現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む20 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1466279209/
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1462577773/
同18
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1452860378/
同17
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1448673805/
同16
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1444562562/
同15
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1439642249/
同14
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1434753250/
同13
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1428205549/
同12
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1423957563/
同11
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1420001500/
同10
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1411454303/
同9 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1408235017/
同8 http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1364681707/
同7 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1349469460/
同6 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1342356874/
同5 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1338016432/
同(4) http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1335598642/
同3 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1334319436/
同2 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1331903075/
同初代 http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1328016756/
古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。
前スレでは、お疲れさまです
お陰さまでこのスレも21になりました。世紀に追いつきました（＾＾；
￥さんの発言は、面白いけど過激だね（＾＾；
613 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/09(土) 12:42:17.08 ID:Vo9e95n/ [4/35]
>>538
ID:f9oaWn8Aさん、どうも。スレ主です。
えらく確率論に詳しいね。よって、”確率論の専門家”と呼ばせて貰おう
”確率論の専門家”のご意見は、>>512-538それと日付が変わって>>542-564のID:1JE/S25Wさんの発言だ
（”確率論の専門家”の意見要約）>>512-538 >>542-564
１．時枝氏の方法は「確率は計算できない」が今の確率論の答えだと思う．
２．時枝氏の解法は，現在の測度論から導かれる解釈のほうが自然．（当てられっこないという直感どおり，実際当てられないという結論が導かれる）
３．「無限族の独立性の定義は微妙」は、そもそも時枝氏の勘違い．時枝氏の考える独立の定義と，現代の確率論の定義は可算族に対しては同値である
４．うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな
さらに要約すると、時枝記事は数学セミナーに書く記事としては不成立（下記の問題意識は認めるとしても、それなら、別の記事の書き方があるだろうと）
その結論は、上記４以外は、私が従来主張してきたことと、合致している>>12-17
>>613 続き
さて
１．これを受けてTさん（元TAさん）「問題は>565をどう考えるかに絞られている」>>603
２．おっちゃん「ちなみに、時枝問題の話はまだ終わっていないと思う。」「時枝氏の方法で「確率が計算できる」ような確率論の公理の体系を築け
という新たな問題が生じるだろう。」>>584
３．\さん「そういう風に考えなければ、数学はこのまま死んでしまう。ソレはアカン。」>>585、
「『Kolmogorovが近代確率論を成立させるに当たり、当時出来上がったばかりの測度論を使ってしまった』という部分を、そろそろ「もう一度見直す時期に来ている」」>>549、
「あの当時とは違って、今はゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）、また流行りのファイナンスとか、そういうのが『Kolmogorovの公理系からははみ出してる』という印象」>>201
「だから時枝さんの議論は（その細部はさて置き）非常に求められている問題意識ではないかと。」>>201
私は、時枝問題のその後の議論にはもう参加しない。「Kolmogorovの近代確率論の見直し」は、もう学会（プロ）レベルだろうから
>>491-492
数学的帰納法について再度まとめておく（一次のまとめ>>27-29）
（数学的帰納法に反例があるなどと、変な話を残しておきたくないのでね）
１．まず、ここ「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」から
http://www.juku.st/info/entry/246
【数学講師向け】わかりやすく教えよう！数学的帰納法と演繹法 2014年06月24日
(抜粋)
数学的帰納法は演繹法である
確かに、数学的帰納法は帰納的に見えます。
しかし、先に問題文に大結論が書かれてありますよね。これが、数学的帰納法が演繹法と言われる所以なのです。
演繹法は、大結論から個々に注目するものです。
数学的帰納法は、大結論が与えられていて、そのひとつひとつの例(n=1、n=k、n=k＋1)で成立することに注目しているだけなので、演繹的なのです。
真理保存性
帰納法の結論は正しくない可能性がある
演繹法の結論は必ず正しい
数学的帰納法で導く結論は、必ず正しいので、
真理保存性という観点から見ても、数学的帰納法は演繹的なのです。
>>615 つづき
２．さて、時枝解法成立派>>327が、”「１．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ、２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ」（「数学的帰納法は不完全であると言える。・・ その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」前スレ >>382）”>>27と言い出した
３．主張の趣旨は、多分「ここに関しては「任意の有限部分族が独立のとき、独立」という定義そのものが有限の極限として扱うって立場だろうってことだと思う
だから同値なのは当たり前
そうじゃなくて"有限個のときみたいに無限個を全部眺めて独立性を判断する"ような扱いをすれば直観に根ざした結論が得られるだろう」>>544 (…と思ったけど(1)と(2)の二つの方針が可能であるって言ってるから読み違えてる気がしてきた)>>544
と。つまり、（）内のカミングアウトのように、読み違えか、”そもそも時枝氏の勘違い”に乗せられたんだろう
４．で、時枝解法成立派が強硬に主張していた”数学的帰納法は不完全”は、あっさり>>538で「確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となる」と、”確率論の専門家”さんに否定的に証明されてしまった
５．だから、これを受け入れるなら、時枝解法成立派の強硬な主張もその必要がなくなるのだった
６．では、一見数学的帰納法は不完全に見える、位相（topology）の例はどう考えれば良いのか？ ”スレ主さんは∩_{n∈N}U_nの定義がよくわかってない感じですね．”>>516と”確率論の専門家”さんからご指摘のように、「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」をうまく説明出来ていなかったのは確かだ
つづく
>>616 つづき
<一見数学的帰納法は不完全に見える、位相（topology）の例はどう考えれば良いのか？>
１．思うに、この話は極限と収束を意識すれば、説明がつく。
２．それと、無限を集合の濃度としての無限と、集合の要素としての無限大 ：記号∞との区別も意識しておきたい（自然数Nには、集合の要素としての無限大 ：記号∞は含まれていないが、Nは可算無限の濃度を持つ無限集合である）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90
>>617 つづき
３．位相（topology）の例を追加しよう
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/
室田 一雄 (Kazuo Murota)
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/closedsetopenset071119.pdf
T5 閉集合と開集合 基礎数理 (副題：数理工学への入門)室田一雄 東大 2012
より引用
命題３（無限個の場合）
（１）無限個の閉集合F1, F2, . . . の和集合∪∞n=1 Fn は閉集合とは限らない．
一方，積集合∩∞n=1 Fn は閉集合である．
（２）無限個の開集合A1,A2, . . . の積集合∩∞n=1 An は開集合とは限らない．
一方，和集合∪∞n=1 An は開集合である．
・例１：R において，閉区間Fn = [1/n, 1] の和集合は(0, 1] で，これは閉集合でない．
・例２：Rにおいて，１点の集合Fn = {1/n} は閉集合である．和集合G =∪∞n=1 Fn は閉集合でない．なぜなら，数列(an) をan = 1/n と定義すると，an ∈ G で，an → 0 ∈ R であるが，極限a = 0 は集合G に含まれない．
・例３：閉区間Fn = [1/n?1/n2, 1/n+1/n2] についても例２と同様．
（引用おわり）
>>618 つづき
１．>>27の山田光太郎先生 ”例10.6. 自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合(演習問題10-1)．”も含めて、統一的な説明を与えよう
２．極限と収束の観点から、山田光太郎先生のUn = (-1/n, 1/n) (開区間) の例は、”単に、Un = (-1/n, 1/n) (開区間)という包含関係（Un ⊃Un+1 ）を持つ開集合族が、n→∞で Un = {0}に収束するという数学的事実を示したに他ならない">>27
３．同様に、上記室田一雄先生の例は、n→∞の極限で閉区間Fn = [1/n, 1] の和集合は(0, 1] に収束するという数学的事実を示したに他ならない
