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キチガイ関数一覧表できたよー(R→R編)
33歳数学ど素人だが、フィールズ賞目指すスレ
テストスレ
╋|||《数学オリンピック 30》|||╋
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ようじょですpart4
素人には 8÷2(2+2) を16と答える馬鹿が居るらしい
Inter-universal geometry と ABC 予想 45
テストスレ
【理3悲報】 高専＞理3
- 38 ：
- まず、性質G とかいうゴミのような書き方について整理しておく。
＞命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
＞命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
この2行から分かるように、「性質G」という言葉は「集合」を修飾する言葉になっている
(厳密には、R の部分集合を修飾する言葉になっている)。たとえば、
「 B_f は性質Gを持つ」「 R−B_f は性質Gを持たない」「ある開区間は性質Gを持つ」
などなど。従って、性質Gは R の部分集合 X を与えるごとに決まる命題だと考えるべきであり、
「性質G」ではなく「命題 G(X) 」という書き方をすべきである。すなわち、
「 G(B_f) は真である 」「 G(R−B_f) は偽である 」「ある開区間(a,b)に対してG((a,b))は真である」
といった書き方をすべきである。この場合、命題P',Q',Q は次のように書ける。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
G(X)： R の部分集合 X に対して定義された、何らかの命題
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、G(B_f)は真である」
命題Q’：「R−Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」
P ＝ P'∧Q'
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
- 39 ：
- では、命題 G(X) として何を採用すれば、定理1.7の正しい言い換えになるのか？既に見たように、
G(X)： f は X の上でリプシッツ連続である
とした場合、――あるいは、同じことだが、
G(X)：∃L＞0, ∀x,y∈X [ ｜f(x)−f(y)｜≦ L｜x−y｜]
とした場合、
命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」
は命題Qa(前スレ>>583)に一致する。しかし、
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、G(B_f)は真である」
がおかしなことになる。なぜなら、
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、fはB_fの上でリプシッツ連続である」
となってしまうからだ。定理1.7では、このような仮定は置いていない。また、一般論としても、
fはB_fの上で必ずしもリプシッツ連続にはならない。従って、G(X) を上記のようにしてしまうと、
定理1.7 の言い換えにはならない。では、どんな G(X) にすれば、定理1.7 の正しい言い換えになるのか？
俺は知らないｗ
スレ主とかいうゴミクズが勝手に導入しただけだから、真相はスレ主のみが知っているｗ
- 40 ：
- >>25
＞ここで、ある性質Gで： f：R → R BfをRの部分集合で、Bf上関数ｆが連続とする
この部分を G(X) という書き方で書き直すと、次の2種類に解釈できる。
・ G(X)： Bf 上関数ｆが連続
・ G(X)： X 上関数ｆが連続
それぞれの場合において、
命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」
という命題は次のようになる。
・ 命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、Bf上関数ｆは連続である」
・ 命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、(a,b)上関数ｆは連続である」
どちらのケースの場合も、定理1.7 とは別物になっているので、
定理1.7 の正しい言い換えになっていないｗｗｗ
定理1.7 の言い換えをしたいわけではなく、単に G(X) の一例を出しただけであるようにも読めるが、
そんなことをするよりも前に、まずは定理1.7の正しい言い換えが得られるような正しい G(X) を提示せよ。
- 41 ：
- >>25
ちなみに、
＞R−Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密である。このような関数の例として、有名なトマエ関数およびその類似関数がある
この部分は間違っている。トマエ関数及びその類似品は、R−B_f が第一類集合になってないからだ。
俺の言いつけどおり、P∧ notQ や P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を
1つ挙げようとしている姿勢は認めてやるが、トマエ関数やその類似品では、
そのような f の具体例になってない。
ゆえに、お前のロジックは破綻したままである。
- 42 ：
- >>25
＞一方で、１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
＞“Q”（開集合の存在）を含意しているから、証明の必要もない。
間違っている。確かに、R−B_f が R の中で稠密でないという性質からは
命題 Qa が導出できるが、その証明は全く自明ではなく、定理1.7 と
ほとんど同じことをしなければならないのである。お前は
「稠密でないケースでは証明の必要がなく、自明に Qa が従う」
と勘違いしている。稠密でないケースでさえも、証明が難しいのであり、
そのときの証明法は定理1.7とほとんど同じなのである。
＞２）の場合については、一般には、（例えば性質Gが“ｆが連続”）とした場合、
＞稠密な補集合が存在し反例となるか、例外的に補集合が空集合になる。
＞（反例は、１例をあげればいいが、「例外的に補集合が空集合になる」ことはきちんと別に証明が必要だ。）
定理1.7 により、「例外的に補集合が空集合になる」ことは自動的に証明されているｗ
- 43 ：
- >>25
＞３）だから、定理1.7のような、「補集合がベールの第一類集合→”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”」
＞という形の定理は、まっとうな数学の定理として、相応しくない。
意味不明。命題が命題レベルで矛盾しているということと、その命題が
「まっとうな数学の定理として相応しい形状になっているか」ということとは
全く違う話である。お前は当初、「命題レベルで矛盾している」と主張していたのである。
にも関わらず、今回は
「まっとうな数学の定理として相応しい形状になっていない」
などという印象論に終始している。印象論で定理1.7を批判したところで、
それは定理1.7が「命題として矛盾している」ことを意味しないので、
結局お前は、定理1.7について何も批判できてないことになる。
- 44 ：
- あるいは、次のように言ってもよい。
お前が定理1.7を「ふさわしくない」と思う理由は、R−B_f で場合分けしたときに、
(2)のケースが「 P∧ notQ → Q 」という形をしているからである。
そのことだけを理由に、定理1.7を「ふさわしくない」と言っているのである。
ならば、同じことを定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
前スレで導入した X_f を使って、R−X_f が R の中で稠密か否かで場合分けすると、
(1) f：R → R が原点で微分可能かつ R−X_f が R の中で稠密ではないならば、f は原点で連続である。
