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- 284 ：
- 以上により、
R−B_f ＝ { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ }
となる。このことを前提として、「3」「4」の関数 f に対して R−B_f がどのような集合になるのかを、
ヘンな言葉を使わずに機械的に見ていく。
「3」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。
以上より、この f の場合は { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R−B_f ＝ {0} となる。
「4」の関数の場合：
・ x＜0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＞0 なる任意の x に対して、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝0 である。
・ x＝0 のときは、limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ である。
以上より、この f の場合も { x∈R｜ limsup[y→x]｜(f(y)−f(x))/(y−x)｜＝＋∞ } ＝ {0} となる。
すなわち、R−B_f ＝ {0} となる。
従って、「3」「4」の関数に対して「 R−B_f は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることは、
「 {0} は内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるか？」という問題を考えることに一致する。そして、その問題では
明らかに「被覆できる」。以上により、「3」「4」の f の場合は「被覆できる」ことになる。
取り合えずはここまで。何か疑問があったらどうぞ。
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