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- 365 ：
- x^n n∈N＼{0} の形で表せないような、0ではない有理係数多項式を f(x) とする。
このとき、f(e)＞0 ならば、log(f(e)) は超越数である。
1)：f(x) が有理数のときは、仮定から f(e) は正の有理数で、
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理(以下、L-Wの定理と略記する)から log(f(e)) は超越数である。
2)：f(x) が有理数ではないとき。log(f(e))＝α αは代数的数 とすると、e^α＝f(e)。
2-1)：f(x) の項に定数の項として有理数があるとき。
また、f(x) の最大次数nは1以上だから、何れも或る有理数 a_1,…,a_n,b が存在して、
f(e)＝a_1・e^n＋…＋a_n・e＋b、ここに、b≠0。従って、e^α＝a_1・e^n＋…＋a_n・e＋b。
2-1-1)：n≧2 のとき。このときは、L-Wの定理に反することになる。
2-1-2)：n＝1 のとき。このときは、e^α＝a_1・e＋b。
α＝1 のとき、e＝a_1・e＋b で、仮定から b≠0 だから a_1≠0。従って、L-Wの定理に反することになる。
α≠1 のとき。このときは、同様にL-Wの定理に反することになる。故に、n＝1 のときは矛盾する。
2-1-1)、2-1-2)から、f(x) の項に定数の項として有理数があるときは矛盾する。
2-2)：f(x) の項に定数の項として有理数がないとき。f(x) の最大次数をnとする。
すると、f(x) は有理数ではない。また仮定から f(x) x^n n∈N＼{0} の形で表せない有理係数多項式である。
仮定から f(e)＞0 だから、n≧2。従って、何れも或る有理数 a_1,…,a_n が存在して、f(x)＝a_1・x^n＋…＋a_n・x で、
xにeを代入すると、a_1・e^n＋…＋a_n・e＞0。log(f(e))＝α としているから、α＝log(a_1・e^n＋…＋a_n・e) から
e^α＝a_1・e^n＋…＋a_n・e。しかし、これはL-Wの定理に反し矛盾する。
2-1)、2-2)から、f(x) が有理数ではないときも矛盾する。従って、背理法が適用出来て、log(f(e)) は超越数である。
1)、2)から、log(f(e)) は超越数である。
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