但し、1/n→0で、0は閉区間Fn = [1/n, 1] の和集合に含まれないから、半開区間になるのだ。それは、数学的帰納法の責任ではない
４．上記例２と例３も同じ。例２は”極限a = 0 は集合G に含まれない”から、閉集合にならないが、半開区間になるのだ。それは、数学的帰納法の責任ではない。例３も上記の説明通り。
５．上記の例を、数学的帰納法の役割という観点で見ると、いずれもn-1までの結果と、nの要素との共通部分を取るなり、集合の合併を作るなりをしている。
つまりは、極限と収束については、数学的帰納法の責任外なのだ
６．さらに砕けた言い方をすれば、この各例で、「n-1の結果と、n番目の要素とのある演算をして下さい」と数学的帰納法に指示しているのは依頼側
そして、数学的帰納法は、依頼された仕事を忠実に行うところまでの責任はあるが、その結果、極限と収束がどうなるかは、依頼側の指示次第
７．だから、極限と収束の結果が、閉集合になったり開集合になったりしても、それをもって、「数学的帰納法は不完全であると言える」という主張は不成立
８．この観点で、>>27-29を見直すと、>>27はそのままで良いだろう。>>28は、最後の１０項を取り消します（削除）。>>29も修正するのが面倒なので全体を取り消します（削除）。
８．あとは、疑問があるなら、位相を講義する先生方に質問してください。「先生これ数学的帰納法の反例ですね」と。（もし、Yesと回答する先生が居たら、報告お願いします。）
>>538 補足
>確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
ここを自分なりに補足すると、下記可算選択公理が使えるってことだろう
>>533の「選択公理を捨ててソロヴェイの公理仮定しろよ」をさりげなく否定していると見た
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
可算選択公理
(抜粋)
ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。
応用
実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。
例えば集積点が極限点であること、すなわち「 xが実数 R の部分集合 S の集積点ならば、 x に収束する S ? { x } の数列が存在する」という命題を証明したい場合にはACωを用いれば十分である。
また、距離空間論において、可分距離空間の任意の部分集合が可分であることを示す際にも用いられる[1]。
他の公理との関係
選択公理が成り立たないソロヴェイのモデル（英語版）においても、可算選択公理は成り立つ。
ポール・コーエンはACωがZF集合論から証明できないことを示した。
(引用おわり)
>>615 補足
「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」、「数学的帰納法は演繹法である」を補足しておく
高校数学ではこれで終わりだ。が、前スレで渕野先生を引用したように、大学では無限集合を扱うときに、公理の問題を意識しないといけない場合がある
（つまり、無限集合を扱うとき、そのための公理が必要だと）
１．ペアノ公理：” 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。”（つまり、数学的帰納法の原理が自然数N全体に適用できるを公理にしていると）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
２．ZFC：”無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する”と選択公理 （選択公理と同値であることが ZF において証明できる命題として、整列定理を使って、数学的帰納法が適用できる）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
３．ZF に ACω（可算）を付け加えた公理系：実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。選択公理が成り立たないソロヴェイのモデル（英語版）においても、可算選択公理は成り立つ。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
以上をまとめると、
１．「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」、「数学的帰納法は演繹法である」（高校レベル）
２．無限集合に数学的帰納法を適用するには、無限を扱う公理が必要だ（上記）。逆に言えば、「数学的帰納法をどこまで成立させるか」を意識して公理を設定しているのだと。無限を扱う公理が決まれば、どこまで数学的帰納法が適用できるか自動的に決まるってこと
３．「実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。選択公理が成り立たないソロヴェイのモデル（英語版）においても、可算選択公理は成り立つ。」と
ここまでは、大学レベルの数学の常識として、知っておくこと
”『Lebesgueの意味の測度論を使う定式化を見直すという可能性』を言ってます。
あの当時とは違って、今はゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）、
また流行りのファイナンスとか、そういうのが『Kolmogorovの公理系から
ははみ出してる』という印象でしょう。なので所謂『Baysianな議論』と
いうヤツがそうですわ。だから時枝さんの議論は（その細部はさて置き）
非常に求められている問題意識ではないかと。”>>201
そういう問題意識は分からなくもない。
ただ、それなら
１．あの当時とは違ってゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）・・『Kolmogorovの公理系からははみ出してる』
↓
２．だから『Lebesgueの意味の測度論を使う定式化を見直すという可能性』を追求しましょう
と書くべきでしょう。
ところが、時枝記事は、>>633
”時枝解法が成り立つ→確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる→コルモゴロフの近代確率論とは違う視点が求められている”と
で、前提の”時枝解法が成り立つ”が否定された。少なくとも、時枝解法は現段階ではそれは数学になっていないよと
普通の雑誌記事としては、如何なものかと
時枝解法の問題が、終わったか始まったか知らず
すくなくとも、数学セミナーの時枝記事としては、終わったよと
この二つは、ロジックとしては峻別すべきだと
”『Lebesgueの意味の測度論を使う定式化を見直すという可能性』を言ってます。
あの当時とは違って、今はゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）、
また流行りのファイナンスとか、そういうのが『Kolmogorovの公理系から
ははみ出してる』という印象でしょう。なので所謂『Baysianな議論』と
いうヤツがそうですわ。だから時枝さんの議論は（その細部はさて置き）
非常に求められている問題意識ではないかと。”>>201
そういう問題意識は分からなくもない。
ただ、それなら
１．あの当時とは違ってゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）・・『Kolmogorovの公理系からははみ出してる』
↓
２．だから『Lebesgueの意味の測度論を使う定式化を見直すという可能性』を追求しましょう
と書くべきでしょう。
ところが、時枝記事は、>>633
”時枝解法が成り立つ→確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる→コルモゴロフの近代確率論とは違う視点が求められている”と
で、前提の”時枝解法が成り立つ”が否定された。少なくとも、時枝解法は現段階ではそれは数学になっていないよと
普通の雑誌記事としては、如何なものかと
時枝解法の問題が、終わったか始まったか知らず
すくなくとも、数学セミナーの時枝記事としては、終わったよと
この二つは、ロジックとしては峻別すべきだと
>>765 つづき
４．前スレ >>310 証明おじさん「＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ」
５．前スレ >>382 証明おじさん「(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」
要は、”そもそも時枝氏の勘違い”>>542に乗せられたのか、”独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”と言い出した
そして、”また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張 とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ”という
その流れの中での、”数学的帰納法は不完全””実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ”と
そして、>>744引用の証明を書いた証明おじさんだったのだ
767 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:51:07.16 ID:1POR/mwl [28/28]
>>766 つづき
まあ、繰り返すが、要は”そもそも時枝氏の勘違い”>>542に乗せられたのか、Tさん”独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”と言い出したのが、証明おじさんの”帰納法不完全”発言に繋がっていったのだった
そういうことですよ
どうも。スレ主です。
お褒めを頂きありがとう
とすれば、自然数Nは可算無限の濃度（アレフゼロ）ではあるが、集合の元としては∞は含まれていないことに気付く
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
765 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:44:49.80 ID:1POR/mwl [26/28]
>>764 つづき
前スレの流れを整理しておくと、
１．前スレ >>235 Tさん「無限個の確率変数が独立であるとは「無限個のうち任意の有限個が独立」と定義される。
「無限個がまるまるすべて独立」という定義ではない。これは記事に書いてあるとおり。
そしてここにパラドックスの成立する余地がある。
すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく、
それに含まれない他の箱が常に存在する。
その箱の情報が別の箱から得られないことを独立性の定義からは結論できない、というわけ。」と
２．前スレ >>293 スレ主「５．そして、X1と上記の「互いに独立な確率変数は常に有限個の組」との併合、{X1}∪{「互いに独立な確率変数は常に有限個の組」}を考えると、定義より”任意の有限部分族が独立”だからこれらも独立な有限部分族になる。
６．これを繰り返すと、有限部分族に上限はなく、”常に有限個の組でしかなく”に反する」
３．前スレ >>295 Tさん「＞６．これを繰り返すと、有限部分族に上限はなく、”常に有限個の組でしかなく”に反する
ここがおかしい
また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ」
つづく
766 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:45:57.15 ID:1POR/mwl [27/28]
>>765 つづき
