分からない問題はここに書いてね456
前スレ
分からない問題はここに書いてね455
https://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1566136007/
(使用済です: 478)
お願いごとをするスレでも分からない問題に答えてもらえるスレでもありません。
xx-8x+yy+12=0…②
の共通接線Lを求めよという問題で
各円の中心を出してから、
L:2ax+2by+c=0…③
とおいて点と直線の距離の公式を使えば解けるのはわかるのですが、式変形でやってみようと思い
①−③で整理して、
(x-a)^2+(y-b)^2=aa+bb+c+1=D、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、D=0かつ、点(a,b)がLの上にあればよい、
同様に②-③で、
(x-a-4)^2+(y-b)^2=c-12+(a+4)^2+b^2=E、これが唯一つ(x,y)の解を持てばいいから、E=0かつ、点(a+4,b)がLの上にあればよい、
となって、y=bでLが2通りのx座標を取るので、Lは傾き無限のy軸に並行な直線、となってしまったのですが、図を書けばこれは誤りです
とんでもないアホすぎミスをしてると思うのですが私の実力ではどこでミスしたのか分からないのでここの達人方お願いいたします
D=0とかE=0とかしてるところがおかしいです
x^2+y^2=1…①
2x+2y=2√2…②
この連立方程式考えてみましょう
グラフ書けばこれらは接していますね
①-②すると
(x-1)^2+(y-1)^2=3-2√2
あなたは勝手に右辺0にしてますよね
①と②両方満たすのがひとつしかないわけですよね
①-②と②両方満たすのは一つしかないと言えても、①-②満たすのが一つとは限りませんね
(x-4)^2 + yy = 4 … ②
①の接線で傾きがmのもの
y = mx ±√(1+mm),
②の接線で傾きがmのもの
y = m(x-4) ±2√(1+mm),
y切片が一致することから
±√(1+mm) = -4m ±2√(1+mm),
これより
m/√(1+mm) = -3/4, -1/4, 1/4, 3/4,
m = -3/√7, -1/√15, 1/√15, 3/√7,
y = ±(x+4)/√15,
y = ±(3x-4)/√7,
バスを使わず通学している生徒は何人ですか？
中心(4,0)で半径2 … ②
直線L: y = mx+k, … ③
(x,y)～L の距離 |y-(mx+k)|/√(1+mm),
(0,0)～L の距離が1
|k|/√(1+mm) = 1,
(4,0)～L の距離が2
|4m+k|/√(1+mm) = 2,
これより
k = -(4/3)m, 4m,
m = ±3/√7, ±1/√15,
y = ±(x+4)/√15,
y = ±(3x-4)/√7,
>>7
(1-0.24)x 人
というのはどうやって解くのでしょうか
T字型の集合とはR^2の部分集合で
あるa,b>0を用いて
｛(x,0)| -a<x<a｝∪ ｛(0,y)| -b<y<0｝
という集合の回転と移動で得られるものであると定義されます
1-0.24=0.76
∴バスを使わずに通学する人は0.76x人
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1412425325/
雑談スレ【54】 2018/07/10(火) 03:17:19.95
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1531160239/
雑談スレ【５４】 2018/07/11(水) 03:18:01.83
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1531246681/
このスレが正統の「分かスレ４５６」です。
[前スレ.960] にて 2019/09/07(土) 23:29:22.15 認知
A=Σ(k=0→n) (nCk)^2
B=Σ(k=0→n) (nCk)^3
それぞれどうやれば求まりますか？
Aだけでもお願いします
なるべく高校程度の範囲でお願いします
1 / cos(x) の x = 0 でのテイラー展開を x^8 の項まで計算せよ
という問題の解答ですが、 1 / cos(x) は偶関数だから、
1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …
とおき、
cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …
との積が 1 になるように漸化式を作ると、
1/ cos(x) = 1 + (1/2)*x^2 + 5/24*x^4 + (61/720)*x^6 + (277/8064)*x^8 + …
Σ b_n
がともに絶対収束ならば、
コーシー積 Σ c_n
も絶対収束して
Σ c_n = Σ a_n * Σ b_n
cos(x) = 1 - (1/2)*x^2 + (1/24)*x^4 - (1/720)*x^6 + (1/40320)*x^8 + …
は (-∞, +∞) で絶対収束する。
1 / cos(x) = a_0 + a_1*x^2 + a_2*x^4 + a_3*x^6 + a_4*x^8 + …
はその収束半径を R とすると、 (-R, R) で絶対収束する。
↑の命題により、
x ∈ (-R, R) のとき、
a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + …
は絶対収束して、
a_0 + ((-1/2)*a_0 + a_1) * x^2 + … = cos(x) * (1/cos(x)) = 1
が成り立つ。
x = 0 を代入すると、
a_0 = 1
両辺を2回微分すると、
2! * ((-1/2)*a_0 + a_1) + … = 0
x = 0 を代入すると、
a_1 = 1/2
…
というように、 a_0, a_1, … を決定できる。
なので、そもそも、
1 / cos(x)
がテイラー展開できるのか？
ということに答えなければならないはずです。
>A=Σ(k=0→n) (nCk)^2
A=ΣnCk・nC(n-k)=2nCn
>B=Σ(k=0→n) (nCk)^3
No good answer
すいません、よくわかりません…
B(n) = Σ(k=0→n) (nCk)^3
= Σ(k=0→n) {(n+r)C(k+r)・(k+r)Cr}^3 / {(n+r)Cr}^3, (r≧0)
B(n) = Franel number
〔漸化式〕 (J.Franel)
(n+1)(n+1)･B(n+1) = {7n(n+1)+2}B(n) + 8nn･B(n-1),
〔生成函数〕 (P.D.Hanna)
Σ(n=0→∞) B(n)(x^n)/(n!)^3 = { Σ(k=0→∞) (x^k)/(k!)^3 }^2.
〔公式〕 (V.Strehl)
B(n) = Σ(n/2≦k≦n) (nCk)^2･(2k)Cn,
http://oeis.org/A000172
そのまま考えると
2nCn通りだろう
これを別の数え方で数えあげる
始めのn枚を並べた時に表が何枚あるかで場合分けして数えると
最初のn枚を並べたときk枚あるパターンはnCk通りで
この時残りのn枚は表のコインがn-k枚しか残っていないから
並べ方の組み合わせはnC(n-k)通り
合わせると最初のn枚に表がk枚あるような2n枚の並べ方の組み合わせは
nC(n-k) ・nC(n-k)
これを全部合わせると全パターンの並べ方の総数になるわけで、つまり2nCn
に等しいわけだ
1行目は
合わせて2n枚並べる組み合わせ、だった
B(n) = Σ(k=0→[n/2]) (n+k)!/{(k!)^3･(n-2k)!} ･ 2^(n-2k)
〔生成函数〕
y(x) = Σ(n=0→∞) B(n)･x^n = 1 + 2x + 10xx + 56x^3 + 346x^4 + 2252x^5 +
は2階線形微分方程式
x(x+1)(8x-1)y " + (24xx+14x-1)y ' + 2(4x+1)y = 0,
の解。
G.Coserea(2018)
(1+t)^(m+n)=Σ(m+n)Ck・t^k
(1+t)^m(1+t)^n=ΣmCi・t^iΣnCj・t^j=ΣΣmCi・nCj・t^(i+j)=Σ(Σ[i+j=k]mCi・nCj)t^k
Σ[i+j=k]mCi・nCj=(m+n)Ck
…
Σ[h+i+j=k]lCh・mCi・nCj=(l+m+n)Ck
…
Σ[Σi_j=k]Πm_jCi_j=(Σm_j)Ck
>>21
>>22
>>24
ありがとうございます！
Bは難しそうなので諦めます
Aについてじっくり読んで考えてみます
lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) does not always exist(for example, it does not exist if x = 0).
などと書いてあります。
lim_{n → ∞} n * cos(n^2 * x) が収束するような x って存在するんですか？
証明をお願いします。
と展開される。 E_(2k) はオイラー数。
以下が成り立つことの証明を読みました。
非常に重要かつ興味深い結果だと思いました。
ところが、微分積分学の教科書でこのことが書いてある本はほとんどないように思います。
藤原松三郎以外の本で、このことが書いてある本を教えてください。
f(x) = Σ_{n = 0}^{∞} a_n * x^n
a_0 ≠ 0
Σ_{n = 0}^{∞} a_n * (x_0)^n ∈ R for some x_0 ∈ R - {0}
とする。
このとき、正の収束半径を持ったべき級数 g(x) = Σ_{n = 0}^{∞} b_n * x^n
で、
f(x) * g(x) = 1 for all x ∈ (-R, R) for some R > 0
が成り立つようなものが存在することを証明せよ。
Robert Strichartzの
The Way of Analysis
とかにもある
ありがとうございます。
Closure Properties of Analytic Functionsというセクションにある定理ですね。
ぱっと見、分かりやすくていい本っぽいですね。
ところで、それほどメジャーな本ではないと思いますが、この本を読んだきっかけは何ですか？
探せばいい本はたくさんあるようですね。
>>32
の本もパソコンにあったのですが、全く見たことがありませんでした。
1 = cos(x) {1/cos(x)}
= {Σ(j=0→∞) (-1)^j･{1/(2j)!} x^(2j)} {Σ(k=0→∞) |E_(2k)|/(2k)! x^(2k)},
x^(2n) の係数から
Σ(k=0→n) (2n)C(2k)･E_(2k) = 0,
〔漸化式〕
E_(2n) = - Σ(k=0→n-1) (2n)C(2k)･E_(2k)
と E_0 =1 により整数。
〔漸近形〕
E_(2k) / (2k)! ～ (-1)^k･(2/π)^(2k+1) (k→∞)
1 = cos(x) {1/cos(x)}
= {Σ(j=0→∞) (-1)^j･{1/(2j)!} x^(2j)} {Σ(k=0→∞) |E_(2k)|/(2k)! x^(2k)}
= Σ(n=0→∞) {Σ(k=0→n) (2n)C(2k)・E_(2k)}/(2n)! x^(2n)
から
Σ(k=0→n) (2n)C(2k)･E_(2k) = δ_(n,0)
E_0 = 1, (1.27323954)
E_2 = -1, (-1.0320491)
E_4 = 5, (5.019285)
E_6 = -61, (-61.02719)
E_8 = 1385, (1385.0697)
E_10 = -50521, (-50521.284)
E_12 = 2702765, (2702766.69)
E_14 = -199360981, (-199360994.9)
E_16 = 19391512145, (19391512295)
E_18 = -2404879675441, (-2404879677510)
E_20 = 370371188237525, (370371188272932)
……
( )内は (-1)^(2k)･2(2k)!･(2/π)^(2k+1)
(1) (√2 + √3)^n は負でない整数 a_n, b_n, c_n, d_n を用いて
a_n + (√2)b_n + (√3)c_n + (√6)d_n,
と表せることを示せ。
(2) d_(2n-1) を求めよ。
(略解)
漸化式
a_(n+1) = 2b_n + 3c_n,
b_(n+1) = a_n + 3d_n,
c_(n+1) = a_n + 2d_n,
d_(n+1) = b_n + c_n,
と
a_1=0, b_1=1, c_1=1, d_1=0
から。
(2)
a_(2n-1) = d_(2n-1) = 0,
b_(2n) = c_(2n) = 0,
後者は
(√2 + √3)^(2n) = (5+2√6)^n
= Σ(k=0,n) C(n,k) (5^k)(2√6)^(n-k)
= a_(2n) + (√6)d_(2n),
Aは実数を成分とする2次正方行列で A≠E、A≠O とする。
このとき、Aによる一次変換αの不動点
( x ) ≠ ( 0 ) を求めよ。
( y ) ( 0 )
(略解)
A = (a b)
(c d)
A-E ≠ O,
|A-E| = (a-1)(d-1) - bc = |A| - (a+d) +1 = 0,
とするとき、不動点は
( x ) ＝ ( b ), (1-d)
( y ) (1-a), ( c )
実数を成分とする2次正方行列Aは、
A = [a,b]
[c,d]
ad-bc = 1
3以上のある自然数nに対して A^n = E,
を満たす。Aを求めよ。
(略解)
A = ±E
pはnの素因数として
A = [ cos(2qπ/p), ±sin(2qπ/p) ]
[ 干sin(2qπ/p), cos(2qπ/p）]
>>41 不動軸と云うべきか....
それだけじゃ収まんめえよ
[4 -7]^3
[3 -5]
とか計算してみい
分からない問題
(1) スターリングの公式の導出
log(k) ≧ ∫[k-1/2,k+1/2] log(x)dx,
(1/2){log(k-1)+log(k)} ≦ ∫[k-1,k] log(x)dx,
を k=2,････,n について足すと
log(n!) = Σ[k=2,n] log(k) ～ (n+1/2)log(n) -n +c,
0.89180 = (3/2)log(2e/3) < c < 1,
は出るが、
c = (1/2)log(2π) = 0.91894
が出ませぬ....orz どうやるんだろ？？
*) log(n+1/2) = log(n) - log{1 - 1/(2n+1)} > log(n) + 1/(2n+1),
分からない問題
(2) オイラー定数γを規則的な連分数で表示する。
代数的数どころか無理数かどうかも怪しい。
もう、ｻﾊﾟｰﾘですよね。
分からない問題
(3) 円周率πを計算するニュートンの公式の導出
(略解)
二項公式
(1-xx)^n = Σ(k=0,n) (-1)^k C(n,k) x^(2k),
で n=-1/2 のとき、
1/√(1-xx) = Σ(k=0,∞) (-1)^k C(-1/2,k) x^(2k),
xで積分して
arcsin(x) = Σ(k=0,∞) (-1)^k {C(-1/2,k)/(2k+1)} x^(2k+1),
x=1/2 のとき
π/6 = Σ(k=0,∞) (-1)^k {C(-1/2,k)/(2k+1)} (1/2)^(2k+1),
ここに、一般化二項係数
C(-1/2,k) = (-1)^k {(2k-1)!!/(2^k・k!)}, (k≧1)
= 1 (k=0)
ｻﾊﾟｰﾘでもないか。
ネイピア数eにはある。
e = 2 + [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, ...]
円周率πにもある。(正則ぢゃないけど)
π = 3 + (1^2)/{6 + (3^2)/[6 + (5^2)/(6 +(7^2)/(6 + ････))]}
A = [cosθ+ p sinθ, -q(1+pp)sinθ]
[(1/q)sinθ, cosθ- p sinθ]
p,q≠0：実数, θ=2πk/n, k：整数
らしい。。。
[脇スレ.090]
n = 3 の場合で
p = 18q = ±3√3,
1+pp = 28,
k = ±1,
θ = ±2π/3,
cosθ = -1/2,
sinθ = 3q = 1/(4q) = 9/(2p),
とおけば >>44 を含む。
ジョルダンセルのサイズが1で固有値がともに1の冪根でtrace、determinantが実数が条件だから固有値が+1,-1となるケース、つまりtr=0、det=-1のケースも入れないといかん。
>det=-1のケース
ad-bc=1
お、ホント。
見逃した。失礼。
固有値λ = e^(iθ) に対する固有ヴェクトルu
( p+i )
( 1/q )
固有値λ = e^(-iθ) に対する固有ヴェクトルu
( p-i )
( 1/q )
[脇スレ.090]
〔漸近形〕
E_(2k) / (2k)! ～ (-1)^k ２(2/π)^(2k+1) (k→∞)
>>37
( )内は (-1)^ｋ 2(2k)!･(2/π)^(2k+1)
n! = Γ(n+1) = ∫[0,∞] x^n e^(-x) dx (置換: x=n+(√n)t)
= ∫[-n^2,∞] (n+(√n)t)^n e^(-n-(√n)t) (√n)dt
= n^(n+1/2) e^(-n) ∫[-n^2,∞] (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) dt
n→∞ で (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) → e^(-t^2/2),
∫[-n^2,∞] (1+t/(√n))^n e^(-(√n)t) dt → ∫[-∞,∞] e^(-t^2/2) dt = √(2π)
x=n のまわりにテーラー展開して
x^n e^(-x) = (n/e)^n {1 - tt/2 + ttt/(3√n) + (n-2)t^4 /(8n) + (6-5n)t^5 /(30n√n) + ････ }
= (n/e)^n e^(-tt/2 + (t^3 /√n) -(t^4)/(4n) + (t^5)/(5n√n) - ････ )
～ (n/e)^n e^(-tt/2) ････ 正規分布
これは ｔ=±√2 の辺りでも極大値の 1/e であり、t<-√n ではひじょうに小さい。
∴積分の下限を -∞ としてもよい。
n! = ∫[0,∞] x^n e^(-x) dx
～ (n/e)^n ∫[-√n, ∞] e^(-tt/2) (√n)dt
～ n^(n+1/2) e^(-n) ∫[-∞, ∞] e^(-tt/2) dt
= n^(n+1/2) e^(-n) √(2π),
でござるな。
↑は、
lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)
の値を求めている動画です。
40万回以上も再生されている動画ですが、いい加減すぎやしないでしょうか？
こういう解答を何の疑いもなく受け入れてしまう人もいると思います。
質が悪いですよね。
f(x,t) = exp(-xx) cos(t),
g(x,t) = exp(-xx) sin(t),
F(x,t) = [[f, -g] [g, f]],
D = [[∂/∂x, -(∂/∂t)] [∂/∂t, ∂/∂x]], … 微分演算子
X(x,t) = {F(x,t)^(-1)} D F(x,t),
とおく。
自然数nに対して X^n をx,tで表わせ。
[脇スレ.102]
とおくと
F(x,t) = exp(-xx) T(t),
F^(-1) = exp(xx) T(-t),
D T(t) = T(t) (∂x - 1),
より
X^n = {F^(-1) D F}^n
= F^(-1) D^n F
= F^(-1) (∂x - 1)^n exp(-xx) T(t)
= exp(xx) (∂x - 1)^n exp(-xx) E,
さて、どうする？？
字で書いて
なんか間違ってるのかこれ
リーマン和のようなものを作っていて、それが広義積分に収束するということを勝手に仮定しています。
a_n := log((n!/n^n)^(1/n))
=
(1/n) * log(n!/n^n) = (1/n) * log(1/n * 2/n * … * n/n)
=
(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n))
とおく。
log(x) は単調増加関数だから、
(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log((n-1)/n)) ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx ≦ (1/n) * (log(2/n) + … + log(n/n))
が成り立つ。
よって、
(1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n)) ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(n/n) = ∫_{1/n}^{1} log(x) dx
∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(1/n) ≦ (1/n) * (log(1/n) + log(2/n) + … + log(n/n))
が成り立つ。
まとめると、
∫_{1/n}^{1} log(x) dx + (1/n) * log(1/n) ≦ a_n ≦ ∫_{1/n}^{1} log(x) dx
が成り立つ。
であり、
lim_{ε → +0} ε * log(ε) = lim_{ε → +0} - log(1/ε) / (1/ε) = 0
であるから、
lim_{ε → +0} ∫_{ε}^{1} log(x) dx
=
lim_{ε → +0} [(1 * log(1) - 1) - (ε * log(ε) - ε)]
=
lim_{ε → +0} [- 1 - ε * log(ε) + ε]
=
-1
である。
したがって、
lim_{n → ∞} ∫_{1/n}^{1} log(x) dx + lim_{n → ∞} (1/n) * log(1/n) ≦ lim_{n → ∞} a_n ≦ lim_{n → ∞} ∫_{1/n}^{1} log(x) dx
∴ -1 ≦ lim_{n → ∞} a_n ≦ -1
∴ lim_{n → ∞} a_n = -1
lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)
=
lim_{n → ∞} exp(a_n)
=
exp(-1)
誤魔化しですが、誤魔化されたことに気づかない人も多いと思います。
そこが質が悪いですよね。
同じ問題がありました。
(a)
f を [1, ∞) で狭義単調増加関数とする。
f(1) + … + f(n-1) < ∫_{1}^{n} f(x) dx < f(2) + … + f(n)
を示せ。
(b)
f = log とし、
n^n / exp(n-1) < n! < (n + 1)^(n + 1) / exp(n)
を示せ。
したがって、
lim_{n → ∞} (n!)^(1/n) / n = 1 / e
が成り立つ。
(b)
log(1) + … + log(n - 1)
=
log((n - 1)!)
∫_{1}^{n} log(x) dx
=
n * log(n) - n + 1
log(2) + … + log(n)
=
log(n!)
よって、
log((n - 1)!) < n * log(n) - n + 1 < log(n!)
(n - 1)! < n^n / exp(n - 1) < n!
∴
n^n / exp(n - 1) < n! < (n + 1)^(n + 1)
今電車の中でイヤホン持ってきてないから声聞こえないけど説明はなんて言ってんの？
分解して
(n!/n^n)＝((1/2)^1)*((2/3)^2)*((3/4)^3)*・・・((n-1)/n)^(n-1))*n/n
と見れば
各項の((k-1)/k)^(k-1)という数列、これは定義式からeに収束する数列そのもの、の逆数なので
それらを掛け合わせた(n!/n^n)も(積の)チェザロ平均の法則から同じ値に収束する、とシンプルに求める事はできる
一応、数列a_kが収束するなら (a_1a_2・・・a_n)^(1/n)も同じ値に収束するという法則ね
単に幾何平均だな
a_k := (k/(k+1))^k とおく。
n!/n^n = a_1 * … * a_{n-1}
n!/n^n = (1/a_n) * (a_1 * … * a_n)
(n!/n^n)^(1/n)
=
(1/a_n)^(1/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)
=
((n+1)/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)
lim_{n → ∞} (n!/n^n)^(1/n)
=
lim_{n → ∞} ((n+1)/n) * (a_1 * … * a_n)^(1/n)
=
lim_{n → ∞} ((n+1)/n) * lim_{n → ∞} (a_1 * … * a_n)^(1/n)
=
1 * lim_{n → ∞} a_n
=
lim_{n → ∞} a_n
=
lim_{n → ∞} (n/(n+1))^n
=
lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^n
=
lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^(n+1) / (1 - 1/(n+1))
=
lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))^(n+1) / lim_{n → ∞} (1 - 1/(n+1))
=
(1/e) / 1
=
1/e
log(x) は連続関数だから、
lim_{n → ∞} log(a_n) = log(α)
である。
log((a_1 * … * a_n)^(1/n))
=
(1/n) * log(a_1 * … * a_n)
=
(log(a_1) + … + log(a_n)) / n
である。
lim_{n → ∞} log((a_1 * … * a_n)^(1/n))
=
lim_{n → ∞} (log(a_1) + … + log(a_n)) / n
=
lim_{n → ∞} log(a_n)
=
log(α)
である。
exp(x) は連続関数だから、
lim_{n → ∞} (a_1 * … * a_n)^(1/n)
=
lim_{n → ∞} exp(log((a_1 * … * a_n)^(1/n)))
=
exp(log(α))
=
α
である。
積分を使わないというだけで、この解法のほうが複雑で難しいですね。
対数取って
でしょ
チェザロ平均でいいと思う
いやさね、どれだけシンプルに答えが出るか
って事なんだ
(n!/n^n)が((1/2)^1)*((2/3)^2)*((3/4)^3)*・・・((n-1)/n)^(n-1))*n/nと分解されるのは行間とかなしで一目みれば明らかだろう
それぞれの項の((k-1)/k)^(k-1)がeの逆数なんてのも見れば明らかだろう
そして数列の調和平均、相乗平均、相加平均が元の数列と同じ値に収束するというのもそういう法則を知っていれば明らか
つまりこの問題の為に必要な計算は1行でいいという事だ
別に積分が悪いってわけじゃないけどね
誤差評価には役立つし
binary512はExponentが23bit
binary1024はExponentが27bit
binary2048はExponentが31bit
binary4096はExponentが35bit
binary8192はExponentが39bit
binary16384はExponentが43bit
binary32768はExponentが47bit
binary65536はExponentが51bit
である場合の問題点。
(∂/∂x - 1)^n = {exp(x)(∂/∂x)exp(-x)}^n
= exp(x) (∂/∂x)^n exp(-x),
より
exp(xx) (∂/∂x - 1)^n exp(-xx)
= exp{x(x+1)} (∂/∂x)^n exp{-x(x+1)}
= exp{(x+1/2)^2} (∂/∂x)^n exp{-(x+1/2)^2}
= (-1)^n Ｈ_n(x+1/2), (← ロドリーグの公式)
Ｈ_n(x) はn次のエルミート多項式。
X = F^(-1) (DF) (←直後のＦにのみ作用)
= exp(xx)T(-t) D T(t) exp(-xx)
= exp(xx) (∂/∂ｘ -1) exp(-xx) E
= (-2x-1) E,
より
X^n = (-2x-1)^n E.
