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- >>410
＞定理Fは逆かい？
まず、定理Fそのものは「B_f」とは無関係に一般的に記述された定理であることに注意せよ。
B_fのことは一旦忘れて、定理Fのみをきちんと読み返してみよ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
証明：
STEP1：A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A ＝ ∪_k A_k と書ける。
一方で、R−A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R−A ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) ということになる。
STEP2：A_k, F_k はどれも閉集合だから、これと(★)から、ベールのカテゴリ定理が使えて、
ある A_k もしくはある F_k は内点を持つ。F_k は内点を持たないのだから、
ある A_k が内点を持つしかない。その A_k に対して、(a,b)⊂A_k なる開区間が取れるので、
A ＝ ∪_k A_k に注意して、(a,b) ⊂ A となる。従って、定理F が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑この証明の一体どこが間違っているというのだね？
さすがのスレ主も、この程度の証明は今すぐ読めるだろ？今すぐ読めよ。
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