(2) f：R → R が原点で微分可能かつ R−X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で連続である。
という2種類の命題に場合分けされる。しかし、R−X_f が R の中で稠密なら
f は原点で不連続なので、(2) は P∧ notQ → Q の形になってしまい、
まっとうな定理としての形になっていない。ゆえに、もともとの定理Cは
まっとうな数学の定理として、相応しくない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。これは一体どういうことだね？
- 45 ：
- >>28
＞その論法は、証明論としては、おかしい。
＞定理1.7.2は、定理1.7の場合分けした中の一つの場合だから、定理1.7が真とすれば、普通は条件（仮定）命題は“真”だ。
＞その場合分けの定理1.7.2の仮定も真で無ければならない。つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
＞「定理1.7の仮定 ＝定理1.7.1の仮定 ∨ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定が真で定理1.7.2の
＞仮定が偽はありえない。（論理学の基本）
間違っている。お前のその屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
定理C1：
f：R → R が原点で微分可能かつ R−X_f が R の中で稠密ではないならば、f は原点で連続である。
定理C2：
f：R → R が原点で微分可能かつ R−X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
定理C2 は、定理Cの場合分けした中の1つの場合だから、定理Cが真とすれば、
普通は条件（仮定）命題は“真”だ。 その場合分けの定理C2の仮定も真で無ければならない。
つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
「定理Cの仮定 ＝定理C1の仮定 ∨ 定理C2仮定」 なのだから、定理Cの仮定が真で
定理C2の仮定が偽はありえない。（論理学の基本）
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑このように、お前にとっては、「定理C2の仮定が偽はありえない」という。
これは一体どういうことだね？
- 46 ：
- >>28
＞なお、命題「P’∧Q’2（開区間（a,b）⊂Bfが存在しない）→Q（ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する）」は、
＞数学の定理として証明できない。これは、自明だと思うので、詳細は省略する。
間違っている。証明可能である。仮定が偽であることを示せば証明したことになるからだ。もしくは、
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/26-30
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1514376850/47-48
の方針でも証明可能である。
ちなみに、「仮定が偽であることを証明する」という方針の場合には、
どのように証明が進むのかというと、
「定理1.7により、仮定 P’∧Q’2 は偽である」
と書くだけ。これで証明が終わる。
- 47 ：
- きちんと読んでいなかったレスがあるので追記する。
>>27
＞これを、もとの定理1.7について見るに、
＞性質G“Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”の補集合R−Bfが、
＞（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のか？ そこは分らない。
＞（>>25で述べたように、Gδ−Fσ理論が当てはまるなら、反例として存在しうるように思う。）
お前がそこで言っていることは結局、
「定理1.7が命題として真なのか偽なのかは現状のスレ主には分からない」
ということである。どうやらこのバカタレは、当初の主張である「命題レベルで矛盾」を
ようやく取り下げたらしい。
- 48 ：
- >>27
＞しかし、上記のような事情で、１）の場合については、証明の必要もないトリビアな主張だから、
＞２）の場合だけをきちんと取り上げて、補集合R−Bfが、（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、
＞あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のかだけを、定理として扱うべき。
＞２）の場合を、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”という形で扱うべきではない。
ヘタクソな場合分けをするからそういう事態に陥るのであり、場合分けせずに
ダイレクトに証明すればいいだけの話である。そして、それを行っているのが定理1.7である。
あるいは、お前のその屁理屈を定理Cに適用すると、次のように言えてしまう。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
f が原点で連続かどうかで場合分けすると、
(1) f：R → R が原点で微分可能かつ f が原点で連続ならば、f は原点で連続である。
(2) f：R → R が原点で微分可能かつ f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である。
という2種類の命題に場合分けされる。(1)は証明の必要もないトリビアな主張だから、
(2)だけを取り上げて、「 f：R → R が原点で微分可能かつ f が原点で不連続 」という
関数 f が存在しうるのか否かを、定理として扱うべきである。
(2)の場合を「 f は原点で連続である」という形で扱うべきではない。
すなわち、定理C は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。スレ主にとって、定理Cはまっとうではないらしいｗ
これは一体どういうことだね？
- 49 ：
- >>27
＞元の定理1.7では
＞２）の場合は、「P’∧Q’2（補集合が稠密）→P’∧Q’2（開区間（a,b）⊂Bfが存在しない）→Q（ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する）」だ
＞だから、仮定命題がT（真）のとき、必ず結論命題がF（偽）になる。
＞命題全体が真になるためには、仮定命題がF（偽）で無ければならない。
＞そういう命題は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
お前がヘタクソな場合分けをするからそういう事態に陥るだけ。
「 P → Q 」の形をした如何なる定理であっても、イジワルな場合分けをすることで、
(2)に相当する「まっとうでない命題」が出現できる。次のようにすればよい。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理：P → Q
スレ主：
上記の定理を証明したい。「 Q が成り立つ場合」「 ¬Q が成り立つ場合」で
場合分けすると、次のようになる。
(1) P∧Q → Q
(2) P∧¬Q → Q
(1)は証明の必要もないトリビアな主張だから、(2)だけを取り上げて、
仮定の「 P∧¬Q 」が真になりえるのか否かを、定理として扱うべきである。
(2)の場合を "P∧¬Q → Q" という形で扱うべきではない。
すなわち、上記の定理「 P → Q 」は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。
スレ主によれば、如何なる「 P → Q 」も、まっとうな数学の命題ではないらしいｗ
これは一体どういうことだね？
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