〔類題〕
F(x,t) = exp(-xx) [ [ cos(t), -sin(t) ] [ sin(t), cos(t) ] ],
D = [ [∂/∂x, -(∂/∂t)] [∂/∂t, ∂/∂x] ], … 微分演算子
X_n(x,t) = {F(x,t)^(-1)} D^n F(x,t),
とおく。
自然数nに対して X_n をx,tで表わせ。
以下の定理3は、実数値関数についての定理として証明されています。この証明を読むと、複素関数についてもそのまま
通用するのではないかと思うのですが、この定理3の38ページ後ろのページに、「定理3の記述はやや実変数に“局限”
された形になっているから、証明には多少の補正を要しよう。」と書いてあります。
以下の証明のどの部分が「多少の補正を要」するのでしょうか？
なお、証明中の定理1とは一様収束に関するコーシーの条件です。
定理3
I を1つの区間とし、 x_0 を I の1つの点（ I の端点でもよい）、 I から x_0 をとり除いた集合を E とする。
(f_n) を E で定義された関数列とし、 (f_n) は E において関数 f に一様収束するとする。また、 n = 1, 2, …
について、有限の極限 lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n が存在するとする。そのとき、数列 (A_n) は収束し、その極限を
A とすれば、 lim_{x → x_0} f(x) = A である。
証明
f_n は E で一様収束するから、定理1により、与えられた ε > 0 に対し、ある N が存在して、 m ≧ N, n ≧ N ならば、
すべての x ∈ E に対して |f_m(x) - f_n(x)| < ε が成り立つ。ここで x → x_0 とすれば、 f_m(x) → A_m, f_n(x) → A_n
であるから、 |A_m - A_n| ≦ ε。ゆえに数列 (A_n) はコーシー列である。したがって (A_n) は収束する。その極限を A とする。
f_n は f に E で一様収束し、また A_n → A であるから、自然数 n を十分大きく選んで、すべての x ∈ E に対し
|f(x) - f_n(x)| < ε/3 が成り立ち、かつ |A_n - A| < ε/3 が成り立つようにすることができる。さらにこの n に対し、
lim_{x → x_0} f_n(x) = A_n であるから、 δ > 0 を、 |x - x_0| < δ, x ∈ E ならば、 |f_n(x) - A_n| < ε/3 が
成り立つように選ぶことができる。そうすれば、 |x - x_0| < δ, x ∈ E のとき
|f(x) - A| ≦ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x) - A_n| + |A_n - A| < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε。
これは lim_{x → x_0} f(x) = A であることを意味する。
（1）∫1/(3^x+1) dx
（2）∫log(log(x))/{x･log(x)} dx
（3）∫e^(2x)/√(e^x + 1) dx
[脇スレ.216]
3^x + 1 = u とおく。
log(3) 3^x dx = du
(与式1) = ∫{1 - (3^x)/(3^x + 1)} dx
= x -∫(1/u)du /log(3) = x - log(3^x + 1) /log(3),
(2)
log(log(x)) = u とおく。
1/{x･log(x)} dx = du,
(与式) = ∫ u･(du/dx) dx = (1/2)uu = (1/2){log(log(x))}^2,
(3)
e^x +1 = uu とおく。
(e^x) dx = 2u du
(与式) = ∫2(uu-1)du = (2/3)u^3 - 2u
= (2/3)(uu-3)u = (2/3)(e^x - 2)√(e^x + 1),
http://rio2016.2ch.sc/test/read.cgi/math/1567920449/l20
>>13
∫_{C} f(z) dz の定義ですが、リーマン和の極限によって定義しています。
ところが、 実数変数の複素数値関数 f(t) = g(t) + i * h(t) に対する
∫_{a}^{b} f(t) dt
の定義は、リーマン和の極限によって定義せず、
∫_{a}^{b} g(t) dt + i * ∫_{a}^{b} h(t) dt
によって定義しています。
統一性が全くありませんよね。
実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。
実数変数の実数値関数を含めて、すべて、リーマン和の極限によって積分を定義するのが一番統一性もあり、いいように思います。
>>94
Serge Langの本では、
∫_{C} f(z) dz := ∫_{a}^{b} f(z(t)) * z'(t) dt
などと定義しています。
これでは、
∫_{C} f(z) dz
の意味が分かりづらいですよね？
途端に非常に難しくなりますね。
ジョルダンの定理とか。
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
というものです。
証明は、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
と
∫_{C} Q dy = ∬_{Ω} Q_x dx dy
とをそれぞれ証明して、積分の加法性から、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
が成り立つをことを証明します。
なぜ、
∫_{C} P dx = ∬_{Ω} -P_y dx dy
のみをグリーンの定理と言わないのでしょうか？
なんか冗長なような気がします。
をグリーンの定理とよび、
その系として、
∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
を書けばいいように思います。
グリーンの定理の証明も大体のアイディアは難しくありませんが、厳密な証明は
Ω を有限個の縦線領域と横線領域にどうやって分割するのかとか考えると、
おそらくかなり面倒なことになるなと思われます。
>∫_{C} P dx + Q dy = ∬_{Ω} (-P_y + Q_x) dx dy
左辺にカッコ要らないの？要らない場合
∫x^2+2x+3dxでもよくない？
これはダメだというのなら
∫x^2dx+2xdx+3dxなら問題なし？
A = [[1 2] [4 4]]
に対し、
A^n = [[a(n) b(n)] [c(n) d(n)]]
を考える。
このとき a(n)d(n) - b(n)c(n) = (-4)^n を示せ。
[脇スレ..242]
ヒント： |A^n| = |A|^n
α = (5-√41)/2, β = (5+√41)/2,
固有ヴェクトルは
[ 2 ] [β-4]
[α-1] [ 4 ]
これを使うと
a(n) = (1/2)(α^n + β^n) - 3(β^n - α^n)/(2√41),
b(n) = 2(β^n - α^n)/√41,
c(n) = 4(β^n - α^n)/√41,
d(n) = (1/2)(α^n + β^n) + 3(β^n - α^n)/(2√41),
よって
a(n)d(n) - b(n)c(n) = (1/4)(α^n + β^n)^2 - (1/4)(β^n - α^n)^2
= (αβ)^n = (-4)^n,
b[n] = Σ[k=0,n] (-1)^k/nCk
ただし nCk は二項係数とする。
(1) n(a[n]-2)→2 (n→∞) を示せ。
(2) b[n] を求めよ。
[脇スレ 195]
nＣ0 = nＣn = 1,
nＣ1 = nＣ(n-1) = n,
nＣ2 = nＣ(n-2) = n(n-1)/2,
3≦k≦n-3 のとき
nＣk ≧ nＣ3 = n(n-1)(n-2)/6, (*)
よって
2 < n(a[n]-2) < 2 + 4/(n-1) + 6(n-5)/{(n-1)(n-2)}
n→∞ とする。
*) nＣk = {(n-k+1)/k}･nＣ(k-1),
k = [n/2] で最大、その両側に単調減少。
(2)
n:奇数のとき nＣk = nＣ(n-k) より 0
n:偶数のとき
1/(nＣk) = {(n+1)/(n+2)}{1/(n+1)Ｃk + 1/(n+1)Ｃ(k+1)}
より
b[n] = {(n+1)/(n+2)}{1 + (-1)^n}
= 2(n+1)/(n+2),
862 名前：755[sage] 投稿日：2019/09/16(月) 22:01:21.56 ID:???
任意の無限小dxに対して、{f(x+dx)-f(x)}/dxがある実数f’(x)に無限に近くなる時、f(x)は微分可能であるといいます
A = [[1 2] [3 4]]
を考える。nを自然数とし、
A^n = [[a(n) b(n)] [c(n) d(n)]]
と表すとき、
a(n)d(n) - b(n)c(n) = (-2)^n,
を示せ。
[脇スレ.240,247]
ヒント： det(A^n) = (det A)^n.
α = (5-√33)/2, β = (5+√33)/2,
固有ヴェクトルは
[ 2 ] [β-4]
[α-1] [ 3 ]
これを使うと
a(n) = (α^n + β^n)/2 - 3(β^n - α^n)/(2√33),
b(n) = 2(β^n - α^n)/(√33),
c(n) = 3(β^n - α^n)/(√33),
d(n) = (α^n + β^n)/2 + 3(β^n - α^n)/(2√33),
よって
a(n)d(n) - b(n)c(n) = (1/4)(α^n + β^n)^2 - (1/4)(β^n - α^n)^2
= (αβ)^n = (-2)^n,
演習問題に、
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
↑こういう定積分を見たときに、それに応じてどういう複素線積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。
∫ 1 /{aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2} dx
= (1/ab)∫ 1/(1+tt) dt
= (1/ab)*arctan(t)
= (1/ab)*arctan((b/a)tan(x))
を思いつかないといけないですよね。
n>>1 のとき
Σ[k=0,n] 1/(nＣk) = 2(1 + 1/n ＋ 2/n^2 + 8/n^3 + 44/n^4 + 308/n^5 + 2612/n^6 + 25988/n^7 + ････)
3辺の長さがそれぞれa,b,cの三角形Tをとる。
0<a≦b≦c<a+b かつ a+b+c=1 の条件下で実数a,b,cを動かすとき、
Tの面積⊿を最大にするa,b,cを求めよ。
⊿⊿ = (1/16)(a+b+c)･(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
≦ (1/16)(a+b+c){(a+b+c)/3}^3
= (1/16)(1/27)(a+b+c)^4,
⊿ ≦ {1/(12√3)}(a+b+c)^2,
等号成立は a=b=c =1/3.
等面四面体Sの各側面は合同である。すなわち、3辺の長さがa,b,cの三角形Tである。
0<a≦b≦c<a+b かつ a+b+c=1 の条件下で実数a,b,cを動かすとき、Sの体積Vを最大にするa,b,cを求めよ。
[脇スレ.273]
>>117
a+b+c=1
b=1/3とすると、
a+c=2/3=8/12
a=3/12=1/4,
c=5/12のとき、
a^2+b^2=(1/4)^2+(1/3)^2
=1/16+1/9
=25/144
=(5/12)
=c^2
ピタゴラスの定理より、
長さaの辺と長さbの辺は直角に交わる。
面積のとき考えてこうなんだから、体積のときに拡張し、
S=(1/3)(1/2)abc
=(1/3)(1/2)(1/4)(1/3)(5/12)
=5/864
a=1/4
b=1/3
c=5/12
S→V
(0,0,0)
(a,0,ε)
(a,b,0)
(0,b,ε)
を頂点とする「4面体」と考える。
ε→0 とすると潰れて長方形になる。
Sの頂点は、或る直方体の4頂点である。
その稜の長さをp,q,rとすれば
a = √(qq+rr) ≧ (q+r)/√2,
b = √(rr+pp) ≧ (r+p)/√2,
c = √(pp+qq) ≧ (p+q)/√2,
Tは鋭角△
したがって
V = (1/3)pqr
≦ (1/24)(p+q)(q+r)(r+p) (← GM-AM)
≦ {1/(6√2)}abc
≦ {1/(162√2)}(a+b+c)^3, (← GM-AM)
等号成立は p=q=r, a=b=c=1/3.
以下を示せ。
・a[n] = √(3nn + 1) が整数となる自然数nは無数にある。
・任意の正の実数εに対し、ある自然数の組(m,n)が存在して、
|a[n] - m| < εとなるようにできる。
[脇スレ.278]
かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日
学コン8月号Sコース1等賞1位とれました！
マジで嬉しいです！
来月からも理系に負けず頑張りたいと思います！
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
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∫ １/(aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^2 dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう不定積分を見たときに、それに応じて
どういう置換積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。
(b/a)dx/cos(x)^2 = dt,
aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2 = aa･(1+tt)cos(x)^2
= (ab)^2 (1+tt)/{(at)^2+bb},
より
∫１/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}^2 dx
= 1/(ab)^3 ∫ {(at)^2 + bb}/(1+tt)^2 dt
= 1/{2(ab)^3} ∫{(bb+aa)/(1+tt) + (bb-aa)･(1-tt)/(1+tt)^2} dt
= 1/{2(ab)^3} [ (bb+aa)･arctan(t) + (bb-aa)･t/(1+tt) ]
= 1/{2(ab)^3} (bb+aa)･arctan((b/a)tan(x))
+ 1/{2(ab)^2} (bb-aa)･cos(x)sin(x)/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2},
を思いつかないといけないですよね。
∫ １/(aa*cos(x)^2 + bb*sin(x)^2}^3 dx
の値を計算させる問題があります。
こういう積分を簡単に計算できるのは素晴らしいですね。
でも、こういう不定積分を見たときに、それに応じて
どういう置換積分を考えればいいかを思いつかないと
いけないですよね。
cos(π/2) = cos(3*π/2) = 0
なので、少し面倒ですね。
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
=
∫_{-π/2}^{3*π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx
=
∫_{-π/2}^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx
+
∫_{π/2}^{3*π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx
=
2 * ∫_{-π/2}^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx
∫_{-π/2}^{0} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx
=
∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
だから、
2 * ∫_{-π/2}^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx
=
2 * (∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx + ∫_{0^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx)
g(x) = 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x))
f(x) = (1 / (a^2 * cos^2(x))) / (1 + (b/a)^2 * tan^2(x))
とおく。
g(x) = f(x) for all x ∈ [0, π/2)
∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
=
lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
=
lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} g(x) dx
=
lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} f(x) dx
=
(1/(a*b)) * ∫_{0}^{(b/a)*tan(c)} 1 / (1 + t^2) dt
=
(1/(a*b)) * [arctan((b/a)*tan(c)) - arctan(0)]
=
(1/(a*b)) * arctan((b/a)*tan(c))
∴
lim_{c → π/2} ∫_{0}^{c} f(x) dx
=
lim_{c → π/2} (1/(a*b)) * arctan((b/a)*tan(c))
=
(1/(a*b)) * (π/2)
∫_{0^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx
=
(1/(a*b)) * (π/2)
∫_{0}^{2*π} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx
=
2 * (∫_{0}^{π/2} 1 / (a^2 * cos^2(x) + b^2 * sin^2(x)) dx + ∫_{0^{π/2} 1 / (b^2 * cos^2(x) + a^2 * sin^2(x)) dx)
=
2 * (2 * (1/(a*b)) * (π/2))
=
(2*π) / (a*b)
高校生でも思いつくとは思いますが、
cos(π/2) = cos(3*π/2) = 0
なので、どうすればいいのか分からないのではないでしょうか？
テイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを証明して、
exp(x), sin(x), cos(x) がテイラー展開可能であることを導いています。
次に、
log(1 + x) のテイラー展開ですが、これについては、
志賀浩二著『数学が育っていく物語 第1週 極限の深み』で、べき級数の理論を使って求めています。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することは難しい理由を以下のように
説明してます。
R_n = (-1)^(n+1) * x^n / (n * (1 + θ*x)^n)
の θ は x と n の関数で 0 < θ < 1 を満たします。
最悪の状況を想定すると、 n を大きくしていったとき θ がずっと 1 に近いままであるかもしれません。
もし、たとえば、 x = -2/3 のときに、そのような状況が起きるとすると、
|R_n| ≒ (1/n) * (2/3)^n / (1 - 2/3)^n = 2^n / n → ∞
となってしまいます。
R_n → 0 であることを証明するには、このような状況が起きないことを証明しなければならず、それは難しい。
950 自分：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/09/20(金) 22:26:16.69 ID:lq2/XEro [7/7]
志賀浩二さんの本もたまには少し面白い話が書いてありますね。
log(1 + x) のテイラーの公式の剰余項が 0 に収束することを直接証明することはできますか？
f(x) = f(0) - ∫[x,0] f '(t) dt
= ････ (部分積分をn-1回)
= (n-1次のMcLaurin多項式) + R_n(x),
ここに
R_n(x) = (-1)^n {1/(n-1)!}∫[x,0] f^(n)(t) (t-x)^(n-1) dt.
･････ 積分型剰余 (ベルヌーイの剰余) と云うらしい
さて本問では
f(t) = log(1+t),
f^(n)(t) = (-1)^(n-1) (n-1)! /(1+t)^n,
また
-1<x≦t≦0,
0 ≦ (t-x)/(t+1) ≦ -x = |x|,
1 ≦ 1/(1+t) ≦ 1/(1+x),
よって
| 被積分函数 | < |x|^n /(1+x),
|R_n(x)| < |x|^(n-1) /(1+x) ∫[x,0] dt = |x|^n /(1+x) → 0 (n→∞)
nを3以上の自然数とする。
n次正方行列Aのnn個の成分のうち少なくとも1つは虚数である。
また、Aの成分はいずれも0でない。
このとき次の命題Pが成り立つことを示せ。
『命題P』 AA = O となるAが存在する。
ただし、この問題において「虚数」とは実数でない複素数を指す。
[脇スレ.263,274]
1のn乗根を ω = e^(2πi/n) として
A_(j,k) = ω^{(j+k)/2} = e^{iπ(j+k)/n}.
A_(j,k) = ω＾(pｊ+qk)/(p+q),
ただし p,qは整数、p+q≠0.
