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- 1 :2016/12/04 〜 最終レス :2020/06/09
- 1スレ目 http://kamome.2ch.sc/test/read.cgi/math/1047608164/
2スレ目 http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1299412685/
- 2 :
- ¥
- 3 :
- ¥
- 4 :
- [Hard] 2014!を5^{503}で割った余りを求めよ。
[Easy] 2014!を5^{500}で割った余りを求めよ。
- 5 :
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- 9 :
- ¥
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- 11 :
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- 12 :
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- 13 :
- ¥
- 14 :
- ¥
- 15 :
- Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・k
を証明せよ
- 16 :
- Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
=Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)
なら自明
ちな
Σ[k=0〜n]nCk・(1/n)^k・((n-1)/n)^(n-k)・kの最後のkは(n-k)にはかかってないやつ
- 17 :
- ¥
- 18 :
- ¥
- 19 :
- ¥
- 20 :
- ¥
- 21 :
- ¥
- 22 :
- ¥
- 23 :
- ¥
- 24 :
- ¥
- 25 :
- ¥
- 26 :
- ¥
- 27 :
- [Hard] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の内心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Intermediate] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の重心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
[Easy] 四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから、それぞれの対面を含む平面に下した
垂線が対面の外心を通るとき、四面体ABCDは正四面体であることを示せ。
- 28 :
- [Hard] cos(x)+sin(πx)は周期関数か?
[Easy] cos(x)+sin(x)は周期関数か?
- 29 :
- [Hard] f(n) = \sum_{k=0}^{n} (nCk)^{-1}とする。n=1,2,...,2017のときf(n)の最大値を求めよ。
[Easy] f(n) = \sum_{k=0}^{n} (nCk)^{+1}とする。n=1,2,...,2017のときf(n)の最大値を求めよ。
- 30 :
- [Hard] 数列 { a_k }(k=1,2,…)を、a_1=1、a_{k+1}=a_k^2+1と定める。{a_k}の中にpの倍数が存在するような素数pが無数に存在することを示せ。
[Easy] 数列 { a_k }(k=1,2,…)を、a_1=1、a_{k+1}=a_k +1と定める。{a_k}の中にpの倍数が存在するような素数pが無数に存在することを示せ。
- 31 :
- >>15-16
1/n = a、(n-1)/n = b とおく。
(左辺) = Σ[k=0〜n] C(n,k)・a^k・b^(n-k) = (a+b)^n,
また
C(n,k)・k = n・C(n-1,k-1) (k=1〜n)
だから
(右辺) = nΣ[k=1〜n] C(n-1,k-1)・a^k・b^(n-k)
= naΣ[k=0〜n-1] C(n-1,k)・a^k・b^(n-1-k)
= na(a+b)^(n-1),
- 32 :
- >>29
[Easy]
f(n) = (1+1)^n = 2^n,
最大値 2^2017,
[Hard]
f(1) = 2、f(2)= 2.5、f(3)=f(4)= 8/3、f(5)= 2.6
n≧6 のとき、
C(n,k) ≧ C(n,2) (2≦k≦n-2)
f(n) < 1 + 1/n + (n-3)/C(n,2) + 1/n + 1
= 2 + 4(n-2)/{n(n-1)}
< 2 + 4/(n+1),
≦ 2 + 4/7,
最大値 8/3
- 33 :
- >>28
[Easy]
周期2πをもつ。
[Hard]
f(R) = Max{cos(x)+sin(πx);|x|≦R}
とおき
(1) f(R) < 2,
(2) lim[R→∞] f(R) = 2,
を示せばよい。
- 34 :
- >>33
[Hard] f(x)が周期関数だと仮定すると、f(x)=f(T+x)を常に(どんなxでも)満たす
正の定数Tが存在するはず。
f(0)=1、f(±T)=cosT±sin(πT)=1より、cosT=1、sinπT=0。
T=2mπ=2n(m,nは0でない整数)より、π=m/nが有理数になってしまい矛盾。
- 35 :
- >>33 (1)
sin(πx)=1 のとき x = 2m + (1/2) ≠ 2Lπ, cos(x)<1,
∴ cos(x)<1 または sin(πx)<1,
∴ cos(x) + sin(πx) < 2,
∴ f(R) < 2.
