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ルベーグ積分や測度論のスレ その2
- 1 ：2017/10/18 ～ 最終レス ：2020/05/07
- ルベーグ積分や測度論について語りましょう
前スレ
ルベーグ積分や測度論のスレ
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1317556554/
- 2 ：
- 関連スレ
関数解析
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1430751951/
- 3 ：
- 関連・過去ログ
関数解析（Functional Analysis）
http://kamome.2ch.sc/test/read.cgi/math/1311378587/
関数解析＆ルベーグ積分
http://l ogsoku.com/thread/science.2ch.sc/math/1043423127/
Functional Analysis, Lebesgue Integral II
http://l ogsoku.com/thread/science3.2ch.sc/math/1088665870/
Lebesgue積分ｾﾞﾐ
http://l ogsoku.com/thread/science3.2ch.sc/math/1109910304/
- 4 ：
- スレ立て乙！
- 5 ：
- 実解析のスレがあったはず、それにlog速へのリンクはまずいのでは？
- 6 ：
- 実解析 [転載禁止](c)2ch.sc
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1415883902/
- 7 ：
- 関数解析と聞くとなぜか胸熱…
- 8 ：
- 幾何学的測度論
http://www.math.titech.ac.jp/~tonegawa/syucyukougi-tohoku.pdf
https://maths-proceedings.anu.edu.au/CMAProcVol3/CMAProcVol3-Complete.pdf
- 9 ：
- 最近の俺の興味はメジャーよりゲージだからなー。
まぁ「ゲージ理論の基礎数理」で関数解析関係の話がからっきいついていけなかったから測度論～関数解析絡みのお勉強が必須なのは自覚してるが…。
- 10 ：
- 「お勉強」という言葉にまつわる人間心理
- 11 ：
- だって研究とかの前向きで生産的な営為じゃなくて昔の人がとっくに作り上げ済みのもの蒸し返す行為にすぎないんだもの。
グロタンディーク並みによく知らんうちに車輪の再発明しちゃうような真似なら新規性のある研究をする研究者候補生として前途は明るいかもしれないが。
- 12 ：
- >>11
>だって研究とかの前向きで生産的な営為じゃなくて昔の人がとっくに作り上げ済みのもの蒸し返す行為にすぎないんだもの
気持ちは痛いほど分かります
人生の時間は限られてるもんね
- 13 ：
- >>9
指数定理厨というなのアホは静かにしていろ
- 14 ：
- 実に怠惰デスね。
- 15 ：
- 勉強したくない奴の言い訳なんぞ放っとけ
- 16 ：
- ￥
- 17 ：
- ￥
- 18 ：
- ￥
- 19 ：
- ￥
- 20 ：
- ￥
- 21 ：
- ￥
- 22 ：
- ￥
- 23 ：
- ￥
- 24 ：
- ￥
- 25 ：
- ￥
- 26 ：
- ゴミがまた湧いた
- 27 ：
- ルベーグ積分がさっぱりわからないのですがオススメの参考書はありますか？
非数学科なのですが興味があり独学してみようと思っています
- 28 ：
- >>27
30講とかかな？
- 29 ：
- まず数学の基礎からだね
- 30 ：
- ルベーグ積分入門が終わった。やはり誤植が少なからずあった。次は
- 31 ：
- 測度・確率・ルベーグ積分読んでる
なんとか通読しようと思う
- 32 ：
- 落ちてはないみたいだな
このスレ
- 33 ：
- >>27
一年遅れのレスでなんだけども、名大の山上滋先生が最新の講義ノートupしてくれてて、参考文献も色々書いてるよ
このリストにはないけども、個人的には吉田耕作「測度と積分」が好み（←岩波基礎数学選書：現代解析入門の後半に収録）
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/topics/integral2018.pdf
>>30
伊藤清三のを完全フォロー？凄いなー
>>32
清三と好対照の溝畑ルベーグの内容を知ってますか？
- 34 ：
- >>33
全然知らない。
生堅そうな正統派教科書なんか高いし避けちゃう。
- 35 ：
- >>34
生堅そうな・・・まあそう映るのも著者が著者だから分かります
値段で若い人にスルーされるのは本当に残念です
私買って精読してまたコメントしますわ
- 36 ：
- >>33
耕作・清三・溝畑の3つ読めばいいよな
溝畑はわかりやすいリース流で測度論を必要としない
だから嫌という人もいるが、こっち知っておくと理解深まる
清三はなんだかんだで日本の標準
でも耕作の方が読みやすい