コーシー剰余を使えば・・・・
-1 < x < 0 < θ < 1 より
1+θx > 1-θ > 0 かつ 1+θx > 1+x > 0,
| f^(n)(θx) | = (n-1)! /(1+θx)^n < (n-1)! /[(1+x)(1-θ)^(n-1)],
∴ コーシー剰余は
| R_n(x) | = {1/(n-1)!} |f^(n)(θx) (1-θ)^(n-1) x^n |
< |x|^n /(1+x) → 0 (n→∞)
[脇スレ.336,341]
四面体の各側面の面積ヴェクトルをｐ,ｑ,ｒ,ｓとおく。
等面積だから |p|=|q|=|r|=|s|,
閉じた多面体だから ｐ+ｑ+ｒ+ｓ=ｏ,
∴ ｐ+ｑ = - (ｒ+ｓ), ｐ+ｒ = -(ｑ+ｓ), ｐ+ｓ = -(ｑ+ｒ), …(1)
∴ (ｐ+ｑ)･(ｐ+ｒ) = (-ｒ-ｓ)･ｐ + (ｐ+ｑ)･ｒ
= -(ｓ･ｐ) + (ｑ･ｒ)
= {|p|^2 + |s|^2 -|s+p|^2}/2 + {|q+r|^2 -|q|^2 -|r|^2}/2
= 0,
∴ (1) は直交系をなす。
それらをxyz軸とすれば、Sの2回軸となる。
∴ Sの頂点は、xyz軸に平行な稜をもつ或る直方体の4頂点である。
四つの面がすべて等面積の四面体においては、
四つの面をなす三角形は互いに合同であることを証明してください。
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集 ●45 (1977)
どうやって証明するんだ？
4面体なら簡単だが
以下の問題の川平さんの解答ですが、非常に長いものになっています。
関数 g(z), h(z) は点 α を含む領域上の正則関数とし、条件
g(α) ≠ 0
h(α) = 0
h'(α) ≠ 0
をみたすものとする。
このとき、点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極であることを示せ。
解答：
関数 h(z) は点 α を含む領域上の正則関数であるから、 α の近くで、
h(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
0 = h(α) = a_0
であり、
h'(z) = a_1 + 2 * a_2 * (z - α) + …
0 ≠ h'(α) = a_1
であるから、
α の近くで、
h(z) = a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
a_1 ≠ 0
である。
h(z) = (z - α) * [a_1 + a_2 * (z - α) + …]
である。
f(z) := a_1 + a_2 * (z - α) + …
は
点 α を含む領域上の正則関数であり、 f(α) ≠ 0 であるから、
g(z) / f(z)
も点 α を含む領域上の正則関数である。よって、 α の近くで、
g(z) / f(z) = b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …
とべき級数展開できる。
=
(1 / (z - α)) * [b_0 + b_1 * (z - α) + b_2 * (z - α)^2 + …]
=
b_0 / (z - α) + b_1 + b_2 * (z - α) + …
は
g(z) / h(z)
のローラン展開であり、明らかに点 α は関数 g(z) / h(z) の1位の極である。
川平さんの本では、べき級数の話は付録に登場するだけでした。
べき級数で表される関数が正則であることは証明されていませんね。
を使わないで証明するとすると面倒なことになりますね。
そのまま直接定義通りにやっても
z-aかけりゃ普通に正則だろうし1行で終わるだろうと思うが
一致の定理だとか
そう言う基本性質は前提だが
ありがとうございます。
>>153
そういう定理はまだ紹介されていません。
H(z) := h(z) / (z - α)
が
lim_{z → α} H(z) = lim_{z → α} (h(z) - h(α)) / (z - α) = h'(α) ≠ 0 だから
H(z) は α の近くで有界であると書いてあるのですが、それはなぜですか？
ちなみに、コンパクト集合上で連続な関数は最大値、最小値をもつ
という定理は、付録で紹介されているので、この定理は使えません。
＞ちなみに、コンパクト集合上で連続な関数は最大値、最小値をもつ
＞
＞という定理は、付録で紹介されているので、この定理は使えません。
とんでもないアホを見た
やはり、
「コンパクト集合上で連続な関数は最大値、最小値をもつ」
という定理を暗に使っているようにしか思えません。
あ、分かりました。
lim_{z → α} H(z) = lim_{z → α} (h(z) - h(α)) / (z - α) = h'(α) ∈ C
だから、
ある正の実数 r が存在して、 {z | 0 < |z - α| < r} 上で H(z) は有界である。
べき級数で表される関数f(z)が D = { z | |z-α|<R } で収束したとする。
(z-α)^n までの部分和を S_n(z) とすると、△不等式より
|f(z1)-f(z2)| ≦ |f(z1)-S_n(z1)| + |S_n(z1) - S_n(z2)| + |S_n(z2)-f(z2)|,
右辺の第1項と第3項は n>N に対して <ε,
右辺の第2項も |z1-z2|<δ に対して <ε,
∴ f(z) はD内で連続である。
∴ f(z) はD内で積分可能。
|f(z) - S_n(z)| → 0 (n→∞)
Max{ |f(z)-S_n(z)| | z∈C } = M_n → 0 (n→∞)
∴ 「項別積分」してよい。
D内の閉曲線Cに沿ってf(z)を積分すると S_n(z) の部分は消えて
|∫_C f(z)dz | = |∫_C {f(z)-S_n(z)}dz | + M_n∫_C |dz| → 0 (n→∞)
∴ ∫_C f(z)dz = 0,
CはD内の任意のJordan曲線でよいから、Moreraの定理より、
f(z)はDで正則である。
エクストラで紹介するだけ的な意味合いのものもあれば
こういう性質や理論を使って議論するので押さえておいてくださいねっていう物もある
どちらかというと後者が多いんじゃないかな
複素関数の理論話してるのに位相の定理とかから証明しだすとどんどん話が逸れるだろ
そういう時に話を分ける意味で他の分野の知識などは付録にまとめておく
>>154
で書いたのと川平さんが書いたことは少し違ってました。
以下に川平さんの解答から引用します：
H(z) := h(z) / (z - α)
とおく。これはある十分に小さな穴あき円板 D := D(α, r) - {α} 上で正則である。
h(α) = 0 より、 z → α のとき
H(z) = (h(z) - h(α)) / (z - α) → h'(α) ≠ 0
が成り立つから、 D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。
要するに、
lim_{z → α} F(z) = lim_{z → α} g(z) / H(z) ∈ C
だから、
十分小さな r に対して、 D(α, r) - {α} 上で F(z) は有界である
ということですね。
でも、
>>160
のような書き方だと最初にとった r をもっと小さな r に取り直さないといけない可能性がありますよね。
川平さんは、
「
D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。
」
と書いていますが、最大最小値の定理を使わないのであれば、この書き方は不適切ですね。
Hの有界性を示して何になるのかはわからんが
limitが存在してりゃそりゃ有界だよ
1/Hの有界性なら
正則関数の零点が孤立点である事と連続性から明らか
k番目の面の面積ヴェクトルをｐ_k としましょう。
この多面体を川の水に漬けます。
水の流速ｖは一定とします。
単位時間にこの多面体に
流れ込む水の体積－出ていく水の体積は
(ｖ・Σｐ_k) = 0,
これはｖがどちらを向いてても成り立ちますから
Σｐ_k = ｏ
(流体運動学による証明)
「
H(z) := h(z) / (z - α)
とおく。これはある十分に小さな穴あき円板 D := D(α, r) - {α} 上で正則である。
h(α) = 0 より、 z → α のとき
H(z) = (h(z) - h(α)) / (z - α) → h'(α) ≠ 0
が成り立つから、 D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。
」
これを以下のように訂正すれば問題ないですね。
「
H(z) := h(z) / (z - α)
とおく。これはある十分に小さな穴あき円板 D := D(α, r) - {α} 上で正則である。
h(α) = 0 より、 z → α のとき
H(z) = (h(z) - h(α)) / (z - α) → h'(α) ≠ 0
が成り立つから、 必要ならば、上の r をもっと小さくとりなおせば、 D 上の正則関数 F(z) := g(z) / H(z) は有界である。
」
f(z) = … + a_{-2} / (z - α)^2 + a_{-1} / (z - α) + a_0 + a_{1} * (z - α) + a_{2} * (z - α)^2 + …
と書いてみれば、
lim_{z → α} |a_{-n} / (z - α)^n| = +∞
なので明らかであるようにも見えます。
この線で、リーマンの定理を証明できませんか？
ちなみに、川平さんの解答では、 ML不等式を使って分かりやすく証明しています。
リーマンの定理：
関数 f(z) が穴あき円板 D = {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} 上で正則かつ有界であるとき、
α は f(z) の除去可能な特異点であることを示せ。
以下の演習問題があります。
「
関数 f(z) は穴あき円板 D = {z ∈C | 0 < |z - α| < R} 上で正則であり、 α は f(z) の除去可能特異点であるとする。
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で、 D 上 g(z) = f(z) をみたすようなものが存在することを示せ。
」
これは非常に簡単な問題ですが、べき級数の理論を使わない川平さんの解答は恐ろしく長いです。
以下のように、ほぼ自明な問題であるにもかかわらずです。
z ∈ D とする。
f(z) = a_0 + a_1 * (z - α) + a_2 * (z - α)^2 + …
とローラン展開できる。
g(z) := f(z) if z ∈ D
g(z) := a_0 if z = α
で定義される D(α, R) 上の関数 g(z) は D(α, R) 上の正則関数である。
8 自分返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/09/22(日) 23:09:19.26 ID:2TbS0DPZ [2/2]
>>7
あと、
「
このとき、ある D(α, r) 上の正則関数 g(z) で
」
と書いてありますが、明らかに、
「
このとき、 D(α, R) 上の正則関数 g(z) で
」
としたほうがいいですよね？
(b/a)tan(x) = t とおいて
(b/a)dx/cos(x)^2 = dt,
によりtで積分する。 被積分函数は
(a/b) cos(x)^2 /{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}^3
= {1/(ab)^5} (aatt+bb)^2 /(1+tt)^3
= p/(1+tt) + (q/ab)(1-tt)/(1+tt)^2 + (r/aaab)(1-3tt)/(1+tt)^3,
∴ F(x) = p･arctan(t) + (q/ab)t/(1+tt) + (r/aaab)t/(1+tt)^2
= p･arctan{(b/a)tan(x)} + q･cos(x)･sin(x)/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}
+ r･cos(x)^3･sin(x)/{aa･cos(x)^2 + bb･sin(x)^2}^2,
ここに
p = (1/8)(3a^4 +2aabb +3b^4)/(ab)^5,
q = (1/8)(5aa+3bb)(bb-aa)/(ab)^4,
r = (1/4)(bb-aa)^2/(aa･b^4).
を思いつかないといけないですよね。
f(z) は {z ∈ C | 0 < |z - α| < R} を含む領域上で正則であるとする。
という仮定をしますが、
なぜ、
f(z) は {z ∈ C | R_1 < |z - α| < R_2} を含む領域上で正則であるとする。
という仮定はしないのでしょうか？
四面体OABCでは
2ｐ = OA×OB,
2ｑ = OB×OC,
2ｒ = OC×OA,
2ｓ = AC×AB = (OC-OA)×(OB-OA)
= -OA×OB -OB×OC -OC×OA
より成立。
多面体は四面体を何個か貼り合わせたもの。
貼り合わせ面では相殺してｏになる。
川平友規『入門 複素関数』裳華房 (2019/Feb)
240p．2640円
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1579-5.htm
著者のサポートページもある。。。
http://www.math.titech.ac.jp/~kawahira/courses/nyumonfukuso.html
∫_{-∞}^{∞} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
という等式を示す例題があります。
その例題では、
lim_{R → ∞} ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
を示しています。
本来示すべきは、
lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
ですよね。
2 * ∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / sqrt(2)
∫_{0}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = (1/2) * ∫_{-R}^{R} 1 / (1 + x^4) dx = π / (2 * sqrt(2))
なので、
lim_{S → -∞, T → ∞} ∫_{S}^{T} 1 / (1 + x^4) dx
=
π / sqrt(2)ですけど。
1 + x^4 = (1+xx)^2 - 2xx
= (1 +x√2 +xx)(1 -x√2 +xx)
= {1 + (1+x√2)^2}{1 + (1-x√2)^2}/4,
1/(1+x^4) = 1/(4√2)・{(√2 +2x)/(1 +x√2 +xx) - (-√2 +2x)/(1 -x√2 +xx)}
+ (1/2)/{1 +(1 +x√2)^2} + (1/2)/{1 +(1 -x√2)^2},
と部分分数に分けて
∫1/(1+x^4) dx = 1/(4√2)・{log(1+x√2 +xx) - log(1 -x√2 +xx)}
+ 1/(2√2)・{arctan(1+x√2) - arctan(1-x√2)}
= 1/(4√2)・log[(1+x√2 +xx)/(1 -x√2 +xx)]
+ 1/(2√2)・arctan{(√2)x/(1-xx)},
第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。
a > 0 とする。
∫_{-∞}^{∞} x^4 / (x^2 + a^2)^4 dx
の値を求めよ。
定石通りに計算すれば、答えが求まりますが、
g(z) := z^4 / (z + a*i)^4
の3次導関数を計算しなければなりません。
g(z) を 1 / (z + a*i) についての4次多項式で表して、なんとか3次導関数を計算しましたが、
かなり苦労しました。
簡単に計算する方法はありますか？
確かに複素関数論を知らなくても解けますね。
第4章「留数定理」の章末問題に以下の問題があります。
∫_{0}^{∞} exp(-x^2) dx = sqrt(π) / 2 を用いて、
∫_{0}^{∞} sin(x^2) dx = ∫_{0}^{∞} cos(x^2) dx = sqrt(π) / (2 * sqrt(2))
を示せ。
この問題を自力で解けました。
結構すごいですか？
第4章に出てくる積分の積分路は決まって半円だったので、最初は戸惑いました。
が、↓が閃きました。
f(z) := exp(z^2)
とおくと、
f(i*t) = exp(-t^2)
f(sqrt(i) * t) = exp(i * t^2) = cos(t^2) + i * sin(t^2)
なかなか冴えていますか？
この問題が第4章の章末問題のラストを飾る問題です。
しかも、☆印つきの問題です。
「はじめに」には、
「
とくに発展的な問題には*をつけ区別してある。
」
などと書かれています。
気持ちよく、最終章第5章へと進むことができそうです。
の問題を自力で解けたということは、もう既に、「玲瓏なる境地」に達していると考えていいですか？
∫_{-∞}^{∞} cos(x) / (1 + x^2)^2 dx
を計算せよ。
という問題を解きました。
怪しいなと思いつつ、まず以下の積分を考えました：
∫_{C} cos(z) / (1 + z^2)^2 dz
cos(z) = (exp(i * z) + exp(-i * z)) / 2
です。
|exp(i * z)| = exp(-y)
|exp(-i * z)| = exp(y)
ですので、普通に積分路を考えると 0 と評価したい積分が 0 と評価できません。
そこで、
∫_{C} exp(i * z) / (1 + z^2)^2 dz
を考えれば、
|exp(i * z)| = exp(-y)
ですから、 z の虚部が大きくなるような場所を通る積分路を考えれば、 0 と評価したい
積分を 0 と評価できそうです。
このような推理の結果、正解を得ることができました。
(上) は数学者にとっては 2x2=4 と同じくらい明らかです。(ケルビン)
>>178
ちょこっと計算して数が合ってると「玲瓏なる境地」に達しているとうぬぼれながら、解析接続すら理解できていないバカですからね。
それにこの人間性じゃ受け入れ先も全くないでしょう。
[脇スレ.460]
E を 複素平面内のコンパクト集合とする。
E_r を E から r 以下の距離にある点全体の集合とする。
このとき、 E_r がコンパクト集合であることの証明を以下のように書いています。
「
E はコンパクト集合（すなわち、有界な閉集合）なので、十分に大きな R > 0 を選んで
E ⊂ D(0, R) とできる。任意の正の数 r > 0 に対し E_r ⊂ D(0, R + r) であるから、
E_r は有界である。また、 E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点
からなる集合であり、開集合となる。すなわち、 E_r は閉集合。よって、コンパクト集合
である。
」
「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」
↑これは自明じゃないですよね？
関数 f : C ∋ x → |x - a| ∈ R は、連続関数である。
証明：
x_0 ∈ C とする。
f(x) - f(x_0) = |x - a| - |x_0 - a| ≦ |x - x_0|
f(x_0) - f(x) = |x_0 - a| - |x - a| ≦ |x_0 - x|
∴ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0|
任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、
|x - x_0| < δ ⇒ |f(x) - f(x_0)| ≦ |x - x_0| < δ = ε
が成り立つから、 f は連続関数である。
a ∈ C とする。
関数 g : E ∋ x → |x - a| ∈ R は、コンパクト集合 E 上の連続関数である。
よって、 g は E 上で最大値・最小値をとる。
110 自分：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/09/27(金) 19:48:42.53 ID:N/cfTNg/ [4/7]
x ∈ C とする。
dist(x, E) := min {|x - y| | y ∈ E}
と定義する。
証明：
x, x_0 を任意の複素数とする。
任意の y ∈ E に対して、
dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y|
が成り立つ。
y_0 を
dist(x_0, E) = |x_0 - y_0|
を成り立させる E の元とする。
↑の不等式から、
dist(x, E) ≦ |x - y| ≦ |x - x_0| + |x_0 - y_0| = |x - x_0| + dist(x_0, E)
∴ dist(x, E) - dist(x_0, E) ≦ |x - x_0|
x と x_0 は任意だったから、
dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |x - x_0|
も成り立つ。
∴ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0|
任意の正の実数 ε に対して、 δ = ε とすれば、
|x - x_0| < δ ⇒|dist(x, E) - dist(x_0, E)| ≦ |x - x_0| < δ = ε
が成り立つから、 C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数である。
dist(x_0, E) > r
である。
C ∋ x → dist(x, E) ∈ R は連続関数であるから、
ε := dist(x_0, E) - r とおくと、
|x - x_0 | < δ ⇒ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε
を成り立たせるような正の実数 δ が存在する。
したがって、
|x - x_0 | < δ ⇒ dist(x_0, E) - dist(x, E) ≦ |dist(x, E) - dist(x_0, E)| < ε = dist(x_0, E) - r
が成り立つ。
|x - x_0 | < δ ⇒ r < dist(x, E)
が成り立つ。
∴ |x - x_0 | < δ ⇒ x ∈ E_r^C
よって、 x_0 は E_r^C の内点である。
以上より、
「E_r の補集合は E 上の各点からの距離が r より真に大きな点からなる集合であり、開集合となる。」
が証明された。
補集合の1点取ってきたらeとの距離はrより真に大きいんだから
その値とrとのギャップで円の半径決めれば明らかに分離できるでしょ
られるようにしておいた方がいいね
形式的にしっかり書くならそうなるだろう
y[n]∈Eをd(x[n],y[n])≦rととれる。
Eはコンパクトだから(必要なら部分列をとって)lim y[n]=y∈Eとしてよい。
この時d(x,y)≦r。
かずきち@dy_dt_dt_dx 9月29日
京大オープン経済190/550しか取ってないやつにマウント取られて草
お前より90点高いんだよ黙って勉強しろ
https://twitter.com/dy_dt_dt_dx
(deleted an unsolicited ad)
マラソンをテレビで見ていると、明らかに駆け引きが存在することが分かります。
解説者も駆け引きについて説明したりします。
サッカーのような競技とは違い、普通に考えれば、他の選手のことなど一切考えずに、
ゴールするまでのタイムが最小になるようにするにはどういうペースで走ればいいかのみ
を考えて走るのが最適な戦術であるように思います。
ところが、実際には相手の走り方に影響を受けて、自分の走り方を決めているように見えます。
これについて何か合理的な説明は可能でしょうか？
マイペースで走って無駄なスパートとかしないのが得策ぢゃね？
∫[U] f_(x_i)(x) dx = ∫[∂U] f(x)n_i dS
を示して下さい
ついて行くのは簡単→ピッチ合わせて呼吸合わせるだけ
ピッチを作るのは他の選手を上回るだけの体力が必要
車で例えるなら100キロの車を追い抜くのに最低時速110キロで車間もわからないが大体6秒必要。それが人間の場合体力となる。
空気抵抗考えるだけで、マイペースベストなどとは言えなくなるが。
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
問題：
領域 D 内に任意の円板 E をえらび、それを「割った卵」に見立てて、図の左側のように「黄身」と「白身」に塗り分ける。
このとき、 D 上の定数関数ではない正則関数 f(z) による E の像は、決して図の右側のようにならない。すなわち、「黄身」が「白身」よりも外側に飛び出すことはない。
その理由を説明せよ。
解答：
もしそのように「黄身」が飛び出したと仮定すると、適当な1次関数 g(z) = exp(i*θ) * z + B（回転と平行移動）を用いて、
g(f(z)) が「黄身」の部分で最大絶対値をとるようにできるが、 g(f(z)) は正則であり、「黄身」の部分に E の境界点はないので、定理5.11に矛盾。
|g(f(z))| = |exp(i*θ) * (f(z) + exp(-i*θ) * B)| = |f(z) + exp(-i*θ) * B|
だから、証明に用いている g(z) は、よりシンプルな g(z) = z + B（平行移動） でOKですよね。
この問題の解答ですが、もっと大きな問題があります。
「黄身の像の部分で最大絶対値を取るように平行移動できるとは限らない」
という指摘がありました。
確かにそうだと思います。
「
関数 f(z) が D 上で有理型もしくは D 上の有理型関数であるとは、
・ D 内の点の集合 P := {α_1, α_2, … } が存在して、 f(z) は D - P 上で正則、かつ
・ 各 α_k （k = 1, 2, …） はそれぞれ f(z) の極
であることをいう。
」
と書いてあります。その下の「注意！」として、
「
P 自体は無限個の点を含んでもよいが、 D 内には集積点をもたない（もし集積点があれば、それは ∂D に属する）。
」
と書いてあります。
D 内に P の集積点がない理由は、以下でOKですか？
・P は孤立点からなる集合だから、 P の元は、 P の集積点ではない。
・「D - P 上で正則」だから、当然、 D - P は開集合でなければならない。D - P が開集合であれば、明らかに、 D - P の元は P の集積点ではない。
川平友規著『入門複素関数』を読んでいます。
有理型関数について質問です。
f(z) = sin(z) / z
は C - {0} で正則です。
ですが、 z = 0 は f(z) の極ではありません。
川平さんの本の定義では、 D 上の正則関数も有理型関数になります。
f(z) は、 f(0) := 1 と定義すれば、 C 上の正則関数になります。
f(z) は C 上の有理型関数ですか？
「
A が距離空間 X の開集合であるとき、
A の各点 a に対して B(a ; r(a)) ⊂ A となる正の実数 r(a) が存在し、明らかに
A = ∪_{a ∈ A} B(a ; r(a))
となる。
」
という記述があります。
これって選出公理を使っていますよね。
それにもかかわらず、選出公理を使っていることを書いていません。
これはOKなんですか？
A ∋ a に対して、有界で連結な実数の集合 S_a が対応するとき、
a → (1/2) * (sup S_a + inf S_a) ∈ S_a
という写像が存在します。
A から ∪_{a ∈ A} S_a への写像 r で r(a) ∈ S_a となるものが存在することをいうのに選出公理は不要です。
A ∋ a に対して、有界な実数の集合 S_a が対応するとき、
A から ∪_{a ∈ A} S_a への写像 r で r(a) ∈ S_a となるものが存在することをいうためには、
選出公理は必要ですよね？
S_a に対する条件が空でないというだけの場合には選出公理を使わなくてはならない。
S_a に対する条件が強くなると選出公理を使わなくてもいいケースが増えてくる。
みたいなイメージですか？
S が空でない集合であるとき、 r ∈ S を取ることができる。
（２）
任意の A ∋ a に対して、 S_a ≠ φ とする。
任意の A ∋ a に対して、 r(a) ∈ S_a を取ることができる。
（２）ではなぜ選出公理が必要なのでしょうか？
∀a∃rが真でも∃r∀aが真とは限らない
無限でも明らかだと思うんですけどぶっちゃけ
選択公理ってバナッハタルスキーのパラドックスとかそういうパラドックスを認めますよっていう意思表示だと思ってました
このクジを最も少ない金額で当てたい場合、どのようにクジを購入するのがよいだろうか
(100000円払えば確実に当たるが、それが答えではない)
色々考えたけど分からないのでお願いします
オレも数学科卒だけどできない。(お前がバカなだけと言われるかもしれないが)
自分にはこの命題選択公理なしで証明できないというのはその命題示すのに選択公理が必要である事の証明にはならない。
証明するためには選択公理が成立しないモデルでその命題が成立しないものを実際に作ってみるしかない。
しかし、その手の事が実際できるのは基礎論専攻した人間でないと無理だと思う。
教えてください
ΠX[i]={s={<x,i>|1≦i≦n, x[i]∈X[i]} | ∀i∃!x <x,i>∈s}
は空集合ではない。
∵) nについての帰納法。n=1のとき略。
n=kのとき正しいとしてn=k+1のときを考える。
空集合を含まない有限個の集合の列X[i] (1≦i≦n)がある時
Π[1≦i≦k]X[i]は空集合でないからその元tが取れる。
一方で仮定よりx∈X[k+1]が取れる。そこで
s=t ∪ {<x,k+1>}とおけばs∈ Π[1≦i≦k+1]X[i]である。
閉集合の∪を有限回とると閉集合だけど、無限回とったら開集合になるかもしれないみたいな感じでしょうかね
以下の命題の証明で、「選出公理」を使っていますよね？
A を距離空間 X の部分集合、 a を X の点とする。 a が A の触点であるためには、 lim_{n → ∞} x_n = a となる
ような A の点列 (x_n) の存在することが必要かつ十分である。
証明
a ∈ 「A の閉包」ならば、任意の n = 1, 2, 3, … に対して
B(a ; 1/n) ∩ A ≠ φ
である。そこで B(a ; 1/n) ∩ A から点 x_n をとれば、 (x_n) は A の点列で、
d(x_n, a) < 1/n であるから、 x_n → a となる。
混ざらない金属をいっしょに溶融して粉末化すると、卵型コア構造になるらしい････
電気製鋼, 第７４巻, 4号, p.221-226 (2003/Oct)
「論説 > 液相2相分離型合金粉末に形成される卵型コア構造組織」
"Egg-type core structure formed in atomized powderes of immiscible ally systems"
王、劉、大沼、貝沼、石田(東北大･工)
http://www.jstage.jst.go.jp/article/denkiseiko/74/4/74_4_221/_pdf
53rd 日本金属学会 金属組織写真賞 (2003/Mar)
佳作賞 B部門
「液相2相分離型合金で形成される卵型コア構造粒子の組織」
受賞者: 王、劉、大沼、貝沼、石田(東北大･工)、大河内、小川、清水(大同特殊鋼)
ASM(アメリカ金属協会)国際写真コンテスト・貢献賞 (2003/Oct)
"Egg-type core microstructure of immiscible alloy powders"
受賞者: 王、劉、大沼、貝沼、石田(Tohoku Univ.)
