不等式への招待第９章

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1 ：2017/09/13 ～最終レス：2018/09/17: ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　＼　　　　　　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ガラッ

【まとめWiki】　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

【過去スレ】
・不等式スレッド（第１章） http://science3.2ch.sc/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待第２章　http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待第３章　http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待第４章　http://science6.2ch.sc/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待第５章　http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待第６章　http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1332950303/
・不等式への招待第７章　http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1362834879/
・不等式への招待第８章　http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1498378859/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

【姉妹サイト】
キャスフィ高校数学板不等式スレ　　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/
キャスフィ高校数学板不等式スレ２　http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/

【wikiなど】
Inequality (mathematics)
https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_(mathematics)
List of inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_inequalities
List of triangle inequalities
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_triangle_inequalities
Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/topics/Inequalities.html
2 ：: 【不等式の和書】

[1]　不等式（数学クラシックス11），Hardy, Littlewood, Polya，丸善出版，2003年
　　http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2]　不等式（数学選書），大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3]　不等式への招待（数学ゼミナール６），大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
　　 http://amazon.jp/dp/4844372661
[4]　不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
　　 http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
[5]　不等式入門（数学ライブラリー教養篇４），渡部隆一，森北出版，2005年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7]　不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
　　 http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8]　不等式～ 21世紀の代数的不等式論～，安藤哲哉，数学書房，2012年
　　http://amazon.jp/dp/4903342700、（正誤表+補遺）http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/
[9]　美しい不等式の世界: 数学オリンピックの問題を題材として，佐藤淳郎（訳），朝倉書店，2013年
　　http://amazon.jp/dp/4254111371
[10]　思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年
　　http://www.amazon.co.jp/dp/4887422091

【不等式のpdf】

[1] Vasile Cîrtoaje、Mathematical Inequalities.　http://ac.upg-ploiesti.ro/vcirtoaje/vcirtoaje.php
[2] 柳田五夫、初等的な不等式ⅠⅡⅢなど.　http://izumi-math.jp/I_Yanagita/I_Yanagita.html

【おもな埋蔵地】

[1] JIPAM　https://www.emis.de/journals/JIPAM/
[2] MIA　http://mia.ele-math.com/volume/20
[3] AoPS　https://artofproblemsolving.com/community
[4] Maths problems　http://webee.technion.ac.il/people/aditya/www.kalva.demon.co.uk/index.html
[5] IMO　http://www.imo-official.org/problems.aspx
[6] American Mathematical Monthly Problems　http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html

※ その他の参考文献などは、まとめWikiを参照　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/
3 ：: 諸君　私は不等式が好きだ
諸君　私は不等式が大好きだ

改造が好きだ　改良が好きだ　拡張が好きだ

AM-GMで　Cauchyで　Holderで　Jensenで　Schurで
Chebyshevで　rearrangementで　Bernoulliで
Muirheadで　Karamataで　Maclaurinで　ぬるぽビッチで

この地上に現れるありとあらゆる不等式が大好きだ

大小順をそろえた歩兵の横隊を並べ替え不等式で蹂躙するのが好きだ
恐慌状態の新兵が分母にAM-GMを誤用して不等号の向きを何度も何度も間違えている様など感動すら覚える

糸口の見つからない不等式に滅茶苦茶に悩まされるのが好きだ
必死に悩んだ不等式が成立しない例を挙げられていく様はとても悲しいものだ

君達は一体何を望んでいる？更なる不等式を望むか？

　　　　　『不等式！　不等式！　不等式！』

よろしい　ならば証明だ！

　　　　　　　　　　　　　　rv―v―､　r-v-v
　　　　　 r､　　　　　　ﾉ　　も（ﾉ　ま (　　　　　 ,ｨx
　　　　　　(＼＼(＾}　　) !! 厳. っ ( ）　だ (　　 /)///7
　　　　　　{＾ヽ＾ヽ { 　　）　し. と ( ）　だ (　　/ 'ヽ　/
　　　　　＼｀Y ﾉ}_　ﾊ　く　　ﾉ乂　ノ　　{.　〈 /
　　　　　　〉,r彡ﾊ　_＞　　＜ /　ま (　人＿ノ〉
　　　　　　　 V　　∨ !! 改も（) !! だ（ / 　7　/
　　　　　　　　　 'v　　V　良っ（). 　だ(/　　 /
　　　　　　　　 'v 　　V .をと人＿,ノ〈　　 /
　　　　　　　　　　　V　　V　rfﾃ弐ミk　/　　　}'
　　　　　　　　 'v　　',仔r＝r弌ﾘ'　　　/
　　　　　　　　　 'v　　 '({ ヾ二ﾌ,j'　　　/
　　　　　　　　　　　 }　　 j个ー‐个ﾄ, 　/
　　　　　　　　　　　　　}> ／ /＞ｭ<ﾄ､＼ノ{
　　　　　　　　＿j／　 / | / :| |　＼＼
　　　　　　　 _,＞､__, イ＞＼／　_｣/＼￣{_
　　　　　　　　　 /　　/:::::|　＼／＿_,＞|:::::∧ 　{
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　　　　　　　/　/ /:::::/　　　:|o　　　丿:|:::::::::::::∧ 　　＼
4 ：: [第８章 469]

> for reals
> [1] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
> [2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
>
> for nonnegarives
> [3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
> [4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
> [5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
>
> AOPS
> [1], [2] : c6h588096p3481394
> [3] : c6h4830p15309
> [4], [5] : c6h581954p3438879
>
> 他にもいろいろ
5 ：: [第８章 977、991]
> [疑問]-----------------------------------------------
> a, b, c >0 に対して、
> M(a,b,c) ≧ (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ m(a,b,c)
> -----------------------------------------------------
>
> AM-GMで m(a,b,c) = 27(abc)^2 を得るけど、もっとキツく締め上げたいのでござる。
>
> L = a^2b + b^2c + c^2a
> R = ab^2 + bc^2 + ca^2
>
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
> = L^2 + LR + R^2
> = (s^2)(t^2) - (s^3)u - t^3
>
>
> とりあえず少し進展したのでパピコ。 Caushyの拡張より、
>
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
> ＝ (ab+b^2+a^2)(b^2+bc+c^2)(a^2+c^2+ca)
> ≧ (ab+bc+ca)^3
> ＝ t^3
>
> AM-GMで 27(abc)^2 = 27u^2 としたよりもマシになった。
>
> 　m(a,b,c) = (ab+bc+ca)^3 ≧ 27(abc)^2
>
> が、以下のように分割すると、非負値の和ばかりで、ずいぶんとゆるゆるなうんちでござる。
>
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) - t^3
> ＝ (s^2)(t^2) - (s^3)u - 2(t^3)
> ＝ (t^2-3su)F_0 + 2suF_0 + (u^2)F_{-2} + u(st-9u)
> ≧ 0
6 ：: >>5
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ (ab+bc+ca)^3 ≧ 3abc(a+b+c)(ab+bc+ca) ≧ 27(abc)^2.
7 ：: >>5
[第２章 136-138]
> 非負実数 a, b, c に対して
> (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
>　≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3

12年前に自分が作っていた模様…
8 ：: ウインナーコーヒーにウインナーが入ってないのと同じ
すべては騙し
9 ：: >>4
[1］コーシーで
（1+aa+1)(1+1+bb）≧（1+a+b)^2，etc.