耕作・溝畑だけで充分とも思う
Haar測度とかDenjoy積分知りたいとかじゃなければもう充分
- 37 ：
- 製造は工作の愛弟子
溝端は他流派
- 38 ：
- ルベーグ測度の重要性や価値を大学2年生（微分積分学を履修済み）にプレゼンするとしたら、どんな話をする？
- 39 ：
- 証明の重要性と同じじゃねーの
- 40 ：
- ブラック?ショールズ方程式を理解できるようになれるかもしれない
- 41 ：
- ブラックやなー
- 42 ：
- ルベーグ積分が確率論に必要って嘘だよね？
ルベーグ積分の前に確率論あったじゃん
- 43 ：
- お前にはルベーグ測度が不要と言うだけの話
- 44 ：
- ／￣`Y ￣ヽ､
/ / / / l | | lヽヽ
/ / // ⌒ ⌒ヽ
| | |/ （●） （●）
（Ｓ|| | ⌒ ･ｨ ヽ 芸能人が吹き替えに挑戦というのは
| || | ﾄ-＝-ｧ ﾉ
| || | |-ｒ ､/ /|
| || | ＼＿｀ﾆ'_／ |
(( ( つ ヽつ、
. 〉 i ))
（__ノ^（＿）
- 45 ：
- ／￣`Y ￣ヽ､
/ / / / l | | lヽヽ
/ / // ⌒ ⌒ヽ
| | |/ （●） （●）
（Ｓ|| | ⌒ ･ｨ ヽ 許せないという気持ちが分かる
| || | ﾄ-＝-ｧ ﾉ
| || | |-ｒ ､/ /|
| || | ＼＿｀ﾆ'_／ |
⊂/ ⊂ ）
i ヽ
(( （＿）^ヽ.__） ))
- 46 ：
- >>38
普通、長さや面積は当たり前に考えられると思われている。
しかし、それらは決して当たり前ではない。
例えば、物質の長さと言っても、
物質を構成する分子や原子の間はスカスカなのだ。
このスカスカのものの長さや面積や体積は一体何なのか。
同様に、数の集合においても、その元が一つのときは長さが0なのに、
それがある部分集合になったら長さを持つことになる。
直感的な長さや面積の概念の危うさを無限集合から考えさせるような話をする。
- 47 ：
- こんばんは。ルベーグ積分を勉強する前に必要な勉強を教えてください。高２です。
- 48 ：
- /""`､
/ `､
_,,-''''''''"""""''''''-,,,,
／ ＼
〈 :/
＼__,,,,-''''"""""''''-,,,_:/
// （●） （●） ヽヽ芸能人が吹き替えに挑戦というのは
ｒ-i./ ｀⌒,(･･)⌒´ ヽ.l-､許せないという気持ちが分かるので
| | | ),ｒ=‐､( | | ﾉ私の顔が思い浮かばないように
｀| |ヽ ⌒ ﾉ| ||ナチュラルな吹き替えを心がけた
. | | | |＼ ｀ｰ-‐'' ／| || ||
／ ＼
/ ． , ． 、 丶
_＿_＿/ /） ﾉ 丶 丶____＿＿____
／壱（＿ ノ（ □■ ⌒ヽ 丶 ＿）／万 ／|
|≡≡|__|≡≡ヽ. ■□ﾊ }≡≡|__|≡≡|彡|
|≡≡|__|≡≡|≡｀l l≡ l l≡≡|__|≡≡|彡|
|≡≡|__|≡≡|≡ ﾉノ |≡｀ J≡≡|__|≡≡|彡|
|≡≡|__|≡≡|≡≡|__|≡≡|≡≡|__|≡≡|／
- 49 ：
- >>47
ルベーグ積分を勉強する前に、精子何発で受精できるかを考えなさい。
- 50 ：
- >>49
どうしてですか？
- 51 ：
- おーい、釣れるか？
- 52 ：
- スカスカは無数を表すのだろうね。有数といえば分子とか。
- 53 ：
- このスレに大類昌俊が書き込みしてそう
- 54 ：
- >>53
はいアウト
ついに一線を越えたな
おまえ以外誰も興味を持ってない障害者スレから二度と出てくんな
- 55 ：
- >>47
大学1年レベルの解析
集合位相論
- 56 ：
- >>47
猫先生が教えてくれますよ
・対談（ルベーグ積分）
http://rikei-index.blue.coocan.jp/taidan/taidanzentei.html
http://rikei-index.blue.coocan.jp/taidan/taidanrube.html
http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg-index.html
http://rikei-index.blue.coocan.jp/taidan-index.html
- 57 ：
- 普通に数学をする上では, 整数全体の集合Ｚからの有
理数全体の集合Ｑの構成およびＱの完備化による実数
全体の集合Ｒの構成さえ理解できていれば困らないで
あろう(これは多くの本に書かれてあるので機会と時
間があるときに解説したい). しかし根本にある自然数
をどう定義するか, これは必ずしも広く正確に知られ
たことではない. またＲの定義には公理的な方法もあ
り, そこから逆に自然数を定義することもある.自然数
の定義と聞いて多くの人が思い浮かべるのはペアノの
公理系によるものであろう. しかしこれを正確に把握
するためにはZFまで見直さなければならない. またＲ
の定義にはＱの切断による構成もある(デデキント切
断を公理として認めて公理的に定義するのとはまた別
の話である). Ｑの切断による構成もZFC公理系を基に
して定義される順序数の概念まで考察しなければ真に
理解することはできない.