>>33 (2)
任意のε>0 に対して、n ≧ π/√(2ε) なる自然数nをとる。
|x|≦ π/n ⇒ cos(x) > 1 - ππ/2nn > 1-ε,
区間[0,1) を幅 1/n の小区間にn等分する。
鳩ノ巣原理(ディリクレの引き出し論法)により
0,{1/π},{2/π},{3/π}, ・・・・,{n/π}のn+1個のうちの2つは同じ小区間に含まれる。
0 <{(i-j)/π}={i/π} - {j/π}< 1/n,
0,{(i-j)/π},{2(i-j)/π},{3(i-j)/π}, ・・・・ は 1/n より狭い間隔で並ぶ。
|{m/π} + 1/(4π)|< 1/2n,
を満たす整数(i-jの倍数)mがある。
π/n >|2π{m/π} + 1/2| =|2m + 1/2 -2Lπ|=|x - 2Lπ|,
∴|x - 2Lπ|< π/n < √(2ε),
∴ cos(x)= cos(x-2Lπ)> 1-ε,
∴lim[R→∞]f(R)= 2,
- 36 :
- >>28
[Super hard / Ultra hard] cos(x)+sin(πx)は一様概周期函数か?
”uniformly almost-periodic function”はBohr(1925)、Bochnner(1927)が創始したらしい。
- 37 :
- >>30
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割りきれる。(乗法的)
[Easy] では a_k=k なので明らか。[Hard]は別記。
(略証)
ユークリッド法(背理法)による。
題意の素数が{p_k|k=1,2,…,n}のみだったと仮定する。
各p_k に対し、p_kの倍数である a_φ(k) がある。([Easy] ではφ(k)=p_k)
ψ=φ(1)φ(2)……φ(n)
とおくと、補題により
a_ψ≡ 0(mod p_k)
a_(ψ+1)≡ 1(mod p_k)
は上記のどのp_kでも割りきれないから、仮定に反する。(honda氏の解)
* [Hard] は ヨーロッパ女子数学オリンピック、日本代表選抜一次試験の問題
- 38 :
- >>30
〔補題の補題〕
[Hard]のとき
a_{m+n}- a_m は(a_n)^2 で割り切れる。(kisato氏)
(略証)
m についての帰納法で。
m=1 のとき、漸化式より
a_{n+1}- a_1 ={(a_n)^2 + 1}- 1 =(a_n)^2,
また、
a_{m+n+1}- a_{m+1} =(a_{m+n}+ a_m)(a_{m+n}- a_m)
ゆえ、あるmに対して成立なら、m+1に対しても成立。
〔補題〕
a_{L*n} は a_L、a_n で割り切れる。(乗法的)
これが分かると難易度に差はない、というのが出題の趣旨でしょうか。
http://suseum.jp/gq/question/2658
- 39 :
- >>38
2項漸化式を少し一般化して、
a_{n+1} = P( a_n ), ただし P(x)は多項式で P(0) = a_1,
としても
a_{n+1} - a_1 = P(a_n) - a_1 = Q(a_n, 0)a_n ≡ 0(mod a_n),
a_{m+n+1} - a_{m+1} = P(a_{m+n}) - P(a_m)
= Q(a_{m+n}, a_m)(a_{m+n} - a_m),
なので、同様のことが成立つ(?)
