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数学の本第78巻
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理系への数学 ２
\section{TeX の時間} %%% 第 XI 節 %%% Part.2
πって本当に無理数なの？
- 1 ：2012/03/14 〜 最終レス ：2020/05/08
- もしπが有理数だったら、文科省泣いちゃうよ？
- 2 ：
- 文科省なんて泣かせてしまえ。但しその方法ではアカンけどナ。
猫
- 3 ：
- πが有理数であると信じたい！！
- 4 ：
- なら証明しないとね
- 5 ：
- π^πは無理数または有理数であると信じている
- 6 ：
- >>1
文科省はπ＝３でやろうとしてたから泣かないだろう
今だってπ＝3.14だよ？
- 7 ：
- 与えられた長さの半径を持つ円に対し、定規とコンパスによる有限回の操作でそれと同じ面積
の正方形を作図することができると信じたい
- 8 ：
- いつか任意の角が三等分できる方法が見つかると信じてるわ
- 9 ：
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 10 ：
- 俺はπは無理数なんじゃないかとそろそろ思い始めているが、
πを解としてもつ有理数係数の代数方程式が存在するという信念を
未だに捨てていない。
- 11 ：
- 他スレで見つけたサイトに高校の知識でπとeが無理数と証明してあるプログあるよ。√2もあるけどいらんよね。
http://www.altmc.jp/stuff/2012/03/post_2.php
http://www.altmc.jp/stuff/2012/02/ef.php
- 12 ：
- パイはフーリエ級数で表現されるから
- 13 ：
- >>11
√2 の無理数性は
http://ohkawa.cc.it-hiroshima.ac.jp/math/math_pro_a003.htm
に何通りかの証明法が載っている。
- 14 ：
- 2π=360
π=180
- 15 ：
- π=4(Σ(-1)^n/(2n+1))
- 16 ：
- 1/(4n+1)-1/(4n+3)=2/(4n+1)(4n+3)
- 17 ：
- >>14
弧度法ワロタ
- 18 ：
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 19 ：
- >>14
すごく深いな
- 20 ：
- sage
- 21 ：
- 最近東大が円周率は10桁で割り切れたとか言ってたな
- 22 ：
- 11の証明何気にすごくね？
- 23 ：
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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- 29 ：
- 小平邦彦の「数学の学び方」って本に証明が載ってたな
ttp://www.amazon.co.jp/dp/4000055119
内容は>>11と同じ
- 30 ：
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- 33 ：
- 何らかのホモトピー集合を表しているのだったら違うだろうな。
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- 36 ：
- 定年間近で基礎数学の独習に躓いたことを告白する小平教授。
他の人も人間味のある話が満載で面白いのに絶版なのな。
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| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
| |::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､ ﾋﾆ二、 ＼
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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| | | / / ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/ 私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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- 42 ：
- 証明を見たが何かいてあるかさっぱりだった
- 43 ：
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, '´ _. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
／ ／:::::; -‐''" `ｰノ
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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. | ＼ ∠イ ,ｲイ| ,`-' | 頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 55 ：
- 小ネタ：円周率π = 0 であることの説明
e^πi = -1 オイラーの式 → 2乗する
e^2πi = 1 自然対数 log をとる
log ( e^2πi ) = log ( 1 )
2πi = 0 よって、
π= 0
- 56 ：
- logは多価だから説明になってない
ちゃねらは馬鹿
- 57 ：
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
| ／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼ /,ﾆﾆ､＼ それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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- 58 ：
- (~)
γ´⌒｀ヽ
{i:i:i:i:i:i:i:i:}
（ ´・ω・）
(:::O┬O
◎-ヽJ┴◎
- 59 ：
- >>56
うそ（ネタ）はうそ（ネタ）であると見抜ける人でないと・・・
- 60 ：
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| ` -'＼ ｰ' 人 一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
| /(l ＿＿／ ヽ、 良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
| （:::::`‐-､__ |::::`､ ﾋﾆﾆヽ、 あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
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- 62 ：
- >>61
こいつが嫌がらせしか出来ないクズだという風評は事実のようだ。
生まれつき愚鈍で下司な非人乞食に劣る部落民の分際で、
己れが何か人並みの存在であるかの如くに勘違いし
のぼせ上がっていたことも証明されている。
数学はなに一つ知らぬ無知無学な卑賤の身でありながら今では一端の数学２ｃｈネラー気取り。
「世も末だ」と人々が嘆くのも至当と言えよう。
数学どころか小学生並みの基礎知識さえ持ちあわせぬ阿呆だ(例えば米国大統領の名前も知らぬ始末)。
その上、田舎訛りで「おいら野田さんとポッポのボボが見たいばい」と口走っては哄笑の的になっている不様さだとか。
- 63 ：
- パンテーン
- 64 ：
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| l＾,人| ` `-' ゝ | このスレには馬と鹿と豚さんしかいないのね。
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- 65 ：
- あげ
- 66 ：
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| l＾,人| ` `-' ゝ | さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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- 67 ：
- 無理数ってアンレイショナルナンバー？
- 68 ：
- irrational number イラショナルナンバー
irreducible polynomial 既約多項式
irregular non-regular お前の事
- 69 ：
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- 72 ：
- キャッチャー
- 73 ：
- つ[ご参考]
http://ja.wikipedia.org/wiki/円周率の無理性の証明
http://ja.wikipedia.org/wiki/ネイピア数の無理性の証明
- 74 ：
- え゛ーっ e = 2.7 + (1828/99990) ぢゃないのぉ？
- 75 ：
- The numeric string314159265appears at the 70,326,148th decimal digit of e.
