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- 372 ：
- >>371
1. ω＝1/√3 と置く。このωは有理数であることを証明する。
2. まず、57/100＜ω＜3/5 が成り立つことに注意する。
3. さて、ωが有理数であることを示す。背理法を使う。ωは無理数であると仮定する。
4. lim_{p→∞}(|ω−1/p|−1/p^2)＝|ω|＞0 だから、
5. p≧2 が十分大きければ常に |ω−1/p|−1/p^2＞0 である。
6. すなわち、p≧2 が十分大きければ常に 1/p^2＜|ω−1/p| である。
7. また、ωは無理数だから、0＜|ω−q/p|＜1/p^2 を満たす既約有理数 q/p p≧2 が無限個存在する。
(ここからは>>340を拝借)
8. よって、0＜|ω−q/p|＜1/p^2＜|ω−1/p| を満たすような既約有理数 q/p p≧2 は無限個存在する。
9. 既約有理数 q/p p≧2 が 0＜|ω−q/p|＜1/p^2＜|ω−1/p| を満たすとする。すると、
10. 三角不等式から、0＜|ω−1/p|−|ω−q/p|≦|(q−1)/p|＝|q−1|/p となる。
11. p≧2 から |ω−q/p|＜1/p^2≦1/4 だから、ω＞1/4 から qが負の整数となることはあり得ない。
12. 従って、p＞0 から |q−1|/p＝(q−1)/p であって、(q−1)/p＞0 から q≧2、
13. よって q/p≧2/p から、ω−2/p≧ω−q/p＞0。故に、M＝max(2,k) とおけば、或る2以上の正整数mが存在して、
14. q/p p≧M 2≦q≦m なる任意の既約有理数 q/p が 0＜|ω−q/p|＝ω−q/p＜1/p^2＜|ω−1/p| を満たす。
15. q＝m とすれば、0＜ω−m/p、よって、ω＜3/5 から m＜p・ω＜p・3/5＝3p/5、故に、m/p＜3/5。
16. m≧2 から、3p/5＞2 となって p≧4＞10/3。故に、N＝max(4,M) とおけば q/p p≧N 2≦q≦m なる
17. 任意の既約有理数 q/p が 0＜ω−q/p＜1/p^2＜|ω−1/p| を満たす。
18. q＝2、p＝N とすれば、0＜ω−2/N＜1/N^2 から、ω＜2/N＋1/N^2≦2/4＋1/4^2＝9/16。
19. しかし、ω＜9/16 は ω≧57/100＞9/16 なることに反し、矛盾する。
20. ωを無理数としたことで矛盾が導けたから、背理法が使える。故に、背理法を適用すると、ωは有理数である。
21. つまり、ω＝1/√3は有理数である。ドヤッ(笑)
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