４．前スレ >>310 証明おじさん「＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ」
５．前スレ >>382 証明おじさん「(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」
要は、”そもそも時枝氏の勘違い”>>542に乗せられたのか、”独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”と言い出した
そして、”また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張 とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ”という
その流れの中での、”数学的帰納法は不完全””実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ”と
そして、>>744引用の証明を書いた証明おじさんだったのだ
767 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:51:07.16 ID:1POR/mwl [28/28]
>>766 つづき
まあ、繰り返すが、要は”そもそも時枝氏の勘違い”>>542に乗せられたのか、Tさん”独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”と言い出したのが、証明おじさんの”帰納法不完全”発言に繋がっていったのだった
そういうことですよ
（前スレにスレ主の認識違いを示しているレスがあるんですけど・・）
お邪魔しました
それで、”すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”とおかしな方向へ
”「＞６．これを繰り返すと、有限部分族に上限はなく、”常に有限個の組でしかなく”に反する
ここがおかしい
また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ」”
などと
しかし、自然数Nは可算無限の濃度（アレフゼロ）ではあるが、集合の元としては∞は含まれていないから、
自然数Nは、字義通り上限が無い（限りがない）ということ
それを、どうも集合の元としての∞と混同してしまったんだね
いや、私もそれに乗せられた（＾＾；
みなも乗せられた？
確かに、その土壌はあった
つまり、数列の和 Σn=1-∞ Anとか、定積分記号で0から∞という記述は、みんな便利に使っている。高校時代から
それに慣れているんだ、みんな
でも、数列の和 Σn=1-∞は、極限lim n→∞Σk=1-n Akの略記とも解釈できるのだった
そして、時枝問題は、”可算無限個の箱”という規定だから、集合の元としての∞は不必要だった
つい乗せられてしまって、それに気付くのに、結構時間を使ってしまった
どうも。スレ主です。
お褒めを頂きありがとう
前スレにスレ主の認識違いを示しているレスがある？
それはあるでしょうよ。否定はしません（＾＾；
お前は”その反例”の”その”は何だと認識しているのか書けと言ったはずだが
お前が正しく理解してるのならこんなことは言わん。間違っているから言っている。
＞いや、私もそれに乗せられた（＾＾；
自分のアホを他人のせいにすんな
お前以外の誰もそんなアホな勘違いしていない
集合の元としての∞については、前スレでも触れたが、別にロビンソンの超準（以下”ノンスタ”と略す）に限られず、古くは射影幾何とかリーマン球でも導入されていた
どうも、コンパクト化という手法のようです（下記）
射影幾何を遡れば、古くギリシャの円錐曲線論に辿り着く
とすれば、集合の元としての∞の導入自身は、は結構分かり易い。ノンスタでなければならないという訳でも無いし、結構直感的に把握できる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
位相空間X のコンパクト化（英: compactification）とはX をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。コンパクトな空間は数学的に取り扱いやすい為、X をそのような空間に埋め込む事でX の性質を調べやすくする事ができる。
実応用上、こうした「付け加えた点」（すなわち K ? i ( X )の点）は直観的には無限の彼方にあるとみなせるケースが多いので、 K ? i ( X ) をコンパクト化 ( K , i )の無限遠境界といい、無限遠境界上の点を無限遠点という事がある。
X をコンパクト化する方法は一意とは限らず、複数のコンパクト化の方法がある事がある。
だから、前スレでだれか”メタ言語”だとか言っていたけど、集合の元としての∞の導入自身はそんな難しい話じゃない
”スレ主の考え方を正当化するには、数学的には、超準解析を用いないと正しい結論は出せない。”なんてのもおかしい。コンパクト化で足りる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
ニュートンやライプニッツ以来300年間厳密に定義されなかった無限小量は ε-δ 論法の登場によって一旦は追放された。
しかし1950年代に登場したモデル理論を初めて応用することで、1960年代にアブラハム・ロビンソンは超実数を考案して、古典的な無限小・無限大の概念を数学的に厳密な形で正当化し、無限小解析をそのままの形で蘇らせることに成功した。
補完数直線ということばがある
”この位相に関して、実変数 x が +∞ や ?∞ へ近づく極限や、函数の値が +∞ や ?∞ へ近づく極限を、一般的な極限の位相的定義を簡略化して定義することができる。”
なんてあるので、Σn=1-∞ Anとか、定積分記号で0から∞という記述も、それなりの数学的合理性がある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
順序構造および位相的性質
任意の（有限）実数 a に対して ?∞ ? a ? +∞ と置くことにより、実数直線 R における順序の拡張として、補完数直線 R は全順序集合になる。この順序に関して R は「任意の部分集合が上限と下限を持つ」（完備束を成す）という良い性質を持つ。
この順序から導かれる R 上の順序位相では、集合 U が正の無限大 +∞ の近傍となる必要十分条件は U が適当な実数 a に対する集合 {x : x > a} を含むことであり、負の無限大 ?∞ についても同様のことが言える。
補完数直線 R は、単位閉区間 [0, 1] に同相なコンパクトハウスドルフ空間であるから、単位閉区間の通常の距離から同相を通じて距離化可能であるが、しかし R 上の通常の距離の延長となるような距離を入れることはできない。
この位相に関して、実変数 x が +∞ や ?∞ へ近づく極限や、函数の値が +∞ や ?∞ へ近づく極限を、一般的な極限の位相的定義を簡略化して定義することができる。
ノンスタの独自性は、むしろ無限小量の導入の法だろう（下記）
↓
ノンスタの独自性は、むしろ無限小量の導入の方だろう（下記）
”任意の（有限）実数 a に対して -∞ ≦ a ≦ +∞ と置くことにより、実数直線 R における順序の拡張として、補完数直線 R は全順序集合になる。”
とある
一方、>>18 "上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。"とある
だから、おそらくは、補完数直線 R についても、数学的帰納法は適用可能なのだ
が、一つ注意が必要だろう
いま、自分が考えている前提が、（通常の）実数なのか拡張実数なのか、適宜確認が必要だろう
下記では、”通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]”などとある
だが、有限実数の”有限”とは、集合の濃度のことではない。集合の濃度としては、連続無限だ
また、有限実数の範囲の自然数（つまり集合の元として無限大を除く）を取り出しても、自然数の濃度は可算無限（その集合の元に上限は無いという意味で無限）
ここも押さえておきたい。つまり、集合の濃度としての無限と、集合の元として無限大の区別もまた、意識しておく必要があると
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%A1%E5%A4%A7%E5%AE%9F%E6%95%B0
新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。
拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。
2 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/06/19(日) 04:50:40.78 ID:suG/dCz5 [2/23]
（時枝問題をまだ引っ張ってます）
前々スレ>>2 再録 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）
１．時枝問題（数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」
（まあ、時枝記事が書いていることが分からないと、スレの住人も困るだろうから）
２．続けて時枝はいう
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列S に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd(実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字
（趣旨は同じ）
３．つづき
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， S^1〜S^(k-l),S^(k+l)〜SlOOの決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・.いま
D >= d(S^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってS^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s~k) が取り出せるので
列r のD番目の実数r(D)を見て， 「第k列のD番目の箱に入った実数はS^k(D)＝r(D)と賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
(補足)
>>4
S^k(D+l)， S^k(D+2)，S^k(D+3)，・・・：ここで^kは上付き添え字、(D+l)などは下付添え字
前々スレ>>614 再録 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」
>>6の続きを、前々スレ>>176 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）より 再録
数学セミナー201511月号P37 時枝記事より
「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」
前スレ>>224 再録 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19）
まず、数学セミナー201611月号の記事で、引用していなかった部分を、以下に引用する（＾＾；
”ばかばかしい，当てられる筈があるものか，と感じられるだろう.
何か条件が抜け落ちているのではないか，と疑う読者もあろう.問題を読み直していただきたい.
条件はほんとうに上記のとおり.無限個の実数が与えられ，一個を除いてそれらを見た上で，除いた一個を当てよ，というのだ.
ところがところが--本記事の目的は，確率99%で勝てそうな戦略を供することにある.
この問題はPeter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい.”