- 76 ：
- 鮒一発二発一発二発…
- 77 ：
- ちな√2の証明は中学でもできる
- 78 ：
- √2に関連して
http://marksapir.wordpress.com/2013/08/01/short-proof-that-2sqrt2-is-not-rational/
- 79 ：
- 簡単にπ＝無理数の説明をすると
『今のところ有理数という証明がされていない』
こういうことでしょ？
- 80 ：
- またヘンなのが湧いてきたか
- 81 ：
- 数学の文脈で＝をbe動詞の意味で使うやつは漏れなく中学数学も覚束ないアホ
- 82 ：
- 小六にできる最大限の説明がこれ
- 83 ：
- >>1
背理法による。
まず、n,p,q を自然数とし、2n 次式を
f(x) = (1/n!){x(p-qx)}^n,
とおく。
0 < f(x) ≦ (1/n!)(pp/4q)^n (0<x<p/q)
だから、
0 < a_n = ∫[0,p/q] f(x)sin(x)dx
< ∫[0,p/q] f(x)dx
< (1/n!)(p/q)(pp/4q)^n
→ 0 (n→∞)
nが十分大きければ、a_n は整数でない。
ところで、
f(0), f '(0), f "(0), ････, f(p/q), f'(p/q), f "(p/q), ････
はすべて整数である。
F(x) = f(x) - f "(x) + f ""(x) - ･････
とおけば、
f(x) = F(x) + F "(x),
a_n = ∫[0, p/q] f(x)sin(x)dx
= ∫[0, p/q] {F(x) + F "(x)}sin(x)dx
= [ -F(x)cos(x) + F '(x)sin(x) ](x=0,p/q)
= F(0) + F(p/q) + F'(p/q)sin(p/q),
上に述べたことから、F(0) と F(p/q) は整数である。
------------------------------------------------------------
ここで、背理法の仮定から、π=p/q となる自然数 p,q をとる。
そうすれば sin(p/q) = sinπ = 0 だから、
a_n = F(0) + F(π) = (整数),
となって矛盾が生じる。
数セミ増刊「数の世界」日本評論社 (1982) p.80.
- 84 ：
- πの超越性については
鹿野 健：数セミ増刊「数学100の定理」日本評論社（1983）p.85-86
F.Lindemann(1882) の証明を A.Baker(1975) が簡単化したらしい。
- 85 ：
- >>83 訂正
a_n = ･･････
= F(0) - F(p/q)cos(p/q) + F '(p/q)sin(p/q),
そうすれば sin(p/q) = sinπ = 0, cos(p/q) = cosπ = -1, だから、
- 86 ：
- e^(代数的数≠0) = (超越数),
e^(iπ) = -1,
を既知として、１行で証明せよ。
- 87 ：
- >>86
背理法でπが代数的だったと仮定するとiπも代数的だから -1 = e^(iπ) = (超越数）、となって矛盾を生じることから、πは代数的ではなく超越数だった。（73字）
- 88 ：
- >>86
e^(代数的数≠0) = (超越数)、を用いてよいなら、πの超越性は明らか。
- 89 ：
- >>5
まだ確認出来てはいないが、π^πは超越数で無理数の筈。
例え有理数だったとしても、分子が1になることはない。
π^πみたいなのになると、バリバリの解析でもしないといけないんだよな。
お手製の武器では不十分だ。まだ武器がない。
- 90 ：
- >>5
>例え有理数だったとしても、分子が1になることはない。
って当然かw
あ〜、π^πは確実に無理数だわ(多分超越数)。
ただ、とんでもない証明になりそうだ。
- 91 ：
- 〔リンデマンの定理〕（1882）
ｎは自然数、
α_1, α_2, ･････, α_n, c_1, c_2, ･････, c_n は代数的数、
α_1, α_2, ･････, α_n は相異なる。
ｅはネイピア数（自然対数の底）、とする。このとき、
c_1･e^(α_1) + c_2･e^(α_2) + ･･････ + c_n･e^(α_n) = 0
⇒ (c_1, c_2, ････, c_n) = (0,0,･････,0)
- 92 ：
- >>86
〔系〕
α（≠0）が代数的ならば、ｅ^α は超越数である。
(証明)
リンデマンの定理において、n=2, α_1 = 0, α_2 = α とすると、
１とｅ^α はＱ上一次独立。
- 93 ：
- 〔問題〕
θ（≠0）が代数的のとき、sinθ と cosθ は超越数か？
- 94 ：
- 言葉の使い方間違ってたら悪い
どんな方法でも代数的に表せない数って存在すんの？
ある数が代数的に表せないことはどうやって証明すんの？
- 95 ：
- 代数的ってのは広い意味での代数ね
- 96 ：
- 自分から傷を広げなくてもいいよ
- 97 ：
- >>96
うーん。例えば円周率とかだと
π/4＝1-1/3＋1/5-1/7＋……
みたいな数とかで表せるらしいじゃん？
こういう感じに超越数でも何らかの形で代数的に表せるのかなぁって思って
数学詳しくないから教えてほしいんだ
- 98 ：
- >>97
>広い意味での代数
を定義して
- 99 ：
- >>98
うーん。
うまく言えないけど
加算集合のように、自然数が1から無限まで(有限でもいいが)続いていくのと同じような形を要素として表せる数かな
- 100 ：
- 現れる無限に続いていく数は規則的に並んだ数ね。規則的ってなに？と言われるかもしれんが
100〜のスレッドの続きを読む
数学の本第77巻
オイラーの贈物 （吉田武著）
あたまをよくするほうほうをおしえてください
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