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分からない問題はここに書いてね445
- 160 ：
- >>141
これなんか、へんなことを書いていると思った
引用
「あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f：R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f＝R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。」
(引用終り)
>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }”
この「 lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ 」は、過去スレで指摘したように、この条件はディニ微分可だったよね？
だが、上記で
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 0 (xは無理数)
とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
だから、B_fは空集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
以上
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