この部分を掘り下げておくと
１．時枝氏は、この記事を、数学の定理の紹介とはしていないことに気付く
２．”Peter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい.”と
３．まあ、お気楽な、おとぎ話とまでは言ってないとしても、その類いの話として紹介しているのだった
ついでに”コルモゴロフの拡張定理”について、時枝記事は>>6に引用の通りだが
１．”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)”と
そして、”しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.”とも
記事の結論として、”勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい”と締めくくっているのだった
２．言いたいことは、”コルモゴロフの拡張定理”を使えば、この時枝解法が成り立つという主張にはなってないってこと
３．そして、”コルモゴロフの拡張定理”を使ってブラウン運動を記述できるなら、ブラウン運動こそ、”他から情報は一切もらえない”を実現しているように思えるのだが？
＜時枝記事引用おわり＞
542 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/04(月) 00:06:31.30 ID:1JE/S25W [1/3]
時枝氏の主な主張は次の２つだろうだろう
1. 確率論を測度論をベースに展開する必要が無い
2. 無限族の独立性の定義は微妙
しかし1に関していうと時枝氏の解法は，現在の測度論から導かれる解釈のほうが自然．
（当てられっこないという直感どおり，実際当てられないという結論が導かれる）
2に関して言うとそもそも時枝氏の勘違い．
時枝氏の考える独立の定義と，現代の確率論の定義は可算族に対しては同値である
ID:1JE/S25Wさんは、>>4の引用で「えらく確率論に詳しいね。よって、”確率論の専門家”と呼ばせて貰おう」とした人なんだが
”2. 無限族の独立性の定義は微妙
2に関して言うとそもそも時枝氏の勘違い．
時枝氏の考える独立の定義と，現代の確率論の定義は可算族に対しては同値である”
については、>>11に引用した可算選択公理が使えて、選択公理が成り立たないソロヴェイのモデル（英語版）においても、可算選択公理は成り立つから
「箱がたくさん，可算無限個・・」>>32 の範囲では、”同値である”ってことと解釈している
＜前スレよりコンパクト性定理関連引用＞
118 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/06/25(土) 10:01:49.76 ID:565I2Sty [9/35]
>>6 ここに戻る
”いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.”
について、類似の記述があったので紹介しておく（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
コンパクト性定理（英: Compactness theorem）とは、一階述語論理の文の集合がモデルを持つこと（充足可能であること）と、その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値であるという定理
つまりある理論の充足可能性を示すにはその有限部分についてのみ調べれば良いという非常に有用性の高い定理であり、モデル理論における最も基本的かつ重要な成果のひとつである。
証明
コンパクト性定理は、ゲーデルの完全性定理から導くことができる。実際、一階述語論理の文の集合Sがモデルを持たないとすると、完全性定理からSは矛盾していることになるが、どんな証明も長さは有限なので、矛盾の証明に現れるSの文は高々有限個である。
よって、Sのある有限部分から矛盾が導出されること、つまりSは充足不可能な部分集合を持つことがわかる。
これの対偶がコンパクト性定理である [3]。
この他にも、超積を用いた証明も知られている。
（引用おわり）
>>457 つづき
これ、前スレ>>293で訂正したけど、現スレ>>118-119辺りのコンパクト性定理”その集合の任意の有限部分集合がモデルを持つことが同値である”みたいな記述、こういう記述が他の分野でも結構使われている例を見ると、訂正しないでも、このままで証明が成立しているようにも思えてきた。
>>119「”無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される”の対偶を考えてみると
”ある有限部分が独立で無ければ、全体として独立でない”。つまり、”独立でない有限部分を持たない”ということを、意味していると」
色に例えれば、無限族である有限部分が黒で無ければ、全体として黒でない。この対偶で、”無限族は，任意の有限部分族が黒のとき，黒，と定義される”と
だから、この定義で、無限族が黒のとき、黒い部分が有限はありえない。
考えてみると、”任意の”は、”全て”に、言い換え可能ということは、前スレの最後の方でメンターさんが指摘していた
なので、前スレ>>293の訂正は取り消しとします。二転三転で申し訳ないが、よろしく（＾＾；
>>118 つづき
”これの対偶”ってところが、aha!だった
”無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される”の対偶を考えてみると
”ある有限部分が独立で無ければ、全体として独立でない”。つまり、”独立でない有限部分を持たない”ということを、意味していると
当たり前のように思えるが、数学的には結構意味があると思った
等号成立の証明を、”>=”と”<=”とに分けるだろ。あれに似ていると
”独立でない有限部分を持たない”では、証明には使いづらい。”任意の有限部分族が独立のとき，独立”の方が使い易いだろうと
だから、”任意の有限部分族が独立のとき，（全体として）独立”という定義は、結構自然だと思うよ
また、以前に書いたように「ZFC公理系の中には無限を扱うことが公理として組み込まれているから、このように扱ったからと言って、直ちに「(1)無限を直接扱う」を否定したことにはならないと考える」>>40-41
＜前スレよりコンパクト性定理関連引用おわり＞
屋上屋だが、”一点の曇りも無い”とかいうでしょ
一点でも曇りが有れば曇りが無いとは言わない
この対偶で、「曇りが無いとは一点の曇りも無い」→「曇りが無いとは任意の有限部分に曇りが無い」と言い換えることができる
とすれば、この点からも、>>38「2に関して言うとそもそも時枝氏の勘違い」（”2. 無限族の独立性の定義は微妙”）が裏付けられると思う
つまり「任意の有限部分に」という記述を用いたからといって、”(2)有限の極限として間接に扱う”>>36とは言えないよと
「文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。」と
”有限実数”もまた紛らわしい表現だ
しかし、”有限実数”もまた集合としては、無限なんだ。
つまり、”有限実数”の任意の要素aはすべて有限だったとしても、要素aに上限がないという意味で集合としては文字通り”無限”なのだ（コンパクト化されていないだけ>>27）
Tさんが、時枝記事が正しいとすると、”独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”、「”数学的帰納法は不完全””実際には反例が存在するから不完全ではない」ということであれば
その対偶は、”数学的帰納法が正しければ、時枝記事は正しくない”となるのだった
この点も一つ指摘しておきたい
(最初の命題が厳密に証明されたわけではないが)
「曇りが無いとは一点の曇りも無い」こと
現代確率論の確率変数の無限族は、そうなっている
が、それではしばりがきつすぎる
”あの当時とは違って、今はゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）、
また流行りのファイナンスとか、そういうのが『Kolmogorovの公理系から
ははみ出してる』という印象でしょう”>>14
という￥さんの問題意識。それが時枝先生にもあるのではと（それは記事中には明記されていないが）
それはそうかも知れないと、思った
でもそういう主張なら、雑誌記事としては、別の書き方であるべきとも思う
数学基礎論とか、数学的帰納法をデデキントまで遡ってとか
コンパクト性定理ね、知らなかった
拡張実数もあらためて勉強したし、コンパクト化>>27なども面白いよね
ああ、位相の開集合も勉強させてもらったし、関連して極限と収束も再認識しました
ノンスタも、メタメタなんていうけど、∞の元の導入だけなら、射影幾何やリーマンの時代からある話。ノンスタのオリジナルは、無限小元の導入だよ
いろいろ勉強させて頂いたのもみなさまのお陰
また、私がうまく説明できない時枝記事の問題点について、明確に示して頂いた>>4”確率論の専門家”の方には厚くお礼申し上げます
￥さんは、さすがに博識だね。いろいろ教えて頂きました
おっちゃんにも、Kontsevich-Zagier の「周期」の話を教えて頂きました。吉永正彦の「周期と実数の0-認識問題: Kontsevich-Zagier の予想」（数学書房）買いました。これ、なかなか面白いね。積分を使うなんて、だれでも考えそうだが、コロンブスの卵かな