銅と銅合金, ４１(1), p.176 (2002)
王、蒋、劉、大沼、貝沼、石田(東北大･工)
以下の定義ですが、 ε は任意の正の実数ですが、ある正の実数ではなぜいけないのでしょうか？
ある正の実数 ε に対して、半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもてば、任意の ε に対しても
半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもつように思います。
定義：
距離空間 X の部分集合 A は、任意の ε > 0 に対し、半径 ε の有限個の開球から成る被覆をもつとき、
全有界またはプレコンパクト（precompact）とよばれる。
ユークリッド空間の場合にはどうですか？
距離空間 X が完備かつ全有界 ⇒ X はコンパクト
の証明ですが、おかしなことを書いています。
背理法で証明しているのですが、
「(U_λ) λ∈ Λ を X の任意の被覆とする。 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
などと書かれています。
これはまずいですよね。
「X の任意の被覆 (U_λ) λ∈ Λ に対して、 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
とも解釈できますよね。
「(U_λ) λ∈ Λ を X のある被覆とする。 X が U_λ のうちの有限個では決して被覆されないと仮定して矛盾を導こう。」
と書くべきですよね。
普通に背理法の設定としてごくごく自然に正しい読み方ができるんだから問題ない
以下の事実が証明抜きで使われています。
D_2 Φ および D_3 Φ が連続であることは分かります。
D_1 Φ が連続であることはどうやって証明するのでしょうか？
I を R の区間とする。
f : [a, b] × I → R とする。
D_2 f が [a, b] × I で存在し、連続であるとする。
Φ : I × [a, b] × [a, b] → R を Φ(y, u, v) := ∫_{u}^{v} f(x, y) dx で定義する。
Φ は C^1 級関数である。
d/dy Φ(y, u(y), v(y)) を計算するのに、チェインルールを使っています。
関数y=3^xのグラフをx軸方向にa,y軸方向にbだけ平行移動したところ、関数y=5*3^x+4のグラフになりました。このとき、定数a,bの値を求めなさい。
解答
平行移動後のグラフは
y=3^{x-a}+bとなり、
両辺に15を掛けて
15*3^{x-a}+15b=75*3^x+60
3^{x+1}*5*3^{-a}+15b=3^{x+1}*25+60
となり、両辺を比較して
5*3^{-a}=25,15b=60
3^{-a}=5,b=4
より、a=-log_3 5,b=4
としました。
合ってますか？
y = f(x) のグラフを (a,b) だけ平行移動すると、 y = f(x-a) + b.
題意より 3^(x-a) + b = 5･3^x + 4.
x → -∞ を考えると、b=4
マルチするな
しかも両辺に15掛けるとか意味不明
正三角形の底辺側の1頂点から対辺に垂線を下ろし、
それを軸として円錐を回転させたときの体積を求めよ
円錐の中身が詰まった場合と
円錐の中身がなく側面だけで構成される場合の
2通り答えよ
>断面
どんな断面よ
>円錐
直円錐？
>正三角形の底辺
正三角形の底辺とは？
解く気はサラサラないけど。
円錐
xx + yy - (1/2 - z/√3)^2 = 0,
(xx+yy≦1/4, 0≦z/√3≦1/2)
垂線
(1/2, 0, 0) と (-1/4, 0, (√3)/4) をとおる直線だから
z = (1/2 - x)/√3, y = 0,
思い付きだけの迷惑な投稿
頂点を含む断面が辺の長さ1の正三角形の円錐がある
正三角形の底辺側の1頂点から対辺に垂線を下ろし、
それを軸として円錐を回転させたときの体積を求めよ
円錐の中身が詰まった場合と
円錐の中身がなく側面だけで構成される場合の
2通り答えよ
じゃ、見本を
その垂線上の各点から円錐側面までの距離の最大、最小値求めるとww
ParametricPlot3D[{r*Sin[t]/2, -r*Cos[t]/4 + 3 r/4 - 1/2,
Sqrt[3]*r*Cos[t]/4 + Sqrt[3]*r/4}, {r, 0, 1}, {t, 0, 2*Pi},
ViewPoint -> All, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"x", "y", "z"},
Mesh -> False, Axes -> None, Boxed -> False]
ParametricPlot3D[{r*Sin[t]/2, -r*Cos[t]/4 + 3 r/4 - 1/2,
Sqrt[3]*r*Cos[t]/4 + Sqrt[3]*r/4}, {r, 0, 1}, {t, 0, 2*Pi},
ViewPoint -> All, PlotRange -> All, AxesOrigin -> {0, 0, 0},
Mesh -> False, Boxed -> False]
そこから回転体の体積をどう求積するのかぜひ示してくれw
見本てなんやねん
自作問題を披露するスレではない
断面の縁は
y=√3/(2h) x^2 + h/√3 -1/2,
z=h,
0 \le h \le √3/2
と決まる
解けもせずに寝言だけほざくな低脳
えっらそうにほざくな見本解答を見せてみろゴミ野郎
恥を知れウスノロww
自作問題?
残念でした
学コンの過去問だ
馬鹿たれ
ことごとくアホだなお前って
何でバカが威張ってるんだ
じゃ、解いてミロや
てか>>254示したのにとけないんじゃ障害者だけどなww
は逃亡か?
それとも>>258、テメエが同一者か?あ
底面の中心とは限らんよ
そんな指定はないからな
正三角形の底辺側の1頂点から対辺に垂線を下ろし、
それを軸として円錐を回転させたときの体積を求めよ
円錐の中身が詰まった場合と
円錐の中身がなく側面だけで構成される場合の
2通り答えよ
x = (1/2)(X -1/2) + (√3)/2･Z,
y = Y,
z/√3 = 1/2 + (1/2)(X -1/2) - Z/(2√3),
とおく。
円錐面から
0 ≧ xx + yy - (z/√3 -1/2)^2
= (2/√3)Z(X-1/2) + (2/3)ZZ + YY, (放物線)
底面から
0 ≦ z = (√3)/2･(X +1/2 -Z/√3), (直線)
よって Z断面は
Z/√3 - 1/2 ≦ X ≦ 1/2 - Z/√3 - (√3)/(2Z)･YY，
>頂点と母線を含む断面
だから頂点から斜めに切ってもそれなんだって
分かってないな
母線2つ任意に取ってそれを2辺とする2等辺三角形が正三角形である円錐が無数に考えられるだろ？
>正三角形の底辺
正三角形には底辺はない
というか
どんな三角形でもどの辺を底辺と考えてもいい
>円錐の中身がなく側面だけで構成
側面に底面が含まれるかどうか紛らわしい
底面の円は含まれないあるいは含まれると明確に書くべき
前にもこんな奴いたな
塾の講師になるしかないって言ってたバカが
同一人物か？
| X - Z/√3 | ≦ 1/2,
中実の場合は、Z軸からの距離の最大値Rを求めればよい。
XX + YY ≦ XX + (2/√3)Z(1/2 -X) -(2/3)ZZ (円錐面)
= (X -Z/√3)^2 +Z/√3 -ZZ
≦ 1/4 +Z/√3 -ZZ (← z=0)
= RR
等号成立は
(X, Y) = ( Z/√3 - 1/2, 2√{(1/3)Z[(√3)/2 -Z]} )
すなわち底円上の点 xx+yy = 1/4, z=0,
中実の場合の体積は
V = π∫[0,(√3)/2] RR dZ
= π∫[0,(√3)/2] (1/4 + Z/√3 - ZZ) dZ
= π[ Z/4 + ZZ/(2√3) - (Z^3)/3 ](0→(√3)/2)
= π(√3)/8
= 0.68017476
これは円錐の体積 π/(8√3) の3倍である。
XX + YY ≧ ･････ = rr,
中空の場合の体積は
V = π∫[0,(√3)/2] (RR-rr) dZ
= ･････
例１
頂点が (0, 0, √(2/3)) にあり 底円が xx+yy = 1/3 である円錐。
辺の長さ1の正四面体に外接する。
例2
頂点が (0, 0, √(1/2)) にあり 底円が xx+yy = 1/2 である円錐。
辺の長さ1の正八面体に外接する。
正20面体に外接する円錐も可能と思われ・・・
頂点が (0, 0, (2/√5)sin(π/5)) = (0, 0, √{(√5 -1)/(2√5)} ) = (0, 0, 0.52573111)
にあり、底円が xx+yy = (5+√5)/10 = 0.72360680 の円錐。
辺の長さ1の正20面体に外接する。
- (1/2 - Z/√3) ≦ X ≦ 1/2 - Z/√3,
中空の場合は
XX + YY = XX + (2/√3)(1/2 -X) -(2/3)ZZ (円錐面)
= (X - Z/√3)^2 +Z/√3 -ZZ
・0 ≦ Z < (√3)/4 のとき
XX + YY ≧ Z/√3 - ZZ = rr
等号は (X,Y) = (Z/√3, √{(Z/√3)(1-4Z/√3)} )
・(√3)/4 ≦ Z ≦ (√3)/2 のとき
XX + YY ≧ (1/2 -Z/√3)^2 = rr
等号は (X,Y) = (±(1/2 -Z/√3), 0) のとき
中空の場合の体積は
V = π∫[0, (√3)/2] (RR-rr) dZ
= π∫[0, (√3)/4] (1/4) dZ
+ π∫[(√3)/4, (√3)/2] {(2/√3)Z - (4/3)ZZ} dZ
= π{(√3)/16 + 1/(8√3)}
= π{5/(16√3)}
= 0.56681230
これは円錐の体積の 2.5倍
ある映画の試写会を行い、満足度のアンケート調査を行った。試写会に参加したのは300人でそのうち女性が180人であり、満足したと回答したのは男性の50％、女性の75％であった。この映画を見て満足しなかったと答えた人が女性である確率はいくらか。
この問題、回答例ではベイズの定理使って説いてたんだけど、普通に条件付き確率の式でも解けるよね？
わざわざベイズの定理を使って解かなきゃいけない理由とか、ベイズの定理を使うポジティブな理由があるなら教えてほしい
ちなみに答えは42.9
満足しなかった女性の数 180×25÷100=45
満足しなかったと答えた人が女性である確率
45÷(60+45)=3÷7×100=300/7≒42.9
そうそれで解けるよねって話
この問題の解説にベイズの定理が使われてたんだけど、その方が都合いいことってあるのかなって
高校数学について解説してあるサイト
mathtrain.jp
の記事から引用
↓↓↓
｢ちなみに以下の問題をベイズの定理と応用例として紹介しているサイトが複数ありましたが，単純に条件付き確率の問題です。わざわざベイズの定理を持ち出す必要はありません。｣
と書いてあり、早稲田大学の過去問が紹介されていた。条件付き確率で解けるならそれで構わないという考えらしい
その解答の全文がないと、なぜそういう事をしてるのかわかりっこないよ。
これだー！ありがとう！すっきりしたわ
球の一部
XX + YY + {Z -1/(2√3)}^2 ≦ 1/3, Z≧0
>>274
半径比が 1：2 の同心球 の一部
1/12 ≦ XX + YY + {Z -1/(2√3)}^2 ≦ 1/3, Z≧0
から円錐 (元の円錐の半分のサイズ)
XX + YY - (1/2 - Z/√3)^2 = 0, (√3)/4≦Z≦(√3)/2,
をくり抜いたもの。
これから 右式か yに よる 完全平方式に なるよに uを きめる
このため uわ
q^2－8u(－r+(p/2)^2+pu +u^2) = 0に
満足させるべき
( 質問)
1.としたら uを きめますか?
2. そして なぜ
"uわ
q^2－8u(－r+(p/2)^2+pu +u^2) = 0に
満足させるべき"なんですか?
3点(0,0,0),(2,4,3),(2,5,5)を通る平面をHとするとき、HとV_rの共通部分の面積が1となるrの値を求めよ。
a^a+b^b=c^cを満たすabcの組についての研究ってどの程度進んでいますか？
πを全単射写像X→Yとします。
｛π(π^(-1)(h))｜h∈H｝＝ Hが成立しそうに思えるのですが、例外はありますか？
｛π^(-1)(π(h))｜h∈H｝についても同様でしょうか。
全射性から前半がいえて、単射性から後半が言えましたね…お目汚し失礼しました。
円をある斜軸の周りに回転したときの軌跡は、
それらを小円とする球面（の一部） >>281
>>284
(n,････,n,2n+1) の(n+1)個で AM-GM して
n個
(n+1)^(n+1) > (2n+1)n^n ≧ 3n^n,
∴ Max(a,b) < c のときは a^a + b^b ≦ (2/3)c^c < c^c,
Max(a,b) ≧ c のときは a^a + b-b >c^c
∴ 題意を満足する自然数 (a,b,c) は存在しない。
≧ e√{n(n+1)}
≧ e√2,
* nが大きいとき (1+1/n)^(n+1/2) = e を使った。
a_n = (1 +1/n)^n
b_n = (1 +1/n)^(n+1)
c_n = (1 +1/n)^(n+1/2)
とおくとき、nが増加すると a_n は増加し、
b_n と c_n は減少することを証明せよ。
(数学検定 １級 2次[2]改、2011年･秋)
採点者「微分法を使うのは･････本末転倒の感がある。」
(a)
{1,････,1,(1-1/n)} のn個でAM-GMすると
n-1個
(1 -1/nn)^n > 1 -1/n,
∴ a_n / a_{n-1} = (1 +1/n)^n (1 -1/n)^(n-1) > 1,
(b)
{1,････,1,n/(n-1)} のn+1個で AM-GMすると
n個
{nn/(nn-1)}^(n+1) > n/(n-1),
∴ b_n / b_{n-1} = (1 +1/n)^(n+1) (1 -1/n)^n < 1,
(c) 二項公式を使う。
(1 -1/nn)^(n+1/2)
= 1 - (n+1/2)/nn + (n+1/2)(n-1/2)/(2n^4) - ････
= 1 - 1/n - 1/(2nn) + (nn-1/4)/(2n^4) - ････
< 1 - 1/n - 1/(2nn) + 1/(2nn)
= 1 - 1/n,
∴ c_n / c_{n-1} = (1 +1/n)^(n+1/2) (1 -1/n)^(n-1/2) < 1,
このときExt_(A_S) (M_S,N_S)=(Ext_A (M,N))_Sがすべての次数で成り立つ(「=」は同型)ことを示せ、という問題がわかりません
雪江の代数学3の演習問題なのですが、このTor版は証明が載っていてそれと同じように考えると
自由加群Fについて以下が示せればよいことまでは分かったのですがそこから進めず困ってます
Hom_A (F,N_S)=(Hom_A (F,N))_S
よろしくお願いします
どなたかこれをお願いします
anに上界があるのは加乗律でどう示すの？
それMか有限生性とかなんとか条件ないと成り立たないと思う。
たとえばR=Z、MがZの可算無限直和、SがZ＼{0}のとき
Ext^0(M,R)_S = {{(ai),q)| ai∈Z,q∈Q}
Ext^0(M_S,R_S) = {(bi) | bi∈Q}
で自然射は((ai),q)を(ai×q)にマップするけど、この像にはたとえばbi=1/2^iは含まれないので全射にならない。
どなたかこれをお願いします
ありがとうございます
その例を見ると確かに同型にならなさそうですね
条件を足して証明考えてみます
いや、そうじゃなくて、その問題がそもそも成立しない事を証明せよと言ってる希ガス。
答えあるならもう答えみた方がいい。
答えないなら無視していいと思う。
数学者も神様じゃないので解答不能の問題作ってしまう事なんていくらでもありうる。
面倒なだけじゃツマラン
実のある事を聞けよ
これは面倒なだけの問題なんですか
方針が全く立ちませんが
>>283
平面Hの法線ベクトルを、
(a,b,c)とおくと、
各辺のベクトル、
(2,4,3),(2,5,5),(0,1,2)との内積が0だから、
2a+4b+3c=0
2a+5b+5c=0
b+2c=0
∴b=-2c,a=5c/2
(5c/2,-2c,c)
簡単にすると、
(5,-4,2)
平面Hの方程式は、
5x-4y+2z=0
(つづく)
a[n]=(1+1/n)^(n+a)
により定めるとき、下記（1）（2）が実定数aによりどのようになるかを調べよ。
（1）lim[n→∞] a[n]
（2）a[n]の増減
(1) e
(2)
a <= (log 9/8)/(log 4/3) で増加
a >= 1/2 で減少
(log 9/8)/(log 4/3) < a < 1/2 で減少のち増加
自信ない
ちなみに微分法使った汚ねぇ解き方でした
座標回転で平面問題にすれば良い
答えにはTorの時と同様と一行書かれてるだけなので、著者の勘違いっぽいですね
スルーしときます
他の本とか色々調べてみたら、n=0の時はMが有限表示なら成り立つ的なことが書いてありました
以下、平面上にk番目に置いたHをH_kと書く。
・H_1を置くとき、H_1の頂点Bが座標平面の原点Oと一致するようにする
・H_(k+1)を置くとき、H_kとH_(k+1)とで少なくとも1つの等長辺が重なるように置く。
H_nを置いたとき、H_nの4頂点のうち原点Oから最も距離が離れているものをTとする。
|OT|が最大になるようなH_1,H_2,...,H_nの置き方を述べ、それが正しいことを説明せよ。
>n=0の時
Homと書け
>Mが有限表示なら成り立つ
有限生成だけでは良くないの？
>著者の勘違いっぽいで
どうかな？そもそも有限生成とか有限表示とかだけに限定していたりしない？
もう一回確認したけど限定はされてませんでした
自分が見たのは有限表示なら十分であるという証明なので、有限生成だけでは言えないかどうかは不明です
まず有限表示でない有限生成加群の具体例が思い浮かばない…
(ちなみに証明見たのは桂「代数学2」のp.69です)
Hom(X,Y)_S → Hom(X_S,Y_S)
はX=Rのとき同型で、Xが自由加群の時単射です。
よってXが有限個のRの直和の時同型。
一般の有限生成のときには右完全列
F1 → F2 → X → 0
をF2がRの有限個の直和、F1が自由加群にとれます。
ここにHom(-,Y)_S→Hom(-,Y_S)をヒットしてできる可換図式をよく見れば分かります。
ここの445をだれか解説お願いします…。
二列目の削減もやってみましたが証明できません。
あと、457がいうように「さらに小さな領域」でも無理とわかるようですが、「さらに小さな領域」のマス数の最小値はいくつなのでしょうか。
(a,b,c) を a,b,c は自然数で二進数で表示したときに各桁の1の個数の合計がすべての桁で偶数になる点とする。
格子点を空間に表示したらどんな感じに分布しているか見てみたい
△ABCを直線OA,AB,BCの周りにそれぞれ一回転させて出来る立体をK_1,K_2,K_3とする。
このとき、(K_1∩K_2∩K_3)の体積を求めよ。
おお、ほんとですね
重ね重ね感謝です
6っぽくね？4ではないし色々試したら5もなさそうだわ
証明は知らん
1/7=0.142857142857...
を小数点以下第k桁目で打ち切った有限小数をa[k]とする。
例えばa[1]=0.1、a[2]=0.14、a[7]=0.1428571、である。
（1）kが6で割り切れるとする。a[k]を既約分数q/pの形で表すとき、pとqの最大公約数をkで表せ。答えのみでよい。
なおkによらない値になる場合は、その値を求めよ。
（2）一般のkに対して（1）の最大公約数をkで表し、その理由を述べよ。なおkによらない値になる場合は、その値を求めよ。
a^bc+b^ca=c^abは結構大きい自然数解を持つ というのを聞いた気がするのです
なにか知っている方はいませんか？
a^bc+b^ca=c^ab
(a,b;c)=(1,1;2)
大きいと書いてますね
非自明という意味です
q/pが既約→最大公約数は1
f(t)=vol({p | d(p,A)<t})
とおくときコレがtの多項式になって係数もわかるっていう定理なんでしたっけ？
で曲線Cを定義する(tは実数全体を動く)
Cがx軸のx≥0の部分と交わる点をQとする。
θを変化させた時、Qのx座標が最大となるθについてtanθの値を求めよ。
sinθ=s、cosθ=cと書いて、
二次方程式を解いて√の入った形で表示すると
Qのx座標q=(1/2)*c*{s+√(s²+4)}
(s>0かつc>0の時を考えれば十分)
これをθで微分してみたのですが計算が下手なのかうまく行きません
どなたか解答をお願いしますm(_ _)m
>>283三角錘が平面で斬られて断面が欠円ていうのかな、蒲鉾の断面みたいになる気がするんだよね。
| ∩∩ ∩∩ /＼
|（(-_-)-_-)) / ｢
|（`っΔU⌒U､/／|
| ∥υυ~UU~∥ |
| ∥ □ □ ∥ |
∠∥＿＿＿＿∥／|
￣￣￣￣￣￣∥ |
□ □ □ ∥ |
＿＿＿＿＿＿∥／|
￣￣￣￣￣￣∥ |
□ □ □ ∥ |
＿＿＿＿＿＿∥／|
￣￣￣￣￣￣∥ |
□ □ □ ∥ |
＿＿＿＿＿＿∥／|
￣￣￣￣￣￣∥ |
□ □ □,彡ミ､|
＿＿＿＿＿川`,`;,'
＿＿＿＿＿_U⌒U､;,
/＿/＿/＿/;_~U U~_;
/＿/＿/＿/＿○_/＿
/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/
有理数1/(p_n)の循環節の長さをf(n)とおく。
このときどのようなnに対しても、
Max( f(1), f(2), ... , f(n) ) < f(N)
を満たす自然数Nが存在することを示せ。
発散する場合は、無限大に発散するか振動するかも述べること。
lim[n→∞] (p[n]+p[n+3])/(p[n+1]+p[n+2])
lim[n→∞] (p[n]+p[n+3])/(p[n+1]+p[n+2]) = 1。
(与式) = (1/q[n] + q[n+1]q[n+2])/(1+q[n+1])
q[n] が上に有界とする。
1 < q[n] < α
∴ (1/α)(1+αq[n+1])/(1+q[n+1]) < (与式) < (1+ αq[n+1])/(1+q[n+1])
∴ (1+α)/(2α) < (与式) < (1+αα)/(1+α)
>>283
z=4上の円(x-2)^2+(y-4)^2=r^2の平面5x-4y+8=0による切り口は線分で、
端点は円周上にあり、
y=5x/4+2を代入すると、
(x-2)^2+(5x/4-2)^2=r^2
x^2-4x+4+25x^2/16-5x+16=r^2
41x^2/16-9x+20=r^2
41x^2-144x+320-16r^2=0
x=[72±√{72^2-41(320-16r^2)}]/41
={72±√(5184-13120+656r^2)}/41
={72±√(656r^2-8064)}/41
={72±4√(41r^2-504)}/41
切り口の端の2点が確定するから、線分の長さも決まる。
z=t上の切り口の線分の長さを、
t=4から8まで足しあつめると面積が1になる式からrを決める。
はp(n+1)-p(n)=o(p(n))を知らないと無理だろ？
チェビシェフの評価
p(n+1)/p(n)<9/8
とかではちょっと無理。
わかったと思ったのですが、一箇所よく分からないことに気づいたのでまた質問いいでしょうか
＞Xが自由加群の時単射
この部分はどのようにしたら言えるのでしょう。X=直和Rをばらして計算すると
(ΠY)テンソルA_S → Π(YテンソルA_S)
の単射性が言えればいいですが、これが言えずに困ってます
例えばΠYの元(yi)で各yiに対してあるsi∈S⊂Aがあってsi*yi=0となるものを考えたとき
(ΠY)テンソルA_Sの元 (yi)テンソル1 は0になるのでしょうか
α = 9/8 のとき
1 - 1/18 < (与式) < 1 + 9/136
嘘定理
失礼しました。
反例ありますね。
R=Z、S=Z\{0}、X=Rの可算無限個の直和、Y=Q/Zのとき
Hom(X,Y) ⨂ R_S = (⨅ Q/Z )) ⨂ Q
の方は消えませんが ((1/2,1/3,1:4,‥) ⨂ 1 が0でない)
Hom(X ⨂ R_S,Y ⨂ R_S) = ⨅ (Q/Z ⨂ Q)
の方は死んじゃうので単射にならないですね。
忘れてください。
よってXが自由加群の場合ですら単射にすらならないので例の練習問題は解けないですね。
どんな反例がありますか？
q(θ) = f(sinθ)･cosθの形だから、
(dq/dθ) = f(s)･(-s) + f '(s)･cc
= f(s){(-s) + cc/√(ss+4)}
= f(s){(-s)√(ss+4) + 1-ss}/√(ss+4)
∴ (dq/dθ) = 0 とおくと、 f(s) >0 より
(-s)√(ss+4) + 1-ss = 0,
s = sinθ = 1/√6,
tanθ = 1/√5,
qの最大値は (1/2)√5,
ああなるほど、Q/Zで反例作れればよかったんですね
いろいろいじっていい訓練になりました
（1）以下のような直線Lと点Hの例を1つ挙げよ。
『Sの内部を通る直線を1つ引き、それをLとする。その直線にOから垂線を下ろし、Lとの交点をHとする。
SはLと線分OHにより3つの領域に分けられるが、3つの領域それぞれの面積は全て等しい。』
（2）（1）の条件を満たす点Hの存在しうる領域を求めよ。
>>283
平面Hで切りとられるz=tにおける円錐内の線分yの幅はxの幅の5/4
切りとられるz=4における円錐内の線分の長さは、
(√41/4)･8√(41r^2-504)}/41=(√41)･2√(41r^2-504)}/41
=2√(r^2-504/41)
z=tにおける円錐内の線分の長さをt=4から8まで足しあつめて=1にしたい。
>円錐
> xx + yy - (1/2 - z/√3)^2 = 0,
コレ何?
x^2+y^2-(1/2 - z/√3)^2 = 0
てこと?
