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９―３÷１／３＋１＝？ 新入社員の正答率４割
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高校数学の質問スレPart402
９―３÷１／３＋１＝？ 新入社員の正答率４割
- 325 ：
- >>315 補足
(引用開始)
（>>204より）
１）定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ （ lim supが有限）
↓↑
３）定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）（k 有限）
(引用終わり)
まあ、>>315に書いたように、
３）リプシッツ連続→１）定理1.7の条件成立 は、ほぼ自明
また、１）→３）は、対偶：¬３）→ ¬１）が言えるから、逆も成立（∵リプシッツ不連続 k＝∞ → 定理1.7の条件式＝∞ 成立 ）
だから、１）と３）は同値
で（>>13より）
(引用開始)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
「f はある開区間の上でリプシッツ連続」は、即その開区間（a,b）で、条件Bfを満たすので、この区間はBfに含まれる（ （a,b）⊂Bf ）
同じことだが、Bfの補集合R−Bfが、R中で稠密なら、Bf内に上記のような開区間（a,b）は持てないし、リプシッツ連続な区間もない
まとめると
・Bf内にある開区間（a,b）があれば、その開区間（a,b）が即リプシッツ連続な区間でもあるし（補集合R−Bfが、R中で稠密でない場合）
・Bf内にある開区間（a,b）がなければ、リプシッツ連続な区間もない（補集合R−Bfが、R中で稠密な場合）
それだけのことだろ
以上
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