- 40 :
- [Lunatic] n^m=4m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。
[Easy] n^m= m^nを満たす自然数(m,n)の組を全て求めよ。
- 41 :
- [Hard] 正の実数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。
[Easy] 正の整数xに対して、整式f(x)が常にf(0)=1、f(x+1)=f(x)+2xを満たすとき、f(x)=x^2-x+1を示せ。
- 42 :
- 違いないぞ
- 43 :
- 整数と実数ね
- 44 :
- 数自体が詩の世界では幻。
- 45 :
- [3,1,0]
[Hard] A=[0,0,1]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2]
[3,1,0]
[Easy] A=[0,0,0]のn乗(nは自然数)を求めよ。
[0,2,2]
- 46 :
- [Hard] 点(k,-8)を通る、y=x^4-6x^2の接線は何本あるか?
[Easy] 点(k,-8)を通る、y=x -6x^2の接線は何本あるか?
- 47 :
- ¥
- 48 :
- ¥
- 49 :
- ¥
- 50 :
- ¥
- 51 :
- ¥
- 52 :
- ¥
- 53 :
- ¥
- 54 :
- ¥
- 55 :
- ¥
- 56 :
- ¥
- 57 :
- [Hard] nを自然数とする。0≦x<2^{+1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。
[Easy] nを自然数とする。0≦x<2^{-1}πの範囲で、方程式cos^n x = sin^n xを解け。
- 58 :
- 座標平面上にA(0,2)、B(1,-1)があり、動点Pがx軸上全体を動く。
[Hard] PA-PBの最小値があれば、その値を求めよ。
[Easy] PA+PBの最小値があれば、その値を求めよ。
- 59 :
- [Hard]0=1
[Easy]0=0
- 60 :
- >>58
激変?
大して変わらん気がする
- 61 :
- [Easy]の方はピタゴラスの定理が必要だが
[Hard]の方は不要
考え方によっては[Hard]の方が簡単
- 62 :
- あげ
- 63 :
- >>40
[Lunatic](m,n)=(1,4)(8,2) たぶん…
[Easy] (m,n)=(m,m)(2,4)(4,2)
>>41
整式を差分すると次数が1つ下がるから、fは2次式。
>>45
[Easy]
[ 3^n,3^(n-1),0 ]
A^n =[ 0,0,0 ]
[ 0,2^n,2^n ]
[Hard]
[ 3^n,3^n - f_{n+1},3^n -(1/2)f_{n+2}]
A^n =[ 0,2f_{n-1},f_n ]
[ 0,2f_n,f_{n+1}]
ここに f_n ={(1+√3)^n -(1-√3)^n}/(2√3),
漸化式
f_{n+1}= 2f_n + 2f_{n-1},
f_0 = 0,f_1 = 1,f_2 = 2,f_3 = 6,…
>>46
[Easy]
k <(1-√193)/12,k >(1+√193)/12 2本
k =(1±√193)/12 1本
(1-√193)/12 < k <(1+√193)/12 なし
[Hard]
(±2,-8)(±√2,-8)を通る。
(±1,-5)変曲点
|k|< 11/8 2本
11/8 ≦|k|≦√2 3本
√2 <|k|<2 2本
|k|= 2 3本
2 <|k| 4本
>>57
[Easy]x=π/4,
[Hard] 増減表より
nが偶数のとき x=π/4 + nπ/2,
nが奇数のとき x=π/4 + nπ,
>>58
[Hard]最小値なし。下限 -1,P(-∞,0)
[Easy]△不等式より AB=√10,P(2/3,0)
- 64 :
- >>4
[2014/5]+[2014/25]+[2014/125]+[2014/625]= 501,
