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- 129 ：
- >>128 つづき
さて、ついでに下記を書いておきます
（>>13 より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
これを書き直すと
仮定P： f : R → R とする．Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) − f(x)）/（y − x）｜< +∞ }と置く。
R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
結論Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
で、上記>>127-128 で見たように
a)稠密な場合は、定理1.7の集合Bf内に、開区間は取れません
以前に述べたように、定理1.7で、”a)稠密な場合”には、１）反例となるか、２）仮定Pが偽（空集合）（＝このような場合が存在しない）か、どちらかということです。
１）の反例となる場合は、定理1.7不成立
２）の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません（論理学の基本）
これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
なので、系1.8の証明は成立していません
以上
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