なぜeやπは様々な性質を持つのか？
πもすごいけど、
微分されてもい積分されても全く動じないeはマジですごいと思う
あるいは人間がそのように数学を作ったからそういう存在が見いだされてるだけなのか
今の数学体系はこの世界の仕組みから導かれる必然なのか人間がたまたま作った偶然の結果なのか
人間ではない他の知的生命体が数学のようなものを作ったら全く別のものが出来上がる可能性はあるのか気になった
この世界の仕組みが変わらなければ誰がやっても大体同じような数学体系になるのかな
解析的にも幾何学的にもか。
何言ってんの
（e+π, e*πのいずれかは無理数）
(e + π+π)/3 > 3 > (eππ)^(1/3),
13(e+π+π)/3 + (eππ)^(1/3) = (13+1)･3 = 42,
(e+π+π)/3 = 3.000489045212877
(eππ)^(1/3) = 2.993629678783071
e^π -π = 19.999099979189475767
e^6 -π^5 -π^4 = 0.0000176734512321
なんでπだけ2回使ってんの？
e ≒ 19/7 = 3 - 2/7 = 2.7142857…
π ≒ 22/7 = 3 + 1/7 = 3.142857…
らしいです。
これは良情報だ
サンクス
π - e = 69/163
>>10
(e+π) + e^π = 29.00056711482810748
円周率について語り合おう【π】 - 202, 216, 217, 218
にもあるyo.
有理数の存在確率？は0でしょ
よって無理数の個数のほうが有理数の個数より大きいと言える
比がどうかという話はまだ別かも
6桁しか合わねーじゃん
いやその理屈はおかしい
G = (eππ)^{1/3} = 1/(50π),
訂正ｽﾏｿ
G = (eππ)^{1/3} = ３ − 1/(50π),
代数的数全体の集合も測度ゼロ
代数的整数論はメジャーゼロのナンセンスな研究w
これからは超越数の時代
例えば数直線上の実数を0から一個ずつ数えながら比を計算していけば、その無限遠までの比は
ある値に収束する可能性が微レ存じゃないの
自分が何を言ってるか数学の言葉で書いてみ
伝わるかわからないけど、
有理数なら1、無理数なら0を返す関数yuri(x)
無理数なら1、有理数なら0を返す関数muri(x)
を定義できたとして、
lim[a→∞] {∫[-a〜+a] yuri(x)dx / ∫[-a〜+a] muri(x)dx }
を求める的なイメージ
muri(x) = 1 - yuri(x) で定義してもいいけど
リーマン積分不可能(かつルベーグ積分可能)な関数の典型例としてよく知られています
ディリクレ関数というのがあるのか〜
ルベーグ積分がゼロということは、つまり全部無理数ってことになっちゃうてこと？？
だとしたら有理数は存在しているのに存在してないみたいな変な話になるな
謎すぎる
https://mathtrain.jp/dirifunction
失礼しました
電卓なら直ぐ計算できるが、大学入試問題での証明例を見たが、取って付けた様な証明でなんとも。
→e log πとπ log e のどっちが大きいか
→log π/πとlog e/e のどっちが大きいか
→ f(x)=log x/x の増減を見よう
自然な考え方だね
としても同じことか
log 2とかΓ(1/3)とか楕円積分とか他にも色々あるが
君が知らないだけ
e^6 - π^5 - π^4 = 0.0000176734512321092
π^9 / e^8 = 9.9998387978
P.Stanbury: Math. Gazette, ６８, p.222 (1984)
>ルベーグ積分がゼロということは、つまり全部無理数ってことになっちゃうてこと？？
「ルベーグ測度ゼロの集合」と「空集合」は同じものではない。
有理数は存在する。ただ測度がゼロになるだけ。
胡散臭いけどやばい論文です https://ieeexplore.ieee.org/document/8350369 …
Learning From Pseudo-Randomness With an Artificial Neural Network?Does God Play Pseudo-Dice?