証明おじさんも、つっこみかぼけか、よく分からんキャラだが、良い味だしてました
まあ、いろいろありがとうございました
時枝の記事はスレ主には荷が重過ぎたな
最初から最後まで誤解しまくりだ
独立性に関して、"無限個をいっぺんに扱う"ことが可能であるならば時枝さんの考えは間違ってない
俺はそんな方法を知らないが
いわゆる(2)の方針で
「無限個の共通部分は、その任意の有限個の(部分)共通部分が開集合であるとき、開集合であるという」
と定義すること自体はできるだろう
でもこれは無限個の共通部分を直接扱うときの結論とは矛盾する
だからこのようには定義されない
"無限個の独立性を直接扱えるならば"
「全体が独立でない⇒独立でない有限部分が存在する」
が真ではなくなるだろう
だから対偶は成り立たない
何度もいうけどそんな(""の部分)方法は俺は知らないけどね
538 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:54:57.90 ID:f9oaWn8A [13/13]
うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな
>>6
>確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
の認識が少しまずい．
任意有限部分族が独立とは
P(∀i=1,…n,X_i∈A_i)=Π[i=1,n]P(X_i∈A_i)ということだけど
これからP(∀i∈N,X_i∈A_i)=Π[i=1,∞]P(X_i)が成立する（∵n→∞とすればよい）
これがきっと時枝氏のいう無限族が直接独立ということだろう．
ということは(2)から(1)が導かれてしまったので，
「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ
前スレより吉永正彦関連抜粋
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~yoshinaga/jindex.html
吉永正彦 北海道大学 数学部門
(抜粋)
「周期と実数の0-認識問題: Kontsevich-Zagier の予想」（数学書房）が 出版されました。
「周期」とはKontsevich-Zagierによって導入された「積分表示を持つ数」の クラスです。Kontsevich-Zagierの予想とは、大雑把に言うと、 円周率πに関する無数にあるように見える公式は、実は『本質的に』一種類しか ないのではないか、という方向の予想です。
まえがきと目次 を公開します。(28 Mar. 2016)
http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~yoshinaga/research/maegaki.pdf
まえがきと目次
https://www.amazon.co.jp/dp/4903342425
周期と実数の0-認識問題: Kontsevich-Zagierの予想 (問題・予想・原理の数学) 単行本 ? 2016/2/16 吉永 正彦 (著)
http://arxiv.hatenablog.com/entry/2016/04/09/131732
2016-04-09
書評「周期と実数の0-認識問題」 - arXiv探訪:
(抜粋)
ツイッターで宣伝されていたので購入し読んでみた。端的に言えば、面白かった。
関連のご紹介
http://www2.kobe-u.ac.jp/~mhsaito/documents/0808saito-period.pdf
周期：積分で表わされる数について 齋藤政彦 神戸大学 2008
(抜粋)
1 はじめに
今回の講演では, 周期という特別の複素数のクラスを扱いたいと思います．主に
M. コンツェビッチとD. ザギエの論説[2] と最近の神戸大の吉永正彦のプレプリン
ト[4] を参照しつつ, 数に関する新しい感覚と数学の広がりをお伝えできればと思い
ます.
arXivの方
https://arxiv.org/abs/0805.0349
arXiv.org > math > arXiv:0805.0349
Periods and elementary real numbers
Masahiko Yoshinaga
(Submitted on 3 May 2008)
https://arxiv.org/pdf/0805.0349v1
https://arxiv.org/abs/0805.0349
arXiv.org > math > arXiv:0805.0349
Periods and elementary real numbers
Masahiko Yoshinaga
(抜粋)
3 Periods are elementary
3.1 Main result
Now we can state the main result.
Theorem 18. Real periods are elementary real numbers, i.e.,
P ⊂ R(Elem).
So the real number α constructed above (10) is not a period.
（引用おわり）
平たく言えば、周期の集合Pは、初等的実数の集合 R(Elem)に含まれるという
さて
https://www.amazon.co.jp/dp/4903342425
周期と実数の0-認識問題: Kontsevich-Zagierの予想 (問題・予想・原理の数学) 単行本 2016/2/16 吉永 正彦 (著)
の方だが、類似の記述が、
第2章P40
「梅村の古典数は代数的数と多くの算術的な香りのする超越数を含む有用な集
合に見える.実際， Ayoubの結果(2.15)を使うと周期は全て古典数であること
が分かる(定理7.27)」などとある。
Ayoubの結果(2.15)は、後の引用文献では、2014-2015に発表されている
なので、>>52の吉永のarXiv (Submitted on 3 May 2008)より後だが、強い結果のようだ
単行本の方を読んでいて、arXivの記述 との関連が希薄だと思ったが、どうもそういうことのようだ
arXivの解説部分があるかなと思ったが、それはないみたい
薄い本だから、それを記述すると他に書くことをけずらないといけないんだろうね
この本はこれで結構面白い
> ”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ
これこそが記事の読み違いで的外れ
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~mhyo/jindex.html
吉永正彦
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~mhyo/jarticles.html
日本語で書いたもの
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~mhyo/petitperiods.pdf
私のおすすめ--Periods 吉永正彦 2008年6月
(抜粋)
私のおすすめ? Periods
2001 年に出版された“Mathematics Unlimited
? 2001 and Beyond” は多くの数
学関係者の21 世紀に向けた夢が語られてい
て大変お買い得な一冊です。その中から私
が個人的に衝撃を受けた論説“Periods” (by
M. Kontsevich and D. Zagier)1を紹介した
いと思います2。“Periods” は端的に言えば
「(実) 数」に対する新たな視点を与え、実数
の根幹にかかわる深く基本的な予想を立て
ています。
まずは次の三つの数を見てください
（中略）
問題は二つの実数が等しいことを示せとい
うものでした。しかし我々の証明ではそれ
ぞれの値を求めることをしていません。値
は求めず、それぞれの実数を表示する積分
のレベルで変形できるということを示して
います。ちなみに積分の変形ルールとは
(1) 線形性、(2) 変数変換、(3) 微分積分の
基本公式
の三つです。実はP の等号は常にこの三つ
のルールだけで説明できるのではないか、と
いうのが彼らの予想です。
おれは、全面的に ID:f9oaWn8A さんに賛成だな
落合 理 の ホームページ
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kougiroku.html
授業ノートや教育的講演の原稿などの教育的資料
http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/olympic2010.pdf
2010年度「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 講演録pdf
数の体系の広がり,周期積分,そして整数論-代数と幾何と解析の交わる世界-落合理
Contents
1.数の体系の広がりと諸相
1.1.有理数と実数
1.2.複素数体と代数学の基本定理
1.3.代数的数
1.4.超越数
2.ゼータ函数
2.1.リーマンゼータ関数とは
2.2.リーマンゼータ関数の整数点での特殊値
2.3.高次のゼータ関数
3.数論的多様体の周期積分
3.1.周期とは
3.2.周期の幾何的な背景?レムニスケート関数の場合を通して?
