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- >>54
或る正の実数aが存在して、平面Π上の円 C'：x^2＋y^2＝25 と
放物線 (L_1)'：y＝(x−a)^2 とが、或るΠ上の点 (P')(x_1, y_1) で接するとする。
同一平面Π上で円 C' と放物線 (L_1)'、及び接点 (x_1, y_1) を何れもx軸に平行な方向に同時に −a ずらして考えると、
仮定から、平面Π上で円 C' をx軸方向に −a ずらした円 C：(x＋a)^2＋y^2＝25 と
Π上で放物線 (L_1)' をx軸方向に −a ずらした放物線 L_1：y＝x^2 とは、平面Π上の点 P(x_1＋a, y_1) で接する。
このとき、平面Π上において、点Pは円 C と放物線 L_1 との接線 l_1 上の点である。
放物線 L_1 の式 y＝x^2 の両辺をxで微分すると y'＝2x。
同様に、円Cの式 (x＋a)^2＋y^2＝25 の両辺をxで微分すると (x＋a)＋yy'＝0 を得る。
また、すべてのΠ上の放物線Lに対して、任意のL上の点 (P_1)(L) における接線の傾きは、すべて有界であり実数である。
円Cと下に凸な放物線 L_1 とは直線 l_1 上の点 P(x_1＋a, y_1) で接するから、接線 l_1 の傾きは0とは異なり、
点Pにおける接線 l_1 の傾きは、x＝x_1＋a のとき y'(P)＝(y_1)/(x_1＋a) となる。
同様に点Pにおいて、(x_1＋a)＋(y_1)(y'(P))＝0 となる。
よって、点Pにおいて (x_1＋a)＋(y_1)^2/(x_1＋a)＝0 であって、(x_1＋a)^2＋(y_1)^2＝0 が成り立つ。
しかし、仮定から、点Pで (x_1＋a)^2＋(y_1)^2＝25 である。
故に、点Pで 0＝25 となって 0＜25 に反し矛盾が生じることになる。
背理法が適用出来るから、背理法を適用すると、どんな正の実数aに対しても、
平面Π上の円 C'：x^2＋y^2＝25 と放物線 (L_1)'：y＝(x−a)^2 との接点 (P')(x_1, y_1) は存在しない。
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