- IEEE Journals & Magazine ニューラルネットに π や eといった数学定数とか Mersenne Twister の次の桁を予測させると統計的に優位に当たってる
3:08 - 2018年11月25日
ふーんって感じ
むしろ有理数か無理数かすらわからない数が多い。オイラーの定数γとか。
ひとつでも解決したら画期的だよ。
e^6 - π^5 - π^4 - {π^(-4) - π^(-5)} e^(-6) = 0.000000326601615742
(π +2 +1/π) / e^4 = 0.100001603286
e^6 - π^5 - π^4 - {1/(π^4 + π^3 +π^2 +π^0 +1)} e^(-6) = 0.000000004044885
(e^{10π} + 744) / (2927 + 1323√5)^3 = 216 - 2.1935×10^{-20},
(e^{20π} + 744) / (2 + 9[1201 + 537√5 + (1/2)･5^{1/4}･(1607 + 719√5)]^2)^3
= 216 - 1.131384×10^{-47},
円周率について語り合おう-238
e^{(√163)π/3} - 640320 = 6.04863735049×10^{-10},
e^{(√163)π} - 640320^3 - 744 = -7.499274028×10^{-13},
640320 = (2^6) 3･5･23･29,
= 216 - 3.17*10^(-76)
(e^(π√1435)-744)/(-2+18*(2+√5)^10*(79*(121+28√5)+5*(263+85√5)√41)^2)^3
= 216 - 1.81*10^(-96)
(e^(40π)+744)*64*(-2+√5)^39/(869800084+703067697√2+430478740√5+265027941√10+5^(1/4)*(42730416+583140762√2+528899760√5+126712674√10))^3
= 216 - 3.00*10^(-102)
オイラー乗積表示
sinh(ｘ) = zΠ[k=1，∞] {1 + (x/kπ)^2},
の対数微分より
coth(x) = Σ[k=-∞，∞] x/{(kπ)^2 + xx},
1/(x + 1) = Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/x)^m,
Σ[k=1,∞] (2k-1)･r^{2k-1} = (1/2){r/(1+r)^2 + r/(1-r)^2},
(左辺) = Σ[k=1,∞] (2k-1) Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (e^{-(2k-1)π})^m
= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} Σ[k=1,∞] (2k-1) (e^{-mπ})^{2k-1}
= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/2)cosh(mπ)/(sinh(mπ)^2)
= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/2)cosh(mπ)/(cosh(mπ)^2 - 1)
= Σ[m=1,∞] (-1)^{m-1} (1/4){1/(cosh(mπ)+1) + 1/(cosh(mπ)-1)}
= 1/24,
「163の不思議」の近似式の精度を高くしてみた
(e^(2π√163)+744)/(12+27*(41074+((2/3)*(103971293867397+2306706115√(163/3)))^(1/3)+((2/3)*(103971293867397-2306706115√(163/3)))^(1/3))^2)^3
= 1 - 4.14*10^(-64)
根号が付くが一致する桁数はおよそ倍（30桁から64桁）になります
さらにe^(2π√N)という形で根号を許す場合は"163"よりも"190"のほうが上で
(e^(2π√190)+744)/(12+108*(1+√2)^12*(154+210√2+144√5+41√10)^2)^3
= 1 - 1.16*10^(-70)
で、その先はN=193,232,253と続くようです
一般化すると k=1, 5, 9, 13, 17, … (≡1 mod 4) に関して
Σ[n=0,∞] (2n+1)^k / (e^(π(2n+1)) + 1)
= ∫[0,∞] (2x)^k / (e^(2πx) + 1) dx
= (2^k - 1) k! ζ(k+1) / (2π)^(k+1)
が成り立つ (ζ(s)はリーマンゼータ関数)
はπと30桁一致するが、πとは異なる超越数である。
[x] はxを超えない整数とすると
N = Σ(n=1,∞) [ n･e^{(π√163)/3} ] / 5^n
は 10^9 桁以上の精度で整数 200100 と一致するが、整数ではない。
M >>1 とすると、
Q = ln(10)･((1/M)Σ(n=-∞,∞) 10^{-(n/M)^2})^2
はπと(πM/ln(10))^2 桁一致するが、πとは異なる。
「円周率について語り合おう【π】」- 017
>>53
[eとπの微妙な関係]
e^{10π/3} /(2927+1323√5) = 6 - 3.37940×10^{-11}
(e^{10π/3} + 248/[6(2927+1323√5)]^2 ) /(2927+1323√5) = 6 - 3.9344×10^{-22}
(e^{10π/3} + 248･e^{-20π/3}) /(2927+1323√5) = 6 - 1.27627×10^{-23}
円周率について語り合おう - 244
なるほど。
(e^{2π√190} + 744) / (12 + 108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)^3
= 1 - 1.168664×10^{-70}
(e^{(2π√190)/3} + 248 e^{-2(2π√190)/3}) / (12 + 108(1+√2)^12*[154+210√2+144√5+41√10]^2)
= 1 - 2.447924×10^{-72}