- 58 ：
- Ｑの完備化としてＲを定義するのとＲを公理的に定義
するのは, このブログの執筆段階から妥当ではないと
考えられるため, また数とは何かという問いに答える
ため, ここでは順序数の概念に基づいた考察をするこ
とにする.
- 59 ：
- 数とは何か定義するのは, 現代数学的に言うと, その数
全体の集合をどう定義するか, どう構成するかという
ことである. 自然数は典型的な順序数の例であり, 順序
数の概念は自然数の拡張である. Ｚは通常の大小関係
では整列集合にならないが整列可能定理により整列集
合とすることができ, やはり整数は順序数の特別な場
合と考えることができる. ＱにもＲにも整列可能定理
により整列順序を入れることができ, 有理数も実数も
順序数とみなせる. 特にＱの切断によるＲの構成は順
序数の基本的な性質に並行している. つまり数とは現
代数学的には順序数なのである.
- 60 ：
- Ｒをさらに拡大したものには複素数全体の集合Ｃと超
実数全体の集合*Ｒがある. これらの元が数であるかど
うかは微妙なところなのでこれもまた別の機会に書こ
うと思う. だが少なくともZFC公理系のもとでは「数
を実数の意味でとらえるとき, 数とは順序数のことで
ある」と言えるであろう. 数自身もまた或る種の集合として定義されているのである. これが現代数学による答えであろう.
- 61 ：
- なお非数学的なことを言えば, 数とは量や個数あるい
は回数など数字を用いて表される概念を抽象化したも
のである, ということになるだろう. 例えば１個のみか
んと１個のりんごが目の前にあるとき合わせて果物は
何個かという問いには誰もが２個と答えるだろう. こ
れは演算を果物の個数全体の集合すなわちＮで行って
いることに他ならないが, 上述の説明と「1+1＝2」の
間には明らかな抽象度の飛躍がある.
- 62 ：
- ナニコノケータイ小説
- 63 ：
- そう言う気分に浸りたいんだろ
- 64 ：
- 暇つぶし代わりにどうぞ
1. ユークリッド空間の可算集合はルベーグ測度について零集合であることを示せ. (ヒント:特定の被覆について外測度が出れば外測度の値の一意性からその値は任意の被覆に対する値でもある)
2. 可算集合を基に定義される測度空間で空でない集合の測度がゼロでないものを構成せよ. (ヒント:群の位数)
3. 任意の集合Xとその冪集合Ｐ(X)について m({})＝0, m(A)＝∞({}≠A∈Ｐ(X)) とすると(X, Ｐ(X), m)は測度空間であることを示せ. ({}は空集合. この問題のみ測度空間の定義にσ-有限性は仮定しない)
4. ユークリッド空間の空でない開集合のルベーグ測度は正であることを示せ.
5. ユークリッド空間のルベーグ可測集合Eに対してEのベクトルvだけの平行移動E＋v＝v＋E＝{x|x＝y＋v, y∈E}とする. このときm(E＋v)＝m(v＋E)＝m(E)を示せ. (ヒント:ルベーグ測度の定義)
6. ルベーグ測度mとルベーグ可積分関数fに対して
∫f(x＋v)m(dx)
＝∫f(v＋x)m(dx)
＝∫f(x)m(dx)
を示せ(積分範囲はユークリッド空間全域).
7. ルベーグ積分∫_Ｒχ_Ｑ(x)m(dx)を求めよ.
8. 問題2で構成された測度空間において可測関数はＲ∪{±∞}への写像としての数列であり可積分関数の積分は絶対収束する無限級数であることを示せ.
9. ルベーグ可測集合Eに対して
m(E)＝inf{m(O)|開集合O⊇E}
を証明せよ. (ヒント:(外)測度の単調性より
m(E)≦右辺)
10. ノルム空間Vにおいて三角不等式
| ||x||－||y|| |≦||x－y|| ( ∀x, y∈V )
を示せ.
11. ヒルベルト空間において内積は連続であることを示せ.