4.数論的周期とゼータ関数の特殊値とのつながり
References
(抜粋)
3. 数論的多様体の周期積分
3.1. 周期とは. Kontsevich とZagier の概説論文[KZ] を参考にして周期という概念を導入
したい. 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:0be15ced7fbdb9fdb4d0ce1929c1b82f)
ID:f9oaWn8Aの数学が正しいかどうかじゃなくて、記事の意図を汲めてるかどうか
前のスレで指摘があったでしょう
だから俺は口が酸っぱくなるほど大学一年生の教科書から地道に勉強しろと諭してるんだが
こいつは馬鹿の自覚が無いからちっとも言うこと聞かんのよ。
「馬鹿は死ななきゃ治らない」とは云うけど、これほどフルボッコされて未だ自覚できない
奴も珍しいよ。ある種の才能だね。マイナスの才能。
Ayoub先生
http://user.math.uzh.ch/ayoub/
Joseph Ayoub
Professor Institut of Mathematics University of Zurich
Preprints and Papers:
http://user.math.uzh.ch/ayoub/PDF-Files/periods-GKZ.pdf
Periods and the conjectures of Grothendieck and Kontsevich-Zagier. Newsletter of the European Mathematical Society, March 2014, Issue 91. (pdf)
http://user.math.uzh.ch/ayoub/PDF-Files/rel-KZ.pdf
Une version relative de la conjecture des periodes de Kontsevich-Zagier. Annals of Mathematics (2) 181 (2015), no. 3, 905-992. (pdf)
528 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:03:57.29 ID:f9oaWn8A [8/13]
おれが問題視してるのはの可測性
正確にかくために確率空間(Ω,F,P)を設定しよう
Y,Zはそれぞれ(Ω,F)から(R,B(R))の可測関数である．
もしhが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数ならば
h(Y),h(Z)はそれぞれ可測関数となって{ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)}∈FとなりP({ω|h(Y(ω))>h(Z(ω)})=1/2となるけど
hが(R,B(R))から(N,2^N)への可測関数とは正直思えない
529 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:04:46.18 ID:f9oaWn8A [9/13]
>>528
自己レス
(R,B(R))ではなくすべて(R^N,B(R^N))だな
531 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:11:40.23 ID:f9oaWn8A [10/13]
ああ，正しくはP(h(Y)≧h(Z))≧1/2か
まあどちらにせよhが可測性が問題となることは間違いない
532 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:15:17.47 ID:f9oaWn8A [11/13]
>>530
>2個の自然数から1個を選ぶとき、それが唯一の最大元でない確率は1/2以上だ
残念だけどこれが非自明．
hに可測性が保証されないので，d_Xとd_Yの可測性が保証されない
そのためd_Xとd_Yがそもそも分布を持たない可能性すらあるのでP(d_X≧d_Y)≧1/2とはいえないだろう
535 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/07/03(日) 23:33:06.50 ID:f9oaWn8A [12/13]
>>534
非可測であることに目をつぶって計算することの意味をあまり感じないな
直感的に1/2とするのは微妙．
むしろ初めの問題にたちもどって，無限列から一個以外を見たとこでその一個は決定できないだろうと考えるのが
直感的にも妥当だろう
笑える
ここは腐っても数学板だ
間違った側から正しい側への攻撃は、全く効かないし、攻撃は全部間違った側にはね返っていくんだよ（＾＾；
まあ、ここらの ”確率論の専門家”さん抜粋を見ると
明らかに、 ”確率論の専門家”さんのレベルは、Tさんや貴方たちより上と思った。勿論、私よりも上だが
「うーん，正直時枝氏が確率論に対してあまり詳しくないと結論せざるを得ないな」>>50なんて発言は、とても学部大学生のレベルとは思えない
（当然私には言えないよ、「確率論に対してあまり詳しくない」などと）
で「ID:f9oaWn8Aの数学が正しいかどうかじゃなくて、記事の意図を汲めてるかどうか」なんて議論をゆがめているけど
ID:f9oaWn8Aの数学が正しい→時枝解法不成立かつ
”「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンス
確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”などと時枝氏は言ってるが，これは全くの的外れ”>>50
ということ
時枝解法不成立かつ、「(1)という強い仮定をしたら勝つ戦略なんてあるはずがない」（”確率変数の無限族の独立性の微妙さ”）時枝氏の主張ははっきり言ってナンセンスだと
この二つを時枝記事から消したら、あと何が残るんだ？
ほらねｗ 馬鹿の自覚が無いでしょ？ｗ
周期と実数の0-認識問題: Kontsevich-Zagierの予想 (問題・予想・原理の数学) 単行本 2016/2/16 吉永 正彦 (著)>>53
の引用文献のAyoub先生の論文9,10が、Ayoub先生のホームページからPDFが落とせて読めるんだ
すごい時代だね
もっとも、Une version relative de la conjecture des periodes de Kontsevich-Zagier. Annals of Mathematics (2) 181 (2015)なんてフランス語だから余計だ
もっとも、PDFからコピペで、ネット翻訳で、仏→英で少しは読めるようになるけど＊）
そうやっても、内容が高度すぎて、そこまでやる気にならない
＊）例えば
仏：UNE VERSION RELATIVE DE LA CONJECTURE DES PERIODES DE KONTSEVICH-ZAGIER
英：VERSION ON GUESS PERIODS Kontsevich-Zagier
て感じだけど、CONJECTUREを GUESSと訳しちゃったのか、おい（＾＾；
まあ、ぼけかな
￥さんなんか、フラ語よめるんだろうね（＾＾；
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1462577773/564
564 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/06/11(土) 17:16:26.13 ID:VGLvBdIb [25/26]
＞数学的帰納法は、ZFCの選択公理と無限公理を認めるなら、”n=∞でも成り立つ”>>330で良いということは、ご理解いただけましたか？（＾＾；
間違い。数学的帰納法は自然数についてしか言っていない。∞は自然数でないから間違い。
実際に反例を示す。
R の開集合全体を O(R) と書く。
O(R) から n 個の元を任意に取り、適当に添え字を付ける。すなわち
O_i∈O(R)（i=1,...,n）
今
∪[i=1,n]O_i∈O(R)
であることを P(n) と書く。
空集合は R の開集合であるから P(0) は真である。
A,B∈O(R) ⇒ A∪B∈O(R) であるから、P(n) は真 ⇒ P(n+1) は真である。
実際、∪[i=1,n+1]O_i = (∪[i=1,n]O_i)∪O_(n+1) であるから、
∪[i=1,n]O_i∈O(R) ならば、A,B∈O(R) ⇒ A∪B∈O(R) より、∪[i=1,n+1]O_i∈O(R) である。
よって数学的帰納法により、n∈N ⇒ P(n)は真である。
お前は P(∞) が真だと言ったが、反例が存在する。よってお前の発言は大間違い。
（引用おわり）
これが証明だあ〜？
まず、証明の前提となる命題の明記がない。従って、何に対する反例かが定まらない
「反例が存在する」というが、反例の存在自身は明示されていない
徹頭徹尾証明の体を成していないのだった
証明を書き慣れていないことが丸分かりだったね（＾＾；
これが証明だと胸を張る証明おじさん
しかし、見る人が見れば、数学のレベル丸分かり
思うに、数学の記述問題がある大学入試レベルにさえ達していないと思う（＾＾；
まあ、数学科で学んでいるのではなく、独学で数学やっているんだろうね・・
が、そんなレベルの人から、なにを言われようが、無意味だし、相手にしないのが得策というものよ（＾＾；
体裁がどうこうなんて吹っ飛ぶアホ発言をわざわざ自分でコピペする馬鹿ｗ
何でそんなに馬鹿自慢したいのか理解に苦しみますｗ
いいえ、理解しません。反例が存在しますので。アホですか？
では理解したという数学的帰納法を証明してみたまえ。
さぞ立派な証明が書けることだろう。
おっと、証明を書かない主義とかは勘弁なｗ
梅村 浩先生の「古典数について」のPDFがある
まあ、以前紹介したかも知れないが
http://mathsoc.jp/publication/dbase/sugaku/article003.html
日本数学会 「数学」− 論説 3
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/41/1/41_1_1/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/41/1/41_1_1/_pdf