e^{(π√163)/3) - 248/(640320^2) = 640320 - 1.1810534×10^{-24},
e^{(π√163)/3} - 248 e^{-2(π√163)/3} = 640320 - 3.83118675×10^{-26},
>P = ln(640320^3 + 744)/√163
それを手持ちの関数電卓(fx-JP900)で計算したら"π"って表示された。。。
のほうがキレイじゃないですか？
(e^{10π/3} + 248･e^{-20π/3}) / (2927+1323√5) = 6 - 1.2762708×10^{-23},
(e^{20π/3} + 248･e^{-40π/3}) / (2+9[1201+537√5 + 5^{1/4}･(1607+719√5)/2]^2)
= 6 - 6.5828772×10^{-51},
>>56
(e^{40π/3} + 248･e^{-80π/3})･4･(√5 -2)^13 / (869800084+703067697√2+430478740√5+265027941√10+5^(1/4)･(42730416+583140762√2+528899760√5+126712674√10))
= 6 - 1.7513042421×10^{-105},
>>54
e^{(√163)π/3} -248･e^{-2(√163)π/3} = 640320 - 3.8311867×10^{-26},
>>61
(e^{(2√190)π/3} +248･e^{-2(2√190)π/3}) / (12+108(1+√2)^12･[154+210√2+144√5+41√10]^2 )
= 1 - 1.168664×10^{-70},
>>56
(e^{(4√58)π/3} +248･e^{-2(4√58)π/3}) / (2+9(1+√2)^3･(5+√29)^7･[-47+340√2+98√29]^2 /128)
= 6 - 1.850222×10^{-79},
(e^{(√1435)π/3} -248･e^{-2(√1435)π/3}) / (-2 +18(2+√5)^10･[79(121+28√5)+5*(263+85√5)√41]^2 )
= 6 - 1.0580687×10^{-99},
まちがえた。
(e^{(2π√190)/3} + 248･e^{-2(2π√190)/3}) / (12 + 108(1+√2)^12･[154+210√2+144√5+41√10]^2)
= 1 - 2.447924×10^{-72}
((10!)!*2^(10!))^4/(10!*((2*10!)!)^2) = 3.141592870...
f_1(x)=x^x
f_(n+1)=(x^x)^f_n(x))
このとき極限lim[n→∞]f_n(x)はe^(-1/e)<x<1の範囲で収束する。
また、
lim[n→∞]∫[1,0]f_n (x)dx=π^2/12
が成立する
a>0とするとき「a^a^a^a^…が収束 ⇔ e^(-e)≦a≦e^(1/e)」が成り立つ(L.Euler)
収束するときの収束値はW(-ln a)/(-ln a)ここでW(z)はLambertのW関数
0<x<1のとき1/e<x^x<1でありf_n(x)はW(-ln(x^x))/(-ln(x^x))に収束し
lim[n→∞]∫[0,1] f_n(x) dx
= ∫[0,1] W(-ln(x^x))/(-ln(x^x)) dx
= ∫[0,∞] W(te^(-t))/t dt
= ∫[0,∞]Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)(te^(-t))^n/t dt
= Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)∫[0,∞] t^(n-1)e^(-nt) dt
= Σ[n=1,∞] ((-n)^(n-1)/n!)Γ(n)/n^n
= Σ[n=1,∞] (-1)^(n-1)/n^2
= (1-2/2^2)ζ(2)
= (π^2)/12
1+1^2/(3+2^2/(5+3^2/(7+4^2/(9+…)))) = 4/π
e^iπ+1=0
この形式が最も美しい
今の円周率の決め方で良かったわ
単位元とかゼロ元とか、後付けもいいとこ
おれもこの式が美しいと思う
何が美しいかは主観なので争ってもしかたないが
というのが大抵の反応
美しくもなんともない
数学で5つの最も重要な数が揃う
まあ数学を知ってる人ほど>>79の表し方が美しいと感じるんじゃないかな
γを忘れないでｗ
それが最高だよな
〜の方がきれいなら理解できるが、汚いとか美しくもなんともないとか、どういう感性をしているんだ？
∫(-∞,∞) log^2(x^2) e^(-x^2/4) dx = (2γ^2+π^2)√π
次の□の中に ＋, -, ×, ÷, ＾ のどれかを入れて完成させよ。
(1) ｅ□π□π = 9.001････
(2) ｅ□π□π = 19.9990999････
(3) ｅ□π□π□ｅ = 29.0005････
(4) ｅ□ｅ□π□ｅ = 13.998････
(あと４, ５問あった)
円周率について語り合おう【π】
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1326599636/202, 218, 235
e□e□e□e□e = 6.9994…
e□π□e□π□e = 48.9996…
e□e□γ□γ = 13.9998…
e□π□e□γ = 20.9996…
e□e□e□π□γ = 15.0003…
e□e□e□π□γ = 28.00004…
e□π□π□π□e□γ = 71.999996…
π□π□γ□π□γ□e = 9.000001…
過去スレ
円周率について語り合おう【π】
http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1326599636/
πって本当に無理数なの？
http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1331723086/
πは何でも知っているって本当？
http://uni.2ch.sc/test/read.cgi/math/1310565460/
e＋π
http://science4.2ch.sc/test/read.cgi/math/1150202298/
πって永遠に続く無理数なんだろ?
