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素人には 8÷2(2+2) を16と答える馬鹿が居るらしい
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21
耳栓をしたら世界が変わってワロタ
有理数であることも無理数であることも証明できない実数
♂♂♂♂♂♂♂♂♂ 暗号解読
数学を初めとした理系の学問と哲学について
1÷0ってなんで答えが定義されてないの？
【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明5
面白い問題おしえて〜な 31問目
社会人のお前らに聞きたい
- 504 ：
- >>503 つづき
＜参考＞
http://tenasaku.com/academia/notes/lss07_fujita_release.pdf
ルヘ゛ーク゛可測性にかんするソロウ゛ェイのモテ゛ル 藤田博司(愛媛大学理学部) 2007年数学基礎論サマースクール
(抜粋)
P7
定義4. 位相空間の部分集合A について, その閉包の内部が空(Int Cl_A = Φ) となるとき, A はいたるところ
非稠密(nowhere dense) な集合と呼ばれる. 可算個のいたるところ非稠密な集合の和集合に分解できるような
集合のことを, 第一類集合(set of first category) といい, そうでない集合のことを第二類集合(set of second category) という. □
Baire のカテゴリー定理. 完備距離空間の空でない開集合は決して第一類集合にならない. □
したがって, 完備距離空間において, 第一類集合の補集合はいたるところ稠密です. 可算個の第一類集合の和
がふたたび第一類集合になることは定義から明らかですから, 完備距離空間の第一類集合は, 比較的“小さな”
集合であるということができます.
つづく
- 505 ：
- >>504 つづき
定義5. 数直線R の第一類部分集合のことを疎集合(meager set) といい, その全体をM であらわす. □
こうして, ルベーグ測度の零集合のクラスN の類似物として疎集合のクラスM が導入されました. これ
にともなって, ルベーグ可測性の類似物として導入されるのが, ベールの性質です.
定義6. 実数の集合A に対して, A△B ∈ M をみたすボレル集合が存在するとき, A はベールの性質 (property of Baire) を持つという. □
ここでのB としては開集合をとることができます. ベールの性質を持つ集合のクラスはルベーグ可測集合
のクラスと多くの性質を共有しています. 直積測度にかんするFubini の定理に対してKuratowski とUlamの定理, というように, 測度論のいろいろな定理に対してその“カテゴリー版” が存在します.
ルベーグ可測でない集合が存在するのと同様に, ベールの性質を持たない集合も存在します. 実際, Vitali の
ルベーグ不可測集合はベールの性質を持ちません. また, 選択公理を用いれば, ルベーグ可測だがベールの性質
を持たない集合, ルベーグ不可測だがベールの性質を持つ集合などの存在を容易に証明できます. そこで, 実数
のどんな集合がベールの性質を持つか, また, ベールの性質を持たない集合を具体的・明示的に定義できるか,
というのは自然な問いといえます*7. Solovay の二つの定理の(c) と(c’) はこのことを問題にするものです.
次の補題は, 第3 節でランダム実数とコーエン実数の性質を対比する際に役に立ちます. (証明が明示的・構成的である点に, よく注意してください.)
補題5. 数直線R を二つの互いに交わらない集合A とB に分割して, A が零集合B が疎集合となるように
できる.
[証明]
*7 ただし, 測度の問題の(A) と(B) に対応するものは, ベールの性質については考えられません.
(引用終り)
つづく
- 506 ：
- >>505 つづき
PDFは、下記サイトより
http://tenasaku.com/academia/
なげやりアカデミア 藤田博司(愛媛大学理学部)
以上
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