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高校数学の質問スレPart402
- 1 ：2019/10/24 ～ 最終レス ：2019/12/20
- 【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね
数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/
・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
（× x+1/x+2 ； ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は 名前(N)に 俺！#oretrip ←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
（特に、自分でやってみたのにあわないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。
※前スレ
高校数学の質問スレPart401
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1567691316/
- 2 ：
- [2] 主な公式と記載例
(a±b)^2 = a^2 ±2ab +b^2
(a±b)^3 = a^3 ±3a^2b +3ab^2 ±b^3
a^3±b^3 = (a±b)(a^2干ab+b^2)
√a*√b = √(ab)、√a/√b = √(a/b)、 √(a^2b) = a√b [a>0、b>0]
√((a+b)±2√(ab)) = √a±√b [a>b>0]
ax^2+bx+c = a(x-α)(x-β) = 0 [a≠0、α+β=-b/a、αβ=c/a]
(α,β) = (-b±√(b^2-4ac))/2a [２次方程式の解の公式]
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R [正弦定理]
a^2 = b^2 + c^2 -2bc cos(A) [余弦定理]
sin(a±b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b) [加法定理]
cos(a±b) = cos(a)cos(b) 干 sin(a)sin(b)
log_{a}(xy) = log_{a}(x) + log_{a}(y)
log_{a}(x/y) = log_{a}(x) - log_{a}(y)
log_{a}(x^n) = n(log_{a}(x))
log_{a}(x) = (log_{b}(x))/(log_{b}(a)) [底の変換定理]
f'(x)=lim_[h→0] (f(x+h)-f(x))/h [微分の定義]
(f±g)' = f'±g'、(fg)' = f'g+fg'、(f/g)' = (f'g-fg')/(g^2) [和差積商の微分]
- 3 ：
- [3] 基本的な記号の使い方は以下を参照してください。その他については>>1のサイトで｡
■ 足し算/引き算/掛け算/割り算（加減乗除)
a+b → a 足す b （足し算) a-b → a 引く b （引き算)
a*b → a 掛ける b （掛け算) a/b → a 割る b （割り算)
■ 累乗 ^
a^b a の b乗
a^(b+1) a の b+1乗
a^b + 1 （a の b乗） 足す 1
■ 括弧の使用
a/(b + c) と a/b + c
a/(b*c) と a/b*c
はそれぞれ、違う意味です。括弧を多用して、キチンと区別をつけてください｡
■ 数列
a[n] or a_(n) → 数列aの第n項目
a[n+1] = a[n] + 3 → 等差数列の一例
Σ[k=1,n] a_(k) → 数列の和
■ 積分 （ "∫"は「せきぶん」「いんてぐらる」「きごう」「すうがく」などで変換せよ（環境によって異なる）∮は高校では使わない）
∫[0,1] x^2 dx = (x^3)/3|_[x=0,1]
■ 三角関数
(sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 cos(2x) = (cos(x))^2 - (sin(x))^2
■ ベクトル
AB↑ a↑
ベクトル：V = [V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V)
（混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．)
■行列
（全成分表示）：M = [[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I = [[1,0,0,...],[0,1,0,...],...]
（行（または列ごと）に表示する． 例）M = [[1,-1],[3,2]])
■順列・組合せ
P[n,k] = nＰk, C[n.k] = nＣk, H[n,k] = nＨk,
■共役複素数
z = x+iy (x,yは実数) に対し z~ = x-iy
- 4 ：
- [4] 単純計算は質問の前に http://www.wolframalpha.com/ などで確認
入力例
・因数分解
factor x^2+3x+2
・定積分
integral[2/(3-sin(2x)), {x,0,2pi}]
・極限
limit(t*ln(1+(1/t^2))+2*arctan(t))) as t->infinity
・無限級数
