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不等式への招待 第９章
分からない問題はここに書いてね457
志村逝く
- 501 ：
- おっちゃんです。
>>490
>・いま、補集合 R−Bfを場合分けすると
> １）有限個であれば、Bfが、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」は自明
> ２）可算無限個であっても、それが、ある区間（c,d）などに偏在していれば、「ある開区間(a, b) 上でリプシッツ連続である」も自明
> ３）この定理で、クリティカルなのは、可算無限個が、（例えば有理数などのように）R中に稠密分散されているとき。
> 言い換えれば、孤立する１点から成る集合で、R中に稠密分散されている例として、有理数や代数的数があるが、
> もし、このような状態があれば、「ある開区間(a, b) 」は取れないから、それは反例となる。
> ４）つまり、この定理が成立すれば、定理の前提であるディニ微分関連の部分（それはリプシッツ連続とも関係している）で、「”< +∞”を満たさない」部分は
> 「R中に稠密分散され得ない」ということになる（∵R中に稠密分散される状態が実現すれば、「(a, b) 上でリプシッツ連続である」が言えない）
>>489の
>(>>303より)
>”定理1.7 (422 に書いた定理)
>f : R → R とする．
の部分から、fは実数直線Rを定義域、かつRの部分集合を値域とする実関数であることが分かる。
実関数 f：R→R が或る開区間 (a,b) でリプシッツ連続になるのは
或る正の実数Kが存在して、任意の (a,b) の2点 x,y について |f(x)−f(y)|≦K|x−y| となるとき
だから、リプシッツ連続の反例になっていない。
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