2014! = 5^501 ×(2 + 15 + 25 + 250 + 0 + 12500 + …)
= 5^501 ×(2+15)+ 5^503・M
[Easy] 0
[Hard] 17×5^501
- 65 :
- >>57
[Hard]増減表より
nが偶数のとき周期π x = π/4 + mπ/2
nが奇数のとき周期2π x = π/4 + mπ
(mは任意の整数)
>>58
[Hard]
P(x,0)とおく
PA + PB >|x|+|1-x|= Max{|2x-1|,1}≧|2x-1|,
PA - PB + 1 = 2(x+1)/(PA+PB)+ 1 > 0,
- 66 :
- 結び目の完全分類法。ジョーンズ多項式までなら理解できたのだが。
Γとηとζとθの関数等式。どこかで見たけどどんなんだったかな。
- 67 :
- ¥
- 68 :
- ¥
- 69 :
- ¥
- 70 :
- ¥
- 71 :
- ¥
- 72 :
- ¥
- 73 :
- ¥
- 74 :
- ¥
- 75 :
- ¥
- 76 :
- ¥
- 77 :
- [easy]1^9999999999999999を求めよ
[hard]2^9999999999999999を求めよ
- 78 :
- 数字変えるのは反則だろとオモタが
縛りきつすぎるかな
- 79 :
- [easy]2+9999999999999999を求めよ
[hard]2^9999999999999999を求めよ
- 80 :
- ▂▅▇█▓▒(’ω’)▒▓█▇▅
- 81 :
- ¥
- 82 :
- ¥
- 83 :
- ¥
- 84 :
- ¥
- 85 :
- ¥
- 86 :
- ¥
- 87 :
- ¥
- 88 :
- ¥
- 89 :
- ¥
- 90 :
- ¥
- 91 :
- 100の二乗を求めよ
100の階乗を求めよ
- 92 :
- ¥
- 93 :
- ¥
- 94 :
- ¥
- 95 :
- ¥
- 96 :
- ¥
- 97 :
- ¥
- 98 :
- ¥
- 99 :
- ¥
- 100 :
- ¥
- 101 :
- ¥
- 102 :
-
http://o.8ch.net/10k55.png
- 103 :
-
http://o.8ch.net/10k57.png
- 104 :
- http://o.8ch.net/10k55.png
http://o.8ch.net/10k57.png
はい
- 105 :
- ¥
- 106 :
- ¥
- 107 :
- ¥
- 108 :
- ¥
- 109 :
- ¥
- 110 :
- ¥
- 111 :
- ¥
- 112 :
- ¥
- 113 :
- ¥
- 114 :
- ¥
- 115 :
- >>91
100^2 = 1.0000E+4
100! =
= 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864 * 10^24
= 9.3326215443944… E+157
スターリング近似では
√(2π)n^(n+1/2) e^(-n)= 9.3248… E+157 (誤差 -8.33E-4)
√(2π)n^(n+1/2)e^(-n +1/12n)= 9.332621570… E+157 (誤差 +2.78E-9)
√(2π)n^(n+1/2)e^(-n +1/12n -1/360n^3)= 9.3326215443936… E+157 (誤差 -7.93E-14)
- 116 :
- ¥
- 117 :
- ¥
- 118 :
- ¥
- 119 :
- ¥
- 120 :
- ¥
- 121 :
- ¥
- 122 :
- ¥
- 123 :
- ¥
- 124 :
- ¥
- 125 :
- ¥
- 126 :
- >>103
リーマン予想
高度経済成長期に台頭したリーマン達にとっては
2008年の金融破綻はショックだったであろう。
- 127 :
- >>77
[Easy] 1
>>79
[Easy] 10000000000000001
- 128 :
- >>126
サラリーマン → サラリーパーソン
と云ウべきか?