[2］AM-GMで
（aa+3)(bb+3）=（aa+1+1+1）（1+bb+1+1）≧（a+b+1+1)^2 ≧ 4(a+b)(1+1),
　[第8章.994］

>>6 下
p = aab+bbc+cca，q = abb+bcc+caa とおくと
アイゼンシュタイン整数で
（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）= pp+pq+qq
=（3/4)(p+q)^2 + (1/4)(p-q)^2,
≧ 3pq +（1/4)⊿^2,
⊿ =（a-b)(b-c)(c-a）= q-p,

次は（1+1+1)(aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa）の３つでコーシー

10 ：: >>5
M(a,b,c) について、

(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≦ ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a)

(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
≦ (a^2+2b^2+c^2+ab+bc)(b^2+2c^2+a^2+bc+ca)(c^2+2a^2+b^2+ca+ab)/8
≦ (1/27)*(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca)^3

きれいな式で押さえたいんだが… ('A`)
11 ：: >>6-7
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2) ≧ {(a-b)(b-c)(c-a)}^2.
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ (ab+bc+ca)^3 ≧ 3abc(a+b+c)(ab+bc+ca) ≧ 27(abc)^2.

[疑問]
右辺の 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) は、
　(27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 や (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)
より大きそうなんだけど、うまく証明できない。
s, t, u に置き換えて差を計算してみたけど、次数が高くて…
12 ：: >>5
m(a,b,c)について、

(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(√3)*(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab)

ゆるゆるな希ガス…。
13 ：: >>10
（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）
= pp+pq+qq
≦（p+q)^2
=｛ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}^2
≦（9/2)(aa+bb)(bb+cc)(cc+aa),
ゆるゆる～

（aa+ab+bb）≦（3/2)(aa+bb),
を巡回的に掛けて
（aa+ab+bb)(bb+bc+cc)(cc+ca+aa）≦（27/8)(aa+bb)(bb+cc)(cc+aa),

>>11
・a=b のときは
3pq ≧（27/64)(st-u)^2 ≧（1/3)sstt,

・(a,b,c）=（0,1,8）のときは
　p=8，q=64，s=9，t=8，u=0,
（27/64)(st-u)^2 >（1/3)sstt ≧ 3pq,

大小は定まらず。
14 ：: ゆるゆると言えば、2009 BMO。
http://www.bmoc.maths.org/home/bmo2-2010.pdf

　a, b, c>0 に対して、4(a+b+c)^3 > a^2b + b^2c + c^2a.

こんなの見たら改良せざるをえない ( ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮｯ！

　a, b, c>0 に対して、4(a+b+c)^3 ≧ a^2b + b^2c + c^2a + abc.
15 ：: >>4 (1) について、a, b, c≧0 として、次の２式

(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 9(ab+bc+ca)

を合体させたくなるが、右辺の２式の大小は？

(1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) - 9(ab+bc+ca)
= s^2 + 2s + 1 + st - 8t - u

次数がバラバラなので困る… ('A`)
16 ：: >>14
それが元々のカナダMO-1995 でござるよ。（但し右辺を27倍）
イギリスMO-2009 はそれを緩めたのでござるな。

0≦a≦b,c としてよい。
4(a+b+c)^3－27(aab+bbc+cca+abc)
= 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca）+（4b+c-5a)(a+b-2c)^2≧0
等号成立は（a,b,c）=（0,2,1）とその巡回。

文献［8］　安藤「不等式」例題2.2.12(7） p.56
17 ：: >>16
なるほど。その因数分解は自力では作れそうにない。
18 ：: >>15
(1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) - 9(ab+bc+ca)
= s^2 + 2s + 1 + st - 8t - u
= (s+1)^2 + (st-9u) + 8(u-t)
= (s-1)^2 + (st-9u) + 4(2u-2t+s)

s, t, u ではうまくいかない。
19 ：: a, b, c の基本対称式 s, t, u に関する不等式で定数を含むものは、いくつくらい挙げられますか？
20 ：: >>17
と思い込んでたが、実はカナダMOの方も緩かったでござる...orz

［第8章.950］
［第8章.754（１）］に追加
a,b,c >0 のとき
（aa+2bb)(bb+2cc)(cc+2aa）≧（1/27){(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ (ab+bc+ca)^3,

(略証）
27(中辺 - 右辺）=（3st+⊿)^2 - 27t^3
= 9(ss-3t)tt + 6st⊿ + ⊿⊿
≧ (9-4√3)(ss-3t)tt
≧ 0,

〔補題〕
a,b,c ≧0，⊿=（a-b)(b-c)(c-a）のとき
｜⊿｜≦（2/√3)(ss-3t)t/s,
等号は｛a,b,c｝ = ｛1,1,1｝｛0,√3 -1,√3 +1｝など。

［第3章.727、737-739］
Casphy! - 高校数学 - 不等式１ - 339
21 ：: >>20
補題の証明で、t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿| の計算のところだけど、

> t(s^2 -3t) - ((√3)/2)s|⊿|
> = 3m^2･(x^2 +xy +y^2) + m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} + x(x+y){x - ((√3 -1)/2)y}^2
> ≧0

m･{4x^3 + 3(1-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} じゃなくて、
m･{4x^3 + 3(2-(√3)/2)xy(x+y) +2y^3} じゃないのかな？
　　　　　　　　↑ココ
22 ：: >>20
> = 9(ss-3t)tt + 6st⊿ + ⊿⊿
> ≧ (9-4√3)(ss-3t)tt

｜⊿｜≦（2/√3)(ss-3t)t/s をどう使えばいいのか教えてください。
23 ：: >>15
>>18
3u=a+b+c, 3v^2=ab+bc+ca, w^3=abc とおくと u >= v >= w
L-R = -w^3 + (9u - 24) v^2 + 9u^2 + 6u + 1 >= (8u - 15) v^2 + 6u + 1
・8u - 15 >= 0 のとき
明らか
・8u - 15 <= 0 のとき
>= (8u - 15) u^2 + 6u + 1
= (u -1)^2 (8u+1)
>= 0