>x = (1/2)(X -1/2) + (√3)/2･Z,
>y = Y,
>z/√3 = 1/2 + (1/2)(X -1/2) - Z/(2√3),
>とおく。
断面が放物面であると予め知ってるので回転させるのか?w
>中実の場合の体積は
>V = π(√3)/8
同じく
>中空の場合の体積は
>V = π{5/(16√3)}
(5π√3) /48
>>283
平面Hで切りとられるz=tにおける円錐内の線分の長さはxの幅の√41/4だから、
切り口の面積
=∫[t=4→8](√41/4)(8-t)r/4
=[t=4→8](√41/16)(8t-t^2/2)r
=(√41/16)(8･4-64/2+16/2)r
=(√41/16)8r
=r√41/2
=1
∴r=2/√41
=2√41/41
少し拡張して
y = y｡ + (sinθ)t - tt,
としてみると、
q(θ) = f(sinθ)･cosθ,
f(s) = (1/2){s + √(ss+4y｡)},
(dq/dθ) = 0 から
(-s)√(ss+4y｡) + 1-ss = 0,
s = sinθ = 1/√(2+4y｡),
tanθ = 1/√(1+4y｡),
qの最大値は (1/2)√(1+4y｡),
なお、y｡=0 なら θ=π/4 のとき qが最大 (1/2) となります。
t=0, (x, y) = (0, y｡)
t=s/2, (x, y) = (sc/2, y｡ + ss/4), y:最大
t=s, (x, y) = (sc, y｡)
t=f(s), (x, y) = (f(s)c, 0)
(a,b;c) = (1,2;3) (2,1;3)
・おしゃべり絵本
・幻聴
のいずれかでしょう。
a + b = c,
a^a + b^c = c^b,
は自然数解をもつでしょうか？
>>350もつ。
a=1,b=2,c=3のとき、
a^a=1
b^c=8
c^b=9
∴与式は満たされた。
もう１つない？
ちなみに解は有限個かな？これ
（整数解も４つほどある）
点Cはどこにある？
K_1 は∠OBA内にあり、
K_2 は∠AOB内にあり、
K_3 は∠OAB内にある。
∴ △OAB内で考えてよい。
まづ (√3)y≦x≦1, 0≦y≦1/√3, z≧0 の部分(1/12)に注目する。
点(x,y)での高さは ±√(2y)･√{(√3)(2-x) + y}
∫[(√3)y,1] √{(√3)(2-x) + y} dx
= [ -(2/3√3){(√3)(2-x) + y}^(3/2) ]
= {(4√2)/(3√3)}(√3 -y)^(3/2) - {2/(3√3)}(√3 +y)^(3/2),
Vo = ∫[0,1/√3] √(2y)∫[(√3)y,1] √{(√3)(2-x) + y} dx dy
= -(7/(9√2)) + (1/2)arccos(1/3) +log(3)/(4√2)
= 0.2597168175505403503
全体の体積はこれの12倍だから
12Vo = 3.1166018106064842
計算機回したけど(a,b;c)=(1,1;2), (1,2;3)だけっぽいね
>>352ないです。
訊かれたで答えたったんやんけ。
∫[0,1/√3] √(2y)･(√3－y)^(3/2) dy
= 7/(36√3) + ((3√6)/16)arccos(1/3)
= 0.677616764822162
∫[0,1/√3] √(2y)･(√3＋y)^(3/2) dy
= 77/(18√6) - ((3√6)/16)log(3)
= 1.24182555243931
を使う。
これらのタイルに以下の（操作）を行う。
（操作）
・「0」または「1」が書かれたタイルに隣接するタイルで、何も書かれていないものを無作為に1つ選ぶ。
（どのタイルを選ぶかは同様に確からしい）。
・選んだタイルに1/2の確率で「0」を、1/2の確率で「1」を、それぞれ書く。
この操作を繰り返し行い、以下の（状態）になった時点で操作を終了する。
（状態）
・正方形をなすある4つのタイル（タイルが縦2つ、横2つの形で並んでいる）が存在して、左上と右下のタイルには「1」が、右上と左下のタイルには「0」が書かれている。
操作をちょうどn回繰り返したとき、操作が終了する確率を求めよ。
隣全部埋まってたら？
配置にあって、お互いに長い手紙を書いて郵送でやり取りするんです。これなら、
トリビアルなグラフならすぐ解けるし、多項式時間になるかもしれません。
SUBSET SUMの問題に多項式時間で変換できれば、答えのチェックができるんじゃない
かと。神経細胞って何？ってことですが、海馬と前頭葉の新皮質に関しては、僕が
ソフトウェアを創りました。
http://www.01ken.com/art1.html
これで解けるんでしょうか？反証があるんでしょうか？新しいスレを立てたほうが
いいのでしょうか？よろしくお願い致します。
最大は、O(n^2)になるのに。
すみませんでした。
原点Oを端点とする半直線を考え、半直線と円筒の交点をSとし、OS・SP=1なる点Pをとる。
ただしPは円筒の外側にあるものとする。
半直線が色々動くとき、点P全体がなす曲面をDとする。
（1）Dを平面x=0で切った切り口の曲線の方程式を求めよ。
（2）Dを平面x+y+z=0で切った切り口の曲線の方程式を求めよ。
x^2-2ax+b=0
x^2-(2x)*x+a=0
x^2-2bx+x=0
ただし1回引くごとに当たり外れ関係なくはずれを1本補充して、箱の中を常に5本に保った。
その結果、あたり1回、はずれ2回であった。
この時、2回目に引いたくじが当たりであった確率を求めよ。
誰かお願いします。
くじを引いた人に聞けばわかる
サンガツ、20/61やな
S (X,Y,Z) はC上の点だから XX+YY=1, OS = √(1+ZZ),
題意より SP = 1/OS = 1/√(1+ZZ),
点Pは 半直線OS の延長線上にあるとする。
↑OP = {1 + 1/(1+ZZ)}↑OS
P(x,y,z) とすると、
x = {1+1/(1+ZZ)}X,
y = {1+1/(1+ZZ)}Y,
z = {1+1/(1+ZZ)}Z,
r = √(xx+yy) = 1 + 1/(1+ZZ), とおくと
ZZ = (2-r)/(r-1),
Dの方程式は
zz = rr{(2-r)/(r-1)}, r=√(xx+yy),
(1) Dを平面 x=0 で切った切り口の曲線は
zz = yy(2-|y|)/(|y|-1),
(2) Dを平面 z=-x-y で切った切り口の曲線は
(-x-y)^2 = rr{(2-r)/(r-1)}, r=√(xx+yy),
g(x)=(4+sinx)(1+e^(sinx))
に対し、
h(x)=f(x)/g(x)
とおく。
（1）h(x)の増減を調べよ。
（2）n=1,2,...に対して、数列h(nπ/2)の増減を調べよ。
a(2)=3
a(n+2)=a(n)・a(n+1)+1
の一般項って求められるのかな
超曲面 f(x_1, …, x_n) = 0 上の曲線 γ : R ⊃ I → R^n が連続であるとき、 γ は微分可能になりますか？
f : R^n から R への微分可能な関数
S_c := {x ∈ U | f(x) = c}
命題
ベクトル grad f(x_0) は、曲面 S_c 上にあって点 x_0 を通る任意の微分可能な曲線の点 x_0 における接ベクトルと直交する。
γ : R ⊃ I → R^n を曲線とする。
{γ(t) | t ∈ I} ∋ x_0 とする。
grad f(x_0) が {γ(t) | t ∈ I} と直交することの定義はどのように定義するのでしょうか？
なんか γ が微分可能でなくても連続でありさえすれば、
grad f(x_0) が {γ(t) | t ∈ I} と直交する
ということが定義できそうな気がしたので質問しました。
微小近傍の任意2点を結ぶ直線と直交だね
https://i.imgur.com/koRJFGy.jpg
x^n+2(y^n)=3(z^n)
を満たす自然数(x,y,z)の組は存在しないことを示せ。
知らねぇ。
b(n) = log{a(n)}
とおく。 nが大きいときは
b(n+2) ≒ b(n+1) + b(n),
から
b(n) ≒ 0.453730157860675φ^n － 0.1273423052(-1/φ)^n,
だが････
φ = (1+√5)/2 = 1.618034 黄金比
x=y=z (5字)
xについての方程式
ax^(n+1)+bx^n+cx^(n-1)=0
が0でない実数解を持つために、実数a,b,cが満たすべき条件を述べよ。
x≠0 の時、与式の両辺を x^(n-1) で割ると
ax^2+bx+c=0
これが実数解を持てばよいので、
b^2-4ac>0 の時、与式は 0 でない実数解を持つ。
えーと、あとは a=0, b≠0, c≠0の時も満たすけど a=b=c=0 の時を解に含めるかどうかはよくわかんね。
ちなみに整数解は
(-1, 1, 0)
(-1, 2, 1)
(-1, 3, 2)
( 1, 0, 1)
量子コンピュータで忌み名を計算したら、
「nｶﾞ3ｼﾞｬﾅｲ」
=(nに3などを次々に代入していく問題ではない。|
(逆)否、野次(馬)さんがno.)
△OBCの交点をQとするとき，OQ↑を，OB↑，OC↑を用いて表せ。
OA～AP～PG～GQで求めるのではないでしょうか。先生、しかし、AG：AQがわかりません。
図がないのが大変申し訳ないのですが、この点Qというものは何者なのか教えていただけないでしょうか？求め方を教えていただけないでしょうか？
>>394
メネラウスの定理より、
AG:GQ=14:3
・Kは△ABCの各辺とそれぞれ異なる2つの交点を持つ（したがって、Kと△ABCは6つの異なる交点を持つ）
・ABとKの交点をP,Q、BCとKの交点をR,S、CAとKの交点をT,Uとおくと、
∠POQ、∠ROS、∠TOU
のいずれもπの有理数倍である
△ABCの形状を全て決定せよ。
相似形は考慮しなくてよい。
そのメネラウスの定理の辺と比の式を書いてくれよ。
空間ベクトルだぞ？
（1）f(x)の増減を調べ、f(x)の最大値を求めよ。
（2）m,nをm<nの相異なる自然数とするとき、等式f(m)=f(n)を成立させる(m,n)の組を全て求めよ。
（3）p,qを有理数とするとき、等式f(p)=f(q)を成立させる(p,q)の組が有限個であるか、理由をつけて述べよ。
答えがx=±√2なのですが、どうしてなのか分かりません。
よろしくお願いします。
問題https://i.imgur.com/Csp2ee1.jpg
答えhttps://i.imgur.com/rtp0o0m.jpg
参照指示https://i.imgur.com/5A0KJSx.jpg
-エックスニジョウを ビブンするとき -エクスジジョウでのく +エクスジジョウにして
かぞえあげを 誤り(とちり)てました。どうもありがたくそうろいました。
>>394
>>397メネラウスの定理の辺の比は、OCの中点をMとして、Bを起点に、
(BA/AP)(PG/GM)(MQ/QB)=1
(3/2)(2/1)(MQ/QB)=1
MQ/QB=1/3
Aを起点に、
(AG/GQ)(QM/MB)(BP/PA)=1
(AG/GQ)(1/4)(1/2)=1
AG/GQ=8
→AQ=(9/8)→AG――①
→OG=(1/3)→OP+(1/3)→OC――②
→OP=(1/3)→OA+(2/3)→OB――③
②を③に代入し、
→OG=(1/3){(1/3)→OA+(2/3)→OB}+(1/3)→OC
=(1/9)→OA+(2/9)→OB+(1/3)→OC――④
→OQ=→OA+→AQ
①より、
→OQ=→OA+(9/8)→AG
=→OA+(9/8)(→OG-→OA)
=(-1/8)→OA+(9/8)→OG
④を代入し、
→OQ=(-1/8)→OA+(9/8){(1/9)→OA+(2/9)→OB+(1/3)→OC}
=(-1/8)→OA+(1/8)→OA+(1/4)→OB+(3/8)→OC
=(1/4)→OB+(3/8)→OC
今度ホンダからCBR1000RR-Rという長ったらしいバイクが出るのですが
これを数学的にシンプルな式に変換できませんか？
(1) f '(x) = {1-ln(x)}/x^2,
x<e で単調増加、x>e で単調減少
x=e で最大値 f(e) = 1/e,
なお f "(x) = {2ln(x)-3}/x^3, f "(e) = -1/e^3 < 0,
(2) 題意より
m < e < n
f(1) = 0 > f(n) ････ 不適
f(2) = ln(2)/2 = ln(4)/4 = f(4),
文字列の画像をbmpからjpegに変換するなら短くはなるんじゃないかと。
y(k)=－y(k－1)－y(k－2)+0.3x(k－1)
紛らわしくてすみませんがk,k-1,k-2はx,yの右下の文字です。
Y(z)=-z^-1Y(z)-z^-2Y(z)+0.3z^-1X(z)と変換して解くのだと思います。
答えはh(k)=0.2√3sin((2πk/3)+f)ですが、
このfの数値が分かりません。誰か教えて下さい。
＝＝＝＝＝ 問 題 ＝＝＝＝＝
６ 次の関数の最大値と最小値を求めよ。
(1) y = x√(4-x^2),
(2) y = sin(x)^3 + cos(x)^3 (0≦x≦π/2)
７ 0<x<π のとき，不等式 sin(x) > x･cos(x) を証明せよ。
８ aを定数とするとき，xについての方程式 2x^3 -ax^2 +1 = 0 の異なる
実数解の個数が3個となるようなaの値の範囲を求めよ。
２節 ＝＝＝＝＝ 解 答 ＝＝＝＝＝ ････ p.173
６ (1) x=√2 のとき 最大値 2,
x=-√2 のとき 最小値 -2,
(2) x=0,π/2 のとき 最大値 1,
x=π/4 のとき 最小値 (√2)/2,
７ f(x) = sin(x) - x･cos(x) とおき、f(x) が区間 0≦x≦π で増加することを示す。
８ a > 3,
これ電気算数なんですね。分かりました、そうします。
(1)
(2+y)(2-y) = 4-yy = 4 - xx(4-xx) = (2-xx)^2 ≧ 0,
∴ -2≦y≦2
等号は 2-xx=0, x=±√2 のとき。
(2)
y = {sin(x) + cos(x)}{sin(x)^2 -sin(x)cos(x) + cos(x)^2}
= {sin(x) + cos(x)}{1 - sin(x)cos(x)}
= {sin(x) + cos(x)}{3 - [sin(x)+cos(x)]^2}/2
= X(3-XX)/2
ここに X = sin(x) + cos(x) = (√2)sin(x+π/4) とおいた。
0≦x≦π/2 より 1≦X≦√2,
1 - y = (1/2)(X+2)(X-1)^2 ≧ 0,
y - (√2)/2 = (√2 -X){XX +(√2)X -1} ≧ 0,
∴ (√2)/2 ≦ y ≦ 1,
等号は (右) X=1, x=0,π/2 のとき １
(左) X=√2, x=π/4 のとき (√2)/2,
７
0<x<π のとき sin(x) >0,
x/tan(x) < 1 より
x・cos(x) = {x/tan(x)}sin(x) < sin(x),
あ、微分するの忘れてたわ。
OP↑ = (OA↑ + 2 OB↑)/3,
OG↑ = (OO↑ + OP↑ + OC↑)/3 = (3 OO↑ + OA↑+ 2 OB↑ + 3 OC↑)/9, >>399
AG↑ = OG↑ - OA↑ = (3 OO↑ -8 OA↑+ 2 OB↑ + 3 OC↑)/9,
AQ↑ = (9/8)AG↑ = -OA↑ + (3 OO↑ + 2 OB↑ + 3 OC↑)/8,
(OA↑の係数を-1にする)
OQ↑ = OA↑ + AQ↑ = (3 OO↑ + 2 OB↑ + 3 OC↑)/8, >>403
にて一見落着。
xyz空間の半球B:x^2+y^2+z^2=r^2（z≥0）について以下の問に答えよ。
（1）nを2以上の自然数とする。
平面H_kをz=kr/n（k=0,1,...,n-1）と定め、H_kとBの交線である円をC_kとする。
C_kを底円とし高さがr/nである円筒の側面積をS_kとするとき、それらの和
T_n = Σ[k=0,1,...,n-1] S_k
を求めよ。
（2）lim[n→∞] T_n とBの側面積は一致しないことを示せ。
答えはi=e^(-Rt/L+C) (Cは積分定数)になります。
次を示せ。
(a) n! > n^n / e^(n-1),
(b) n! < n^(n+1) / e^(n-1),
(c) n! < n^(n+1/2) / e^(n-1),
(a) >>289 より
(1+1) < (1+1/2)^2 < (1+1/3)^3 < ････ < {1+1/(n-1)}^(n-1) < e,
すなわち
2 < (3/2)^2 < (4/3)^3 < ････ < {n/(n-1)}^(n-1) < e,
右のn-1項を掛け合わせて
n^n / n! < e^(n-1),
(b) >>289 より
(1+1)^2 > (1+1/2)^3 > (1+1/3)^4 > ････ > {1+1/(n-1)}^n > e,
すなわち
2^2 > (3/2)^3 > (4/3)^4 > ････ > {n/(n-1)}^n > e,
右のn-1項を掛け合わせて
n^(n+1) / n! > e^(n-1),
(c) >>289 より
(1+1)^(3/2) > (1+1/2)^(5/2) > (1+1/3)^(7/2) > ････ > {1+1/(n-1)}^(n-1/2) > e,
すなわち
2^(3/2) > (3/2)^(5/2) > (4/3)^(7/2) > ････ > {n/(n-1)}^(n-1/2) > e,
右のn-1項を掛け合わせて
n^(n+1/2) / n! > e^(n-1),
次を示せ。
(a) (2n)! / n! > (4n/e)^n,
(b) (2n)! / n! < 2(4n/e)^n,
(c) (2n)! / n! < (√2)(4n/e)^n,
(略証)
(1+1/n)^(n+a), {1+1/(n+1)}^(n+1+a), ･････, {1+1/(2n-1)}^(2n-1+a)
すなわち
{(n+1)/n}^(n+a), {(n+2)/(n+1)}^(n+1+a), ･････, {2n/(2n-1)}^(2n-1+a)
のn個を掛け合わせると
(2^a)(4n)^n･n!/(2n)!,
これと e^n と比べる。 >>289
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E9%95%B7%E3%81%84%E7%9B%B4%E7%B7%9A
その場合は行ける希ガス
距離そのまま計量にすりゃいいじゃん
n! ≒ n^(n+1/2) e^(-n + 1/(12n)) √(2π)
と比べてみると････
>>417(c) は真値の約 1.08444 倍。
>>419(c) は真値の約 exp(1/(24n))倍。n→∞ では１に近づく。
・x≠hのとき、g(x)={f(x)-f(h)}/(x-h)
・x=hのとき、g(x)=a
このとき、g(x)が(-∞,∞)で微分可能であるための必要十分条件を述べよ。
g(x)が(-∞,∞)で微分可能
どんな距離やねん
話題の「固有値から固有ベクトルを計算する」をRでやってみた。マジ計算できた。
数学の天才、タオ先生も共著の論文はコレ
https://arxiv.org/abs/1908.03795
R上でd(x,y)=|x^4-y^4|とかで原点での計量テンソルはそのままでは死ぬ。
dが滑らかとか制限かけても死ぬ例あると思う。
そもそもgがC^∞級の計量テンソルだったとしても、そこから作った距離がC^∞とは限らない(eg. Rの通常の距離でg=1はC^∞だけどd(x,y)=|x-y|はC^∞ではない)のでdにC^∞の制限かける事自体、適当とは思えないし。
8/10やんけ
a[n]=(1+1/n)^n
で定められる数列{a[n]}と、
b[n]=p*a[n+1]+q*a[n]+r
により定められる数列{b[n]}を考える。
このとき以下の条件をすべて満たすように、pq≠0なる実数p,q,rをとることは可能か。
・lim[n→∞] b[n] = lim[n→∞] a[n] (=e)
・ある自然数Nが存在して、Nより大きい任意の自然数kに対し|b[k]-e|<|a[k]-e|
包除原理（ほうじょげんり、英: Inclusion-exclusion principle,
∫_{θ0}^{π} sqrt(1 - cos(θ)) / sqrt(cos(θ0) - cos(θ)) dθ
を求めよ。
ありがとうございます！
マルチするな
Pを(x,p)と置いてd=d(x)をxで微分するという考えで解いたのですがどこが間違いでしょうか？
x→±∞でd→∞なので、
d'(x)=0となるかd'(x)が計算できない(d'=±∞)のxのうちのどれかが最小のdを与えるはずと思ったんですが、
本来必要な場合分けを考慮しない解答が得られてしまいました
2≦p≦4の時に対しては正しい解なので計算ミスが原因ではない？と思うのですが
これは何が悪かったのでしょうか？
https://i.imgur.com/yR3Ejcf.jpg
https://i.imgur.com/ozST013.jpg
準同型写像z2xz2→z2はいくつあるかという問題がわかりません
ヒント： θ0に依存しません。
＞解答の一部にf(z2xz2)=z2のときkerfの元の個数が2
準同型定理、Z2=(Z2×Z2)/Kerfの位数を考える
＞よって全準同型写像とz2xz2のいすう2の部分群の個数が一致する
これも準同型定理、位数2の部分群を核とする準同型写像fを考えれば自動的に全射
z2 x z2の位数2の部分群の個数が一致するのですか？
定理か何かあるのですか？
しかしそんなルート通ろうと思うかね？
あ、わからないのは個々の主張じゃなくて「よって」の部分か
[任意の全射準同型に対して|Ker|=2]⇒#{全射準同型}=#{位数2の部分群}
を示せってことね
これを示すには>>448を示せばいい
位数2の部分群Hを核にもつ準同型f,gがあったとする
もしa∈Z2×Z2でf(a)≠g(a)となったとすると、f(a)=0またはg(a)=0よりa∈Hとなるのでf(a)=g(a)=0でなければならない
ゆえにf=g
Hom(Z2Z2,Z2)=Z2Z2で4つだけど
自己同形で区別なら2つ
ド・モルガンの法則？
>>435
a[n] → e (n→∞) より
(p+q)e + r = e,
ここで
0<q<1, 0<p+q<1, r=(1-p-q)e,
とおいてみよう。
a[k] < a[k+1] < e,
から
e - b[k] = (p+q)(e-a[k+1]) + q(a[k+1]-a[k]) > 0,
b[k] - a[k] = (1-p-q)(e-a[k+1]) + (1-q)(a[k+1]-a[k]) > 0,
∴ a[k] < b[k] < e,
∴ 0 < e-b[k] < e-a[k] が成立
>>437
π
(θ≒θ｡ で発散････ 広義積分?)
