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【数学Ⅲ】山口大学理学部数理科学科【850点】
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第１９回 リプシッツ連続と一様連続 [微分] ねこ騙し数学
(抜粋)
一様連続の定義から、関数f(x)が区間Iで一様連続であればIで連続であることは明らか。そして、リプシッツ連続であれば一様連続であるので、次のような関係がある。
リプシッツ連続⇒一様連続⇒連続
一般に、逆は成立しない。
一様連続に関しては、重要な次の定理があるが、証明なしで定理だけを紹介しておく。
定理
関数fが有界閉区間Iで連続ならば、fはIで一様連続である。
上のは、有界閉区間でなければ、一般には成立しない。
問題 区間Iで微分可能な関数f(x)が、任意のx、y∈Iに対して
|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α) (K>0,α>0の定数)
を満たせば、関数f(x)は定数である。
【解】
任意のx、y∈I（x≠y）とする。
|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α)
|f(x)-f(y)|/|x-y| <= K |x-y|^α → （x→y）
∴f’(y)=0
したがって、fはIで定数である。
（解答終）
(引用終わり)
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