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「これ、本当に重要か？」って数学の概念
否定された インフレーション理論 ビッグバン理論
２曲線
【数学検定】数学検定（数検）総合スレッド Part.11
dx dy の意味は？
フェルマーの最終定理の簡単な証明
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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む49
数学記号を考案・改良するスレ
- 204 ：
- >>199-202 の準備で何をしたかったのかというと
１．ディニ微分を間に入れて
定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
↓↑
ディニ微分
↓↑
定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
という関係を見ようとしたわけだ
２．まず、「lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞」から、４つのディニ微分がいずれも有限値だと
それは、即ちリプシッツ連続だということだ
３．逆もまた言えるわけだ。
リプシッツ連続だと、４つのディニ微分がいずれも有限値であると
そして、４つのディニ微分がいずれも有限値だと、「lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞」だと
（この部分は、ディニ微分を介さずとも、直接
”|f(x)-f(y)|<= k|x-y|” → ”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞” が見易いかと思う）
つづく
- 205 ：
- >>204 つづき
１．まず、リプシッツ連続”|f(x)-f(y)|<= k|x-y|” → ”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”
の方が分かりやすいので、ここからいくと
（>>13より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
で、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
↓
f はある開区間の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞”である
が言える
２．つまり、定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
だから、定理1.7が成り立つと、補集合R−Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R−Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）
３．繰り返すが、定理1.7が成り立つ場合は、補集合R−Bfが稠密ではない（∵開区間が存在するため）という結論になる
つづく
- 206 ：
- >>205 つづき
１．さて、もう一つの下記
a) lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
↓
b) リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
を認めると、前記と併せて、a)とb)は同値ということになる
２．また、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」場合
a)→b)を認めると、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える
以上
- 207 ：
- 補足
なにが、自明（トリビア）かは、人によると思うが
”ディニ微分を間に入れて
定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞
↓↑
ディニ微分
↓↑
定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
という関係を見”ると（>>204）
定理1.7の構造がよく見えるだろうと
以上
代数的解析幾何学
Inter-universal geometry と ABC予想 42
分からない問題はここに書いてね456
邪馬台国畿内説の角度
作用素環論
なぜ右翼と左翼は争っているのか
フェルマーの最終定理の簡単な証明
フェルマーの最終定理の簡単な証明
ユークリッド幾何学は中学・高校数学から撤廃すべき
もっと前頭葉を使いなさいよ
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