ご存知でしたら数列をより早く収束させる一般論が存在するかご教示願えませんか。
c[n] = (1+1/n)^(n+1/2)
はどうでしょうか。(単調減少ですが)
(a[n] と a[n+1] を組合せても nが1ずれる程度で、早くはなりません。)
a[n] ≒ e/√(1+1/n) ≒ e{1 - 1/2(n+1)}
から
b[n] = (n+2)a[n+1] - (n+1)a[n],
としては？
a[n] = (1+1/n)^n ≒ e^{1 -1/(12nn)}/√(1+1/n) ≒ e{1 - 1/(2(n+5/6))}
から
b[n] = (n +11/6)a[n+1] - (n +5/6)a[n],
としては？
修正幅が倍になってますた。再修正を.....orz
a[n] = (1+1/n)^n ≒ e^{1 -1/(12nn)}/√(1+1/n) ≒ e{1 - 1/(2(n+11/12))}
から
b[n] = (n +23/12)a[n+1] - (n +11/12)a[n],
その像は2乗すると単位元になりますか？
どういう本を読んだか知らないけど、商写像もしくは標準全射、自然な全射、商射影と言えばわかる？
単位元になるかどうかは実際にやってみればいい
(c2は位数2の巡回群)で真ん中の同型がわからないa*は元aの商群<a>/<a^2>での像を表しって書いてるけど意味がわからないから教えてください
数列の加速に関する基本定理：
「極限を持つ任意の数列の収束を加速するアルゴリズムは存在しない。」
ただし任意でない規則性を持つ数列の加速法ならば存在し、エイトケン加速が有名です。
数列{(1+1/n)^n}の場合はエイトケン加速を繰り返し使うことで収束がずっと速くなります。
必要であれば
∫[0→∞] sin(x)/x dx = (1/2)√(π/2)
を用いて良い。
∫[0→∞] sin(ax)/x dx
ヒントからしておかしい。
∫[0→∞] sin(ax)/x dx = sign(a)π/2,
高木：「解析概論」改訂第三版, 岩波書店 (1961)
第4章 §48 [例4] p.168-169 実数、技巧的
第5章 §62 [例1] p.223-224 複素変数
(2)Sn=3^n+2n
階差 8 20 56の規則性がわかりません。3の累乗で無理やり一般項を作ろうとしても無理でした。
2時間以上格闘しました。先生お教えいただけないでしょうか？
釣りとしか思えんな
n>1 のとき
a_n = S_n - S_{n-1}
= (3^n + 2n) - {3^(n-1) - 2(n-1)}
= 2･3^(n-1) + 2,
これより一般項は
a_n = 2･3^(n-1) + 2 + 0^(n-1).
a_n = 2･3^(n-1) + 2 + δ(n,1).
座標平面上でC:y=x^5-kx(kは実数)と置く
原点を中心としC上に4頂点を持つ正方形が存在するkの範囲を求めよ
ありがとうございました。
n＞1はおかしいですよね？符号も１つ間違っていますよね？0の累乗もちょっと意味がわかりませんでしたね。
y=x^5-kxを極方程式にして
r^4=(sinθ+kcosθ)/(cosθ)^5。
π/2回転して
r^4=(-cosθ+ksinθ)/(sinθ)^5。
条件は
(sinθ+kcosθ)/(cosθ)^5
=(-cosθ+ksinθ)/(sinθ)^5
が0≦θ≦π/2で解を持つ事。
すなわち
k=(sin^6θ+cos^6θ)/(cos^5θ-sin^5θ)の値域。
wolfram先生にグラフ書いてもらったらθ=π/4の時の値をk0として正の値域はk≧k0。
‥‥
ま、あとは計算するだけだし。
https://www.wolframalpha.com/input/?
cとaが互いに素な事を利用してaとbが互いに素な事を証明しろって問題あるんですけど
今日学校で習ったら対偶命題を明らかにしろって書かれてますがコレって
a=kA b=kBとおいてk(A-B)=c、この時kが1以外は有り得ない！って証明じゃダメなんですか？
kについて解いた式間違ってた。
k=(4-3sin2θ)/(2sin4θ)。
これの値域高校数学の範囲内で解けるかな？
何故kが1以外は有り得ないの？
その論証を端折らずにきちんと書けよって話じゃないの？
てことは準同型写像は1個ってことですか？
まだおかしいな....orz
a[n] = (1 +1/n)^n ≒ e^{1 + 1/[12n(n+1)]} /√(1+1/n)
≒ e{1 - 1/(2n) + 11/(24nn) - 7/(16n^3)}
≒ e{1 - 1/[2(n + 11/12 -5/(144n))]},
から
b[n] = (n +23/12 -5/(144n)) a[n+1] - (n +11/12 -5/(144n)) a[n],
だな。
C: y = x^5 - kx,
を90ﾟ回すと
C': -x = y^5 - ky,
これらが (0,0) 以外の交点もつ条件を求める。
k≦0 ならば (0,0) のみだから
k > 0 ････ (1)
y/x = tanθ = t,
とおく。
t^5 = (-1+kt)/(t+k),
(t^3 + 1/t^3) + k(t^2 - 1/t^2) = 0,
t+1/t≠0 で割ると (← |t+1/t|≧2)
(tt-1+1/tt) + k(t-1/t) = 0,
(t-1/t)^2 + k(t-1/t) + 1 = 0,
これが実根をもつから
|k| ≧ 2 ････ (2)
(1),(2) より k≧2,
C': y^5 = -x + ky,
C: x^5 = y + kx,
を辺々割って
t^5 = (-1+kt)/(t+k),
t^5 (t+k) -kt +1 = 0,
これを t^3 で割ると
(t^3 + 1/t^3) + k(t^2 - 1/t^2) = 0,
これをさらに t+1/t ≠0 で割る。
(1)1/(1・4)，1/(4・7)，1/(7・10)，1/(10・13)，・・・・・・
1=4-3，1=2-1?
先生教えて下さい。
前に対数の問題で暴れてたやつ
>>479 >>482
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1, より
k = {(sinθ)^6 + (cosθ)^6}/{sinθcosθ[(cosθ)^4 - (sinθ)^4]}
= {(sinθ)^4 -(sinθcosθ)^2 +(cosθ)^4}/{sinθcosθ[(cosθ)^2 - (sinθ)^2]}
= {1 - 3(sinθcosθ)^2}/{sinθcosθ[(cosθ)^2 - (sinθ)^2]}
= {4 - 3sin(2θ)^2}/{2sin(2θ)cos(2θ)}
= {4 - (3/2)[1-cos(4θ)]}/{sin(4θ)}
= {5 + 3cos(4θ)}/{2sin(4θ)},
ここで、
{5 + 3cos(x)}^2 = {3 + 5cos(x)}^2 + (5^2-3^2){1-cos(x)^2}
= {3 + 5cos(x)}^2 + (4^2)sin(x)^2
≧ 4{2sin(x)}^2,
に注意すれば、kの値域は
|k| ≧ 2 = k｡
>>488
k=k｡=2 のとき (t -1/t) = -1,
0 = tt +t -1 = (t+φ)(t-1/φ),
t = -φ, 1/φ
C と C' は次の4点で接する。
(√φ, 1/√φ), (-1/√φ, √φ), (-√φ, -1/√φ), (1/√φ, -√φ)
φ = (1+√5)/2 = 1.618034 黄金比
>>490
(1)
a_k = 1/{(3k-2)(3k+1)} = (1/3){1/(3k-2) - 1/(3k+1)},
S_n = Σ[k=1,n] a_k = (1/3){1 - 1/(3n+1)} = n/(3n+1),
もしかして態度めちゃくちゃ悪かった奴？
こっちは塾講師になるしかないって喚いたカスか
{(3k-2)(3k+1)} 、これ初見で絶対気づけないだろでした。
先生助かりました。大変ありがとうございました。
平面Hは正三角形によって隙間なく埋め尽くされている。
ある時刻0において、それら正三角形のうち1つを選んで黒く塗りつぶし、それをT、またTの重心をOと定める。
さらに時刻n(n=1,2,3...)ごとに、
「現在黒く塗りつぶされている正三角形に隣接するすべての正三角形を、黒く塗りつぶす」
という操作を行う。
時刻Nにおいて、黒く塗りつぶされている正三角形全体からなる領域D[N]上で、点Oから最も距離が離れている点を1つとり、それをP[N]とする。
線分長OP[N]をd[N]、D[N]の面積をS[N]とおくとき、
lim[N→∞] (d[N]^2)/D[N]
を求めよ。
AからPに向かって光線を放つと、光線はVの内部を通り、各面で次々と反射していく。
点Pを対面上のどの場所にとるかにより、光線がVの4面すべてに接触するか否かが変わる。
光線がVの4面すべてに接触するようなPのとり方を述べ、そのようなP全体の集合を図示せよ。
なお光線がVの頂点または辺に接触した場合、それは面に接触したとはみなさないこととする。
図示できるわけがない。
逝ってくる。
それに気付かせるために、積の形で書いたのに。
1, 4, 7, 10, 13, ････
D[N] は 3N(N+1)/2 +1 個の「正三角形」からなる。
∴ S[N] = {3N(N+1)/2 +1}(√3)/4,
Tの頂点を (±1/2, -1/(2√3)) (0, 1/√3) とおく。
P[N] = (±(N+1)/2, -1/(2√3)) (Nが偶数)
= (±(N+1)/2, 1/√3) (Nが奇数)
∴ d[N]^2 = (OP[N])^2
= {(N+1)/2}^2 + (1/12), (Nが偶数)
= {(N+1)/2}^2 + (1/3), (Nが奇数)
∴ lim[N→∞] (d[N])^2 / S[N] = 2/(3√3),
N=0 で 4/(3√3) だったのが減少して 2/(3√3) に近づく。
N=0 の「正三角形」が徐々に崩れて「正六角形」に近づくことを表わす。
あってるというか
その質問は出るはずがない
やっぱりできん
何このクソ問
証明がわかりません教えてください
(2) 1/(1・4･7)，1/(4・7･10)，1/(7・10･13)，1/(10・13･16)，・・・・・・
(3) 1/(1・4･7･10)，1/(4・7･10･13)，1/(7・10･13･16)，1/(10・13･16･19)，・・・・・・
≡ 4*(x -5)^2 * (x -2) mod 11
らしいんだが、計算法が分かりません。
右辺を展開してみたら？
f(x):=4*x^3 -4*x^2 -40*x -79 とおくと, f(2)≡0
割り算を実行して, f(x)=(x-2)*g(x)
g(5)≡0 なので…なだけでね
多少工夫のしようはあるが、計算法すらわからないなら上一択
x^3-19x+n=0
が、実部虚部ともに整数である解を持つ。
このような自然数nを全て求めよ。
x=0という解を持つn=0
x=1という解を持つn=18
等の解があるだろう
であれば-k^3+19k (k:1,2,3,4)か。
虚数の解がある場合は分からん
この形の解はない愚問。
(2)
b_k = 1/{(3k-2)(3k+1)(3k+4)}
= 1/{6(3k-2)(3k+1)} - 1/{6(3k+1)(3k+4)}
和 1/24
(3)
c_k = 1/{(3k-2)(3k+1)(3k+4)(3k+7)}
= 1/{9(3k-2)(3k+1)(3k+4)} - 1/{9(3k+1)(3k+4)(3k+7)}
和 1/252
AB=4,BC=5,CA=xの△ABCがある。
辺AB上にn個の点P_1,P_2,...,P_nを、
AP_1=P_1P_2=...=P_(n-1)P_n=P_nB
となるようにとる。
f(x) = (1/n)*{ Σ[k=1,2,...,n] CP_k}
の取りうる値の範囲を求めよ。
題意より
BC = 5, CA = x,
第二余弦定理より
2↑CA・↑CB = CA^2 + BC^2 - AB^2 = xx +25 -16 = xx +9,
また
↑CP_k = (1-t)↑CA + t↑CB,
ここに t = k/(n+1),
よって
CP_k = √(↑CP_k・↑CP_k)
= √{(1-t)^2･xx + (1-t)t(xx+9) + (5t)^2}
= √{(1-t)xx + (9+16t)t},
tについて下に凸 (双曲線) だから、上限は
f_n(x) = (1/n)Σ[k=1,n] CP_k
< ∫[0,1] √{(1-t)xx + (9+16t)t} dt
= (1/64)(x+5)(xx-10x+41) + (1/512)(81-xx)(xx-1)log{(x+9)/(x+1)},
下限は
f_n(x) > f_1(x) = CP_1 = √{(xx+17)/2}, (1<x<9)
f_n(1+0) = 3, (nによらず)
f_n(9-0) = 7, (nによらず)
(1) a[1]=2，a[n+1]=a[n]+1/{n(n+1)}
b[n]の和に求めようとしているa[n]が残ってしまってわかりません。
そして、a[1]が2である情報がa[1]が消えてなくなるのに必要なのがわかりません。
生意気に書いてしまって申し訳ないのですが解き方がまったくわかりません。αを使うのでしょうか？
先生お教え願います。
1/{n(n+1)}=1/n-1/(n+1) を使って書き直せば
a[n+1]+1/(n+1)=a[n]+1/n
あとは分かるでしょう
四角形GFCEの面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍か求めよ。
という問題の解法が分かりません。お教え願います。
AFの延長とBCの延長との交点をHとする
△EGHがABCDの何倍か、△CFHがABCDの何倍かを考える
すなわち、ABを3等分する点をAに近い方からP,Qとし、同様にBCをR,S、CDをT,U、DAをV,W、によってそれぞれ3等分する。
また□ABCDを4直線PU、QT、RW、SVによって9つの小四角形に分割する。
以下の問(a)(b)の結論を述べよ。
(a)□ABCDがどのような形でも、9つの小四角形の中に、面積が□ABCDの1/9であるものが少なくとも1つ存在する。
(b)9つのどの小四角形も、その面積が□ABCDの1/9である。
階差数列です。知らないんですか～？
>>530
そこまでは当然行きました。bnにanが含まれていればanを求めるのは不可能です。
一刻も早く私文専願に転向をすることをお勧めします
そして階差を考えるより>>530のほうが断然簡単
知らんがな
で、bnにanが含まれてるってどういう意味や
|A4|=24ぐらいだから全部書けよ
A_4 = S_4 / Z_2 より
#(A_4) = #(S_4) / #(Z_2) = 4! / 2 = 12,
V_4 = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ････ クラインの4元群
#(V_4) = 4
さて、(中略) A_4 の交換子は V_4 の元
∴ D(A_4) ⊃ V_4,
また、V_4 は S_4, A_4 の正規部分群であり、剰余群 A_4 / V_4 = H とおくと
#H = #(A_4) / #(V_4) = 12 / 4 = 3,
∴ H はアーベル群。
∴ D(A_4) ⊂ V_4
∴ D(A_4) = V_4
Ａn は偶置換だけからなるので、 #Ａn = (1/2)n!
A_4 = ｛e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243),
(2143), (3412), (4321)}
Thx following. (12)(34) (13)(24) (14)(23)
〔補題〕
g(t) が 0<t<1 で下に凸ならば
f_n = (1/n)Σ[k=1,n] g(k/(n+1))
は単調増加。
(略証)
Jensenより
g(k/(n+1)) < {(n+1-k)g(k/(n+2)) + k･g((k+1)/(n+2))}/(n+1),
これを右辺に入れて
f_n < f_{n+1},
全射性も容易で位数が等しいので同型。
Gは八面体群とも同型であるから八面体の対角線への作用を考えればG→S3が誘導される。
G→S3→S3/[S3,S3]
は全射だからその核がA4。
よってA4→[S3,S3]=C3が誘導される。
この核をKとすれば[A4,A4]⊂K。
一方でK={(12)(34),(13)(24),(14)(23),e}の単位元でない元は内部同型で移り合うから真の非自明正規部分群を持たない。
∴[A4,A4]=K。
ありがとうございます
でもクラインの四元群がA4の交換子群だと予想しないといけないんですか
だから｜A4|=12 ぐらいなんだから全部書けよ
１1C2=55通りぐらいだから大したことない
(0.037+x+0.0165)/85%- (0.037+x+0.0165) = 0.085
x=0.0848で合っていますでしょうか？
すなわち、ABを3等分する点をAに近い方からP,Qとし、同様にBCをR,S、CDをT,U、DAをV,W、によってそれぞれ3等分する。
また□ABCDを4直線PU、QT、RW、SVによって9つの小四角形に分割する。
以下の命題(a)(b)の真偽を述べよ。
(a)□ABCDがどのような形でも、9つの小四角形の中に、面積が□ABCDの1/9であるものが少なくとも1つ存在する。
(b)9つのどの小四角形も、その面積が□ABCDの1/9である。
大学から配られた具体例を読んでいるのですが、変換行列P=(p1,p2,p3)のp1,p2,p3はどのように並べられているのですか？
λ=-1に対する固有ベクトルをp3=()
λ=2に対する固有ベクトルをp1=()
とする
と唐突に書かれていて、なぜλ=-1に対する固有ベクトルがp3になるのかが分かりません…
固有値の順番と固有ベクトルの順番を合わせればいいだけ。
固有値a,b,c に対する固有ベクトルがu,v,wなら
(u,v,w)diag(a,b,c)=A(u,v,w)。
しろ@hu_corocoro 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/hu_corocoro/status/1199593474128896000
(deleted an unsolicited ad)
https://i.imgur.com/T6CaiWa.jpg
この後、P=(p1,p2,p3)とおいてP^(-1)APでジョルダンの標準形を求めます。
p3やp1をどのように決めているのかが分かりません。
入れ替えてしまうとジョルダンの標準形にならないです。
Av=av+u
を解く。
解が見つかれば
A(uv)=(u v)[[a 1], [0 a]]
となる。
別の固有値bに対する固有方程式
Aw=bw
の解と合わせて
A(u v w)=(u v w)[[a 1 0],[0 a 0],[0 0 b]]
となる。
>入れ替えてしまうとジョルダンの標準形にならないです。
(p3,p1,p2)でもいいでしょ？p1,p2でひとまとめよ
>>555
ありがとうございます。理解できました。
求めるのは難しいでしょうか。
ちゃんと誰かが考えて答えが出ると確定していない問題は難しい。
答えでない可能性のある問題に取り組むまんぞいくら2chの暇人でもやらない。
もし
a_{n+1}a_{n-1} = (a_n)^2 - 5, ････ (*)
を満たすような {a_n} があったら
{(a_n)^2 - 5} /a_{n+1} = a_{n-1} = 自然数
{(a_n)^2 - 5} /a_{n-1} = a_{n+1} = 自然数
だから
(a,b) = (a_n, a_{n+1})
とすればいい。
ぢゃあ、そんな旨い {a_n} はあるのか？
cosh の和積公式と似てるから
a_n = 2cosh((2n+1)α)
はどうか？
(*) から
a_0 = 1, a_1 = 4,
a_{n+1} = 3a_n - a_{n-1},
これを解くと
a_n = φ^(2n+1) + (1/φ)^(2n+1)
= F_{2n+2} + F_{2n}
= F_{2n+3} - F_{2n-1} ･････ フィボナッチ数
ここに φ = (1+√5)/2 = 1.618034
それより、5の倍数の方はどうなってるかな？
(5,5) (5,10) (5,20) (10,95) (20,395) (110,205) など
https://texwiki.texjp.org/?LaTeX%E5%85%A5%E9%96%80
a_n = 2ｓｉｎh((2n+1)α)
= φ^(2n+1) － (1/φ)^(2n+1),
でござった....orz
a_2 = 11, a_3 = 29, a_4 = 76, ････
V_4 は S_4 において共役類をなすから
x∈S_4、y∈V_4 のとき
xyx^(-1) ∈ V_4
つまり
xyx^(-1)y^(-1) ∈ V_4
x は (12) や (123) でもよい。
参考文献
http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/10kurano.pdf
(明治大･理工･数)
の定理2.5 (iv) n=4 (p.8)
(0.037+x+0.0165)/0.85 - (0.037+x+0.0165) = 0.085
(0.037+x+0.0165)(1/0.85- 1) = 0.085
(0.037+x+0.0165) = 0.085/(1/0.85 - 1) = 0.481667
x = 0.481667 - (0.037+0.0165) = 0.428167
ぢゃね？
(0.037+x+0.0165)/{0.85 - (0.037+x+0.0165)} = 0.085
とすると
(0.037+x+0.0165) = 0.085 {0.85 - (0.037+x+0.0165)}
(0.037+x+0.0165)(1+0.085) = 0.085×0.85 = 0.07225
(0.037+x+0.0165) = 0.07225/(1+0.085) = 0.0666
x = 0.0666 - (0.037+0.0165) = 0.0131
ぢゃね？
P,Qの中点をM、Mの軌跡をDとするとき、P,Qの位置がどのようであっても、D上に有理点は存在しないという。
このとき、命題「C上に有利点は存在しない」の真偽を述べよ。
P=Q
ただしs,cは0以上でss+cc=1
Bの最大最小を求めよ
これってどうときますか？
そのまま微分、c=√1-ssと置いて二乗してなんとかルート消すとか色々やってみましたが自分の実力では泥沼になってしまいました
s=sin t
c=cos t
とおく。
はP,Qが取れないのは直線に限る事を示せ
なら行けるのにね。
あのね、そんなの見りゃわかりますよ
解けないなら話し掛けなくていいスよ
結局解けたので、撤回します
b1=a2-a1+(1/1)-(1/2)
b2=a3-a2+(1/2)-(1/3)-(1/1)+(1/2)
b3=a4-a3+(1/3)-(1/4)-(1/2)+(1/3)
bn=a[n+1]+(1/n)-(1/n+1)
bn=an+(1/n)-(1/n+1)+(1/n)-(1/n+1)←bnにanが含まれている
次の式で定義される数列｛a[n]}の一般項を求めよ。
(1) a[1]=2，a[n+1]=a[n]+1/{n(n+1)}
a1+b1からb[n-1]までの和=an+(1/n-1)-(1/n)=an
でした。
何をやっているのかまるでわからない
君はbnを階差数列だって言っていなかったか？
ごめん、何を言いたいか分からないんだけど
b1=a2-a1+(1/1)-(1/2)
って
b1=a2-a1=(1/1)-(1/2)
の誤植だったりする？
a1+b1の残り+b[n-1]の残り=2+(1/1)+{-(1/n)}=(答)
先生、気付けました。お騒がせしました。大変ありがとうございました。
Aｘ^2+Bｘ+C=(ax+b)(cx+d) と考えるのが正解で
Aｘ^2+Bｘ+C=(a'x+b')(c'x+d')+e のような答えを考えないは何で？
整数の因数分解で20=4*5と考え、3*6+2としないことと同じ
これらの頂点から異なる2点を選ぶ。
それらの座標をP(a,b,0),Q(c,d,0)と表し、また2点X(a,b,1),Y(c,d,1)をとる。
A_i(i=1,2,...,n)からPともQとも異なる2つの頂点を無作為に選び、それらをA_kとA_mとする。
直線XA_kと直線YA_mが交点を持つ確率をX(n)、直線PA_kと直線QA_mが交点を持つ確率をP(n)とするとき、
X(n)とP(n)の大小を比較せよ。
X<P (ows)
>Aｘ^2+Bｘ+C=(a'x+b')(c'x+d')+e のような答えを考えないは何で？
和じゃん
a[n+1]＝e-(n+1)a[n] の関係式を導き、（ここまではよくある問題）
次に、a[n]を求めよという問題ですが、これはΣをつかって表すか、
・・・などの記号をつかって表すしかないですよね。
曲線 y = f(x) の曲率円の半径を R とすると
1/R = ( 1/(1+(dy/dx)^2)^(3/2) )(d^2y/dx^2)
なので y = x^2 の曲率は
f'(x) = dy/dx = 2x
d^2y/dx^2 = 2
(dy/dx)^2 = 4x^2
より
1/R = 2/(1+4x^2)^(3/2)
R = (1+4x^2)^(3/2)/2
したがって x = 1 のとき
R = 5^(3/2)/2
f'(1) = 2
よって y = x^2 の (1,1) における接線の傾きは 2、法線の傾きは -1/2 なので曲率円の中心(x0,y0)は
x0 = 1 - (5^(3/2)/2)(2/√5) = 1 - 5^(3/2)・5^(-1/2) = -4
y0 = 1 + (5^(3/2)/2)(1/√5) = 1 + (5^(3/2)/2)・5^(-1/2) = 1 + 5/2 = 7/2
また
R^2 = 5^3/4 = 125/4
なので x = 1 における y = x^2 の曲率円の方程式は
(x+4)^2 + (y-7/2)^2 = 125/4
図を描いたらいい線いってると思ったのですが、正しくないようです。
どこがおかしいのでしょうか。
a[n] = (A182386)e - (-1)^n･n!
