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高校数学の質問スレPart400
大学学部レベル質問スレ 13単位目
- 430 ：
- 正整数nと、超越数 a∈I＝(0,1) とを任意に取る。
任意の既約な有理数 x＝p/q∈(0,1) に対して f(p/q)＝p/q、 任意の無理数 x∈(0,1) に対して f(x)＝a
というようにして区間 I＝(0,1) で定義された実関数 f(x) を考える。
J＝{ p/q∈I | |f(a)−f(b)|＝|a−p/q)|＜1/q^n, (p,q は互いに素) } とおく。
既約有理数 b＝p/q∈J を任意に取ると、p/q に対して或る正整数mが存在して、
1＝|( f(a)−f(b) )/(a−b)|＜1/(q^n|a−p/q|)＜m で、1/(m・q^n)＜|a−p/q|＜1/q^n となる。
また、p/q の分母qと分子pについて q＞p≧1 で、Jは可算無限集合だから、
Jの既約有理数 p/q についての分母qに上限は存在しないと同時に下限が存在する。
従って、或る正整数 q≧2 が存在して、k≧q のとき、任意の k＞p≧1 なる高々有限個の
既約有理数 p/k∈J に対して 1/k^{n+1}＜|a−p/k|＜1/k^n となる。
故に、任意の正整数nと超越数 a∈I＝(0,1) とに対して、或る正整数 q≧2 が存在して、
k≧q のとき、任意の k＞p≧1 なる高々有限個の既約有理数 p/k∈J に対して 1/k^{n+1}＜|a−p/k|＜1/k^n となる。
故に、任意の正整数nと超越数 a∈I＝(0,1) とに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈J に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n。
- 431 ：
- (>>430の続き)
逆に、任意の正整数nに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n とする。
このとき、a∈I＝(0,1) が実代数的数とする。aの最小多項式の次数をnとする。
|a−p/q|≦1/q^{n+1}＜1/q^n なる既約有理数 p/q∈(0,1) (q＞p≧1) は高々有限個存在するから、
|a−p/q|≧1/q^n なる既約有理数 p/q∈I＝(0,1) (q＞p≧1) は可算無限個存在する。
従って、|a−p/q|＜1/q^n≦|a−p/q| なる既約有理数 p/q∈I＝(0,1) (q＞p≧1) が存在して矛盾する。
背理法が適用出来るから、任意の正整数nに対して、可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して
1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n なる実数 a∈I＝(0,1) は超越数となる。
故に J⊂I から、実数 a∈I＝(0,1) について、aが超越数なるための必要十分は、任意の正整数nに対して
可算無限個の既約有理数 p/q∈I＝(0,1) q＞p≧1 に対して 1/q^{n+1}＜|a−p/q|＜1/q^n となることである。
だけどこれ、知られているよな。
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