http://science3.2h.net/test/read.cgi/math/1088351567/
TAN（3π/11）＋４SIN（2π/11）＝？
http://science3.2h.net/test/read.cgi/math/1002903143/
e^π + e^π + e = 48.999667094
センスの無い直径マン自演しすぎ
日本人女性が、πを31兆桁まで計算？
【祝】Google社員の日本人女性、岩尾エマはるかさんが円周率計算で世界新記録達成！
http://hayabusa9.2ch.sc/test/read.cgi/news/1552576769/
高橋秀俊：「”163”の不思議」
数学セミナー，Vol.14，No.10、日本評論社（1975/Oct)
数セミ増刊「数の世界」日本評論社，p.157-161 （1982/Sep)
TAN(3π/11) + 4SIN(2π/11) = ?
sin(2θ) = sinθ U_1(cosθ) = sinθ{2cosθ},
sin(3θ) = sinθ U_2(cosθ) = sinθ{1+2cos(2θ)},
cos(3θ) = T_3(cosθ) = cosθ{2cos(2θ)-1},
I = tan(3θ) + 4sin(2θ)
= {sin(3θ) + 4sin(2θ)cos(3θ)}/cos(3θ)
= (sinθ){8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}/cos(3θ),
(I^2 - 11){cos(3θ)}^2 = (sinθ)^2･{8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}^2 - 11{cos(3θ)}^2
= (1/2){1-cos(2θ)}{8cos(2θ)^2 +6cos(2θ) -3}^2 - (11/2){1+cos(2θ)}{2cos(2θ) -1}^2
= - U_10(cosθ)
= - sin(11θ)/sinθ,
http://science3.2ch.sc/test/read.cgi/math/1002903143/
π中間子の電荷がｅであることを主張するのが例のオイラーの公式。
ｅの性質
￣￣￣￣
種 類 レプトン
スピン 1/2 （フェルミオン)
電 荷 -e -1.602176621×10^(-19) [C]
質 量 m 9.10938356×10^(-31) [kg] = 510998.946 [eV]
寿 命 ∞ (安定)
磁気モーメント -9.28476462×10^(-24) [J/T] = -1.0011596521809 μB (自由電子)
ｇ因子 -2.0023193043618 (自由電子)
ESR周波数 2.802495164×10^10 [Hz/T] (自由電子)
(参考)
ボーア磁子 μB = eh/(4πm) = 9.2740100×10^(-24) [J/T]
πの性質
￣￣￣￣
種 類 ゲージボゾン(強い相互作用)
π± πﾟ
---------------------------------------------------------------
電 荷 ±e 0
クォーク組成 π+ = ud~, π- = u~d, πﾟ = (uu~-dd~)/√2,
質 量 139.5700×10^6 [eV] 134.9764×10^6 [eV]
寿 命 2.603×10^(-8) [s] 8.4×10^(-17) [s]
スピン 0 0 (ボゾン)
アイソスピン 1 1
(1) e＋π＋π ＝ 9.0014671356386
(2) e^π−π ＝ 19.9990999791895
(3) e^π＋π＋e ＝ 29.0005671148281 ＝ (1)＋(2)
(4) e^e−π/e ＝ 13.9985348916883
* 円周率について語り合おう【π】−202,218,235
>>90
(5) e^e−e−e−e ＝ 6.9994167561021
(6) e^π＋e^π＋e ＝ 48.9996670940176 >>92
なお、 e^π = 23.140692632779269… をゲルフォントの定数とか云うらしい。
W_( ) はLambertのW関数の(-)分枝
(5) e^e - e - e - e = 6.9994167561021
(6) e^π + e^π + e = 48.9996670940176 >>92
(7) e^e - γ - γ = 13.99983091167620
(8) e^π - e + γ = 20.99962646922175
(9) e^e - e + π - γ = 15.00035740170848
(10) e + e + e^π - γ = 28.00004062479582
(11)
(12)
(13) π/γ - γ - e/π = 4.00019535973255
>>90
(11) e/π + π * (π^e) + γ = 71.999996538151361
(12) π + (π^γ) * π - (γ^e) = 9.00000187503
π * (π^γ) + π - (γ^e) = 9.00000187503
・追加
(13) π/γ - γ - e/π = 4.00019535973255
(14) π - (π^γ) + (π/γ) * e = 16.000039835677
(15) π * (π^π) * (γ^e) - e = 23.000001617056