- 65 ：
- 答え
64 名前：あぼ～ん[NGID:iB44h34+] 投稿日：あぼ～ん
- 66 ：
- >>65
不正解、残念！！
- 67 ：
- いい質問ですねぇ
- 68 ：
- 大体は見ただけで解けるからなー
- 69 ：
- ルベーグ積分が正の部分と負の部分に分けて定義されるのってどうにかならんのか？
リーマン積分みたいに一気にやれよ
- 70 ：
- 測度だからしょうがない
- 71 ：
- ＜わからない９大理由＞
１．読まない …参考書などを読まない。読む気などさらさらない｡
２．調べない …過去スレ、ググるなど最低限の内容も自分で調べようとしない｡
３．試さない …めんどくさいなどの理由で実行しない。する気もない｡
４．覚えない …人から聞いて、楽して得た答えは身に付かないから、すぐに忘れる。
５．説明できない …何に困っているのか、第三者に正確に伝わる文章が書けない。
６．理解力が足りない …理解力以前の問題で理解しようとしない｡
７．人を利用することしか頭にない …甘え根性でその場を乗り切ろうとする｡
８．感謝しない …教えてもらって当たり前。事がすんだらさようなら｡
９．逆切れする …自分の思うようにならないと逆切れする｡
- 72 ：
- まるで大類昌俊
- 73 ：
- >>71
ググるだけとかコピペだけってのはレベルが1上がってるのか・・・
- 74 ：
- わからないと同じやねーの？
- 75 ：
- ルベーグ積分が何の役に立つのかリストにしてくれませんか？それを見て勉強するかどうか決めます。
- 76 ：
- 関数解析
量子力学
- 77 ：
- 一様収束に拘わらずに積分と極限操作の順序を入れ替える根拠にできる。
- 78 ：
- 画処理でルベーグ積分は使えないの？
- 79 ：
- お前には無用
- 80 ：
- 役立つリストとか言ってる時点で手遅れ
- 81 ：
- うーん
あんまり重要じゃなさそうですね
まあ人間が実世界でする求積にはリーマン積分で十分ですもんね
- 82 ：
- その通りです
リーマン積分で満足しているなら，ルベーグ積分なんて無駄なんだから時間の無駄に決まってます
- 83 ：
- 勉強しなくてもいい理由が欲しいんだろうな
したくなければしなくていいのが勉強
- 84 ：
- お勉強してる自分に酔ってるような輩もだいぶイヤだけどな
- 85 ：
- かまってちゃんだろ
- 86 ：
- 実用時にリーマン積分で計算する奴はいない
- 87 ：
- ┌─────────┐
│ .|
│ キチガイ警報！ │
│ .|
└―――──――――┘
ヽ(´ー｀)ﾉ
( へ)
く
- 88 ：
- 定理の証明には、ルベーグ積分が有利。諸定理の使える条件がゆるい。
面積の値が欲しいだけなら、リーマン積分で十分。
コンピュータを使った数値計算でルベーグ積分することはない。
というより、コンピュータの数値計算で完全加法性なんて扱えない。
- 89 ：
- 普通は台形積分だろ
リーマン積分みたいな短冊を使う奴なんているんか
- 90 ：
- あのさぁ、極限とる前の横軸の分割が、区間による有限個の分割なら、
区間上の形は、短冊でも台形でもシンプソンでもガウス積分でも、
リーマン積分と考えて何の問題もないよ。
- 91 ：
- 数値計算で極限とるかよ
- 92 ：
- やれやれ、ルベーグ積分がわからないのはいいとしても、
リーマン積分を知らんとは。
そらぁ無理だは、ルベーグ積分わかるのは。
- 93 ：
- だ「は」？
- 94 ：
- アホにアホが突っ込む
- 95 ：
- 昔は数学板にルベーグ積分知らないのがいることが驚愕だった。
しかし、今やリーマン積分知らないのがいる。まさに衝撃の事実。
しかもそれをボーッと見て感想を書いている。もはや言葉がない。
ただ恐怖と戦慄があるだけだ。時代は変わった。
上には上のアホがいる。いや、下には下か。
- 96 ：
- リーマン測度
- 97 ：
- ダニエル
- 98 ：
- >>95
最近の学生は一様連続がわからんから
- 99 ：
- >>96
んなもんあるんか？
- 100 ：
- >>99
ネタにマジレスすると
リーマン測度（Riemannian measure）:
計量の入った多様体 (M, g) の体積要素のこと vol_M などと表す
リーマン積分の測度論的構成
ジョルダン測度を使ってルベーグ積分のような構成をすることはできるが
煩雑なだけで積分できる範囲も広がらないので手間のかかる演習問題だな
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皆本健太郎の東方project
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