ここまでやらなくとも L-R を u, v^2, w^3 で表したとき w^3 について線形関数になっているから元の不等式を c=b と c=0 の二つの場合について調べればよい
次数が揃ってなくてそのまま一変数には持ち込めないから逆に面倒かもしれないが
24 ：: >>21
［第3章.739］でござるな。
たかたじけない。その通りでござった...orz

この補題は x，y を固定して m の関数と見るのがミソでござる。
つまり、a、ｂ、cを同じ幅で一斉にずらすのでござる。
そのとき、⊿ と ss-3t = F_0 は mによらず一定で、
t = 3mm + 2m(2x+y) + x(x+y）は単調増加、
ss/tt = 3/t + F_0/tt は単調減少、t/s は単調増加。　
∴ m=0 の場合だけ考えれば十分でござるよ。(*)

* ただし a=b=c（x=y=0）の場合は一定となるので除く。

>22
　⊿⊿ の項は捨て、
　s⊿ ≧ -s|⊿｜≧ -(2/√3)(ss-3t)t,
25 ：: >>23
UVW-method のありがたみが身に沁みました。
自力で (8u-15) v^2 + 6u + 1 まで変形できるか自信ないですが。
合体！
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) ≧ 9(ab+bc+ca)

>>24
言葉で説明されて初めて、その置き換えの意味に気づきました。

|⊿| ≦ (2/√3)(ss-3t)t/s　　　　　← [>>20]
|⊿| ≦ (ss - 3t)s/{√(9+6√3)} 　← [第8章 261-262]

2√(3+2√3) > 3 なので、残念ながら右辺の大小は定まりませんな。

お二方とも有難うございます。 <(_ _)>
26 ：: ⊿=(a-b)(b-c)(c-a) に関する評価式を、過去ログから抽出してみた。

⊿^2 ≦ (a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)　　← [>>6]
|⊿| ≦ (2/√3)(ss-3t)t/s　　　　　　　　　← [>>20]
|⊿| ≦ (ss - 3t)s/{√(9+6√3)} 　　　　　← [第8章 261-262]
|⊿| ≦ (2/√3)(t/s)(s^2 -3t) 　　　　　　← [第３章 739]
|⊿| ≦ st-9u 　　　　　　　　　　　　　　　　← [第４章 624-626]
|⊿| ≦ {(a+b+c)^3 -27abc}/(6√3)　　　　← [第５章 893]

⊿ ≦ F_1 = s^3 - 4st + 9u　　　　　　　　← [第５章 283]
a^4 + b^4 + c^4 + s⊿ ≧ (1/27)s^4　　　← [第５章 569]

[第５章 763]
納n=1,2] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n} ≧ (3/2)|⊿|
納n=1,4] {a^(2n) +b^(2n) +c^(2n) -(ab)^n -(bc)^n -(ca)^n} ≧ 3(1+a+b+c +a^2 +b^2 +c^2)|⊿|
27 ：: >>25

｜⊿｜≦（2/√3)(ss-3t)(t/s),　　>>20
と
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^(3/2),
は
　ss/3t =φ =（1+√5)/2 = 1.6180340
で交差する。そこで、これらから

｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^1.2763932（3t/s)^0.4472136 ≦（2/√27)(1/φ)s(ss-3t),

としてみる。ここに、
　(2/√27)(1/φ）= 0.237881393
　残念ながら楠瀬の定数 1/√(9+6√3) = 0.227083346 より大きい。

指数は
　3/2 - 1/(2√5）= 1.2763932
　1/√5 = 0.4472136
28 ：: >>25

｜⊿｜≦（2/√3)(ss-3t)(t/s),　　>>20
｜⊿｜≦（2/√27)･0.58997984･s(ss-3t),　（楠瀬）　　
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^(3/2),
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^(3/2),
の4つで相乗平均すると、
（ss-3t)(3t）≦（1/4)s^4 =（s/√2)^4　より

｜⊿｜≦ 0.876413973（2/√27）（ss-3t)^(5/4）（3t)^(1/4）≦ 0.876413973√(2/27）s(ss-3t),

ここに、
　0.619718263（2/√27）= 0.23852967
　これも　楠瀬の定数 1/√(9+6√3）= 0.227083346 より大きい。

　3/√(12+8√3）= 0.58997984
　｛3/√(12+8√3)}^(1/4）= 0.876413973
29 ：: 任意の非負実数 a, b, c に対して次の不等式が成り立つ
　(1) (a^3+b^3+c^3-3abc) >= A |(a-b)(b-c)(c-a)|
　(2) (a^3+b^3+c^3) >= A |(a-b)(b-c)(c-a)|
　(3) (a+b+c)^3 >= B |(a-b)(b-c)(c-a)|
　(4) (a+b+c)^3 - 27abc >= B |(a-b)(b-c)(c-a)|
, A=sqrt(9+6sqrt(3)), B=6sqrt(3). 両方とも A, B が最良
abc の項はあってもなくても係数は同じだからもっといい不等式が作れそうなきがする

30 ：: >>26
> ⊿ ≦ F_1 = s^3 - 4st + 9u　　　　　　　　← [第５章 283]

この証明が分かりませぬ…。過去ログに載っていないような。
ずっと考えていたんですが、緩い評価しかできませんですた。 ('A`)

L = a^2b + b^2c + c^2a
R = ab^2 + bc^2 + ca^2

ssu/t ≦ L，R ≦ s(ss-2t)/3　（左側は差をとる。右側はCauchyで。）

⊿= (a-b)(b-c)(c-a)
=　(a+2b)(b+2c)(c+2a) - 3st
=　(2L + 4R) + 9u - 3st
≦ 6*s(ss-2t)/3 + 9u - 3st
=　2s^3 - 7st + 9u
=　(s^3 - 4st + 9u) + s(s^2 - 3t)
=　F_1 + sF_0

∴ ⊿ ≦ F_1 + sF_0

ぬるぬるでござった…。もっと厳しく！もっとキツく！！
31 ：: >>30
a=1, b=2, c=0 で成り立たない
過去ログでは三角形の辺となっているから a=x+y… とおくと
L^2 - R^2 = 4(xy^2+yz^2+zx^2-3xyz)(x^2y+yz^2+zx^2-3xyz) >= 0
32 ：: >>31
条件を見落としていました。ありがとうございます。
33 ：: >>30

左側は差をとる。
Rt -ssu =（aabb･b + bbcc･c + ccaa･a）-（aabb･c + bbcc･a + ccaa･b）
　=｛(4aab^3 + bbc^3 + 2cca^3)/7 - aabbc｝+ cyclic.
　≧0,
Lt -ssu =（aabb･a + bbcc･b + ccaa･c）-（aabb･c + bbcc･a + ccaa･b）
　=｛(4bba^3 + 2ccb^3 + aac^3)/7 - aabbc｝+ cyclic.
　≧0,