古典数について 梅村 浩1)数学 Vol. 41 (1989) No. 1 P 1-15
↑
聞いたことがある言葉並べただけｗ 結論が大間違いｗｗｗ
にもかかわらず ”理解いただけましたか？（＾＾：” って恥ずかしいにも程があるだろｗｗｗ
382 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/02(土) 12:46:51.42 ID:6WAr0Pko [12/50]
>>378
>得意技 二枚舌出たあ〜ｗ
そう褒めないで、照れるな〜。三枚・四枚もありですよ、私ら。いくらでも（＾＾；
（前スレより引用）
733 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/06/17(金) 21:51:21.62 ID:sLJ89lT1 [1/5]
どうも。スレ主です。
\さん、みなさん、謝らないといけない
全く理解が浅かった
先週数学的帰納法について述べたことについては、多くを撤回します
みんな分かってたんだ。分かってないのは、私だけ
（引用おわり）
前スレで謝って、多くを撤回したので、百枚くらいかな
ところで、なんか勘違いして、元気になってませんか？
＜引用おわり＞
いまの私の数学的帰納法の理解は、上記>>6-12です
「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」、「数学的帰納法は演繹法である」です
数学的帰納法に反例がある？ ご冗談でしょう（＾＾；
（>>7 "さて、時枝解法成立派>>327が、”「１．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ、２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ」（「数学的帰納法は不完全であると言える。・・ その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」前スレ >>382）”>>27と言い出した"）
だから一部分だけ切り取るのは卑怯者のすることだと何度言わせる？
全文を引用した上で、”その反例”の”その”が何を指しているか（何を指しているとお前が認識しているか）を答えなさい
と何度言わせる？
お前が答えさえすればお前の勘違い（お前以外は誰も勘違いしていない）が明らかになるんだよ
ほれ、さっさと答えろやアホ
＞いまの私の数学的帰納法の理解は、上記>>6-12です
そんなものは理解とは言わない。数学では自分で証明できて初めて理解したと言える。だからさっさと証明を書け。
責任逃れをするわけじゃないが、言い訳をすると
そもそも、>>20 Tさん「＞６．これを繰り返すと、有限部分族に上限はなく、”常に有限個の組でしかなく”に反する
ここがおかしい
また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ」
正確には 19スレ http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1462577773/295 295 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/05/27(金) 23:53:53.12 ID:UVhMlqM5
と言いだした。これが、帰納法とn=∞がからみ出した最初なんだ
それに引っ張られて、乗せられてしまった、未熟なスレ主ではあった（＾＾；
でも、良く考えると、時枝問題は>>32「箱がたくさん，可算無限個ある」ってことだから、n=∞を持ち出すのはおかしいんだよね
（∵自然数の集合Nは可算無限の濃度だから、箱に１から連番をつければ、n=∞を考える必要は無かったんだ。n=∞なしで、可算無限の濃度（可算無限個）は言えたんだ）
でも、続けて、証明おじさんがチョウチンをつけた
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1462577773/310
310 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/05/28(土) 11:04:41.65 ID:rEES5QT5
＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ
（引用おわり）
そういう経緯なので、責任としては、数学的帰納法の理解が浅く、Tさんの間違った理解と証明おじさんがチョウチンに脳波を狂わされた私がバカということだけど
言い訳をすれば、経緯は上記の通り
で、結論は、Tさんも、それにチョウチンを付けた証明おじさんも、同じ穴の狢さ（＾＾；
>これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ
で、(>>144)が下記。ここから、開集合の話が絡んできたんだ。が、時枝問題とは何の関係もないことは、>>77に述べた通りです（＾＾；
http://wc2014.2ch.sc/test/read.cgi/math/1462577773/144
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19 [無断転載禁止]©2ch.sc
144 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2016/05/18(水) 00:22:26.33 ID:DGquPMc9 [1/2]
スレ主に丁度良い問題をあげよう
１．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ
２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ
さっさと証明を書け そっちが肝心だ
で、
>「＞６．これを繰り返すと、有限部分族に上限はなく、”常に有限個の組でしかなく”に反する
> ここがおかしい
>また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
> とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ」
>＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
>これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ
とこれに自ら乗り出して、>>78の開集合の例が、帰納法不成立の例だと。反例があると
証明おじさんが書いた証明が、>>68です
なにを証明しているのかさっぱり分からんかった（記号∪と∩とを取り違えとったしね）（＾＾；
で、戻ると、無限というのは、n=∞という集合の要素という話とは別に、自然数の集合に上限がない（言い換えればコンパクトではない）という意味もあり
時枝問題の「箱がたくさん，可算無限個ある」は、後者の意味だったわけです
それを早く指摘してあげることが出来なかった未熟を反省しています（＾＾；
これが証明だと胸を張る証明おじさん
しかし、見る人が見れば、数学のレベル丸分かり
思うに、数学の記述問題がある大学入試レベルにさえ達していないと思う（＾＾；
まあ、数学科で学んでいるのではなく、独学で数学やっているんだろうね・・
が、そんなレベルの人から、なにを言われようが、無意味だし、相手にしないのが得策というものよ（＾＾；
＞帰納法不成立の例だと。反例があると
つまり”その反例”の”その”とは数学的帰納法であるとお前は認識しているってことでいいな？
はい、大間違い。誰もそんなこと言ってない。その証拠にそんなアホな勘違いしているのはお前だけ。
お前が勝手に勘違いして勝手に馬鹿晒して勝手に人に噛みついているだけ。
だがそんなことはどうでもいい。お前の馬鹿には興味ない。
早く証明を書け。肝心なのはそっちだ。
＞自然数の集合に上限がない
何を言いだすかと思えばｗ
はいはい、早く証明書こうね
あ、書けないから
＞が、そんなレベルの人から、なにを言われようが、無意味だし、相手にしないのが得策というものよ（＾＾；
などと逃亡の準備してるんですね？わかりますｗ
各番号iに対してU_i:=(-1/i,1/i)とする
U_iは開集合である
(2)の方針を適用すると、任意の有限個の自然数からなる自然数の部分集合Mに対して、Mには最大元が存在する。
これをmとすると、
∩_[j∈M]U_j={x∈R|∀j∈M,x∈U_j}=U_m=(-1/m,1/m)
となるので、任意の有限個の共通部分は開集合となる
一方、共通部分の定義から、
∩_[n∈N]U_n={x∈R|∀n∈N,x∈U_n}
である
このことから容易に∩_[n∈N]U_n={0}であることがわかる
(1)の方針を適用すると、無限個の共通部分は開集合でない
問題は(1)の方針を無限族の独立に適用する方法があるかどうか
(1)と(2)が同値というのは間違い(少なくとも時枝さんの考えとは違う)で、数学では(1)の方針で無限族の独立性を扱う方法が(今のところ)ない、というのが正しいのではないか
無限を扱うのに(1)の方針と(2)の方針で結論が異なることは開集合の例でわかる
http://www.minamiazabu.net/math/tsubuyaki/141023/141023-4.html
SSH と 数学
この夏の思い出，数学の課題研究，または 方程式のガロア群 140921 初版 141019 更新
(抜粋)
5次方程式の解法の考察
数学の課題研究のテーマを決める際に， 話 をして彼らが選んだのが，高次方程式でした。
多少数学に興味のある生徒ならガロアのことを知っています。 先日結城浩さんの話を聞く機会がありましたね。 (私の感想はこちら) 私も同感で，ガロアの理論を高校生にも知ってもらいたかった。 むしろ，大学生になってから洗練された理論を学ぶより， 課題研究なら泥臭い計算をさせたかった。
5次方程式に解の公式がないのは，有名な話ですが， 5次方程式にも開法で解けるものがあるのは， 論理が未熟な高校生にはあまり知られていません。 例えば，x^5?2=0 です。