= (-1)^n {(A000166)e - n!},
だよ。
不等式
f_n(x) < π < f_n+1(y)
を満たす自然数x,yのうち、|x-y|を最小にするものを(x,y)=(a[n],b[n])とおく。
|a[n]-b[n]|を最大にする自然数nを求めよ。
ただし数列{a[n]}が周期を持つとは、「ある自然数の定数Kとpが存在して、K以上のすべての自然数iについてa[i+p]=a[i]が成立する」
ことを指す。
（1）Sの要素のうち、「ある項から2020項連続して同じ数が続くことはない」ような数列の例を1つ挙げ、その一般項を述べよ。
（2）Sの要素のうち、「2020以下の任意の自然数jについて、ある項からちょうどj項連続して同じ数が続く部分がある。一方、2021以上の任意の自然数kについて、ある項からちょうどk項連続して同じ数が続くことは決してない」ような数列の例を1つ挙げ、その一般項を述べよ。
∫[0→pπ] xln(sin(x)) dx
(2)1/3，1/6，1/10，1/15，・・・・・・
先生、bn=1/(n+2)、あとわかりません。お教えください。誠によろしくお願い致します。
Σ[k=1,n]2/(k(k+1))=2Σ[k=1,n](1/k-1/(k+1))=2n/(n+1)
1/3+1/6+1/10+1/15=2n/(n+1)-1=(n-1)/(n+1)
nをずらして1/3+1/6+1/10+1/15=2n/(n+1)-1=n/(n+2)
1/3+1/6+1/10+1/15=n/(n+2)
Tは領域0≦z≦kの部分に含まれ、kは十分大きい。
T内に点P(cosα,sinα,p)をとり、∠OPA=π/3、∠APB=π/4となるようにする。
このような実数α、pをθの式で表せ。
-(3+√17)/2<α<1/√3
を満たすのってどうやったら示せますか？
(-3+√17)/2<α<1/√3 です
Im,n=∫[0→1]x^m・(logx)^ndx
=1/(m+1)∫[0,1](x^(m+1))'・(logx)^ndx
=1/(m+1)[x^(m+1)・(logx)^n][0→1]
-n/(m+1)∫[0,1]x^m・(logx)^(n-1)dx
=-n/(m+1)・Im,n-1
={-n/(m+1)}・{-(n-1)/(m+1)}・…・{-1/(m+1)}Im,0
={(-1)^n・n!}/(m+1)^(n+1)
∴1/(m+1)^(n+1)=(-1)^n/n!・Im,n
∴Σ[k=1,m]1/(k+1)^(n+1)
=(-1)^n/n!・Σ[k=1,m]Ik,n
=(-1)^n/n!・∫[0,1]x(1-x^m)(logx)^n/(1-x)dx
∴Σ[k=1,∞]1/(k+1)^(n+1)
=(-1)^n/n!∫[0,1]x(logx)^n/(1-x)dx
は合ってますか？
を満たす非負整数(l,m,n)の組を全て求めよ。
定まるわけ無いやン
>∠OPA=π/3
Pはとある球面上の点
>∠APB=π/4
Pはまた別のとある球面上の点
2球面の交線の円上の点は無数にある
>ID:g/xUy6Rb
適当な出題をしてもしょうも無いだけだよ
e > 2.7 = (3/2) * 1.8 > (3√3)/2,
e^(2/√3) > (2/√3)e > 3,
e^(1/√3) > √3,
ｆ(1/√3) = (1/√3)e^(1/√3) > 1 = f(α),
f(x) = x･e^x は単調増加だから
α < 1/√3,
>>606
(L,m,n) = (1,1,1) (4,2,2)
(-3+√17)/2 = 0.561552812808830
α = 0.567143290409785
1/√3 = 0.577350269189626
にて成立。
お願いします…
ここでC(R^n,R^m)はR^nからR^mへの線形写像全体とします。
C(R^n,R^m)の位相はR^nとR^mの基底を適当にとってR^nmから定まるものとします。
このとき、g:X×R^n→R^mを(x,y)→f_x(y)で定めると連続写像になりますか？
なるなら証明を、ならないなら反例をお願いします。
C(R^n,R^m)なんてただの行列の空間やん。
C(R^n,R^m)×R^n→R^nなんてただの行列の積の写像なだから連続なの当たり前。
O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0)がある。
四角形OACBを直線ABを軸として一回転させてできる立体をV1, 四角形OACBを直線OCを軸として一回転させてできる立体をV2とするとき、V1とV2の共通部分の体積Tを求めよ。
円錐面の方程式出して、z=t平面でやろうとしたら上手くいかないです。
f_xが連続なことは分かります。
gが連続なことが欲しいです。
これの(1)って、有名な水汲みパズルの応用だね。
Aを出発して、川に着いたら川から水を汲んでBに向かうとき、
歩く距離を最短にするには川に向かってどう歩けばよいか、というやつ。
この問では川は y=pで表される直線で、川幅は0と見なす。
p≦2 或いは p≧4 のときは、A、B は同じ側の川岸の2点、
2＜p＜4のときは、A、Bは川の対岸同士にある2点。
ただこの問ではPHが加わるので、 p の正負による場合分けも生じる。
ありがとうございます。
なぜ距離の和dをxで微分し、d'が定義できないか0になる点が最小値を与える、という考えでは正答が出なかったのでしょうか？
d'(x)の符号変化を調べてないからでしょ。
ありがとうございます！
解き直してみます
x→±∞でd=∞はわかっているのだから
d'=0かd'が計算できない(±∞になる)xを全て調べればそこに必ず最小値が含まれている、と思ったのですが
4つだと思います。一応、対称性から楽しようとしたのですが、領域がなぜかうまく絞り込めません…
(0,0)とAの凸包X、
(1,1)とAの凸包Y、
(1,0)とBの凸包Z、
(0,1)とBの凸包W
とする。
XとZの共通域のうちy≦x、x≦1/2の部分を求める。
x=1/2,y≦1/2と領域の共通部分の面をCとして
(0,0)、CはX,Zの両方に含まれるからその凸包はX、Zの両方に含まれる。
逆に領域のy≦x、x≦1/2の部分はこの凸包に含まれる。
以上により該当部分は(0,0)とCの凸包。
最後にx=a(p-2)/2(p-3), (p-2)/2のどちらを取るかで不等式解き間違えてるだけでは？
冷静に考えれば0<(p-2)/(p-3)<2が有り得ない訳ないでしょ
P(x) = (x^(2)+1)*A(x)-5x-10 = (x^(2)+1)*A(x)-5(x-2)-20 = (x^(2)+1)(x-2)*B(x)-5(x-2)-5 = (x^(2)+1)(x-2)*B(x)-5x+5
ゆえに余りは-5x+5
これは間違いですが具体的にどこが間違いなのでしょうか？
(x^(2)+1)*A(x)-5(x-2)-20 = (x^(2)+1)(x-2)*B(x)-5(x-2)-5がおかしい
(1)
0≦p≦4のときp+√(a^2-4a+20)
p≧4のときp+√{(2p-4)^2+(a-2^2)}
p≦0のとき-p+√{(2p-4)^2+(a-2^2)}
(2)
√(a^2-4a+20)
でいいのかな？
直感的には分かるのですが、積を与える写像が連続であることの証明がわからないです
成分個別にR^mnで考えるって書いてるやン
それらの積と和で書かれるんだから連続になるの当たり前
それともR×R→Rの(a,b)→abと(a,b)→a+bの連続性から証明したいということ？
その面上または内部に含まれる長さ1の線分Lを考え、その両端点をP,Qとする。
Lが色々動くとき、以下の長さの和の最大値と最小値を求めよ。
(AP+PG)+(BQ+QH)
(R*R)[T]の可逆元全体とR*R可逆元全体は一致するか
また一致しない場合(R*R)[T]の可逆元全体はどんな集合か
R[X]でR上の一変数多項式環です
任意の環R上の多項式環R[X]の可逆元はRの可逆元でしょ
逆は明らかだし
簡単な例だとa∈R,a^k=0を満たすとき
1=1-(aX)^kより1-aXはR[X]の可逆元だけどRの可逆元とは限らない
具体的な反例は知らん
R×R → R
(a,b) → a+b
で考えようか
R[X]上の元が可逆
⇔定数項が可逆かつ一次以上の係数が全てベキ零元
は言える。
←は明らか。
ある係数が冪令でないが、可逆なものが取れたとする。
その元と逆元の係数だけから生成される部分環に制限してよいからネーター環として良い。
n次の係数aが冪零でないとする。
R[1/a]の素イデアルの引き戻しPをとるとa+PはR/Pの非冪零元でR/P[X]の可逆元の係数となるからRは整域として良い。
しかし整域の場合はR[X]の可逆元は定数項が可逆元で一次以上の係数が全て0である場合に限られるから矛盾。
でもこれが答えといっていいのかは疑問。
こんなもん必要十分条件なんかいくらでもあるだろうし。
大学数学以上のテーマでこの手の問題は成立しないと思う。
本来受験数学でも必要十分条件求めよ系は危ないけど、それはこの手の問題の答えはこの形という暗黙の了解があるからギリギリ許されてるだけで、大学の数学以上ではそんなもん存在しないと思う。
Rで言えることはR[X]ですべて言える
というのもR[X]の元定数多項式をRの元と看做せばよいから
皆さん色々ありがとうございます
Nを自然数の定数とし、数列a(n)を以下のように定める。
a(0)=N
a(n+1)=a(n)+1-[a(n)/2]
（1）lim[n→∞] a(n) は収束することを示せ。
（2）Nの値により、n→∞でのa(n)の極限値が変化するかを判定せよ。
（変化する場合、各極限値に対応するNを具体的に記述しなくてよい）
Sを実数体とするとき
・Sの0ではない元は単数である
これと
>Rで言えることはR[X]ですべて言える
という壮大な理論の系として、
・S[X]の0ではない元は単数である
という定理が得られる
あーそれなら具体的に反例作れば良さそう
体上の多項式環の例として実数体の多項式です
R×R → (同型)R^2[X]
↓ ↑
R → (包含写像)
間違えたｗ
↓ ↑
R → (包含写像)
それなので
実数体Rで成り立つことは
R^2係数多項式全体R^2[X]
でも成立します
https://ja.wolframalpha.com/input/?i=0から1の範囲でx%5E%28-1%29-%28x%5E%28-2%29-x%5E2%29%5E%281%2F2%29を積分
(x^2+y^2+1)/(xy) も自然数といえますか？
l!+m!=n!を満たす自然数l,m,nをすべて求めよ。
（イ）k≦lかつm≦nとする。
k!+l!=m!+n!が成り立つような自然数k,l,m,nで、k≠mかつl≠nを満たすものは存在しないことを証明せよ。
そんなに即答が返ってくるくらい簡単なことなのですか。
有名な事実なんでしょうか。
いやお恥ずかしい (〃∀〃)ゞ
どうやってとけば良いですか？
cos^3x/(cosx^sinx+1)です
おまえ、なんで便所行ったときに手を洗わないの？
どなたかこれお願いします
シミュレーションしたら３に収束するみたい。
3にならない場合もあるからな
勘違い、読み間違いだった
再訂正、やっぱりNによっては3になるとは限らない
>>649
a(n)の単調性と有界性を示せばいい
３にならない場合のNの値を教えてください。
N=1,2だと２に収束？
誰かお願いします
(1)
a(n) が自然数であれば(n≧0)、
a(n)が偶数のとき、a(n+1)={a(n)+2}/2 （２以上の自然数）
a(n)が奇数のとき、a(n+1)={a(n)+3}/2 （ 〃 ）
a(0)=1だと、a(1)=2だが、a(i)=2だとa(i+1)=2 なので a(n)は2に収束
a(0)=2だと、a(1)=2となり、上記よりやはりa(n)は2に収束
a(0)=3だと、a(1)=3だが、a(i)=3だとa(i+1)=3なので、a(n)は3に収束
Nが3以下であれば、a(n)は2か３に収束する。
Nが4以上の場合、
N=2k (k>1)の場合、a(1)=k+1 < 2k となり、a(1)はNより小となる。
N=2k+1(k>1)の場合、a(1)=k+2 < 2k +1 =N となり、やはりa(1)はNより小。
よって、仮にNがM以下のすべての値でa(n)が収束するのであれば、N=M+1
としても、a(1)≦Mとなり、これはN=a(1)とした場合と同じ値に収束する。
ゆえに、数学的帰納法により、すべての自然数Nに対してa(n)は収束する。
(2)N=1,2であれば極限値は２、N=3以上の場合は極限値は３となる。
∵極限値が2となるのは、あるi（≧1）でa(i)=2となる場合だが、
a(i-1)=2a(i)-2またはa(i-1)=2a(i)-3 より、a(i-1)=2または１
となるので、a(0)=N は1または２しかありえない。
ダルブーの定理の証明ですが、p.215に
「(3.9)により 0 ≦ n_k ≦ n である。」
と書いてあります。これって間違っていませんか？
「(3.9)により 0 ≦ n_k ≦ 1 である。」
が正しいと思いますが、どうですか？
確率に自信ニキいましたらよろしくお願いします。
(3.9)は各辺につき高々1個と言っているので、
n次元区間だとその総数は高々n個という意味
1/x - √(1/x^2 - x^2) = {1 - √(1-x^4)} /x = x^3 /{1 + √(1-x^4)},
(与式) = ∫[0,1] x^3 dx /{1 + √(1-x^4)}
= (1/2)∫[0,1] y/(1+y) dy {← y=√(1-x^4) }
= (1/2)∫[0,1] {1 - 1/(1+y)} dy
= (1/2)[ y - log(1+y) ](y=0,1)
= (1/2){1 - log(2)}
= 0.15342640972
漸化式つかって解くことになると思う。
これ考えてくださった方いたら申し訳ないのですが自己解決しました
自己解決しました
一応、
∫[-π/2,π/2](cosx)^3/cosx^(sinx)+1dx…A
=∫[0,π/2](cosx)^3/cosx^(sinx)+1dx
+∫[-π/2,0](cosx)^3/cosx^(sinx)+1dx
ここで、x=-tとするとdx=-dt
このとき、
∫[-π/2,0](cosx)^3/cosx^(sinx)+1dx
=∫[t=π/2,t=0](cos(-t))^3/cos(-t)^(sin(-t))+1(-dt)
=∫[0,π/2](cost)^3/cost^(-sint)+1dt
=∫[0,π/2](cosx)^3/cosx^(-sinx)+1dx
∴A=∫[0,π/2](cosx)^3・(1/(cosx^(sinx)+1)+1/(cosx^(-sinx)+1))dx
=∫[0,π/2](cosx)^3dx
=∫[0,π/2]cosx(1-(sinx)^2)dx
=∫[0,π/2](cosx-(sinx)'(sinx)^2)dx
=sinπ/2-1/3・(sinπ/2)^3
=1-1/3=2/3
になりました(計算ミスしてたらすいません…)
おかしいな？
wolframに入れたら発散してたけど？
ここに漸化式と解説があります。
http://zakii.la.coocan.jp/enumeration/52_cointoss.htm
自分がwolframに入れたら2/3になったよ
どう間違ったらその誤写はできるものやら。
助かります！
計算してみますありがとうございます
ありがとうございます
絶対値取り忘れてますね…
わからないのと難しいのを恐れいて遅くなりました。まず、初項が1/1というのを求めるのがみそだったんですね。
そして、第1+1項から第n+1項まで求める。
先生、本当に助かりました。ありがとうございました。
先生、素晴らしいです。よくこんな空間からメネラウスの定理が使える平面をイメージなされました。
まさかわかる方がいらっしゃるとは思いませんでした。横柄な態度を取って誠に申し訳ありませんでした。
こういう応用問題も計算可能になる。
（問） 表の出る確率がpの歪（いびつ）なコインを100回投げたときに表が連続した数の最大値が4であった場合のｐの期待値・モード値と95％信頼区間を求めよ。
ｐの確率密度関数を図示すると
https://i.imgur.com/3JwdM8g.jpg
確率の確率なのねｗ
1/(y+1) + 1/(1/y + 1) = 1/(y+1) + y/(1+y) = 1,
1/{cos(x)^(sin(x)) + 1} + 1/{cos(-x)^(-sin(x)) + 1} = 1,
∫cos(x)^3 dx = ∫{(3/4)cos(x) + (1/4)cos(3x)} dx
= (3/4)sin(x) + (1/12)sin(3x)
= sin(x) - (1/3)sin(x)^3
証明がわからなんじゃなくて誰の定理だったか知りたいのです。
有限集合A,Bと写像F:A→2^Bが与えられていて任意のAの部分集合Xに対して
#{b∈B | ∃a∈X b∈F(a)}≧#X
が成り立つとき単射f:A→Bをf(x)∈F(x)となるように取れる。
これ誰の定理でしたっけ？
コインの裏表じゃ面白くないけど
こういう問題にしてみると臨場感があるね。
今だと、桜を見る会の反社勢力率とか、風俗嬢の梅毒感染率とかに置き換えると面白い。
私立医大の裏口入学調査団が100人を順次調査した。
裏口入学判明人数をそのまま公表はヤバすぎる結果であったため、
連続して裏口が入学がみつかった最大数は4人であったとだけ公表した。
公表結果が正しいとして裏口入学人数の期待値、最頻値、及び95%信頼区間を述べよ。
(x^2+y^2+1)/(xy) = 3 といえますか？
(F_{2n+1})^2 + 1 = F_{2n-1} F_{2n+3}
より
(x, y) = (F_{2n-1}, F_{2n+1}),
で
(x^2 +1)/y = F_{2n-3},
(y^2 +1)/x = F_{2n+3},
よって
(xx+yy+1)/xy = F_{2n-3} F_{2n+3} - F_{2n-1}F_{2n+1}
= (3F_{2n-1} -F_{2n+1}) (3F_{2n+1} -F_{2n-1}) - F_{2n-1} F_{2n+1}
= 3[ 3F_{2n-1} F_{2n+1} - F_{2n-1}^2 - F_{2n+1}^2 ]
= 3,
> フィボナッチ数を使って表わせば
> (F_{2n+1})^2 + 1 = F_{2n-1} F_{2n+3}
> より
> (x, y) = (F_{2n-1}, F_{2n+1}),
なぜですか？
イナ氏の計算力と粘着力には感服しております（皮肉ではありません）。
つくづく東大に行かなくてよかったと思う（某二期校に逃げました）。
(x^2+y^2+1)/(xy) = 2 + {(x-y)^2 +1}/(xy) > 2,
一方、一つ飛ばしのフィボナッチ数については
1/φ^2 < y/x < φ^2,
よって
(x^2+y^2+1)/(xy) = x/y + y/x + 1/(xy)
< φ^2 + 1/φ^2 + 1
= 3 + (φ - 1/φ)^2
= 3 + 1
= 4,
左辺は自然数だから >>659-664
(x^2+y^2+1)/(xy) = 3,
いや、そうじゃなくてなんでそうおけるの？
ロジック狂ってない？
4つの面の各々の面積が整数値で、
体積が整数値である。
このような四面体が存在することを証明せよ。
36%なのでしょうか？
それとも0.964*0.964*0.964(略 0.964を10回電卓にかけた数なのでしょうか？
教えてください。
{(F_{2n-1})^2 + 1} / F_{2n+1} = F_{2n-3} = 自然数
{(F_{2n+1})^2 + 1} / F_{2n-1} = F_{2n+3} = 自然数
は周知だから
(x, y) = (F_{2n-1}, F_{2n+1}),
とおける。 >>703
> (x, y) = (F_{2n-1}, F_{2n+1})
→
> x,yが自然数で，(x^2+1)/y も (y^2+1)/x も自然数
と、
> (x, y) = (F_{2n-1}, F_{2n+1})
→
> (x^2+y^2+1)/(xy) = 3
は示されているが、
> x,yが自然数で，(x^2+1)/y も (y^2+1)/x も自然数
→
> (x^2+y^2+1)/(xy) = 3
や
> x,yが自然数で，(x^2+1)/y も (y^2+1)/x も自然数
→
> (x, y) = (F_{2n-1}, F_{2n+1})
は示されていないんじゃないか？
メチャメチャやん
x^2+y^2-nxy+1=0
としてx=yであるときは
(n-2)x^2=1
となるのでn=3のとき意外解を持ち得ない。
x>yである解が存在したしてxが最小であるものをとるとき(y,(y^2+1)/x)も解になるので最小性に矛盾する。
で言える。
(x, y) が解ならば (y, (y^2+1)/x) も解。
x>y ならば、
(y^2 +1)/x ≦ (y^2 +1)/(y+1) ≦ y
(x,y)≠(2,1) ならば不等号となって最小性に反する。
nに関して解があるなら、最小解は (x,y)=(1,1) に限る。
でござるか
この手の難問は大概これ。
n∈ℕで
nΣ[k=0,n]f(2k)>(n+1)Σ[k=1,n]f(2k-1)
が成り立つことを示せ。
どうやって解けば良いのでしょうか…
f "(x) >0 から凸不等式
{f(2k-2) + f(2k)}/2 > f(2k-1) ････ (1)
また
{(n-k)f(0) + k･f(2n)}/n > f(2k),
{k･f(0) + (n-k)f(2n)}/n > f(2n-2k),
辺々たすと
f(0) + f(2n) > f(2k) + f(2n-2k) ････ (2)
これらより
左辺 - 右辺 > nΣ[k=0,n] f(2k) - (n+1)Σ[k=1,n] {f(2k-2)+f(2k)}/2
= (1/2)(n-1){f(0) + f(2n)} - Σ[k=1,n-1] f(2k)
= (1/2)Σ[k=1,n-1] {f(0) + f(2n) - f(2k) - f(2n-2k)}
> 0,
これどなたかお願いします
等面四面体で何とかならないかと計算中ですが難しいです
1回50%でアタリが出るガチャを2回した確率って100%なのでしょうか
空間の点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)を通る平面π上にあり、点Cを中心とする半径1の円Kを考える。
K上の点(x,y,z)で、xy+yz+zxを最大にするものの座標をa,b,cで表せ。
おるよ
0<α<β, βは定数
S(α)=∫[α→β](f(x)-(1/x))dxとするとき
lim[α→0]S(α)は収束するのでしょうか？
また、収束するようなPQの値の範囲はどうなるのでしょうか。
ご教示ください
10連ガチャを実行した場合に★4以上が1個確定と
表記されておりますが、単発での排出率が下記の割合となってます。
----------------------------------
★5 1.5%
★4 13.5%
★3 85%
----------------------------------
ここで過程として、
★4が不要となり★5のみ必要となった場合に
単発を実行するほうが当たりやすいのか