sum (n^2)/(n!), n=1 to infinity
・極方程式
PolarPlot[2/sqrt(3-sin(2t)), {t, 0, 2Pi}]
グラフ描画ソフトなど
・FunctionView
http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
・GRAPES
https://tomodak.com/grapes/
・GeoGebra
https://sites.google.com/site/geogebrajp/
入試問題集
http://www.densu.jp/index.htm
http://www.watana.be/ku/
http://www.toshin.com/nyushi/
- 5 ：
- 円の極線を習ったのですが、これは円の中心を原点に合わせなければいけないのでしょうか？
- 6 ：
- いいえ
円の中心が原点だと、説明しやすい（式が簡潔）というだけでしょう
- 7 ：
- あ、色々と間違えてしまったな
すまんな
- 8 ：
- どうせ立てるなら大学レベルのスレにしろよ
そっちのほうが盛り上がる
標準問題を質問して解答とか自演にしかみえんわ
- 9 ：
- 高校レベルの話の隔離スレにわざわざ来て何いってんだ
頭悪いなら数学板から去れよ
- 10 ：
- 正論でRなよ
- 11 ：
- >>8
ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ、という問題がわかりません
- 12 ：
- >>8
算数できましゅか？
- 13 ：
- >>11
高校数学のどの分野からの発展的内容なのか説明できない時点でクソ
脈略もなく大学数学の一つの命題をいきなり挙げる時点で頭悪い
- 14 ：
- 大学レベルにしろとかアホが言ってたから脈略はあるんじゃね
- 15 ：
- 基本は高校数学だけどちょっと大学数学入ってますパターンが好き
いきなり、大学数学の問題を単体でポンはちょっとセンスなさすぎ
- 16 ：
- だってそれができるなら、何でもいいってことになるじゃんｗ
無限にある大学数学の中から一つを適当に持ってきて
はいどうぞ解いて！とか何が面白いの？
- 17 ：
- 高校数学からちょっと背伸びした質問して解答とか自演としか思えませんね
- 18 ：
- >>8
>>13
日にち変わったのに合わせて芸風変えたの？
- 19 ：
- まぁこのスレではオイラーの公式程度は当たり前のように使われるし
完全に高校数学に収まってるわけではないよ
- 20 ：
- どっちにしろ荒らしだろ
- 21 ：
- 数学科にいて
数学がわからなくなるならまだしも、数学がつまらなくなったら大変である。
- 22 ：
- >>20に同意
- 23 ：
- 大学数学スレで答えて貰えなかったのでこっちで質問していいですか？
- 24 ：
- 教科書に
直線の方程式
とか
円の方程式
とか書いてありますけど本当に方程式なんですか？関数じゃないんですか？
- 25 ：
- 方程式って何？
関数って何？
- 26 ：
- >>24
方程式とはどのようなものでしたっけ
教科書に載ってると思いますよ
- 27 ：
- >>26
ax+b=0を１次方程式と呼ぶ
とか
ax^2+bx+c=0を２次方程式と呼ぶ
としか書いてません
方程式そのものが何なのかは書いてません
- 28 ：
- そうなんですか
恒等式のところとかに書いてたりしないんですかね
どんな値を入れても成り立つのが恒等式
特定の値に対してのみ成り立つのが方程式です
恒等式
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
方程式
2x+3y=5
円の方程式とかは
x^2+y^2=1とかですよね
x=0,y=0とかで成り立ちませんから方程式です
- 29 ：
- >>28
では関数と方程式の違いは何ですか
直線は１次関数かつ方程式なんですか？
- 30 ：
- 見方の違いです
y=x
yをxが変化するのに従って変化する変数だと考えればyはxの関数であるといいますし、x,y同等に考えて色んな値を取るときy=xを満たすのは特別な場合だけかとか考えたらy=xは方程式です
- 31 ：
- 方程式で検索したら
未知数を含む等式
みたいな記述がありました
それならば恒等式も方程式ってことになりませんか？
- 32 ：
- 方程式の中で値が確定していない変数、特定の値が与えられていない変数を指す語。転じて、将来の予測がつかない様子などを指して用いる場合も多い。
辞書で調べたらこんなのありました
そのお話はトートロジーになってるわけですね
方程式とは未知数を含む等式である
未知数とは方程式に含まれる変数である
上で書いたように方程式は特定の値でしか成り立たないものでいいと思いますよ
- 33 ：
- 図形と方程式とかいう単元ですよね確か円の方程式云々とかって
まずは念頭にあるのはxy座標平面な訳です
何も条件ないときは(x,y)は座標平面の中どこでも動けるわけですけど、x^2+y^2=1とかいう条件つけると(x,y)は円周上に閉じ込められてしまう
そのとき、もちろんyはxの関数になっている※
でも上のように座標平面から円が浮き出てくるみたいな考えだと、(x,y)に条件を与える方程式だと表現したほうがいいわけですね
※一つのxに対して2つのyが対応しているので、関数と言えるかはビミョーですね
円の上半分だけ、下半分だけ考えると、yはxの関数とみなせる、といった感じでしょうね
- 34 ：
- >>31
そっちが正解
例えば、 0x=0, x+x=2x なども方程式です
恒等式でもあります
- 35 ：
- >>34
わからないんですね