ちなみに， この方程式のガロア群は 位数20 のフロベニウス群といわれるものです。
彼らの数学の実力は高校入学時から知っていましたから， 彼らがこのテーマを選んだ時に， まず，私は師匠からもらったプリントをコピーして， 3次方程式，4次方程式の解法を研究せよといいました。
また，ガロア理論を学びたいというのが， 彼らの裏の目標でしたから， まずは，彌永先生の「ガロアの時代 ガロアの数学」で 原論文を読んでみなさい，と指示しました。
その中で彼らと私が選んだのが， 雪江先生の「代数学 1 2 3」でした。
http://www.minamiazabu.net/math/tsubuyaki/141023/141023-42.html
その２ 3次方程式
http://www.minamiazabu.net/math/tsubuyaki/141023/141023-43.html
その３ 4次方程式
(抜粋)
課題研究をしている彼らに，a, b はこの4次方程式の根ということだろう， と問題の見方を紹介して じゃあガロア群は何? と 問いかけました。 クラインの四元群じゃないでしょうか と答えてきました。 1月時点で彼らの学習・研究はそこまで辿り着いていました。
つづく
http://www.minamiazabu.net/math/tsubuyaki/141023/141023-44.html
その４ 5次方程式
(抜粋)
年明け前後に彼らが得た結果は， x1 たちを5次方程式の根として，
p1=x12(x2x5+x3x4)+x22(x1x3+x4x5)
+x32(x1x5+x2x4)+x42(x1x2+x3x5)+x52(x1x4+x2x3)
が， 彼らのいう C20 の元の作用で不変だということです。
C20 = F5 = < (1 2 3 4 5), (2 3 5 4) >
正直驚きました。 5次方程式の群で可解となる最大の群や 基本的な群論の知識， 置換群による作用の様子，計算， そして，式を見る洞察力，と すでに私の予想を超えていました。 私はただ すごい発見じゃない とたたえるだけでした。
私は先述のように，体の自己同型としてガロア群をとらえていて， 学生時代にガロア群を求め方を考えたこともありましたが， それには方程式の根が必要でした。 彼らは，ガロアの主著を基本にして， 不変式を見つけたのです。
その後，彼らは 参考文献 [D] の Dummit の定理を 誰からもヒントを与えられずに，独自に再発見するのです。 途方もない計算のすえに。
彼らが独自に見つけたことは，定理と名乗ってよいこと， 可解判定規準 と名付けてよいこと，を助言しました。 そして，可解なものの具体例をあげよう といったら， x5+15x+12=0 を作ったのです。
つづく
発表会
4月に行われた校内の発表会では， 生徒はおろか，大人も彼らの発表に圧倒されました。 むしろ，生徒は彼らのすごさを分かっているので， 大変なことをやってのけたことを肌で感じていたかもしれません。
高校生どうしで議論できない研究は， 課題研究向きではないのではという意見もありました。 ですが，彼らが疑問に思ったことを，考え抜いて答えを出したことは， 称賛に値しますし，それだけで， 研究をした意義があります。 特に数学は，なにものからも自由であるべきです。 役に立つとか，誰かのためになる研究ではないはずです。
また，このような高度な研究には大学院生のような TA を つけるべきだという意見も同じ人からありました。 その意見を聞くと， 若手の数学者と対話する機会を設けてあげればよかったな とも思いますし， 私たち高校数学科教員のレベルを軽んじているとも取れます。
いずれにしても， 高校生は定理の再発見でもよいと考えています。 洗練された最先端の理論を学ぶよりも， 定理を発見する道のりを一歩一歩辿っていくほうが， 時間の使い方としてはいいようで， そこから理論化，問題解決法を身につけるようです。
なにより，自力で考え抜く姿勢をつけさせたいと思っています。 答えのあるものなら答えがネットに転がっています。 ただ，多くの人から正当な評価は早くから与えてあげればよかったと思います。
ですが，私は研究の方向性だけ指導したのですが， それは彼らのためになったと考えています。 大学の先生の研究指導に近いことをやらせていただき， 私自身も数学の知識や指導法など，たくさんのことを学びました。
（抜粋引用おわり）
これはどこの高校の話か分かりませんが、素人さんの参考にはなるでしょう
サークルＫサンクス(笑
またヒマなときに読ませてもらう。
ところで私は今日の午前中に解説を書き上げてしまった。全部で36ページ。
午後に図書館からコックス「ガロアの理論（下）」を借りて来て、
第八節の参考になりそうな箇所だけパラパラと見てみたが、
結局何の参考にもならなかった。
ところでスレ主は私が前スレで挙げた質問をどう思うか。
第五節にガロアが挙げている
（θ＋αθ1＋…）＾p
という式はｐが素数でなくても成立するのか。
素数でなくても、この式の値が不変であることは確かめた。
問題は、この式の値が有理数になるかどうかである。
もし素数でないなら成立しないなら、
第七節の後半の議論は成立しないように思える。
ちなみにこの式の値は全体の群に適用したときは有理数になるが、
部分群に適用したときは有理数にはならない。
私が最初に考えた方法でも通用することを確認した。
ただしそれがガロアが考えていたことと同じかどうかは不明である。
また三森氏の解説は、第七節に関しても一箇所間違いがあることを知った。
素人さん、どうも。スレ主です。
素人さんの突っ込みはいつも鋭いね
Q1
ところでスレ主は私が前スレで挙げた質問をどう思うか。
第五節にガロアが挙げている
（θ＋αθ1＋…）＾p
という式はｐが素数でなくても成立するのか。
A1
１．よく数学で言われるところの、ｐは素数に限定しても一般性を失わないというのが答えだと思う
２．例えば、n=p1*p2と二つの素数p1とp2と二つの素数の積から成るとすると、nのベキ根はp1のベキ根とさらにそのp2のベキ根を取れば良いから
３．具体的には、aのベキ根を考えるとして、a^(1/n)=a^(1/(p1*p2))=a^((1/(p1)*(1/(p2)))=(a^((1/(p1)))^(1/(p2))という式変形だ
４．で、n=p1*p2で、（θ＋αθ1＋…）＾n として良いかだよね？ うーん、考えたことが無かったね。すぐに答えられないね。なにか不都合が起きるかだが・・
（n=p1*p2と素因数分解して適用する場合と、素因数分解しないでa^(1/n)でそのまま適用した場合で差があるかの問題だが・・。ガロア理論としては素因数分解するのが筋だが）
Q2
もし素数でないなら成立しないなら、
第七節の後半の議論は成立しないように思える。
A2
その心配はないよ。なぜなら、nがもし素数でないならnをn=p1*p2などと素数に因数分解して、各p1,p2・・・に上記を適用すれば良いから
あとは良いかな
２．例えば、n=p1*p2と二つの素数p1とp2と二つの素数の積から成るとすると、nのベキ根はp1のベキ根とさらにそのp2のベキ根を取れば良いから
↓
２．例えば、n=p1*p2と二つの素数の積から成るとすると、nのベキ根はp1のベキ根とさらにそのp2のベキ根を取れば良いから
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%97%E7%81%AF%E3%81%AE%E4%B8%8B%E3%81%A7%E9%8D%B5%E3%82%92%E6%8E%A2%E3%81%99
抜粋
街灯の下で鍵を探す（がいとうのしたでかぎをさがす）は、古くはアラブに起源があるというたとえ話。多くの変種がある。
概要
ある公園の街灯の下で、何かを探している男がいた。そこに通りかかった人が、その男に「何を探しているのか」と尋ねた。
すると、その男は、「家の鍵を失くしたので探している」と言った。
通りかかりの人は、それを気の毒に思って、しばらく一緒に探したが、鍵は見つからなかった。
そこで、通りかかりの人は、男に「本当にここで鍵を失くしたのか」と訊いた。すると、男は、平然としてこう応えた。
「いや、鍵を失くしたのは、あっちの暗いほうなんですが、あそこは暗くて何も見えないから、光の当たっているこっちを探しているんです」
教訓
この譬え話は、さまざまな教訓として解釈されており、特に学問研究に関するものが多い。その場合、次の状態を揶揄するものと理解されている。
本当に重要なところはどこか分かっているが、そこは分析する方法がない。そこで、光が当っているところばかりが研究されている。
異なった解釈
野口悠紀雄は、「街灯の下で鍵を探す」という喩えを「分析できるところから研究すべきである」という意味で捉えている。野口によれば、物理学が進歩したのは、「街灯の下原則」に狙っていたからだという[4][5]。
こうなると、「街灯の下で鍵を探す」という喩えの原意が、まったく反対になっている。
そこに突然のように、開集合の話
果たして、”本当に重要なところはどこか分かっているが、そこは分析する方法がない。そこで、光が当っているところばかりが研究されている”の例にならないだろうか？
はたまた、”野口悠紀雄、「街灯の下で鍵を探す」という喩えを「分析できるところから研究すべきである」という意味で捉えて”良いものか（＾＾；
> 突然のように、開集合の話
その話は数列がとる値に数列の極限の値が含まれていなくても問題ないことをスレ主が理解していないことが
発端だったから別に話の流れとして突然でもないと思うが
スレ主の回答を見ると、
スレ主はおそらく第七節の後半の意味を考えたことはなく、
第七節に関する解説も読んだことがないのではないかと疑われる。
スレ主以外誰の反応もないところを見ると、
その他の連中も考えたことも解説を読んだこともないのではないか。
ご都合主義はどんな学問にも存在する。
>5次方程式に解の公式がないのは，有名な話ですが， 5次方程式にも開法で解けるものがあるのは， 論理が未熟な高校生にはあまり知られていません。 例えば，x^5?2=0 です。
>
>ちなみに， この方程式のガロア群は 位数20 のフロベニウス群といわれるものです。
その方程式は前スレでもあがっていた２項方程式の特別な場合だね。
100〜のスレッドの続きを読む