右側も差をとる。
s(ss-2t）- 3R = a(a-c)^2 + b(b-a)^2 + c(c-b)^2 ≧ 0,
s(ss-2t）- 3L = a(a-b)^2 + b(b-c)^2 + c(c-a)^2 ≧ 0,

⊿ = R-L
　= 2R -（L+R)
　≦ 2s(ss-2t)/3 -（st-3u)
　=（2s^3 -7st +9u）/3
　=（F_1 + s F_0）/3,

>>31
反例は a=1，1/φ < b < φ，c=0 ですね。

（st-9u)^2 - ⊿⊿ =（R+L-6u)^2 -（R-L)^2 = 4(R-3u)(L-3u）≧0,
34 ：: >>25 >>28

｜⊿｜≦（2/√3)(ss-3t)(t/s),　　>>20
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^(3/2),
｜⊿｜≦（2/√27)(ss-3t)^(3/2),
の3つで相乗平均すると、
（ss-3t)(3t）≦（1/4)s^4 =（s/√2)^4　より

｜⊿｜≦（2/√27）（ss-3t)^(4/3）（3t/s)^(1/3）≦（2/√27）（1/4)^(1/3）s(ss-3t),

ここに、
　（2/√27）（1/4)^(1/3）= 0.2424719191
　当然ながら、これも楠瀬の定数 1/√(9+6√3）= 0.227083346 より大きい。
35 ：: >>33 （修正）
　1/φ<b<φ　かつ　b≠1

-----------------------------------

〔補題〕
x,y,z>0 のとき
x^3 + y^3 + z^3 + ｛√(27/2）- 3｝xyz ≧（1/√2）（xx+yy+zz）^(3/2),
36 ：: >>4

[4]
　ab+bc+ca=t とおく。
（aa+2)(bb+2)(cc+2）-4(aa+bb+cc）-5(ab+bc+ca）-（abc-1)^2
　= 2(aabb+bbcc+ccaa）+2abc -5(ab+bc+ca)t+ 7
　=｛(4-√6)/3｝（aabb+bbcc+ccaa）
　+｛(2+√6)/3｝（aabb+bbcc+ccaa + ab+bc+ca）+2abc
　-｛(17+√6)/3｝（ab+bc+ca）+ 7
　≧｛(4-√6)/9｝tt
　+ 2{(2+√6)/3｝｛(ab)^(3/2）+（bc)^(3/2）+（ca)^(3/2)｝+ 2abc　（←補題>>35)
　-｛(17+√6)/3｝t + 7
　≧｛(4-√6)/9｝tt +｛2(√2+√3)/3｝t^(3/2) -｛(17+√6)/3｝t +7
　=｛［(4-√6)/9］t +（14/√27)√t +（7/3)｝（√t - √3)^2
　≧ 0,

[3］も［4］から出る。
37 ：: 最近やった問題の類題を見つけたのでメモ。
(5)を参考にすれば、>>5の M(a,b,c) が作れる鴨…

【問題】-----------------------------------------------
(1)
a, b, c >0 に対して、
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ 3*[a*{(a+b)/2}*{(a+b+c)/3}]^(1/3)

(2)
a, b >0 に対して、QM + HM ≧ AM + GM

(3)
a, b, c >0 に対して、9*AM ≧ 8*GM + M_3 （M_3は3乗平均とする）

(4)
a, b, c >0 に対して、3*A(a,b,c) ≧ H(a,b) + H(b,c) + H(c,a)

(5)
a, b, c ≧0 に対して、
4(a+b+c)^6 ≧ 243(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ca+a^2)

-----------------------------------------------------
参考(1) [第８章 972、2016 TOT]
a, b, c >0 に対して、a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) ≦ (4/3)*(a+b+c)

参考(2)(3) [第８章 755,727,782,794、出典不明]
a, b, c >0 に対して、2*QM + 3*GM ≦ 5*AM
a, b, c >0 に対して、AM + HM ≧ 5*GM/{16^(1/3)}

出典：>>2 柳田pdf
(1) P.10 問17、初等的な不等式Ⅰ(問題)
(2) P.13 問7、初等的な不等式Ⅰ(問題)
(3) P.256 問103、初等的な不等式Ⅲ
(4) 佐藤[9] P.16 問1.56
(5) P.15 問6、初等的な不等式Ⅱ
38 ：: >>37

(2)
GG, AA, QQ は等差数列
　Q + G ≦ √{2(QQ+GG)｝= 2A

H，G，A は等比数列
　QQ-GG = 2(AA-GG）= 2A(A-H),

∴（Q-G)/(A-H）= 2A/(Q+G）≧ 1,

(4）演習問題1.55
39 ：: >>37 (4)
> a, b, c >0 に対して、3*A(a,b,c) ≧ H(a,b) + H(b,c) + H(c,a)

不等式！改造せずにはいられないッ！

(a+b+c)/3 ≧ 3/{2/(a+b) + 2/(b+c) + 2/(c+a)} ≧ {2ab/(a+b) + 2bc/(b+c) + 2ca/(c+a)}/3 ≧ 3abc/(ab+bc+ca)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾟ.ﾉヽ
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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |　i'
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　　　　　　　　　　　　　　_,,...,-‐-､/　　　 i
　　　　　　　　　　　　　<,,-＝=､　　　,,-,/
　　　　　　　　　　　　{~''~>`v-''`ｰﾞ`'~
　　　　　　　　　　　ﾚ_ﾉ

　　　　　　　,　彡三ミ
ｷﾀ━━━（（ ((..ﾟ∀ﾟ)) ） )━━━━!!!!!!
　　　　　　　ヾヽﾐ三彡, ソ
　　　　　　／　）ﾐ18彡ノ
　　　　　　／（ﾐ　彡゛
　　　　　　　　＼(
　　　　　　　　　　)）
　　　　　　　　　（
40 ：: >>37 (1)の改造。

a, b, c, d >0 に対して、
a + (ab)^(1/2) ≦ 2*[a*{(a+b)/2}]^(1/2),
a + (ab)^(1/2) + (abc)^(1/3) + (abcd)^(1/4) ≦ 4*[a*{(a+b)/2}*{(a+b+c)/3*{(a+b+c+d)/4}]^(1/4)