- 36 ：
- >>31
恒等式と方程式は違うよ
fx⊃fixなんて関係は無い
- 37 ：
- >>36
iはidentityの頭文字
- 38 ：
- 恒等式が恒等になるのは変数に制限が付いての話
つまり制限を表す方程式でもある
- 39 ：
- 恒等式を任意の実数を解に持つ方程式と
解釈することは？
- 40 ：
- そもそも関数と方程式って言葉の範疇が違うんじゃないのか？
- 41 ：
- わかかんねーなら無理してしゃしゃり出てこんでええから黙ってろアホボンズが
- 42 ：
- 関数はある変数を別の値に変換するものでしょ
写像という言葉を使うのがより正しいけど
- 43 ：
- 方程式とは変数に対する式で表した制約条件である
- 44 ：
- 高校数学の範囲内で方程式と関数の違いを言うのは難しい
方程式の厳密な概念は環論に書いてある
Rを環とする．
∀a,b∈R， a+x=b は唯一つの解x=y+b (x,yは未知数)を持つ．
これを高校生が証明することは難しい．
ということでスレチだから証明は書かない．
- 45 ：
- 勝利の方程式という場合は
秘訣方法作戦みたいな
- 46 ：
- >>44
未知数ではなくて不定元
- 47 ：
- >>44
- 48 ：
- 問題3
関数y=3^xのグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動したところ、関数y=5*3^x+4のグラフになりました。このとき、定数a,bの値を求めなさい。
問題4
下の数列{a_n}の階差数列を{b_n}とすると{b_n}は等差数列になります。このとき、次の問いに答えなさい。
1,3,8,16,27,…
(1)数列{b_n}の第n項b_nを求めなさい。
(2)数列{a_n}の第n項a_nを求めなさい。
問題6
AB=4,AC=3√3,∠A=120°である△ABCにおいて、∠Aの二等分線と辺BCとの交点をDとします。これについて、次の問いに答えなさい。
(1)△ABCの面積Sを求めなさい。
(2)線分ADの長さを求めなさい。答えが分数になるときは、分母を有理化して答えなさい。
問題7
関数y=f(x)のグラフは点(2,-7)を通り、そのグラフ上の各点(x,f(x))における接線の傾きは-6x^2+2x+3で表されます。このとき、関数f(x)を求めなさい。
解答お願いします。
- 49 ：
- 定員100人、平均偏差値35の学部に3人だけ偏差値70がいたとすると、
残り97人の平均偏差値は幾つになりますか？
- 50 ：
- >>48
丸投げするなよカス
- 51 ：
- >>49
偏差値の意味分かってないだろ
- 52 ：
- >>49
(a1+…+a97+70+70+70)/100=35
- 53 ：
- >>44
嘘
- 54 ：
- >>49
平均偏差値ってのが何を意味する言葉なのか
その学部の100人の模試か何かの偏差値の平均が35だったという意味なら、
100人の平均点が35点、70点の3人を除いた平均点は何点かというのと同じ問題
- 55 ：
- 受験マシン
- 56 ：
- >>48
問題3
y = f(x) → y = f(x-a) + b,
a = -log_{3}(5), b = 4.
問題4
(1) a_{n+1} - a_n = 3n-1,
(2) a_n = (3nn-5n+4)/2.
問題6
(1) S = (1/2)AB･AC･sin(∠A) = (1/2)4･(3√3)･(√3)/2 = 9/2,
(2) AD = (12/11)(9-4√3) = 2.26014193061
問題7
f '(x) = -6x^2 +2x +3, f(2)=-7 より
f(x) = -2x^3 +x^2 +3x +6 +f(2) = -2x^3 +x^2 +3x -1.
- 57 ：
- (訂正)
問題6
(1) S = (1/2)AB･AC･sin(∠A) = (1/2)4･(3√3)･(√3)/2 = ９,
- 58 ：
- 偏差値の平均値なら50だが
- 59 ：
- sinx/xがx→0で0に近づくことの証明が分からん
本当は0に近づきつつも、固定値に近づく可能性は？
0.00012
0.0000012
- 60 ：
- 固定値1に近づきます
- 61 ：
- だから
1ではなく1.000000000001かもしれんだろ
- 62 ：
- 例えば単純減少とかなら、少なくともその固定値よりも小さい（0に近い）値になることを示したりすればいいよね
考え方としてはほぼεδだけど
sinx/xは別として
- 63 ：
- >>61
どのような固定値ε(>0)を与えても、そのεに対して
あるλ(>0)が存在し、|x| < λ→ |sin(x)/x - 1 | < ε
が証明できれば納得できる？
- 64 ：
- いけね、λじゃなくてδだったw
- 65 ：
- 1に近づく循環小数じゃないことを証明せよ
1.000012
1.00000012
1.0000000012
これじゃないことを証明って無理？
sinx/x
- 66 ：
- >>59
だつてsinxの多項式展開でもわかるし、微分してもわかる
1に近づく
- 67 ：
- >>61
アホなw
- 68 ：
- >>65
循環小数何で関係あるの？
知ってる用語並べただけ？
- 69 ：
- そもそもなぜ循環小数になると思ったのだろう
数学的なセンスを疑う
- 70 ：
- >>66
アホ？
高校数学ではsin(x)の微分ってsin(x)/x→1の知識使うだろ
数学的センスを疑う
- 71 ：
- 何でそもそも収束すると思いこんでいるのか？
- 72 ：
- [例2] lim[x→0] sin(x)/x = 1.
