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- ”ウェーブレット変換は、これまでフーリエ変換ではとらえられなかった各点でのリプシッツ連続性をとらえることができました（[J], [M], [JM], [HT]）。”ですと（＾＾
http://www.araiweb.matrix.jp/semi208/RiemannWavelet1.html
WEB版 現代数学入門講座 Vol. 2 (2016年11月5日）
リーマン関数とウェーブレット 新井仁之（東京大学）
(抜粋)
§3. 連続ウェーブレット変換
1980年代半ば、数学に新たな道具が加わりました。ウェーブレット変換です。ウェーブレット変換は画像処理、あるいは一般に信号処理の分野に大きな進展をもたらしました。これについては別の機会に講義をすることにします。
ウェーブレット変換は、これまでフーリエ変換ではとらえられなかった各点でのリプシッツ連続性をとらえることができました（[J], [M], [JM], [HT]）。ウェーブレット変換には連続ウェーブレット変換と離散ウェーブレット変換がありますが、ここでは連続ウェーブレット変換を扱うことにします。
連続ウェーブレット変換についてはたとえば [A] を参照して下さい。（本講義の２として、この辺のことを詳しく解説する予定です。）
§5. リーマン関数のカスプ特異点と振動特異点の可視化
メイエ [M] に依れば、リーマン関数 R(x) はカスプ特異点と振動特異点が混在し、たとえば 0 がカスプ特異点、1 が振動特異点になっていて、このことはシミュレーションによって可視化できると書かれています。
このことを実際に確かめてみましょう。以下の計算で使ったのは MATLAB で、ウェーブレットとしてはドブシーのウェーブレット、db4 です。
まずリーマン関数の連続ウェーブレット変換のグラフ（スケログラム）を計算してみます。結果は次のものです。
図2. 上図：リーマン関数（ただし座標軸を見やすいようにスケーリングしてある）。下図：その連続ウェーブレット変換の強度グラフ。
見やすいように 3D 表示します。
6. まとめと次回講義予告
今回の講義ではリーマン関数の歴史と、各点での滑らかさ、カスプ特異点と振動特異点について述べました。さらに特異点の可視化も行ってみました。
次回以降の何れかの回では、さらにリーマン関数の解析、それからカスプ特異点と振動特異点について掘り下げ、最近の話題に結びつけた話をする予定です。
(引用終わり)
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