５文字のときは、うまくいかなかった（証明できなかった）でござるが、本当にダメなんだらうか？
41 ：: >>40
Show that for all nonnegative a[1], …, a[n],
　(a[1] + (a[1]a[2])^(1/2) + … + (a[1]…a[n])^(1/n)) / n <= (a[1] * (a[1] + a[2])/2 * … * (a[1] + … + a[n])/n)^(1/n).
【Kiran Kedlaya】
42 ：: >>41
なんと！帰納法を使うのかなあ…
43 ：: >>37 (5)の解答例で、aを最小数として、b=a+p、c=a+qとおいて代入して展開していますが、他の回答はないですかね？
44 ：: >>37 (1)
>>40
G1=a，G2=√(ab)，G3=(abc)^(1/3)，…とおく。
コーシーで
（a+a)(a+b）≧（G1+G2)^2,
（a+a+a)(a+G2+b)(a+b+c）≧（G1+G2+G3)^3,
（a+a+a+a)(a+a+b+b)(a+b+G3+c)(a+b+c+d）≧（G1+G2+G3+G4)^4,

>>39
チェビシェフで
｛c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)} {2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)｝≦ 6(a+b+c),
∴　1／H(A(a,b)，A(b,c)，A(c,a)）≦ s/t,

｛(a+b)+(b+c)+(c+a)} {2ab/(a+b)+2bc/(b+c)+2ca/(c+a)｝≦ 6(ab+bc+ca),
∴　A(H(a,b)，H(b,c)，H(c,a)）≦ t/s,
　
よって
A(a,b,c)）= A(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ H(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ A(H(a,b),H(b,c),H(c,a))
≧ H(H(a,b),H(b,c),H(c,a)）= H(a,b,c),
45 ：: >>44
さらに改造。

A(a,b,c)）= A(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ H(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ A(H(a,b),H(b,c),H(c,a))
≧ G(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) = G(a,b,c）　← ココ
≧ H(H(a,b),H(b,c),H(c,a)） = H(a,b,c),

もう一つ、私の計算に間違いがなければ…

G(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ A(G(a,b),G(b,c),G(c,a))
≧ G(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) = G(a,b,c）
≧ H(G(a,b),G(b,c),G(c,a))
≧ G(H(a,b),H(b,c),H(c,a)）

そして、この２つを合体させようと思いつつも、
>>37 (5)の m = min{a,b,c} を用いない解法を考えながら、
>>5 の M(a,b,c)に使えそうな次の問題の証明を考え中なのであった…。

[問題]--------------------------------
a, b, c >0 かつ a+b+c=2 に対して、
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≦3
-------------------------------------

これは、次数を揃えるには、右辺に {(a+b+c)/2}^6 を掛ければよいのかな？
46 ：: >>44
まとめて
A(a,b,c）≧ H(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧（ab+bc+ca)/(a+b+c)
≧ A(H(a,b),H(b,c),H(c,a))
≧ H(a,b,c),

>>45
（上）
（a,b,c）=（1,1,G^3）の場合を考えると…

G < （√13 -1)/6 　⇒　H(A,A,A） > A(H,H,H） > G
（√13 -1)/6 < G < （√13 +1)/2　⇒　H(A,A,A） > G > A(H,H,H)
（√13 +1)/2　< G ⇒　G > H(A,A,A）> A(H,H,H)

（√13 -1)/6 = 0.434258546
（√13 +1)/2 = 2.802775638

（下）
等号成立は（a,b,c）=（1,1,0）とその巡回　｛(1,1,1）では不成立｝
47 ：: >>46
ぐはっ…、申し訳ない。（焼き土下座略）
48 ：: >>37 (3)

（M_3)^3 = (a^3+b^3+c^3)/3
= 9A^3 -8G^3 -（st-9u)
≦ 9A^3 - 8A^3,

（9A-8G)^3 - （M_3)^3
≧（9A-8G)^3 - （9A^3 -8G^3)
= 72(10A^3 -27AAG +24AGG -7G^3)
= 72(10A-7G)(A-G)^2
≧ 0,
∴ 9A-8G ≧ M_3,
ただし、s = a+b+c = 3A、 u = abc = G^3、

>>39
　近畿地方は昨晩通過しますた（ミサイルぢゃなくて台風18号）　快晴でつ。
49 ：: >>41 について、載っている書名とか分かりませんか？証明方法が知りたいでござる。

>>48
問題>>37(3)は、面白いでござるな。
示すべき不等式が 9A-8G ≧ M_3で、9A^3 - 8G^3 ≧ (M_3)^3 も成立するという。
50 ：: >>43
a+b+c=3, a>=b>=c とすると c=3-a-b, a+b-3 <= 0, 2a+b-3 >= 0, a+2b-3 >= 0
示すべき不等式は 12 >= (a^2-ab+b^2)(c^2-ca+a^2)(b^2-bc+c^2)
R(a,b,c)=(a^2-ab+b^2)(a^2-ac+c^2)(b^2-bc+c^2)
= (a^2-ab+b^2) (a^2+(a+b-3)(2a+b-3)) (b^2+(a+b-3)(a+2b-3))
<= (a^2-ab+b^2) a^2 b^2
= R(a, b, 0)
よって c=0 のときに不等式を示せばよい
L(a, b, 0) - R(a, b, 0)
= 12((a+b)/3)^6 - (a^2-ab+b^2) a^2 b^2
= ((2a-b)^2 (a-2b)^2 (a^2+11ab+b^2))/243
>= 0

等号成立が (0, 1, 2) だから模範解答の BW が無難かと
51 ：: >>49
Kiran Kedlaya, Proof of a Mixed Arithmetic-Mean, Geometric-Mean Inequality, The American Mathematical Monthly, Vol.101, No.4., (Apr., 1994), pp.355-357
平均同士の mixture は結構研究されているみたい（この不等式自体20年も前の研究）
掘るとAM-GMバージョンとか色々と出てくる
52 ：: >>43
>>50
a+b+c=3 なんてする必要なかった
R(a,b,c) = 4(a+b+c)^6 >= 4(a+b)^6 >= R(a,b,0)
L(a,b,c)
=243 (a^2-ab+b^2) (b^2-(b-c)) (a^2-c(a-c))
<= 243 (a^2-ab+b^2) a^2 b^2
=L(a,b,0)
あとは c=0 のとき不等式を示せばよい

なんて遠回りをしていたんだ
53 ：: >>51
ありがとうございます。
これはAMMの記事ですかな？知りたい情報がすぐにネットで読めるとは、よい時代になりましたなあ。

>>52
ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!
これで計算が一気に簡単になります。
54 ：: >>45
下側を改造厨が改造中。

　　A(A(a,b),A(b,c),A(c,a)) = A(a,b,c）
≧ G(A(a,b),A(b,c),A(c,a))
≧ (st/9)^(1/3)
≧ (t/3)^(1/2)
≧ A(G(a,b),G(b,c),G(c,a))
≧ G(G(a,b),G(b,c),G(c,a)) = G(a,b,c）
≧ H(G(a,b),G(b,c),G(c,a))
≧ (3u/s)^(1/2)
≧ (9uu/st)^(1/3)
≧ G(H(a,b),H(b,c),H(c,a)）
≧ H(H(a,b),H(b,c),H(c,a)） = H(a,b,c）