- 129 :
- >>128
スレタイに合わせて1文字変更で何とかしてくれないか
- 130 :
- [Hard] y=x^2 exp(-x)のグラフを、極値、変曲点を含めて描け。
[Easy] y=x exp(-x)のグラフを、極値、変曲点を含めて描け。
- 131 :
- >>130
[Easy]
極大 x=1, y=1/e,
変曲点 x=2, y=2/ee,
[Hard]
極小 x=0, y=0,
極大 x=2, y=4/ee,
変曲点 x=2±√2 (xx-4x+2=0の根)
- 132 :
- >>131
Hardは、2つの変曲点のy座標がどちらが上かを考えたうえで
グラフを描くのが最大の難所ですね。2.71<e<2.72は証明なしに使ってもいいものとして。
- 133 :
- >>130
y(2-√2)/y(2+√2)={(2-√2)e^(-2+√2)}/{(2+√2)e^(-2-√2)}
=(3-2√2)e^(2√2)
>(3-2√2)(1+2√2+4) (*)
= 7 -4√2
> 1.343
y(2-√2)> y(2+√2)
*) a>0 ⇒ e^a > 1+a+aa/2
- 134 :
- >>133
まちがえました...orz
- 135 :
- [Hard] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+i/n|^nを求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} |1+1/n|^nを求めよ。
- 136 :
- [Hard] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+i/n)^n)を求めよ。
[Easy] 自然数nに対して \lim_{n \to +\infty} Re((1+1/n)^n)を求めよ。
- 137 :
- [Hard] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。
[Easy] 表裏が等確率1/2で出るコインをn回投げる(nは自然数)。z_0=1として、k回目(k=1,2,...,n)表が出ればz_k = (-1+√3i) z_{k-1}/2、裏が出ればz_{k}={\bar z_{k-1}}=(z_{k-1}の共役複素数)とする。z_n=1となる確率を求めよ。
- 138 :
- [POSSIBLE]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=1.25, a_(n+1)=-4((a_n)^2+(a_n))
[IMPOSSIBLE?]Find a_n where a_1=0.25, a_(n+1)=-5((a_n)^2+(a_n))
- 139 :
- [Lunatic] n^3+7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。
[Easy] n^3-7n+9が素数となるような、整数nを全て求めよ。
- 140 :
- >>139
Easy(京大)
- 141 :
- ¥
- 142 :
- ¥
- 143 :
- ¥
- 144 :
- ¥
- 145 :
- ¥
- 146 :
- ¥
- 147 :
- ¥
- 148 :
- ¥
- 149 :
- ¥
- 150 :
- ¥
- 151 :
- [Hard] 赤玉と白玉が6つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
[Easy] 赤玉と白玉が2つある。これ等を円上に等間隔に並べる場合の数を求めよ。
(いずれも回転して同じ並びになる場合は、同じ並べ方とする)
- 152 :
- ¥
- 153 :
- ¥
- 154 :
- ¥
- 155 :
- ¥
- 156 :
- ¥
- 157 :
- ¥
- 158 :
- ¥
- 159 :
- ¥
- 160 :
- ¥
- 161 :
- ¥
- 162 :
- age
- 163 :
- あげ
- 164 :
- [Hard] 2019文字の置換から、無作為に置換を1つ選んだとき長さ200の巡回置換を含む確率を求めよ。
[Easy] 2019文字の置換から、無作為に置換を1つ選んだとき長さ2000の巡回置換を含む確率を求めよ。
https://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/19/n01.html
- 165 :
- [Hard] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=2)を解け。
[Easy] 微分方程式 ((y'(x))^2)'+2y'(x)*exp(-2*y(x))=0 (初期条件y(0)=0, y'(0)=1)を解け。
- 166 :
- KJ2guel2aRE
障害者顔のゴミ山ほだかヒトモドキ轢き殺されろ
- 167 :
- [Hard] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
[Easy] 定数αが0<α<π/2の範囲にある。tが全実数を動くときf(t)=1+2|t|-cos(2(t-α))の最小値を求めよ。
- 168 :
- [Hard] \lim_{n→+∞} cos (2πen!)を求めよ。
[Easy] \lim_{n→+∞} cos (2πn!)を求めよ。
- 169 :
- [未解決]x^3+y^3+z^3=114を満たす整数x,y,zを求めよ
