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荻野暢也
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数学の本 第84巻
- 346 ：
- (>>345の続き)
[第３段]：n≧2 のとき 1＋…＋1/n−log(n＋1)＞1＋…＋1/(n−1)−log(n) なることを示す。
任意の n≧2 なる正整数nに対して a_n＝1＋…＋1/(n−1)−log(n) とおく。
すると、n≧2 のとき、n・e^{1/n}＞n＋1 であって、e^{1/n}＞1＋1/n であるから、1/n＞log(1＋1/n)、
従って、log(1＋1/n)＝log((n＋1)/n)＝log(n＋1)−log(n) から 1/n＞log(n＋1)−log(n) であって、
1/n−log(n＋1)＞−log(n)、故に、定義から a_{n＋1}＞a_n を得る。故に、n≧2 のとき a_{n＋1}＞a_n。
[第４段]：n≧2 のとき a_{n＋1}＞a_n＞0 なることを示す。
n≧2 のとき、e^{1＋…＋1/(n−1)}＞n から 1＋…＋1/(n−1)＞log(n) であって、1＋…＋1/(n−1)−log(n)＞0 であるから、
定義から、a_n＞0。また、n≧2 のとき a_{n＋1}＞a_n。故に、n≧2 のとき a_{n＋1}＞a_n＞0。
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