大丈夫かな？
55 ：: >>49 下

A(a,b,c）= A，G(a,b,c）= G，M_3(a,b,c）= M_3　と略記する。

A ≧ M_3(M_3，G，…，G）≧ A(M_3，G，…，G）=（M_3 + 8G)/9,
　　　　　　　　　　8個　　　　　　　　　　　8個
でござるな。

或いは、ｆ(x）= x^3 が下に凸であることから､A≦G≦M に対して
　（A^3 - G^3)/(A-G）≦ 3AA ≦（M^3 - A^3)/(M-A),

これと　8(A^3-G^3）≧ M^3 - A^3　より
　8(A-G）≧ M-A,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

>>46　　最後
　（2/3，2/3，2/3）では不成立　

>>48　3行目あたり
　≦ 9A^3 - 8G^3
56 ：: >>54

　H(A,A,A）≧ t/s ≧ A(H,H,H),　　>>46
と組み合わせれば
… ≧（st/9)^(1/3）≧ H(A,A,A）≧ t/s ≧ A(H,H,H）≧（9uu/st)^(1/3）≧ …
かな。

（現代語訳）
はじめの A，G，H で大勢は決するんよ。
あとの A，G，H は狭い範囲内のことなんで微調整やなぁ。

>>55 中ほど
…、G≦A≦M に対して
57 ：: >>37(3)
いま検索中に見つけたんだけど、一体ヘルダーをどう使っているのだろうか？
https://artofproblemsolving.com/community/c6h441200p2486211
58 ：: 4(2X)+1Y<=(4^(3/2)+1^(3/2))^(2/3)((2X)^3+Y^3)^(1/3).
59 ：: >>57
(1 + 8)(1/3 + 8/3)((a^3+b^3+c^3) + 24abc) >= (((a^3+b^3+c^3)/3)^(1/3) + 8(abc)^(1/3))^3
60 ：: n≧3 とする。(*)

（a+b+c)^n ≧ a^n + b^n + c^n + 3(N-1)(abc)^(n/3),
A^n ≧（1/N){(M_n)^n + G^n + … + G^n｝,
　　　　　　　　　　　　　　　　N-1 個
N = 3^(n-1）とおいた。

コーシーあるいは f(x)=x^n の凸性から
A^n ≧（1/N){(M_n)^n + G^n + … + G^n｝≧｛(M_n + G + … + G)/N}^n
∴　A ≧（M_n + G + … + G)/N,
等号成立は M_n = G、a=b=c のとき。

*　n=2のときも成り立つが緩い。
61 ：: >>58-59
なるほど、さんくす。ようやく理解できた。
62 ：: さっそく、>>37(3)の類題を作ってみた。

【類題】（自作なので間違っていたらゴメソ）
a,b,c>0 の相加平均、相乗平均、２乗平均を A、G、Qとする。
(1) 3A ≧ 2G+Q
(2) 9A ≧ 2G+5Q
63 ：: >>62
(2)は係数が気に入らない。
64 ：: >>62
AM >= pGM + qQM
(1) (0.6666666666666666, 0.3333333333333333)
(2) (0.2222222222222222, 0.5555555555555556)
最適値は ((45-7sqrt(7))^(1/3)/9, 5/9) = (0.3311784484968155, 0.5555555555555556)
(3) (1-sqrt(2)/3 sqrt(2)/3) = (0.5285954792089682, 0.4714045207910317)
(4) (5^(2/3)/6, 1/2) = (0.4873362897021443, 0.5)
65 ：: a, b, c>0 とする。(a+b+c)^3 について。

[a] (a+b+c)^3 ≧ (27/8)*(a+b)(b+c)(c+a)
[b] (a+b+c)^3 ≧ 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
[c] (a+b+c)^3 ≧ (27/4)*(a^2b + b^2c + c^2a + abc)

[A] (a+b+c)^3 ≦ 9(a^3+b^3+c^3)
[B] (a+b+c)^3 ≦ (a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)
[C] (a+b+c)^3 ≦ (a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2)

[a] と [b] は合体できるでござる。
[d] (a+b+c)^3 ≧ (27/8)*(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)

[疑問]
(1) [c]の右辺と、[a], [b]の右辺との大小は定まるか？
(2) [A], {B}, {C} の右辺の大小は定まるか？

参考---------------------
[b] [安藤、不等式 P.29]
[c] >>16 [1999 CMO]

[B] [第１章 352]
[C] [第１章 367]
66 ：: >>65
[疑問](1)の訂正。
[a]の右辺と[c]の右辺の大小は一定でないことは、既に確認済み。
反例は、c=1 のときに、(a-1)(b-1)の正負で大小が変わる。

色々計算していたら、調べ終わったことをすっかり忘れていました。
67 ：: >>66
重ね重ねすみません。
>>65の訂正は無かったことに。ホント申し訳ないです。
別の問題とゴチャゴチャになっていました。

比較して大小が定まらなかったのは、次式の右辺の大小でした。
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 3(a+b+c)^2
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)

行き詰まったら別の問題へと、あれこれ弄っていたら、ゴチャゴチャになってしまいました。
ひとつ解決するごとに、ちゃんと清書しておくべきですね（切腹AA略）
68 ：: >>62 >>64

(1）（p，q）=（2/3，1/3）

　　（p，q）=（3/5，2/5）　　　>>37 参考［第８章.755、808］

は緩く、最良値は

(3）（p，q）=（1 -(√2)/3，（√2)/3）

でござるな。

　（p，q） =（{1+√(1/3)}/3，{2-√(1/3)}/3）=（0.525783423，0.474216577）
　等号成立は（a，b，c）=（1，1，1）と（1，1，(1+√3)/2）

は無理？
69 ：: >>35
この補題の証明を教えてください <(_ _)>
70 ：: [1] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) ≧ 9(ab+bc+ca)
[2] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 3(a+b+c)^2　　　　　　　 ≧ 9(ab+bc+ca)
[3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (2a+2b+2c-abc)^2

（疑問）
[3]の右辺 (2a+2b+2c-abc)^2 と [1],[2]の右辺の３式の大小は定まりますか？
試しにc=0にすると、[3]の右辺の方が大きいようで、定まりそうな希ガス。
差を s,t,u で計算したが無理で、u,v,wで試したが使い慣れていないせいか行き詰まりました。