(π^π) * π * (γ^e) - e = 23.000001617056
らしいです。 >>19
∴ １次の関係式
e + π + π = 9.0014671356 = (1)
3e - 2γ = 7.000414156
3π + γ = 10.00199363
π - e + γ = 1.00052649
3e^e - 15e + 2π/e = 7.000013997 = 5･(5) - 2･(4)
3γγ = 0.999533771
e + π + π = 9.0014671356 = (1)
3e -γ -γ = 7.00041415557407 = 2･(7) - 2･(9) + (1)
3π + γ = 10.001993625671 = (9) - (7) + (1)
π - e + γ = 1.00052649 = (9) - (7)
9{exp(1/e) - (1/e)exp(-ee)} = 12.999964673
9{exp(1/x) - (1/x)exp(-xx)} = 13 の正根は e" = 2.718261616
・応用例
平面グラフの頂点の数をγ、辺の数をe、面の数をπとすると、
γ - e + π = 1 (Euler)
-π + 4e - 3γ = 5.999887665542 = 3[(7)-(9)] + (1)
-3π + 15e - 11γ = 25.0000771522 = 11[(7)-(9)] + 4･(1)
-4π + 19e - 14γ = 30.9999648177 = 14[(7)-(9)] + 5･(1)
= ππ{(π+e)/(π-e) + (π-e)/(π+e)} - 1/{(π+e)(π-e)} + 1/(ππ)
= ππ{2(ππ+ee)/(ππ-ee)} - 1/(ππ-ee) + 1/(ππ)
= 137.0356848322791
アティヤ
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1537516085/134
πは（芳香族）有機化合物中の電子軌道です。
・C-2p軌道(2p_z)が重なって生じる。
・原子同士の場合、σ結合の60%ぐらいしか安定化しない。（エチレン）
∵ 電子雲が平行なのでσ結合よりも重なりＳが小さい。
・Cの数が多いときは平面状に広がって非局在化する。このため（超高圧でない場合）エネルギー的に有利。
例：グラフェン、グラファイト
・面対称性により、σ軌道や内殻軌道と直交している。
クーロン積分・交換積分など低次の積分は０である。
また、内殻軌道（1s,2s）とのエネルギー差もかなり大きい。
このため孤立しており、π電子だけを考慮する近似が可能。（ヒュッケル法）
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1331723086/181
e ≒ 193/71, π ≒ 223/71，γ ≒ 41/71
らしいです。
α = (10 - ππ - 1/ππ)/4 = 0.0072686
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1331723086/177
不等式スレ１０ 109-112
電子スピンのｇ因子
-2.0023193043618 ≒ -π/(eγ)
質量比
m(e-) / m(π±) = 0.007322475 ≒ α + (1/2)α^2 + ････ = exp(α) - 1,
m(e-) / m(πﾟ) = 0.007407049 ≒ α + 2α^2 + ････ = {exp(4α) -1}/4,
質量比
2m(e-) / m(π±) = 0.007322475 ≒ α + (1/2)α^2 + ････ = exp(α) - 1,
2m(e-) / m(πﾟ) = 0.007407049 ≒ α + 2α^2 + ････ = {exp(4α) -1}/4,
円周率スレ【π】 - 326
http://twitter.com/kamere112/status/1117796154408783872
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eとπと虚数単位と実数全てが入った式かつ見た目がシンプルだから
人はそれを美しいと感じていると思われるが、同時に、で？っていう
思いも生まれるのもまた事実
e = 19/7, π = 22/7
とすると
π+e = 41/7, π-e = 3/7,
>>112
e = 193/71, π = 223/71
とすると
π+e = 416/71 π-e = 30/71, ππ = 701/71,
>>118
ｅ = 443/163, π = 512/163
とすると
π+e = 955/163, π-e = 69/163, ππ = 1609/163,
和の公式 e' + π' + π' = 3・3,
ここに
e' = 2.71940175612508383454746･･･
π' = 3.14029912193745808272627･･･
(e')^(π’) = e^π = 20 + π' + 0.000393510841810923
(π')^e < π^e < (π')^(e'）< π^(e') < e^(π'）<（e')^(π'）= e^π < (e')^π,
(4) e^e−π/e = 4(150)^(1/4),
>>102
(7) e^e - γ - γ = （3803000/99)^(1/4)