[糞簡単]x^3+y^3+z^3=514を満たす整数x,y,zを求めよ
- 170 :
- あげ
- 171 :
- あげ
- 172 :
- >>169
Easy: {x, y, z} = {8, 1, 1} {9, -6, 1}
- 173 :
- [例9-3]
次の不等式をみたす整数a,b,cで、どれか1つは0でなく、
かつどの絶対値も100万を超えないものが存在することを示せ。
[Easy] |a + b√2 + c√3|< 10^(-11),
[Hard] |a + b√2 + c√3|< 10^(-12),
秋山 仁 + ピーター・フランクル 共著:
[完全攻略]数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社 (1991/Nov)
注) Hrad は鳩ノ巣原理では解けません。
- 174 :
- 97 -56√3 = 1/(97+56√3) = 0.005154776
99 -70√2 = 1/(99+70√2) = 0.005050634
辺々足して14で割る。
14 - 5√2 - 4√3 = 7.28957859×10^(-4) ・・・・ (1)
辺々引いて2で割る。
-1 + 35√2 - 28√3 = 5.207113×10^(-5) ・・・・ (2)
(2)×14 - (1)
-28 + 495√2 - 388√3 = 3.7957659×10^(-8) ・・・・ (3)
また、
127 + 138√2 -186√3 = 2.1399676×10^(-5) ・・・・ (4)
205 - 58√2 - 71√3 = 6.0449702×10^(-6) ・・・・ (5)
* 3.352882344113・・・・×10^(-13)まではあるらしい。
- 175 :
- [Hard]
a=96051, b=-616920, c=448258 のとき
a + b√2 + c√3 = 3.352882344113・・・×10^(-13)
- 176 :
- 6を法として+1に合同な素数と、-1に合同な素数が、p以下に同数あるような素数pを「均衡素数」と呼ぶことにする。
(例えば2,3,7,13は均衡素数だが、5,11はそうでない)
このとき、
[Easy] 均衡素数を10個見つけよ
[Hard] 均衡素数を20個見つけよ
- 177 :
- >>176
HARDも何も10個しかなくない?
- 178 :
- [Easy]
2 (0)
3 (0)
7 (1)
13 (2)
19 (3)
37 (5)
43 (6)
79 (10)
163 (18)
223 (23)
229 (24)
- 179 :
- 11人いる!
- 180 :
- >>174
38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9),
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10),
- 181 :
- >>174
97-56√3 = (2-√3)^4 = 1/(2+√3)^4,
99-70√2 = (√2 -1)^6 = 1/(1+√2)^6,
より
-28 +495√2 -388√3 = {-(√2 -1)^12 +(2-√3)^8}/28, ・・・・ (3)
- 182 :
- 38419 -13895√2 -10836√3 = 9.489944×10^(-9) ・・・・ (6)
1920 -42258√2 +33395√3 = 4.066451×10^(-10) ・・・・ (7)
(4)×2 - (5)×7
-1181 +682√2 +125√3 = 4.84560485×10^(-7) ・・・・ (8)
(6)×4 - (3)
153704 - 56075√2 -42956√3 = 2.11768032×10^(-12) ・・・・ (9)
- 183 :
- >>139
>>140
[Easy]
2018 京都大学前期 数学(理系) 第2問
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11187969786 2018/03/23
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12186895702 2018/03/01
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12202651132 2019/01/29
http://www.youtube.com/watch?v=qrepKWHlGBQ 02:07 東ふく郎
http://www.youtube.com/watch?v=tIcb9m3LAOQ 03:52 鈴木貫太郎
- 184 :2020/06/09
- 追加
n^3 -7n +9
http://www.youtube.com/watch?v=tIcb9m3LAOQ 03:52
http://www.youtube.com/watch?v=ADXRgm4Tqj8 10:56 PASSLABO
|(n-1)(n-3)(n-4)(n-6) + 5|
http://www.youtube.com/watch?v=wYH27LHiUHI 05:43
n^8 -6n^4 +10
http://www.youtube.com/watch?v=RgefjC_i96E 09:39
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