もしくは、10連を実行するほうがあたりやすいのか
どちらか判断ができない為、ご教授をお願いします。
また、この様な場合にどのように計算したらいいのか
記載してもらえると幸いです。ご回答宜しくお願い致します。
>10連ガチャを実行した場合に★4以上が1個確定と
の仕様がわからないと、計算のしようがないと思う。
ないと思うんですが，うまく示せなくて困っています。
お願いできたら幸いです。
問題はx(t)、 t=1～5
データ
x(1)=2,x(2)=7,x(3)=欠損値,x(4)=5,x(5)=3
重み
w(t-2)=0.5,w(t-1)=2,w(t)=4,w(t+1)=2,w(t+2)=0.5
これの欠損値を求めろという問題です。
>10連ガチャを実行した場合に★4以上が1個確定と表記されております
を次のように解釈する。
すなわち、
10連ガチャを選択すると1個確定する★4以上とは
★５と★４は1.5 : 13.5 の比率で出る。
つまり、１０連ガチャでの★５は1.5/(1.5+13.5)=0.1の確率ででる。
単発を10回繰り返すときに1回でも★５がでる確率は1-(1-1.5/100)^10= 0.1402696
ゆえに、
単発を実行するほうが当たりやすい
すごい助かりましたありがとうございました！
確定以外の★５が出る場合はどう考えるの？
極限のつもりならz=1のときのみz^n→1
それ以外は収束しない
極限です。ちなみにzは複素定数です。
一応ε－N論法で示せましたが、もっと簡単に示す方法はありますでしょうか。
でますよ。あくまで10個目が★4以上確定というだけです。
10連のとき最初の９個は★5，★４，★3から選ばれる
その比率は1.5：13.5：85
10個目は★5,★4から(1.5:13.5の比率で）選ばれるという仕様とすると
10連で★5が全く含まれない確率ｐは((100-1.5)/100)^9 * 13.5/(1.5+13.5)
少なくとも１個の★５が含まれる確率は１-ｐ=0.214となり、10連の方が有利になる。
その仕様で１００万回シミュレーション
> sim10 <- function() {
+ gacha10 = c(sample(c(3,4,5),9,replace=TRUE,prob=c(85,13.5,1.5)),sample(c(4,5),1,prob=c(13.5,1.5)))
+ any(gacha10==5)
+ }
> mean(replicate(1e6,sim10()))
[1] 0.214313
> sim1 <- function() {
+ gacha1 = c(sample(c(3,4,5),10,replace=TRUE,prob=c(85,13.5,1.5)))
+ any(gacha1==5)
+ }
> mean(replicate(1e6,sim1()))
[1] 0.140582
10個目は確定なの？
9個目までに★4以上が出なかったときだけ確定ってことではないの？
この場合でも確定のときの★5と★4の比率が1.5:13.5であるなら10連の方が期待値高くなるけど
9個目までに★4以上が出なかったときだけ10個目は★5,★4から比率1.5:13.5で選ぶという仕様でシミュレーション
> sim10a <- function(){
+ gacha9=c(sample(c(3,4,5),9,replace=TRUE,prob=c(85,13.5,1.5)))
+ if(max(gacha9)==3){
+ g10=sample(c(4,5),1,prob=c(13.5,1.5))
+ }else{
+ g10=sample(c(3,4,5),1,prob=c(85,13.5,1.5))
+ }
+ gacha10=c(gacha9,g10)
+ any(gacha10==5)
+ }
> mean(replicate(1e6,sim10a()))
[1] 0.159585
1.5:98.5になるに決まってるだろ
それはラプラスですか？
数値計算すると
m3=0.85^9 # max(gacha9)==3
m4=(0.85+0.135)^9-0.85^9 # max(gacha9)==4
m5=1-(1-0.015)^9 #max(gach9)==5
m3*0.1+m4*0.015+m5
> m3*0.1+m4*0.015+m5
[1] 0.159957
lim[n→∞] x^n = -1 だったと仮定する。
1 - x^(2n) = (1 + x^n) (1 - x^n)
で n→∞ としたとき
1 - (-1) = {1+(-1)} {1-(-1)},
2 = 0 ((矛盾)
ちなみに>>747の返答は
10個目が★4か★5
1個目から9個目までが★3～★5です。
1～9個目は★3 85%、★4 13.5%、★5 1.5%
1～9個目で★4、★5が出ていても出ていなくても10個目は★4か★5（13.5：1.5）ってこと？
それなら★5の可能性は悩むまでもなく10連の方が高いに決まっとるじゃん
この標本空間の濃度は連続体（つまり、Rや、R上の区間と同じ濃度を持つ）だったと記憶しているのですが、証明方法を思い出すことができません。
スケッチでもかまいませんので、証明を教えて頂けないでしょうか。
かも。
対角線論法ですね。
対角線論法でもう一度考えてみます。ありがとうございます。
＞区間 [0,1] に含まれる実数は2進法により無限小数として一意的に表わせる
「一意的に」は嘘
連続性を保つ限り、一意性は有しない
0.1000…＝0.0111…
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cantor%E2%80%93Bernstein%E2%80%93Schroeder_theorem
対角線論法は関係ないでしょ？
どなたか、数学の得意な方、お願いします…
対角線論法をヒントに色々探したのですが、
以下のURLにある資料の135ページに証明の詳細を見つけました。
math.aalto.fi/~kkytola/files_KK/ProbaTh2019/ProbaTh-2019.pdf
>>760
ベルンシュタインの定理でも大丈夫なんですね。こちらも考えてみます。
コメントをくださった皆様、ありがとうございました。
まぁ納得したならそれでいいけど対角線論法それ本体から言えるのは{0,1}^ωもRも可算無限ではないまでだけだけどね。
ぴったり同じっていうには不十分だよ。
また、
(i)区間[0,a)に含まれ、2以上の自然数nを用いて1/nと表せる全ての有理数を要素とする無限集合をS
(ii)区間[a,1]に含まれ、同様に1/nと表せる全ての有理数を要素とする無限集合をT
と定める。
いま集合Sまたは集合Tに含まれる有理数を無作為に2つとり、それらの和をとる。
その和をxとおくとき、xが集合Xに含まれる確率P(X)について、
P(S):P(T) = a:(1-a)
が成り立つか。
結論を述べ、またその根拠を簡単に述べよ。
それスマートですね。自分のε-Nによる１ページほどの答案が恥ずかしい…。
a=b の場合は
(x, y, z) = (a/√(2aa+4cc), a/√(2aa+4cc), c - 2c/√(2aa+4cc))
最大値 2c/√(2aa+4cc) - a(4c-a)/(2aa+4cc),
a=n(n+1)/2-1
b=n(n+1)
を満たす差分追尾数列αを見つけてくれ〜(・ω・)ノ
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
4×5の場合
宝：1個 同等
宝：2〜5個 短軸有利
宝：6〜13個 長軸有利
宝：14〜20個 同等
□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
短軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
長軸有利☆
Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}]
同等☆
Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}]
区間[a,b]に含まれる有理数のうち、1/n（nは自然数）の形で表されるものの個数をN(a,b)とする。
N(a,b)*a^pが0でない定数に収束するような有理数pを求めよ。
（1）2019
（2）2020
【注】
例えば6=(5,0)+(5,1)である。
しかし6はよりnの小さい形6=(3,1)+(3,2)で表され、これより小さいnでは表されないから、従って求めるnは3である。
三角形の面積が底辺×高さ÷2になるのって、AやBの場合ってEやFの半分になるからというのはわかるんだけど、Cの場合って何でそうなるんだったっけ？
移動とかできる？
──
下を三角形の底辺として
上の直線上のどこに頂点を取っても面積は一定
だからCは頂点を平行移動して直角三角形の面積に帰着できる
なるほど、そういうことか。ありがとう
https://i.imgur.com/jWnrIbR.jpg
https://i.imgur.com/iITXWNk.jpg
もう一個いいかな？
平行四辺形の面積で緑のタイプはこんな風に移動でにるけど、ピンクのタイプって移動できる？
できる
まず先に三角形を片側に足して直角を作ってから、
同じ形の三角形を反対側から切り取ればいい
手順が逆なだけ
それを>>774で直角三角形２つにしてくっつければ長方形に変わる
>>766
s = 1/a + 1/b + 1/c,
S = 1/aa + 1/bb + 1/cc,
とおくと
(x, y, z) = (k(S-s/a), k(S-s/b), c+k(S-s/c))
k = ±1/√{S(3S-ss)},
符号は x>0, y>0 となるようにとる。
最大値 ks - (ss-2S)(kc + 1/2S).
横に倒せば同じことじゃん
a=b の場合
最大値 2ａc/√(2aa+4cc) - a(4c-a)/(2aa+4cc),
a=b=c の場合
(x, y, z) = (1/√6, 1/√6, c-2/√6)
最大値 2c/√6 - 1/2.
尖ったひし形では倒しても無理
欠損箇所を周辺のデータで補間せよ、ってこと？
x(3) ≒ {Σ[i=1,5] w(i)x(i)}/{Σ[j=1,5] w(j)}
と仮定すると
x(3) ≒ {Σ[i≠3] w(i)x(i)}/{Σ[j≠3] w(j)}
= (0.5*2 + 2*7 + 2*5 + 0.5*3)/(0.5+2+2+0.5)
= 26.5/5
= 5.3
*欠損データそのものは分からない。
a,b をどう動かすんでつか？
>>770
(1) n=2018 k=0,2017
(2) n=2019 k=0,2018
この真ん中らへんに書いてある。
何を言いたいのかさっぱりわからないからとりあえず何か形あるもので見たくて…
もしわかる人居たらカッコのnと外のnを別に別けて指数でどうなってるのかご教授ください。
でも全然何をしようとしたらこうなるのか全然イメージできなくてワロタ
定積分
I = ∫[0,a] [1/{x(x+1)} - exp(-x)/x] dx
について以下の問に答えよ。
（1）Iはa→+∞で有限の値に収束することを示せ 。
（2）Iをaの関数と見てI=f(a)とおくとき、f(a)の増減を調べよ。
ぐやしいです！！わからない！あぁぐやじぃ！
無理しないでちゃんと学校の数学から進めたほうがいいぞ！
背伸びして全く理解できないレベルで難しい本をやってみても、別に自慢できないし
数年後恥ずかしさでのたうちまわるぞ
770は不正解
loglog(n)=log(logn)=loge^k=kなので
(logn)^2･k=(logn)(logn)k=k･e^2k
それで何をしようとしてるのです？
グラフか何か図示できます？
数学科じゃないのでわからないから禿げそう
極限
lim[n→∞] N(9)/N(3)
を求めよ。
ルベーグ積分でも大抵はリーマン積分で求めてるじゃん
f_[k+1](x)=f(f_[k](x))
とする。
方程式f_[n](x)=0の解で、区間[-1,1]に含まれるものの個数を求めよ。
付けないものなんですか？付けてはいけないんですか？
確率の歴史からは、円とは限らんからね。
フランスの数学者パスカル（1623～1662)が1654年にフェルマーにあてた手紙が、現在の確率
論の始まりだと言われている。当時の有名な賭博師メレがパスカルに以下のような問題を持ち
込み、その問題についてがその手紙のやりとりの中で論じられているそうである。
甲乙二人がおのおの32ピストル（当時のお金の単位）の金を賭けて勝負したとする。
そしてどちらかが先に３点を得たものを勝ちとし、勝った方がかけ金の総額64ピストルをもら
えるとする。ところが甲が２点、乙が１点を得たとき、勝負が中止になってしまった。
このとき、二人のかけ金の総額64ピストルを甲と乙にどのように分配すればよいだろうか。
ただし二人の力は互角で、勝つ確率はそれぞれ1/2ずつだとする。
？
次
甲が1点1/2で甲勝ち
乙が1点1/2のときは
その次
甲が1点1/2で甲勝ち
乙が1点1/2で乙勝ち
甲勝ちは1/2+1/2・1/2＝3/4
乙勝ちは1/2・1/2＝1/4
64ピストルのうち
甲へは48ピストル
乙へは16ピストルを配分するのが
正当
両チームの実力が互角であったときに先勝したチームが覇者となる確率はいくらか？
残りの６試合での勝ち負けを虱潰しに数え上げて42/64= 0.65625になったけど、あってる？
一般化するとこういう問題になる。
先にw点を得たものが勝ち、甲がA点、乙がB点を得たとき、勝負が中止となった
このまま続けていたとして甲の勝った確率は？
わざわざのレスありがとうございます。
１００万回シミュレーションしてみました
sim <- function(A=2,B=1,w=3){ # A wins the game, T/F ?
while(A < w & B < w){
g = rbinom(1,1,p=0.5)
if(g==1){
A=A+1
}else{
B=B+1
}
}
A > B
}
mean(replicate(1e6,sim()))*64
> mean(replicate(1e6,sim()))*64
[1] 47.98048
俺が乙だったら、点数は２：１だからその比で配分しようよ、と主張して64/3= 21.33333ピストルくれというｗｗ
問題文には500円、100円、10円とありますが？
昔の人はそんなこともわからないバカしかいなかったんだな。
（もちろん発展は先人のおかげとはいえ）
科学以降人類はどれだけ賢くなったのか検討もつかないな
実数a,bを10進法表記したときの、それぞれの小数点以下n桁目の数をa[n],b[n]とする。
以下の場合について、b[n]をa[n]で表せ。
（1）a=20/91, b=1/13
（2）a=1/(√2+1), b=√2+1
Σ[k=0,w-B-1]C[w-A-1+k,w-A-1](1/2)^(w-A+k)
日本シリーズの場合は
Σ[k=0,3]C[k+2,2](1/2)^(k+3)=21/32
？
問題文や解答欄を画像でupしてくれないと判定不能
？
速攻のレスありがとうございます。
シミュレーション解・虱潰し解しか出せなかったので助かります。
俺が乙なら、勝敗は決着してないから、３２ピストルくれというぞ。
格言：理屈と膏薬はどんなところにもつく。
最後はAが得点して勝負が決定するのを忘れずにAが勝者になるまでのBの点数で場合分けすれば良かったのですね。
NS <- function(w,A,B,p){ # 先にw点得点した方が勝者、A,B：現在の点数 ,p:甲の勝率
ans=0
for(k in 0:(w-B-1)){ # k: Aが勝者になるまでのBの点数
ans=ans+choose(w-A-1+k,w-A-1)*(1-p)^k*p^(w-A)
}
return(ans)
}
> NS(3,2,1,0.5)
[1] 0.75
> NS(4,1,0,0.5)
[1] 0.65625
C : x^2+y^2=1
C_1: x^2+{x^2/(1+x^2)}+y^2=1
C_2: {x^4/(1+x^2)}+y^2=1
を、周長が短い順に並べよ。
ラーメン屋Aでn人の行列ができるとき、列の中に「（先頭側から）男、女、女」の順で並ぶ部分が少なくとも1つ存在する確率がn/(n+10)であるという。
この情報のみを用いて、Aの来店客の男女比を推定せよ。
4面の面積が全て整数で、
体積が整数である
このような四面体の例を1つあげよ。
ピラミッド
P144 節末問題 4.
10円，100円，500円の3枚の硬貨を同時に投げるとき，表が出る硬貨の金額の合計を賞金とする。
賞金の平均を求めよ。
P168 解答 4.
305
>>802
？
天才ですか？
じゃ、正四面体なんかじゃどうでしょうか？
一辺の長さaの正四面体の体積は(√2/12)*a^3
辺と体積が同時に整数になることはない
またですか。いい加減にして下さい。
天才も休み休み言って下さい
しろ@huwa_cororon 11月27日
苦節6ヶ月、初満点&一等賞です！
https://twitter.com/huwa_cororon/status/1199593474128896000
(deleted an unsolicited ad)
すべて求めよ。
f(x,y)=axy+b(x+y)+c (ただしb^2-b=ac)
これなんか元ネタあるの？
有名な未解決問題とか？
ネットで調べたけどそれらしい答えが無くて困ってる
無限ホテルが集合論のお話で、ホテルは可算無限集合、無限に居る宿泊客全員も可算無限集合で、どっちも無限としての大きさが合うから部屋は過不足なく用意されるって話だってところまではネットで読んだ
で、Wikipediaには順序数? の計算ルールが書いてあって、1+ωとω+1は違うってあったからこれが部屋移動の理由かと最初は思った
でも無限ホテルって無限人の来客があってもokってあるから、これってω+ωでどこに客をぶちこんでも意味変わらないなと
だからこの予想は違うと今は思ってる
この疑問のしっくり来る(理解できる)解説が見つからなくてずっとモヤモヤしてるので、誰か教えてくれるとありがたいです
新しい宿泊客が可算無限人の場合は、
n号室の人を2n号室に写せば奇数号室が空くのでやはり収容可能
非可算無限人の場合は知らん
(1) b[n] = mod(3+4a[n], 11)
(2) b[n] = a[n] (b=a+2)
(1)
f(a) = ∫[0,a] {1-exp(-x)}/x dx - ∫[0,a] 1/(x+1) dx
= log(a) - Ｅi(-a) + γ - log(a+1)
= log(a/(a+1)) - Ｅi(-a) + γ
→ γ = 0.5772156649 (a→∞)
ここに Ｅi(-a) = ∫[a,∞] (1/x)exp(-x) dx → 0 (a→∞)
(2)
exp(x) > x+1 より
1/(x+1) > exp(-x),
f '(a) > 0,
f(a) は x>0 で単調増加。
C : xx+yy = 1,
C_1 : xx+yy = 1 - xx/(1+xx) < 1, (円内)
C_2 : xx+yy = 1 + xx/(1+xx) > 1, (円外)
C_1 < C < C_2
一般には、円内にあるからといって周長が短いとは限らないんじゃ？
溶かしたら(キュリー温度以上では)もう強磁性体ではない。
常磁性だから自発磁化は無いが、周囲の磁場に応じて弱く磁化している。
それが冷えて固まれば(キュリー温度以下で)再び強磁性体に戻る。
強磁性体はヒステリシスが強いため、固化した時の磁化が良く保たれる。
たとえば火山の溶岩の磁化の向きから、噴火当時の子午線に対する方位が分かる。
これを元にして、過去に大陸が移動したことが分かった。(ウェゲナー)
結局溶かして丸く固めた瞬間はただの鉄で、冷えていけば磁石になるってことですか？
どこがS極でどこがN極になるんですか？
よろしくお願いいたします。
10進数で表された5/9を3進数になおせという問題があって、答は0.12だったのですが、分子と分母をそれぞれ3進数になおして、12/100でもあってますか？
自分は、あっていると思うのですが。
で、その理屈でいうと、例えば10進数で表された3/5は、8進数でも3/5になるのですが、あってますか？
友達が、それは違うのではないかというのですが、自分は正しいと思っています。詳しい方に教えていただけたらと思います。
自分の考えは、どこかおかしいのでしょうか？
正しい
10進法で5/9というのは5を9=3^2で割ること
それは、3進法では5(10)=12(3)の小数点を左に2つずらすことに対応する
あと、n進法とn進数は似て非なるもの
地球だって球体の磁石だし（永久磁石じゃないけど）、形は関係ないんじゃね？
合っている。
ただ先生が言っているのは5/9(10進法)を3進法の小数で書けということだと思う
それだと10進法で書いて
5/9
=5 * 3^-2
=(3+2)*3^-2
=1*3^-1 + 2*3^-2
つまり3進法で書いて0.12(3)となる
もちろん3進法で12/100を計算しても同じ結果になる
(2,3進法くらいまでならその場でできそうだけど)
ただabcd…xyz(n)を100…00(n)で割る時は簡単で、10進法のときと同じく小数点をずらすだけで良い
ありがとう
回答を、ありがとうございます。
よくわかりました。
質問をしてよかったです。
・6辺の長さが全て整数
・4つの面の面積が全て整数
・体積が整数
(e[0],e[1],e[2],e[3])をローレンツ基底として
f(t)=Σf^i(t)e[i]
と展開する
この状況で、とある本に「fの単射性からf^0も単射」とあるのですが、これは成り立たないような気がします(f(t)=te[1]が反例)
もしfが時間的曲線(つまり<df/dt,df/dt>が常に正)であると仮定したときは成り立ちますか？もし成り立つなら証明を教えて頂きたいです
キュリー温度になったときの磁場 (地球磁場) の方向に磁化する。
(純鉄で 770℃、Rイトで 500℃ ぐらい)
ただし、磁化は非常に弱く、「磁石」とは呼べない。
再びパルス磁場を加えて強く磁化させれば磁石になる。
>>843
ウェゲナーより50年も前に大陸移動を主張した人もいたが、
証拠不十分で保留になった。
x_0 = 1,
f_[k](x_k) = 1
とおくと
f_[1](x_k) = (x_k)^3 - (x_k) = x_(k-1),
これより
x_0 = 1,
x_1 = {((27-3√69)/2)^(1/3) + ((27+3√69)/2)^(1/3)}/3
= 1.32471795724475
x_2 = 1.39603524561538
x_3 = 1.41056662315775
x_4 = 1.41348372262564
x_5 = 1.41406757634046
x_6 = 1.41418436444319
x_7 = 1.41420772275818
x_8 = 1.41421239444895
x_9 = 1.41421332878822
x_10= 1.41421351565612
x_k → √2 (k→∞)
3個
f_[n](x) = 0 の実解は全部で2n+1個ある。
0, ±1, ±x_1, ････, ±x_(n-1).
基本的に、最後に単位付けるの忘れるなよでやってきて、
今回は単位付けんなよでは困ります。