半径1なる円において弧 2x を張る弦が 2sin(x) である。
まず x>0 として証明をすれば十分である。
さて 0<x<π/2 なるときは この円周上に
A(cos(x),sin(x)), B(cos(x),-sin(x)), C(1,0)
をとれば、次の補題により
0 < AB < 弧AB < ACB,
0 < sin(x) < x < tan(x),
弧ABの長さは、弧に内接する折線の長さの上限として定義される(§40)から、
それは弦ABよりも大で，折線ACBよりも小である。従って
1 > sin(x)/x > cos(x). (1)
さて 0<sin(x)<x から，lim[x→0] sin(x) = 0.
故に cos(x)^2 = 1 - sin(x)^2 を用いて lim[x→0] cos(x) = 1.
故に (1) から標記の関係を得る。 (証終)
高木貞治：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
第1章, §9., [例2] p.21-22
- 73 ：
- 〔補題〕
2点 A,Bを結ぶ 右に凸な折線 L1 と L2 を考える。
L1が内側(左)に、L2が外側(右)にあり、交差しないとする。
このとき
L1の長さ < L2の長さ
(略証)
最初に L=L2とする。
L1の第一辺を延長し、L2と交わったところでL2に乗り換える。
→ △不等式により、L2より短くなる。
L1の第二辺を延長し、L2と交わったところでL2に乗り換える。
････
これを繰り返すと、単調に短くなり、最後には L=L1 に至る。(終)
>>72 (訂正)
C(1/cos(x),0) でござった。
- 74 ：
- ↑の〔補題〕は高木先生にとっては 2x2=4 と同じぐらい自明ですが、
凡人には分かりにくいので補足しました^^
- 75 ：
- >>73
L2は右に凸な曲線でもいいな。
- 76 ：
- https://i.imgur.com/wVcR2df.jpg
- 77 ：
- 今の高校の教科書の曲線の長さの定義は
∫√(1+f'(x)^2)dx。
- 78 ：
- >>76
巣に帰れ
- 79 ：
- 連続する方程式ってどういうことでしょう
- 80 ：
- >>77
積分の定義から
∫ √{1 + f '(x)^2} dx
= lim[n→∞] Σ[k=1,n] √{1 + f '(y_k)^2} (x_{k+1}-x_k),
ここに x_k < y_k < x_{k+1},
だが、f(x) は微分可能だから 平均値の定理より
f '(y_k) = [f(x_{k+1})-f(x_k)]/(x_{k+1}-x_k),
x_k < y_k < x_{k+1},
となる y_k がある。それを使えば
Σ[k=1,n] √{(x_{k+1}-x_k)^2 + [f(x_{k+1})-f(x_k)]^2}
すなわち、折線の長さになる。
区間を分割することで n→∞ とする場合は、単調増加する(△不等式)が、
上限になるかどうか････
- 81 ：
- 折れ線使うのは面白いけど、今の高校の教科書の設定ならf(x)=√(1-x^2)直接当てはめた方が早いね。
- 82 ：
- >>81
ダメだろ
それ積分するのにはsin(x)の微分が必要じゃねえの？
- 83 ：
- >>82
別スレで出てた。
問題文一行の超難問を出し合うスレ
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1569140145/37,39
円に外接する多角形の周長は円周よりも長いことを厳密に証明せよ。
tan(x)>x if 0<x<π/2
を示すの？
>>36
そう。トートロジーにならないように弧長の定義に沿って示してほしい。
偏角θが0<θ<π/2である点P(a,b)を単位円上に、Q(1,c)をx=1上にとる。
示すべきはθ<c。
θ=∫[0,b]1/√(1-y^2)dy
<∫ [0,b]1/√(1-b^2)dy
= b/√(1-b^2)
= c
- 84 ：
- よくよく考えたらsin(x)挟むのに
x=∫[0,sin(x)]1/√(1-x^2)dx
が恒等式であること利用するなら
1≦1/√(1-x^2)≦1+5x/12 (0≦x≦3/5)
