m!・2^{m!e} は正の2の倍数である。
また、級数 e＝Σ_{k=0,1,…,+∞}( 1/(k!) ) の部分和を S_m＝Σ_{k=0,1,…,m}( 1/(k!) ) とおくと、
m!・S_m は正整数だから、同様に、m!・2^{m!・S_m} は正の2の倍数である。
従って、e＞S_m から、(m!・2^{m!e})/(m!・2^{m!・S_m})＝(2^{m!e})/(2^{m!・S_m})＝2^{m!(e−S_m)}
は正の2の倍数である。故に、m!(e−S_m) は正整数となる。しかし、
m!(e−S_m)＝m!( Σ_{k=0,1,…,+∞}( 1/(k!) )−Σ_{k=0,1,…,m}( 1/(k!) ) )
＝m!・Σ_{k=m+1,…,+∞}( 1/(k!) )＝m!・Σ_{k=m+1,…,+∞}( 1/(k!) )
＝m!・Σ_{k=1,…,+∞}( 1/( (k＋m)! ) )
＝Σ_{k=1,…,+∞}( 1/( (m＋1)・…・(m＋k) ) )
＜Σ_{k=1,…,+∞}( (1/2)^k )
＝(1/2)・Σ_{k=1,…,+∞}( (1/2)^k )
＝(1/2)・1/( 1−(1/2) )＝1/(2−1)
＝1
であって、1より小さい正整数は存在しないから、m!(e−S_m) は正整数ではなくなり、矛盾が生じる。
この矛盾は実数 2^e を無理数ではないとしたことから生じたから、背理法が適用出来る。
故に背理法を適用すれば、2^e は無理数である。
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