（参考）
[1] >>4,>>15,>>23
[2] 第８章456
[3] lhs - rhs = 2(ab+bc+ca-abc)^2 ≧0

[1],[2]の中辺の (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a) と 3(a+b+c)^2 の大小は一定でないでござる。
c=1 のときに (a-1)(b-1)の正負で大小が変わるから。
71 ：: >>68
その最良値は、どのようにして求めるのですか？
考え方を教えてください。

-------------------------------------------
>>62を、>>57-59の方法で証明するでござる。

AM-GMより
(a+b+c)^2 = 2(ab+bc+ca) + (a^2+b^2+c^2) ≧ 3(2G^2 + Q^2)

Cauchyより
3A = a+b+c = {(2+1)(2G^2 + Q^2)}^(1/2) ≧ 2G+Q
9A = 3(a+b+c) = {(2+25)(2G^2 + Q^2)}^(1/2) ≧ 2G+5Q
72 ：: >>65

［疑問1］

［b］/27 =（a+b-c)(b+c-a)(c+a-b）= abc - F1(a,b,c）≦ abc,

∴ ［a］≧［b］、［c］≧［b］

［a］=（27/8)(st-u）=（[c］+［c~])/2,
［c］=（27/4)(L+u),　　　　>>30
［c~]=（27/4)(R+u),　　　　>>30
　　　
［a］と［c］の大小は定まらず。

［疑問2］

（a^5 -aa +3）-（a^3 +2）=（a^3 -1)(aa-1）≧0,
より
［B］≧［A]，［C］

［A］と［C］の大小は定まらず。
73 ：: >>19
(a-1)^2 + (b-1)^2 + (c-1)^2 ≧0 より、s^2 - 2s - 2t + 3 ≧0 とか…
74 ：: >>72
ありがとうございます。
75 ：: >>11
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) ≧ 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2

この証明を教えてください。
以前まとめたはずが見当たらず、自力で取り組んで挫折しました…。
76 ：: >>65
をまとめて

（a^5 -aa+3)(b^5 -bb+3)(c^5 -cc+3)
≧｛(a^3 +2)(b^3 +2)(c^3 +2)，9(a^3 +b^3 +c^3)｝
≧（a+b+c)^3
≧｛(27/8)(st-u)，（27/4)(L+u)，（27/4)(R+u)
≧ 27abc
≧ 27｛abc - F_1(a,b,c)｝
= 27(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b),
77 ：: >>75
自己解決しました。見たことあるような無いような…。

(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2) - 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2 = ⊿^2
78 ：: >>77

>>5-9 のあたり
79 ：: >>78
こんなところに…
80 ：: (Q-G)/(A-G)<=9/(6-r3).
81 ：: >>68
成り立ちます

>>69
L-R = Aw^3 + B(u, v^2)
A = sqrt(27/2), B は u, v の関数
よって (a, 1, 0), (a, 1, 1) のときに不等式を示せばよい
あとは微分

>>70
いずれも定まらない
a, b を十分大きくとって c = 2(a+b)/(ab-2) とすると [3] の右辺は必ず 0 となる
一方他の辺はすべて非負値を取りうるから考えられるとしたら [3] の右辺が最小
一方 a を大きく b = c = 0 としたら明らかに [3] の右辺が最大
よって定まらない

>>71
一個目について
L-R = Aw^3 + B(u, v^2)
A = -p, B は u, v の関数
よって (a, 1, 0), (a, 1, 1) のときに不等式を示せばよい
このときの p, q の領域の端点が最適
ただ解析はさほど知識がないので端点を求められず適当な値を当てはめて妥協したのが >>64
82 ：: ありがとうございます。
83 ：: [5] Given real numbers a, b, c satisfying a + b + c = 3 and abc >= -4. Prove that
3(abc+4) >= 5(ab+bc+ca).
[8] Given three circles (O[1]R[1]), (O[2]R[2]), (O[3]R[3]) which are pairwise externally tangent to each other at A, B, C. Let r be the radius of the incircle of ABC. Prove that
r <= (R[1] + R[2] + R[3]) / (6sqrt(3)).
[9] Given positive numbers x, y, z satisfying
x^2 + y^2 - 2z^2 + 2xy + yz + zx <= 0.
Find the minimum value of the expression
P = (x^4 + y^4) / z^4 + (y^4 + z^4) / x^4 + (z^4 + x^4) / y^4.
[10] Find the maximum value of the expression
T = (a+b)/(c+d) * ((a+c)/(a+d) + (b+d)/(b+c))
where a, b, c, d belong to [1/2, 2/3].
【Mathematics and Youth Magazine Problems - Sep 2017, Issue 483】

原文のままだけど [8] は R[1] とかが円の半径なのかな？
84 ：: >>70

［第8章.456］
　Asia-Pacific MO-2004改
　文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改　p.140

[1］
（中辺）= 1 +2s +（ss+t）+（st-u）≧｛1 +√(t/3）+√(t/3)}^3 ≧ 9t,

[2］
（aa+2)(bb+2)(cc+2）- 3(a+b+c)^2
= 3(a+b+c)^2 +（abc-1)^2 + 2(ab-1)^2 + 2(bc-1)^2 + 2(ca-1)^2 +（2G+1)(G-1)^2
　+｛aa +bb +cc + 3GG - 2(ab+bc+ca)},

｛aa + bb + cc +3GG -2(ab+bc+ca)｝≧ ss -4t +9u/s = F_1/s ≧ 0,
　［第8章.388(3)、403、432］

あるいは　f(x）= exp(2x）は下に凸だから Popoviciu を適用する。
　文献［9］佐藤(訳)、演習問題1.90　p.41

[3］（aa+2)(bb+2)(cc+2）=（2s-u)^2 + 2(t-2)^2,

｛a+√(-2)}{b+√(-2)}{c+√(-2)｝= -(2s -u）+（t-2){√(-2),}
のノルムをとる。
85 ：: >>83

［9］
（x+y+2z)(x+y-z）=（x+y)^2 +(x+y)z -2zz ≦ 0,
題意より x+y+2z > 0
∴　z ≧ x+y,　　（反三角不等式）
w =｛2z/(x+y)}^4 ≧ 16,

P(x,y,z）≧ P((x+y)/2，(x+y)/2，z）
= 2 + 2{(x+y)/2z}^4 + 2{2z/(x+y)}^4
= 2 + 2/w + 2w　　（← w>1 で単調増加）
≧ 2 + 1/8 + 32
= 34 + 1/8,
86 ：: >>4 の (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) を弄っていて、妙なものができたんだけど…
(1), (2)はよくあるけど、(2)を見た後の(3)がなんとも気持ち悪いのでござる。

(1) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (ab+2)(bc+2)(ca+2)
(2) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ (2√2)*(a+b)(b+c)(c+a)
(3) (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 8*√{(a+b)(b+c)(c+a)}
87 ：: [問題]
a, b, c>0に対して a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 1 ≧ 2(ab+bc+ca)