で十分だな。
コレで
0≦sin(x)≦x≦sin(x)+5sin^2(x)/24
が出せる。
- 85 ：
- 恒等式と方程式からやり直せ
- 86 ：
- >>80
n→∞ と言っても分け方は様々で、
上限値に近づくような分け方をすれば、それに収束するけど････
>>77 の積分が、どういう分け方をしても同じ値に収束するなら
折線の上限値と一致するはず。
- 87 ：
- >>83
与えられた外接多角形L0を切頂した多角形をL2とする。
>>73 より、
円に内接する任意の多角形L1 の周長は L1 < L2
∴ (円周の長さ) = sup(L1) ≦ L2 < L0
- 88 ：
- △OABに対して，OPベクトル=sOAベクトル+tOPベクトルとする。
実数s，tが次の条件を満たしながら動くとき，点Pの存在範囲を求めよ。
(2)0≦s≦1，0≦t≦2
先生、s+t≦3，OPベクトル=1/3s3OAベクトル+1/3s3OBベクトルとして三角形ではだめな理由を反例とかを使えればそれを使って教えていただけませんか？
- 89 ：
- >>88
t=0,s=3の場合とかも含まれちゃうでしょ
基本的に不等式どうしを足したら条件の強さが弱まるよ
- 90 ：
- >>88
>OPベクトル=sOAベクトル+tOPベクトル
じゃなくて、OPベクトル=sOAベクトル+tOBベクトル
だよね。
xy平面上に△OABを、A=(0,a), B=(b,c) (ただし、a>0, b>0)
となるように配置し、P=(x,y)とおくと、x=bt,y=as+ct
となるので、bt = x, as = y - ct = y - (c/b)x
したがって、
0≦t≦2より、 0≦x≦2b
0≦s≦1より、 0≦ y - (c/b)x ≦a ⇔ (c/b)x≦y≦(c/b)x+a
ゆえに、Pの存在範囲は、４つの直線、x=0, x=2b, y=(c/b)x, y=(c/b)x+a
で囲まれる領域で、これはOAと2OBを隣り合う２辺とする平行四辺形（辺
を含む）となる。
- 91 ：
- >>88
線形なんだからst平面（直交座標系）上A(1,0), B(0,1)で考えたら後は線形変換するだけ
(2)の条件は長方形だから線形変換したら平行四辺形だよ
- 92 ：
- >>88
OP↑=sOA↑+tOB↑において
(i)s≧0,t≧0,s+t≦1
⇔点Pは△OABの内部及び辺上にある
(ii)0≦s≦1,0≦t≦1
⇔点PはOA,OBを2辺とする平行四辺形の内部及び辺上にある
これが基本
(i)と(ii)を混同しないようにする
これの証明は教科書や参考書に載ってるから確認しておく事
今回は
0≦s≦1,0≦t≦2
なので(ii)と同じ形にするために
OP↑=sOA↑+(t/2)2OB↑
と変形
ここで
t'=t/2
OB'↑=2OB↑
とすると
OP↑=sOA↑+t'OB'↑
0≦s≦1,0≦t'≦1となるので
点PはOA,OB'を2辺とする平行四辺形の内部及び辺上にある
- 93 ：
- >>91
残念ながら、平成以降の高校数学では線形変換は教えられてないはず。
平成２０年以降は行列も消えてしまった。
- 94 ：
- 不等式ではs+t=kでkを変えていく方法で説明してるけどまだるっこしい思うは
数覚で感じ取れないものかね
- 95 ：
- >>94
>まだるっこしい
どこの言葉だよw
- 96 ：
- >>95
ごめん
寝ぼけてた
死にます
- 97 ：
- ここに書き込んでるのって崩れの成れの果てみたいな奴ばっかりだな。
- 98 ：
- >>97
は？
ハチワンダイバーみたいでいいじゃん。
- 99 ：
- 書き込んでるのは大学で落ちこぼれた高校の数学教師とか塾講師とかだよね、明らかに。
- 100 ：
- 俺は大学教授。でも、数学は専門外。
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バスケ代表４人が買春を認める 「歩いてたら話しかけられた。金の交渉をしてホテルに連れ込んだ。」
／^0^＼身延線・御殿場線･東海道線沼津口スレ 23
真夏の夜の淫夢 第171章
AKB48×SHOWROOM ★1860
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