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1+1=2について考える
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円周率について語り合おう【π】
- 913 ：
- おっちゃんです。
>>893
或る3以上の整数nが存在して、何れも或る3つの正整数 x、y、z が存在して、x^n+y^n＝z^n が成り立つとする。
仮定から、nは固定された3以上の整数だから、仮定において成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n から、
固定された3つの正整数 x、y、z の大小関係について、0＜x＜z、0＜y＜z が両方共に成り立つ。
仮定から x、y、z は何れも有理整数だから、x、y、z∈Z。また、有理数体Qは有理整数環Zの商体だから、Z⊂Q。
よって、z＞0 から、x/z、y/z∈Q。0＜x＜z だから、0＜x/z＜1。同様に、0＜y＜z だから、0＜y/z＜1。
仮定において成り立つとした等式 x^n+y^n＝z^n の両辺を z^n で割ると、(x/z)^n+(y/z)^n＝1 を得る。
n≧3、0＜x/z＜1、0＜y/z＜1 が何れも成り立つから、(x/z)^n+(y/z)^n＜(x/z)^2+(y/z)^2 となる。
よって、(x/z)^2+(y/z)^2＞1 を得る。
Euclid 平面 R^2 上に有理点 A(x/z,y/z)∈Q^2 を取る。ここに、Q⊂R から Q^2⊂R^2 だから、A(x/z,y/z)∈R^2。
平面 R^2 上の半径1の円周上には、a^2+b^2＝1、0≦|a|≦1、0≦|b|≦1 を何れも満たしているような
有理点 (a,b) が稠密に分布する。逆に、a^2+b^2＝1、0≦|a|≦1、0≦|b|≦1 を何れも満たしているような有理点 (a,b) は、
すべて平面 R^2 上の半径1の円周上に存在する。
故に、0＜x/z＜1 と 0＜y/z＜1 から、平面 R^2 上の半径1の円周上に固定された有理点 A(x/z,y/z) は確かに存在する。
よって (x/z)^2+(y/z)^2＝1 となる。しかし、これは、(x/z)^2+(y/z)^2＞1 に反し矛盾する。
この矛盾は或る3以上の整数nが存在して、何れも或る3つの正整数 x、y、z が存在して、
x^n+y^n＝z^n と仮定したことから生じたから、背理法が適用出来る。
そこで、背理法を適用すれば、どんな3以上の整数nに対しても、x^n+y^n＝z^n を満たす3つの正整数 x、y、z は存在しない。
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