出典：https://artofproblemsolving.com/community/c6h155443
タイトルが easy なのに、非同次は難しい。
あと、cosに置き換えるのは、おかしいと思う。
88 ：: >>86

(1)
｛a+√(-2)}{b-√(-2)｝=（ab+2）+（a-b)√(-2),
（aa+2)(bb+2）≧（ab+2)^2

(2)
｛a+√(-2)}{b+√(-2)｝=（ab-2）+（a+b)√(-2),
（aa+2)(bb+2）≧ 2(a+b)^2,
（左辺）≧(16√2)/9・st ≧（16√6)/9・t^(3/2)

(3)
（1+aa+1)(1+1+bb)
≧（1+a+b)^2　　　（コーシー）
= 4(a+b）+（1-a-b)^2
≧ 4(a+b),　　　　（AM-GM)
（左辺）≧（16/3)√(2st）≧（16/3)√(2√3)・t^(3/4),

(4)
（aa+1+1)(1+bb+1)(1+1+cc）
≧｛a^(2/3）+ b^(2/3）+ c^(2/3)}^3　　（コーシー）
≧ ss +4t +６GG,

気持ち悪い…
89 ：: >>88

(4)
（aa+1+1)(1+bb+1)(1+1+cc）
≧（a+b+1)(1+b+c)(a+1+c）　　　　（コーシー）
≧｛a^(2/3）+ b^(2/3）+ c^(2/3)}^3　　（コーシー）
≧ ss +4t +6u^(2/3)
≧ 8t +（9u + F_1)/s,
90 ：: >>4 [4]
(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≧ 4(a^2+b^2+c^2) + 5(ab+bc+ca) + (abc-1)^2

下のリンクでは、b=c の場合と c=0 の場合に分けて証明しているのですが、
その場合分けだけでいい理由が分かりません。なぜでしょうか？
http://artofproblemsolving.com/community/c6h581954p3439830
91 ：: >>36
難しすぎでござる…
92 ：: >>76
> （a^5 -aa+3)(b^5 -bb+3)(c^5 -cc+3) ≧ 9(a^3 +b^3 +c^3)

この証明を教えてください。
93 ：: >>76
> ≧（a+b+c)^3
> ≧｛(27/8)(st-u)，（27/4)(L+u)，（27/4)(R+u)
> ≧ 27abc

（a+b+c)^3 ≧ a^3 + b^3 + c^3 + 24abc ≧ 27abc もありますね。

(a^3 + b^3 + c^3 + 24abc) - (27/8)(st-u)
= F_1 - 19(st-9u)/8

大小は定まりそうになさそう？
94 ：: >>11
a, b, c >0 に対して、
(1) 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ (ab+bc+ca)^3　←>>11
(2) 3(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2) ≧ abc(a+b+c)^3　←出典は下に。

右辺の2式の大小は定まらないですよね？
一息つく間もないでござるな。

(ab+bc+ca)^3 - abc(a+b+c)^3 = u^2 F_{-2} - uF_1

出典
(2) Old and New Inequalities 問42
95 ：: >>90
そこが肝

次の強力な定理が成り立つ（厳密には存在性が必要）
i) u, v^2 を固定すると w^3 は c=0 または c=b のときのみ最大・最小となりうる
ii) u, w^3 を固定すると v^2 は c=0 または c=b のときのみ最大・最小となりうる
iii) v^2, w^3 を固定すると u は c=0 または c=b のときのみ最大・最小となりうる

リンク先は違う置換の方法だけど、一般的な（係数と次数を調整した）置換 3u=a+b+c, 3v^2=ab+bc+ca, w^3=abc をすると不等式は
(2-12u)w^3+18v^4-15v^2+7 >= 0
となる。これは u, v^2 を固定すると w^3 についての一次関数。一次関数は区間の端点、つまり w^3 が最大・最小となるときに関数値が最小となる。定理 i) から右辺は c=0 または c=b のときに最小となりうるのでこのときだけ不等式を示せばよい

定理自体は uvw とは関係なく ABC Theorem として知られる。(洋書文献[3],p.155)
この定理を用いると五次以下の対称不等式は (a, b, 0), (a, b, b) のとき、さらに斉次のときは (a, 1, 0), (a, 1, 1) のときに不等式を示せばよいことがわかる
96 ：: >>94
c=0 とすると正の値を取りうることは明らか
abc = 1 とすると L -R は簡単に因数分解できて符号は因数 ab+bc+ca-a-b-c で決まる
b = c -> 0 とすれば a -> inf でこれは負となる
実際 L-R = -(a^2-bc)(b^2-ca)(c^2-ab) となり符号は定まらない
97 ：: >>40-42

５文字のときもコーシーで　　　>>44

(a+a+a+a+a)(a+a+G2+b+b)(a+G2+b+C'+c)(a+b+C'+D'+d)(a+b+c+d+e）≧（G1+G2+G3+G4+G5)^5,

ここに
　G2 = √(ab）≦（a+b)/2,
　G3 =（abc)^(1/3）≦（a+b+c)/3,
　C ' = √(G3･c）≦（G3+c)/2 ≦（a+b+4c)/6，
　D ' =（G3･ccd)^(1/4）≦（G3+2c+d)/4 ≦（a+b+7c+3d)/12,

今回は非対角要素まで補正した。もちろん、実対称ではござるが。
98 ：: >>94

(1）　　　　コーシーで　（>>9 最後）

3LR - t^3
=（1+1+1)(aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa）-（ab+bc+ca)^3
= 3u(s^3 -4st +9u）+ 2(t^3 -4stu +9uu) +2u(st-9u)
= 3u F_1(a,b,c）+ 2 F_1(ab,bc,ca）+ 2u(st-9u),

(2)
3LR - us^3
= 2u(s^3 -4st +9u）+ 3(t^3 -4stu +9uu) +2u(st-9u)
= 2u F_1(a,b,c）+ 3 F_1(ab,bc,ca）+ 2u(st-9u),

F_1(ab,bc,ca）= uu F_{-2}(a,b,c)

大小は定まらず。
99 ：: >>94　続き

F_1(ab,bc,ca）- u F_1(a,b,c)
=（t^3 -4stu +9uu）- u(s^3 -4st +9u)
= t^3 - us^3
=（ab)^3 +（bc)^3 +（ca)^3 -abc(a^3 + b^3 + c^3)
= aab･abb + bbc･bcc + cca･caa - aab･caa - bbc･abb - cca･bcc

の符号は決まらず。
100 ：: >>95-96
詳しくありがとうございます。（未だ理解できていませんが）
洋書文献[3],p.155を調べてみます。

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